多元函数积分的计算方法技巧

第10章 多元函数积分的计算方法与技巧

一、二重积分的计算法

1、利用直角坐标计算二重积分 假

定

积

分

区

域

D 可用不等式

a x

b x y x ≤≤≤≤ϕϕ12()()表示,

其中ϕ1()x , ϕ2()x 在[,]a b 上连续.

这个先对y , 后对x 的二次积分也常记作

f x y d dx f x y dy D

a

b

x x (,)(,)()

()σϕϕ⎰⎰⎰⎰=12

如果积分区域D 可以用下述不等式 c y d y x y ≤≤≤≤,()()φφ12

表示,且函数φ1()y ,φ2()y 在[,]c d 上连续,f x y (,)在D 上连续,则

f x y d f x y dx dy dy f x y dx D y y c d

c d y y (,)(,)(,)()()()()σφφφφ⎰⎰⎰⎰⎰⎰=⎡⎣⎢⎢⎤

⎦

⎥⎥=1212

(2)

显然,(2)式是先对x ,后对y 的二次积分.

积分限的确定

几何法.画出积分区域D 的图形(假设的图形如下 )

在],[b a 上任取一点x ,过x 作平行于y 轴的直线,该直线穿过区域D ,与区域D 的边界有两个交点))(,(1x x ϕ与))(,(2x x ϕ,

这里的)(1x ϕ、

)(2x ϕ就是将x ,看作常数而对y 积分时的下限和上限；又因x 是在区间[,]a b 上任意取的,所以再将x 看作变量而对x 积分时,积分的下限为a 、上限为b .

例1计算xyd D

⎰⎰σ, 其中D 是由抛物线y x 2=及直线

y x =-2所围成的区域.

D y y x y :,-≤≤≤≤+1222

xyd dy xydx x y dy D y y y y σ⎰⎰⎰⎰⎰==⎡⎣⎢⎤

⎦⎥-+-+12

2

212

2

2

212

[]

=+-=-⎰12245

8

2512y y y dy () 2.利用极坐标计算二重积分 1、rdrd θ就是极坐标中的面积元素.

x r →cos θ

y r →sin θdxdy rdrd →θ

f x y dxdy

D

(,)⎰⎰f r r rdrd D

(cos ,sin )θθθ⎰⎰

2、极坐标系中的二重积分, 可以化归为二次积分来计算.

αθβϕθϕθ≤≤≤≤12()()r

其中函数ϕθ1(), ϕθ2()在[,]αβ上连续.

则

f r r rdrd d f r r rdr

D

(cos ,sin )(cos ,sin )()

()

θθθθθθα

β

ϕθϕθ⎰⎰⎰⎰=12

注:本题不能利用直角坐标下二重积分计算法来求其精确值.

3、使用极坐标变换计算二重积分的原则

(1)、积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示( 含圆弧,直线段 )；

(2)、被积函数表示式用极坐标变量表示较简单( 含()x y 22+α, α为实数 ).

例

6

计算

I dx

dy

x y a x y a a

x

a a x =+⋅-+>⎰⎰

--+-0

222224022

()

()

解此积分区域为

D x a x y a a x :,022≤≤-≤≤-+- 该区域在极坐标下的表示形式为

D r a :,sin -

≤≤≤≤-π

θθ4002

I rdrd r a r

d dr

a r r a d D

a a =-=-=⎡

⎣⎢⎤⎦⎥⎰⎰

⎰⎰

⎰-

---

θ

θ

θπθθ

π4422

2

4

0220

2024

sin sin arcsin

=-=-=--

⎰()θθθπππd 4

024

2

1232

二、三重积分的计算 1、积分区域Ω可表示成

a x

b y x y y x z x y z z x y ≤≤≤≤≤≤,()(),(,)(,)1212

则 f x y z dv dx dy

f x y z dz a

b

y x y x z x y z x y (,,)(,,)()

()(,)

(,)Ω

⎰⎰⎰⎰⎰⎰=1212

这就是三重积分的计算公式, 它将三重积分化成先对积分变量z , 次对y ,最后对x 的三次积分.

例1计算xyzdxdydz Ω

⎰⎰⎰, 其中Ω为球面x y z 2221++=及

三坐标面所围成的位于第一卦限的立体.

解 Ω在xoy 面上的投影区域为 D x y x y xy :,,22100+≤≥≥

确定另一积分变量的变化范围 0122≤≤--z x y 选择一种次序,化三重积分为三次积分

⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰----Ω--==2

2

22

10

221

010

10

1

0)1(21

x y x x dy

y x xy dx xyzdz

dy dx

xdydz

xyzd

dx

x x x x x x dx xy y x xy dy

xy y x xy dx x x

⎰⎰⎰⎰⎥⎦⎤

⎢⎣⎡-----=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=--=--1

022232101

0423210

3

310)1(81)1(41)1(4

181414

1)212121(2

2