2016锡林郭勒职业学院数学单招试题测试版(附答案解析)

考单招——上高职单招网[时间：45分钟分值：100分]基础热身1．直线l1，l2相互平行，则下列向量可能是这两条直线的方向向量的是() A．s1＝(0,1,2)，s2＝(2,1,0)B．s1＝(0,1,1)，s2＝(1,1,0)C．s1＝(1,1,2)，s2＝(2,2,4)D．s1＝(1,1,1)，s2＝(－1,2，－1)2．直线l1，l2相互垂直，则下列向量可能是这两条直线的方向向量的是() A．s1＝(1,1,2)，s2＝(2，－1,0)B．s1＝(0,1，－1)，s2＝(2,0,0)C．s1＝(1,1,1)，s2＝(2,2，－2)D．s1＝(1，－1,1)，s2＝(－2,2，－2)3．若直线l∥平面α，直线l的方向向量为s，平面α的法向量为n，则下列结论正确的是()A．s＝(－1,0,2)，n＝(1,0，－1)B．s＝(－1,0,1)，n＝(1,2，－1)C．s＝(－1,1,1)，n＝(1,2，－1)D．s＝(－1,1,1)，n＝(－2,2,2)4．若直线l⊥平面α，直线l的方向向量为s，平面α的法向量为n，则下列结论正确的是()A．s＝(1,0,1)，n＝(1,0，－1)B．s＝(1,1,1)，n＝(1,1，－2)考单招——上高职单招网C ．s ＝(2,1,1)，n ＝(－4，－2，－2)D ．s ＝(1,3,1)，n ＝(2,0，－1) 能力提升5．若平面α，β平行，则下面可以是这两个平面的法向量的是( ) A ．n 1＝(1,2,3)，n 2＝(－3,2,1) B ．n 1＝(1,2,2)，n 2＝(－2,2,1) C ．n 1＝(1,1,1)，n 2＝(－2,2,1) D ．n 1＝(1,1,1)，n 2＝(－2，－2，－2)6．若平面α，β垂直，则下面可以是这两个平面的法向量的是( ) A ．n 1＝(1,2,1)，n 2＝(－3,1,1) B ．n 1＝(1,1,2)，n 2＝(－2,1,1) C ．n 1＝(1,1,1)，n 2＝(－1,2,1) D ．n 1＝(1,2,1)，n 2＝(0，－2，－2)7．直线l 的方向向量为s ＝(－1,1,1)，平面π的法向量为n ＝(2，x 2＋x ，－x )，若直线l ∥平面π，则x 的值为( )A ．－2B ．－ 2 C. 2 D ．±28． 已知A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,1)，则平面ABC 的单位法向量是( ) A ．s ＝±(1,1,1) B ．s ＝±⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，22 C ．s ＝±⎝⎛⎭⎪⎫33，33，33考单招——上高职单招网D ．s ＝±⎝⎛⎭⎪⎫33，－33，33 9．已知非零向量a ，b 及平面α，若向量a 是平面α的法向量，则a ·b ＝0是向量b 所在直线平行于平面α或在平面α内的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件10．平面α的一个法向量n ＝(0,1，－1)，如果直线l ⊥平面α，则直线l 的单位方向向量是s ＝________.11．空间中两个有一条公共边AD 的正方形ABCD 与ADEF ，设M ，N 分别是BD ，AE 的中点，给出如下命题：①AD ⊥MN ；②MN ∥平面CDE ；③MN ∥CE ；④MN ，CE 异面．则所有正确命题的序号为________．12．平面α经过点A (0,0,2)且一个法向量n ＝(1，－1，－1)，则x 轴与该平面的交点坐标是________．13．已知AB →＝(1,5，－2)，BC →＝(3,1，z )，若AB →⊥BC →，BP →＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则实数x ，y ，z 分别为________．14．(10分)如图K42－1，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD ＝DC ，E 是PC 的中点，作EF ⊥BP 交BP 于点F .(1)证明：PA ∥平面EDB ； (2)证明：PB ⊥平面EFD .考单招——上高职单招网图K42－115．(13分)已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱垂直于底面，∠BAC＝90°，AB＝AA1＝2，AC＝1，M，N分别是A1B1，BC的中点．(1)求证：AB⊥AC1；(2)求证：MN∥平面ACC1A1.图K42－2考单招——上高职单招网难点突破16．(12分)如图K42－3，已知棱长都为1的三棱锥O－ABC，棱OA的中点为M，自O作平面ABC的垂线，垂足为H，OH与平面MBC交于点I.(1)将OI→用OA→，OB→，OC→表示；(2)P点分线段MB的比为t1－t(0<t<1)，考单招——上高职单招网①将OP→用t，OA→，OB→表示；②若三点P，I，C在同一直线上，求t的值；③若PO⊥PA，求t的值．图K42－3考单招——上高职单招网考单招——上高职单招网参考答案【基础热身】1．C [解析] 两直线平行则其方向向量平行，根据两向量平行的条件检验知正确选项为C.2．B [解析] 两直线垂直，其方向向量垂直，只有选项B 中的两个向量垂直． 3．C [解析] 直线与平面平行，直线的方向向量和平面的法向量垂直，检验知正确选项为C.4．C [解析] 线面垂直时，直线的方向向量平行于平面的法向量，只有选项C 中的两向量平行．【能力提升】5．D [解析] 两个平面平行时其法向量也平行，检验知正确选项为D. 6．A [解析] 两个平面垂直时其法向量垂直，只有选项A 中的两个向量垂直． 7．D [解析] 线面平行时，直线的方向向量垂直于平面的法向量，故x 2－2＝0，解得x ＝±2.8．C [解析] 先求出平面ABC 的一个法向量，再把其单位化．不难求出其一个法向量是n ＝(1,1,1)，单位化得s ＝±⎝⎛⎭⎪⎫33，33，33. 9．C [解析] 根据向量与平面平行以及平面的法向量与直线的方向向量之间的关系进行判断．a ·b ＝0说明向量b 垂直于平面α的法向量，故向量b 与平面α共面，此时向量b 所在的直线平行于平面α或在平面α之内；反之a ·b ＝0.10．±⎝⎛⎭⎪⎫0，22，－22 [解析] 直线l 的方向向量平行于平面α的法向量，故直线l 的单位方向向量是s ＝±⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22，－22. 11．①②③ [解析] 如图，设AB →＝a ，AD →＝b ，AF →＝c ，考单招——上高职单招网则|a |＝|c |且a ·b ＝c ·b ＝0.MN →＝AN →－AM →＝12(b ＋c )－12(a ＋b )＝12(c －a )，MN →·AD →＝12(c－a )·b ＝12(c ·b －a ·b )＝0，故AD ⊥MN ；CE →＝c －a ＝2MN →，故MN ∥CE ，故MN ∥平面CDE ，故①②③正确；④一定不正确．12．(－2,0,0) [解析] 设交点M (x,0,0)，AM →＝(x,0，－2)，平面的一个法向量是n＝(1，－1，－1)，故n ⊥AM →，故x ＋2＝0，得x ＝－2，故x 轴与该平面的交点坐标是(－2,0,0)．13.407，－157，4 [解析] 由题知：BP →⊥AB →，BP →⊥BC →. 所以⎩⎨⎧AB →·BC →＝0，BP →·AB →＝0，BP →·BC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧1×3＋5×1＋(－2)×z ＝0，x －1＋5y ＋(－2)×(－3)＝0，3(x －1)＋y －3z ＝0.解得x ＝407，y ＝－157，z ＝4.14．[解答] 证明：以D 为坐标原点，射线DA ，DC ，DP 分别为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系．设DC ＝a .(1)连接AC ，AC 交BD 于G ，连接EG .依题意得A (a,0,0)，P (0,0，a )，E ⎝⎛⎭⎫0，a 2，a2.考单招——上高职单招网因为底面ABCD 是正方形，所以G 是此正方形的中心，故点G 的坐标为⎝⎛⎭⎫a 2，a2，0，且PA →＝(a,0，－a )，EG →＝⎝⎛⎭⎫a 2，0，－a 2.所以PA →＝2EG →，这表明PA ∥EG .而EG ⊂平面EDB 且PA ⊄平面EDB ，所以PA ∥平面EDB .(2)依题意得B (a ，a,0)，PB →＝(a ，a ，－a )．DE →＝⎝⎛⎭⎫0，a 2，a 2，故PB →·DE →＝0＋a 22－a 22＝0，所以PB ⊥DE ，由已知EF ⊥PB ，且EF ∩DE ＝E ，所以PB ⊥平面EFD .15．[解答] 依条件可知AB ，AC ，AA 1两两垂直．如图，以点A 为原点建立空间直角坐标系A －xyz .根据条件容易求出如下各点坐标：A (0,0,0)，B (0,2,0)，C (－1,0,0)，A 1(0,0,2)，B 1(0,2,2)，C 1(－1,0,2)，M (0,1,2)，N ⎝⎛⎭⎫－12，1，0. (1)证明：因为AB →＝(0,2,0)，AC 1→＝(－1,0,2)， 所以AB →·AC 1→＝0×(－1)＋2×0＋0×2＝0. 所以AB →⊥AC 1→，即AB ⊥AC 1.(2)证明：因为MN →＝⎝⎛⎭⎫－12，0，－2，AB →＝(0,2,0)是平面ACC 1A 1的一个法向量，且MN →·AB →＝－12×0＋0×2－2×0＝0，所以MN →⊥AB →.考单招——上高职单招网又MN ⊄平面ACC 1A 1，所以MN ∥平面ACC 1A 1.【难点突破】16．[解答] (1)据已知，H 是正△ABC 的中心，∴OH →＝13(OA →＋OB →＋OC →)，又I 在OH→上，故存在实数λ，使OI →＝λOH →＝λ3(OA →＋OB →＋OC →)＝λ3(2OM →＋OB →＋OC →)，∵I 在平面MBC 内，故2λ3＋λ3＋λ3＝1，即λ＝34，于是OI →＝14(OA →＋OB →＋OC →)．(2)①MP →＝tMB →，PB →＝(1－t )MB →，OP →＝OM →＋MP →＝OM →＋tMB →＝OM →＋t (OB →－OM →)＝12OA →＋t ⎝⎛⎭⎫OB →－12OA →＝1－t 2OA →＋tOB →； ②P 在直线IC 上，故存在实数m ，使OP →＝(1－m )OC →＋mOI →＝(1－m )OC →＋m 4·OA →＋m 4·OB →＋m 4·OC → ＝4－3m 4·OC →＋m 4·OA →＋m 4·OB →， 比较①②中两式可得⎩⎪⎨⎪⎧ 4－3m 4＝0，m 4＝1－t 2，m 4＝t ，解得⎩⎨⎧ m ＝43，t ＝13，故t 的值为13.③OP →·AP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 2OA →＋tOB →·(OP →－OA →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 2OA →＋tOB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋t 2OA →＋tOB → ＝t 2－14OA →2＋t 2OB →2－t 2OA →·OB →＝t 2－14·12＋t 2·12－t 2·1·1·cos60°＝3t 2－14，考单招——上高职单招网∵OP →⊥PA →，∴OP →·PA →＝0，∴3t 2－14＝0，即t ＝±33， 又∵0<t <1，∴t ＝33即为所求．。