分形分析与天然大地电磁场信号识别
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H ( x) =
在 Cagniard ( 1953) 均匀水平层状分布模型中 , 阻抗张量 Z 元素可以表示为 [ 7 ] : 3 3 〈 Ex H y 〉 〈 Ex E x 〉 Z xy = Z xy = 3 3 〈 Hy H y 〉 〈 Hy E x 〉
Zyy = 0 Zyx
ln C m ( R ) = ln C + D ( m ) ln R , 当 D ( m ) 不随 m 的
© 1994-2007 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved.
http://www.cnki.net
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西安石油大学学报 ( 自然科学版)
向量 Y ( i ) :
Yn ( m , t ) = ( x n , x n + t , …, x n + ( m - 1) t ) ; n = 1 , 2 , …, N m ; N m = N - ( m - 1) t . ( 1)
2007 年 5 月 第 22 卷第 3 期
西安石油大学学报 ( 自然科学版) Journal of Xi′ an Shiyou University ( Natural Science Edition)
May 2007 Vol. 22 No. 3
文章编号 :16732064X ( 2007) 0320019205
表 2 实测大地电磁场信号分形比与相关性对比表
采样频率 数据 / Hz 编号
Ps3219 Ps3223 Ps3224 Ps3226 Ps222 Ps228 Ps2220 Ps2240 Ps1223 Ps1224 Ps1231 Ps1232 Ps1263
E x / Hy Error/ % Coh Rat E y/ H x Error/ % Coh Rat
R at = DE∥ DH⊥
10
100
1 000
33. 7 28. 0 91. 0 39. 2 10. 1 5. 0 23. 5 10. 3 21. 7 17. 1 15. 5 12. 6 30. 0
摘要 : 由于大地电磁场信号的脉冲性质 ,对一定长度的时间序列进行相关性分析时将会导致这种相 关性随着频率的增加几乎系统性地减小 ,因此采用相关分析识别大地电磁场信号存在固有的缺陷 . 利用相空间重构理论研究表明 ,大地电磁场信号的时间序列具有分形特征 ; 通过天然场源与大地耦 合关系 ,定义了一个新的识别大地电磁信号的新参数 “ : 分形比” . 实例分析结果表明 ,利用 “分形比” 识别信号比常用的相关性识别的方法更有效 ,估计的视电阻率曲线更为平滑 、 合理 ,曲线的形态也 更为真实 、 可靠 . 关键词 : 大地电磁场 ; 分形特征 ; 吸引子 ; 关联维 ; 分形比 中图分类号 : P631 文献标识码 :A 大地电磁测深法 ( M TS) 由于工作效率高 、 分辨 能力高 、 探测深度范围大等特点 ,在地球深部结构探 测、 油气资源 、 地热资源及工程地球物理等应用中 , 是深受广大地球物理工作者喜爱的一种地球物理方 法 . 然而由于众所周知的原因 ,电磁类方法极易受到 各类噪声的干扰 , 使得估计的视电阻率曲线或相位 曲线发生畸变 ,严重地影响了反演解译精度 . 因此在 数据处理中如何有效地识别出信号与噪声干扰是获 得高精度解译结果的重要环节之一 , 传统的相关性 分析 、 误差棒分析由于噪声复杂多样使得其有效性 极为有限 . 实事上地球作为一个开放的非线性发展 系统 ,在经历了多次非均匀 、 非线性的地质作用后 , 地下的岩性结构与物性均呈现出很强的非均匀性和 非线性 ,使得大地电磁场信号具有强烈的非线性特 性 ,因此运用非线性科学理论进行分析处理 ,提取观 测大地电磁场信号中的非线性特征并进行进一步的 分析处理 ,将有助于提高分析的可靠性与精度 . 近年 来非线性研究领域中的时间序列相空间重构理论受 到广泛关注 [ 124 ] . 本文利用相空间重构理论与 GP 算 法对天然大地电磁场信号时间序列进行分析 , 通过 分析不同频率尺度 、 不同场分量间的分形特征及其 变化规律 ,提出了一个新参数 — — — 分形维比来识别 电磁信号与噪声获得了比较好的效果 .
m- 1
1 000 100 10
3 . 23 5 . 46 0 . 96
8 10 3
4 . 12 5 . 62 1 . 07
9 11 3
4 . 31 5 . 55 1 . 13
9 11 3
3 . 16 5 . 34 0 . 93
8 10 3
R ij =
k =0
∑( y
i+k
- y j + k ) 1/ 2 .
, H = H0 e
- iωt
, 它们的耦合作用可通过麦克
斯韦方程来描述 : μH , × E = iω
div E = 0 ,
wenku.baidu.com
εE , × H = σE - iω div H = 0 . 式中 ,ε为介质的介电常数 ,σ 为电导率 ,ω 为角频 率 ,μ 是介质的导磁系数 , 为拉氏算子 . 因此相互正交的大地电磁场分量之间应具有相 同的变量数目 ( 即其时间序列的重构相空间吸引子 的分形维值应近似相等) , 这一数目的多少共同反映 了观测信号 ( 时间序列 ) 所含有的地下介质结构的 复杂程度 . 若有噪声干扰 , 那么将会引入新的系统变 量并影响观测信号的结构 , 从而导致信号的吸引子 分形维的变化 . 因此可以引入一个新参数 “分形维 比” 来分析观测信号质量的高低 . 定义 :分形维比 — — —相互正交的电磁场时间序 列分量间的吸引子的分形维值之比 , 即
分形分析与天然大地电磁场信号识别
Fractal analysis and recognition of natural magnetotelluric f ield signal
严家斌1 ,2 ,刘贵忠1
( 1. 西安交通大学 电子与信息工程学院 ,陕西 西安 710049 ; 2. 中南大学 信息物理工程学院 ,湖南 长沙 410083)
3 表示复共轭 , 显然若磁场分量中含有噪声将 使阻抗的估算偏低 , 电场分量中含有噪声将使阻抗 的估算偏高 . 如何在观测信号中判断其质量的高低 ? 从大地电磁场理论知道天然场源与大地耦合使得相 互正交的大地电磁场分量之间具有很高线性相关 性 , 若有噪声干扰 , 它们的相关性将随噪声强度的增 大而降低 , 因此通过计算时间序列的相关性可以判 定观测信号质量的高低 , 这也是目前普遍采用的方 法 . 但应看到当对一定长度的时间序列进行分析时 , 由于大地电磁信号的脉冲性质 , 使得随着频率的增 加这种相关性几乎系统性地减小 [ 8 ] . 显然这种通过 计算相关性来识别信号的方法虽然在目前得到广泛 使用 , 但仍然存在一些无法克服的缺点 . 分形理论表明决定混沌系统吸引子分形维的大 小可表征系统状态参量的数目多少 , 可通过 GP 算 法重建时间序列信号的相空间 , 从而可估算出观测 信号系统的吸引子分形维的大小 , 即确定系统状态 参量的数目 ; 同样地也可以通过观测系统吸引子分 形维的大小来推断系统的复杂程度 . 大地电磁场是 地球外部场源与大地耦合产生的一次与二次的总
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严家斌等 :分形分析与天然大地电磁场信号识别
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和 , 当考虑卡尼亚大地模型电磁场是谐振时 E =
E0 e
- iωt
线随频率的变化斜率大于 45° , 曲线不连续 ) , 如图 1 所示 , 其相关性分别为 0 . 94 , 0 . 88 ; “分形比”分别 为1 . 06 和 0 . 93 , 显然偏离了正常值 1 , 受到较强噪声 的干扰 .
收稿日期 : 2006212220 基金项目 : 国家自然科学基金 ( 编号 :60272072) 作者简介 : 严家斌 ( 19682) ,男 ,博士后 ,主要从事图像及地球物理信号分析与处理 、 小波分析及偏微分方程在图像和地球 物理信号分析中的应用 . cspyry @csu. edu. cn
1 大地电磁场时间序列分形特征
1. 1 大地电磁场时间序列相空间重建与 GP 算法
嵌入相空间理论表明从一个单变量的时间序重 构出一个 “等价的” 相空间 , 只需将在某些适当延迟 点上的观测值作为新维处理 , 就可确定某个多维状 态空间中的一个点 . 当相空间维数足够多时 ,重构的 相空间具有与实际的动力系统具有相同的几何性质 与信息性质 ,且不依赖于重构过程的具体细节 [ 5 ] . 设{ x n ( k ) : k = 1 , …, N } 是大地电磁场耦合系 统的一个观测时间序列 ( n 为任意电磁场分量如 E x , Ey , H x , H y , Hz , N 为时间序列长度 ) , 将其嵌入 到 m 维的欧氏空间 R m 中 , 就形成 N m 维的相空间
( 3)
2 大地电磁场的分形比与信号识别
2 . 1 相关系数与分形比
对所有的点对重复这一过程 , 并通过关联函数 计算其关联值 :
Cm ( R ) =
2
N
m
N m ( N m - 1) i , j = 0
∑H ( R
- R ij ) . ( 4)
其中 H 为 Heaviside 函数 : 0 x < 0 . 1 x ≤0 当 R 取充分小时, 关联积分函数逼近于
分布信息 , 也就是说相互正交的电磁场分量时间序 列吸引子的关联维反映了观测对象的结构信息 . 其 次不同频段间的关联维存在一定的差异 , 如中频段
' 1994-2007 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved.
为 1 000 ,100 ,10 Hz) 进行计算分析 , 并用幂指数准 则进行检验 . 结果表明大地电磁场时间序列存在一 定的无标度区间并具有如下分形结构特征 : 首先 E x 与 Hy , Ey 与 H x 分量间的关联维较为一 致 ( 表 1) , 相互之间的差异较小 , 而其他分量之间如
E x 和 Ey , H x 之间的差别则较大 ; 实事上 E x 与 H y , Ey 与 H x 分别反映了 TE 或 TM 模式下介质电性的
的关联维较小而高频与低频段的关联维则相对较 小 , 这表明不同频段中控制系统的变量数目是不同 的 . 这可能源自于二方面原因 :一是自仿射信号分形 维数与所选择的观测单位有关 [ 2 ] , 二是原于地下不 同深度上介质结构信息的反映 , 因为在大地电磁场 的观测中 , 不同频段间信号反映地下不同深度介质 的电性结构信息 , 频率越低 , 反映的深度越大 .
表 1 高频段不同分量间的关联维间的关系
频段 高 中 低 采样频率
/ Hz Dm Ex m∞ Dm Ey m∞ Dm Hx m∞ Dm Hy m∞
式 ( 1) 中 , t 为时间延迟 ; m 为重构相空间维数 , 它与 时间序列吸引子的关联维为有关 . 关联维数对吸引子的不均匀性反应敏感 , 相比 其他分形维数更能反映吸引子的动态 , 是刻画系统 分形特征的重要参数 . 吸引子的关联维通常可利用 G. P 算法计算 [ 6 ] , 即从上述重构相空间的 N m 个点 中任意选定一个参考点 , 计算其余各点到这个点的 距离 R :
或 〈 Ey H x 〉 = 3 〈 Hx H x 〉
3
Zyy = 0 Zyx =
3 〈 Ey E y 〉 3 〈 Hx E y 〉
增大而改变时 , 那么此时的 D ( m ) 即为系统的关联 维数 D m = lim D ( m ) , 相应的相空间维数 m 值为
m →∞
Zx x = 0
Zx x = 0
该吸引子的最小相空间维数 ( 饱和嵌入维 ) , 它表征 了系统自由度数目的多少 , 并与关联维数 D m 一起 分别给出了系统所包含基本变量数目的上限和下 限.
1 . 2 分形特征
对大地电磁场时间序列进行相空间重构并利用
GP 算法对多个测点的大地电磁场水平分量 E x , Ey ,
H x , H y , 时间序列的高 、 中、 低频段 ( 采样频率分别
在 Cagniard ( 1953) 均匀水平层状分布模型中 , 阻抗张量 Z 元素可以表示为 [ 7 ] : 3 3 〈 Ex H y 〉 〈 Ex E x 〉 Z xy = Z xy = 3 3 〈 Hy H y 〉 〈 Hy E x 〉
Zyy = 0 Zyx
ln C m ( R ) = ln C + D ( m ) ln R , 当 D ( m ) 不随 m 的
© 1994-2007 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved.
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西安石油大学学报 ( 自然科学版)
向量 Y ( i ) :
Yn ( m , t ) = ( x n , x n + t , …, x n + ( m - 1) t ) ; n = 1 , 2 , …, N m ; N m = N - ( m - 1) t . ( 1)
2007 年 5 月 第 22 卷第 3 期
西安石油大学学报 ( 自然科学版) Journal of Xi′ an Shiyou University ( Natural Science Edition)
May 2007 Vol. 22 No. 3
文章编号 :16732064X ( 2007) 0320019205
表 2 实测大地电磁场信号分形比与相关性对比表
采样频率 数据 / Hz 编号
Ps3219 Ps3223 Ps3224 Ps3226 Ps222 Ps228 Ps2220 Ps2240 Ps1223 Ps1224 Ps1231 Ps1232 Ps1263
E x / Hy Error/ % Coh Rat E y/ H x Error/ % Coh Rat
R at = DE∥ DH⊥
10
100
1 000
33. 7 28. 0 91. 0 39. 2 10. 1 5. 0 23. 5 10. 3 21. 7 17. 1 15. 5 12. 6 30. 0
摘要 : 由于大地电磁场信号的脉冲性质 ,对一定长度的时间序列进行相关性分析时将会导致这种相 关性随着频率的增加几乎系统性地减小 ,因此采用相关分析识别大地电磁场信号存在固有的缺陷 . 利用相空间重构理论研究表明 ,大地电磁场信号的时间序列具有分形特征 ; 通过天然场源与大地耦 合关系 ,定义了一个新的识别大地电磁信号的新参数 “ : 分形比” . 实例分析结果表明 ,利用 “分形比” 识别信号比常用的相关性识别的方法更有效 ,估计的视电阻率曲线更为平滑 、 合理 ,曲线的形态也 更为真实 、 可靠 . 关键词 : 大地电磁场 ; 分形特征 ; 吸引子 ; 关联维 ; 分形比 中图分类号 : P631 文献标识码 :A 大地电磁测深法 ( M TS) 由于工作效率高 、 分辨 能力高 、 探测深度范围大等特点 ,在地球深部结构探 测、 油气资源 、 地热资源及工程地球物理等应用中 , 是深受广大地球物理工作者喜爱的一种地球物理方 法 . 然而由于众所周知的原因 ,电磁类方法极易受到 各类噪声的干扰 , 使得估计的视电阻率曲线或相位 曲线发生畸变 ,严重地影响了反演解译精度 . 因此在 数据处理中如何有效地识别出信号与噪声干扰是获 得高精度解译结果的重要环节之一 , 传统的相关性 分析 、 误差棒分析由于噪声复杂多样使得其有效性 极为有限 . 实事上地球作为一个开放的非线性发展 系统 ,在经历了多次非均匀 、 非线性的地质作用后 , 地下的岩性结构与物性均呈现出很强的非均匀性和 非线性 ,使得大地电磁场信号具有强烈的非线性特 性 ,因此运用非线性科学理论进行分析处理 ,提取观 测大地电磁场信号中的非线性特征并进行进一步的 分析处理 ,将有助于提高分析的可靠性与精度 . 近年 来非线性研究领域中的时间序列相空间重构理论受 到广泛关注 [ 124 ] . 本文利用相空间重构理论与 GP 算 法对天然大地电磁场信号时间序列进行分析 , 通过 分析不同频率尺度 、 不同场分量间的分形特征及其 变化规律 ,提出了一个新参数 — — — 分形维比来识别 电磁信号与噪声获得了比较好的效果 .
m- 1
1 000 100 10
3 . 23 5 . 46 0 . 96
8 10 3
4 . 12 5 . 62 1 . 07
9 11 3
4 . 31 5 . 55 1 . 13
9 11 3
3 . 16 5 . 34 0 . 93
8 10 3
R ij =
k =0
∑( y
i+k
- y j + k ) 1/ 2 .
, H = H0 e
- iωt
, 它们的耦合作用可通过麦克
斯韦方程来描述 : μH , × E = iω
div E = 0 ,
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εE , × H = σE - iω div H = 0 . 式中 ,ε为介质的介电常数 ,σ 为电导率 ,ω 为角频 率 ,μ 是介质的导磁系数 , 为拉氏算子 . 因此相互正交的大地电磁场分量之间应具有相 同的变量数目 ( 即其时间序列的重构相空间吸引子 的分形维值应近似相等) , 这一数目的多少共同反映 了观测信号 ( 时间序列 ) 所含有的地下介质结构的 复杂程度 . 若有噪声干扰 , 那么将会引入新的系统变 量并影响观测信号的结构 , 从而导致信号的吸引子 分形维的变化 . 因此可以引入一个新参数 “分形维 比” 来分析观测信号质量的高低 . 定义 :分形维比 — — —相互正交的电磁场时间序 列分量间的吸引子的分形维值之比 , 即
分形分析与天然大地电磁场信号识别
Fractal analysis and recognition of natural magnetotelluric f ield signal
严家斌1 ,2 ,刘贵忠1
( 1. 西安交通大学 电子与信息工程学院 ,陕西 西安 710049 ; 2. 中南大学 信息物理工程学院 ,湖南 长沙 410083)
3 表示复共轭 , 显然若磁场分量中含有噪声将 使阻抗的估算偏低 , 电场分量中含有噪声将使阻抗 的估算偏高 . 如何在观测信号中判断其质量的高低 ? 从大地电磁场理论知道天然场源与大地耦合使得相 互正交的大地电磁场分量之间具有很高线性相关 性 , 若有噪声干扰 , 它们的相关性将随噪声强度的增 大而降低 , 因此通过计算时间序列的相关性可以判 定观测信号质量的高低 , 这也是目前普遍采用的方 法 . 但应看到当对一定长度的时间序列进行分析时 , 由于大地电磁信号的脉冲性质 , 使得随着频率的增 加这种相关性几乎系统性地减小 [ 8 ] . 显然这种通过 计算相关性来识别信号的方法虽然在目前得到广泛 使用 , 但仍然存在一些无法克服的缺点 . 分形理论表明决定混沌系统吸引子分形维的大 小可表征系统状态参量的数目多少 , 可通过 GP 算 法重建时间序列信号的相空间 , 从而可估算出观测 信号系统的吸引子分形维的大小 , 即确定系统状态 参量的数目 ; 同样地也可以通过观测系统吸引子分 形维的大小来推断系统的复杂程度 . 大地电磁场是 地球外部场源与大地耦合产生的一次与二次的总
http://www.cnki.net
严家斌等 :分形分析与天然大地电磁场信号识别
— 21
—
和 , 当考虑卡尼亚大地模型电磁场是谐振时 E =
E0 e
- iωt
线随频率的变化斜率大于 45° , 曲线不连续 ) , 如图 1 所示 , 其相关性分别为 0 . 94 , 0 . 88 ; “分形比”分别 为1 . 06 和 0 . 93 , 显然偏离了正常值 1 , 受到较强噪声 的干扰 .
收稿日期 : 2006212220 基金项目 : 国家自然科学基金 ( 编号 :60272072) 作者简介 : 严家斌 ( 19682) ,男 ,博士后 ,主要从事图像及地球物理信号分析与处理 、 小波分析及偏微分方程在图像和地球 物理信号分析中的应用 . cspyry @csu. edu. cn
1 大地电磁场时间序列分形特征
1. 1 大地电磁场时间序列相空间重建与 GP 算法
嵌入相空间理论表明从一个单变量的时间序重 构出一个 “等价的” 相空间 , 只需将在某些适当延迟 点上的观测值作为新维处理 , 就可确定某个多维状 态空间中的一个点 . 当相空间维数足够多时 ,重构的 相空间具有与实际的动力系统具有相同的几何性质 与信息性质 ,且不依赖于重构过程的具体细节 [ 5 ] . 设{ x n ( k ) : k = 1 , …, N } 是大地电磁场耦合系 统的一个观测时间序列 ( n 为任意电磁场分量如 E x , Ey , H x , H y , Hz , N 为时间序列长度 ) , 将其嵌入 到 m 维的欧氏空间 R m 中 , 就形成 N m 维的相空间
( 3)
2 大地电磁场的分形比与信号识别
2 . 1 相关系数与分形比
对所有的点对重复这一过程 , 并通过关联函数 计算其关联值 :
Cm ( R ) =
2
N
m
N m ( N m - 1) i , j = 0
∑H ( R
- R ij ) . ( 4)
其中 H 为 Heaviside 函数 : 0 x < 0 . 1 x ≤0 当 R 取充分小时, 关联积分函数逼近于
分布信息 , 也就是说相互正交的电磁场分量时间序 列吸引子的关联维反映了观测对象的结构信息 . 其 次不同频段间的关联维存在一定的差异 , 如中频段
' 1994-2007 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved.
为 1 000 ,100 ,10 Hz) 进行计算分析 , 并用幂指数准 则进行检验 . 结果表明大地电磁场时间序列存在一 定的无标度区间并具有如下分形结构特征 : 首先 E x 与 Hy , Ey 与 H x 分量间的关联维较为一 致 ( 表 1) , 相互之间的差异较小 , 而其他分量之间如
E x 和 Ey , H x 之间的差别则较大 ; 实事上 E x 与 H y , Ey 与 H x 分别反映了 TE 或 TM 模式下介质电性的
的关联维较小而高频与低频段的关联维则相对较 小 , 这表明不同频段中控制系统的变量数目是不同 的 . 这可能源自于二方面原因 :一是自仿射信号分形 维数与所选择的观测单位有关 [ 2 ] , 二是原于地下不 同深度上介质结构信息的反映 , 因为在大地电磁场 的观测中 , 不同频段间信号反映地下不同深度介质 的电性结构信息 , 频率越低 , 反映的深度越大 .
表 1 高频段不同分量间的关联维间的关系
频段 高 中 低 采样频率
/ Hz Dm Ex m∞ Dm Ey m∞ Dm Hx m∞ Dm Hy m∞
式 ( 1) 中 , t 为时间延迟 ; m 为重构相空间维数 , 它与 时间序列吸引子的关联维为有关 . 关联维数对吸引子的不均匀性反应敏感 , 相比 其他分形维数更能反映吸引子的动态 , 是刻画系统 分形特征的重要参数 . 吸引子的关联维通常可利用 G. P 算法计算 [ 6 ] , 即从上述重构相空间的 N m 个点 中任意选定一个参考点 , 计算其余各点到这个点的 距离 R :
或 〈 Ey H x 〉 = 3 〈 Hx H x 〉
3
Zyy = 0 Zyx =
3 〈 Ey E y 〉 3 〈 Hx E y 〉
增大而改变时 , 那么此时的 D ( m ) 即为系统的关联 维数 D m = lim D ( m ) , 相应的相空间维数 m 值为
m →∞
Zx x = 0
Zx x = 0
该吸引子的最小相空间维数 ( 饱和嵌入维 ) , 它表征 了系统自由度数目的多少 , 并与关联维数 D m 一起 分别给出了系统所包含基本变量数目的上限和下 限.
1 . 2 分形特征
对大地电磁场时间序列进行相空间重构并利用
GP 算法对多个测点的大地电磁场水平分量 E x , Ey ,
H x , H y , 时间序列的高 、 中、 低频段 ( 采样频率分别