人教版数学九年级上册《二次函数的图像和性质》第二课时PPT
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人教版九年级数学上册《二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质》(第2课时)课件
3．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，当x＝0时，y＝1；当x＝－1时，y ＝6；当x＝1时，y＝0.求这个二次函数的解析式．
解：由题意，得aa＋－bb＋＋cc＝＝06，，解得ab＝＝2－，3，
c＝1，
c＝1，
∴二次函数的解析式为y＝2x2－3x＋1
知识点2：利用“顶点式”求二次函数的解析式 4．已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式 为( D ) A．y＝2(x＋1)2＋8
B．y＝18(x＋1)2－8
C．y＝29(x－1)2＋8 D．y＝2(x－1)2－8
5．已知抛物线的顶点坐标为(4，－1)，与y轴交于点(0，3)，求 这条抛物线的解析式．
解：由题意，设二次函数的解析式为y＝a(x－4)2－1，把(0，3)代入 得3＝a(0－4)2－1，解得a＝14，∴y＝14(x－4)2－1 知识点3：利用“交点式”求二次函数的解析式 6．如图，抛物线的函数表达式是( D )
A．y＝12x2－x＋4 B．y＝－12x2－x＋4 C．y＝12x2＋x＋4 D．y＝－12x2＋x＋4
7．已知一个二次函数的图象与x轴的两个交点的坐标分别为(－1， 0)和(2，0)，与y轴的交点坐标为(0，－2)，求这个二次函数的解析 式．
解：由题意，设二次函数解析式为y＝a(x＋1)(x－2)，把(0，－2) 代入得－2＝－2a，∴a＝1，∴y＝(x＋1)(x－2)，即y＝x2－x－2
8．抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能 是( D )
A．y＝x2－x－2 B．y＝－12x2－12x＋2 C．y＝－12x2－12x＋1 D．y＝－x2＋x＋2
9．二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象的最高点是(－1，－3)，则b，c
26.2二次函数的图象与性质(第2课时)课件(共12张PPT)
为0 。
3.函数y=3x2+5与y=3x2的图象的不同之处是( C
)
A.对称轴
B.开口方向
C.顶点
D.形状
4.已知抛物线y=2x2-＜1上有两点(x1,y1 ) ,(x1,y1 ) 且x1＜x2＜0，则y1 y2(填“＜”或“＞”)
5.已知一个二次函数图像的顶点在y轴上，并 且离原点1个单位，图像经过点(–1,0)，求该 二次函数解析式。
1.5
1
0.5
y3x2 1
1
2
-0.5
-1
在同一直角坐标系中
画出函数 y 1 x2 y 1x2 2 3
5 4
y
3 y 1 x2 2
3
3 2
的图像
1
x
–5 –4 –3 –2 –1O –1
–2
y 1x2 2
–3
3
–4
–5
12345
y 1 x2 2 3
y 1 x2 3
试说出函数y＝ax2＋k（a、k是常数，a≠0）的图 象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并填写下 表．
1
-6 -4 -2
2
4
6
x y=3x2 y=3x2–1
… –1 –0.6
…3
1.08
…2
0.08
（2）二次函数 y=3x²－1 的图 象与二次函数
y=3x²的图象有 什么关系？
-2
-1
–0.3
0
0.3
0.27
0
0.27
–0.73 – 1 –0.73
y 3x2
2
0.6 1 … 1.08 3 … 0.08 2 …
谢谢观赏
You made my day!
人教版九年级上数学22.二次函数的图像和性质课件(21张)
6
5
坐标平面中描点(x,y),
4
再用平滑曲线顺次连
3 2
接各点,就得到y=x2的
1 -5 -4 -3 -2 -1 o 1
2
3
4
5
x
图像.
请画函数y=－x2的图像 解:(1) 列表 x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
(2) 描点 y=-x2 … -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 …
(3) 连线
当x=0时，y最小值=0
当x=0时，y最大值=0
在对称轴左侧递减 在对称轴右侧递增
在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递减
对称轴、顶点、最低点、最高点
y x2
这条抛物线关于 y轴对称，y轴就 是它的对称轴.
对称轴与抛物 线的交点叫做 抛物线的顶点.
y x2
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
都是轴对称图形,y轴是它们的对称轴.
抛物线与对称轴的交点(0,0)叫做抛物线的顶点.
抛物线y=x2的顶点(0,0)是它的最低点.
抛物线y=－x2的顶点(0,0)是它的最高点.
例2:在同一直角坐标系中，画出函数 y 1 x2, y 2x2
2
的图象． 解：分别填表，再画出它们的图象，如图
x ··· －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 ···
1、函数y=2x2的图象的开向口上 ,对称y轴轴 ,顶点(0是,0) ; 2、函数y=－3x2的图象的开口向下 ,对称轴y轴 ,顶点(是0,0) ;
3、已知抛物线y＝ax2经过点A(-2，-8).
(1) 求此抛物线的函数解析式 （2）写出这个二次函数图象的对称轴，顶点坐标及开口方向；
人教版九年级数学上册 22.1 二次函数的图象和性质课时 课件(共30张PPT)
对称轴：
x b 2a
课堂小结
二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与性质：
开口方向 顶点坐标 对称轴
a>0 向上
b 2a
,
4ac 4a
b2
x= b
2a
增减性
最值
a<0 向下
对接中考
关于二次函数 y=2x2+4x-1，下列说法正确的是( D )
A.图象与 y 轴的交点坐标为(0，1)
B.图象的对称轴在 y 轴的右侧
10
5
O
5
10 x
新知探究 知识点1
结合二次函数 y 1 x2 6x 21 的图象，说出其性质. 2
y
x=6
10 当 x<6 时，y 随 x 的增大而减小；
当 x>6 时，y 随 x 的增大而增大.
5
O
5
10 x
新知探究 跟踪训练
知识点2 我们如何用配方法将一般式 y=ax2+bx+c(a≠0) 化成顶点式 y=a(x-h)2+k？
知识点2
y
x b 2a
O
x
如果 a>0，
当
x<
b 2a
时，y
随
x
的增大而减小；
当
x>
b 2a
时，y
随
x
的增大而增大.
知识点2
y x b
2a
O
x
如果 a<0，
当 x< b 时，y 随 x 的增大而增大；
2a
当 x> b 时，y 随 x 的增大而减小.
2a
跟踪训练
已知二次函数 y=-2x2+4x+3，请回答下列问题： (1)试确定该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； (2)在平面直角坐标系中，画出二次函数 y=-2x2+4x+3 的图象，并指出抛物 线 y=-2x2+4x+3 是由抛物线y=-2x2 经过怎样的平移得到的； (3)对于二次函数 y=-2x2+4x+3，当 x 取何值时，y 随 x 的增大而减小？
《二次函数的图像和性质》PPT课件 人教版九年级数学
2
y=20x2+40x+20③
d=
学生以小组形式讨论，并由每组代表总结.
探究新知
【分析】认真观察以上出现的三个函数解析式，
分别说出哪些是常数、自变量和函数．
函数解析式
y=6x2
自变量
函数
x
y
n
d
x
y
这些函数自变量的最高次项都是二次的！
这些函数有什
么共同点？
探究新知
二次函数的定义
一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的
总结二次
函数概念
二次函数y=ax²+bx+c
（a，b，c为常数，a≠0）
确定二次函数解
析式及自变量的
取值范围
二次函数的判别:
①含未知数的代数式为整式；
②未知数最高次数为2；
③二次项系数不为0.
人教版 数学 九年级 上册
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.2
二次函数y=ax2的
图象和性质
导入新知
探究新知
方法点拨
运用定义法判断一个函数是否为二次函数的
步骤：
（1）将函数解析式右边整理为含自变量的代
数式，左边是函数（因变量）的形式；
（2）判断右边含自变量的代数式是否是整式；
（3）判断自变量的最高次数是否是2；
（4）判断二次项系数是否不等于0.
巩固练习
下列函数中,哪些是二次函数？
(1) y=3(x-1)²+1（是）
（1） 你们喜欢打篮球吗？
（2）你们知道投篮时，篮球运动的路线是什么
曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？
素养目标
y=20x2+40x+20③
d=
学生以小组形式讨论，并由每组代表总结.
探究新知
【分析】认真观察以上出现的三个函数解析式，
分别说出哪些是常数、自变量和函数．
函数解析式
y=6x2
自变量
函数
x
y
n
d
x
y
这些函数自变量的最高次项都是二次的！
这些函数有什
么共同点？
探究新知
二次函数的定义
一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的
总结二次
函数概念
二次函数y=ax²+bx+c
（a，b，c为常数，a≠0）
确定二次函数解
析式及自变量的
取值范围
二次函数的判别:
①含未知数的代数式为整式；
②未知数最高次数为2；
③二次项系数不为0.
人教版 数学 九年级 上册
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.2
二次函数y=ax2的
图象和性质
导入新知
探究新知
方法点拨
运用定义法判断一个函数是否为二次函数的
步骤：
（1）将函数解析式右边整理为含自变量的代
数式，左边是函数（因变量）的形式；
（2）判断右边含自变量的代数式是否是整式；
（3）判断自变量的最高次数是否是2；
（4）判断二次项系数是否不等于0.
巩固练习
下列函数中,哪些是二次函数？
(1) y=3(x-1)²+1（是）
（1） 你们喜欢打篮球吗？
（2）你们知道投篮时，篮球运动的路线是什么
曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？
素养目标
《二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质》二次函数PPT精品课件
和一次项同时提取公因数a，再进行配方会更简便.
3. 将二次函数y＝－
1
4
x2＋x＋4写成y＝a(x－h)2＋k的形
式，并写出其开口方向、顶点坐标和对称轴.
解：y＝－
x2＋x＋4＝－
(x2－4x＋4－4)＋4＝－
(x
－2)2＋5，
∴此抛物线的开口向下，顶点坐标是(2，5)，对称轴为直
线x＝2.
2－_______.
＝（x＋_______）
4
15
2. 配方：y＝2x2－4x＋1
＝2(x2－2x)＋1
＝2(x2－2x＋______________－______________)＋1
1
1
2－______________.
＝2(x－______________)
1
1
课堂导练
【例1】利用配方法把抛物线y＝x2－6x－3化为y＝a（x－h）2
形式，并写出其开口方向、顶点坐标和对称轴.
解：y＝x2－8x＋16－16＝(x－4)2－16，
∴该抛物线开口向上，顶点坐标为（4，－16），对称轴
为直线x＝4.
【例2】用配方法把二次函数y＝x2－x＋2化成顶点式．
解：y＝x2－x＋2＝x2－x＋
即y＝ −
2
＋
－
＋2＝ −
新知探究
课堂小结
这节课你收获了什么？ 还有什么疑惑？
新知探究
新知探究
新知探究
2
＋
，
．
思路点拨：利用一次项系数的一半的平方来凑完全平方式
3. 将二次函数y＝－
1
4
x2＋x＋4写成y＝a(x－h)2＋k的形
式，并写出其开口方向、顶点坐标和对称轴.
解：y＝－
x2＋x＋4＝－
(x2－4x＋4－4)＋4＝－
(x
－2)2＋5，
∴此抛物线的开口向下，顶点坐标是(2，5)，对称轴为直
线x＝2.
2－_______.
＝（x＋_______）
4
15
2. 配方：y＝2x2－4x＋1
＝2(x2－2x)＋1
＝2(x2－2x＋______________－______________)＋1
1
1
2－______________.
＝2(x－______________)
1
1
课堂导练
【例1】利用配方法把抛物线y＝x2－6x－3化为y＝a（x－h）2
形式，并写出其开口方向、顶点坐标和对称轴.
解：y＝x2－8x＋16－16＝(x－4)2－16，
∴该抛物线开口向上，顶点坐标为（4，－16），对称轴
为直线x＝4.
【例2】用配方法把二次函数y＝x2－x＋2化成顶点式．
解：y＝x2－x＋2＝x2－x＋
即y＝ −
2
＋
－
＋2＝ −
新知探究
课堂小结
这节课你收获了什么？ 还有什么疑惑？
新知探究
新知探究
新知探究
2
＋
，
．
思路点拨：利用一次项系数的一半的平方来凑完全平方式
人教版九年级数学上册22.2：二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质课件 (共46张PPT)
例1：指出抛物线:y x2 5x 4
的开口方向，求出它的对称轴、顶点坐 标、与y轴的交点坐标、与x轴的交点坐 标。并画出草图。
对于y=ax2+bx+c我们可以确定它的开口 方向，求出它的对称轴、顶点坐标、与y 轴的交点坐标、与x轴的交点坐标（有交 点时），这样就可以画出它的大致图象。
方法归纳
② c=0 ＜＝＞图象过原点；
③ c＜0 ＜＝＞图象与y轴交点在x轴下方。
⑷顶点坐标是（ b ， 4ac b2 ）。
2a
4a
（5）二次函数有最大或最小值由a决定。
当x=－ —2ba 时,y有最大(最小)
值 y= 4ac－b2
______________________
4a
例2、已知函数y = ax2 +bx +c的图象如 下图所示，x= 1 为该图象的对称轴，根
的平方
整理:前三项化为平方形 式,后两项合并同类项
a x
b
2
4ac
b2
.
化简:去掉中括号
2a 4a
函数y=ax²+bx+c的对称轴、 顶点坐标是什么？
y ax2 bx c的对称轴是:x b 2a
顶点坐标是:( b , 4ac b2 ) 2a 4a
1. 说出下列函数的开口方向、对称轴、顶 点坐标：
D. 4ac-b2 >0-1 o 1 x 4a
5.若把抛物线y = x2 - 2x+1向右平移2个单位,再向
下平移3个单位,得抛物线y=x2+bx+c,则（ B ）
A.b=2 c= 6
B.b=-6 , c=6
C.b=-8 c= 6
D.b=-8 , c=18
人教版九年级初中数学上册第二十二章二次函数-二次函数的图像和性质PPT课件全文
你还记得如何画出一次函数的图像吗？
描点法画函数图像的一般步骤如下：
描点法
第一步，列表—表中给出一些自变量的值及其对应的函数值；
第二步，描点—在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，
描出表格中数值对应的各点；
第三步，连线—按照横坐标由小到大顺序，把所描出的各点用平滑的曲线连接起来。
抛物线y=ax2的图象性质:
（1）抛物线y=ax2的对称轴是y轴，顶点是原点.
（2）当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点;
当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点.
（3）|a|越大，抛物线的开口越小.
课堂练习
1.填表：
抛物线
y = ax2（a>0）
y = ax2（a＜0）
顶点坐标
你能通过这种方法画出二次函数的图像吗？
新知探究
二次函数=^2 的图像
通过描点法画出 = 的图像？
【列表】
在 = 中，自变量可以取任意实数，列表取几组对应值：
…
-2
-1
0
1
2
…
…
4
1
0
1
2
…
新知探究
二次函数=^2 的图像
y
通过描点法画出 = 的图像？
9
【描点】
事实上，二次函数的图象都是抛物线，它们的开口或者
3
向上或者向下．一般地，二次函数 y =ax2+bx +c（a≠0）
的图象叫做抛物线y=ax2+bx+c.
-3
O
3
x
新知探究
二次函数=^2 的性质
观察 = 2 的图像，它有对称轴在哪里？图像与y轴的交点在哪里？
描点法画函数图像的一般步骤如下：
描点法
第一步，列表—表中给出一些自变量的值及其对应的函数值；
第二步，描点—在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，
描出表格中数值对应的各点；
第三步，连线—按照横坐标由小到大顺序，把所描出的各点用平滑的曲线连接起来。
抛物线y=ax2的图象性质:
（1）抛物线y=ax2的对称轴是y轴，顶点是原点.
（2）当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点;
当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点.
（3）|a|越大，抛物线的开口越小.
课堂练习
1.填表：
抛物线
y = ax2（a>0）
y = ax2（a＜0）
顶点坐标
你能通过这种方法画出二次函数的图像吗？
新知探究
二次函数=^2 的图像
通过描点法画出 = 的图像？
【列表】
在 = 中，自变量可以取任意实数，列表取几组对应值：
…
-2
-1
0
1
2
…
…
4
1
0
1
2
…
新知探究
二次函数=^2 的图像
y
通过描点法画出 = 的图像？
9
【描点】
事实上，二次函数的图象都是抛物线，它们的开口或者
3
向上或者向下．一般地，二次函数 y =ax2+bx +c（a≠0）
的图象叫做抛物线y=ax2+bx+c.
-3
O
3
x
新知探究
二次函数=^2 的性质
观察 = 2 的图像，它有对称轴在哪里？图像与y轴的交点在哪里？
人教版九年级上册2二次函数的图象和性质课件
现在你知道怎样确定二次函数y=3x2-6x+5 =3(x-1)2+2的基本图象了吗？
想一想：
那么二次函数y= 3(x+1)2与y= 3x2的 图象又有怎样的联系呢？可以通过 平移而得到吗？
12 y
11
10
y=3x2
9
8
7
6
5
y=3(x+1)2
4
3
2
1
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x
一般地，平移二次函数y= ax2的图象便可以得到 二次函数y= a(x-h)2+k的图象.因此，二次函数 y= a(x-h)2+k的图象是一条抛物线，它的开口方向、 对称轴和顶点坐标与a，h，k的值有关。填写下表：
y= a(x-h)2+k
a >0 a <0
开口方 向
向上 向下
对称轴 顶点坐标
直线x=h (h,k) 直线x=h (h,k)
-2 -1 0 1
12 3 0 3 27 12 3 0
234
12 27 48 3 12 27
12 y 11 10 y=3x2
9 8 7 6 5
4 3 2 1 -4 -3 -2 -1 0 1 2
y=3(x-1)2 34x
y=3x y= 2先向右平移1个单位长度 3(x-1)2
再向上平移2个单位长度 y= 3(x-1)2+2
练一练
指出下列二次函数图象的开口方向、对称轴 和顶点坐标 。
（1） y=2(x-3)2- 0.5
（2） y=-0.2(x+1)2- 5
你从今天的学习中收获了什么？ 你会作二次函数的图象吗？
议一议
（1）二次函数y= -3(x-2)2+4的图象与二次函数y= -3x2 的图象有什么关系？它是轴对称图形吗？它的对称
想一想：
那么二次函数y= 3(x+1)2与y= 3x2的 图象又有怎样的联系呢？可以通过 平移而得到吗？
12 y
11
10
y=3x2
9
8
7
6
5
y=3(x+1)2
4
3
2
1
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x
一般地，平移二次函数y= ax2的图象便可以得到 二次函数y= a(x-h)2+k的图象.因此，二次函数 y= a(x-h)2+k的图象是一条抛物线，它的开口方向、 对称轴和顶点坐标与a，h，k的值有关。填写下表：
y= a(x-h)2+k
a >0 a <0
开口方 向
向上 向下
对称轴 顶点坐标
直线x=h (h,k) 直线x=h (h,k)
-2 -1 0 1
12 3 0 3 27 12 3 0
234
12 27 48 3 12 27
12 y 11 10 y=3x2
9 8 7 6 5
4 3 2 1 -4 -3 -2 -1 0 1 2
y=3(x-1)2 34x
y=3x y= 2先向右平移1个单位长度 3(x-1)2
再向上平移2个单位长度 y= 3(x-1)2+2
练一练
指出下列二次函数图象的开口方向、对称轴 和顶点坐标 。
（1） y=2(x-3)2- 0.5
（2） y=-0.2(x+1)2- 5
你从今天的学习中收获了什么？ 你会作二次函数的图象吗？
议一议
（1）二次函数y= -3(x-2)2+4的图象与二次函数y= -3x2 的图象有什么关系？它是轴对称图形吗？它的对称
人教版九年级上册22.二次函数的图像与性质课件(共129张)
二次函数的图象都是抛物线。
一般地，二次函数 y = ax2 + bx + c（a≠0）的图象叫做抛物线y = ax2 + bx + c
思考：这个二次函数图象有什么特征？
（1）形状是开口向上的抛物线
9
6
（2）图象关于y轴对称
3
（3）有最低点，没有最高点
－3
3
y轴是抛物线y = x 2 的对称轴，抛物线y = x 2 与它的对称 轴的交点（0,0）叫做抛物线y = x2 的顶点，它是抛物线y = x 2 的最低点．
联系(1)等式一边都是ax2＋bx＋c且 a ≠0 (2)方程ax2＋bx＋c=0可以看成是 函数y= ax2＋bx＋c中y=0时得到的. 区分:前者是函数.后者是方程.等式另一 边前者是y,后者是0
知识运用
例1:下列函数中，哪些是二次函数？
(1)y=3x-1 (不是 )
(2)y=3x2 （ 是 )
画形如y=ax2的函数图像： 1、函数y=x2的图像；视察y=x2的表达式,选择适当x值,并计算 相应的y值,完成下表：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
描点,连线 y 10
y=x2
8
6
4
2
?
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x -2
…二次函数的图像和性质…
• y=ax2的函数图像 • y=ax2 +k 的函数图像 • y=a(x-h)2的函数图像 • y=a(x-h)2 +k 的函数图像 • y=ax2+bx+c 的函数图像
…二次函数的图像和性质…
• y=ax2的函数图像 • y=ax2 +k 的函数图像 • y=a(x-h)2的函数图像 • y=a(x-h)2 +k 的函数图像 • y=ax2+bx+c 的函数图像
一般地，二次函数 y = ax2 + bx + c（a≠0）的图象叫做抛物线y = ax2 + bx + c
思考：这个二次函数图象有什么特征？
（1）形状是开口向上的抛物线
9
6
（2）图象关于y轴对称
3
（3）有最低点，没有最高点
－3
3
y轴是抛物线y = x 2 的对称轴，抛物线y = x 2 与它的对称 轴的交点（0,0）叫做抛物线y = x2 的顶点，它是抛物线y = x 2 的最低点．
联系(1)等式一边都是ax2＋bx＋c且 a ≠0 (2)方程ax2＋bx＋c=0可以看成是 函数y= ax2＋bx＋c中y=0时得到的. 区分:前者是函数.后者是方程.等式另一 边前者是y,后者是0
知识运用
例1:下列函数中，哪些是二次函数？
(1)y=3x-1 (不是 )
(2)y=3x2 （ 是 )
画形如y=ax2的函数图像： 1、函数y=x2的图像；视察y=x2的表达式,选择适当x值,并计算 相应的y值,完成下表：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
描点,连线 y 10
y=x2
8
6
4
2
?
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x -2
…二次函数的图像和性质…
• y=ax2的函数图像 • y=ax2 +k 的函数图像 • y=a(x-h)2的函数图像 • y=a(x-h)2 +k 的函数图像 • y=ax2+bx+c 的函数图像
…二次函数的图像和性质…
• y=ax2的函数图像 • y=ax2 +k 的函数图像 • y=a(x-h)2的函数图像 • y=a(x-h)2 +k 的函数图像 • y=ax2+bx+c 的函数图像
九年级数学上册教学课件《二次函数的图象和性质(第2课时)》
y2＜y3＜y1
________________
．
解：∵抛物线y＝3(x＋ 2 )2的对称轴为x＝－ 2，a＝3＞0，开口向上，
∴当x＜－ 2时，即在对称轴的左侧，y随x的增大而减小；当x＞－ 2时，
即在对称轴的右侧，y随x的增大而增大．
∵点A的坐标为(－3 2，y1)，
∴点A在抛物线上关于x=- 2的对称点A′的坐标为( 2，y1)．
y随x的增大而增大.
当x＞h时，y随x的增大
而减小；x＜h时，y随x
的增大而增大.
探究新知
22.1 二次函数的图像和性质
素养考点 二次函数y = a（x-h）2 的图象和性质
例 若抛物线y＝3(x＋ 2 )2的图象上的三个点，A(－3 2 ，y1)，
B(－1，y2)，C(0，y3)，则y1，y2，y3的大小关系为
22.1 二次函数的图像和性质
能力提升题
在同一坐标系中，画出函数y＝2x2 与y＝2(x-2)2 的图
象，分别指出两个图象之间的相互关系．
y
解：图象如右图.
y = 2x2
函数y=2(x-2)2的图象由函数y=2x2的
图象向右平移2个单位得到.
x
O
2
课堂检测
22.1 二次函数的图像和性质
拓广探索题
y 1 x2
式可表示为y＝a(x－3)2，
把x＝－1，y＝4代入，得4＝a(－1－3)2，a =
因此平移后二次函数关系式为y＝
1
(x－3)2.
4
1
，
4
方法总结：根据抛物线左右平移的规律，向右平移3个单位后，a不变，
括号内应“减去3”；若向左平移3个单位，括号二次函数的图像和性质
________________
．
解：∵抛物线y＝3(x＋ 2 )2的对称轴为x＝－ 2，a＝3＞0，开口向上，
∴当x＜－ 2时，即在对称轴的左侧，y随x的增大而减小；当x＞－ 2时，
即在对称轴的右侧，y随x的增大而增大．
∵点A的坐标为(－3 2，y1)，
∴点A在抛物线上关于x=- 2的对称点A′的坐标为( 2，y1)．
y随x的增大而增大.
当x＞h时，y随x的增大
而减小；x＜h时，y随x
的增大而增大.
探究新知
22.1 二次函数的图像和性质
素养考点 二次函数y = a（x-h）2 的图象和性质
例 若抛物线y＝3(x＋ 2 )2的图象上的三个点，A(－3 2 ，y1)，
B(－1，y2)，C(0，y3)，则y1，y2，y3的大小关系为
22.1 二次函数的图像和性质
能力提升题
在同一坐标系中，画出函数y＝2x2 与y＝2(x-2)2 的图
象，分别指出两个图象之间的相互关系．
y
解：图象如右图.
y = 2x2
函数y=2(x-2)2的图象由函数y=2x2的
图象向右平移2个单位得到.
x
O
2
课堂检测
22.1 二次函数的图像和性质
拓广探索题
y 1 x2
式可表示为y＝a(x－3)2，
把x＝－1，y＝4代入，得4＝a(－1－3)2，a =
因此平移后二次函数关系式为y＝
1
(x－3)2.
4
1
，
4
方法总结：根据抛物线左右平移的规律，向右平移3个单位后，a不变，
括号内应“减去3”；若向左平移3个单位，括号二次函数的图像和性质
人教版九年级数学上册课件：22.1二次函数的图像和性质(第二课时)
（填“上下”或“左右”）
练一练
抛物线y 2(x 3)2 的开口_向_上___；顶点坐
标为_（_-3_，__0 _）__；对称轴是__x_=_- 3___； 当x＝－3时，y有最__小___值是_y_=_0__.
归纳小结
1、填表
抛物线
上
轴对称
h0 h
00 0
左右
2、学习反思： ______________________________ ______________________________ _______.
2
的开口 向下 ，对称轴是经过（ 1 ，0 ）且与 x 轴垂
直的直线，我们把它记作x=－1，顶点是（ 1 ，0 ）.
练一练
在同一直角坐标系中，画出下列二次函数的图象
y 1 x2 , y 1 (x 2)2
2
2
, y 1 (x 2)2 2
观察三条抛物线的位置关系，并分别指出他们的开口 方向、对称轴和顶点.
• 练一练
y 1 x2 开口向上、对称轴y轴、顶点坐标（0,0）
y
1
(
2
x
2)2
开口向上、对称轴x=-2、顶点坐标（-2,0）
y 21 (x 2)2 开口向上、对称轴x=2、顶点坐标（2,0）
二次函数 y a(x h)2 的性质；
思考 抛物线 y 1 x2与抛物线 y 1 x 12，
有什么关系？
分析：1、抛物线 y a(x h)2 特点：
（1）当 x＞0时，开口向 上 ； 当 x<0时，开口向 下 ；
（2）对称轴是直线
x=h ；
（3）顶点坐标是
(h,0)
.
分析：
2、抛物线 y a(x h)2与 y ax2 形状相同， 位置不同，y a(x h)2是由 y ax2 平移得到的.
练一练
抛物线y 2(x 3)2 的开口_向_上___；顶点坐
标为_（_-3_，__0 _）__；对称轴是__x_=_- 3___； 当x＝－3时，y有最__小___值是_y_=_0__.
归纳小结
1、填表
抛物线
上
轴对称
h0 h
00 0
左右
2、学习反思： ______________________________ ______________________________ _______.
2
的开口 向下 ，对称轴是经过（ 1 ，0 ）且与 x 轴垂
直的直线，我们把它记作x=－1，顶点是（ 1 ，0 ）.
练一练
在同一直角坐标系中，画出下列二次函数的图象
y 1 x2 , y 1 (x 2)2
2
2
, y 1 (x 2)2 2
观察三条抛物线的位置关系，并分别指出他们的开口 方向、对称轴和顶点.
• 练一练
y 1 x2 开口向上、对称轴y轴、顶点坐标（0,0）
y
1
(
2
x
2)2
开口向上、对称轴x=-2、顶点坐标（-2,0）
y 21 (x 2)2 开口向上、对称轴x=2、顶点坐标（2,0）
二次函数 y a(x h)2 的性质；
思考 抛物线 y 1 x2与抛物线 y 1 x 12，
有什么关系？
分析：1、抛物线 y a(x h)2 特点：
（1）当 x＞0时，开口向 上 ； 当 x<0时，开口向 下 ；
（2）对称轴是直线
x=h ；
（3）顶点坐标是
(h,0)
.
分析：
2、抛物线 y a(x h)2与 y ax2 形状相同， 位置不同，y a(x h)2是由 y ax2 平移得到的.
二次函数的图象和性质(2) 课件-2020年秋人教版九年级数学上册
顶点
a0 向上
y a x2 k
y轴 （ 0 ，k ）
a0 向下
二、探究新知
问题 在同一直角坐标系中，画出二次函数 y 1 x 12 ， y 1 x 12
2
2
的图象，并分别指出它们的开口方向，对称轴和顶点.
y
分析：先分别列表：
x
… 4 3 2 1 0 1 2 …
y 1 x 12 … 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 …
（4）开口向下，对称轴是 x 2 ，顶点是（2，6）.
五、课堂小结
y a x2 k
y a x2
y a x h2 k
y a x h2
五、课堂小结
二次函数
y a x h2 k
描点法 图象 观察 图象的特征
观察
开口方向 对称轴 顶点
性质
在对称轴两侧 y 随 x 的增大 如何变化
2
4 2 O 2
24
x
然后描点画图，得 y 1 x 12 1 的图象.
2
4
6 y 1 x 12 1
2
三、例题解析
例 2 画出函数 y 1 x 12 1 的图象，并指出它的开口方向，对称轴
2
和顶点.怎样移动抛物线 y 1 x2 就可以得到抛物线 y 1 x 12 1？
2
2
2
2
的图象，并分别指出它们的开口方向，对称轴和顶点.
y
x 1 x 1
抛物线 开口方向 对称轴 顶点
y 1 x 12 向下 x 1 （1，0）
2
y 1 x 12
2
向下
x 1 （1，0）
4 2 O
2 4
y 1 x 12
2
24
a0 向上
y a x2 k
y轴 （ 0 ，k ）
a0 向下
二、探究新知
问题 在同一直角坐标系中，画出二次函数 y 1 x 12 ， y 1 x 12
2
2
的图象，并分别指出它们的开口方向，对称轴和顶点.
y
分析：先分别列表：
x
… 4 3 2 1 0 1 2 …
y 1 x 12 … 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 …
（4）开口向下，对称轴是 x 2 ，顶点是（2，6）.
五、课堂小结
y a x2 k
y a x2
y a x h2 k
y a x h2
五、课堂小结
二次函数
y a x h2 k
描点法 图象 观察 图象的特征
观察
开口方向 对称轴 顶点
性质
在对称轴两侧 y 随 x 的增大 如何变化
2
4 2 O 2
24
x
然后描点画图，得 y 1 x 12 1 的图象.
2
4
6 y 1 x 12 1
2
三、例题解析
例 2 画出函数 y 1 x 12 1 的图象，并指出它的开口方向，对称轴
2
和顶点.怎样移动抛物线 y 1 x2 就可以得到抛物线 y 1 x 12 1？
2
2
2
2
的图象，并分别指出它们的开口方向，对称轴和顶点.
y
x 1 x 1
抛物线 开口方向 对称轴 顶点
y 1 x 12 向下 x 1 （1，0）
2
y 1 x 12
2
向下
x 1 （1，0）
4 2 O
2 4
y 1 x 12
2
24
九年级数学上册《二次函数的图象和性质2》课件
归纳小结 ☞
2、把抛物线 y ax2 平移 k （k＞0个单位长 度，就得到抛物线 y ax2 k ；
3、二次函数 y ax2 k 与 y ax2形 状 相同 .
我相信，只要大家勤 于思考，勇于探索，一定 会获得很多的发现，增长 更多的见识，谢谢大家， 再见！
感谢下载
THANKYOU!
24
知识点一 二次函数 y ax 2 k 的图像和性质
(1)抛物线 y 2x2 1 ，y 2x2 1 的开口方向、
对称轴和顶点各是什么？
y = 2x2＋1 10 y = 2x2－1 8
二次函数 开口方向 顶点坐标 对称轴
6 4 2
－4 －2 －2
24
y 2x2 向上 (0,0) y轴
y 2x2 1 向上 (0,1) y轴
4
2
y ax2 k
－4 －2 －2
24
练一练
1、抛物线 y 2x2 向下平移4个单位，
就得到抛物线 y 2x2 4 .
2、说出抛物线 y 1 x2 k 的开口方向，对称轴和
2
顶点，它与抛物线 y 1 x2 的关系？
2
答：抛物线 y 1 x2 k 的开口方向向上，对称轴是
2
1
( Ｙ )轴,顶点是 （( 0,k）)。它是由抛物线
练一练
观察三条抛物线的位置关系，
并分别指出它们的开口方向、
y 1 x2 2 2
y 1 x2 2
对称轴和顶点。
y 1 x2 2 2
24
知识点二 函数 y ax2 与 y ax2 k 的联系
1、把抛物线
y 1 x 2向 上
2
平移 ２
个单位，就得到抛线 y 1 x2 2；
相关主题
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2．类比探究二次函数 y = ax 2 的图象和性质
归纳： 如果 a＞0，当 x＜0 时，y 随 x 的增大而减小， 当x＞0 时， 随 x 的增大而增大； 如果 a＜0，当 x＜0 时，y 随 x 的增大而增大， 当x＞0 时，y 随 x 的增大而减小．
3．巩固练习
说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点：
问题4 类比 a＞0 时的研究过程，画图研究当 a＜0 时，二 次函数 y = ax 2 的图象特征．
2．类比探究二次函数 y = ax 2 的图象和性质
问题5 你能说出二次函数 y = ax 2 的图象特征和性质吗？
2．类比探究二次函数 y = ax 2 的图象和性质
归纳： 一般地， 抛物线 y = ax 2 的对称轴是 y 轴， 顶点是 原点． 当 a＞0 时， 抛物线开口向上，顶点是抛物线的最 低点； 当 a＜0 时， 抛物线开口向下，顶点是抛物线的最 高点． 对于抛物线 y = ax 2 ，｜a｜越大，抛物线的开口越 小．
• 学习重点： 观察图象，得出二次函数 y = ax 2 的图象特征和性质．
1．复习研究函数的一般方法
问题1 你认为我们应该如何研究函数的图象和性质？
2．类比探究二次函数 y = ax 2 的图象和性质
问题2 类比一次函数的研究内容和研究方法，画出二次函 数 y = x 2 的图象，你能说说它的图象特征和性质吗？
（1） y 3x2； 开口向上、y 轴、原点．
（2） y 3x2； 开口向下、y 轴、原点． （3） y 1 x2 ； 开口向上、y 轴、原点．
3 （4） y 1 x2．开口向下、y 轴、原点．
3
3．巩固练习
抛物线 y 2 x2，其对称轴左侧，y 随 x 的增大而 3
课件说明
• 本节课由最特殊最简单的二次函数出发， 通过类比一次函数的图象和性质的研究内 容和研究方法，从特殊到一般地对二次函 数的图象和性质进行探究，继续加深对函 数的一般性认识．
课件说明
• 学习目标： 1．会用描点法画出形如 y = ax 2 的二次函数图象，了 解抛物线的有关概念； 2．通过观察图象，能说出二次函数 y = ax 2 的图象特 征和性质； 3．在类比探究二次函数 y = ax 2 的图象和性质的过程 中，进一步体会研究函数图象和性质的基本方法 和数形结合的思想．
2．类比探究二次函数 y = ax 2 的图象和性质
问题3 在同一直角坐标系中，画出函数 y 1 x2，y 2x2
2
的图象，这两个函数的图象与函数 y = x 2 的图象相比， 有什么共同点？有什么不同点？当 a＞0 时，二次函数 y = ax 2 的图象有什么特点？
2．类比探究二次函数 y = ax 2 的图象和性质
增大 ；在对称轴的右侧，y 随 x 的增大而 减小 ．
4．小结
（1）本节课学了哪些主要内容？ （2）本节课是如何研究二次函数 y = ax 2 的图象和 性质的？
5．布置作业
教科书习题 22.1 第 3，4 题．