几何图形解题方法

几何图形解题方法

在实际生产和生活中，几何形体往往不是以标准的形状出现，而是以比较复杂的组合图形出现，很难直接利用公式计算其面积或体积。如果在保持图形的面积或体积不变的前提下，对图形进行适当的变换，就容易找出计算其面积或体积的方法。

（一）添辅助线法

有些组合图形按一般的思考方法好像已知条件不足，很难解答。如果在图形中添加适当的辅助线，就可能找到解题的途径。辅助线一般用虚线表示。

*例1 求图40-1阴影部分的面积。（单位：平方米）（适于三年级程度）

解：图40-1中，右边两个部分的面积分别是20平方米和30平方米，所以可如图40-2那样添上三条辅助线，把整个长方形分成5等份。这样图中右边的五个小长方形的面积相等。同时，左边五个小长方形的面积也相等。左边每个小长方形的面积是：

25÷2=12.5（平方米）

所以，阴影部分的面积是：

12.5×3=37.5（平方米）

答略。

*例2 如图40-3，一个平行四边形被分成两个部分，它们的面积差是10平方厘米，高是5厘米。求EC的长。（单位：厘米）（适于五年级程度）

解：如图40-4，过E点作AB的平行线EF，则△AEF与△ABE是等底等高的三角形。所以，△AEF的面积与△ABE的面积相等。

小平行四边形EFDC的面积就是10平方厘米。

因为它的高是5厘米，所以，

EC=10÷5=2（厘米）

答：EC长2厘米。

*例3 如图40-5，已知图中四边形两条边的长度和三个角的度数，求这个四边形的面积。（单位：厘米）（适于五年级程度）

解：这是一个不规则的四边形，无法直接计算它的面积。

如图40-6，把AD和BC两条线段分别延长，使它们相交于E点。这样，四边形ABCD的面积就可以转化为△ABE的面积与△DCE的面积之差。

在△ABE中，∠A是直角，∠B=45°，所以∠E=45°，即△ABE是等腰直角三角形。所以AB=AE=7（厘米），则△ABE的面积是：

7×7÷2=24.5（平方厘米）

在△DCE中，∠DCE是直角，∠E=45°，所以，∠CDE=45°，即△DCE是等腰直角三角形。所以，CD=CE=3厘米，则△DCE的面积是：

3×3÷2=4.5（平方厘米）

所以，四边形ABCD的面积是：

24.5-4.5=20（平方厘米）

答略。

（二）分割法

分割法是在一个复杂的几何图形中，添上一条或几条辅助线，把图形分割成若干个已学过的基本图形，然后分别计算出各图形的面积或体积，再将所得结果相加的解题方法。

例1 计算图40-7的面积。（单位：厘米）（适于五年级程度）

解：如图40-8，在图中添上一条辅助线，把图形分割为一个梯形和一个长方形，分别计算出它们的面积，再把两个面积相加。

［2+（8-4）］×（6-4）÷2+4×8

=6+32

=38（平方厘米）

答：图形的面积是38平方厘米。

例2 图40-9中，ABCD是长方形，AB=40厘米，BC=60厘米，E、F、G、H是各边的中点。求图中阴影部分的面积。（适于五年级程度）

解：如图40-10，在图中添加辅助线EG，使阴影部分被分割成为两个面积相等的三角形。先计算出一个三角形的面积，再把它的面积乘以2。

三角形的底是长方形的长，高是长方形的宽的一半。

60×（40÷2）÷2×2

=60×20

=1200（平方厘米）

答：阴影部分的面积是1200平方厘米。

*例3 求图40-11中各组合体的体积。（单位：厘米）（适于六年级程度）

解：如图40-12，把各组合体分割为几个基本形体，然后分别求出每个基本形体的体积，再用加法、减法算出各组合体的体积。

（三）割补法

在计算一些不规则的几何图形的面积时，把图形中凸出来的部分割下来，填补到相应的凹陷处，或较适当的位置，使图形组合成一个或几个规则的形状，再计算面积的解题方法叫做割补法。

例1 求图40-13阴影部分的面积。（单位：厘米）（适于六年级程度）

成了一个梯形如图40-14，这个梯形的面积就是图40-13中的阴影部分的面积。

答：阴影部分的面积是45平方厘米。

*例2 求图40-15中阴影部分的面积。（单位：米）（适于六年级程度）

16×16×2=512（平方米）

答：阴影部分的面积是512平方米。

*例3 图40-17中，ABCD是正方形，ED=DA=AF=2厘米。求图中阴影部分的面积。（适于六年级程度）

解：经割补，把图40-17组合成图40-18。很容易看出，只要从正方形的面积中减去空白扇形的面积，便得到阴影部分的面积。

答：图中阴影部分的面积是2.43平方厘米。

（四）平移法

在看不出几何图形面积的计算方法时，通过把图形的某一部分向某一方向平行移动一定的距离，使图形重新组合成可以看出计算方法的图形，从而计算出图形面积的解题方法叫做平移法。

例1 计算图40-19中阴影部分的周长。（单位：厘米）（适于六年级程度）

解：把图40-19中右边正方形中的阴影部分向左平移5厘米，图40-19中的阴影部分便转化为图40-20中的正方形。图40-20中阴影正方形的面积就是图40-19阴影部分的面积。

5×5=25（平方厘米）

答略。

*例2 求图40-21中阴影部分的周长。（单位：厘米）（适于三年级程度）

解：按图40-22箭头指示，把两条横向的线段向上平移到虚线处，再按图40-23箭头指示把垂直线段的一部分向右平移到虚线处，求图40-21阴影部分的周长便转化为求图40-24的周长和两条竖线长之和的问题了。

（5+4）×2+2×2

=9×2+4

=22（厘米）

答略。

*例3 求图40-25S形水泥弯路面的面积。（单位：米）（适于三年级程度）

解：把图40-25中水泥弯路面左边的甲部分向右平移2米，使S形水泥路面的两条边重合，图40-25便转化为图40-26，S形水泥路面的面积转化为图40-26中的阴影部分的面积。

S形水泥路的面积是：

30×2=60（平方米）

答略。

（五）旋转法