2017清华大学暑期学校学业水平测试模拟题-试卷.pdf

）
A. 等边三角形 B ．直角三角形 C．与原三角形 A0B0C0 相似 D．以上都不对
8. 三角形 ABC被一条直线分成两部分，若这两部分的周长和面积均相等，则这条直线过三角形
（）
A. 外心 B．垂心
C．重心
D．内心
二、填空题（共 8 小题，每小题 8 分，共 64 分）
9. 外接球的半径为 1的正四面体的棱长为
D．双曲线的一支
5. 已知 , , 满足： cos cos cos sin sin sin 0, 则（ ）
A. sin 2 sin 2 sin 2 1 B. cos3 cos3 cos3 0
C． cos2 cos2 cos2 0 D． sin 3 sin 3 sin 3 0
6．数列 an 共有 11 项， a1 0 ， a11 4 ，且 ak 1 ak 1， k 1, 2,3, ,10. 满足这些条件的不同的
．
13. 圆内接四边形 ABCD 中， AB 136, BC 80,CD 150, DA 102则它的外接圆直径为
．
14．54 张扑克牌，将第 1 张扔掉，第 2 张放到最后，第 3 张扔掉，第 4 张放到最后，依次下去，最
后手上只剩下一张牌，则这张牌在原来的牌中从上面数的第
张．
15. 已知函数 f x x2 ax b 与 y 轴交于点 A , 与 x 轴交于点 B,C ．若 ABC 外心在直线 y x 上，
最大值和最小值．
19．（ 6+10+10=26分）北京采用摇号买车的方式，有 20 万人摇号，每个月有 2 万个名额．
（ 1） 如果每个月摇上的退出摇号，没有摇上的继续进入下月摇号，求每个人摇上需要的平均时间；
（ 2） 如果每个月都有 2 万人补充进摇号队伍，则平均每个人摇上需要多长时间； （ 3） 如果交管所可以控制摇上号的人的比例，使其成为每个季度第一个月摇上的概率为
a 1）．若 f (x) 恰有两个互不相同的不动点，求 a 的取值范围．
18．（ 8+14=22分）已知椭圆的两个焦点 F1 : ( 1,0) 、 F2 (1,0) ，且与直线 y x 3 相切；
（ 1） 求椭圆的方程；
（ 2） 过焦点 F1作相互垂直的两条直线 l 1, l2 ，分别交椭圆于 P,Q 及 M , N , 求四边形 PMQN 的面积的
一、单项选择题：（共 8 小题，每小题 6 分，共 48 分）
1．若 a b 2 ，则 ( a2 b2)2 8(a2 b2) 的值是（ ）
A．-16
B．0
C．6
2．方程 x4 y4 4x2 4y2 0表示的图像是（
D．8 ）
A．两条平行直线 C．两条平行直线与一个圆
B．两条相交直线 D．两条相交直线与一个圆
则a b ．
16. 有四副动物拼图，每副一种颜色且各不相同，每副都固定由同一动物的 4 个不同部分（如头、
身、尾、腿）组成．现在拼图被打乱后重新拼成 4 副完整的拼图，但每一副都不是完全同色的，则
符合上述条件的不同的打乱方式种数是
．
三、解答题（共 88 分）：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
17．（ 16 分）设 f ( x) 为实函数，满足 f ( c) c 的实数 c 称为 f ( x) 的不动点，设 f ( x) ax （ a 0 且
3. 设 C1, C2 是平面上两个彼此外切且半径不相等的定圆，动圆 C3 与 C1, C2 均外切，则动圆 C3 的圆心
轨迹为（ ）
A．直线 4．已知 sin 2(
A.
n n
1 1
B．圆或椭圆 ) nsin 2 ，则 tan(
tan(
C．抛物线
)（
）
)
n B. n 1
n C. n 1
D.
n n
1 1
．
10．设 x (0, )，则函数 f (x) 1 cosx 1 cos x 的取值范围是
．
11. 已知曲线 C 的极坐标方程
2sin ，设直线 l 的参数方程
x 3t 5 y 4t
5
2 （ t 为参数）， l 与 x 轴的
交点为 M ， N 是曲线 C 上一动点，则 MN 的最大值是
．
12. 一个梯形上下底的长度分别为 1 和 4 ，又两条对角线长为 3 和 4 ，则梯形的面积是
数列个数为（
）
A．100 B. 120 C. 140 D. 160
7. 设有三角形 A0 B0C0 ，做它的内切圆，三个切点确定一个新的三角形 A1B1C1 ，再做三角形 A1B1C1 的
内切圆，三个切点确定三角形 A2 B2C2 ，以此类推，一次一次不停地做下去，可以得到一个三角形的
序列，它们的尺寸越来越小，则最终这些三角形的极限情况是（
个月为 1 ，第三个月为
1 ，则平均每个人摇上需要多长时间．
9
8
1 ，第二
10
20．（ 12+12=24 分）设 f ( x, y)
x 1y
y 1x
(1 x)(1 y ) ， x, y [0,1] ．
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（ 1） 若 t xy 为给定常数（ 0 t 1），求 f ( x, y) 的最小值（用 t 表示）；
（ 2） 求 f (x, y) 的最小值．