高数第十二章(2)常数项级数的审敛法
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常数项级数审敛法
n 1 n 1
绝对收敛与收敛 有以下重要关系 :
n1
定理7 若级数 un 绝对收敛 , 则级数 un 必定收敛.
n 1
证
( 即绝对收敛的级数必定收敛 )
1 vn ( un un ) ( n 1 , 2 , ) 2 显然 v n 0 , 且 v n un , 根据比较审敛法 vn 收敛,
n 1 n 1 n 1 n 1
(1) 若 vn 收敛, 则 un 收敛. (2) 若 un 发散, 则 vn 发散.
证
(1)
设 v n , 因为 un v n
n 1
且 sn u1 u2 un v1 v2 vn
n
则级数收敛, 且和 s u1 ,其余项rn的绝对值 | rn | un1 . 莱布尼茨 (Leibniz) (德) 1646–1716
注
用莱布尼茨定理判别交错级数
n 1 ( 1 ) un( un 0) 是否收敛时, 要考察un与un+1大小, n 1
比较un与un+1大小的方法有三种:
v
n 1 n 1
n
收敛
u
n 1
n
收敛
(3) 当 时，
v
n
发散
u
n 1
n
发散
1 例3. 判别级数 sin 的收敛性 . （P258,例3） n n 1
解:
1 sin n lim
n
1 n
1 比较审敛法的极限形式,
级数发散.
π 判定级数 1 cos 的敛散性 . n n 1 π 1 cos x0 n 2 解 lim 1 x n π 2 1 cos x～ n 2 2 p 2的p 级数 2 1 π 1 2 1 而级数 π 2 收敛 2 n 1 n 2 n 1 n
绝对收敛与收敛 有以下重要关系 :
n1
定理7 若级数 un 绝对收敛 , 则级数 un 必定收敛.
n 1
证
( 即绝对收敛的级数必定收敛 )
1 vn ( un un ) ( n 1 , 2 , ) 2 显然 v n 0 , 且 v n un , 根据比较审敛法 vn 收敛,
n 1 n 1 n 1 n 1
(1) 若 vn 收敛, 则 un 收敛. (2) 若 un 发散, 则 vn 发散.
证
(1)
设 v n , 因为 un v n
n 1
且 sn u1 u2 un v1 v2 vn
n
则级数收敛, 且和 s u1 ,其余项rn的绝对值 | rn | un1 . 莱布尼茨 (Leibniz) (德) 1646–1716
注
用莱布尼茨定理判别交错级数
n 1 ( 1 ) un( un 0) 是否收敛时, 要考察un与un+1大小, n 1
比较un与un+1大小的方法有三种:
v
n 1 n 1
n
收敛
u
n 1
n
收敛
(3) 当 时，
v
n
发散
u
n 1
n
发散
1 例3. 判别级数 sin 的收敛性 . （P258,例3） n n 1
解:
1 sin n lim
n
1 n
1 比较审敛法的极限形式,
级数发散.
π 判定级数 1 cos 的敛散性 . n n 1 π 1 cos x0 n 2 解 lim 1 x n π 2 1 cos x～ n 2 2 p 2的p 级数 2 1 π 1 2 1 而级数 π 2 收敛 2 n 1 n 2 n 1 n
(整理)常数项级数的审敛法
n 1n 1§ 11-2 常数项级数的审敛法一、正项级数及其审敛法正项级数： U n U n 0⑴n 1显然，部分和数列s n 单调增加：s 1 s 2Sn . s n1.收敛准则定理1正项级数 U n 收敛部分数列S n 有界.n 1n例1判别正项级数亠的收敛性定理2设 U n 和V n 都是正项级数，且U n V . (nn 1n 1则 U n 收敛；反之, n 1 若 U n 发散，则 V n 发散.n 1 n 1 分析: V nn 1，贝U U n 的部分和 n 1 S n U 1 U 2 U n V 1 V 2 V n (n 1,2,),即S n 有界，由TH1知 U n 收敛。
反之，设n 1U n 发散，则n 1V n n 1必发散.因为若V n 收敛，由上面已证结论知 U n 也收敛，与假设矛盾n 11解「sin 2 22221 1 I 2n1 1 22Sin 2n1 1 1 2n2 222n1有上界 级数收敛1,2,).若 V n 收敛,n 12.比较审敛法推论 设 U n 和 V n 都是正项级数，如果级数 V n 收敛，且存在自然数 N,使n 1n 1kv n (k 0)成立，则级数 u n 收敛；如果级数 v n 发散，且当n Nn 1n 1分析：因为级数的每一项同乘不为零的常数 k ，以及去掉级数前面的有限项不会 影响级数的收敛性.注：比较审敛法的：必须有参考级数。
常用：几何级数， p —级数(调级数)例3判别下列级数的敛散性. 当n N 时有U n 时有 u n kv n (k 0)成立,则级数 U n 发散.n 1例2讨论p —级数⑵的收敛性，其中常数p>0.1，当n则書n时,1丄，但调和级数发散，故级数(2)发散. n有1 n pIn 1n p2dxx(nn p 1n 2,3,考虑级数(n 1) 级数(3)的部分和sn1 2卩11 3p 11 =1 1(n 1)p1 = (n 1)p 1因S n 1 .故级数(3)收敛. 由推论 1知，级数⑶当p>1时收敛.总之：p —级数(2)当p 1时发散，当p>1时收敛.(1).n n 121 n 5n 2U nn12 2^2n 5n 2n 8n丄发散，原级数发散 n 1 n(2).1 . 1 sin — n〔 n 1 n 1 U n 原级数收敛3. 比较审敛法的极限形式定理3设 u n 和n 1V n 都是正项级数,n 10 或 lim 土nV n例4判别下列级数的敛散性.4. 比值审敛法能发散.（证略，可参考教材） 例5判别下列级数的敛散性:(1)3 n n lim U n 1 - 1,级数收敛n 13n U n 3⑵n!nlim U n 1 lim n 1 级数发散n 1 2n U nn 2⑶n 1 nxn 1x 0lim U n 1 x0 x 1收敛,x 1 发散x 1发散n U n5.根值审敛法----柯西判别法(1)如果 lim unnV n(0 I）,且级数V n 收敛，则级数 U n 收敛;n 1n 11(1) si nn 1 n.1 sinlim n n 10,丄发散 原级数发散n 1 n⑵ 2nta nn 13li mn1 2ntan]3nn2 3n2收敛收敛3，且级数 V n 发散，则级数 U n 发散n 1n 1(2)如果 limU nnV n 定理4设 u n 为正项级数，如果n 1lim 山 nU n则当1级数收敛;U n 11 (或 limnU n）时级数发散； 1时级数可能收敛也可例7判别下列级数的敛散性二、交错级数及其审敛法)；(2) limu n 0,n则级数收敛，且其和S U 1,其余项r n 的绝对值r交错级数：U 1 U 2 U 3U 4(4)U 1 U 2 U 3U 4,其中U i ,u都是正数.定理7（莱布尼兹定理）如累交错级数(1)n1U n 满足条件:n 1定理5设 U n 为正项级数，如果lim n U nn 1n,则当 1时级数收敛， 1（或Hm nU n）时级数发散， 例6判别下列级数的敛散性1时级数可能收敛也可能发散.（证略，可参考教材）nU n n11Zn-0(nnn）1,级数收敛—5‘n imn ,n 31,级数发散6根限审敛法（与p —级数作比较）定理6设 u n 为正项级数,n 1(1)如果 lim nu n l 0 或 lim nu nnn，则 U n 发散;n 1⑶如果p 1,而limn p u nl 0nU n 收敛。
常数项级数的审敛法
23
证明
假设级数
1
收敛，
n1 n
且
lim
n
Sn
S
1 n
则
lim
n
S2n
S
于是
lnim(S2n Sn ) S S 0
例1 证明调和级数 1 1 1 1 1
是发散的。
n1 n
23
n
另一方面
S2n
Sn
1 n 1
n
1
2
111 2n 2n 2n
1 1 2n 2
故
lnim(S2n Sn ) 0
一、正项级数的审敛法
如果级数
un u1 u2 un
n1
的每一项都是非负数，即un ≥0(n=1, 2, …) ，则称此级数为 正项级数。
1.比较审敛法
设级数
un
n1
和
n1
vn
都是正项级数，且un
≤vn
(n=1,
2,
…)。
（1）若级数 vn 收敛，则级数 un 收敛；
（2）若级数
例5 级数 (1)n sin 1 收敛吗？若收敛，是条件收敛还是绝
对收敛？ n1
n
再考虑每项取绝对值，得级数 sin 1
n1 n
由比较审敛法的极限形式，可知级数 sin 1 发散。
n1 n
所以级数 sin 1 是条件收敛。
n1 n
高等数学
1
2n 2n
1
1 2
1
由比较审敛法知，该级数收敛。
例3 判断下列级数的敛散性：
2n 1
(1)
n1
2n
(2) nxn1
n1
(x 0)
高数课件-常数项级数的审敛法
證明 S2n (u1 u2 ) (u3 u4 ) (u2n1 u2n )
u1 (u2 u3 ) (u4 u5 ) (u2n2 u2n1 ) u2n
21
由前一式知{S2n}單調增加，由後一式知S2n <u1。 由數列判斂的單調有界準則知:
lim
n
S 2n 存 在 ， 记 为S , 则S
收敛,
但
un1 un
2 (1)n1 2(2 (1)n )
an ,
1
lim
n
a
2n
, 6
3
lim
n
a
2n1
, 2
lim un1 n un
lim
n
an
不存在.
13
例4 判斷下列各級數的斂散性
n3
(1)
,
n1 2n
e n
(2)
,
n1 n!
n!
(3) n1 nn
ln n
(4)
,
n2
n2
解（1）
)~ 3 n2
而
1
3
收
敛,
所給級數收斂。
n n1 2
9
定理 10.2.4(比值審斂法,達朗貝爾D’Alember審斂法)
设 un
n1
是正项级数,如果lim un1 n un
(数或
)
则 1时级数收敛; 1时级数发散; 1 时失效.
證明 当为有限数时, 对 0,
N,
当n N时,
有 un1 ,
(1)n当P 0时收敛。
n2 n p
注意 un單調減少不是交錯級數 (1)n1un (un 0) n1 收斂的必要條件。
23
例8 判斷 sin n2 1的收敛性。
u1 (u2 u3 ) (u4 u5 ) (u2n2 u2n1 ) u2n
21
由前一式知{S2n}單調增加，由後一式知S2n <u1。 由數列判斂的單調有界準則知:
lim
n
S 2n 存 在 ， 记 为S , 则S
收敛,
但
un1 un
2 (1)n1 2(2 (1)n )
an ,
1
lim
n
a
2n
, 6
3
lim
n
a
2n1
, 2
lim un1 n un
lim
n
an
不存在.
13
例4 判斷下列各級數的斂散性
n3
(1)
,
n1 2n
e n
(2)
,
n1 n!
n!
(3) n1 nn
ln n
(4)
,
n2
n2
解（1）
)~ 3 n2
而
1
3
收
敛,
所給級數收斂。
n n1 2
9
定理 10.2.4(比值審斂法,達朗貝爾D’Alember審斂法)
设 un
n1
是正项级数,如果lim un1 n un
(数或
)
则 1时级数收敛; 1时级数发散; 1 时失效.
證明 当为有限数时, 对 0,
N,
当n N时,
有 un1 ,
(1)n当P 0时收敛。
n2 n p
注意 un單調減少不是交錯級數 (1)n1un (un 0) n1 收斂的必要條件。
23
例8 判斷 sin n2 1的收敛性。
高数第十二章(2)常数项级数的审敛法
因此 lim u n u N 0 , 所以级数发散.
u n 1 说明: 当 lim 1 时,级数可能收敛也可能发散. n u n 1 u n 1 ( n 1) p lim lim 1 1 例如, p – 级数 n u n n p
n
n
但
p 1, 级数收敛 ; p 1, 级数发散 .
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例5. 讨论级数
的敛散性 .
u n 1 (n 1) x n lim 解: lim x n 1 n u n n n x
根据定理4可知:
当0 x 1 时, 级数收敛 ;
当x 1时, 级数目录
上页
收敛 ,
故有界.
∴部分和数列
收敛 , 从而
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单调递增,
也收敛.
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定理2 (比较审敛法) 设
且存在 对一切 有
是两个正项级数, (常数 k > 0 ),
则有
(1) 若强级数 收敛 , 则弱级数
也收敛 ;
也发散 .
(2) 若弱级数
发散 , 则强级数
证: 因在级数前加、减有限项不改变其敛散性, 故不妨
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例6. 证明级数
收敛于S , 并估计以部分和 Sn 近
似代替和 S 时所产生的误差 .
解:
n
un n
1 nn
由定理5可知该级数收敛 . 令 rn S S n , 则所求误差为
1 1 0 rn n 1 n2 (n 1) (n 2)
n
n
n
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u n 1 说明: 当 lim 1 时,级数可能收敛也可能发散. n u n 1 u n 1 ( n 1) p lim lim 1 1 例如, p – 级数 n u n n p
n
n
但
p 1, 级数收敛 ; p 1, 级数发散 .
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例5. 讨论级数
的敛散性 .
u n 1 (n 1) x n lim 解: lim x n 1 n u n n n x
根据定理4可知:
当0 x 1 时, 级数收敛 ;
当x 1时, 级数目录
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收敛 ,
故有界.
∴部分和数列
收敛 , 从而
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单调递增,
也收敛.
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定理2 (比较审敛法) 设
且存在 对一切 有
是两个正项级数, (常数 k > 0 ),
则有
(1) 若强级数 收敛 , 则弱级数
也收敛 ;
也发散 .
(2) 若弱级数
发散 , 则强级数
证: 因在级数前加、减有限项不改变其敛散性, 故不妨
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例6. 证明级数
收敛于S , 并估计以部分和 Sn 近
似代替和 S 时所产生的误差 .
解:
n
un n
1 nn
由定理5可知该级数收敛 . 令 rn S S n , 则所求误差为
1 1 0 rn n 1 n2 (n 1) (n 2)
n
n
n
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常数项级数的审敛法 ppt课件
(2) 当l = 0时, 利 u n ( l用 ) v n ( n N ) 由定,理2 知
若 v n 收敛 , 则un也收敛;
n 1
n1
(3) 当l = ∞时, 存在 NZ,当nN时, un 1 , 即
un vn
vn
由定理2可知, 若 v n 发散 , 则un 也发散.
n 1
n1
un,vn
是两个正项级数,
lim
n
un vn
l,
(1) 当0l 时, 两个级数同时收敛或发散 ;
(2) 当l 0且 vn收敛时, un 也收敛 ;
(3) 当l 且 vn 发散时, un也发散 .
特别取 vn
1 np
,
对正项级数 un, 可得如下结论
:
p1, 0l
limn p nnl
n
p1, 0l
un发散 un收敛
n 1
“
” un0,∴部分和数列 Sn单调递增,
又已知 Sn有界, 故Sn收敛 , 从而 u n 也收敛.
n 1
定理2 (比较审敛法) 设 u n , v n 是两个正项级数,
n1 n1
且存在 NZ , 对一切 nN,有unkvn(常数 k > 0 ),
则有
(1) 若强级数 v n 收敛 , 则弱级数 u n 也收敛 ;
n
1
un
un
u n 1 ()u n ()2un1
( )nNuN 1
()k收敛 , 由比较审敛法可知 un收敛 .
(2) 当1或 时 ,必N 存 Z ,u 在 N 0 ,当nN
时 u n 1 1, 从而
un
un1unun1 uN
因此 n l i m unuN0,所以级数发散.
常数项级数审敛法
反之，若 an 发散，则 bn 发散.
n1
n1
证明
(1) 设 bn
an bn ,
n1
且 sn a1 a2 an b1 b2 bn
即部分和数列有界
an收 敛. n1
(2) 设 sn (n ) 且 an bn ,
则 n sn 不是有界数列
bn发 散. n1
p
级
数
当 当
p p
1时 1时
, ,
收敛 发散
补充：积分审敛法
例２ 判定级数
1
的敛散性
n1 n 2n
解 由于
11 n 2n 2n (n 2)
而等比级数
1
n1 2n
收敛，由比较审敛法知原级数收敛．
例 3 证明级数
1 是发散的.
n1 n(n 1)
证明 1 1 , n(n 1) n 1
(1) n1
n;
ln(1 1 )
(2) n1
n;
解
(1)
n 时，1 cos 1 n
～
1 2n2
而
1 收 敛 ， 故原级数收敛
n1 2n2
(2) n
时，ln(1
1)～ n
1 n
而
1发散，
故原级数发散
n1 n
注: ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ用的等价无穷小: 当x 0时,
sin x ~ x, tan x ~ x,arcsin x ~ x, arctan x ~ x, ln(1 x) ~ x, e x 1 ~ x, 1 cos x ~ 1 x2 , (1 x)a 1 ~ ax (a 0)
n!
(2) n1 10n ;
(1)若an与bn是同阶无穷小，则 an与 bn同敛散
高数同济12.2常数项级数的审敛法
当p 1时, 收敛 P 级数 当p 1时, 发散
例3 判别如下级数的敛散性 : (1)
1 n1
1
n 1
; (2)
1 n ( n 2 1)
,
n 1
(1)
n1
n1
n 2
1 n
P—级数
p 1 2
1,发散
1 1 1 1 1 p p p p 2 3 4 n
n 1
1 1 ; (4) 2 ln n n n1 n 1 (ln n )
n 1
n 1
收敛 发散
(3)u n
1 1 1 n 2 , 2 2 n( n 1) ( n 1) n n1
1 1 收敛. 收敛, 2 2 n1 n 2 ( n 1) n 1 n
n 1 n 1 n 1 n 1
例 2 证明级数
n 1
1 是发散的. n( n 1)
证明
1 而级数 发散, n 1 n 1 1 发散. 级数 n( n 1) n 1
1 , n( n 1) n1
1
1 1 1 1 1 p p p p 2 3 4 n
一、正项级数及其审敛法 比较判别法的极限形式:
un 设 u n 与 v n 都是正项级数 , 如果 lim l, n v n n 1 n1
则 (1) 当 0 l 时 , 二级数有相同的敛散性 (2) 当 l 0 时， 若 (3) 当 l 时 ,
n
lim
1 1
1 n 3
常数项级数的审敛法
n= n =1
∞
(n + 1)(n + 4)
1
.
1 解 (1).un = > = , 2 n(n + 1) (n + 1) n + 1 1 1 1 (2).un = < = 2, (n + 1)(n + 4) n ⋅ n n
1 ∑n + 1发散 故原级数发散。 发散, 故原级数发散。 n=1
1 ∑ n 2 收敛 故原级数收敛。 收敛, 故原级数收敛。 n =1
第二节 常数项级数的审敛法
一、正项级数及其审敛法
1、比较审敛法 、 2、比值审敛法 、 3、根值审敛法
0 ≤ un ≤ v n un = l (0 < l < +∞), (2) 极限形式 lim n→∞ v n u n +1 lim =ρ n→∞ u n
(1) 一般形式
lim n un = ρ
n→∞
11
比值审敛法失效, 注：ρ=1时,比值审敛法失效 必须用其他的方法来判别 时 比值审敛法失效 必须用其他的方法来判别.
1 的敛散性. 例8 判别级数 ∑ (2n − 1) ⋅ 2n 的敛散性 n=1
∞
un+1 解 lim n→ ∞ u n
1 (2n + 1) ⋅ 2(n + 1) = lim (2n − 1) ⋅ n = 1 = lim n → ∞ (2n + 1) ⋅ (n + 1) n→ ∞ 1 (2n − 1) ⋅ 2n
3、根值审敛法
判别级数的敛散性: 例9. 判别级数的敛散性
n
(1).∑
1 n ; (2).∑ n n =1 n n =1 3n-1
∞
(n + 1)(n + 4)
1
.
1 解 (1).un = > = , 2 n(n + 1) (n + 1) n + 1 1 1 1 (2).un = < = 2, (n + 1)(n + 4) n ⋅ n n
1 ∑n + 1发散 故原级数发散。 发散, 故原级数发散。 n=1
1 ∑ n 2 收敛 故原级数收敛。 收敛, 故原级数收敛。 n =1
第二节 常数项级数的审敛法
一、正项级数及其审敛法
1、比较审敛法 、 2、比值审敛法 、 3、根值审敛法
0 ≤ un ≤ v n un = l (0 < l < +∞), (2) 极限形式 lim n→∞ v n u n +1 lim =ρ n→∞ u n
(1) 一般形式
lim n un = ρ
n→∞
11
比值审敛法失效, 注：ρ=1时,比值审敛法失效 必须用其他的方法来判别 时 比值审敛法失效 必须用其他的方法来判别.
1 的敛散性. 例8 判别级数 ∑ (2n − 1) ⋅ 2n 的敛散性 n=1
∞
un+1 解 lim n→ ∞ u n
1 (2n + 1) ⋅ 2(n + 1) = lim (2n − 1) ⋅ n = 1 = lim n → ∞ (2n + 1) ⋅ (n + 1) n→ ∞ 1 (2n − 1) ⋅ 2n
3、根值审敛法
判别级数的敛散性: 例9. 判别级数的敛散性
n
(1).∑
1 n ; (2).∑ n n =1 n n =1 3n-1
12(2)常数数级数的审敛法
又 s2n u1 (u2 u3 ) (u2n2 u2n1 ) u2n
u1 数列 s2n是有界的.
lim
n
s2n
s
u1
30
证 lim n
s2n1
s
s2n1 s2n u2n1
(2)
lim
n
un
0
由条件(2):
lim
n
u2n1
10n n!
n1 10
(n )
故级数
n1
n! 10n
发散.
22
(2)
1
n1 (2n 1) 2n
lim un l ,当0 l 时, v n
n
两级数有相同的敛散性
解 lim un1 lim (2n 1) 2n 1
n un n (2n 1) (2n 2)
如
级数
1 发散
级数
n1 n 1
收敛
lim un1 n un
1
n1 n2
4. 比值判别法的优点：不用找参考级数。
21
例 判定下列级数的敛散性
n!
(1) n1 10n
(2)
1
n1 (2n 1) 2n
解
(1) un1 un
(
n 1)! 10n1
n1
(2)
若{sn }有上界,
lim
n
sn
s
un必收敛.
n1
2
定理1(基本定理)
正项级数收敛 部分和所成的数列 sn有界.
12-2常数项级数的审敛法
1收敛,
m1
uNm uu收敛, 收敛
m1
n N 1
当 1时, 取 1, 使r 1,
当n N时, un1 run un ,
lim
n
un
0.
发散
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比值审敛法的优点: 不必找参考级数.
两点注意:
1.当 1时比值审敛法失效;
n1
1 n2
收敛,
故级数
n1
2n
(
1 2n
1)
收敛.
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6.根值审敛法 (柯西判别法)：
设
un
是正项级数,如果lim n
n
un
n1
(为数或 ), 则 1时级数收敛;
1时级数发散; 1时失效.
例如, 设级数
1,
nn
n1
n
un
n
1 nn
u1
数列
s2
是有界的
n
,
lim n
s2n
s
u1 .
lim n
u2n1
0,
lim n
s2n1
lim(
n
s2n
u2n1 )
s,
返回
lim n
s2n1
lim(
n
s2n
u2n1 )
s,
级数收敛于和 s, 且s u1. 余项 rn (un1 un2 ),
则P 级数发散.
y
设
p
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例6. 证明级数
收敛于S , 并估计以部分和 Sn 近
似代替和 S 时所产生的误差 .
解:
n
un n
1 nn
由定理5可知该级数收敛 . 令 rn S S n , 则所求误差为
1 1 0 rn n 1 n2 (n 1) (n 2)
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定理5. 根值审敛法 ( Cauchy判别法) 设
数, 且 lim n u n , 则
n
为正项级
证明提示: lim n un , 对任意给定的正数
n
存在 N Z ,
n un
即
1
( ) n un ( ) n
n
n4 (4) n 1 n!
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二 、交错级数及其审敛法
设 un 0 , n 1, 2 ,, 则各项符号正负相间的级数
称为交错级数 . 定理6 . ( Leibnitz 判别法 ) 若交错级数满足条件:
1) un un1 ( n 1, 2 , ) ;
1 1 时, p p , 故 n x
1 1 1 1 1 1 1 考虑强级数 的部分和 1 p 1 p 1 p 1 p 1 p 1 p 1 p 1 (n 13 ) 2 n 22 n (n 1) n
u n 1 知存在 N Z , 当n N 时, 1 un
收敛 , 由比较审敛法可知
un 收敛 .
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(2) 当 1 或 时,必存在 N Z , u N 0, 当n N
时 从而
un 1 un un 1 u N
n 故 f (n ) e 1 n
1 2
上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛 ?
1 1) ; n 1 n
发散
1 2) ; n 1 n !
收敛
n 3) n . n 1 10
收敛
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ln n 的敛散性 . 例11. 判别级数 (1) n n 1
n
ln x 解: 为了判别单调性,考察函数 f ( x) 的单调性 . x 1 ln x f ( x) , f ( x) 在 x e 时单调递减. 2 x ln n ln( n 1) f (n 1) 故当n > 3时, f (n) n n 1 ln n n ln n 0, 由Leibniz 判别法,知 (1) 又因为 lim n n n n 1
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例2. 证明级数
证: 因为
发散 .
1 n (n 1)
而级数
1 (n 1)
2
1 发散 k 2 k
根据比较审敛法可知, 所给级数发散 .
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定理3. (比较审敛法的极限形式) 设两正项级数
un 满足 lim l , 则有 n vn
因此 lim u n u N 0 , 所以级数发散.
u n 1 说明: 当 lim 1 时,级数可能收敛也可能发散. n u n 1 u n 1 ( n 1) p lim lim 1 1 例如, p – 级数 n u n n p
n
n
但
p 1, 级数收敛 ; p 1, 级数发散 .
收敛 .
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n n ( 1 ) ( e 1 n ) 的敛散性 . 例12. 判别级数 n 1
1 2
1 2
解: 先考察函数 f ( x) e 1 x 在 x=0 的某个
x
右邻域的单调性 .
f ( x) e x 1, f ( x) 在 x 0 时单调递增.
rn un 1 un 2 un 1
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用Leibnitz 判别法判别下列级数的敛散性:
1 1 1 n1 1 n 1 1 1) 1 (1) n 1 收敛 2 3 4 u n 1 n (n 1 1n 1 1) ! 10 n 1 1 1 u n n 1 1 1 10 n n 收敛 1 2) 1 (1) n 2! 3! 4! n ! 10 n! 1 2 3 4 n 1 n 3) 2 3 4 (1) 收敛 10 10 10 10 10n
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1 例3. 判别级数 sin 的敛散性 . n n 1 1 1 解: lim n sin lim n 1 n n n n
sin 1 n ～
1 n
1 根据比较审敛法的极限形式知 sin 发散 . n n 1 1 例4. 判别级数 ln 1 2 的敛散性. ln(1 12 ) ～ n12 n n n 1 1 2 1 2 解: lim n ln 1 2 lim n 2 1 n n n n 1 收敛 . 根据比较审敛法的极限形式知 ln 1 2 n n 1
n
n
n
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n! 例9. 判别级数 n 的敛散性 . n 1 n
解:
( n 1)! n 1 n lim n n! nn
n! 根据比值审敛法知， n 发散. n 1 n
1 1 lim 1 n (1 1 ) n e n
例10. 判别级数 n 1(1 cos ) 的敛散性 . n n 1 解: lim n
2)
n
lim un 0 ,
n 1 ( 1 ) u n 收敛 , 且其和 S u1 , 其余项满足 则级数 n 1
rn un 1 .
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证: S 2n (u1 u2 ) (u3 u4 ) (u2n 1 u2n )
1 1 1 n n p 1 1 1 p 1 p 1 (k 1) (n 1) k 1 k
故强级数收敛 , 由比较审敛法知 p 级数收敛 .
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n
调和级数与 p 级数是两个常用的比较级数. 若存在 N Z , k 0, 对一切 n N ,
由定理2可知, 若
发散 ,
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是两个正项级数, (1) 当 0 l 时, 两个级数同时收敛或发散 ; (2) 当 l 0 且 vn 收敛时, (3) 当 l 且 vn 发散时, 也收敛 ; 也发散 .
1 特别取 vn p , 对正项级数 un , 可得如下结论 : n un 发散 0l lim n p nn l n p 1, 0 l un 收敛
收敛 ,
故有界.
∴部分和数列
收敛 , 从而
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单调递增,
也收敛.
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定理2 (比较审敛法) 设
且存在 对一切 有
是两个正项级数, (常数 k > 0 ),
则有
(1) 若强级数 收敛 , 则弱级数
也收敛 ;
也发散 .
(2) 若弱级数
发散 , 则强级数
证: 因在级数前加、减有限项不改变其敛散性, 故不妨
解: 1) 若 p 1, 因为对一切
1 n
1 而调和级数 发散 , 由比较审敛法可知 p 级数 n 1 n
发散 .
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2) 若 p 1, 因为当 n 1 1 dx p p n 1 n n n 1 1 1 1 p 1 dx p p 1 n 1 x p 1 (n 1) n
S 2n u1 (u2 u3 ) (u4 u5 ) (u2n 2 u2n 1 ) u2n
是单调递增有界数列, 故 又
n
lim S 2 n 1 lim ( S 2 n u2 n 1 )
n
故级数收敛于S, 且 S u 1 ,
(un 1 un 2 )
设对一切 都有 分别表示弱级数和强级数的部分和, 则有
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(1) 若强级数 因此对一切
收敛, 则有 有 也收敛 .
由定理 1 可知, 弱级数 (2) 若弱级数 因此 发散, 则有
这说明强级数
也发散 .
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1 1 1 例1. 讨论 p 级数1 p p (常数 p > 0) p 2 3 n 的敛散性.
第二节 常数项级数的审敛法
一、正项级数及其审敛法
二、交错级数及其审敛法
第十二章
三、绝对收敛与条件收敛
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一、正项级数及其审敛法
若 un 0 , 则称 u n 为正项级数 .
n 1
定理 1. 正项级数 有界 . 证: “ “ 又已知 ” 若 ” 有界, 故
收敛