10.4电磁感应与动量、能量的综合应用

电磁感应与动量、能量的综合应用

题组一：动量守恒、动量定理

【例1】如图所示，两根间距为l的光滑金属导轨（不计电阻），由一段圆弧部分与一段无限长的水平段部分组成。其水平段加有竖直向下方向的匀强磁场，其磁感应强度为B，导轨水平段上静止放置一金属棒cd，质量为2m。，电阻为2r。另一质量为m，电阻为r的金属棒ab，从圆弧段M处由静止释放下滑至N处进入水平段，圆弧段MN半径为R，所对圆心角为60°，求：

（1）ab棒在N处进入磁场区速度多大？此时棒中电流是多少？

（2）cd棒能达到的最大速度是多大？

（3）cd棒由静止到达最大速度过程中，系统所能释放的热量是多少？

【例2】（动量定律）如图所示，两根平行的金属导轨，固定在同一水平面上，磁感应强度B=0.50T的匀强磁场与导轨所在平面垂直，导轨的电阻很小，可忽略不计。导轨间的距离l=0.20m。两根质量均为

m=0.10kg的平行金属杆甲、乙可在导轨上无摩擦地滑动，滑动过程中与导轨保持垂直，每根金属杆的电阻为R=0.50Ω。在t=0时刻，两杆都处于静止状态。现有一与导轨平行、大小为0.20N的恒力F作用于金属杆甲上，使金属杆在导轨上滑动。经过t=5.0s，金属杆甲的加速度为a=1.37m/s2，问此时两金属杆的速度各为多少？

【例3】两根足够长的固定的平行金属导轨位于同一水平面内，两导轨间的距离为L。导轨上面横放着两根导体棒ab和cd，构成矩形回路，如图所示．两根导体棒的质量皆为m，电阻皆为R，回路中其余部分的电阻可不计．在整个导轨平面内都有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度为B．设两导体棒均可沿导轨无摩擦地滑行．开始时，棒cd静止，棒ab有指向棒cd的初速度v0．若两导体棒在运动中始终不接触，求：

（1）在运动中产生的焦耳热最多是多少．

（2）当ab棒的速度变为初速度的3/4时，cd棒的加速度是多少？ B

v0

L

a c d

b

1

2

h

a

b

B 二：二级结论 电磁感应中的一个重要推论——安培力的冲量公式R

BL

BLq t BLI t F ∆Φ

==∆=∆ 【例3】如图所示，在光滑的水平面上，有一垂直向下的匀强磁场分布在宽为L 的区域内，有一个边长为a （a

A ．完全进入磁场中时线圈的速度大于（v 0+v ）/2；

B ．安全进入磁场中时线圈的速度等于（v 0+v ）/2；

C ．完全进入磁场中时线圈的速度小于（v 0+v ）/2；

D ．以上情况A 、B 均有可能，而C 是不可能的

【例4】光滑U 型金属框架宽为L ，足够长，其上放一质量为m 的金属棒ab ，左端连接有一电容为C 的电容器，现给棒一个初速v 0，使棒始终垂直框架并沿框架运动，如图所示。求导体棒的最终速度。

解析：当金属棒ab 做切割磁力线运动时，要产生感应电动势，这样，电容器C 将被充电，ab 棒中有充电电流存在，ab 棒受到安培力的作用而减速，当ab 棒以稳定速度v 匀速运动时，有：

BLv =U C =q/C

而对导体棒ab 利用动量定理可得：-BLq =mv -mv 0 由上述二式可求得： C

L B m mv v 2

20

+= 四、针对练习

1．如图所示，金属杆a 在离地h 高处从静止开始沿弧形轨道下滑，导轨平行的水平部分有竖直向上的匀强磁场B ，水平部分导轨上原来放有一金属杆b .已知杆的质量为m a ，且与b 杆的质量比为m a ∶m b =3∶４，水平导轨足够长，不计摩擦，求：

（1）a 和b 的最终速度分别是多大？

（2）整个过程中回路释放的电能是多少？

（3）若已知a 、b 杆的电阻之比R a ∶R b =3∶4，其余电阻不计，整个过程中a 、b 上产生的热量分别是多少？

2．如图所示，abcd 和a /b /c /d /

为水平放置的光滑平行导轨，区域内充满方向竖直向上的匀强磁场。ab 、

a /

b /间的宽度是cd 、

c /

d /间宽度的2倍。设导轨足够长，导体棒ef 的质量是棒gh 的质量的2倍。现给导体

棒ef 一个初速度v 0，沿导轨向左运动，当两棒的速度稳定时，两棒的速度分别是多少？

L

a a

a

b

C

v 0

a a

b b

/

d d /

c

c / e

f

g h

3

3． 水平放置的平行金属框架宽L =0.2m ，质量为m =0.1kg 的金属棒ab 放在框架上，并且与框架的两条边垂直。整个装置放在磁感应强度B =0.5T ，方向垂直框架平面的匀强磁场中，如图所示。金属棒ab 在F =2N 的水平向右的恒力作用下由静止开始运动。电路中除R =0.05Ω外，其余电阻、摩擦阻力均不考虑。试求当金属棒ab 达到最大速度后，撤去外力F ，此后感应电流还能产生的热量。（设框架足够长）

4．如图所示位于竖直平面的正方形平面导线框abcd ，边长为L =10cm ，线框质量为m =0.1kg ，电阻为

R =0.5Ω，其下方有一匀强磁场区域，该区域上、下两边界间的距离为H （ H > L ），磁场的磁感应强度为B =5T ，方向与线框平面垂直。今线框从距磁场上边界h =30cm 处自由下落，已知线框的dc 边进入磁场后，ab 边到达上边界之前的某一时刻线框的速度已达到这一阶段的最大值，问从线框开始下落到dc 边刚刚到

达磁场下边界的过程中，磁场作用于线框的安培力做的总功是多少？（g =10m/s 2

）

5．如图所示，在匀强磁场区域内与B 垂直的平面中有两根足够长的固定金属平行导轨，在它们上面横放两根平行导体棒构成矩形回路，长度为L ，质量为m ，电阻为R ，回路部分导轨电阻可忽略，棒与导轨无摩擦，不计重力和电磁辐射，且开始时图中左侧导体棒静止，右侧导体棒具有向右的初速v 0，试求两棒之间距离增长量x 的上限。

6．如图所示，电动机牵引一根原来静止的、长L 为1m 、质量m 为0.1kg 的导体棒MN 上升，导体棒的电阻R 为1Ω，架在竖直放置的框架上，它们处于磁感应强度B 为1T 的匀强磁场中，磁场方向与框架平面垂直。当导体棒上升h =3.8m 时，获得稳定的速度，导体棒上产生的热量为2J ，电动机牵引棒时，电压表、电流表的读数分别为7V 、1A ，电动机内阻r 为1Ω，不计框架电阻及一切

摩擦，求：

（1）棒能达到的稳定速度；

（2）棒从静止至达到稳定速度所需要的时间。

b a

R

× × × × × × × ×

v