高数第十二章(2)常数项级数的审敛法

n
3 2

n 1(1 cos ) 2 2 n


n 1(1 cos ) 收敛. 根据极限审敛法知， n n 1
机动 目录 上页 下页 返回 结束

练习. 判别下列级数的敛散性 .
1 (1) n 1 ln( n 1)

( 2)
n 1

1 nn n
2 n (3) n n 1 n

n! 根据比值审敛法知， n 发散. n 1 10 2 (1) n 的敛散性 . 例8. 判别级数 n 2 n 1
1 2 (1) 解: lim n 2 (1) 1 lim n n n 2 2 2 n 2 (1) 根据根值审敛法知， 收敛. n 2 n 1
机动
目录
上页
下页
返回
结束
例2. 证明级数
证: 因为
发散 .
1 n (n 1)
而级数
1 (n 1)

2
1 发散 k 2 k
根据比较审敛法可知, 所给级数发散 .
机动
目录
上页
下页
返回
结束
定理3. (比较审敛法的极限形式) 设两正项级数
un 满足 lim l , 则有 n vn
n 故 f (n ) e 1 n
1 2
由定理2可知, 若
发散 ,
机动 目录 上页 下页 返回 结束
是两个正项级数, (1) 当 0 l 时, 两个级数同时收敛或发散 ; (2) 当 l 0 且 vn 收敛时, (3) 当 l 且 vn 发散时, 也收敛 ; 也发散 .
1 特别取 vn p , 对正项级数 un , 可得如下结论 : n un 发散 0l lim n p nn l n p 1, 0 l un 收敛

n
n4 (4) n 1 n!

机动
目录
上页
下页
返回
结束
二 、交错级数及其审敛法
设 un 0 , n 1, 2 ,, 则各项符号正负相间的级数
称为交错级数 . 定理6 . ( Leibnitz 判别法 ) 若交错级数满足条件:
1) un un1 ( n 1, 2 , ) ;
收敛 ,
故有界.
∴部分和数列
收敛 , 从而
机动 目录
单调递增,
也收敛.
上页 下页 返回 结束
定理2 (比较审敛法) 设
且存在 对一切 有
是两个正项级数, (常数 k > 0 ),
则有
(1) 若强级数 收敛 , 则弱级数
也收敛 ;
也发散 .
(2) 若弱级数
发散 , 则强级数
证: 因在级数前加、减有限项不改变其敛散性, 故不妨
收敛 .
机动
目录
上页
下页
返回
结束
n n ( 1 ) ( e 1 n ) 的敛散性 . 例12. 判别级数 n 1


1 2

1 2
解: 先考察函数 f ( x) e 1 x 在 x=0 的某个
x
右邻域的单调性 .
f ( x) e x 1, f ( x) 在 x 0 时单调递增.
1 1 时, p p , 故 n x
1 1 1 1 1 1 1 考虑强级数 的部分和 1 p 1 p 1 p 1 p 1 p 1 p 1 p 1 (n 13 ) 2 n 22 n (n 1) n
下页
返回
结束
定理5. 根值审敛法 ( Cauchy判别法) 设
数, 且 lim n u n , 则
n
为正项级
证明提示: lim n un , 对任意给定的正数
n
存在 N Z ,

n un
即
1
( ) n un ( ) n
解: 1) 若 p 1, 因为对一切
1 n
1 而调和级数 发散 , 由比较审敛法可知 p 级数 n 1 n
发散 .

机动
目录
上页
下页
返回
结束
ห้องสมุดไป่ตู้
2) 若 p 1, 因为当 n 1 1 dx p p n 1 n n n 1 1 1 1 p 1 dx p p 1 n 1 x p 1 (n 1) n
1
1 1
分别利用上述不等式的左,右部分, 可推出结论正确.
机动 目录 上页 下页 返回 结束
说明 :
时 , 级数可能收敛也可能发散 .
例如 , p – 级数
n
1 1 ( n ) un n n
p
但
p 1, 级数收敛 ; p 1, 级数发散 .
n
n
n
机动
目录
上页
下页
返回
结束
n! 例9. 判别级数 n 的敛散性 . n 1 n
解:
( n 1)! n 1 n lim n n! nn


n! 根据比值审敛法知， n 发散. n 1 n
1 1 lim 1 n (1 1 ) n e n

例10. 判别级数 n 1(1 cos ) 的敛散性 . n n 1 解: lim n
(1) 当 0 < l <∞ 时, 两个级数同时收敛或发散 ;
(2) 当 l = 0 (3) 当 l =∞ 证: 据极限定义,
机动
目录
上页
下页
返回
结束
(1) 当0 < l <∞时, 同时收敛或同时发散 ; (2) 当l = 0时,
由定理 2 可知 由定理2 知
若
收敛 , (3) 当l = ∞时, 即
机动 目录 上页 下页 返回 结束
定理4 . 比值审敛法 ( D’alembert 判别法) u n 1 设 为正项级数, 且 lim , 则 n u n (1) 当 1 时, 级数收敛 ;
(2) 当 1 或 时, 级数发散 . 证: (1) 当 1 时,
rn un 1 un 2 un 1
机动 目录 上页 下页 返回 结束
用Leibnitz 判别法判别下列级数的敛散性:
1 1 1 n1 1 n 1 1 1) 1 (1) n 1 收敛 2 3 4 u n 1 n (n 1 1n 1 1) ! 10 n 1 1 1 u n n 1 1 1 10 n n 收敛 1 2) 1 (1) n 2! 3! 4! n ! 10 n! 1 2 3 4 n 1 n 3) 2 3 4 (1) 收敛 10 10 10 10 10n
因此 lim u n u N 0 , 所以级数发散.
u n 1 说明: 当 lim 1 时,级数可能收敛也可能发散. n u n 1 u n 1 ( n 1) p lim lim 1 1 例如, p – 级数 n u n n p
n
n
但
p 1, 级数收敛 ; p 1, 级数发散 .
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例5. 讨论级数
的敛散性 .
u n 1 (n 1) x n lim 解: lim x n 1 n u n n n x
根据定理4可知:
当0 x 1 时, 级数收敛 ;
当x 1时, 级数发散 ; 当x 1时,
机动
目录
上页
u n 1 知存在 N Z , 当n N 时, 1 un

收敛 , 由比较审敛法可知
un 收敛 .
机动 目录 上页 下页 返回 结束
(2) 当 1 或 时,必存在 N Z , u N 0, 当n N
时 从而
un 1 un un 1 u N
机动 目录 上页 下页 返回 结束
1 例3. 判别级数 sin 的敛散性 . n n 1 1 1 解: lim n sin lim n 1 n n n n

sin 1 n ～

1 n
1 根据比较审敛法的极限形式知 sin 发散 . n n 1 1 例4. 判别级数 ln 1 2 的敛散性. ln(1 12 ) ～ n12 n n n 1 1 2 1 2 解: lim n ln 1 2 lim n 2 1 n n n n 1 收敛 . 根据比较审敛法的极限形式知 ln 1 2 n n 1
机动
目录
上页
下页
返回
结束
例6. 证明级数
收敛于S , 并估计以部分和 Sn 近
似代替和 S 时所产生的误差 .
解:
n
un n
1 nn
由定理5可知该级数收敛 . 令 rn S S n , 则所求误差为
1 1 0 rn n 1 n2 (n 1) (n 2)
1 1 1 n n 1 1 1 n ( n 1 ) (n 1) n 1
机动 目录 上页 下页 返回 结束
n! 例7. 判别级数 n 的敛散性 . n 1 10
解:
( n 1)! n 1 10 lim n n! 10n

n 1 lim n 10
S 2n u1 (u2 u3 ) (u4 u5 ) (u2n 2 u2n 1 ) u2n
是单调递增有界数列, 故 又
n
lim S 2 n 1 lim ( S 2 n u2 n 1 )
n
故级数收敛于S, 且 S u 1 ,
(un 1 un 2 )
设对一切 都有 分别表示弱级数和强级数的部分和, 则有
机动 目录 上页 下页 返回 结束
(1) 若强级数 因此对一切
收敛, 则有 有 也收敛 .
由定理 1 可知, 弱级数 (2) 若弱级数 因此 发散, 则有
这说明强级数
也发散 .
机动
目录
上页
下页
返回
结束
1 1 1 例1. 讨论 p 级数1 p p (常数 p > 0) p 2 3 n 的敛散性.

1 1 1 n n p 1 1 1 p 1 p 1 (k 1) (n 1) k 1 k
故强级数收敛 , 由比较审敛法知 p 级数收敛 .
机动 目录 上页 下页 返回 结束
n
调和级数与 p 级数是两个常用的比较级数. 若存在 N Z , k 0, 对一切 n N ,
第二节 常数项级数的审敛法
一、正项级数及其审敛法
二、交错级数及其审敛法
第十二章
三、绝对收敛与条件收敛
机动
目录
上页
下页
返回
结束
一、正项级数及其审敛法
若 un 0 , 则称 u n 为正项级数 .
n 1
定理 1. 正项级数 有界 . 证: “ “ 又已知 ” 若 ” 有界, 故
收敛
部分和序列
2)

n
lim un 0 ,
n 1 ( 1 ) u n 收敛 , 且其和 S u1 , 其余项满足 则级数 n 1
rn un 1 .
机动 目录 上页 下页 返回 结束
证: S 2n (u1 u2 ) (u3 u4 ) (u2n 1 u2n )
上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛 ?
1 1) ; n 1 n
发散

1 2) ; n 1 n !
收敛

n 3) n . n 1 10
收敛
机动 目录 上页 下页 返回 结束

ln n 的敛散性 . 例11. 判别级数 (1) n n 1
n

ln x 解: 为了判别单调性,考察函数 f ( x) 的单调性 . x 1 ln x f ( x) , f ( x) 在 x e 时单调递减. 2 x ln n ln( n 1) f (n 1) 故当n > 3时, f (n) n n 1 ln n n ln n 0, 由Leibniz 判别法,知 (1) 又因为 lim n n n n 1