高二数学选修4-4~4.4.1曲线参数方程的意义 ppt
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高中数学人教A版选修4-4第二讲 一 1. 参数方程的概念 课件
[思路点拨] 此类问题关键是参数的选取．本例中由于 A、 B 的滑动而引起点 P 的运动，故可以 OB 的长为参数，或以角 为参数，不妨取 BP 与 x 轴正向夹角为参数来求解．
[解] 法一：设 P 点的坐标为(x，y)，过
P 点作 x 轴的垂线交 x 轴于 Q.如图所示，则 Rt△OAB≌Rt△QBP.
∴xy＝＝bascions
θ， θ.
这就是所求的轨迹方程．
9．如图所示，OA是圆C的直径，且OA＝2a， 射线OB与圆交于Q点，和经过A点的切线 交于B点，作PQ⊥OA，PB∥OA，试求点P 的轨迹方程．
解：设 P(x，y)是轨迹上任意一点，取∠DOQ＝θ， 由 PQ⊥OA，PB∥OA，得 x＝OD＝OQcosθ＝OAcos2θ＝ 2acos2θ，y＝AB＝OAtan θ＝2atan θ. 所以 P 点轨迹的参数方程为xy＝＝22aatcaons2θθ，， θ∈－π2，π2.
解析：x轴上的点横坐标可取任意实数，纵坐标为0.
答案：D
2．若点P(4，a)在曲线x＝2t ， (t为参数)上，则a等于(
)
y＝2 t
A．4
B．4 2
C．8
D．1
解析：根据题意，将点P坐标代入曲线方程中得
4＝2t ， a＝2 t
⇒ta＝＝84，2.
答案：B
3．在方程
参数方程是曲线方程的另一种表达形式，点与曲线 位置关系的判断，与平面直角坐标方程下的判断方法是 一致的．
1．已知点 M(2，－2)在曲线 C：x＝t＋1t ， (t 为参数)上， y＝－2
则其对应的参数 t 的值为________． 解：由 t＋1t ＝2 知 t＝1. 答案：1
2．已知某条曲线 C 的参数方程为xy＝＝a1t＋2 2t， (其中 t 为参数， a∈R)．点 M(5,4)在该曲线上，求常数 a.
[解] 法一：设 P 点的坐标为(x，y)，过
P 点作 x 轴的垂线交 x 轴于 Q.如图所示，则 Rt△OAB≌Rt△QBP.
∴xy＝＝bascions
θ， θ.
这就是所求的轨迹方程．
9．如图所示，OA是圆C的直径，且OA＝2a， 射线OB与圆交于Q点，和经过A点的切线 交于B点，作PQ⊥OA，PB∥OA，试求点P 的轨迹方程．
解：设 P(x，y)是轨迹上任意一点，取∠DOQ＝θ， 由 PQ⊥OA，PB∥OA，得 x＝OD＝OQcosθ＝OAcos2θ＝ 2acos2θ，y＝AB＝OAtan θ＝2atan θ. 所以 P 点轨迹的参数方程为xy＝＝22aatcaons2θθ，， θ∈－π2，π2.
解析：x轴上的点横坐标可取任意实数，纵坐标为0.
答案：D
2．若点P(4，a)在曲线x＝2t ， (t为参数)上，则a等于(
)
y＝2 t
A．4
B．4 2
C．8
D．1
解析：根据题意，将点P坐标代入曲线方程中得
4＝2t ， a＝2 t
⇒ta＝＝84，2.
答案：B
3．在方程
参数方程是曲线方程的另一种表达形式，点与曲线 位置关系的判断，与平面直角坐标方程下的判断方法是 一致的．
1．已知点 M(2，－2)在曲线 C：x＝t＋1t ， (t 为参数)上， y＝－2
则其对应的参数 t 的值为________． 解：由 t＋1t ＝2 知 t＝1. 答案：1
2．已知某条曲线 C 的参数方程为xy＝＝a1t＋2 2t， (其中 t 为参数， a∈R)．点 M(5,4)在该曲线上，求常数 a.
人教版高中数学选修4-4 第一讲 坐标系 二 极坐标系 (共34张PPT)教育课件
A. y 1
sin t
1
x t2
C.
1
yt 2
x cos t
B. y 1
cos t
x tan t
D. y 1
tan t
7.极坐标方程
2
arcsin化(为 直0)角坐标方程的形
式是 （ ）
A. x2 y2 x 0
B．y x(1 x)
C. 2x 1 4y2 1 D.．y (x 1)
2.极坐标（,）与(ρ，2kπ+θ)( k )表z 示 同一个点.即一点的极坐标的统一的表达式 为(ρ，2kπ+θ)
3.如果规定ρ＞0,0≤θ＜2π，那么除 极 点外,平面内的点和极坐标就可以一一对 应了。
我们学了直角坐标,也学了极坐 标，那么这两种坐标有什么关系呢? 已知点的直角坐标为,如何用极坐标 表示这个点呢?
M (, )
0
x
2
4
5
6
C
1.如图，在极坐标系中，写出点 AF(,6B, ,4C3 ,)D的, G极(坐5, 标53，所) 并在标的出位E置( 72 , ) ,
E D BA
O
X
4 F
3
G 5
3
解：如图可得A,B,C,D的坐标分别为
(4,0)
(2, )
(3, )
(1, 5 )
4
2
6
点E,F,G的位置如图所示
1
4.极坐标方程ρ=cosθ与ρcosθ= 的2 图形是（ ） B
A
B
C
D
解x=：12把，ρc故os排θ=除A，、12 化D；为又直圆角ρ坐=c程os，θ显得然: 过点 (0,1)，又排除C，故选B。
5、若A、B的两点极坐标为A(4,
人教A版数学【选修4-4】ppt课件：2-2第二讲-参数方程
【解】
如图所示：
由动点C在该椭圆上运动，故可设C的坐标为(6cosθ，3sinθ)， 点G的坐标为(x，y)，由题意可知A(6,0)，B(0,3)，由三角形重心坐 标公式可知：
x＝6＋0＋6cosθ＝2＋2cosθ， 3 0＋3＋3sinθ y＝ ＝1＋sinθ. 3 x－22 由此，消去参数θ，得到所求的普通方程为 4 ＋(y－1)2＝ 1.
x－1＝cosθ， 3 【解】 (1)由题意可设 y＋2 ＝sinθ， 5
x＝1＋ 3cosθ， y＝－2＋ 5sinθ
即
(θ为参数)为所求．
2 2 x y (2)x2－y2＝4变形为： 4 － 4 ＝1.
x＝2secα， ∴参数方程为 y＝2tanα
2 x ＝ 2 pt ， 2 2．抛物线y ＝2px(p>0)的参数方程为 y＝2pt
y 1 由于 x ＝ t ，因此参数t的几何意义是抛物线上除顶点外的点与 抛物线的顶点连线的斜率的倒数． 3．几个结论 x2 y2 (1)焦点在y轴上的椭圆的标准方程为 b2 ＋ a2 ＝1(a>b>0)，其参 数方程是 [0,2π)．
x2 y2 a2＋b2＝1
x＝acosφ， y＝bsinφ
x2 y2 a2－b2＝1
x＝asecφ， y＝btanφ
点的坐标
(rcosθ， rsinθ)
(acosφ，bsinφ)
(asecφ，btanφ)
这三种曲线的参数方程都是参数的三角形式．其中圆的参数θ 表示旋转角，而椭圆、双曲线的参数φ表示离心角，几何意义是不 同的，它们的参数方程主要应用价值在于： (1)通过参数(角)简明地表示曲线上任一点的坐标； (2)将解析几何中的计算问题转化为三角问题，从而运用三角 函数性质及变换公式帮助求解最值、参数的取值范围等问题．
人教版高中数学选修4-4课件：第二讲二第2课时双曲线的参数方程和抛物线的参数方程
x＝sec θ，
解：把双曲线方程化为参数方程
(θ 为参
y＝tan θ
数)，
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18
设双曲线上点 Q(sec θ，tan θ)，则
|PQ|2＝sec2θ＋(tan θ－2)2＝
(tan2θ＋1)＋(tan2θ－4tan θ＋4)＝
2tan2θ－4tan θ＋5＝2(tan θ－1)2＋3，
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5
2．抛物线的参数方程
如图，抛物线 y2＝2px(p>0)的参数方程为
x＝2pt2，
____y_＝__2_p_t ____t为参数，t＝tan1
α.
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6
温馨提示 t＝sin1 α(α 是以射线 OM 为终边的角)，即 参数 t 表示抛物线上除顶点之外的任意一点与原点连线的 斜率的倒数．
第二讲 参数方程
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1
二、圆锥曲线的参数方程 第 2 课时 双曲线的参数方程和
抛物线的参数方程
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2
[学习目标] 1.了解抛物线和双曲线的参数方程，了 解抛物线参数方程中参数的几何意义(重点)． 2.利用抛 物线和双曲线的参数方程处理问题(重点、难点)．
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当 tan θ－1＝0，即 θ＝π4时，
|PQ|2 取最小值 3，此时有|PQ|＝ 3.
即 P、Q 两点间的最小距离为 3.
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19
[迁移探究] (变换条件)已知圆 O1：x2＋(y－2)2＝1 上一点 P 与双曲线 x2－y2＝1 上一点 Q，求 P，Q 两点间 距离的最小值．
解：设 Q(sec θ，tan θ)， 由题意知|O1P|＋|PQ|≥|O1Q|. |O1Q|2＝sec2θ＋(tan θ－2)2＝
2.2《圆锥曲线的参数方程》 课件(人教A版选修4-4)
【解析】
6.下列参数方程的曲线的焦点在横轴上的是(
)
【解析】选C.将
2x=sin （θ为参数）化为普通方程，得 y=cos
4x2+y2=1，表示焦点在纵轴上的椭圆；将 x=2t （t为参数）
2 y=2t
化为普通方程，得 y= 1 x 2 ，
2
表示焦点在纵轴上的抛物线；由于sec2θ-tan2θ=1， 故将
x=sec y=tan
（θ为参数）化为普通方程，得 x2-y2=1，
表示焦点在横轴上的双曲线；
将
x=t
（t为参数）化为普通方程，得 y=-3x2，表示焦点在
2
y=-3t
纵轴上的抛物线.
二、填空题（每小题8分，共24分）
x 2 2 上，则x+y的最大值为______. 7.点P（x,y）在椭圆 +y =1 4
y=2sect 答案： x=3tant (t为参数) y=2sect
三、解答题（共40分）
x 2 y2 10.（12分） 若F1,F2是椭圆 + =1的焦点，P为椭圆上不 25 16
在x轴上的点，求△PF1F2的重心G的轨迹方程. 【解析】
11.（14分）设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心
点F（1，0)，准线方程为x=-1,又点M（3,m)在抛物线上，故
|MF|=3-（-1）=4.
x=-4t 2 +1 4.抛物线方程为 (t为参数),则它在y轴正半轴上的截 y=4t
距是( （A）1
) （B）2 （C）4 （D）不存在
2
【解析】选B.当x=-4t2+1=0时，t=〒 1 ,
一、选择题（每小题6分，共36分）
2.1.1《参数方程的概念、圆的参数方程》 课件(人教A版选修4-4)
y=t
限内，其余方程的曲线都过第二象限.
4.已知O为原点，当θ = 时，参数方程 6
x=3cos (θ 为参数) y=9sin
上的点为A,则直线OA的倾斜角为( (A)
6
) (D) 5
6
(B)
3
(C) 2
3
【解析】
5.在方程 标是( )
x=sin2 (θ 为参数)所表示的曲线上的一点的坐 y=sin+cos
12.（14分）已知圆系方程为x2+y2-2axcosφ -2aysinφ =0
(a＞0).
(1)求圆心的轨迹方程; (2)证明圆心轨迹与动圆相交所得的公共弦长为定值.
【解析】
)
【解析】选D. 当x=t-1=0时，t=1,y=t+2=3;当y=t+2=0时， t=-2,x=t-1=-3.曲线与坐标轴的交点坐标为（0，3），
（-3，0）.
x=sin 2.下列各点在方程 (θ 为参数)所表示的曲线上的是 y=cos2
(
（B） ( 1 , 2 )
3 3
)
（A）(2,-7) （C） ( 1 , 1 )
【解析】设飞机在点H将物资投出机 舱，记此时刻为0 s，设在时刻t s 时的坐标为M（x,y）,如图,建立平 面直角坐标系，由于物资做平抛运 动，依题意，得
x=100t x=100t 1 2 ,即 y=h- gt y=h-5t 2 2
令x=100t=1 000,得t=10(s), 由y=h-5t2=h-500=0,得h=500 m. 答案:500 m
∴x=sin 2θ= - 3 .
4
1 4
x=3+cos 6.曲线 (θ 为参数)上的点到坐标轴的最近距离为 y=4+sin
限内，其余方程的曲线都过第二象限.
4.已知O为原点，当θ = 时，参数方程 6
x=3cos (θ 为参数) y=9sin
上的点为A,则直线OA的倾斜角为( (A)
6
) (D) 5
6
(B)
3
(C) 2
3
【解析】
5.在方程 标是( )
x=sin2 (θ 为参数)所表示的曲线上的一点的坐 y=sin+cos
12.（14分）已知圆系方程为x2+y2-2axcosφ -2aysinφ =0
(a＞0).
(1)求圆心的轨迹方程; (2)证明圆心轨迹与动圆相交所得的公共弦长为定值.
【解析】
)
【解析】选D. 当x=t-1=0时，t=1,y=t+2=3;当y=t+2=0时， t=-2,x=t-1=-3.曲线与坐标轴的交点坐标为（0，3），
（-3，0）.
x=sin 2.下列各点在方程 (θ 为参数)所表示的曲线上的是 y=cos2
(
（B） ( 1 , 2 )
3 3
)
（A）(2,-7) （C） ( 1 , 1 )
【解析】设飞机在点H将物资投出机 舱，记此时刻为0 s，设在时刻t s 时的坐标为M（x,y）,如图,建立平 面直角坐标系，由于物资做平抛运 动，依题意，得
x=100t x=100t 1 2 ,即 y=h- gt y=h-5t 2 2
令x=100t=1 000,得t=10(s), 由y=h-5t2=h-500=0,得h=500 m. 答案:500 m
∴x=sin 2θ= - 3 .
4
1 4
x=3+cos 6.曲线 (θ 为参数)上的点到坐标轴的最近距离为 y=4+sin
2.2圆锥曲线的参数方程课件-高二A版数学(文)人教选修4-4
AD 20 cos, AB 16sin S 2016sin cos 160sin 2
所以, 矩形ABCD最大面积为160
D BA
2
AF
1
1
C
OF
B2
B
1
A XX
2
y
(为参数）
10sin
(3)
x2 9
y2 25
1
(4)
x2 64
y2 100
1
二、双曲线的参数方程
双曲线的参数方程
设M (x, y)
y
a
B'
A
•M
在OAA'中，x
| OA' | | OA | b b • sec,
cos cos
b
o B A' x
在OBB '中，y | BB ' || OB | • tan b • tan.
都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为 2，π3. (1)求点A，B，C，D的直角坐标；
例2 已知A，B分别是椭圆 3x62 ＋y92 ＝1的右顶点和上顶点，动点 C在该椭圆上运动，求△ABC的重心G的轨迹方程.
解 由题意知A(6,0)，B(0,3).由于动点C在椭圆上运动， 故可设动点C的坐标为(6cos θ，3sin θ)，点G的坐标设为(x，y)，
抛物线的参数方程
y
M(x，y)
抛物线y2 =2px(p>0)的参数方程为:
x=2pt2 ,
y
2pt.
(t为参数，t
R)
o
Hx
其中参数t=
1
tan
(
0),当
=0时，t=0.
几何意义为：抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数。
所以, 矩形ABCD最大面积为160
D BA
2
AF
1
1
C
OF
B2
B
1
A XX
2
y
(为参数）
10sin
(3)
x2 9
y2 25
1
(4)
x2 64
y2 100
1
二、双曲线的参数方程
双曲线的参数方程
设M (x, y)
y
a
B'
A
•M
在OAA'中，x
| OA' | | OA | b b • sec,
cos cos
b
o B A' x
在OBB '中，y | BB ' || OB | • tan b • tan.
都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为 2，π3. (1)求点A，B，C，D的直角坐标；
例2 已知A，B分别是椭圆 3x62 ＋y92 ＝1的右顶点和上顶点，动点 C在该椭圆上运动，求△ABC的重心G的轨迹方程.
解 由题意知A(6,0)，B(0,3).由于动点C在椭圆上运动， 故可设动点C的坐标为(6cos θ，3sin θ)，点G的坐标设为(x，y)，
抛物线的参数方程
y
M(x，y)
抛物线y2 =2px(p>0)的参数方程为:
x=2pt2 ,
y
2pt.
(t为参数，t
R)
o
Hx
其中参数t=
1
tan
(
0),当
=0时，t=0.
几何意义为：抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数。
高二数学之人教版高中数学选修4-4课件：第二讲一第2课时圆的参数方程
y＝1＋2tt2，
1 所以 y＝(1－x2)2，y2＝1－x2，
所以 x2＋y2＝1.
答案：D
4．已知圆的普通方程 x2＋y2＋2x－6y＋9＝0，则它 的参数方程为__________________．
解析：由 x2＋y2＋2x－6y＋9＝0，
得(x＋1)2＋(y－3)2＝1.
令 x＋1＝cos θ，y－3＝sin θ，
θ， θ
θ∈0，π2都表示同一圆．(
)
(4)圆的参数方程为xy＝＝2－si2n＋θ2cos
θ， (θ
为参数)，则
圆心坐标为(－2，0)．( )
x＝5sin 解析：(1)参数方程
θ， 消参后得到
x2＋y2＝
y＝5cos θ
25 ， 可 以 表 示 圆 ， 不 过 此 时 参 数 θ 的 几 何 意 义 与
审题指导：(1)先将圆的参数方程化为普通方程，然 后和直线方程联立方程组，解得交点的直角坐标，再化为 直角坐标．
(2)利用点到直线的距离公式求出距离，然后利用三 角函数知识求最值或结合圆的性质求最值．
[规范解答] (1)直线 l：y＝x＋4，圆 C：x2＋(y－2)2
＝4，(1 分)
y＝x＋4，
4
x＝4cos 的圆，而
y＝4sin
θθ，θ∈0，π2表示以原点为圆心，半径
为 4 的圆的一部分，故不正确．
(4)由圆的参数方程知圆心为(－2，0)，故正确． 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√
2．圆(x－1)2＋y2＝4 上的点可以表示为( ) A．(－1＋cos θ，sin θ) B．(1＋sin θ，cos θ) C．(－1＋2cos θ，2sin θ) D．(1＋2cos θ，2sin θ) 解析：由圆的方程知圆心为(1，0)，半径为 2，故由
人教新课标版数学高二A版选修4-4课件 第二讲 第1节 第3课时 参数方程和普通方程的互化
(1)将参数方程转化为我们所熟悉的普通方程是解决 问题的关键．
(2)将所求的问题用恰当的参数表示，是解决此类问题 的转折点．
3．已知方程 y2－6ysin θ－2x－9cos2θ＋8cos θ ＋9＝0，(0≤θ＜2π)．
(1)试证：不论 θ 如何变化，方程都表示顶点在同一 椭圆上的抛物线；
(2)θ 为何值时，该抛物线在直线 x＝14 上截得的弦 最长，并求出此弦长．
(1)（x－31）2＋（y－52）2＝1，x＝ 3cos θ＋1.(θ 为参数)
(2)x2－y＋x－1＝0，x＝t＋1.(t 为参数)
[精讲详析] 本题考查化普通方程为参数方程的方 法，解答本题只需将已知的变量 x 代入方程，求出 y 即可．
(1)将
x＝
3cos
θ＋1
代
入（x－3 1）2
＋
（y－2）2 5
所以 x2＋y2 的最小值为 9.
答案：9
8．点(x，y)是曲线 C：xy＝＝s－in2＋θcos
θ，
(θ 为参数，0≤
θ＜2π)上任意一点，则xy的取值范围是________．
解析：曲线 C：xy＝＝s－in2＋θcos
θ，
是以(－2，0)为圆心，
1 为半径的圆，即(x＋2)2＋y2＝1.
设xy＝k，∴y＝kx. 当直线 y＝kx 与圆相切时，k 取得最小值与最大值． ∴ |－k22＋k|1＝1，k2＝13.
(1)求常数 a； (2)求曲线 C 的普通方程．
解：(1)由题意可知有1a＋t2＝2t1＝3，故ta＝＝11，，∴a＝1. (2)由已知及(1)可得，曲线 C 的方程为xy＝＝t12＋. 2t， 由第一个方程得 t＝x－2 1代入第二个方程得 y＝(x－2 1)2，即 (x－1)2＝4y 为所求.
人教版选修4-4 极坐标与参数方程(精品课件)共24张PPT
三、极坐标的正式应用和扩展
◆1736年出版的《流数术和无穷级数》一书中，牛顿 第一个将极坐标系应用于表示平面上的任何一点。牛 顿在书中验证了极坐标和其他九种坐标系的转换关系。 ◆在1691年出版的《博学通报》一书中伯努利正式使 用定点和从定点引出的一条射线，定点称为极点，射 线称为极轴。平面内任何一点的坐标都通过该点与定 点的距离和与极轴的夹角来表示。伯努利通过极坐标 系对曲线的曲率半径进行了研究。
（2）点P（ρ，θ）与点（ρ，2kπ+θ）（k∈Z）
所表示的是同一个点，即角θ与2kπ+θ的终边是 相同的。 综上所述，在极坐标系中，点与其点的极 坐标之间不是一一对应而是一对多的对应
(ρ，θ)，（ρ，2kπ+θ），（-ρ，（2k+1）π+θ）均 表示同一个点
3.极坐标和直角坐标的互化
y
（1）互化背景：把直角坐标系 的原点作为极点，x轴的正半轴 作为极轴，并在两种坐标系中取 相同的长度单位，如图所示：
极坐标系和参数方程虽为选修内容，高中学生也 应该重视对本专题的学习，既可以体会其中的数 学思想，也能提高对数学的认识，而且可以与已 学知识融会贯通
极坐标系
定义：平面内的一条有规 定有单位长度的射线0x,0 为极点，0x为极轴，选定 一个长度单位和角的正方 向(通常取逆时针方向)， 这就构成了极坐标系。
关于教材编排
参数方程是选修4-4专题的一个重要内容。这一专 题包含、涉及了很多高中内容。利用高二学生已掌 握的直线、圆和圆锥曲线曲线方程为基础，鼓励学 生利用参数的思想对它们进行探究解析，以及能学 习掌握如何优化参数的选择推出已知曲线方程的参 数形式，能等价互化参数方程与普通方程；借助实 际生活例子或相应习题体会参数方程的优势，理解 学习参数方程的缘由。
高中数学第二节 参数方程ppt课件
2．参数方程与普通方程的互化 通过消去_参__数__从参数方程得到普通方程，如果知道 变数 x，y 中的一个与参数 t 的关系，例如 x＝f(t)，把它 代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系 y＝g(t)， 那么xy＝＝gf（（tt）），就是曲线的参数方程．
3．常见曲线的参数方程和普通方程
解：(1)由xy＝＝s3icnoαs α，消去参数 α，得x92＋y2＝1， 即 C 的普通方程为x92＋y2＝1， 由 ρsinθ－π4＝ 2，得 ρsin θ－ρcos θ＝2，① 将xy＝＝ρρscionsθθ，，代入①得 y＝x＋2， 所以直线 l 的倾斜角为π4.
选修4-4 坐标系与参数方程
第二节 参数方程
最新考纲
考情索引
2018·全国卷Ⅱ，
1.了解参数方程及 其参数的意义. 2.能选择适当的参 数写出直线、圆和 椭圆的参数方程.
T22 2018·全国
卷Ⅲ，T22 2017·全国卷Ⅰ， T22 2017·全国卷
Ⅲ，T22 2016·全国卷Ⅱ，
T23
核心素养
[变式训练]
(2019·郑州质检)在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C
的参数方程为xy＝＝s3icnoαs
α， (α
为参数)，在以原点为极点，
x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线 l 的极坐标方程为
ρsinθ－π4＝ 2. (1)求 C 的普通方程和 l 的倾斜角；
(2)设点 P(0，2)，l 和 C 交于 A，B 两点，求|PA|＋|PB|.
(2)(人A选修4－4·P37例2改编)在平面直角坐标系
xOy中，若直线l：
x＝t， y＝t－a
(t为参数)过椭圆C：
x＝3cos y＝2sin
2.1曲线的参数方程 第二课时 课件(人教A版选修4-4)
1．直线y＝ax＋b通过第一、二、四象限，则圆
x a rcos ， y b rsin (θ为参数)的圆心位于(
B)
A．第一象限 C．第三象限 A．(－1＋cos θ，sin θ) C．(－1＋2cos θ，2sin θ)
B．第二象限 D．第四象限 B．(1＋sin θ，cos θ) D．(1＋2cos θ，2sin θ)
上的动点，∠AOQ的平分线交AQ于点M.当点Q在圆C上运动
时，求点M的轨迹方程．
解析：设点 O 到 AQ 的距离为 d，则 1 1 |AM|· d＝ |OA|· |OM|· sin ∠AOM， 2 2 1 1 |QM|· d＝ |OQ|· |OM|· sin ∠QOM. 2 2 |AM| |OA| 2 → 2 → 又∵∠AOM＝∠QOM，∴ ＝ ＝ .∴AM＝ AQ. |QM| |OQ| 1 3 ∵点 Q 是圆 x2＋y2＝1 上的点， ∴设点 Q 的坐标为(cos θ， sin θ)，M(x，y)，得 2 (x－2，y－0)＝ (cos θ－2，sin θ－0)， 3 2 2 2 即 x－ ＝ cos θ，y＝ sin θ. 3 3 3 2 4 2 2 两式平方相加，得x－3 ＋y ＝ ， 9 2 4 2 2 ∴点 M 的轨迹方程为x－3 ＋y ＝ . 9
∵cos2t＋sin2t＝1，∴(x－1)2＋(y＋2)2＝4. 由于 0≤t≤π，∴0≤sin t≤1，从而 0≤y＋2≤2， 即－2≤y≤0. ∴所求的曲线的参数方程为 (x－1)2＋(y＋2)2＝4(－2≤y≤0)． 这是一个半圆，其圆心为(1，－2)，半径为 2.
圆的直径AB上有两点C，D，且|AB|＝10，|AC|
把它化为普通方程，并判断该曲线表示什么图形． 分析：把曲线的参数方程化为普通方程，就是将参数方 程中的参变量消去，常用的消参法有代入法、加减消元法、 乘除消元法、三角消元法，但要注意消去参数时变量范围的 一致性．
2.1.曲线的参数方程PPT课件
6
一、方程组有3个变量，其中的x,y表示点的 坐标，变量t叫做参变量，而且x,y分别是t的 函数。
二、由物理知识可知，物体的位置由时间t唯 一决定，从数学角度看，这就是点M的坐标 x,y由t唯一确定，这样当t在允许值范围内连 续变化时，x,y的值也随之连续地变化，于是 就可以连续地描绘出点的轨迹。
这就是圆心在原点O，
o
M0 x
半径为r的圆的参数方程。
其中参数t有明确的物理意义
(质点作匀速圆周运动的 2时 021 刻)
16
考 虑 到 ＝ t ， 也 可 以 取 为 参 数 ，
y
于 是 有{xy rrcso ins(为 参 数 )
M(x,y)
这也是圆心在原点O，
r
半径为r的圆的参数方程
o
其 中 参 数 的 几 何 意 义 是 :
（1）普通方程化为参数方程需要引入参数
如：①直线L 的普通方程是2x-y+2=0，可以化为参
数方程
x
y
t, 2t
（t为参数）
2.
②在普通方程xy=1中，令x = tan,可以化为参数方程
x tan ,
y
cot .
（为参数）
2021
27
（2）参数方程通过代入消元或加减消元消去参数化为
普通方程
投放点
提示： 即求飞行员在离救援点的水平距离 多远时，开始投放物资？
？ 救援点
1、参数方程的概念：
如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s 的速度作水平直线飞行. 为使投放救援物资准确落于灾 区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确定投放 时机呢？ 设飞机在点A将物资投出机舱，
如：①参数方程
高中数学人教A版选修4-4课件：2.1曲线的参数方程
因为 θ∈ 0,
2
所以 sin θ +
4
,所以 θ+ ∈
4
∈
2
,1
2
3
,
4 4
4
Hale Waihona Puke ..,即 2sin θ +
故 x+y 的最大值是 2,最小值是 1.
4
∈ 1, 2 .
HONGDIAN NANDIAN
S 随堂练习
UITANG LIANXI
首 页
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
关系比较明显,容易列出方程.
首 页
1
2
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
HONGDIAN NANDIAN
S 随堂练习
UITANG LIANXI
3
思考 2 求曲线参数方程的步骤是什么?
提示:第一步,画出轨迹草图,设 M(x,y)是轨迹上任意一点的坐标.画图
时要注意根据几何条件选择点的位置,以利于发现变量之间的关系.
C.相切
D.相离
解析:圆的普通方程为 x2+y2=4,圆心(0,0)到直线 xcos φ+ysin φ-2=0 的距离
2
1
d= =2.因为圆的半径为 2,所以直线与圆相切.
答案:C
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J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
HONGDIAN NANDIAN
1
x = 1 + 2θ,
3.将参数方程
HONGDIAN NANDIAN
1
2
1.与普通方程 xy=1 表示相同曲线的参数方程(t 为参数)是(
2
所以 sin θ +
4
,所以 θ+ ∈
4
∈
2
,1
2
3
,
4 4
4
Hale Waihona Puke ..,即 2sin θ +
故 x+y 的最大值是 2,最小值是 1.
4
∈ 1, 2 .
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关系比较明显,容易列出方程.
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1
2
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3
思考 2 求曲线参数方程的步骤是什么?
提示:第一步,画出轨迹草图,设 M(x,y)是轨迹上任意一点的坐标.画图
时要注意根据几何条件选择点的位置,以利于发现变量之间的关系.
C.相切
D.相离
解析:圆的普通方程为 x2+y2=4,圆心(0,0)到直线 xcos φ+ysin φ-2=0 的距离
2
1
d= =2.因为圆的半径为 2,所以直线与圆相切.
答案:C
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1
x = 1 + 2θ,
3.将参数方程
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1
2
1.与普通方程 xy=1 表示相同曲线的参数方程(t 为参数)是(
高考总数学(文)一轮总复习课件：选修4-4 第二节 参数方程
2．(2013·广西四校联考)极坐标方程ρ＝cos x＝－1－t，
θ和参数方程 y＝2＋3t (t为参数)所表示的图 形分别是________．
【解析】 ∵ρ＝cos θ，∴ρ2＝ρcos θ， ∴x2＋y2＝x，即x2－x＋y2＝0表示圆， ∵xy＝＝2－＋13－t，t，消t后，得3x＋y＋1＝0，表示直线．
线段OP的中点，由代入法求曲线C2的参数方程；
(2)由于点A、B在射线θ＝
π 3
上，分别求点A、B的
极径，进而确定|AB|的大小．
【尝试解答】 (1)由 O→P ＝2 O→M 知，点M是线段 OP的中点．
设点P(x，y)，则M(x2，y2)， ∵点M在曲线C1：xy＝＝22＋cos2sαin ，α，上，
方程判断曲线类型．
【尝试解答】
由xy＝＝ba＋＋ttcsions
θ， θ. ②
①
(1)当t为非零常数时，
原方程组为xy－－tt ba＝＝csions
θ， θ. ④
③
③2＋④2得（x－t2 a）2＋（y－t2 b）2＝1，
即(x－a)2＋(y－b)2＝t2，它表示一个圆．
(2)当t＝0时，表示点(a，b)．
【思路点拨】 将直线的参数方程化为普通方程，根据 点到直线的距离公式得到关于θ的函数，转化为求函数的最 值．
π 【尝试解答】 当t＝ 2 时，P(－4，4)；且Q(8cos θ，3sin θ)，
故M(－2＋4cos θ，2＋32sin θ)．
C3为直线x－2y－7＝0，
M到C3的距离d＝
5 5 |4cos
3．直线、圆、椭圆的参数方程
轨迹 直线
圆 椭圆
普通方程 y－y0＝tan α(x－
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解：设动点M (x,y) 运动时间为t，依题意，得 x 1 5t y 2 12 t x 1 5t 所以，点M的轨迹参数方程为
y 2 12 t
数学归纳:
参数方程求法
（1）建立直角坐标系, 设曲线上任一点P坐标为(x,y); （2）选取适当的参数; （3）根据已知条件和图形的几何性质, 物理意义等, 建立点P坐标与参数的函数式; （4）证明这个参数方程就是所求的曲线的参数方程.
∴ a=1
(2)由已知及(1)可得,曲线C的方程为: 由第一个方程得: t
x=1+2t
x 1 2 代入第二个方程得: y ( ) , 2
故所求曲线的普通方程为（x-1)2 = 4y
拓展练习:
已知动点M作匀速1,2), 求点M的轨迹 参数方程。
投放点 友情提示： 即求飞行员在离救援点的水平 距离多远时，开始投放物资？
？
救援点
创造情境
如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s的速度作水 平直线飞行. 为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面(不记 空气阻力),飞行员应如何确定投放时机呢？
y 500
分析:物资投出机舱后,它的运动由下列两种运动合成： （1）沿Ox作初速为100m/s的匀速直线运动； （2）沿Oy反方向作自由落体运动.
O
x
创造情境
如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s的速度作水 平直线飞行. 为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面(不记 空气阻力),飞行员应如何确定投放时机呢？
y 500
解 ： 物 资 出 舱 后 ， 设 在 时 刻 t， 水 平 位 移 为 x， 垂 直 高 度 为 y， 所 以 x 1 0 0 t ,
4.4.1 曲线参数方程的意义
学习目标： 1. 弄清曲线参数方程的概念； 2. 能选取适当的参数，求简单曲线的参数方程； 学习重点： 曲线参数方程的定义及方法；
创造情境
如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s的速度作水 平直线飞行. 为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面(不记 空气阻力),飞行员应如何确定投放时机呢？
2 （ g=9.8m/s ) 1 2 y 500 gt . 2
令 y 0 , 得 t 1 0 .1 0 s .
o
x
代 入 x 100t, 得 x 1010 m.
所 以 ， 飞 行 员 在 离 救 援 点 的 水 平 距 离 约 为 1010m时 投 放 物 资 ， 可 以 使 其 准 确 落 在 指 定 位 置.
D、（1，0）
应用数学:
解: (1)由题意可知:
3.已知曲线C的参数方程 且点M(5,4)在该曲线上. （1）求常数a;（2）求曲线C的普通方程.
x 1 2t, ( t为 参 数 , a R ) 2 y at .
1+2t=5
解得:
a=1 t=2 y=t2
at2=4
x 1 2
作业:完成课本和课课练上的练习；
数学建构
关于参数几点说明： 参数是联系变数 x, y 的桥梁, 1. 参数方程中参数可以是有物理意义, 几何意义, 也可以没有明显意义； 2.同一曲线选取参数不同, 曲线参数方程形式也不 一样; 3.在实际问题中要确定参数的取值范围;
变式练习:
一架救援飞机以100m/s的速度作水平直线飞行.在离灾 区指定目标1000m时投放救援物资（不计空气阻力,重 力加速 g=10m/s）,问此时飞机的飞行高度约是多少？ （精确到1m）
数学建构
1、参数方程的概念：
一般地, 在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的 坐标 x, y都是某个变数 t 的函数 x f ( t ),
（1） y g ( t ).
且对于t 的每一个允许值, 由方程组(1) 所确定的点 M(x,y)都在这条曲线上, 则方程(1) 就叫做这条曲线的参 数方程, 联系变数 x ,y 的变数 t 叫做参变数, 简称参数. 相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方 程叫做普通方程。
例题分析:
x 3t , ( t为 参 数 ) 例1: 已知曲线C的参数方程是 2 y 2t 1.
（1）判断点M1(0, 1)，M2(5, 4)与曲线C的位置关系；
（2）已知点M3(6, a)在曲线C上, 求a的值。
应用数学:
x 1 t , ( t 为 参 数 ） 与x轴的交点坐标是( 1、曲线 y 4t 3
2
)
( A、（1，4）；B、
25 16
, 0 ); C、(1, 3);
D、(
25 16
, 0 );
2、方程 x sin , ( 为 参 数 ） 所表示的曲线上一点的坐标是 （ ）
y co s
1 1 1 2 ( A、（2，7）；B、 , ); C、( , ); 2 2 3 3
课堂小结
一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 x，y都是某个变数 t 的函数 x f ( t ), （1） y g ( t ).
并且对于 t 的每一个允许值，由方程组（1）所确定的点M(x,y) 都在这条曲线上，那么方程（1）就叫做这条曲线的参数方程， 系变数x,y的变数t叫做参变数，简称参数。
y 2 12 t
数学归纳:
参数方程求法
（1）建立直角坐标系, 设曲线上任一点P坐标为(x,y); （2）选取适当的参数; （3）根据已知条件和图形的几何性质, 物理意义等, 建立点P坐标与参数的函数式; （4）证明这个参数方程就是所求的曲线的参数方程.
∴ a=1
(2)由已知及(1)可得,曲线C的方程为: 由第一个方程得: t
x=1+2t
x 1 2 代入第二个方程得: y ( ) , 2
故所求曲线的普通方程为（x-1)2 = 4y
拓展练习:
已知动点M作匀速1,2), 求点M的轨迹 参数方程。
投放点 友情提示： 即求飞行员在离救援点的水平 距离多远时，开始投放物资？
？
救援点
创造情境
如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s的速度作水 平直线飞行. 为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面(不记 空气阻力),飞行员应如何确定投放时机呢？
y 500
分析:物资投出机舱后,它的运动由下列两种运动合成： （1）沿Ox作初速为100m/s的匀速直线运动； （2）沿Oy反方向作自由落体运动.
O
x
创造情境
如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s的速度作水 平直线飞行. 为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面(不记 空气阻力),飞行员应如何确定投放时机呢？
y 500
解 ： 物 资 出 舱 后 ， 设 在 时 刻 t， 水 平 位 移 为 x， 垂 直 高 度 为 y， 所 以 x 1 0 0 t ,
4.4.1 曲线参数方程的意义
学习目标： 1. 弄清曲线参数方程的概念； 2. 能选取适当的参数，求简单曲线的参数方程； 学习重点： 曲线参数方程的定义及方法；
创造情境
如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s的速度作水 平直线飞行. 为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面(不记 空气阻力),飞行员应如何确定投放时机呢？
2 （ g=9.8m/s ) 1 2 y 500 gt . 2
令 y 0 , 得 t 1 0 .1 0 s .
o
x
代 入 x 100t, 得 x 1010 m.
所 以 ， 飞 行 员 在 离 救 援 点 的 水 平 距 离 约 为 1010m时 投 放 物 资 ， 可 以 使 其 准 确 落 在 指 定 位 置.
D、（1，0）
应用数学:
解: (1)由题意可知:
3.已知曲线C的参数方程 且点M(5,4)在该曲线上. （1）求常数a;（2）求曲线C的普通方程.
x 1 2t, ( t为 参 数 , a R ) 2 y at .
1+2t=5
解得:
a=1 t=2 y=t2
at2=4
x 1 2
作业:完成课本和课课练上的练习；
数学建构
关于参数几点说明： 参数是联系变数 x, y 的桥梁, 1. 参数方程中参数可以是有物理意义, 几何意义, 也可以没有明显意义； 2.同一曲线选取参数不同, 曲线参数方程形式也不 一样; 3.在实际问题中要确定参数的取值范围;
变式练习:
一架救援飞机以100m/s的速度作水平直线飞行.在离灾 区指定目标1000m时投放救援物资（不计空气阻力,重 力加速 g=10m/s）,问此时飞机的飞行高度约是多少？ （精确到1m）
数学建构
1、参数方程的概念：
一般地, 在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的 坐标 x, y都是某个变数 t 的函数 x f ( t ),
（1） y g ( t ).
且对于t 的每一个允许值, 由方程组(1) 所确定的点 M(x,y)都在这条曲线上, 则方程(1) 就叫做这条曲线的参 数方程, 联系变数 x ,y 的变数 t 叫做参变数, 简称参数. 相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方 程叫做普通方程。
例题分析:
x 3t , ( t为 参 数 ) 例1: 已知曲线C的参数方程是 2 y 2t 1.
（1）判断点M1(0, 1)，M2(5, 4)与曲线C的位置关系；
（2）已知点M3(6, a)在曲线C上, 求a的值。
应用数学:
x 1 t , ( t 为 参 数 ） 与x轴的交点坐标是( 1、曲线 y 4t 3
2
)
( A、（1，4）；B、
25 16
, 0 ); C、(1, 3);
D、(
25 16
, 0 );
2、方程 x sin , ( 为 参 数 ） 所表示的曲线上一点的坐标是 （ ）
y co s
1 1 1 2 ( A、（2，7）；B、 , ); C、( , ); 2 2 3 3
课堂小结
一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 x，y都是某个变数 t 的函数 x f ( t ), （1） y g ( t ).
并且对于 t 的每一个允许值，由方程组（1）所确定的点M(x,y) 都在这条曲线上，那么方程（1）就叫做这条曲线的参数方程， 系变数x,y的变数t叫做参变数，简称参数。