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“信息安全数学基础”习题答案

第一章

1、证明： (1)

|()|()()|a b b ma m Z c d d nc n Z bd acmn mn Z ac bd ⇒=∈⇒=∈∴=∈∵，，，即。

(2)

12111112|,|,,|11(3)|(),,k k k k a b a b a b a b c b c b c c c c ∴−+++∵ ，根据整除的性质及递归法，可证得：，其中为任意整数。

2、证明：

1-2(2)(3,5)13|5|15|,(15,7)17|105|a a a a a =∴=∴∵∵∵根据例题的证明结论知：，又且,又，且,。

3、证明：

1n p n p n >>因为，且是的最小素因数，若假设n/p 不是素数，则有

121223131312,2,,,,2,,k k n p p p p k p p p p k n p p p p n p p n n p n n p =×××≥≥==×≥∴≥≤>> （其中为素数且均）

若，则即,与题设矛盾，

所以假设不成立，即为素数得证。

7、证明：

首先证明形如6k -1的正整数n 必含有6k -1形式的素因子，这显然是成立的。因为如果其所有素因数均为6k +1形式，则12,(61,1,2,,)j i i n p p p p k i j =×××=+= ,从而得到n 是形如6k +1形式的正整数，这与题设矛盾。

其次，假设形如6k -1的素数为有限个，依次为1212,,6s s q q q n q q q = ，考虑整数-1， 则n 是形如6k -1的正整数，所以n 必有相同形式的素因数q ，使得使得q = q j (1≤j ≤s )。

由整数的基本性质(3)有：

12|(6)1s q q q q n −= ，

这是不可能的。故假设错误，即存在无穷多个形如4k -1的素数得证。

2n

3n

最小非负余数

最小正余数

绝对值最小余数

最小非负余数

最小正余数

绝对值最小余数

3 0、1 1、3 0、1 0、1、2 1、2、3 -1、0、1

4 0、1 1、4 0、1 0、1、3 1、3、4 -1、0、1 8 0、1、4 1、4、8 1，0 0、1、3、5、7 1、3、5、7、8 3、1、-3、-1、

0 10 0、1、4、5、6、9 1、4、5、6、9、10 -4、-1、0、1、4、5 0,1,2,3,4,5,

6,7,8,9 1,2,3,4,5,6,7,8,10

-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4

13、解： (1)

259222137222376

(222,259)37

372592221,1,1

s t =×+=×⇒==−×∴==−

(2)

139571316827136821316823122

(1395,713)31

317136821713(13957131)2713(1)1395,1,2

s t =×+=×+=×⇒==−×=−−×=×+−×∴=−=

16、解： (1)

(112,56)5611256

[112,56]112

(112,56)

=×=

= (2)

(67,335)6767335

[67,335]335

(67,335)

=×=

= (3)

(1124,1368)411241368

[1124,1368]384408

(1124,1368)

=×=

=

(7,4)1,0,7(1)4211,2

441

0,1,2,771||1000142

||100040,1,1427c s t k x k k k y k x k y x k

k y k ==∴×−+×=∴=−=⎧=−=−⎪⎪=±±⎨

⎪==⎪⎩

≤⎧∴≤⎨≤⎩

=−⎧∴=±±⎨

=⎩

∵ 而不定方程的一切解为：　其中，又方程的全部解为　，其中 ，

第二章

1、解：

(1) 错误。反例：a =7, b =3, m =8

(2) 错误。该命题当m 为素数时才成立（∵a 2+b 2 ≡0(mod m ) Ù (a +b )(a -b )≡0(mod m ) Ù

m |(a +b )(a -b )，而只有m 为素数时，才Ù m |(a +b ) 或m | (a -b )）

(3) 错误。反例：a=1, b=4, m=3 (4) 正确。

证明：当a, b 为偶数时，设a =2k , b =2k’，则a 2=(2k )2=4k 2，b 2=(2k’)2=4k ’2，因为

4k 2≡4k ’2≡0(mod4)，所以a 2 ≡ b 2(mod4)；

当a, b 为奇数时，设a =2k +1, b =2k’+1，则a 2=(2k +1)2=4(k 2+k )+1，b 2=(2k’+1)2=4(k ’2+k’)+1，因为4(k 2+k )+1≡ 4(k ’2+k’)+1≡ 1(mod4)，所以a 2 ≡ b 2(mod4)。

4、解：

设未知数为x ，则根据弃九法，有：

((78954)mod 9(98351)mod 9)mod 9(77654854)mod 9

x ++++×++++=++++++++解之得：x =2

5、解：

因为ord 7(3)=6，即36

≡1(mod 7)，所以

302565043((3)3)133(mod 7)≡×≡×≡，故此后第30253是星期日。

6、解：

因为ord 100(3)=20, 即320

≡1(mod 100)，所以

4082020883(3)31361(mod100)≡×≡×≡，故3408写成十进制时的最后两位数是61。

9、解：

(1) 模11的一组全为奇数的完全剩余系为：1，3，5，7，9，11，13，17，19，21

(2) 模11的一组全为偶数的完全剩余系为：0，2，4，6，8，10，12，14，16，18，20 (3) 设模m 的完全剩余系为：0121,1,2,,(1),()m i k m k m k m k m m k Z −++++∈ 由于2|m ，2|(,0,2,4,,2)i i i i k m r k Z r m +∈=− 所以，

2|(,1,3,5,,1)j j j j k m r k Z r m +∈=− 而，

因此，模m 的完全剩余系中一半是偶数，一半是奇数。

12、

证明：因为{1，2， ，n }中，与n 互素的个数为()n ϕ，将{1，2， ，nk }分成k 个集合，每个集合由n 个连续的整数构成。每个集合都是一组模n 的完全剩余系，由例题2-8的结论：