统筹优化问题

第十三讲统筹优化问题
刚刚过完母亲节，马上就要迎来6月中旬的父亲节了！小朋友们，在这两个特别的节日里你送给爸爸妈妈什么礼物了？呵呵，我们来看看小芳给妈妈送上的母亲节礼物吧！
母亲节那天小芳爸爸、妈妈都加班了，小芳想让爸爸、妈妈下班就能吃上晚饭，送上
一份特别的礼物.她准备做大米饭、炒鸡蛋和水果沙拉.她估计了一下时间，洗米要3分钟，
蒸大米饭20分钟，打鸡蛋要1分钟，洗炒锅勺要1分钟，炒菜要5分钟，做水果沙拉要
10分钟.你知道聪明的小芳是怎样最合理的安排时间的吗？至少需要多长时间能做好这顿
饭？父亲节的时候你能否也送上这样一份暖心的礼物？
答案提示：聪明的小朋友肯定不会一件一件接着做，那样会很浪费时间的！合理的安排：先洗米3分钟，蒸大米饭20分钟（在此同时我们还可以将：打鸡蛋要1分钟，洗炒锅勺要1分钟，炒菜要5分钟，做水果沙拉要10分钟，共17分钟进行完），所以至少需要23分钟可将这份礼物准备完毕.
当有许多事要做时，科学地安排好先后顺序，就能用较少的时间完成较多的事情.华罗庚教授在中学语文课本中，曾有一篇名为《统筹原理》的文章，详细介绍了统筹方法和指导意义.在实际生活中，我们科学的利用统筹安排的方法可以大大节省时间、人力、物力以及资源，提高做事的效率.
类型Ⅰ：统筹安排事情
【例1】（2000年小数报数学邀请赛）（难度系数：★★）烙饼需要烙它的正、反面，如果烙熟一块饼的正、反面，各用去3分钟，那么用一次可容下2块饼的锅来烙21块饼，至少需要多少分钟？
分析：【前铺】（奥数网备选题库）（难度系数：★★）用一只平底锅煎饼，每次能同时放两个饼．如果煎1个饼需要2分钟（假定正、反面各需1分钟），问煎1993个饼至少需要几分钟？问煎1994个饼至少需要几分钟？
分析：如果只煎1个饼，显然需要2分钟；如果煎2个饼，仍然需要2分钟；如果煎3个饼，初学者看来认为至少需要4分钟：因为先煎2个饼要2分钟；再单独煎第3个饼，又需要2分，所以一共需要4分钟．但是，这不是最佳方案．最优方法应该是：首先煎第1号、第2号饼的正面用1分钟；其次煎第1号饼的反面及第3号饼的正面又用1分钟；最后煎第2号、第3号饼的反面再用1分钟；这样总共只用3分钟就煎好了3个饼．
我们归纳出煎1、2、3个饼分别需要2、2、3分钟，我们可以继续往下分析，煎4个饼最少需要4分钟，煎5个饼需要3＋2＝5分钟，煎6个饼需要6÷2×2＝6分钟，煎7个饼需要3＋4÷2×2＝7分钟，那么煎1993个饼至少需要1993分钟，煎1994个饼至少需要1994分钟.
原题解答; 先将两块饼同时放人锅内一起烙，3分钟后两块饼都熟了一面，这时取出一块，第二块翻个身，再放人第三块，又烙了3分钟，第二块已烙熟取出，第三块翻个身，再将第一块放入烙另一面，再烙3分钟，锅内的两块饼均已烙熟．这样烙3块饼，用去9分钟，烙后21-3=18块饼，至少用去18÷2×6=54(分钟)，所以一共需要54+9=63分钟.如果烙22块饼，我们就无需考虑的那么复杂了，所用时间就是22÷2×
6=66分钟.
【例2】（06年国家公务员二类考卷）（难度系数：★★★）某商店汽水做促销活动，规定每5个空瓶能换1瓶汽水.小强家买了80瓶汽水，喝完后再按规定用空瓶去换汽水，那么他们家前后最多能喝到多少瓶汽水？
分析：【前铺】（此题主要是让学生有兴趣把这个答案试出来，并明白可以借瓶的概念.）（03年国家公务员考试）（难度系数：★★）小新和他的五个朋友去喝汽水，他们身上有12元，每瓶汽水3元，每三个空汽水瓶可以换一瓶汽水，请问怎样才能每人喝到一瓶汽水？
分析：12元可以买4瓶汽水，用其中3个空瓶换1瓶汽水，加上剩下的1个空瓶，再向卖汽水的借一个空瓶，用这3个空瓶再换一瓶.喝完后再把这个空瓶还了！4+1+1＝6瓶.
原题解答：（法1）我们按照实际换汽水过程分析：
喝掉80瓶汽水，用80个空瓶换回16瓶汽水；
喝掉16瓶汽水，用16个空瓶换回3瓶汽水余1个空瓶；
喝掉3瓶汽水，连上次余下的1个空瓶还剩4个空瓶.此时，再借1个空瓶，与剩下的4个空瓶一起又可换回1瓶汽水，喝完后将空瓶还了.
所以，他们家前后最多能喝到汽水：80+16+3+1=100（瓶）.
以上方法正确运用“5个空瓶可换1瓶汽水”这个条件，特别是最后一次换瓶的技巧，你不充分利用可就“吃亏了”！但如果一开始瓶数很多，那么这个换的过程就会很长.有没有简便的算法呢？
（法2）注意到“每5个空瓶可换一瓶汽水”（连汽水带瓶）这个条件，可知每4个空瓶就能换到一瓶汽水（不带瓶），那么喝剩的80个空瓶共能换到20瓶汽水，所以小强家前后共能喝到80+20=100（瓶）汽水.综合式是80+80÷（5-1）=100（瓶）.
（法3）每4个空瓶就能换到1瓶汽水（不带瓶），即1个空瓶能换1
4
瓶汽水，那么买1瓶汽水实际能喝到
（1+ 1
4
）瓶汽水，因此他家前后共能喝到80×（1+
1
4
）=100瓶汽水.
【巩固】（07年希望六年级杯培训试题）（难度系数：★★★）学校师生1140人外出参观，计划每人发2瓶汽水，每瓶汽水售价2元，商店规定每6个空汽水瓶可以换1瓶汽水，带队老师合理筹划，回收空瓶换汽水，使每人按计划喝到汽水，节省多少元？
分析：每6个空瓶就能换到1瓶汽水，即每5个空瓶就能换到1瓶汽水（不带瓶），即1个空瓶能换1
5
瓶
汽水，那么买一瓶汽水实际能喝到（1+1
5
）瓶汽水，因此需要买1140×2÷（1+
1
5
）=1900（瓶）汽水. 节
约出来1140×2-1900=380（瓶）汽水的钱，也就是380×2=760（元）.
【巩固】（全国小学奥林匹克）（难度系数：★★★）5个空瓶可以换1瓶汽水，某班同学喝了161瓶汽水，其中有一些是用喝剩下来的空瓶换的，那么他们至少要买汽水多少瓶？
分析：
1
161(1)128.8
4
÷+=，所以需要129瓶.
【例3】（03年全国小学奥林匹克）（难度系数：★★★★）某校六年级的80名同学与2名老师共82人去公园春游，学校只准备了180瓶汽水．总务主任向老师交代，每人供应3瓶汽水(包括老师)，不足部分
可到公园里购买，回校后报销．到了公园，商店贴有告示：每5个空瓶可换一瓶汽水．于是要求大家喝完汽水后空瓶由老师统一退瓶．那么用最佳的方法筹划，至少还要购买多少瓶汽水回学校报销？
分析：带来的180瓶汽水可以喝到：1
180(1)225
4
⨯+=（瓶），还需要由卖汽水产生的汽水有：82×3-225=21
（瓶），21瓶实际需要购买：
1
21(1)16.8
4
÷+=，所以还需要购买17瓶汽水回学校报销.
【例4】（奥数网习题库）（难度系数：★★★）有十个村庄，座落在从县城出发的一条公路上，现要安装水管，从县城供各村自来水．可以用粗、细两种水管，粗管每千米7000元，细管每千米2000元．粗管足够供应所有各村用水，细管只能供应一个村用
水，各村与县城间距离如右图所示（图中单位是千
米），现要求按最节约的方法铺设，总费用是多少？
分析：由于细管相对于粗管来讲，价钱要少一些，因此先假设都用细管．那么从县城到A1村要铺设10根细管，A1村到A2村要铺设9根细管，依次下去，我们用图表示铺细管的情况．
因为粗管每千米7000元，细管每千米2000元，所以4根细管的价钱将大于1根粗管的价钱．这样一来，凡是超过3根细管的路段，都应改铺粗管．
因此，从县城到A7村铺1根粗管，A7村到A8村铺3根细管，A8村到A9村铺2根细管，A9村到A10村铺1根细管．总费用为：7000×（30+5+2+4+2+3+2）+2000×（2×3+2×2+5×1）=366000（元）.
类型Ⅱ：沙漠探险
【例5】（奥数网习题库）（难度系数：★★
★★）（1）有5位探险家计划横穿沙漠.他们
每人驾驶一辆吉普车，每辆车最多能携带可供
一辆车行驶315千米的汽油。

显然，5个人不
可能共同穿越500千米以上的沙漠。

于是，他
们计划在保证其余车安全返回出发点的前提
下，让一辆车穿越沙漠。

当然，实现这一计划需要几辆车相互借用汽油。

问：穿越沙漠的那辆车最多能穿越多宽的沙漠?
（2）如果允许将汽油留在途中供返回的汽车使用，上题其他条件都不变，那穿越沙漠的那辆车最多能穿越多宽的沙漠?
分析：（1）如右图所示，5辆车从A点一起出发，到B点时
第1辆车留下够自己返回A点的汽油，剩下的汽油全部转
给其余4辆车，注意，B点的最佳选择应满足刚好使这4辆
车全部加满汽油；剩下的4辆车继续前进，到C点时第2
辆车留下够自己返回A点的汽油，剩下的汽油全部转给其
余3辆车，使它们刚好加满汽油；剩下的3辆车继续前进……到E点时，第4辆车留下返回A点的汽油，剩下的汽油转给第5辆车.此时，第5辆车是加满汽油的，还能向前行驶315千米.
以这种方式，第5辆车能走多远呢?我们来算算.
5辆车到达B 点时，第1辆车要把另外4辆车消耗掉的汽油补上，加上自己往返AB 的汽油，所以应把行驶315千米的汽油分成6份，2份供自己往返AB ，4份给另外4辆车每辆加l 份，刚好使这4辆车都加满汽油.AB 长为：315÷6=52.5(千米)；
4辆车从B 点继续前进，到达C 点时，4辆车共消耗掉4份（BC ）汽油，再加上第2辆车从C 经B 返回A ，所以第2辆车是把汽油分成：5份BC+1份AB=315（千米），由上可知6份AB=315（千米），所以AB=BC ，也就是说第2辆车仍是把汽油分成6份，3份供自己从B 到C ，再从C 返回A ，3份给另外3辆车加满汽油，由此知BC 长也是52．5千米.
同理，CD=DE=52．5(千米).
所以第5辆车最远能行驶52．5×4+315=525(千米).
一般地，如果有n (n>1)辆相同的汽车，每辆车带的油都恰好够行驶s 千米的路程，其它条件不变，那
么第1辆车行驶
1s n +千米返回，在最后一辆车“冲刺”之前，最后一辆车已行驶了（n-1）个1
s n +千米，所以最后一辆车能行驶：(1)()1s n s n -⨯++千米 这个问题解决的很完美.但是，这是基于汽油只能由汽车携带，不能留在途中供返回的汽车使用这个前提.如果允许将汽油留在途中供返回的汽车使用，情况就大不相同了.
（2）如右图所示，5辆车从A 点一起出发，到B 点时，第l
辆车给其它车辆加满汽油，并且在B 处留下供3辆车从B 返回
A 的汽油，然后自己返回A.注意，此时后4辆车都已加满了汽
油，并且无“后顾之忧”，即有了从B 返回A 的汽油，所以后
面的问题相当于有4辆车，让一辆车走的尽量远，另3辆车返
回B.同理，
到C 点时变成3辆车的情况，到D 点时变成2辆车的情形，到E 点时变成1辆车的情形.
(9),9
,D DE E 753
53545631053155639753S AB S S S BC C S S S S S S =
===++++=++++=依照上题思路，将第一辆车的汽油分成份，注意这里第五辆车不会来，，至终点=，所以第辆车最远能行驶：（千米）
【例6】 （奥数网习题库）（难度系数：★★★★）甲乙两个人要到沙漠中探险，他们每天向沙漠深处走20千米，已知每人最多可带一个人24天的食物和水，
（1）如不允许将部分食物放于途中，那么其中一个人最多可以深入沙漠多少千米？(要求最后两人都回到出发点)
（2）在上题中，如果将条件改为可以将部分食物存放于途中以备返回时取用，那么其中一个人最多可以深入沙漠多少千米？
分析：（1）（法一）：利用上例思路解答，所以可以往前行走16天的路程.
（法二）：可以设走了x 天后，乙把食物补给甲，此时乙还需预留x 天的食物，所以乙还能补给甲（24－2x ）天的食物。

而甲此时也已消耗掉了x 天的食物，为了给甲补满，所以需要：24－2x ＝x,可得x ＝8，剩下的24天食物，B 只能再向前走8天，留下16天的食物供返回时用.故B 可以向沙漠深处走16天.
（2）360千米.
类型Ⅲ：排队问题
【例7】（07年希望杯六年级培训试题）（难度系数：★★★）理发室里有甲、乙两位理发师，同时来了五位顾客，根据他们所要理的发型，分别需要10，12，15，20和24分钟.怎样安排他们的理发顺序，才能使这五人理发和等候所用时间的总和最少？最少要用多少时间？
分析：【前铺】（奥数网习题库）（难度系数：★★）5个人各拿一个水桶在自来水龙头前等候打水，他们打水所需的时间分别是1分钟、2分钟、3分钟、4分钟和5分钟．如果只有一个水龙头，试问怎样适当安排他们的打水顺序，才能使每个人排队和打水时间的总和最小？并求出最小值．
分析：5个人排队一共有5×4×3×2×1=120种顺序，把所有情形的时间总和都计算出来，就太繁琐了．我们不妨先来看一个简单的例子：小新理发用10分钟，妈妈烫发用240分钟，只有一个理发师，那么怎样使两个人等待的时间总和最少？很容易我们就知道，要让用时较短的人先理发比较合理.同样对于本例题，把打水需1分钟的人排在第一位置所费总时间最省．其次，再将打水需2分钟的人调整到第二位置；将打水需3、4、5分钟的人逐次调整到第三、四、五位．所以将五人按照打水所需时间由少到多的顺序排队，所费时间最省．这样得出5人排队和打水时间总和的最小值是：1×5+2×4+3×3+4×2+5×1=35（分钟）.教师在此刻多多举例联系，让学生在充分理解的基础上准确计算出时间总和的最小值.
原题解答：一人理发时，其他人需等待，为使总的等待时间尽量短，应让理发所需时间少的人先理.甲先给需10分钟的人理发，然后15分钟的，最后24分钟的；乙先给需12分钟的人理发，然后20分钟的.甲给需10分钟的人理发时，有2人等待，占用三人的时间和为（10×3）分；然后，甲给需 15分钟的人理发，有1人等待，占用两人的时间和为（15×2）分；最后，甲给需 24分钟的人理发，无人等待.甲理发的三个人，共用（10×3＋15×2＋24）分，乙理发的两个人，共用（12×2＋20）分。

总的占用时间为（10×3＋15×2＋24）＋（12×2＋20）=128（分）.
按照上面的安排，从第一人开始理发到五个人全部理完，用了10＋15＋24＝49（分）.如果题目中再要求从第一人开始理发到五人全部理完的时间最短，那么做个调整，甲依次给需10，12，20分钟的人理发，乙依次给需15，24分钟的人理发，总的占用时间仍是128分钟，而五人全部理完所用时间为 10＋12＋20＝42（分）.
【例8】（101培训试题）（难度系数：★★★★）车间里有五台车床同时出现故障，已知第一台到第五台修复时间依次为18，30，17，25，20分钟，每台车床停产一分钟造成经济损失5元.现有两名工作效率相同的修理工，
（1）怎样安排才能使得经济损失最少？
（2）怎样安排才能使从开始维修到维修结束历时最短？
分析：（1）一人修17、20、30，另一人修18、25 ；最少的经济损失为：5×（17×3+20×2+30+18×2+25）=910（元）.
（2）因为（18＋30＋17＋25＋20）÷2=55（分），经过组合，一人修需18，17和20分钟的三台，另一人修需30和25分钟的两台，修复时间最短，为55分钟.
类型Ⅳ：场地设置问题
【例9】(06美国数学竞赛试题)（难度系数：★★★）在A国的遥远的东部地区，
与B接壤处有一个城镇，这个镇上的道路设计得如同方格栅栏一样，有点像美国
的曼哈顿．这种道路设计最初在古希腊使用．七个伙伴住在城镇七个不同的地方，
用圆圈表示．他们想一起聚会喝咖啡，为使七人行走的距离总和最小，他们应该在
城镇的何处见面?请用△在下图中标注出来．
分析：可先回顾一下附加2 .七个人到竖向最近的位置是七个人中间位置在第4竖街区，七个人到横向最近的位置是七个人中间位置在第5横街区，故他们应在第4竖与第5横街区交汇处见面．
【例10】（奥数网习题库）（难度系数：★★★★）某乡共有六块麦
地，每块麦地的产量如右图．试问麦场设在何处最好？（运输总量的千克
千米数越小越好.）
分析：可先回顾一下附加3、4相关知识.依据“小往大靠”，“支往干靠”.
我们不妨以F-E-C-D为干，，显然麦场设在C点.当然你以其他路经为干，
都会的到同样结果.譬如：若以F-E-C-A为干，那么依据“支往干靠”，D
就靠到C，B移到G，当作“干”上一成员.
附加题目
【附1】(01年小数报数学邀请赛) （难度系数：★★）青少年科技活动中心工地上，有一批废旧建筑材料和垃圾需要清理并运离现场，由两位货车司机小王和小李负责清理、运输．两人同时清理废旧建筑材料需2小时；两人同时清理垃圾需0．5小时；货车将垃圾运送郊区，往返需3小时，货车将废旧建筑材料运送收购站，往返需1小时．小王和小李完成这项清理、运输工作返回工地最少需几小时?请你设计出一个最佳方案(垃圾与建材均不超过1车，装车时间不计)．
分析：两人先同时清理垃圾，用0.5小时；然后两人同时清理废旧建筑材料1小时；最后，一人运送垃圾用3小时，另一人继续清理建筑材料2小时，再用1小时运送废旧建筑材料．共用：0．5+1+3=4．5(小时)．【附2】（奥数网习题库）（难度系数：★★★）有2005名少先队员分散在一条公路上值勤宣传交通法规，问完成任务后应该在公路的什么地点集合，可以使他们从各自的宣传岗位沿公路走到集合地点的路程总和最小？
分析：【前铺1】（首师附中培训测试题）（难度系数：★★）如右
图，在街道上有A、B、C、D、E五栋居民楼，现在设立一个邮筒，
为使五栋楼的居民到邮筒的距离之和最短，邮局应立于何处？
分析：条件中只有五个楼的名字和排列顺序，楼与楼的距离也不确定.那么我们先来分析一下A、E两个点，不论这个邮筒放在AE之间的那一点，A到邮筒的距离加上E到邮筒的距离就是AE的长度.也就是说邮筒放在哪儿不会影响这两个点到邮筒的距离之和.那么我们就使其他的3个点到邮筒的距离之和最短，再看为了使B、D两个到邮筒的距离之和小，应把邮筒放在BD之间.同理，只要是在BD之间，B、D到邮筒的距离之和也是不变的，等于BD.最后，只需要考虑C点到邮筒的距离最近就行了.那么当然也就是把邮筒放在C点了.这里就体现了一个“向中心靠拢的思想”.
【前铺2】（交大附中培训试题）（难度系数：★★）
如右图，道路上有8个幼儿园，现在要在道路上建造
一个送奶站，为使送奶站到8个幼儿园的距离和最短，
送奶站应建在哪个幼儿园？
分析：找最中间的那个幼儿园，可这时最中间的幼儿园有两个，这该怎么办呢？其实经过研究发现，建在这两个幼儿园都一样，路程和最短，所以可以建在D或E .如果我们只要求建在这条道路上的一点即可，那么DE之间及点D、E均可.
原题解答：向中心靠拢的思想，当有偶数（2n）个人时，集合地点应选在中间一段 AnAn+1之间的任何地点（包括An和An+1点）；当有奇数（2n+1）个人时，集合地点应选在正中间岗位An+1点．本题有2005=2×1002+1（奇数）个人，因此集合地点应选在从某一端数起第1003个岗位处．
【附3】（04年我爱数学夏令营试题）（难度系数：★★）一条直街上有5栋楼，从左到右编号为1，2，3，4，5，相邻两楼的距离都是50米．第1号楼有1名职工在A厂上班，第2号楼有2名职工在A厂上班……，第5号楼有5名职工在A厂上班．A厂计划在直街上建一通勤车站接送这5栋楼的职工上下班，为使这些职工到通勤车站所走的路程之和最小，车站应建在距1号楼多少米处？
分析：如图所示，“小往大处靠”的原则来解决，故应建在4号楼
的位置，距1号楼150米处．
【前铺】（人大附中分班考试题）（难度系数：★★★）在一条公路上，每隔10千米有一座仓库（如右图），共有五座，图中数字表示各仓库库存货物的重量.现在要把所有的货
物集中存放在一个仓库里，如果每吨货物运输1千米需要运费0.9元，
那么集中到哪个仓库运费最少？
分析：这道题可以用“小往大处靠”的原则来解决.E点60吨，存的货物最多，那么先处理小势力，A往E 那个方向集中，集中到B,B变成40吨，判断仍是E的势力最大，所以继续向E方向集中，B点集中到C点，C点变成60吨.此时C点和E点都是60吨，那么C、E谁看成大势力都可以.例如把E点集中到D点，D点是70吨.所以C点也要集中到D点.确定了集中地点，运输费用也就容易求了.运费最少为：（10×30＋30×20＋20×10＋60×10）×0.9=1530（元）.
我们从中可以发现：对于集中货物的问题，集中到何处起决定作用的是货物的重量，而至于距离，仅仅只是为了计算.
【附4】右图是A，B，C，D，E五个村之间的道路示意图，○中数
字是各村要上学的学生人数，道路上的数表示两村之间的距离（单
位：千米）。

现在要在五村之中选一个村建立一所小学。

为使所有学
生到学校的总距离最短，试确定最合理的方案.
分析：“小往大处靠”的原则来解决，A点向C点集中，因为根据“小
往大处靠”的原则，虽然A点40人比C点20人多，但是人最多的点是E点，所以大方向是向E点的方向
靠拢。

那么B点当然也要向C点靠拢。

C点就有80人了.此时人数最多的点变成了C点了.D、E又变成小势力了，因此还是“小往大处靠”的原则，看大方向，E点要向D点靠拢.此时D点变成85人了。

那么D 点比此时C点的80人多了.C点又变成小势力了.所以最终要集中在D点.也就是学校要设在D点.
【附5】（奥数网习题库）（难度系数：★★）甲、乙、丙三名车工准备在同样效率的3个车床上加工七个零件，各零件加工所需要的时间分别为4，5，6，6，8，9，9分钟，三人同时开始工作.问：加工完七个零件最少需要多长时间？
分析：按照需要加工的时间，我们可以把七个零件大体分成3组，因为4＋5＋6＋6＋8＋9＋9＝47.
那么可知不论怎么组合，都必然出现有一组的时间是17.例如：（4＋5＋6），（6＋9），（8＋9）
或（4＋6＋6），（5＋9），（8＋9）或（4＋5＋8），（6＋9），（6＋9）.所以加工完最少需要17分钟.
练习十三
1.小强、小明、小红和小蓉4个小朋友效游回家时天色已晚，他们来到一条河的东岸，要通过一座小木桥到西岸，但是他们4个人只有一个手电筒，由于桥的承重量小，每次只能过2人，因此必须先由2个人拿着手电筒过桥，并由1个人再将手电筒送回，再由2个人拿着手电筒过桥……直到4人都通过小木桥.已知，小强单独过桥要1分钟；小明单独过桥要1.5分钟;小红单独过桥要2分钟;小蓉单独过桥要
2.5分钟.那么,4个人都通过小木桥,最少要多少分钟？
分析：要想用最少的时间，4人都通过小木桥，可采用让过桥最快的小强往返走，将手电筒送回，这样就能保证时间最短了．
第一步：小强与小明一起过桥，并由小强带手电筒返回，共用：1.5+1=2.5(分钟)；
第二步：返回原地的小强与小红过桥后再返回，共用了2+1=3(分钟)；
第三步：最后小强与小蓉一起过桥用了2.5分钟；
所以，4个人都通过小木桥，最少用2.5+3+2.5=8(分钟)．
2.学校师生1113人外出参观，计划每人发2瓶汽水，商店规定每7个空汽水瓶可以换1瓶汽水，老师最少买多少瓶汽水，合理筹划，回收空瓶换汽水后，可以保证每人按计划喝到汽水？
分析：1908瓶.
3．有一个水塔要供应某条公路旁的A～F六个居民点用水（见
右图，单位：千米），要安装水管，有粗细两种水管，粗管足够
供应6个居民点用水，细管只能供应1个居民点用水，粗管每
千米要7000元，细管每千米要2000元，粗细管怎样互相搭配，
才能使费用最省？费用应是多少？
分析：从水塔到C点铺粗管，最后三个居民点铺细管，总费用为297000元。

提示：当长度相同时，四根细管的费用超过一根粗管，所以最后三个居民点用细管.
4．有一位探险家，计划用6天的时间徒步横穿沙漠，如果搬运工人和探险家每人最多只能携带1个人四天所需的食物和水，那么这个探险家至少要雇用多少名工人？
分析：利用公式：(1)()1s n s n -⨯++千米，其中s=4，(1)()1
s n s n -⨯++千米=6，解得n=3，所以要雇佣3-1=2（名）工人.当然这道题目我们可以通过试出答案，这里主要强调学生对规律总结的理解应用，但同时请注意条件的变化.
5．车间里有5台车床同时出现故障。

已知第一台至第五台修复的时间依次为15，8，29，7，10分钟，每台车床停产一分钟造成经济损失5元。

问：（1）如果只有一名修理工，那么怎样安排修理顺序才能使经济损失最少？（2）如果有两名修理工，那么修复时间最少需多少分钟？
分析：（1）780元；（2）36分。

提示：（1）按修复时间需7，8，10，15，29分的顺序修理；（2）一人修需7分和29分的，另一人修需8，10，15分的.
6．在一条公路上每隔100千米，有一个仓库（如图）共有5个仓库，一号仓库存有10吨货物，二号仓库有20吨货物，五号仓库存有40吨货物，其余两个仓库是空的。

现在想把所以的货物集中存放在一个仓库里，如果每吨货物运输1公里需要0.5元运输费，那么最少要多少运费才行？
分析：做此类问题时我们都可以根据“小往大处靠”的原则进行判断，观察可知五号仓的最大，所以先把一号仓库的10吨货物往五号方向靠拢，先集中到二号仓库，那么现在二号仓库中就有30吨货物了.再根据“小往大处靠”的原则，那么这30吨货物应该集中到五号仓库中.
所以所需的费用是：10×0.5×100＝500（元），30×0.5×300＝4500（元），共需要：500＋4500＝5000（元）
7.有七个村庄A1，A2，…，A7分布在公路两侧（见右图），由一些小路
与公路相连，要在公路上设一个汽车站，要使汽车站到各村庄的距离和
最小，车站应设在哪里？
分析：本题可简化为“B ，C ，D ，E ，F 处分别站着1，1，2，2，1个人
（见右图），求一点，使所有人走到这一点的距离和最小”.显然D 、E
最大，靠拢完的结果变成了D=4，E=3，所以车站设在D 点.
统筹安排的妙处
田忌赛马
齐国的大将田忌，很喜欢赛马，有一回，他和齐威王约定，要进行一场比赛。

他们商量好，把各自的马分成上，中，下三等。

比赛的时候，要上马对上马，中马对中马，下马对下马。

由于齐威王每个等级的马都比田忌的马强得多，所以比赛了几次，田忌都失败了。

田忌觉得很扫兴，比赛还没有结束，就垂头丧气地离开赛马场，这时，田忌抬头一看，人群中有个人，原来是自己的好朋友孙膑。

孙膑招呼田忌过来，拍着他的肩膀说：“我刚才看了赛马，威王的马比你的马快不了多少呀。

”孙膑还没有说完，田忌瞪了他一眼：“想不到你也来挖苦我！”孙膑说：“我不是挖苦。