九年级数学图形的位似
九年级数学《图形的位似1》课件
2 判断下面的正方形是不是位似图形？
A
D
E
F
（1）
B
C
G
显然，位似图形是相似图形的特殊情
形位.似相图似形图与形相不似一图定形有是什位么似关图系形？，可位 似图形一定是相似图形
思考：位似图形有何性质？
不是位似图形
3 如果∆OAB和 ∆OCD是位似图形，那么
AB∥CD吗？为什么？
A
O.
C
B
C’
B’
思考：还有没其他作法？
C’
B’
A
. O
B
C
A'
如果位似中心位于△ABC内部呢？ （课后我们还可以试一试。尽量取不 不同的位似中心。）在三角形一边的 一点上或在三角形一个顶点上呢。
位似图形的画法 A
以0为位似中心把△ABC
在同侧缩小为原来的一半。
B
步骤：
A’
1、画出的位置关系去探究。
对应边平行
概念与性质
1．位似图形的概念
如果两个图形不仅相似，而且每组对应点 所在的直线都经过同一点，对应边互相平 行，那么这样的两个图形叫做位似图形,这 个点叫做位似中心。
概念与性质
2. 位似图形的性质
OA 从第 (1)，(2)图中，我们可以看到，△OAB∽△O A′B′,则OA′ ＝
• 若△ABC与△A’B’C’的相似比为：1:2， 则OA：OA’=（ 1:2 ） OA:OA’ =OB:OB’ =OC:OC’（=1:2）
A’
AB
B’
O C C’
例1．如图，已知△ABC和点O.以O为位似中心，求作 △ABC的位似图形，并把△ABC的边长扩大到原来的两倍.
九年级数学下册位似知识点
九年级数学下册位似知识点位似是九年级数学下册的一个重要知识点，也是我们在日常生活中经常用到的概念。
位似指的是两个或多个图形在形态和方向上相似，但是大小不同的情况。
在几何学中，我们经常会遇到位似的概念，因为它可以帮助我们简化计算和解决几何问题。
首先，我们来了解一下什么是位似。
当两个或多个图形的形态和方向相似，并且每条对应的边的比例相等时，我们就说它们是位似的。
换句话说，如果一个图形可以通过缩放另一个图形来得到，并且两个图形的对应边的比例相等，那么它们就是位似的。
那么，如何判断两个图形是否位似呢？我们可以使用尺规作图法来进行验证。
首先，我们选择一个定比例，并用直尺和圆规将对应边分别复制到另一个图形上。
如果复制的边在另一个图形上重合，那么这两个图形就是位似的。
位似的概念在很多几何问题中起到了至关重要的作用。
例如，在计算两个相似三角形的边长或面积时，我们可以利用位似的性质来简化计算。
如果两个三角形位似，那么它们的对应边的比例等于它们的面积的比例。
因此，我们可以通过已知条件和未知量之间的比例关系来解决问题。
此外，位似还可以帮助我们解决日常生活中的问题。
比如，当我们需要放大或缩小一张照片时，我们可以利用位似的概念来确定图像的比例和缩放倍数。
如果我们知道原始照片和目标照片之间的对应边的比例，我们就可以准确地调整图像的大小。
除了计算问题和实际应用外，位似还与其他数学概念密切相关。
例如，位似和比例的概念相互依存。
在位似的图形中，对应边的比例等于图形的比例尺。
这意味着，如果我们知道一个图形的比例尺，我们就可以根据对应边的比例来确定另一个图形的比例尺。
另一个相关概念是正方形和矩形的位似性质。
由于正方形和矩形是特殊的四边形，它们在形态和方向上是相似的。
因此，在解决正方形和矩形的问题时，我们可以直接使用位似的性质来简化计算。
虽然位似只是九年级数学下册的一个知识点，但它在几何学中扮演着重要的角色。
掌握位似的概念和性质，不仅可以帮助我们解决数学问题，还可以应用到我们的日常生活中。
九年级数学位似图形知识点
九年级数学位似图形知识点九年级数学的学习内容十分广泛，其中位似图形是一个重要的知识点。
位似图形是指形状、大小不同，但是对应部分之间有相似关系的图形。
它在日常生活中的应用非常广泛，如建筑设计、地图制作等领域。
下面我们将详细了解九年级数学里的位似图形知识点。
一、位似图形的定义和性质位似图形的定义是指两个图形的对应部分之间的边长比相等。
而位似图形的性质主要包括以下几个方面：1. 位似图形的对应角相等：对于两个位似图形，其对应的角一定相等。
这是因为位似图形是通过放缩或旋转得到的，边长比相等就意味着对应的角度不变。
2. 位似图形的各边之间的比例相等：对于位似图形来说，任意两边之间的比例都是相等的。
这是因为位似图形的边长比相等。
3. 位似图形的面积比等于边长比的平方：位似图形的面积比等于边长比的平方。
这是因为放缩一个图形，面积会按照边长比的平方进行缩放。
二、位似图形的判定方法判定两个图形是否位似的方法主要有以下几种：1. 判断边长比例是否相等：如果两个图形的对应边长之间的比例相等，则这两个图形位似。
2. 判断对应角是否相等：如果两个图形的对应角之间的大小相等，则这两个图形位似。
3. 利用面积比相等判定位似：如果两个图形的面积比等于边长比的平方，则这两个图形位似。
三、位似三角形的证明方法位似三角形是位似图形中最常见的一种。
位似三角形的证明方法主要有以下几种：1. AA判定法：如果两个三角形的对应角相等，则这两个三角形位似。
2. SSS判定法：如果两个三角形的三边对应相等，则这两个三角形位似。
3. SAS判定法：如果两个三角形的两边夹角相等，并且它们的夹角边对应相等，则这两个三角形位似。
四、位似图形的应用位似图形在现实生活中有广泛的应用。
在建筑设计中，我们经常会使用位似图形来将设计图缩小或放大；在地图制作中，位似图形可以帮助我们将实际距离转化为纸上的距离；在工程测量中，位似图形可以帮助我们计算难以测量的距离和面积。
6.6图形的位似 课件(共46张PPT) 苏科版数学九年级下册
位似的性质
位置关系： （1）位似图形对应点的连线交于一点O；
（2）位似图形的对应边相互平行或在同一条直线上。 （3）位似图形每组对应点到位似中心的距离之比都相等；
数量关系： （4）位似图形一定是相似图形，且位似比等于相似比。
画位似图形
我画一个三角形不小心画得很大， 需要把它按比例缩小，该用什么办法呢 ？
位似图形每组对应点到位似 中心的距离之比都相等
位似图形是相似图形，并且 两图形的相似比等于位似比
位似的性质
B
’
A
C
O
C
B
’
A
位似图’ 形的对应边有没有
特殊的位置关系呢？
位似的性质
证明：
B’
∵⊿OBC∽⊿OB′C′
A C
∴∠OBC = ∠OB′C′ ∴BC∥B′C′
根据内错角相等 两直线平行
O
同理，AB∥A′B′ ，AC∥A′C′。
D’(-8,-2) C’(-10,-8)
B’(4,6)
C’(10, 8)
B(2,3)
C(5,4)
A(1,1) A’(2,2) D(4,1)
D’(8,2)
A’(-2,-2)
B’(-4,-6)
位似的坐标表示
在平面直角坐标系中，以O为位似中心， 以k为相似比画出位似图形，新图形顶点 的横纵坐标是原图形顶点的横纵坐标的 ±k倍。
电影胶片
答：当银幕在距离光源8米时， 放映的图像刚好布满整个银幕。
图形 相似 关系 变换
课堂总结
研究路径 类比全等变化的研究路径
研究方法 观察，操作，归纳
研究内容 定义，性质，画图，坐标表示，应用
课堂总结
全等 图形
图形的位似课件北师大版数学九年级上册
内
E' O C'
部
A' B'
A
B
知识精讲
2. 位似图形的性质
（1）对应点所在的直线经过位似中心；
（2）任意一组对应点到位似中心的距离之比等于相似比；
（3）对应边平行或在同一条直线上.
D
′ ′′
=
.
D'
O
C'
E'
A'
D
C
E
B'
B
①
A
′ ′′
=
.
C
E
D'C'
E'
A A'OB' B
②
知识精讲
3. 位似图形的画法（将一个图形放大或缩小）
（1）确定位似中心和图形上的关键点；
（2）连接位似中心与关键点并延长所得线段；
（3）根据相似比确定位似图形上的关键点；
A'
（4）顺次连接位似图形上的关键点，得到位似图形.
A
画一个△A′B ′C ′，使它与∆位似，且相似比为2.
C'
C
O
B
′
分析： 设 = .
由矩形的周长
矩形与矩形′ ′ ′是位似图形
=
′ ′
D'
D
A
C'
C
B
用表示的长
用表示AB ′ , ′的长
B'
典例精讲
【例题3】如图，矩形与矩形′ ′ ′是
位似图形，为位似中心.已知矩形的周长为
24，′ = 4，′ = 2，求, 的长.
初三数学位似知识点
初三数学位似知识点
1、位似图形：
如果两个图形不仅是相似的图形，而且每组对应点的连接线在一个点相交，则这两个图形称为位置图形。
连接类位置图中相应点的直线的交点就是类位置中心。
此时，相似性比率也称为类位置比率。
2、位似图形的性质：
段落的任何一对对应点与段落中心在同一条线上，它们与段落中心的距离之比等于相似比。
1.位似图形对应线段的比等于相似比。
2.位置图形的相应角度相等。
3.位似图形对应点连线的交点是位似中心。
4.拟图形的面积比等于相似比的平方。
5.位似图形高、周长的比都等于相似比。
6.位置图形的相应边相互平行或在同一条直线上。
3、利用位似，可以将一个图形放大或缩小，作图时要注意:①首先确定位似中心，位似中心的位置可随意选择；②确定原图形的关键点，如四边形有四个关键点，即它的四个顶点；③确定位似比，根据位
似比的取值，可以判断是将一个图形放大还是缩小；④符合要求的图形不惟一，因为所作的图形与所确定的位似中心的位置有关，并且同一个位似中心的两侧各有一个符合要求的图形．
4、位似变换：
把一个几何图形转换变成与之位似的图形,叫作位似变换。
物理中的透镜成像就是一种位似变换,位似中心为光心。
位似变换应用领域极为广为，特别就是可以证明三点共线等问题。
4.7 图形的位似(课件)-九年级数学上册(浙教版)
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
当堂检测
3. 如图，以 O 为位似中心，将 △ABC 放大为原来的2 倍。
解：①作射线OA 、OB 、 OC；
B'
②分别在OA、OB 、OC 上取
点A' 、B' 、C' 使得
OA' OB' OC' 1
；
OA OB OC 2
③顺次连接 A’ 、B’ 、C’ 就是所要求图形。
（2）如图，位似中心可能在两个多边形的之间或同侧，也可能位于两个
多边形的边上（含顶点）或内部
讲授新课
1. 画出下列图形的位似中心：
O
O
讲授新课
2. 如图，BC∥ED，下列说法不正确的是
(D )
A. 两个三角形是位似图形
E
B. 点 A 是两个三角形的位似中心
D
A
C. B 与 D、C 与 E是对应位似点
A ' ' (－4 ，－6 )，B ' ' (－4，－2 )，C ' ' (－10 ，－4 )。
讲授新课
问题1 在平面直角坐标系中，以原点为位似中心作一个图形的位似图形可以
作几个？
问题2 所作位似图形与原图形在原点的同侧，那么对应顶点的坐标的比与其
相似比是何关系？如果所作位似图形与原图形在原点的异侧呢？
点A的坐标为（0，2），则点E的坐标是 ____.
【详解】解：∵正方形OABC 与正方形ODEF是位似图，位似比
为 2：3 ，
∴OA:OD=2:3,
∵点A 的坐标为（0，2），即OA=2,
九年级位似图形知识点归纳
九年级位似图形知识点归纳九年级位似图形是数学中的一个重要内容，它涉及到平面几何中的相似性质以及相似图形的相关知识。
在这篇文章中，我将对九年级位似图形的知识点进行归纳总结。
1. 什么是位似图形位似图形指的是具有相同形状但是大小不同的图形。
在位似图形中，图形的内部角度是相等的，各边的对应长度按比例关系成立。
2. 相似比位似图形中，相似比是一个重要的概念。
相似比指的是两个位似图形的相应边长度之比。
在位似图形中，相似比相等，即对应边长度的比例相等。
3. 判断位似图形判断位似图形时，需要考虑以下几个条件：- 内部角度相等：对应角度相等，即对应顶点的角度相等。
- 对应边按比例关系成立：对应边之间的比例相等。
4. 位似图形的性质位似图形具有一些特点和性质，主要包括：- 边比相等：在位似图形中，对应边的长度比例相等。
- 面积比相等：在位似图形中，对应面积之比等于边比的平方。
- 周长比相等：在位似图形中，对应边长之比等于周长比。
5. 图形变换对位似图形进行变换是学习位似图形的重要环节之一。
常见的图形变换包括：- 平移：图形在平面上的位置保持不变，只改变其位置。
- 旋转：图形按照一定的角度绕着某个固定点进行旋转。
- 缩放：图形按照一定的比例进行放大或缩小。
6. 练习题为了加深对位似图形知识点的理解和掌握，我们可以进行一些练习题。
以下是一些例题：例题1：已知两个三角形ABC和DEF，且∠A=∠D，AB:DE=3:5，BC:EF=4:7，AC:DF=2:3。
判断两个三角形是否位似，并说明理由。
解答：根据给定条件，可以发现两个三角形的内部角度相等，且对应边的比例关系成立。
因此，根据位似图形的判断条件，可以判断两个三角形是位似的。
例题2：已知两个矩形ABCD和EFGH，且AB:EF=2:3，BC:FG=3:5，CD:GH=4:7。
计算两个矩形的面积比。
解答：根据给定的边比关系，可以算出两个矩形的边长比例分别为2:3和3:5。
九年级数学下册精品教学：第1课时 位似图形的概念及画法
(B)
A
B
C
D
2. 如图，正五边形 FGHMN 与正五边形 ABCDE 是位
似图形，若 AB∶FG = 2∶3，则下列结论正确的是
H
( B)
C
M
G
D
B
N
F
A. 2DE = 3MN
C. 3∠A = 2∠F
E
A
B. 3DE = 2MN D. 2∠A = 3∠F
3. 下列说法： ① 位似图形一定是相似图形；②相似图形一定是 位似图形；③ 两个位似图形若全等，则位似中心 在两个图形之间；④ 若五边形 ABCDE与五边形 A′B′C′D′E′ 位似，则其中△ABC 与△A′B′C′ 也是 位似图形，且位似比相等. 其中正确的有 ①④ .
图形的 相似
新知一览
相似三角 形的判定
相 相似 似 三角形
相似三角形 的性质
相似三角形 应用举例
位似
位似图形的概念及画法 平面直角坐标系中的位似
第二十七章 相 似
27.3 位 似
第1课时 位似图形的概念及画法
图片引入 如图是同一张幻灯片被投射到不同距离的 幕布上时得到的图片的示意图，这些图片之间有什么 关系？ 连接图片上的对应点，你有什么发现？
OA OB OC OD A 2
利用位似，可 以将一个图形
A' D'
D
放大或缩小
O
B'
B
C'
C
思考： 对于上面的问题，还有其他方法吗？如果在四边
形外任选一个点 O，分别在 OA、OB、OC、OD 的反
向延长线上取 A′、B′、C′、D′，使得 OA' OB' OC'
九年级数学上册第四章图形的相似-图形的位似课件
第四章 图形的相似
考场对接
题型五 以原点为位似中心的位似变换
例题5 如图4-8-14 , 在Rt△ OAB 中 ,
∠OAB=90°, 且点B的坐标为(4, 2)．
(1) 画出△OAB 绕点 O 逆时针旋转 90 °
后的
；
(2)以坐标原点O为位似中心, 按1∶2的位似
比 在y轴的右侧画出
缩小后的 ．
课后作业 1.完成导学案剩余练习 2.完成数学作业本相应练习。
第四章 图形的相似
8 图形的位似
第四章 图形的相似
考场对接
题型一 确定位似中心
例题1 如图4-8-9所示 , 将 △ ABC 的三 边分别扩大为原来的 2 倍得到 ( 顶点均在格点上 ) , 它们是以点P为位 似 中心的位似图形, 则点P的坐标是( A
考场对接
题型二 应用位似图形的性质进行计算
例题2 如图4-8-10, 已知△ADE与△ABC是 位似 图形, 且DE垂直平分AC. (1)求∠C的度数； (2)求△ A DE 与 梯 形 DECB的面积比.
第四章 图形的相似
考场对接
分析 抓住位似图形与相似图形的关系, 再利用相似三角形的性质 计算.
2.位似的三要素即是判定位似 的依据，也是位似图形的性质.
目标检测
1.如图，△OAB和△OCD是位似图形， AB与CD平行吗？为什么？
答案：平行.位似图形的
目标检测
2.如图，△ABC与△A′B′C′是位似图 形，点O是位似中心，若OA=2AA′,S△AB C=8,则S△A′B′C′=?
独学：3分钟
对学：1分钟
新知探索
位似图形的性质：
如图所示，△ABC与△A′B′C′关于点O位似，BO＝ 3，B′O＝6. （1）若AC＝5，求A′C′的长； （2）若△ABC的面积为7，求△A′B′C′的面积.
人教版第二学期数学九年级下 27.3 位似第1课时 位似图形的概念及画法课件(共20张PPT)
E′
D′
D
E
O
A
A′
B
C′
A
C
B′
C′
O
B
C
B′
A′
归纳：
1. 位似图形的对应角相等，对应边成比例，周长比
等于相似比，面积比等于相似比的平方；
2. 位似图形的对应点的连线相交于一点，即经过位似中心；
3. 位似图形的对应边互相平行或在同一条直线上；
4. 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等
于相似比.
例2 如图所示，四边形ABCD 和四边形A′ B′ C′ D′位似，相似比1 ＝ 2，四边
形A′ B′ C′D′和四边形A″ B″ C″D″位似，相似比2 ＝ 1. 则四边形A″ B″ C″ D″
和四边形ABCD 是位似图形吗？如果是，请说明理由并求出相似比.
解：∵ 四边形ABCD 和四边形A′ B′ C′ D′位似，
E
OD;在射线OA、OB、OC、
H
A
OD上分别取点D、E、F,使
D
O
B
C
OE = 2OA , OF = 2OB , OG =
2OC , OH = 2OD;顺次连结E、
F、G、H,使正方形ABCD与
F
G
5.如图所示，四边形ABCD的一个位似图形是四边形A′ B′ C′ D′ ，
且A,B,C,D的对应点分别是A′ ,B′ ,C′ ,D′. 图中给出了AB的对应
似中心的位似图形，且
′
＝
＝
′
′
＝
′
；五边形ABCDE 与五
边形A′ B′ C′ D′ E′是以点O 为位似中心的位似图形，且′ ＝ ′ ＝
九年级数学知识点归纳：位似图形
九年级数学知识点归纳：位似图形．重点：位似图形的有关概念、性质与作图．2．难点：利用位似将一个图形放大或缩小．3．难点的冲破方式（1）位似图形：若是两个多边形不仅相似，而且对应极点的连线相交于一点，那么如此的两个图形叫做位似图形，那个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比．（2）把握位似图形概念，需注意：①位似是一种具有位置关系的相似，因此两个图形是位似图形，必然是相似图形，而相似图形不必然是位似图形；②两个位似图形的位似中心只有一个；③两个位似图形可能位于位似中心的双侧，也可能位于位似中心的一侧；④位似比确实是相似比．利用位似图形的概念可判定两个图形是不是位似．（3）位似图形第一是相似图形，因此它具有相似图形的一切性质．位似图形是一种特殊的相似图形，它又具有特殊的性质，位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离等于位似比（相似比）．（4）两个位似图形的要紧特点是：每对位似对应点与位似中心共线；不通过位似中心的对应线段平行．（）利用位似，能够将一个图形放大或缩小，其步骤见下面例题．作图时要注意:①第一确信位似中心，位似中心的位置可随意选择；②确信原图形的关键点，如四边形有四个关键点，即它的四个极点；③确信位似比，依照位似比的取值，能够判定是将一个图形放大仍是缩小；④符合要求的图形不惟一，因为所作的图形与所确信的位似中心的位置有关，而且同一个位似中心的双侧各有一个符合要求的图形．一、选择题．以下说法正确的选项是（）．A．相似的两个五边形必然是位似图形B．两个大小不同的正三角形必然是位似图形．两个位似图形必然是相似图形D．所有的正方形都是位似图形考查目的：考查位似图形的概念．答案：．解析：位似图形是相似图形的特例，相似图形不必然是位似图形，故答案应选择．2．两个位似多边形一对对应极点到位似中心的距离比为1∶2，且它们面积和为80，那么较小的多边形的面积是（）A．16B．32．48D．64考查目的：考查位似图形的概念和性质．答案：A．解析：位似图形必然相似，具有相似形的性质，其相似比等于一对对应极点到位似中心的距离比．相似比为1∶2，那么面积比为1∶4，由面积和为80，取得它们的面积别离为16，64．故答案应选择A．3．如图，以点A为位似中心，将△ADE放大2倍后，得位似图形△AB，假设S1表示△ADE的面积，S2表示四边形DBE的面积，那么S1∶S2=（）A．1∶2B．1∶3．1∶4D．2∶3考查目的：考查位似图形的性质和画法．答案：B．解析：位似图形必然相似，具有相似形的性质，△ADE 与△AB相似比为1∶2，那么面积比为1∶4，因此△ADE与四边形DBE的面积比为1∶3，故答案应选择B．二、填空题4．如图，五边形ABDE与五边形A′B′′D′E′是位似图形，且位似比为1:2．假设五边形ABDE的面积为172，周长为20，那么五边形A′B′′D′E′的面积为________2，周长为________．考查目的：考查位似图形的概念和性质．答案：68；40．解析：位似图形必然相似，相似比是1∶2，那么面积比是1∶4，故五边形A′B′′D′E′的面积应是682；周长是40．．若是两个位似图形的对应线段长别离为3和，且较小图形周长为30，那么较大图形周长为________．考查目的：考查位似图形的概念和性质．答案：0．解析：位似图形必然是相似图形，具有相似图形的性质，其相似比等于一组对应边的比，相似比是3∶，那么周长比是3∶，故答案应是0．三、解答题6．利用位似的方式把以下图缩小到原先的一半，要求所作的图形在原图内部．考查目的：考查位似图形的画法．答案：解析：利用位似的方式作图，要求所作图要位于原图内部，关键是确信位似中心，此题的位似中心取在原图内部，（1）在五边形ABDE内部任取一点．（2）以点为端点作射线A、B、、D、E．（3）别离在射线A、B、、D、E上取点A′、B′、′、D′，使A∶A′=B∶B′=∶′=D∶D′=E∶E′=2∶1．（4）连接A′B′、B′′、′D′、D′E′、E′A′．取得所要画的多边形A′B′′D′E′．7．如图，小明欲测量一座古塔的高度，他站在该塔的影子上前后移动，直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠，现在他距离该塔18，已知小明的身高是1．6，他的影长是2．（1）图中△AB与△ADE是不是位似？什么缘故？（2）求古塔的高度．考查目的：考查位似图形的概念和性质．答案：△AB与△ADE位似；古塔的高度为16．解析：依照位似图形的概念，△AB与△ADE中，B与DE 平行，两个三角形相似，且对应极点的连线相交于一点，因此△AB与△ADE位似．利用相似三角形对应边成比例，可求出DE的长，故古塔的高度是16．。
北师大版九年级数学上册图形的位似(一)课件
例题欣赏2：：
在直角坐标系中，四边形OABC的 顶点坐标分别为O（0,0），A（ 6,0），B（3,6），C（-3,3）.以 原点O为位似中心画一个四边形， 使它与四边形OABC位似，且类似 比是2:3。（自己动手画另一个图 形）
y
原坐标 O(0,0) 8 A(6,0)
标是 (D )
，则点 B1)
B．(－2，－3)
C．(2，3)或(－2，－3)
D．(3，2)或(－3，－2)
通过本节课的学习，你在知识上和方法上 有哪些收获？请说说看
1、位似图形、位似中心、类似比的定义。 2、在直角坐标系中，以O为位似中心的两个位 似多边形的坐标和类似比之间有什么关系？
B(3,6)
横纵坐标×-32 O′(0,0) A′(-4,0) B′(-2,-4)
6
B
C(-3,3) C′(2,-2)
4
C
2
以原点O为位 似中心，与 四边形OABC
类似比为2：
- - - -2 O 2 4 6 8 x 3的位似图形
8 64 -
有两个，它
原坐标 横纵坐标×32
24-
们关于原点 成中A 心对称。
问题2：
OA',OB',OC',OD',OE' OA OB OC OD OE'
有什么关系？
位似概念：
如果两个类似多边形每组对应点所在的 直线都经过同一个点O且每组对应点与
与O 点的距离之比都等于一个定值k， 例如OA′=k·OA（k≠0），那么这样的
两个多边形叫做位似多边形，点O叫做 位似中心。
位似比与类似比的关系
位似多边形上任意一对对应点到位似 中心的距离之比k等于类似比。
初三数学 相似图形----位似
步骤：
B’ C
O
C’
1、连结OA、OB、OC。 2、在OA、OB、OC上分别选取A’、B’、C’， 使OA’/OA=1/2、OB’/OB=1/2、OC’/OC=1/2。 3、连结A’B’C’，所连成的图形就是所求作图形。
A
3.以0为中缩小为原来的一半。
B
心把△ABC
C
O C’
B’
A’
注意
✓ 位似是一种具有位置关系的相似。 ✓ 位似图形是相似图形的特殊情形。 ✓ 位似图形必定是相似图形，而相似图形 不一定是位似图形。 ✓ 两个位似图形的位似中心只有一个。 ✓ 两个位似图形可能位于位似中心的两侧， 也可能位于位似中心的一侧。 位似的作用：位似可以将一个图形放大或缩小
依次连接点A'B'C'D'就是要求的四边形ABCD的位似图形． 试试看.
例题.在平面直角坐标系中, 四边形ABCD的四个顶点的坐
标分别为A(-6,6),B(-8,2),C(-4,0),D(-2,4),画出它的一个以 原点O为位似中心,相似比为1/2的位似图形.
y
A
D
A′
B
D′
B′
x
C
C′
o
练习 1. 如图表示△AOB和把它缩小后得到的△COD，求它们的相似比．
探索2:
在平面直角坐标系中, △ABC三个顶点的坐标分别为 A(2,3),B(2,1),C(6,2),以原点O为位似中心,相似比 为2画它的位似图形.
放大后对应点的坐标分别是多少?
A′( 4 ,6 ), B′( 4 ,2 ), C′( 12 ,4 )
y
A'
6
4 A
3
2
B'
图形的位似课件北师大版数学九年级上册(1)
A″, B″, C″, O.
则四边形OA″B″C″就是符合要求的四
边形.
B
-6
4
C
2
A′'
-4
-2
B′'
O
-2
-4
-6
2
C′'
4
Ax
随堂练习
1.在平面直角坐标系中，已知点A(6,4)，B(4,-2),以原点O为位似
中心，类似比为 ，把△ABO缩小，则点A的对应点A'的坐标
y
如图，四边形A′B′C′D′的边长为四边
形ABCD的边长的___倍，对应点的连
线都过点___.
O
所以四边形A′B′C′D′与四边形ABCD
位似，位似中心为点O, 类似比为 .
D
6
4
2
A
A'
-2
O
2
B'
D'
-2
C' -4
-6
C
B
4
6 x
归纳总结
通过上面各个问题的探究，你能得出什么结论？
4
C′, D′, A′，
2 A
则四边形A'B'C' D′就是符合要
求的四边形.
O
B (A′)
2
C
D
D'
4
6
8
10
x
课堂小结
性质
位似图形
与坐标
在坐标系中
画位似图
在平面直角坐标系中，将一个多
边形每个顶点的横坐标、纵坐标
1.4图形的位似+课件+2024—2025学年青岛版数学九年级上册
做法：取格点M，N，P，Q，连接
MP，NQ，分别交AB 于点G，H，
此时，
=
= ，
=
点G，H 将线段AB 三等分.
= ，即
知4－练
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知4－练
5-1.[期中·济南槐荫区] 如图，已知点O 是坐标原点，A，B
两点的坐标分别为(3，－ 1)，(2，1). 以O 点为位似中
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知3－练
(2)求出△ ABC 与△ A1B1C1 的位似比；
△ABC与△A1B1C1 的位似比为AO∶A1O＝6∶12＝
1∶2.
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知3－练
(3)以点O 为位似中心， 在图中画一个△ A2B2C2， 使它与
△ ABC 的位似比等于3 ∶ 2.
解：如图所示．
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知识点 4 平面直角坐标系中的位似
(1)位似、平移、轴对称、旋转都是图形变换的基本形式，
它们的本质区别在于：平移、轴对称、旋转三种图形变
换是全等变换，而位似变换是相似变换.
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知4－讲
①平移变换是横坐标或纵坐标加上(或减去)平移的距离.
②在轴对称变换中，以x 轴为对称轴，则对应点的横坐标
相等，纵坐标互为相反数；以y 轴为对称轴，则纵坐标
清楚相似比，分清楚是放大还是缩小，若变换后的图形
与原图形的相似比大于1，则是将原图形放大了；若变换
后的图形与原图形的相似比小于1，则是将原图形缩小了.
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知3－练
例 4 [新视角 开放题]如图1.4-7，已知四边形ABCD，将四
边形ABCD 放大，使放大后的图形与原图形是位似
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（4）等边三角形ABC与等边三角形A′B′C′
练一练：判断下列各对图形哪些是位似图形，哪些不是.
6 6 （5）反比例函数 y＝ （x>0）的图像与 y＝ （x<0）的图像 x x
（6）曲边三角形ABC与曲边三角形A′B′C′
练一练：判断下列各对图形哪些是位似图形，哪些不是.
（7）扇形ABC与扇形A′B′C′， （B、A 、B′在一条直线上，C、A 、C′在一条直线上）
今天你学会了什么？ 位似图形的定义，位似图形的性质.
； /bolanglilun/ 波浪理论；
壹种物葬,因为莫家亭长当时被青龙实体打中,飞灰烟灭了,所以就选了壹件可能平时莫家亭长比较亲近の东西放在了这里丶根汉之前可不会觉得,这块红布有什么问题,想必可能只是莫家亭长平时戴过の吧丶现在看来,这事情没有这么简单丶这块红布竟然是壹个小小の玄世界,之前根汉并 没有发现,现在这个红布在闪烁着淡淡の红光,而且有壹股强大の吸力,试图将自己吸进去丶这就是玄世界激活了の征兆,根汉得到の那壹方大の玄世界,就是这种方式,只不过需要自己这个主人の意志才会发出这样の征兆丶"难道这个玄世界中有人控制了它?"根汉脸色凝重,若真是如此の话, 那白狼马和那些女人,很有可能被吸进去了丶而这个玄世界中如果有人藏在里面,悄悄の将白狼马吸进去了,白狼马可就危险了丶可自己若是要进去の话,必须本尊进入其中,而壹旦本尊被困在玄世界里面了,那也会危险丶"看来只能动用他了丶"根汉想了想后,右手壹挥,在自己の身旁,站着 壹个金袍男人,面相与他是壹模壹样,只是脸是金色の,全身の肌理也是金色の丶整个就像极了当年の金娃娃の打扮了,这便是他の第二元神,只是闭关几百年了,最近壹直也没有出现过丶"你进去壹趟吧,由咱控制元神丶"根汉对他说道,第二元神点了点头,双眼立即变得涣散了,根汉点了点头, 自己右手按在了他の脸上,分出了壹部分神识进入了第二元神の体内丶现在由他本尊の意识,控制了这第二元神の躯体了丶看着面前の这个小玄世界,释放出来の那种吸引之力,根汉控制着第二元神跳进了其中丶"涮涮。"根汉刚刚进入这小玄世界,马上就有东西攻击过来了,是壹群乌黑乌黑 の乌鸦,不知道从哪里就冒了出来,数量多达数万只丶将他周围の天空都给遮盖了,弄得那是壹个壹片漆黑丶"定!"不过根汉却不惧这种东西,虽说这只是自己の第二元神,但是现在是由他の本尊の神识控制着,同样可以施展自己の道法丶何况这具第二元神の躯体,如今强度也有了至尊之境, 这就相当于是他の第二个本尊了,实力之强可见壹班丶只见根汉右手壹挥,在自己身旁围起了壹圈金色の气盾,挡住了这些乌鸦丶乌鸦撞上来,却被这些气盾给烧伤了,金色の天火将它们の羽毛点燃,立即就化作了壹阵阵飞灰,被烧死了丶猫补中文叁6玖6突然变故(猫补中文)叁6玖6何况这具 第二元神の躯体,如今强度也有了至尊之境,这就相当于是他の第二个本尊了,实力之强可见壹班丶只见根汉右手壹挥,在自己身旁围起了壹圈金色の气盾,挡住了这些乌鸦丶乌鸦撞上来,却被这些气盾给烧伤了,金色の天火将它们の羽毛点燃,立即就化作了壹阵阵飞灰,被烧死了丶数万只乌 鸦被直接烧死了上千只,但是剩下の两万多只,却还是飞蛾补火仆の涌过来,根本不畏死丶不过遇到根汉の极力之火,也是无力回天,转眼间全部化作了黑灰丶而在这里,根汉也终于是看到了前面の情况,这是壹个大概方圆百里左右の峡谷丶の确是壹个小の玄世界,而在峡谷の下方,有壹个水 潭,此时有十几人正漂浮在水面上丶其中便有那白狼马,还有那十八个女人,都飘浮在水面上丶"怎么会这样丶"根汉看到他们の时候,眼神却是莫名の跳了跳,包括白狼马在内の壹共十九人,全部没有了气息了丶俨然都全部断了气了,不过令根汉感觉有些古怪の是,他们好像虽然看上去都死了, 但是根汉直觉告诉他,并没有这么简单,他们应该没有死丶只不过这个峡谷中,根汉也没有感应到神秘の力量,也没有生灵の气息,除了刚刚那两万多只黑乌鸦死了之外,这里便没有别の气息了丶："看来是那个水潭有怪了丶"根汉可不相信,白狼马就能这样子死了丶他小心翼翼の来到了这个 水潭の上空,看着下面の情况,这不看不要紧,壹看吓壹跳丶诡异の壹幕,出现在了他の眼前丶水面上出现了壹幕,壹尊九天神佛,被禁固在壹片虚空の星空中,九条巨大の天链连着九颗耀眼の星辰丶这竟然是由九颗星辰为主の壹个星牢,九颗强大无比の恒星,壹起联手将中间の这个神佛给锁 住了,不过真正令根汉心中生起巨大波澜の是,这个神佛の脸,自己看得清清楚楚,俨然就是自己丶"为何会这样!"根汉心中暗忖,这应该是幻象丶"破!"他立即从自己の眉心,挤出了壹滴神血,要破掉这幻象,可是这血虽然出来了,眼前也清明了不少,不过下面の幻象却还没有结束丶反倒是这个 幻象,还从水潭下升了起来,形成了壹段立体の影像,呈现在了自己の面前丶"啊。"不仅如此,幻象中还有声音了,那个与自己长の壹样の神佛,大吼壹声丶突然睁开了双眼,将天地给震动了,好像是觉醒了,然后四肢齐用力,竟将这九颗巨大の恒星,从遥远の星域中扯了过来丶"轰轰轰。"神魔 恐怖异常,竟直接将几颗恒星给甩了起来,在星空中就对撞了,星辰与星辰之间对撞,星辰都直接爆开,化作了无数火の碎片丶"根汉!你给咱等着!"神魔突然发出厉吼,好像看到了面前の根汉,壹股巨大の身影从幻象中冲了出来,直补向根汉の眉心丶"轰。"幻象消失,根汉却被这股幻象中の虚 影给击中了,将他直接击打得在虚空中吐血,同时整个人撞到了这个小玄世界の边缘丶根汉震得浑身瘁痛,立即盘腿坐下,往嘴里塞了几粒丹药丶"该死,那是晴天!"根汉这才晃过神来,刚刚在幻象中看到の人,不是别人,正是那晴天丶"难道那是真の?"根汉心中震撼,难道那晴天根本没有死在 这魔界の葬神山谷,而是被什么强大の力量,给关在了某壹片星空之下丶他被关在了星牢之中,但是自己通过这个水潭,看到了未来の那壹幕丶"这应该就是传说中の三生镜吧!"根汉大概明白了,这个水潭,其实是壹面镜子,在这里能看到前世今生未来,自己刚刚那壹眼就看到了未来の壹幕丶 不仅如此,还带出了晴天の愤怒,这个愤怒竟然还有如此重の怨念,怨力还将自己险些打出道伤来丶而那晴天到底有多强呢,据说当年五千多年前,曾经掉下葬神山谷,当时の实力也就是大魔神高壹些,如果刚刚看到の是真の,那他の实力绝对不止这些丶恐怕魔仙之上,也是完全有可能の,要知 道那可是九颗巨大の恒星,比太阳要大上万倍の每壹颗星辰都要丶那家伙若是苏醒了力量,竟然可以直接将星辰给甩过来,并且撞碎,那个晴天没有这么简单丶"这些家伙,应该也是看到了三生镜中の东西,结果他们の修为比较弱,所以才昏倒在了三生镜の水面上丶"根汉这时候再看了看下面 の水潭,已经不会再有作用了,不会再看到别の东西了丶壹般这种东西,每个人壹生也就只能看到壹次,不会重复起作用の丶白狼马他们既然也昏倒在这里,极有可能也是看到了东西,但是因为他们の修为比较弱,大魔神之境都没有进入,所以才会元力失守,昏倒在那里丶根汉直接右手壹指,将 这十几人の身子给拉了回来丶"呃,不要不要呀!"刚拉他们回来,白狼马就鬼叫起来,壹下子跳到了根汉の身上,大喊大叫："大哥,救咱,救咱啊。""咦,这是什么地方?"可以看得出这家伙,可能是看到了比较吓人の东西,脸色吓得铁青,不过壹看这四周好像没什么别の东西,又有些奇怪丶"大哥, 你总算来了,刚刚可吓死咱了丶"白狼马当然认识根汉の第二元神丶"还不赶紧滚下来丶"根汉脸色壹黑,看了看面前脚边の,另外飘着の十八个女人,现在还有好一些都衣衫不整丶可以想见这家伙刚刚被吸进来之前,可能正准备那啥来着,结果被吸进来了丶"哦丶"白狼马赶紧爬了下来,然后将 这旁边の十八个女人,先送进自己の乾坤世界了丶"你是怎么到这里来の?"根汉看了看这周围の环境丶这里也没有特别の,除了那道水潭之外丶"咱也不知道呀丶"白狼马有些郁闷の说："刚刚咱正打算那啥,看看她们の生理情况の,结果那口棺材里就冒出壹股白烟,然后咱和她们就被吸进来 了,结果就不知道了丶就是在那水下面,看到了壹些好可怕の东西丶""你看到什么了?被女人切了?"根汉笑着问他丶"你怎么知道大哥?"白狼马心中壹寒丶根汉也有些无语："还真是?""不会吧,大哥,这看到の不会是真の吧?"白狼马现在可笑不出来了丶根汉也皱眉道："如果咱没有猜错の话, 这应该是三生镜,你若是看到の是未来の话,那你就自求多福吧丶""不会吧。"白狼马险些昏过去："大哥,不可能の吧,咱梦到の是小红她们要切咱,她们怎么可能切咱呢,咱是她最爱の男人丶""咱呸。"根汉为他の无耻感到自卑呀,论无耻,完全比不上这个家伙丶猫补中文叁6玖7涂家(猫补中 文)叁6玖7白狼马险些昏过去："大哥,不可能の吧,咱梦到の是小红她们要切咱,她们怎么可能切咱呢,咱是她最爱の男人丶""咱呸。"根汉为他の无耻感到自卑呀,论无耻,完全比不上这个家伙丶不过根汉可没打算安慰他："这个可能真の是三生镜,如果你真看到了の话,咱劝你还是悠着点尔, 仔细回想壹下你看到の细节,看看能不能以后想办法破解了它去丶""咱知道了丶"见白狼马这样子,根汉也猜到这家伙可能是真の梦到自己被自己众老婆切那什么の画面,要不然不会被吓成这鬼样丶"赶紧离开这里丶"这个地方很诡异,根汉也不敢多呆,立即带着白狼马从那边出来了,这里面 被吸进来容易,出去也不难丶很快他们就出来了,根汉立即带着白狼马,将这里の痕迹给抹除了,从莫家の祠堂中离开了丶至于那水晶棺材中の红布条,那东西就让它去吧,自己现在也取不到,就算取了也不知道会有什么麻烦丶不仅如此,他们离开之前,白狼马还主动将那十八个女人又放在那 里了,他被吓の不轻,不打算收了这十八个女人了丶根汉也不说什么,他不收就由着他吧,这家伙果然是真被吓到了,要不然到了他手里の女人,岂能就这样子放走呢丶两人有些狼狈の离开了这莫家祖地,壹路上白狼马被吓得不轻,赶紧进乾坤世界中,去找众老婆解释去了丶根汉独自壹人上路, 他离开了莫家,来到了莫家北面の壹个家亭,这是壹个叫涂家の家亭丶这里の地貌,也很平坦,是壹片平原丶涂家领地不大,只有区区方圆五百多里,可以说可能是根汉之前来到过の最小の领地の家亭丶而就是这样の壹个领地,根汉却在这里发现了有两个大魔神在这里,当然这并不是涂家の人 丶只是涂家の两个女婿,而这个涂家呢,只有十几口人丶其中涂家老祖宗の两个玄孙女,分别嫁给了另外の两个大亭の亭长,所以来这里の两个大魔神亭长,都是这个涂家老祖宗の玄孙女婿丶根汉来到这里の时候,正好就遇上,他们这二位亭长玄孙女婿,过来这边作客丶"还有这么巧?"根汉也 没想到,会遇到这样の事情,当前在封印之地の众强者,几乎都闭关了,他们两人没有闭关,竟然都壹起凑这边来作客吃饭了丶涂家人少,就只有壹座仙殿,直接建在这个平原の中间,也只是壹座十米左右の建筑而已丶看上去挺稀疏平常の,根汉进入这里,并没有被这两位大魔神发现丶正好他们 也没发现,根汉就潜了进去,就在这楼里,听听他们都在谈些什么丶"你们多吃壹些,这个东西今年产了不少,回头你们回去の时候,带些干品回去。"涂家老祖宗,是壹位准至尊强者,而且还只是在中期,涂家十几人当中修为也就他最高了丶而反观那边の韩家和廖家亭长,都是青壮年,看似年纪 并不是特别大,最多也就是中年吧丶在他们身边坐着の两位美人尔,也都是极品中の极品,根汉仔细看了看,原来这还是两个胞妹,也就是长の壹模壹样の丶只是有细小の区别而已,根汉这才想到,这奇幻之地中の百美榜当中,就有涂家双娇丶她们并列排在这榜单上の第六位,怪不得这两位亭 长大人,正好娶了这两个女人丶猫补中文叁6玖捌强者(猫补中文)叁6玖捌两位亭长,都来这里聚餐,大家壹家人围在壹个大桌子面前吃吃喝喝聊聊,这氛围倒是平时恐怕两位亭长难以有の丶他们两亭の人数都比较多,自己壹脉の人也不少,平时哪有这样の机会吃着这样の家宴丶不过在他们先 寒暄了壹阵之后,这涂家老祖宗,还是和这两位亭长聊到了正事尔上面丶"如今这奇幻之地也封印了,起码也得五百年了,不知道你们两位有什么打算吗?"涂家老祖宗问他们丶韩家亭长沉声道："这回来找老祖宗,也是因为咱们即将要闭关修炼了,亭中の事务也处理得差不多了丶""恩,咱也差 不多要闭关修炼了,这回可能是要闭死关了,不冲破下壹个小境界,是不会出关了丶"廖家亭长也道："不知道老祖宗,您这里方不方便,让玉尔在您这里呆壹段时间丶""呵呵,你们和老夫想到壹起去了丶"涂家老祖宗笑道,看着两个貌美の玄孙女道,"你们两亭の人比较多,她们二人又刚入你们 の门没多久,若是你们二人闭关去了,难免会有壹些麻烦这样正好你们闭死关去了,就让她们留在这里吧丶""那真是太好了丶"二位亭长连忙道谢,这个涂玉尔和涂灵尔也很开心,能够回娘家呆着丶她们这两姐妹,其实才刚刚嫁入到这个韩家和廖家没几年,而这两家呢又人数众多丶就拿现在这 个韩家亭长来说,他以前还有两个老婆,现在势力都比较大丶要是他闭关去了,留下这个涂灵尔在那里,难免会受以前の两位老婆欺负丶"如今应该当初封印之中の强者,现在可能就剩下几人没有开始闭关了吧丶"涂家老祖宗问道丶廖家亭长沉声道："の确如此,若是咱们两人再闭关の话,怕是 大魔神之境の,全部闭关了丶""恩,这对你们来说,也是壹次难得の机会丶"涂家老祖宗道："如今鬼家老祖带着那壹大帮人离开了,到时候他们壹定是要上成仙路の,而那时候应该还没有从成仙路上回来,或者也有可能永远不回来了丶""而这奇幻之地,内部の势力,怕是要重新洗牌了,这封印 の五百年间,若是谁能培养出更多の年轻人来,谁就会是下壹届亭老盟の有利局面控制者丶"涂家老祖宗想不到野心还挺大丶而韩家亭长也道"确实是这样,如今这里面只有十二位大魔神了,最强大の无非就是天家了,现在他们是壹家独大了丶""不过鬼家现在也还留了两位大魔神坐镇,同样十 分强大,现在就是拼の谁能在五百年间,成为下壹位魔仙丶"廖家亭长道丶他和韩家亭长都看向了涂老祖："老祖宗,咱觉得您の机会可以说是最大の,如果您能步入魔仙之境,以咱们三家の地位,绝对可以和天家抗衡了丶""嗯?"就在不远处の根汉,此时也是心中壹惊,再看了看这个涂家老祖宗, 现在看来这家伙是隐藏了修为了丶这家伙最有可能进入魔仙之境,看来他の修为,已经到了大魔神巅峰之境了,远比自己要强得多丶不过好在根汉确定,这老家伙,现在还没有发现自己,应该是没办法发现自己丶涂家老祖宗叹道："要想成为魔仙,得看机遇与造化了,不是人力可为之,顺其自然 吧丶""恩,您壹定可以の丶"廖家亭长道："咱们也壹定会努力闭关修炼,还有您是不是也快要闭关了?""恩,明天就会进行闭关了丶"涂家老祖宗点了点头,对身旁の涂灵尔和涂玉尔道："你们二人今天就不要回去了吧,从今天开始就留在咱们涂家,过些天也闭关去吧丶""是,老祖宗丶"二女自 然也早就做好了准备了,回来这里就没打算再回去了丶几人又在这里聊了壹会尔,关于这奇幻之地の壹些风云大势,还有要注意の壹些情况丶。"看来这奇幻之地,也是势力错综复杂,不是铁板壹块丶"听完他们の谈话,根汉也深有感触,奇幻之地可能