弧度制及弧度制与角度制的换算PPT课件

大小有关。
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结论：可以用圆的半径作单位去度量角。
2.定义：
长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧 度的角，弧度记作rad。这种以弧度为单位来 度量角的制度叫做弧度制。
注：今后在用弧度制表示角的时候，弧度二字 或rad可以略去不写。
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3. 弧度制与角度制相比：
(1) 弧度制是以“弧度”为单位的度量角的单 位制，角度制是以“度”为单位来度量角的 单位制；1弧度≠1º；
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例5. 在半径为R的圆中，240º的中心角所对的
弧长为
，面积为2R2的扇形的
中心角等于
弧度。
解：（1）240º= 4 ，根据l=αR，得 3
l 4R
3
（2）根据S=
1
lR= 1 αR2，且S=2R2.
2
2
所以 α=4.
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例6.与角－1825º的终边相同，且绝对值最小 的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。
解：－1825º=－5×360º－25º，
所以与角－1825º的终边相同，且绝对值
最小的角是－25º.
合
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例7. 已知一半径为R的扇形，它的周长等于 所在圆的周长，那么扇形的中心角是多少弧 度？合多少度？扇形的面积是多少？
解：周长=2πR=2R+l，所以l=2(π－1)R. 所以扇形的中心角是2(π－1) rad. 合( 360( 1) ) º
（l为弧长，r为半径）
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⑤ ∵ 360=2 rad ，∴180= rad
∴ 1= rad0.01745rad
180
1 rad 180o57.30o57o18'
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6. 用弧度制表示弧长及扇形面积公式：
① 弧长公式： l r
由公式： l l r
r
比公式 l nr 简单.
180
（2）1弧度是弧长等于半径长的圆弧所对的圆 心角的大小，而1度是圆周 1 的所对的圆心
360 角的大小；
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6
（3）弧度制是十进制，它的表示是用一个实 数表示，而角度制是六十进制；
（4）以弧度和度为单位的角，都是一个与半 径无关的定值。
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4.公式： l ， r
表示的是在半径为r的圆中，弧长为l的弧
所对的圆心角是αrad。
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5. 弧度制与角度制的换算
① 用角度制和弧度制度量角，零角既是0º 角，又是0 rad角，同一个非零角的度数和 弧度数是不同的.
② 平角、周角的弧度数： 平角= rad、周角=2 rad.
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③ 正角的弧度数是正数，负角的弧度数是 负数，零角的弧度数是0.
④角的弧度数的绝对值: l r
5 (2) 112º30′=112.5× 1 8 =0 8.
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例2. 把 8 化成度。
5
解：1rad=
(
1
8
0
)
8 8 (180) 5 5
288
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例3. 填写下表：
角度 0° 30° 45° 60° 90° 120°
弧度 0
6
2
4
3
2
3
角度 135° 150° 180° 210° 225° 240°
弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数） 的绝对值与半径的积.
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② 扇形面积公式 S 1 lR 2
其中l是扇形弧长，R是圆的半径。
证明：设扇形所对的圆心角为nº(αrad)，则
SR2 n 1R2
360 2
又 αR=l，所以
S 1 lR 2
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证明2：因为圆心角为1 rad的扇形面积是
R2 1 R2 2 2
扇形面积是 ( 1)R2
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l
而弧长为l的扇形的圆心角的大小是 R rad.
所以它的面积是 S 1 lR 2
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例1. （1) 把112º30′化成弧度(精确到0.001)；
（2）把112º30′化成弧度（用π表示）。
解： （1）112º30′=112.5º，
1 0.0175
180
所以112º30′≈112.5×0.0175≈1.969rad.
弧度
3 4
5 6
π
角度 270° 300° 315° 330° 360°
弧度 3
2
2π
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例4. 扇形AOB中， »A B 所对的圆心角是60º，
半径是50米，求 的»A长B l（精确到0.1
米）。
解：因为60º=
3
,所以
l=α·r=
3
×50≈52.5
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答： »A B 的长约为52.5米.
转的过程中射线上的点必然形成一条圆弧， 不同的点所形成的圆
弧的长度是不同的， 但都对应同一个圆心角。
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»A B r
¼A B r
=定值，
设α=nº，»A B 弧长为l，半径OA为r，
则 ln2r,l n 2 ，
360 r 360
可以看出，等式右端不含
半径，表示弧长与半径的
比值跟半径无关，只与α的
1.1.2 弧度制和 弧度制与角度制的换算
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在初中几何里，我们学习过角的度量， 1度的角是怎样定义的呢？
周角的 1 为1度的角。 360
这种用1º角作单位来度量角的制度叫做 角度制 ，今天我们来学习另一种在数学和其 他学科中常用的度量角的制度——弧度制。
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1. 圆心角、弧长和半径之间的关系： 角是由射线绕它的端点旋转而成的，在旋