第16章 轴对称图形与等腰三角形单元测试(含答案)
数学八年级上册《轴对称》单元检测(含答案)
9.如图,在 中, , , 平分 , ,则图中共有等腰三角形（ ）
A. 个B. 个C. 个D. 个
[答案]D
[解析]
[分析]
根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出∠A C B＝∠B＝ （180°−∠A）＝72°,求出∠A C D＝∠B C D＝ ∠A C B＝36°,求出∠C D B＝∠A＋∠A C D＝72°,根据平行线的性质得出∠ED B＝∠A＝36°,∠DEB＝∠A C B＝72°,∠C DE＝∠A C D＝36°,推出∠A＝∠A C D＝∠B C D＝∠C DE＝36°,∠B＝∠A C D＝∠DEB＝∠C D B＝72°即可．
A. B. C. D.
3.一个角是 等腰三角形是（ ）
A.等腰直角三角形B.等边三角形C.直角三角形D.上述都正确
4.如图,在一个规格为 （即 个小正方形）的球台上,有两个小球 , ．若击打小球 ,经过球台边的反弹后,恰好击中小球 ,那么小球 击出时,应瞄准球台边上的点（ ）
A. B. C. D.
5.如图,桌面上有M、N两球,若要将M球射向桌面的任意一边,使一次反弹后击中N球,则4个点中,可以瞄准的是( )
[详解]解：∵A B＝A C,
∴∠A B C＝∠C,
∵B D＝B A,
∴∠A＝∠B D A,
∴∠A＞∠C,
∴2∠A＜180°且3∠A＞180°,
∴60°＜∠A＜90°,即60＜x＜90．
故选C．
[点睛]此题考查了等腰三角形的性质,三角形内角和为180°和三角形外角的性质,关键是得到2∠A＜180°且3∠A＞180°．
[答案]D
[解析]
[分析]
此题根据△A B C中∠A为锐角与钝角分为两种情况解答．
人教版数学八年级上册《轴对称》单元检测卷带答案
《轴对称》单元测试
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）
1.在4×4的正方形网格中，已将图中的四个小正方形涂上阴影，若再从其余小正方形中任选一个也涂上阴影，是整个阴影部分组成的图形成轴对称图形，那么符合条件的小正方形共有（）
A 4个B.3个C.2个D.1个
故答案为两，一.
【点睛】考查轴对称和轴对称图形的概念，熟练掌握它们的概念，找到它们的区别与联系是解题的关键.
12.点 与点 关于______对称．
【答案】y轴
【解析】
【分析】
根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可以直接得到答案．
【详解】∵点A(−3,2)，点B(3,2)，
纵坐标相等，横坐标互为相反数，
【详解】如图：△ABC中，AB=AC，BD是边AC上的高.
∵ 且AB=AC，
∴
在Rt△BDC中，
∴
故答案为
【点睛】考查等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形两个底角相等是解题的关键.
14.在等边三角形ABC中，点D在AB边上，点E在BC边上，且 连接AE、CD交于点P，则 ______．
【答案】
【解析】
解：将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在C′处，折痕为EF，
由折叠特性可得，CD=BC′=AB，∠FC′B=∠EAB=90°，∠EBC′=∠ABC=90°，
∵∠ABE+∠EBF=∠C′BF+∠EBF=90°
∴∠ABE=∠C′BF
在△BAE和△BC′F中，
∴△BAE≌△BC′F（ASA），
13.已知等腰三角形的顶角为40°，则它一腰上的高与底边的夹角为____．
培优专题等腰三角形(含答案)
9、等腰三角形【知识精读】（－）等腰三角形的性质1. 有关定理及其推论定理：等腰三角形有两边相等；定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。
推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。
等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形；2. 定理及其推论的作用等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等之间的关系，由两边相等推出两角相等，是今后证明两角相等常用的依据之一。
等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线“三线合一”的性质是今后证明两条线段相等，两个角相等以及两条直线互相垂直的重要依据。
（二）等腰三角形的判定1. 有关的定理及其推论定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”。
）推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。
推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。
推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
2. 定理及其推论的作用。
等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系，它是证明线段相等的重要定理，也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据，是本节的重点。
3. 等腰三角形中常用的辅助线等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时则需要作高或中线，这要视具体情况来定。
【分类解读】例1. 如图，已知在等边三角形ABC 中，D 是AC 的中点，E 为BC 延长线上一点，且CE ＝CD ，DM ⊥BC ，垂足为M 。
八年级上册数学《轴对称》单元测试(含答案)
A. B. C. D.
二、填空题(每小题3分，共24分)
11.一个正五边形的对称轴共____条.
12.如图，在等边△A B C中，A D是高，若A B=6，则C D的长为：_____
13.已知点P(3，－1)关于y轴 对称点Q的坐标是(A＋B，1－B)，则A B的值为______.
A. B. C. D.
[答案]A
[解析]
[分析]
根据直角三角形的性质得到A B=2B C，根据线段垂直平分线的性质得到D A=D B，根据直角三角形的性质、角平分线的性质判断即可．
[详解]∵∠C=90°，∠A=30°，
∴∠A B C=60°，A B=2B C，
∵DE是A B的垂直平分线，
∴D A=D B，故B正确，不符合题意；
三、解答题(共66分)
19.如图，已知A B＝A C，AE平分∠D A C，那么AE∥B C吗?为什么?
20.(8分)如图，在△A B C中，∠C＝∠A B C，BE⊥A C，△B DE是正三角形．求∠C的度数．
21.如图，在平面直角坐标系中，A（﹣1，5），B（﹣1，0），C（﹣4，3）．
（1）在图中 点上标出相应字母A、B、C，并求出△A B C的面积；
5.如图，已知A B＝A1B，A1B1＝A1A2，A2B2＝A2A3，A3B3＝A3A4，….若∠A＝70°，则∠Bn－1AnAn－1的度数为()
A. B. C. D.
[答案]C
[解析]
在△A B A1中，∵∠A＝70°，A B＝A1B，∴∠B A1A＝∠A＝70°.
∵A1A2＝A1B1，∠B A1A是△A1A2B1的外角，∴∠B1A2A1＝ ＝35°.
八年级全等三角形单元综合测试(Word版 含答案)
八年级全等三角形单元综合测试（Word版含答案）一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）1．△ABC与△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠D=90°，AB=AC=6．现将△DEF与△ABC按如图所示的方式叠放在一起，使△ABC保持不动，△DEF运动，且满足点E在边BC上运动（不与B，C重合），边DE始终经过点A，EF与AC交于点M．在△DEF 运动过程中，若△AEM能构成等腰三角形，则BE的长为______．【答案】363【解析】【分析】分若AE＝AM 则∠AME＝∠AEM＝45°；若AE＝EM；若MA＝ME 则∠MAE＝∠AEM＝45°三种情况讨论解答即可；【详解】解：①若AE＝AM 则∠AME＝∠AEM＝45°∵∠C＝45°∴∠AME＝∠C又∵∠AME＞∠C∴这种情况不成立；②若AE＝EM∵∠B＝∠AEM＝45°∴∠BAE+∠AEB＝135°，∠MEC+∠AEB＝135°∴∠BAE＝∠MEC在△ABE和△ECM中，BBAE CENAE EIIC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE≌△ECM（AAS），∴CE＝AB6，∵AC＝BC2AB＝3∴BE＝23﹣6；③若MA＝ME 则∠MAE＝∠AEM＝45°∵∠BAC＝90°，∴∠BAE＝45°∴AE平分∠BAC∵AB＝AC，∴BE＝1BC＝3．2故答案为23﹣6或3．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，掌握分类讨论的数学思想是解答本题的关键．2．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，3），在x轴上找一点P，使得△AOP是等腰三角形，则这样的点P共有_____个．【答案】4【解析】【分析】以O为圆心，OA为半径画弧交x轴于点P1、P3，以A为圆心，AO为半径画弧交x轴于点P4，作OA的垂直平分线交x轴于P2．【详解】解：如图，使△AOP是等腰三角形的点P有4个．故答案为4．【点睛】本题考查了在平面直角坐标系中寻找等腰三角形，掌握两圆一线找等腰三角形是解题的关键．3．在ABC ∆中，边AB 、AC 的垂直平分线分别交边BC 于点D 、点E ，20DAE ∠=︒，则BAC ∠=______°.【答案】80或100【解析】【分析】根据题意，点D 和点E 的位置不确定，需分析谁靠近B 点，则有如下图（图见解析）两种情况：（1）图1中，点E 距离点B 近，根据垂直平分线性质可知，,BD AD AE CE ==，从而有1,2B DAE C DAE ∠=∠+∠∠=∠+∠，再根据三角形的内角和定理可得180B C BAC ∠+∠+∠=︒，联立即可求得；（2）图2中，点D 距离点B 近，根据垂直平分线性质可知，,BD AD AE CE ==，从而有3,4B C ∠=∠∠=∠，由三角形的内角和定理得180B C BAC ∠+∠+∠=︒，联立即可求得.【详解】由题意可分如下两种情况：（1）图1中，根据垂直平分线性质可知，,BD AD AE CE ==，1,2B DAE C DAE ∴∠=∠+∠∠=∠+∠（等边对等角），两式相加得12B C DAE DAE ∠+∠=∠+∠+∠+∠，又12DAE BAC ∠+∠+∠=∠20B C BAC DAE BAC ∴∠+∠=∠+∠=∠+︒，由三角形内角和定理得180B C BAC ∠+∠+∠=︒，20180BAC BAC ∴∠+︒+∠=︒，80BAC ∴∠=︒；（2）图2中，根据垂直平分线性质可知，,BD AD AE CE ==，3,4B C ∴∠=∠∠=∠（等边对等角），两式相加得34B C ∠+∠=∠+∠，又34DAE BAC ∠+∠+∠=∠，3420BAC DAE BAC ∴∠+∠=∠-∠=∠-︒，20B C BAC ∴∠+∠=∠-︒由三角形内角和定理得180B C BAC ∠+∠+∠=︒，20180BAC BAC ∴∠-︒+∠=︒，100BAC ∴∠=︒.故答案为80或100.【点睛】本题考查了垂直平分线的性质（垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）、等腰三角形的定义和性质（等边对等角）、以及三角形内角和定理，本题的难点在于容易漏掉第二种情况，出现漏解.4．如图，在01A BA △中，20B ∠=︒，01A B A B =，在1A B 上取点C ，延长01A A 到2A ，使得121A A AC =；在2A C 上取一点D ，延长12A A 到3A ，使得232A A A D =；…，按此做法进行下去，第n 个等腰三角形的底角n A ∠的度数为__________．【答案】11()802n -︒⋅.【解析】【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠BA 1 A 0的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠CA 2A 1，∠DA 3A 2及∠EA 4A 3的度数，找出规律即可得出第n 个等腰三角形的底角∠A n 的度数．【详解】解：∵在△A 0BA 1中，∠B=20°，A 0B=A 1B ， ∴∠BA 1 A 0= 1801802022B ︒︒︒-∠-= =80°， ∵A 1A 2=A 1C ，∠BA 1 A 0是△A 1A 2C 的外角，∴∠CA 2A 1= 108022BA A ︒∠= =40°； 同理可得，∠DA 3A 2=20°，∠EA 4A 3=10°，∴第n个等腰三角形的底角∠A n= 11()802n-︒⋅.【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出∠CA2A1，∠DA3A2及∠EA4A3的度数，找出规律是解答此题的关键．5．如图，线段AB，DE的垂直平分线交于点C，且72ABC EDC∠=∠=︒，92AEB∠=︒，则EBD∠的度数为 ________ ．【答案】128︒【解析】【分析】连接CE，由线段AB，DE的垂直平分线交于点C，得CA=CB，CE=CD，ACB=∠ECD=36°，进而得∠ACE=∠BCD，易证∆ACE≅∆BCD，设∠AEC=∠BDC=x，得则∠BDE=72°-x，∠CEB=92°-x，BDE中，∠EBD=128°，根据三角形内角和定理，即可得到答案．【详解】连接CE，∵线段AB，DE的垂直平分线交于点C，∴CA=CB，CE=CD，∵72ABC EDC∠=∠=︒=∠DEC，∴∠ACB=∠ECD=36°，∴∠ACE=∠BCD，在∆ACE与∆BCD中，∵CA CBACE BCDCE CD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴∆ACE≅∆BCD（SAS），∴∠AEC=∠BDC，设∠AEC=∠BDC=x，则∠BDE=72°-x，∠CEB=92°-x，∴∠BED=∠DEC-∠CEB=72°-（92°-x）=x-20°，∴在∆BDE中，∠EBD=180°-（72°-x）-（x-20°）=128°．故答案是：128︒．【点睛】本题主要考查中垂线的性质，三角形全等的判定和性质定理以及三角形内角和定理，添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键．6．如图，在ABC ∆中，AB AC =，点D 和点A 在直线BC 的同侧，,82,38BD BC BAC DBC =∠=︒∠=︒，连接,AD CD ，则ADB ∠的度数为__________．【答案】30°【解析】【分析】先根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理以及角的和差求出ABD ∠的度数，然后作点D 关于直线AB 的对称点E ，连接BE 、CE 、AE ，如图，则BE=BD ，∠EBA=∠DB ，∠BEA =∠BDA ，进而可得∠EBC=60°，由于BD=BC ，从而可证△EBC 是等边三角形，可得∠BEC =60°，EB=EC ，进一步即可根据SSS 证明△AEB ≌△AEC ，可得∠BEA 的度数，问题即得解决．【详解】解：∵AB AC =，82BAC ∠=︒，∴180492BAC ABC ︒-∠∠==︒， ∵38DBC ∠=︒，∴493811ABD ∠=︒-︒=︒，作点D 关于直线AB 的对称点E ，连接BE 、CE 、AE ，如图，则BE=BD ，∠EBA=∠DBA =11°，∴∠EBC=11°+11°+38°=60°，∵BD=BC，∴BE=BC，∴△EBC是等边三角形，∴∠BEC=60°，EB=EC，又∵AB=AC，EA=EA，∴△AEB≌△AEC（SSS），∴∠BEA=∠CEA=1302BEC∠=︒，∴∠ADB=30°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及轴对称的性质等知识，涉及的知识点多、综合性强，难度较大，作点D关于直线AB的对称点E，构造等边三角形和全等三角形的模型是解题的关键．7．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D为BC上一点，DA⊥AC，AD=24 cm，则BC 的长________cm．【答案】72【解析】【分析】按照等腰三角形的性质、角的和差以及含30°直角三角形的性质进行解答即可.【详解】解：∵AB=AC，∠BAC=120°∴∠B=∠C=30°∵DA⊥AC，AD=24 cm∴DC=2AD=48cm，∵∠BAC=120°，DA⊥AC∴∠BAD=∠BAC-90°=30°∴BD=AD=24cm∴BC=BD+DC=72cm故答案为72.【点睛】本题考查了腰三角形的性质、角的和差以及含30°直角三角形的性质，其中灵活运用含30°直角三角形的性质是解答本题的关键.8．如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC内的两点，AE平分∠BAC，∠D=∠DBC=60°，若BD=5cm，DE=3cm，则BC的长是 ______cm．【答案】8．【解析】【分析】作出辅助线后根据等边三角形的判定得出△BDM为等边三角形，△EFD为等边三角形，从而得出BN的长，进而求出答案．【详解】解：延长DE交BC于M，延长AE交BC于N，作EF∥BC于F，∵AB=AC，AE平分∠BAC，∴AN⊥BC，BN=CN，∵∠DBC=∠D=60°，∴△BDM为等边三角形，∴△EFD为等边三角形，∵BD=5，DE=3，∴EM=2，∵△BDM为等边三角形，∴∠DMB=60°，∵AN⊥BC，∴∠ENM=90°，∴∠NEM=30°，∴NM=1，∴BN=4，∴BC=2BN=8（cm），故答案为8．【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．9．如图，ABC ∆中，AB AC =，点D 是ABC ∆内部一点，DB DC =，点E 是边AB 上一点，若CD 平分ACE ∠，100AEC =∠，则BDC ∠=______°【答案】80【解析】【分析】根据角平分线得到∠ACE=2∠ACD ，再根据角的和差关系得到∠ECB =∠ACB －2∠ACD ，然后利用外角定理得到∠ABC+∠ECB=100°，代换化简得出∠ACB －∠ACD=50°，即∠DCB=50°，从而求出∠BDC 即可.【详解】∵CD 平分∠ACE ，∴∠ACE=2∠ACD=2∠ECD ，∴∠ECB=∠ACB －∠ACE=∠ACB －2∠ACD ，∵∠AEC=100°，∴∠ABC+∠ECB=100°，∴∠ABC+∠ACB －2∠ACD=100°，∵AB=AC ，∴∠ABC=∠ACB,∴2∠ACB －2∠ACD=100°，∴∠ACB－∠ACD=50°，即∠DCB=50°，∵DB=DC，∴∠DBC=∠DCB，∴∠BDC=180°－2∠DCB=180°－2×50°=80°.【点睛】本题考查了角平分线，三角形内角和，外角定理，及等边对等角的性质等知识，熟练掌握基本知识，找出角与角之间的关系是解题的关键.10．如图，∠BOC=60°，点A是BO延长线上的一点，OA=10cm，动点P从点A出发沿AB 以2cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿OC以1cm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t(s)表示移动的时间，当t=_____s时，△POQ是等腰三角形.【答案】103或10【解析】【分析】根据△POQ是等腰三角形，分两种情况进行讨论：点P在AO上，点P在BO上，分别计算，即可得解.【详解】当PO=QO时，△POQ是等腰三角形，如图1所示当点P在AO上时，∵PO=AO-AP=10-2t，OQ=t当PO=QO时，102t t-=解得103 t=当PO=QO时，△POQ是等腰三角形，如图2所示当点P在BO上时∵PO=AP-AO=2t-10，OQ=t当PO=QO时，210t t-=解得10t=故答案为：103或10【点睛】本题考查等腰三角形的性质及动点问题，熟练掌握等腰三角形的性质以及分类讨论思想是解题关键.二、八年级数学轴对称三角形选择题（难）11．如图，平面直角坐标系中存在点A（3，2），点B（1,0），以线段AB为边作等腰三角形ABP，使得点P在坐标轴上.则这样的P点有（）A．4个B．5个C．6个D．7个【答案】D【解析】【分析】本题是开放性试题，由题意知A、B是定点，P是动点，所以要分情况讨论：以AP、AB为腰、以AP 、BP 为腰或以BP 、AB 为腰．则满足条件的点P 可求．【详解】由题意可知：以AP 、AB 为腰的三角形有3个；以AP 、BP 为腰的三角形有2个；以BP 、AB 为腰的三角形有2个．所以，这样的点P 共有7个.故选D ．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定及坐标与图形的性质；分类别寻找是正确解答本题的关键．12．如图，AOB α∠=，点P 是AOB ∠内的一定点，点,M N 分别在OA OB 、上移动，当PMN ∆的周长最小时，MPN ∠的值为（ ）A ．90α+B ．1902α+C ．180α-D ．1802α-【答案】D【解析】【分析】 过P 点作角的两边的对称点，在连接两个对称点，此时线段与角两边的交点，构成的三角形周长最小.再根据角的关系求解.【详解】解：过P 点作OB 的对称点1P ，过P 作OA 的对称点2P ,连接12PP ，交点为M,N ，则此时PMN 的周长最小，且△1P NP 和△2PMP 为等腰三角形.此时∠12P PP =180°-α；设∠NPM=x°，则180°-x°=2（∠12P PP -x°）所以 x°=180°-2α【点睛】求出M,N在什么位子△PMN周长最小是解此题的关键.13．如图，在锐角△ABC中，AC＝10，S△ABC＝25，∠BAC的平分线交BC于点D，点M，N分别是AD和AB上的动点，则BM＋MN的最小值是（）A．4 B．245C．5 D．6【答案】C【解析】试题解析：如图，∵AD是∠BAC的平分线，∴点B关于AD的对称点B′在AC上，过点B′作B′N⊥AB于N交AD于M，由轴对称确定最短路线问题，点M即为使BM+MN最小的点，B′N=BM+MN，过点B作BE⊥AC于E，∵AC=10，S△ABC=25，∴12×10•BE=25，解得BE=5，∵AD是∠BAC的平分线，B′与B关于AD对称，∴AB=AB′，∴△ABB′是等腰三角形，∴B′N=BE=5，即BM+MN的最小值是5．故选C．14．如图，点D，E是等边三角形ABC的边BC，AC上的点，且CD=AE，AD交BE于点P，BQ⊥AD于点Q，已知PE=2，PQ=6，则AD等于( )A．10 B．12 C．14 D．16【答案】C【解析】【分析】由题中条件可得△ABE≌△CAD，得出AD=BE，∠ABE=∠CAD，进而得出∠BPD=60°．在Rt△BPQ中，根据30度角所对直角边等于斜边的一半，求出BP的长，进而可得结论．【详解】∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=∠C=60°．又∵AE=CD，∴△ABE≌△CAD（SAS），∴∠ABE=∠CAD，AD=BE，∴∠BPD=∠ABE+∠BAP=∠CAD+∠BAP=∠BAC=60°．∵BQ⊥AD，∴∠PBQ=30°，∴BP=2PQ=2×6=12，∴AD=BE=BP+PE=12+2=14．故选C．【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质、等边三角形的性质以及全等三角形的判定和性质，证明∠BPD=60°是解答本题的关键．15．如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这个三角形为特异三角形．若△ABC是特异三角形，∠A=30°，∠B为钝角，则符合条件的∠B有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】【分析】【详解】如下图，当30°角为等腰三角形的底角时有两种情况：∠B=135°或90°，当30°角为等腰三角形的顶角时有一种情况：∠B=112.5°，所以符合条件的∠B有三个.又因为∠B为钝角，则符合答案的有两个，故本题应选B.点睛：因为不确定这个等腰三角形的底边，所以应当以点A为一个确定点进行分类讨论：①当以B为顶点时，即以B为圆心，AB长为半径画弧交AC于点D，构成等腰△BAD；②当以点A为顶点时，即以点A为圆心，AB长为半径画弧，交AC于点D，构成等腰△ABD；或作线段AB的垂直平分线交AC于点D构成等腰△DAB.16．如图，在△ABC中，BI，CI分别平分∠ABC，∠ACB，过I点作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，给出下列结论：①△DBI是等腰三角形；②△A CI是等腰三角形；③AI平分∠BAC；④△ADE周长等于AB＋AC．其中正确的是( )A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④【答案】C【解析】【分析】根据角平分线的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质分别对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】①∵IB平分∠ABC，∴∠DBI=∠CBI．∵DE∥BC，∴∠DIB=∠CBI，∴∠DBI=∠DIB，∴BD=DI，∴△DBI是等腰三角形．故本选项正确；②∵∠BAC不一定等于∠ACB，∴∠IAC不一定等于∠ICA，∴△ACI不一定是等腰三角形．故本选项错误；③∵三角形角平分线相交于一点，BI，CI分别是∠ABC和∠ACB的平分线，∴AI平分∠BAC．故本选项正确；④∵BD=DI，同理可得EI=EC，∴△ADE的周长=AD+DI+EI+AE=AD+BD+EC+AE=AB+AC．故本选项正确；其中正确的是①③④．故选C．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，熟记三角形的角平分线相交于一点是解题的关键．17．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，若△CDM周长的最小值为8，则△ABC的面积为（）A．12 B．16 C．24 D．32【答案】A【解析】【分析】连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点C关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为CM+MD的最小值，再根据三角形的周长求出AD的长，由此即可得出结论．【详解】连接AD，∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，∵EF是线段AC的垂直平分线，∴点C关于直线EF的对称点为点A，∴AD的长为CM+MD的最小值，∵△CDM周长的最小值为8，∴AD=8-12BC=8-2=6∴S△ABC=12BC•AD=12×4×6=12，【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．18．如图，已知长方形ABCD，AB＝1，BC＝2，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA＋MD＋ME的最小值为( )A．1 B．1+3C．2+3D．3【答案】B【解析】【分析】将△AMD绕点A逆时针旋转60°得到△AM’D’，MD=M’D’，易得到△ADD’和△AMM’均为等边三角形，推出AM=MM’可得MA+MD+ME=D’M+MM’+ME，共线时最短；由于点E 也为动点，可得当D’E⊥BC时最短，此时易求得D’E=DG+GE的值.【详解】将△AMD绕点A逆时针旋转60°得到△AM’D’，MD=M’D’，易得到△ADD’和△AMM’均为等边三角形，∴AM=MM’，∴MA+MD+ME=D’M+MM’+ME，∴D′M、MM′、ME共线时最短，由于点E也为动点，∴当D’E⊥BC时最短，此时易求得D’E=DG+GE=4+33，∴MA+MD+ME的最小值为4+33．故选B．本题考查轴对称、旋转变换、矩形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造等边三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题．19．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是长方形，点A、C的坐标分别为A（10，0 ），C（0，4），点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为（）A．（3，4），（2，4）B．（3，4），（2，4），（8，4）C．（2，4），（8，4）D．（3，4），（2，4），（8，4），（2.5，4）【答案】B【解析】试题解析：有两种情况：①以O为圆心，以5为半径画弧交BC于P点，此时OP=OD=5，在Rt△OPC中，OC=4，OP=5，由勾股定理得PC=3，则P的坐标是（3，4）；②以D为圆心，以5为半径画弧交BC于P′和P″点，此时DP′=DP″=OD=5，过P′作P′N⊥OA于N，在Rt△OP′N中，设CP′=x，则DN=5-x，P′N=4，OP=5，由勾股定理得：42+（5-x）2=52，x=2，则P′的坐标是（2，4）；过P″作P″M⊥OA于M，设BP″=a，则DM=5-a，P″M=4，DP″=5，在Rt△DP″M中，由勾股定理得：（5-a）2+42=52，解得：a=2，∴BP″=2，CP″=10-2=8，即P ″的坐标是（8，4）；假设0P=PD ，则由P 点向0D 边作垂线，交点为Q 则有PQ 2十QD 2=PD 2，∵0P=PD=5=0D ，∴此时的△0PD 为正三角形，于是PQ=4，QD=120D=2.5，PD=5，代入①式，等式不成立．所以排除此种可能．故选B ．20．如图，在平面直角坐标系中，A(1，2)，B(3，2)，连接AB ，点P 是x 轴上的一个动点，连接AP 、BP ，当△ABP 的周长最小时，对应的点P 的坐标和△ABP 的最小周长分别为( )A ．(1，0)，224+B ．(3，0)，224+C ．(2,0), 25D ．(2,0),252+【答案】D【解析】 作A 关于x 轴的对称点N （1，-2），连接BN 与x 轴的交点即为点P 的位置，此时△ABP 的周长最小.设直线BN 的解析式为y kx b =+，∵N (1，-2)，B (3，2)，∴232k b k b +=-⎧⎨+=⎩， 解得24k b =⎧⎨=-⎩， ∴24y x =-，当0y =时，240x -=，解得，2x=，∴点P的坐标为（2，0）；∵A(1，2)，B(3，2)，∴AB//x轴，∵AN⊥x轴，∴AB⊥x轴，在Rt△ABC中，AB＝2，AN＝4，由勾股定理得，BN==∵AP=NP,∴△ABP的周长最小值为：AB+BP+AP=AB+BP+PN=AB+BN故选D.点睛：本题考查最短路径问题.利用轴对称作出点P的位置是解题的关键.。
3 简单的轴对称图形 第3课时 等腰三角形的性质(教材P50～51练习)
.
3或
22. [应用意识]（衢州中考变式）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提
出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角.这个三等分角仪由两根有
槽的棒 OA ， OB 组成，两根棒在 O 点相连并可绕 O 转动， C 点固定， OC ＝ CD ＝
DE ，点 D ， E 可在槽中滑动.若∠ BDE ＝75°，求∠ CDE 的度数.
F . 若△ AFC 是等边三角形，则∠ B ＝
30 °.
第12题
图
13. 如图所示，以正方形 ABCD 的边 AB 为边作等边△ ABE ，连接 DE ，则∠ AED
的度数为
15°
.
第13题
图
14. 如图，已知△ ABC 和△ BDE 都是等边三角形.试说明： AE ＝ CD .
◉答案 解：∵△ ABC 和△ BDE 都是等边三角形，∴ AB ＝ BC ， BE ＝ BD ，∠ ABC ＝
＋ CD ＝ AC ＋ CD ，所以 CE ＝ AC ＋ CD .
∠ DBE ＝60°.在△ ABE 和△ CBD 中， AB ＝ BC ，∠ ABE ＝∠ CBD ， BE ＝ BD ，∴△
ABE ≌△ CBD （SAS），∴ AE ＝ CD .
15. [一题多解：代换法·平移法]（招远期中）如图，在△ ABC 中， AB ＝ AC ，∠ A
＝30°，点 P 是△ ABC 内一点，连接 PB ， PC . 若∠1＝∠2，则∠ BPC 的度数是
∠ BDE ＝105°，∴∠ CDE ＝105°－25°＝80°.
【母题探究——双等边三角形】
23. 母题：如图，△ ABC 是等边三角形， AD 是角平分线，△ ADE 是等边三角形，
人教版八年级上册数学《轴对称》单元测试卷(含答案)
人教版数学八年级上学期《轴对称》单元测试考试时间：100分钟；总分：120分一、单选题（每小题3分，共30分)1．（2019·江苏南京一中初二期中）下列图案中,不是轴对称图形的是()A．B．C．D．2．（2018·河北初二期中）如果点P（﹣2，b）和点Q（a，﹣3）关于x轴对称，则a+b的值是（）A．﹣1 B．1 C．﹣5 D．53．（2018·河北初二期中）如图，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，AC=9，AE：EC=2：1，则点E到点B的距离为（）A．5 B．6 C．7 D．8关于直线MN的轴对称图形，其中正确的是( ) 4．（2019·江苏初二期中）下面是四位同学作ABCA．B．C．D．5．（2019·江苏初二期中）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1．已知A、B是两格点，若△ABC 为等腰三角形，且S△ABC＝1.5，则满足条件的格点C有（）A．1个B．2个C．3个D．4个6．（2019·江苏省盐城市初级中学初二期中）如图，点E是等腰三角形△ABD底边上的中点，点C是AE延长线上任一点，连接BC、DC，则下列结论中：①BC=AD；②AC平分∠BCD；③AC=AB；④∠ABC=∠ADC。
一定成立的是（）A．②④B．②③C．①③D．①②7．（2019·山东初二期中）等腰三角形的两条边长分别为3cm和6cm，则它的周长为( ).A．12cm B．15cm C．12cm或15cm D．18cm或36cm8．（2019·山东初二期中）如图，在△ABC中，DE是边AB的垂直平分线，BC=8cm，AC=5cm，则△ADC 的周长为（）A．14cm B．13cm C．11cm D．9cm9．（2017·广东初二月考）下列各点中，到三角形各顶点的距离相等的是（）A．三个内角平分线的交点B．三条边的垂直平分线的交点C．三条中线的交点D．三条高线的交点10．（2019·湖北初二期中）上午8时，一条船从海岛A出发，以15n mile/h（海里/时，1n mile＝1852m）的速度向正北航行，10时到达海岛B处，从A、B望灯塔C，测得NAC＝42°，NBC＝84°．则从海岛B到灯塔C的距离为（）A ．45n mileB ．30n mileC ．20n mileD ．15n mile二、填空题（每小题4分，共24分)11．（2019·南京市浦口外国语学校初二期中）如图，四边形ABCD 是轴对称图形，BD 所在的直线是它的对称轴，AB ＝5 cm ，CD ＝3.5 cm ，则四边形ABCD 的周长为_____cm ．12．（2019·如东县新店镇初级中学初二期中）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 是BC 的中点，∠BAD ＝34°，则∠C ＝_________°．13．（2019·安徽初二期中）如图，ABC △与A B C '''关于直线l 对称，且105A ∠=︒，30C '∠=︒，则B ∠=______．14．（2019·广西初二期中）如图，在ABC ∆中，DE 垂直平分AC ，若BCD ∆的周长是12，4BC =，则AB 的长______.15．（2019·北京市三帆中学初二期中）如图，在Rt △ABC 中，90B =∠ ，ED 是AC 的垂直平分线，交AC 于点D ，交BC 于点E ．已知40C ∠=，则BAE ∠的度数为_________。
数学八年级上册《轴对称》单元测试题(带答案)
∵A B=A C，
∴
故选A．
[点睛]此题考查等腰三角形的性质及三角形的内角与外角等知识点的掌握情况．根据已知求得∠A=40°是正确解答本题的关键．
二、填空题
11.请写出两个具有轴对称性的汉字.
[答案]甲、由、中、田、日等(答案不唯一).
[解析]
[分析]
根据轴对称图形的概念，即可写出:甲，日，田等字．
6.已知M(0，2)关于x轴对称的点为N，线段MN的中点坐标是()
A.(0，﹣2)B.(0，0)C.(﹣2，0)D.(0，4)
[答案]B
[解析]
根据轴对称的性质，知线段MN的中点就是原点，即线段MN的中点坐标是(0，0)．
故选B
7.在△A B C中,A B=A C,D为B C的中点,则下列结论:①∠B=∠C;②A D⊥B C;③∠B A C=2∠B A D;④A B,A C边上的中线的长相等.其中正确的结论有( )
故答案选:A．
[点睛]本题考查了用坐标表示轴对称的知识点，熟练掌握点关于x轴、y轴对称的点的坐标特点是解题的关键．
3.已知线段A B和点C,D,且C A=C B,D A=D B,那么直线C D是线段A B的( )
A. 垂线B. 平行线
C. 垂直平分线D. 过中点的直线
[答案]C
[解析]
[分析]
由已知C A=C B根据线段垂直平分线的性质的逆定理可得点C在A B的垂直平分线上，同理得点D的位置
[答案]D
[解析]
[分析]
此题中没有明确指出等边三角形的边长是等腰三角形的底边还是腰长，所以我们应该分两种情况进行分析．先求出等边三角形的边长，再分两种情况进行分析求解．
[详解]解:∵等边三角形周长为45Cm，
八年级上册数学单元测试卷-第15章 轴对称图形和等腰三角形-沪科版(含答案)
八年级上册数学单元测试卷-第15章轴对称图形和等腰三角形-沪科版(含答案)一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，P（m，m）是反比例函数y= 在第一象限内的图象上一点，以P为顶点作等边△PAB，使AB落在x轴上，则△POB的面积为（）A. B.3 C. D.2、△ABC中，AB=AC， D是BC中点，下列结论中不正确的是（）A.∠B=∠CB.AD⊥BCC.AD平分∠BACD.AB=2BD3、如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，AC于D，E两点，且AC=10，BC=4，则△BCE的周长为（）A.6B.14C.24D.254、已知：如图，AD是△ABC的角平分线，且AB：AC=3：2，则△ABD与△ACD的面积之比为（）A.3：2B.9：4C.2：3D.4：95、在三角形中，到三个顶点的距离相等的点是（）A.三条边的垂直平分线的交点B.三条角平分线的交点C.三条中线的交点D.三条高的交点6、如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过点O作MN∥BC，分别交AB，AC 于点M，N，若AB=12，AC=18，BC=24，则△AMN的周长为（）A.30B.36C.39D.427、下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.8、在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD，垂足为D，过D作DE∥AB，交AC于E．若AB=2，AC=2 ，线段DE的长为（）A.2.5B.2.4C.D.9、如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG．给出以下结论：①DG=DF；②四边形EFDG是菱形；③EG2= GF×AF；④当AG=6，EG=2 时，BE的长为，其中正确的结论个数是（）A.1B.2C.3D.410、在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的角平分线AD交BC于点D，CD=2，则点D到AB的距离是（）A.1B.2C.3D.411、如图，已知矩形AOBC的顶点O(0，0)，A（0，3），B(4，0)，按以下步骤作图：①以点O为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边OC，OB于点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧在∠BOC内交于点F；③作射线OF，交边BC于点G，则点G的坐标为（）A.(4，1)B.(4，)C.(4，)D.(4，)12、如图，在△ABC中，∠ACB=90º，AC=BC=1，E、F为线段AB上两动点，且∠ECF=45°，过点E、F分别作BC、AC的垂线相交于点M，垂足分别为H、G.现有以下结论：①AB= ；②AF+BE=EF；③当点E与点B重合时，MH= ；其中正确结论的个数是( )A.0B.1C.2D.313、如图，BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，垂足为F.若∠ABC＝35°，∠C＝50°，则∠CDE的度数为（）A.40°B.45°C.47.5°D.50°14、如图，在平行四边形ABCD中，CE平分∠BCD交AD于点E，已知AE=2，ED=4，则平行四边形ABCD的周长为( )A.16B.18C.20D.2215、如图，是等边三角形，点为边上一点，以为边作等边，连接．若，则长为（）A. B. C. D.二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，∠A=90°，∠ABC的角平分线交AC于E，AE=3，则E到BC的距离为________．17、如图，在中，，为的内一点，且满足．若，则________ ．18、如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝8，BC＝6，点E是AD的中点，点F是AB上一动点.将△AEF沿直线EF折叠，点A落在点A'处.在EF上任取一点G，连接GC，GA'，CA’，则△CGA'的周长的最小值为________.19、把一张长方形的纸条折叠，如图所示，EF为折痕，若∠EFB=34°，则∠BFD的度数为________．20、已知等腰三角形的两边长是5和12，则它的周长是________；21、如图，一架梯子斜靠在墙上，梯子与地面的夹角∠B＝60°，梯子与墙角的距离BC为3m，则梯子的长AB为________m．22、如图，在△ABC中，∠ACB=75°，∠ABC=45°，分别以点B、C为圆心，大于BC的长为半径作弧，两弧相交于点M、N。
八年级上册数学《轴对称》单元测试(附答案)
人教版八年级上册《轴对称》单元测试卷考试时间：100分钟；总分：120分一、单选题(每小题3分,共30分)1．(2019·江苏南京一中初二期中)下列图形中不是轴对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．2．(2018·天津初二期中)如果一个三角形一条边上的中点到其它两边距离相等,那么这个三角形一定是( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D ．斜三角形3．(2018·河北初二期中)点P(2,﹣3)关于x 轴的对称点是P 1,P 1关于y 轴的对称点坐标是P 2,则P 2的坐标为( ) A ．(2,﹣3) B ．(﹣2,3) C ．(﹣2,﹣3) D ．(﹣3,﹣2)4．(2018·河北初二期中)如图,在△A B C 中,D E 是A C 的垂直平分线,A C ＝8C m,且△A B D 的周长为14C m,则△A B C 的周长为( )A ．15C mB ．18C m C ．22C mD ．25C m5．(2019·江苏初二期中)下列说法中正确的是( )A ．两个全等三角形,一定是轴对称的B ．两个轴对称的三角形,一定全等C ．三角形的一条中线把三角形分成以中线为轴对称的两个图形D ．三角形的一条高把三角形分成以高线为轴对称的两个图形6．(2019·江苏初二期中)在如图所示的网格纸中,有A 、B 两个格点,试取格点C ,使得△A B C 是等腰三角形,则这样的格点C 的个数是( )A ．4B ．6C ．8D ．107．(2018·天津初二期中)如图,ABC ∆的面积为6,3AC =,现将ABC ∆沿AB 所在直线翻折,使点C 落在射线AD 上的'C 处,P 为射线AD 上的任一点,则线段BP 的长不可能是( )A ．3.8B ．4C ．5.5D ．1008．(2019·江苏省盐城市初级中学初二期中)如图,在△A B C 中,A B =A C ,B D =C D ,下列结论不一定正确的是 ( )A ．∠B =∠C B ．AD ⊥B C C ．A D 平分∠B A C D ．A B =2B D9．(2019·山东初二期中)如图,在ABC ∆中,13AB AC ==,该三角形的面积为65,点O 是边BC 上任意一点,则点O 分别到边AB ,AC 的距离之和等于( )A ．5B ．6.5C ．9D ．1010．(2019·山东初二期中)如图,在Rt ABC ∆中,90B ∠=︒,20C ∠=︒,分别以点A 、C 为圆心,大于12AC 长为半径画弧,两弧相交于点M 、N ,连接MN ,与AC 、BC 分别交于点D 、E ,连接AE .则BAE ∠=( )A ．20︒B ．40︒C ．50︒D ．60︒二、填空题(每小题4分,共24分)11．(2018·天津初二期中)若等腰三角形有两条边的长为7C m ,15C m ,则第三边的长为____C m ． 12．(2019·北京市三帆中学初二期中)已知：如图,在ABC △中,40B ∠=︒,点D 是BC 边上一点,且AC AD BD ==.则DAC ∠的度数为_____.13．如图,在ABC ∆中,，BO CO 分别是ABC ACB ∠∠，的平分线,且它们相交于点O,//OE AB ,//OF AC ,10BC =,则OEF ∆的周长为_____．14．已知等腰三角形的一个内角为70°,则它的顶角度数为_____．15．(2019·江苏初二期中)如图,直线l 是四边形A B C D 的对称轴,A D ∥B C ,∠D ＝128°,则∠B 的大小为______°．16．(2019·厦门市梧侣学校初二期中)如图,在ABC ∆中,AB AC =,30C ∠=,DA BA ⊥于点A ,若4CD cm =,则B D =__________.三、解答题一(每小题6分,共18分)17．(2019·呼和浩特市实验中学初二期中)已知等腰ABC ∆中,4AB =,周长是10,求BC 的长． 18．(2019·江西宜春九中初二期中)如图,已知：A B =A D ,B C =C D ,∠A B C =∠A D C ,A C 是否是线段B D 的垂直平分线?请说明理由.19．(2019·江苏初二期中)如右图,已知点P 是线段MN 外一点,请利用直尺和圆规画一点Q ,使得点Q 到M 、N 两点的距离相等,且点Q 与点M 、P 在同一条直线上．(保留作图痕迹)四、解答题二(每小题7分,共21分)20．(2019·江苏南京一中初二期中)在△A B C 中,A B ＝A C ,∠B A C ＝120°,A D ⊥B C ,且A D ＝A B ,∠ED F ＝60°,且∠ED F 两边分别交边A B ,A C 于点E ,F ,求证：B E ＝A F ．21．(2019·江苏南京一中初二期中)如图所示,A D 为△A B C 的角平分线,D E ⊥A B 于点E ,D F ⊥A C 于点F ,连接EF 交A D 于点O ．求证：A D 垂直平分EF ．22．(2019·江苏初二期中)如图,△A B C 中,A D ⊥B C ,EF 垂直平分A C ,交A C 于点F,交B C 于点E,且B D=D E ．(1)若∠B A E=40°,求∠C 的度数；(2)若△A B C 周长为14C m,A C =6C m,求D C 长．五、解答题三(每小题9分,共27分)23．(2019·江苏南京一中初二期中)如图,在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形中,点A ,B ,C 在小正方形的顶点上．(1)在图中画出与△A B C 关于直线l 成轴对称的△A ′B ′C ′(2)三角形A B C 的面积为 ；(3)在直线l 上找一点P ,使P A +PB 的长最短．24．(2019·山东初二期中)如图,在等腰Rt ABC ∆中,90ACB ∠=︒,AC CB =,F 是AB 边上的中点,点D 、E 分别在AC 、BC 边上运动,且始终保持AD CE =．连接DE 、DF 、EF ．(1)求证：ADF CEF ∆≅∆；(2)试证明DFE ∆是等腰直角三角形；(3)若5AD =,7BE =,求AC 的长．25．(2019·江苏初二期中)如图所示,点O是等边三角形A B C 内一点,∠A OB ＝100°,∠B OC ＝α,D 是△AB C 外一点,且△A D C ≌△B OC ,连接OD ．(1)求证：△C OD 是等边三角形；(2)当α＝150°时,判断△A OD 的形状,并说明理由.(3)探究：当α=_____度时,△A OD 是等腰三角形.参考答案一、单选题(每小题3分,共30分)1．(2019·江苏南京一中初二期中)下列图形中不是轴对称图形的是()A ．B ．C ．D ．[答案]A[解析]根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．[详解]A ．不是轴对称图形,故本选项符合题意；B ．是轴对称图形,故本选项不符合题意；C ．是轴对称图形,故本选项不符合题意；D ．是轴对称图形,故本选项不符合题意．故选A ．[点睛]本题考查了轴对称图形的概念,掌握轴对称图形的概念是解答本题的关键．2．(2018·天津初二期中)如果一个三角形一条边上的中点到其它两边距离相等,那么这个三角形一定是() A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D ．斜三角形[答案]B[解析]本题根据已知条件可以通过证明三角形全等得出三角形的形状,注意：有效利用“等角对等边”．[详解]如图,∵D E⊥A B ,D F⊥A C ,∴∠B ED ＝∠D FC ＝90°,∵在△B D E和△C D F,B D ＝CD ,D E＝D F,∴△D B E≌△D FC (HL),∴∠B ＝∠C ,∴A B ＝A C ,∴这个三角形一定是等腰三角形．故选B ．[点睛]本题考查等腰三角形的判定；解题中两次运用了全等三角形的判定与性质及等量加等量和相等是比较关健的．3．(2018·河北初二期中)点P(2,﹣3)关于x轴的对称点是P1,P1关于y轴的对称点坐标是P2,则P2的坐标为( )A ．(2,﹣3)B ．(﹣2,3)C ．(﹣2,﹣3)D ．(﹣3,﹣2)[答案]B[解析]根据平面直角坐标系中对称点的规律解答即可.[详解]解：点P(2,﹣3)关于x轴的对称点是P1(2,3),P1关于y轴的对称点坐标P2的坐标为(﹣2,3).故选：B .[点睛]本题考查了坐标系中对称点的相关知识,难度不大,属于基本题型,熟知对称点的规律是解题的关键. 4．(2018·河北初二期中)如图,在△A B C 中,D E是A C 的垂直平分线,A C ＝8C m,且△A B D 的周长为14C m,则△A B C 的周长为( )A ．15C mB ．18C m C ．22C mD ．25C m[答案]C[解析]先根据线段垂直平分线的性质得到D A ＝D C ,再根据三角形的周长公式计算即可.[详解]解：∵D E是A C 的垂直平分线,∴D A ＝D C ,∵△A B D 的周长为14C m,∴A B +B D +A D ＝14C m,∴A B +B D +C D ＝14C m,即A B +B C ＝14C m,∴△A B C 的周长＝A B +B C +A C ＝22C m,故选：C .[点睛]本题主要考查了线段垂直平分线的性质和三角形周长的计算,属于常考题型,熟练掌握线段垂直平分线的性质是关键.5．(2019·江苏初二期中)下列说法中正确的是( )A ．两个全等三角形,一定是轴对称的B ．两个轴对称的三角形,一定全等C ．三角形的一条中线把三角形分成以中线为轴对称的两个图形D ．三角形的一条高把三角形分成以高线为轴对称的两个图形[答案]B[解析]根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．[详解]解：A 、两个全等三角形,一定是轴对称的错误,三角形全等位置上不一定关于某一直线对称,故本选项错误；B 、两个轴对称的三角形,一定全等,正确,故本选项正确；C 、三角形的一条中线把三角形分成以中线为轴对称的两个图形,错误,故本选项错误；D 、三角形的一条高把三角形分成以高线为轴对称的两个图形,错误,故本选项错误．故选：B ．[点睛]本题考查了轴对称图形的概念,轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合．6．(2019·江苏初二期中)在如图所示的网格纸中,有A 、B 两个格点,试取格点C ,使得△A B C 是等腰三角形,则这样的格点C 的个数是()A ．4B ．6C ．8D ．10[答案]C[解析]分A B 是腰长时,根据网格结构,找出一个小正方形与A 、B 顶点相对的顶点,连接即可得到等腰三角形,A B 是底边时,根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等,A B 垂直平分线上的格点都可以作为点C ,然后相加即可得解．[详解]解：如图,分情况讨论：①A B 为等腰△A B C 的底边时,符合条件的C 点有4个；②A B 为等腰△A B C 其中的一条腰时,符合条件的C 点有4个．故选：C ．[点睛]本题考查等腰三角形的判定,解题的关键是掌握等腰三角形的判定,分情况讨论解决.7．(2018·天津初二期中)如图,ABC ∆的面积为6,3AC =,现将ABC ∆沿AB 所在直线翻折,使点C 落在射线AD 上的'C 处,P 为射线AD 上的任一点,则线段BP 的长不可能是( )A ．3.8B ．4C ．5.5D ．100[答案]A [解析]过B 作B N ⊥A C 于N ,B M ⊥A D 于M ,根据折叠得出∠C 'A B =∠C A B ,根据角平分线性质得出B N =B M ,根据三角形的面积求出B N ,即可得出点B 到A D 的最短距离是4,得出选项即可．[详解]如图：过B 作B N ⊥A C 于N ,B M ⊥A D 于M ．∵将△A B C 沿A B 所在直线翻折,使点C 落在直线A D 上的C '处,∴∠C 'A B =∠C A B ,∴B N =B M ． ∵△A B C 的面积等于6,边A C =3,∴12×A C ×B N =6,∴B N =4,∴B M =4,即点B 到A D 的最短距离是4,∴B P 的长不小于4,即只有选项A 的3.8不正确．故选A ．[点睛]本题考查了折叠的性质,三角形的面积,角平分线性质的应用,解答此题的关键是求出B 到A D 的最短距离,注意：角平分线上的点到角的两边的距离相等．8．(2019·江苏省盐城市初级中学初二期中)如图,在△A B C 中,A B =A C ,B D =C D ,下列结论不一定正确的是 ( )A ．∠B =∠CB ．A D ⊥BC C ．AD 平分∠B A C D ．A B =2B D[答案]D [解析]在△A B C 中,A B =A C ,则△A B C 为等腰三角形,B D =C D ,则A D 为中线,根据等腰三角形的三线合一判断即可.[详解]∵在△A B C 中,A B =A C ,∴△A B C 为等腰三角形,∴∠B =∠C ,∵B D =C D ,∴A D ⊥B C ,A D 平分∠B A C ,不能得到A B =B C ,则无法证明A B =2B D ,故选D .[点睛]本题是对等腰三角形三线合一的考查,熟练掌握等腰三角形的三线合一性质是解决本题的关键. 9．(2019·山东初二期中)如图,在ABC ∆中,13AB AC ==,该三角形的面积为65,点O 是边BC 上任意一点,则点O 分别到边AB ,AC 的距离之和等于( )A ．5B ．6.5C ．9D ．10[答案]D [解析]根据等腰三角形的性质和三角形的面积公式解答即可．[详解]连接A O ．∵在△A B C 中,A B =A C =13,该三角形的面积为65,∴三角形A B C 的面积=△A B O 的面积+△A C O 的面积=12A B •ON +12A C •OM =12A B •(ON +OM ) ∴12×13×(ON +OM )=65 解得：OM +ON =10．故选D ．[点睛]本题考查了等腰三角形的性质,关键是根据等腰三角形的性质和三角形的面积公式解答．10．(2019·山东初二期中)如图,在Rt ABC ∆中,90B ∠=︒,20C ∠=︒,分别以点A 、C 为圆心,大于12AC 长为半径画弧,两弧相交于点M 、N ,连接MN ,与AC 、BC 分别交于点D 、E ,连接AE .则BAE ∠=( )A ．20︒B ．40︒C ．50︒D ．60︒[答案]C [解析]根据直角三角形两锐角互余可得∠B A C 的度数,根据题意可知MN 是线段A C 的垂直平分线,根据线段垂直平分线的性质得出A E =C E ,由等边对等角得出∠C A E =∠C =20°,即可得出结论． [详解]∵在Rt △A B C 中,∠B =90°,∠C =20°,∴∠B A C =70°．∵D E 垂直平分A C ,∴A E =C E ,∴∠C A E =∠C =20°,∴∠B A E =50°．故选C ．[点睛]本题考查了作图﹣基本作图、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质,熟知垂直平分线上任意一点,到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．二、填空题(每小题4分,共24分)11．(2018·天津初二期中)若等腰三角形有两条边的长为7C m ,15C m ,则第三边的长为____C m ．[答案]37．[解析]由于等腰三角形的两边长分别是7C m,15C m,没有直接告诉哪一条是腰,哪一条是底边,所以有两种情况,分别利用三角形的三边关系与三角形周长的定义求解即可．[详解]①当腰为15C m 时,三角形的周长为：15+15+7＝37C m ；②当腰为7C m 时,7+7＝14＜15,三角形不成立；∴此等腰三角形的周长是37C m ．故答案为：37．[点睛]本题考查了等腰三角形的性质与三角形的三边关系,利用分类讨论思想求解是解答本题的关键． 12．(2019·北京市三帆中学初二期中)已知：如图,在ABC △中,40B ∠=︒,点D 是BC 边上一点,且AC AD BD ==.则DAC ∠的度数为_____.[答案]20°[解析]根据等腰三角形的性质得到∠A D C =48°,再根据三角形外角的性质和等腰三角形的性质可求∠B 的度数．[详解]解：∵A D =B D , ∠B =40°, ∴∠B A D =∠B =40°, ∴∠A D C =∠B +∠B A D =80°,∵A C =A D ,∴∠A D C =∠C =80°,∴∠D A C =180°-∠A D C -∠C = 20°,故答案为：20°．[点睛]本题考查了等腰三角形的性质：①等腰三角形的两腰相等；②等腰三角形的两个底角相等,熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键.13．如图,在ABC ∆中,，BO CO 分别是ABC ACB ∠∠，的平分线,且它们相交于点O,//OE AB ,//OF AC ,10BC =,则OEF ∆的周长为_____．[答案]10.[解析]先根据角平分线的性质求出∠1=∠2,∠4=∠5,再根据平行线的性质求出∠1=∠3,∠4=∠6,通过等量代换可得,∠2=∠3,∠5=∠6,根据等腰三角形的判定定理及性质可得B E=OE,OF=FC ,即可解答．[详解]解：如图∵，BO CO 分别是ABC ACB ∠∠，的平分线,∴∠1=∠2,∠4=∠5,∵OE ∥A B ,OF ∥A C ,∴∠1=∠3,∠4=∠6,∴∠2=∠3,∠5=∠6,∴B E =OE ,OF =FC ,∴B C =B E +EF +FC =OE +EF +OF ,∵B C =10,∴OF +OE +EF =10∴△OEF 的周长=OF +OE +EF =10.[点睛]本题考查平行线的性质, 角平分线的定义, 等腰三角形的判定与性质.能结合角平分线的性质和平行线的性质判断△OEB 和△OFC 为等腰三角形是解决此题的关键.14．已知等腰三角形的一个内角为70°,则它的顶角度数为_____．[答案]70°或40°.[解析]已知等腰三角形的一个内角为70°,根据等腰三角形的性质可分情况解答：当70°是顶角或者70°是底角两种情况．[详解]此题要分情况考虑：①70°是它的顶角；②70°是它的底角,则顶角是180°−70°×2=40°.故答案为：70°或40°. [点睛]本题考查等腰三角形的性质, 三角形内角和定理.掌握分类讨论思想是解决此题的关键.15．(2019·江苏初二期中)如图,直线l 是四边形A B C D 的对称轴,A D ∥B C ,∠D ＝128°,则∠B 的大小为______°．[答案]52[解析]先求出C ∠的度数,然后利用对称性求出B[详解]解：∵A D ∥B C ,∴180D C ∠+∠=︒,∴180********C D ∠=︒-∠=-=又∵直线l 是四边形A B C D 的对称轴,∴52C B ∠=∠=故答案为：52.[点睛]主要考查了轴对称的性质及平行线的性质,正确理解相关性质是解答本题的关键．16．(2019·厦门市梧侣学校初二期中)如图,在ABC ∆中,AB AC =,30C ∠=,DA BA ⊥于点A ,若4CD cm =,则B D =__________.[答案]8C m[解析]根据A B =A C ,∠C =30°可得∠B =∠C =30°,∠B A C =120°,所以得出∠D A C =30°,所以A D =C D =4C m,然后在直角三角形A B D 中,30°角对应的直角边等于斜边的一半,所以B D =2A D ,进一步计算即可得出答案.[详解]∵A B =A C ,∠C =30°,∴∠B =∠C =30°,∠B A C =120°,∵DA BA ⊥,∴∠D A C =30°,又∵30C ∠=,∴A D =C D =4C m,在直角三角形A B D 中,∵∠B =30°,∴B D =2A D =8C m.[点睛]本题主要考查了直角三角形以及等腰三角形性质的综合运用,熟练掌握相关概念是解题关键.三、解答题一(每小题6分,共18分)17．(2019·呼和浩特市实验中学初二期中)已知等腰ABC ∆中,4AB =,周长是10,求BC 的长．[答案]2或3或4[解析]根据等腰三角形的腰的情况分类即可.[详解]解：①若A B =A C =4∵ABC ∆周长是10∴B C =10－A B －A C =2,满足三角形的三边关系；②若A C =B C则A C =B C =12(10－A B )=3,满足三角形的三边关系； ③若B C =A B∴此时B C =A B =4∴A C =10－A B －B C =2,满足三角形的三边关系；综上所述：B C 的长是2或3或4[点睛]此题考查的是已知等腰三角形周长求边长,解决此题的关键是根据等腰三角形的腰的情况分类讨论及根据构成三角形的条件判断是否舍取.18．(2019·江西宜春九中初二期中)如图,已知：A B =A D ,B C =C D ,∠A B C =∠A D C ,A C 是否是线段B D 的垂直平分线?请说明理由.[答案]A C 是线段B D 的垂直平分线.具体见解析.[解析]由A B =A D ,B C =C D ,根据线段垂直平分线的判定,可得：点A 在B D 的垂直平分线上,点C 在B D 的垂直平分线上,又由两点确定一条直线,即可证得结论．[详解]A C 是线段B D 的垂直平分线.理由：∵A B =A D ,B C =C D ,∴点A 在B D 的垂直平分线上,点C 在B D 的垂直平分线上,∴A C 是线段B D 的垂直平分线.[点睛]本题考查线段垂直平分线的性质,解题的关键是掌握线段垂直平分线的性质.19．(2019·江苏初二期中)如右图,已知点P是线段MN外一点,请利用直尺和圆规画一点Q,使得点Q到M、N两点的距离相等,且点Q与点M、P在同一条直线上．(保留作图痕迹)[答案]作图见解析[解析]先作出MN的垂直平分线,然后连接P,M两点,并延长交MN的垂直平分线于一点,则交点为所求.[详解]解：先作MN垂直平分l,连接P,M两点,延长PM交l于点Q ,则Q点为所求.[点睛]此题主要考查线段的垂直平分线的作法,熟知线段垂直平分线上到线段两个端点的距离相等是解题关键．四、解答题二(每小题7分,共21分)20．(2019·江苏南京一中初二期中)在△A B C 中,A B ＝A C ,∠B A C ＝120°,A D ⊥B C ,且A D ＝A B ,∠ED F＝60°,且∠ED F两边分别交边A B ,A C 于点E,F,求证：B E＝A F．[答案]见解析[解析]由等腰三角形三线合一的性质可得∠B A D =∠C A D =60°,由∠B A D =60°,A B =A D 证明△A B D 是等边三角形,得到B D =A D ,再由角的关系得∠A B D =∠D A C ,∠ED B =∠A D F,最后由角边角证明△B D E≌△A D F,由全等三角形的性质即可得出结论．[详解]连接B D ,如图所示：∵A B =A C ,A D ⊥B C ,∴∠B A D =∠C A D =12∠B A C ．∵∠B A C =120°,∴∠B A D =∠C A D =60°．∵∠B A D =60°,A B =A D ,∴△A B D 是等边三角形,∴B D =A D ,∠A B D =∠A D B =60°．∵∠D A C =60°,∴∠A B D =∠D A C ．∵∠ED B +∠ED A =∠ED A +∠A D F=60°,∴∠ED B =∠FD A ．在△B D E与△A D F中,∵EBD DAFAD BDEDB FDA∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩,∴△B D E≌△A D F(A SA ),∴B E=A F．[点睛]本题考查了等边三角形的判定与性质,全等三角的判定与性质和角的和差以及等腰三角形的性质,重点掌握全等三角形的判定与性质,难点是作辅助线构建全等三角形．21．(2019·江苏南京一中初二期中)如图所示,A D 为△A B C 的角平分线,D E⊥A B 于点E,D F⊥A C 于点F,连接EF交A D 于点O．求证：A D 垂直平分EF．[答案]见解析[解析]由A D 为△A B C 的角平分线,得到D E=D F,推出∠A EF=∠A FE,得到A E=A F,根据等腰三角形三线合一的性质即可推出结论．[详解]∵A D 为△A B C 的角平分线,D E⊥A B ,D F⊥A C ,∴D E=D F,∠A ED =∠A FD =90°,∴∠D EF=∠D FE,∴∠A EF=∠A FE,∴A E=A F．∵A D 为△A B C 的角平分线,∴A D 垂直平分EF．[点睛]本题考查了角平分线的性质,等腰三角形的判定与性质,解答此题的关键是证A E=A F．22．(2019·江苏初二期中)如图,△A B C 中,A D ⊥B C ,EF垂直平分A C ,交A C 于点F,交B C 于点E,且BD =D E．(1)若∠B A E=40°,求∠C 的度数；(2)若△A B C 周长为14C m,A C =6C m,求D C 长．[答案](1)35°(2)4C m[解析](1)根据线段垂直平分线和等腰三角形性质得出A B ＝A E＝C E,求出∠A EB 和∠C ＝∠EA C ,即可得出答案；(2)根据已知能推出2D E＋2EC ＝8C m,即可得出答案．[详解](1)∵A D 垂直平分B E,EF垂直平分A C ,∴A B ＝A E＝EC ,∴∠C ＝∠C A E,∵∠B A E＝40°,∴∠A ED ＝70°,∴∠C ＝12∠A ED ＝35°；(2)∵△A B C 周长14C m,A C ＝6C m,∴A B ＋B E＋EC ＝8C m,即2D E＋2EC ＝8C m,∴D E＋EC ＝D C ＝4C m．[点睛]本题考查了等腰三角形的性质,线段垂直平分线性质,三角形外角性质的应用,主要考查学生综合运行性质进行推理和计算的能力．五、解答题三(每小题9分,共27分)23．(2019·江苏南京一中初二期中)如图,在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形中,点A ,B ,C 在小正方形的顶点上．(1)在图中画出与△A B C 关于直线l成轴对称的△A ′B ′C ′(2)三角形A B C 的面积为；(3)在直线l上找一点P,使PA +PB 的长最短．[答案](1)见解析；(2)12.5；(3)见解析[解析](1)根据网格结构找出点A 、B 、C 关于直线l成轴对称的点A '、B '、C '的位置,然后顺次连接即可；(2)利用△A B C 所在的矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积,列式计算即可得解；(3)连接B 与点A 关于直线l的对称点A ',根据轴对称确定最短路线,A 'B 与直线l的交点即为所求的点P的位置．[详解](1)△A 'B 'C '如图所示；(2)S △A B C =6×5﹣12×6×1﹣12×5×5﹣12×4×1=30﹣3﹣12.5﹣2=30﹣17.5=12.5． 故答案为：12.5；(3)如图,点P 即为所求的使P A +PB 的长最短的点．[点睛]本题考查了利用轴对称变换作图,熟练掌握网格结构并准确找出对应点的位置是解答本题的关键． 24．(2019·山东初二期中)如图,在等腰Rt ABC ∆中,90ACB ∠=︒,AC CB =,F 是AB 边上的中点,点D 、E 分别在AC 、BC 边上运动,且始终保持AD CE =．连接DE 、DF 、EF ．(1)求证：ADF CEF ∆≅∆；(2)试证明DFE ∆是等腰直角三角形；(3)若5AD =,7BE =,求AC 的长．[答案](1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)12.[解析](1)根据等腰直角三角形的性质等到A F =C F ,∠A =∠FC E ,根据SA S 即可得出结论；(2)由(1)可得：D F =EF ,∠A FD =∠C FE ,进而得出∠D FE =90°,即可得出结论；(3)由(1)可得：A D =C E ,则有A C =B C =C E +B E =A D +B E ,即可得出结论．[详解](1)在等腰直角ABC ∆中,90ACB ∠=︒,AC BC =,∴45A B ∠=∠=︒．又∵F 是AB 中点,∴45ACF FCB ∠=∠=︒,即45A FCE ACF ∠=∠=∠=︒,且AF CF =．在ADF ∆与CEF ∆中,∵AD CE A FCE AF CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴()ADF CEF SAS ∆≅∆；(2)由(1)可知ADF CEF ∆≅∆,∴DF FE =,∴DFE ∆是等腰三角形．又∵AFD CFE ∠=∠,∴AFD DFC CFE DFC ∠+∠=∠+∠,∴AFC DFE ∠=∠．∵90AFC ∠=︒,∴90DFE ∠=︒,∴DFE ∆是等腰直角三角形．(3)由(1)可知ADF CEF ∆≅∆,∴A D =C E ．∵A C =B C ,∴A C =B C =C E +B E =A D +B E =5+7=12．[点睛]本题考查了学生对全等三角形的判定与性质和等腰直角三角形的理解和掌握,稍微有点难度,属于中档题．25．(2019·江苏初二期中)如图所示,点O 是等边三角形A B C 内一点,∠A OB ＝100°,∠B OC ＝α,D 是△A B C 外一点,且△A D C ≌△B OC ,连接OD ．(1)求证：△C OD 是等边三角形；(2)当α＝150°时,判断△A OD 的形状,并说明理由.(3)探究：当α=_____度时,△A OD 是等腰三角形.[答案](1)见解析 (2)直角三角形,见解析 (3)100或130或160[解析](1)根据全等三角形的性质得到∠OC B ＝∠D C A ,C O ＝C D ,证明∠D C A ＋∠A C O ＝60°,根据等边三角形的判定定理证明；(2)根据全等三角形的性质得到∠A D C ＝∠B OC ＝150°,结合图形计算即可；(3)分A D ＝A O 、D A ＝D O 、OD ＝A O 三种情况,根据等腰三角形的性质,三角形内角和定理计算．[详解](1)证明：∵△A D C ≌△B OC ,∴∠OC B ＝∠D C A ,C O＝C D ,∵△A B C 是等边三角形,∴∠A C B ＝60°,即∠OC B ＋∠A C O＝60°,∴∠D C A ＋∠A C O＝60°,又C O＝C D ,∴△C OD 是等边三角形；(2)解：∵△A D C ≌△B OC ,∴∠A D C ＝∠B OC ＝150°,∵△C OD 是等边三角形,∴∠OD C ＝60°,∴∠A D O＝∠A D C −∠OD C ＝90°,∠A OD ＝360°−100°−150°−60°＝50°,∴∠OA D ＝40°,△A OD 是直角三角形；(3)解：当A D ＝A O时,设∠A OD ＝∠A D O＝x, 则∠A D C ＝∠A D O＋∠OD C ＝x＋60°,∴∠B OC ＝x＋60°,则100°＋x＋60°＋x＋60°＝360°,解得,x＝70°,则α＝60°＋70°＝130°,当D A ＝D O时,设∠A OD ＝∠D A O＝x,则∠A D O＝180°−2x,∴∠A D C ＝∠A D O＋∠OD C ＝180°−2x＋60°, ∴∠B OC ＝240°−2x,则100°＋240°−2x＋x＋60°＝360°,解得,x＝40°,则α＝240°−2x＝160°,当OD ＝A O时,设∠OA D ＝∠A D O＝x,则∠A D C ＝∠A D O＋∠OD C ＝x＋60°,∴∠B OC ＝x＋60°,则100°＋x＋60°＋180°−2x＋60°＝360°,解得,x＝40°,则α＝60°＋40°＝100°,综上所述,当α为100°或130°或160°时,△A OD 是等腰三角形．[点睛]本题考查的是等边三角形的性质,全等三角形的性质,等腰三角形的判定,掌握全等三角形的性质定理,灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．。
《第16章轴对称和中心对称》单元测试(2)含答案解析
《第16章轴对称和中心对称》一、选择题1．如图，羊字象征吉祥和美好，下图的图案与羊有关，其中是轴对称图形的有（）A．1个B．4个C．3个D．2个2．等腰三角形两边的长分别为2cm和5cm，则这个三角形的周长是（）A．9cm B．12cmC．9cm或12cm D．在9cm或12cm之间3．如图，OP平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，下列结论正确的是（）A．PD=PE B．PE=OE C．∠DPO=∠EOP D．PD=OD4．如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA=3cm，则线段PB的长为（）A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm5．等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的底边为（）A．7cm B．3cm C．7cm或3cm D．8cm6．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分线DE交AC于D，交AB于E，下述结论错误的是（）A．BD平分∠ABC B．△BCD的周长等于AB+BCC．AD=BD=BC D．点D是线段AC的中点7．如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，则∠B的度数为（）A．30° B．50° C．90° D．100°8．如图，已知AC∥BD，OA=OC，则下列结论不一定成立的是（）A．∠B=∠D B．∠A=∠B C．OA=OB D．AD=BC9．已知M（a，3）和N（4，b）关于y轴对称，则（a+b）的值为（）A．1 B．﹣1 C．7 D．﹣710．如图所示，把一个正方形对折两次后沿虚线剪下，展开后所得的图形是（）A．B．C．D．二、填空题11．观察字母A，E，H，O，T，W，X，Z，其中不是轴对称的字母是．12．如图，是从镜中看到的一串数字，这串数字应为．13．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的角平分线，若BC=5cm，BD=3cm，则点D到AB的距离为．14．已知点P关于x轴的对称点P′的坐标是（2，3），那么P关于y轴对称点P″的坐标是．15．等腰三角形一个顶角和一个底角之和是110°，则顶角是．16．如图，OE是∠AOB的平分线，BD⊥OA于点D，AC⊥BO于点C，则关于直线OE对称的三角形共有对．17．如图所示，在△ABC中，DE是AC的中垂线，AE=3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长是cm．18．如下图，在△ADC中，AD=BD=BC，若∠C=25°，则∠ADB= 度．三、解答题19．如图，已知长方形ABCD中AB=8cm，BC=10cm，在边CD上取一点E，将△ADE折叠使点D恰好落在BC 边上的点F，求CE的长．20．如图，已知线段CD垂直平分线AB，AB平分∠CAD，问AD与BC平行吗？请说明理由．21．如图，∠XOY内有一点P，在射线OX上找出一点M，在射线OY上找出一点N，使PM+MN+NP最短．22．如图，在△ABC中，CE、CF分别平分∠ACB和△ACB的外角∠ACG，EF∥BC交AC于点D，求证：DE=DF．23．已知，如图，在△ABC中，AB＜AC，BC边上的垂直平分线DE交BC于点D，交AC于点E，AC=8，△ABE 的周长为14，求AB的长．24．已知点A（2m+n，2），B （1，n﹣m），当m、n分别为何值时，（1）A、B关于x轴对称；（2）A、B关于y轴对称．25．如图，AD∥BC，∠DAB的平分线与∠CBA的平分线交于点P，过点P的直线垂直于AD，垂足为D，交BC于点C．试问：点P是线段CD的中点吗？为什么？《第16章轴对称和中心对称》参考答案与试题解析一、选择题1．如图，羊字象征吉祥和美好，下图的图案与羊有关，其中是轴对称图形的有（）A．1个B．4个C．3个D．2个【考点】轴对称图形．【分析】此题主要是分析汉字的对称性，美和善都是轴对称图形，祥和洋不是对称图形．【解答】解：美和善都是轴对称图形，祥和洋不是对称图形．共2个．故选D．【点评】本题考查了轴对称图形，能够根据轴对称图形的概念，正确分析汉字的对称性．轴对称的概念：把其中的一个图形沿某直线翻折，能够和另一个图形完全重合，则两个图形关于某直线对称．2．等腰三角形两边的长分别为2cm和5cm，则这个三角形的周长是（）A．9cm B．12cmC．9cm或12cm D．在9cm或12cm之间【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为2cm和5cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【解答】解：当腰长是2cm时，因为2+2＜5，不符合三角形的三边关系，应排除；当腰长是5cm时，因为5+5＞2，符合三角形三边关系，此时周长是12cm．故选B．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．3．如图，OP平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，下列结论正确的是（）A．PD=PE B．PE=OE C．∠DPO=∠EOP D．PD=OD【考点】角平分线的性质．【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PD=PE．【解答】解：∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE．故选A．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．4．如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA=3cm，则线段PB的长为（）A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm【考点】线段垂直平分线的性质．【分析】根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得PB=PA．【解答】解：∵直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，∴PB=PA，∵PA=3cm，∴PB=3cm．故选D．【点评】本题考查了线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．5．等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的底边为（）A．7cm B．3cm C．7cm或3cm D．8cm【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．【专题】分类讨论．【分析】已知的边可能是腰，也可能是底边，应分两种情况进行讨论．【解答】解：当腰是3cm时，则另两边是3cm，7cm．而3+3＜7，不满足三边关系定理，因而应舍去．当底边是3cm时，另两边长是5cm，5cm．则该等腰三角形的底边为3cm．故选：B．【点评】本题从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．6．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分线DE交AC于D，交AB于E，下述结论错误的是（）A．BD平分∠ABC B．△BCD的周长等于AB+BCC．AD=BD=BC D．点D是线段AC的中点【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．【专题】压轴题．【分析】由在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，根据等边对等角与三角形内角和定理，即可求得∠ABC与∠C 的度数，又由AB的垂直平分线是DE，根据线段垂直平分线的性质，即可求得AD=BD，继而求得∠ABD的度数，则可知BD平分∠ABC；可得△BCD的周长等于AB+BC，又可求得∠BDC的度数，求得AD=BD=BC，则可求得答案；注意排除法在解选择题中的应用．【解答】解：∵在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠C==72°，∵AB的垂直平分线是DE，∴AD=BD，∴∠ABD=∠A=36°，∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=72°﹣36°=36°=∠ABD，∴BD平分∠ABC，故A正确；∴△BCD的周长为：BC+CD+BD=BC+CD+AD=BC+AC=BC+AB，故B正确；∵∠DBC=36°，∠C=72°，∴∠BDC=180°﹣∠DBC﹣∠C=72°，∴∠BDC=∠C，∴BD=BC，∴AD=BD=BC，故C正确；∵BD＞CD，∴AD＞CD，∴点D不是线段AC的中点，故D错误．故选D．【点评】此题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质以及三角形内角和定理等知识．此题综合性较强，但难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意等腰三角形的性质与等量代换．7．如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，则∠B的度数为（）A．30° B．50° C．90° D．100°【考点】轴对称的性质；三角形内角和定理．【分析】由已知条件，根据轴对称的性质可得∠C=∠C′=30°，利用三角形的内角和等于180°可求答案．【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，∴∠A=∠A′=50°，∠C=∠C′=30°；∴∠B=180°﹣80°=100°．故选D．【点评】主要考查了轴对称的性质与三角形的内角和是180度；求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°．8．如图，已知AC∥BD，OA=OC，则下列结论不一定成立的是（）A．∠B=∠D B．∠A=∠B C．OA=OB D．AD=BC【考点】等腰三角形的性质；平行线的性质．【分析】本题可根据平行线的性质和OA=OC的条件来得出∠A、∠B、∠C、∠D四角的大小关系，进而可判断各条件的对错．【解答】解：∵AC∥BD，∴∠A=∠D，∠C=∠B；又∵OA=OC，∠A=∠C；∴∠A=∠D=∠C=∠B，∴△AOC和△BOD为等腰三角形；∴OA+OB=OC+OD，即AD=BC．所以A、B、D成立；C不一定成立．故选C．【点评】本题较简单，但构思巧妙，结合了等腰三角形和平行线的性质，是一道好题．9．已知M（a，3）和N（4，b）关于y轴对称，则（a+b）的值为（）A．1 B．﹣1 C．7 D．﹣7【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．【分析】根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”求出a、b，然后代入代数式进行计算即可得解．【解答】解：∵M（a，3）和N（4，b）关于y轴对称，∴a=﹣4，b=3，∴（a+b）=（﹣4+3）=1．故选A．【点评】本题考查了关于x轴y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．10．如图所示，把一个正方形对折两次后沿虚线剪下，展开后所得的图形是（）A．B．C．D．【考点】剪纸问题．【分析】此类问题只有动手操作一下，按照题意的顺序折叠，剪开，观察所得的图形，可得正确的选项．【解答】解：按照题意，动手操作一下，可知展开后所得的图形是选项B．故选B．【点评】对于一下折叠、展开图的问题，亲自动手操作一下，可以培养空间想象能力．二、填空题11．观察字母A，E，H，O，T，W，X，Z，其中不是轴对称的字母是Z ．【考点】轴对称图形．【分析】根据轴对称图形的概念可知．【解答】解：其中不是轴对称图形的只有Z．【点评】能够根据轴对称图形的概念，正确判断字母的对称性．12．如图，是从镜中看到的一串数字，这串数字应为810076 ．【考点】镜面对称．【专题】几何图形问题．【分析】关于镜子的像，实际数字与原来的数字关于竖直的线对称，根据相应数字的对称性可得实际数字．【解答】解：∵是从镜子中看，∴对称轴为竖直方向的直线，∵镜子中数字的顺序与实际数字顺序相反，∴这串数字应为 810076，故答案为：810076．【点评】考查镜面对称，得到相应的对称轴是解决本题的关键；若是竖直方向的对称轴，数的顺序正好相反．13．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的角平分线，若BC=5cm，BD=3cm，则点D到AB的距离为2cm ．【考点】角平分线的性质．【分析】首先过点D作DE⊥AB于E，由在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的角平分线，根据角平分线的性质，即可得DE=CD，又由BC=5cm，BD=3cm，即可求得CD的长，继而求得点D到AB的距离．【解答】解：过点D作DE⊥AB于E，∵在△ABC中，∠C=90°，∴DC⊥AC，∵AD是∠BAC的角平分线，∴DE=CD，∵BC=5cm，BD=3cm，∴CD=BC﹣BD=2cm，∴DE=2cm．∴点D到AB的距离为2cm．故答案为：2cm．【点评】此题考查了角平分线的性质．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．14．已知点P关于x轴的对称点P′的坐标是（2，3），那么P关于y轴对称点P″的坐标是（﹣2，﹣3）．【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．【专题】综合题．【分析】根据平面直角坐标系中两点关于x轴的对称点的坐标关系：横坐标不变，纵坐标互为相反数；可知道P点的坐标，再根据两点关于y轴对称的点的坐标关系：纵坐标不变，横坐标互为相反数，得出P″的坐标．【解答】解：∵点P关于x轴的对称点P′的坐标是（2，3），根据轴对称的性质，得P点的坐标是（2，﹣3），根据两点关于y轴对称的点的坐标关系：纵坐标不变，横坐标互为相反数，得出P″的坐标为（﹣2，﹣3），故答案为（﹣2，﹣3）．【点评】本题考查了平面直角坐标系中两点关于x轴和y轴对称，横纵坐标的关系，难度适中．15．等腰三角形一个顶角和一个底角之和是110°，则顶角是40°．【考点】等腰三角形的性质．【分析】已知给出了两角的和，可根据三角形内角和定理求出另一个底角，再相减即可求出顶角．【解答】解：依题意得：等腰三角形的顶角和一个底角的和是110°即它的另一个底角为180°﹣110°=70°∵等腰三角形的底角相等故它的一个顶角等于110°﹣70°=40°．故答案为：40°．【点评】本题考查了三角形内角和定理以及等腰三角形的性质；本题思路比较直接，简单，属于基础题．16．如图，OE是∠AOB的平分线，BD⊥OA于点D，AC⊥BO于点C，则关于直线OE对称的三角形共有 4 对．【考点】轴对称图形．【分析】关于直线OE对称的三角形就是全等的三角形，据此即可判断．【解答】解：△ODE和△OCE，△OAE和△OBE，△ADE和△BCE，△OCA和△ODB共4对．故答案为：4．【点评】能够理解对称的意义，把找对称三角形的问题转化为找全等三角形的问题，是解决本题的关键．17．如图所示，在△ABC中，DE是AC的中垂线，AE=3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长是19 cm．【考点】线段垂直平分线的性质．【分析】由已知条件，根据垂直平分线的性质得到线段相等，进行线段的等量代换后可得到答案．【解答】解：∵△ABC中，DE是AC的中垂线，∴AD=CD，AE=CE=AC=3cm，∴△ABD得周长=AB+AD+BD=AB+BC=13 ①则△ABC的周长为AB+BC+AC=AB+BC+6 ②把②代入①得△ABC的周长=13+6=19cm故答案为：19．【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质；解答此题时要注意利用垂直平分线的性质找出题中的等量关系，进行等量代换，然后求解．18．如下图，在△ADC中，AD=BD=BC，若∠C=25°，则∠ADB= 80 度．【考点】等腰三角形的性质；三角形内角和定理．【分析】在等腰△BDC中，可得∠BDC=∠C；根据三角形外角的性质，即可求得∠ABD=50°；进而可在等腰△ABD中，运用三角形内角和定理求得∠ADB的度数．【解答】解：∵BD=BC，∴∠BDC=∠C=25°；∴∠ABD=∠BDC+∠C=50°；△ABD中，AD=BD，∴∠A=∠ABD=50°；故∠ADB=180°﹣∠A﹣∠ABD=80°．故答案为：80．【点评】本题考查了等腰三角形的性质、三角形外角的性质以及三角形内角和定理；利用三角形外角求得∠ABD=50°是正确解答本题的关键．三、解答题19．如图，已知长方形ABCD中AB=8cm，BC=10cm，在边CD上取一点E，将△ADE折叠使点D恰好落在BC 边上的点F，求CE的长．【考点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）．【专题】几何图形问题．【分析】要求CE的长，应先设CE的长为x，由将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F可得Rt△ADE ≌Rt△AFE，所以AF=10cm，EF=DE=8﹣x；在Rt△ABF中由勾股定理得：AB2+BF2=AF2，已知AB、AF的长可求出BF的长，又CF=BC﹣BF=10﹣BF，在Rt△ECF中由勾股定理可得：EF2=CE2+CF2，即：（8﹣x）2=x2+（10﹣BF）2，将求出的BF的值代入该方程求出x的值，即求出了CE的长．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC=10cm，CD=AB=8cm，根据题意得：Rt△ADE≌Rt△AFE，∴∠AFE=90°，AF=10cm，EF=DE，设CE=xcm，则DE=EF=CD﹣CE=8﹣x，在Rt△ABF中由勾股定理得：AB2+BF2=AF2，即82+BF2=102，∴BF=6cm，∴CF=BC﹣BF=10﹣6=4（cm），在Rt△ECF中由勾股定理可得：EF2=CE2+CF2，即（8﹣x）2=x2+42，∴64﹣16x+x2=x2+16，∴x=3（cm），即CE=3cm．【点评】本题主要考查运用勾股定理、全等三角形、方程思想等知识，根据已知条件求指定边长的能力．20．如图，已知线段CD垂直平分线AB，AB平分∠CAD，问AD与BC平行吗？请说明理由．【考点】线段垂直平分线的性质；平行线的判定．【分析】由线段CD垂直平分线AB，根据线段垂直平分线的性质，易得∠CAB=∠CBA，又由AB平分∠CAD，即可得∠DAB=∠CBA，继而证得AD与BC平行．【解答】解：AD∥BC，理由：∵CD垂直平分AB，∴AC=BC，∴∠CAB=∠CBA，∵AB平分∠CAD，即∠CAB=∠DAB，∴∠ABC=∠DAB，∴AD∥BC．【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及平行线的判定．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．21．如图，∠XOY内有一点P，在射线OX上找出一点M，在射线OY上找出一点N，使PM+MN+NP最短．【考点】轴对称-最短路线问题．【专题】作图题．【分析】分别以直线OX、OY为对称轴，作点P的对应点P1与P2，连接P1P2交OX于M，交OY于N，则PM+MN+NP最短．【解答】解：如图所示：分别以直线OX、OY为对称轴，作点P的对应点P1与P2，连接P 1P 2交OX 于M ，交OY 于N ，则PM+MN+NP 最短．【点评】本题主要利用了两点之间线段最短的性质通过轴对称图形的性质确定三角形的另两点．22．如图，在△ABC 中，CE 、CF 分别平分∠ACB 和△ACB 的外角∠ACG ，EF ∥BC 交AC 于点D ，求证：DE=DF ．【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．【专题】证明题．【分析】利用平行线及角平分线的性质先求得CD=ED ，CD=DF ，然后等量代换即可证明DE=DF ．【解答】证明：∵CE 是△ABC 的角平分线，∴∠ACE=∠BCE ．∵CF 为外角∠ACG 的平分线，∴∠ACF=∠GCF ．∵EF ∥BC ，∴∠GCF=∠F ，∠BCE=∠CEF ．∴∠ACE=∠CEF ，∠F=∠DCF ．∴CD=ED ，CD=DF （等角对等边）．∴DE=DF ．【点评】本题考查了等腰三角形的判定及角平分线的性质和平行线的性质；进行等量代换是正确解答本题的关键．23．已知，如图，在△ABC 中，AB ＜AC ，BC 边上的垂直平分线DE 交BC 于点D ，交AC 于点E ，AC=8，△ABE 的周长为14，求AB 的长．【考点】线段垂直平分线的性质．【分析】利用垂直平分线的性质和已知的周长计算．【解答】解：∵DE是BC的中垂线，∴BE=EC，则AC=EC+AE=BE+EA=8，又∵△ABE的周长为14，故AB=14﹣8=6．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质（垂直平分线上任意一点，和线段两端点的距离相等）有关知识．难度简单．24．已知点A（2m+n，2），B （1，n﹣m），当m、n分别为何值时，（1）A、B关于x轴对称；（2）A、B关于y轴对称．【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．【分析】（1）根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得，再解方程组即可；（2）根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得，再解方程组即可．【解答】解：（1）∵点A（2m+n，2），B （1，n﹣m），A、B关于x轴对称，∴，解得；（2）∵点A（2m+n，2），B （1，n﹣m），A、B关于y轴对称，∴，解得：．【点评】此题主要考查了关于x、y轴对称的点的坐标，关键是掌握点的坐标特点．25．如图，AD∥BC，∠DAB的平分线与∠CBA的平分线交于点P，过点P的直线垂直于AD，垂足为D，交BC于点C．试问：点P是线段CD的中点吗？为什么？【考点】角平分线的性质．【分析】过点P作PE⊥AB于E，根据垂直于同一直线的两直线互相平行求出PC⊥BC，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PD=PE，PC=PE，从而得到PC=PD，然后根据线段中点的定义解答．【解答】答：点P是线段CD的中点．证明如下：过点P作PE⊥AB于E，∵AD∥BC，PD⊥CD于D，∴PC⊥BC，∵∠DAB的平分线与∠CBA的平分线交于点P，∴PD=PE，PC=PE，∴PC=PD，∴点P是线段CD的中点．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质并作出辅助线是解题的关键．。
轴对称单元测试题(含答案--高质量)
（轴对称）一、选择题（每小题3%，共30%）1。
下面四组图形中，右边与左边成轴对称的是（ ）A. B 。
C 。
D 。
2。
下列图形中一定有4条对称轴的是（ ）A 。
长方形 B.正方形 C.等边三角形 D 。
等腰直角三角形 3。
下列图形:①两个点；②线段；③角;④长方形；⑤两条相交直线；⑥三角形,其中一定是轴对称图形的有（ ）A.5个B.3个 C 。
4个 D.6个 4.如图1:射线BA,CA 相交于点A,连接BC ，已知AB=AC ，∠B=400， 则∠CAE 的度数为( )A 。
400 B.600 C 。
800 D.10005.等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴有（ ）A 。
1条B 。
2条 C.3条 D.1条或3条 图1 6。
如图2:在△ABC 中，DE 垂直平分AB,AE 平分∠BAC,若∠C=900，则∠B 的度数为（ ) A 。
30B.20C 。
40D 。
25图27。
底和腰不等的等腰三角形中，它的角平分线、中线、高共有线段（ ） A 。
9条 B 。
6条 C.7条 D.3条 8。
如图3:在△ABC 中,AB=AC,∠A=360,BD ，CE 分别平分∠ABC 和∠ACB,相交于点F ，则图中等腰三角形共有（ ) A 。
7个 B 。
8个 C 。
6个 D 。
9个图39。
如图4：如果直线m 是多边形ABCDE 的对称轴，其中∠A=1300， ∠B=1000,则∠BCD 的度数为（ ) A 。
700B.800C.600D.90010。
等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为300，则顶角的度数为（ ) 图4BCAE B C A E DAB C D E FA BCDEmA.600B.1200C.600或1500D.600或1200二、填空题(每小题3%，共15％)11.从镜子中看到背后墙上电子钟的示意数为 ，这时的实际时间为______。
12。
在△ABC 中,AB=AC,AD ⊥BC 于D ，由以上两个条件 可得_________________.(写出一个结论即可）13.如图5：在△ABC 中, ∠A=900,BD 平分∠ABC,交AC于点D,已知AD=4。
人教版八年级数学上册全册单元测试卷(含答案)
人教版八年级数学上册全册单元测试卷(含答案)第十一章三角形是初中数学中的重要概念之一，本章主要介绍三角形的定义、分类、性质以及相关定理。
首先，三角形是由三条线段组成的图形，其中每条线段都是三角形的一条边，而三条边的交点称为三角形的顶点。
根据三角形的边长和角度大小，我们可以将三角形分为不同的类型，如等边三角形、等腰三角形、直角三角形、锐角三角形和钝角三角形等。
其次，全等三角形是指在形状和大小上完全相同的两个三角形，它们的对应边和对应角都相等。
全等三角形有很多应用，比如在证明几何定理时经常会用到。
第十二章轴对称是初中数学中的一个重要概念，它是指一个图形关于某条直线对称后完全重合的情况。
轴对称可以分为水平轴对称和垂直轴对称两种情况，对称轴是指图形中被对称的那条直线。
轴对称有很多应用，比如在绘制图形、证明几何定理和解决实际问题时都会用到。
第十三章整式的乘法与因式分解是初中数学中的一个重要知识点，它涉及到多项式的基本运算和分解。
整式是由常数、变量和它们的乘积以及它们的各项次幂所构成的代数式，而整式的乘法和因式分解则是对多项式进行拆分和组合的过程，能够帮助我们更好地理解和应用代数式。
第十四章分式是初中数学中的一个重要概念，它是指由两个整式相除所得到的代数式。
分式可以分为真分式、带分式和整式三种情况，其中真分式是指分子次数小于分母次数的分式，带分式是指分子次数大于等于分母次数的分式，而整式则是指分母为常数的分式。
分式在数学中有着广泛的应用，比如在解方程、证明定理和计算实际问题时都会用到。
第十五章三角形单元测试是初中数学中的一种测试形式，它主要考察学生对于三角形相关知识和技能的掌握情况。
本测试共有10道选择题，每道题目有4个选项，只有一个选项是正确的。
测试时间为90分钟，满分为100分。
通过三角形单元测试，学生可以了解自己在三角形方面的薄弱环节，并及时进行补充和提高。
二、填空题11.x的取值范围是 1<x<312.可以构成 4 个三角形13.∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F等于 540°14.如果一个正多边形的内角和是900°，则这个正多边形是正 10 边形15.n=816.需要安排 3 种不同的车票17.得到的图形是正三角形，它的内角和（按一层计算）是 360°18.∠BOC的度数是 80°三、解答题19.因为BD平分∠ABC，所以∠CBD=∠ABD=40°又因为DA⊥AB，所以∠ADB=90°-∠ABD=50°所以∠C=∠CBD+∠ADB=40°+50°=90°20.(1) 画出△XXX的外角∠BCD后，再画出∠BCD的平分线CE，如图：image.png](/upload/image_hosting/edn2j1v0.png)2) 由于∠A=∠B，所以∠ACB=∠ABC，而∠BCD是△ABC的外角，所以∠BCD=∠ACB+∠ABC又因为CE是∠BCD的平分线，所以∠ECD=∠DCB，所以∠ECD+∠XXX∠BCD即∠ECD+∠XXX∠ACB+∠ABC又因为∠ACB=∠ABC，所以∠ECD=∠DCB所以CE∥AB21.(1) 如图：image.png](/upload/image_hosting/1a0z4h2p.png)ABC+∠ACB=30°+90°=120°XXX∠XXX∠ABC+∠XXX-∠XXX-∠XCB=120°-90°-30°=0°2) ∠ABX+∠ACX的大小不变，因为它们与三角板XYZ 的位置无关，只与△ABC的角度有关，而△XXX的角度没有变化。
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本册书由陈刘送、张霞编写。
Ａ卷 课时同步练习………………………………………………………………………第１２章 平面直角坐标系１……………………………………………………………………１２．１ 平面上点的坐标１……………………………………………………………１２．２ 图形在坐标系中的平移４………………………………………………………………………………第１３章 一次函数６…………………………………………………………………………………１３．１ 函数６１３．２ 一次函数７……………………………………………………………………………………………………………………………１３．３ 一次函数与一次方程、一次不等式１０………………………………………………………１３．４ 二元一次方程组的图象解法１１………………………………………………………………第１４章 三角形中的边角关系１３………………………………………………………………１４．１ 三角形中的边角关系１３…………………………………………………………………………１４．２ 命题与证明１５第１５章 全等三角形２２……………………………………………………………………………………………………………………………………………………１５．１ 全等三角形２２…………………………………………………………………１５．２ 三角形全等的判定２３…………………………………………………………第１６章 轴对称图形与等腰三角形２７…………………………………………………………………………１６．１ 轴对称图形２７…………………………………………………………………１６．２ 线段的垂直平分线２９…………………………………………………………………………１６．３ 等腰三角形３１…………………………………………………………………………１６．４ 角的平分线３５Ｂ卷 单元综合检测第１２章 平面直角坐标系１………………………………………………………………………………………………………………………………………………………第１３章 一次函数５第１４章 三角形中的边角关系９……………………………………………………………………………………………………………………………………………第１５章 全等三角形１３…………………………………………………………第１６章 轴对称图形与等腰三角形１７………………………………………………………………………………………期中检测卷２１………………………………………………………………………………………期末检测卷２５…………………………………………………………………………………参考答案与解析２９１ Ａ卷 课时同步练习第１２章 平面直角坐标系１２．１ 平面上点的坐标第一课时 相信同学们在预习这一节内容以后，一定能快速回答！１．在平面内画两条互相垂直并且原点重合的数轴，水平的数轴叫做或，一般取为正方向；垂直的数轴叫做或，一般取为正方向；两轴的交点Ｏ称为，这样的平面叫做．２．在平面直角坐标系中，平面上的点可以用一对实数来表示，一般地把坐标写在坐标的前面；如果平面直角坐标系中，Ｐ点的横坐标为ａ，纵坐标为ｂ，则Ｐ点的坐标可以记为．请同学们独立完成下列问题：３．电影院里４排３号如果用（４，３）来表示，那么５排２号可表示为，（７，４）表示的含义为．４．若平面直角坐标系中，点Ｐ的横坐标为２，纵坐标为－５，则点Ｐ的坐标为；若点Ｐ′的横坐标为－５，纵坐标为２，则点Ｐ′的坐标为．１．点Ａ（－３，２）关于ｘ轴对称的点是，关于原点对称的点是．２．点Ｐ（３，－４）到ｘ轴的距离是，到ｙ轴的距离是．３．如图，如果用（０，０）表示点Ｏ，那么图中点Ａ记作，点Ｂ记作，点Ｃ记作，点Ｄ记作．４．如图，如果所在的位置坐标为（－２，－３），所在的位置坐标为（－４，－１），则可以将军的位置为（ ）．Ａ．（３，－１）或（０，２） Ｂ．（－１，－１）或（２，０）Ｃ．（－１，－１）或（０，２）Ｄ．（－２，１）或（２，０）５．已知点（ａ，ｂ），且ａｂ＝０，则点Ｐ在（ ）．２ Ａ．坐标原点 Ｂ．ｘ轴上 Ｃ．ｙ轴上 Ｄ．坐标轴上６．在平面直角坐标系中，平行四边形ＡＢＣＤ的顶点Ａ，Ｂ，Ｄ的坐标分别是（０，０），（５，０），（２，３），则顶点Ｃ的坐标是（ ）．Ａ．（７，３）Ｂ．（８，４）Ｃ．（５，３）Ｄ．（３，７）７．如图，在平面直角坐标系中描出下列各点的位置．Ａ（３，４），Ｂ（４，３），Ｃ（－１，２），Ｄ（０，４），Ｅ（－２，－３），Ｆ（－４，０）．８．已知甲运动方式为：先竖直向上运动１个单位长度，再水平向右运动２个单位长度；乙运动方式为：先竖直向下运动２个单位长度，再水平向左运动３个单位长度．在平面直角坐标系内，现有一动点Ｐ，第１次从原点Ｏ出发按甲方式运动到Ｐ１，第２次从点Ｐ１出发按乙方式运动到Ｐ２，第３次从点Ｐ２出发按甲方式运动到Ｐ３，第４次从点Ｐ３出发按乙方式运动到Ｐ４……依此运动规律，求经过第１１次运动后，动点Ｐ所在位置Ｐ１１的坐标是多少．第二课时 相信同学们在预习这一节内容以后，一定能快速回答！１．ｘ轴和ｙ轴把平面分成个部分，分别叫做；坐标轴上的点，也就是ｘ轴和ｙ轴上的点任一个象限；第一、第二、第三、第四象限内的点的坐标符号分别为、、、．２．建立直角坐标系后，平面内的点与一一对应起来． 请同学们独立完成下列问题：３．点Ｐ的坐标是（－３，－２），则－３是点Ｐ的，－２是点Ｐ的，点Ｐ在第象限．３ ４．在平面直角坐标系中，下列各点在第二象限的是（ ）．Ａ．（３，２）Ｂ．（２，－３）Ｃ．（－３，４）Ｄ．（－５，－２）５．如果点Ｐ（ａ－２，ａ＋３）在ｙ轴上，那么ａ的值为（ ）．Ａ．２Ｂ．－２Ｃ．３Ｄ．－３１．已知点Ｐ（３ｎ－２，４－ｎ）在第四象限，则ｎ的取值范围是．２．若点Ｐ（ａ，ｂ）在第二象限，则点Ｍ（｜ａ｜，－ｂ）在第象限．３．如果点Ａ（ａ，ｂ）在第二象限，点Ｂ（ｃ，ｄ）在第三象限，则点Ｃ（ａ＋ｃ，ｂｄ）在第象限．４．已知点Ｐ（ａ，ｂ）是平面直角坐标系中第二象限内的点，化简：｜ａ－ｂ｜＋｜ｂ－ａ｜＝．５．平面直角坐标系中，第四象限内的点Ｐ到ｘ轴的距离为４，到ｙ轴的距离为３，则点Ｐ的坐标是．６．已知点Ｐ（ｍ，ｎ），若ｍ２＋ｎ２＝０，则下列结论正确的是（ ）．Ａ．点Ｐ在ｘ轴上，但不在ｙ轴上Ｂ．点Ｐ在ｙ轴上，但不在ｘ轴上Ｃ．点Ｐ既在ｘ轴上，又在ｙ轴上Ｄ．点Ｐ既不在ｘ轴上，也不在ｙ轴上７．已知点Ａ（ａ，３），Ｂ（－５，ｂ），根据下列条件分别求出ａ，ｂ的值：（１）Ａ，Ｂ两点关于原点对称；（２）ＡＢ∥ｙ轴；（３）Ａ，Ｂ两点在第一、三象限两条坐标轴夹角的平分线上．８．如图，已知Ａ１（１，０），Ａ２（１，１），Ａ３（－１，１），Ａ４（－１，－１），Ａ５（２，－１），依据此规律试推出Ａ２００７的坐标．４ １２．２ 图形在坐标系中的平移 相信同学们在预习这一节内容以后，一定能快速回答！１．平移只改变图形的，图形的和不发生变化．２．在平面直角坐标系中，如果将点Ｐ（ｘ，ｙ）向左移动ａ个单位，得；如果将其向右移动ａ个单位，得；如果将其向上移动ｂ个单位，得；如果将其向下移动ｂ个单位，得．请同学们独立完成下列问题：３．已知点Ｐ（１，２），现将Ｐ点向右移２个单位，再向下移３个单位，得点Ｐ１的坐标为．４．点Ｐ向左移动４个单位长度后的坐标为（－１，２），则点Ｐ开始时的坐标为．５．如图，将图Ⅰ先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到图Ⅱ．１．点Ａ（－２，３）先向右平移２个单位，再向下平移３个单位后与点Ｂ重合，则点Ｂ的坐标为．２．已知线段ＡＢ＝２ｃｍ，经过平移，线段ＡＢ的端点Ａ移到点Ａ１，端点Ｂ移到点Ｂ１，且ＡＡ１＝５ｃｍ，则ＢＢ１＝．３．如果图形Ｍ的横坐标不变，纵坐标变为原来的１２，那么所得到的图形与原图形相比，整个图形被．４．把点Ａ（２，－３）平移后得点Ｂ（－２，３），则平移过程是 ．５．在直角坐标系中，将某一个图形向左平移５个单位，则下列说法正确的是（ ）．Ａ．图形上所有点的横坐标不变，纵坐标减少５Ｂ．图形上所有点的横坐标不变，纵坐标增加５Ｃ．图形上所有点的纵坐标不变，横坐标减少５Ｄ．图形上所有点的纵坐标不变，横坐标增加５６．已知三角形的三个顶点坐标分别是Ａ（－２，１），Ｂ（２，３），Ｃ（－３，－１），把△ＡＢＣ运动到一个确定位置，在下列各点坐标中，（ ）是平移得到的．Ａ．Ａ１（－１，３），Ｂ１（３，５），Ｃ１（－２，１）Ｂ．Ａ２（１，－２），Ｂ２（３，２），Ｃ２（－１，－３）Ｃ．Ａ３（－３，２），Ｂ３（３，２），Ｃ３（－４，０）Ｄ．Ａ４（０，３），Ｂ４（０，１），Ｃ４（－１，－１）７．在平面直角坐标系中作出下列各点．Ａ（２，６） Ｂ（６，５） Ｃ（５，２）５ （１）写出下列各个变化：①Ｂ→Ｃ； ②Ａ→Ｃ； ③Ａ→Ｂ．（２）在①②③的变化中，你发现了什么规律？８．在如图所示的直角坐标系中：（１）将该图形向上平移２个单位，写出平移后各个点的坐标；（２）将该图形向左平移５个单位，写出平移后各个点的坐标；（３）将该图形先向右平移２个单位，再向下平移３个单位，写出平移后各个点的坐标；（４）比较这几种变化，你发现了什么规律？６ 第１３章 一次函数１３．１ 函数 相信同学们在预习这一节内容以后，一定能快速回答！１．一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量ｘ与ｙ，并且对于ｘ的每一个值，ｙ都有确定的值与其对应，那么我们就说ｘ是，ｙ是ｘ的．２．表示两个变量的函数关系主要有三种方法：、、． 请同学们独立完成下列问题：３．已知变量ｓ，ｔ，ｓ随ｔ的变化而变化，那么是自变量，是函数．４．在函数关系式Ｖ＝４３πＲ３中，是常量，是变量．５．已知长方形的面积为１０ｃｍ２，长ｙ（ｃｍ）是宽ｘ（ｃｍ）的函数，则ｙ关于ｘ的函数关系式为．１．光明中学栽下一棵２．５ｍ高的树苗，以后每年生长０．２ｍ，则几年后的树高ｌ与年数ｎ之间的函数关系式为．２．函数ｙ＝ｘ＋２ｘ的自变量ｘ的取值范围为；函数ｙ＝２ｘ－１ｘ－１的自变量ｘ的取值范围为．３．当ｘ＝５２时，函数ｙ＝２ｘ＋４的值为．４．已知三角形的底边长为４，高为ｘ，三角形的面积为ｙ，则ｙ与ｘ的函数关系式为．５．当ｘ＝时，函数ｙ＝２ｘ－１与ｙ＝３ｘ＋２有相同的函数值．６．王大爷去散步，从家走了２０ｍｉｎ，到一个离家９００ｍ的报亭看了１０ｍｉｎ的报纸后，用１５ｍｉｎ返回家．下列图象能表示王大爷离家时间与距离之间关系的是（ ）．７．“龟兔赛跑”是我们熟悉的一则寓言故事，下页图表示路程ｓ与时间ｔ之间的关系，请据图解答下列问题：（１）赛跑中，兔子共睡了多少分钟？（２）乌龟在这次赛跑中的平均速度是多少？８．甲、乙两地相距１００ｋｍ，一辆汽车以每小时４０ｋｍ的速度从甲地开往乙地，ｔｈ后与乙地相距ｓｋｍ．（１）求ｓ与ｔ之间的函数关系式；（２）求自变量的取值范围；（３）经过２ｈ后，汽车与乙地相距多少千米？（４）经过多少小时，汽车与乙地相距１０ｋｍ？１３．２ 一次函数第一课时 相信同学们在预习这一节内容以后，一定能快速回答！１．一般地，如果变量ｙ与变量ｘ有关系式ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ，ｂ为常数，且ｋ≠０），那么ｙ叫做ｘ的．一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ的图象是，其中ｋ叫做，ｂ叫做．特别地，当ｂ＝０时，一次函数便成为．２．一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ具有以下性质：当ｋ＞０时，ｙ随ｘ的增大而，图象是自左向右的直线；当ｋ＜０时，ｙ随ｘ的增大而，图象是自左向右的直线． 请同学们独立完成下列问题：３．已知一次函数ｙ＝ｘ＋２，该函数图象与ｘ轴的交点坐标是，与ｙ轴的交点坐标是．４．当ｍ＝时，ｙ＝（ｍ＋１）ｘ２ｍ－１是正比例函数．５．已知ｙ＝２ｘ＋３，其中ｙ随ｘ的减小而，该函数图象自右向左是的直线．１．若直线ｙ＝（３－４ｋ）ｘ＋２ｋ－１经过原点，则ｋ＝．２．已知ｍ是整数，且一次函数ｙ＝（ｍ＋４）ｘ＋（ｍ＋２）的图象不经过第二象限，则ｍ＝．３．直线ｙ＝３ｘ＋５的图象是直线ｙ＝３ｘ向平移个单位得到的．７８ ４．已知一次函数ｙ＝ｘ－２，该函数图象与ｘ轴的交点为Ａ，与ｙ轴的交点为Ｂ，则△ＯＡＢ的面积为．５．若直线ｙ＝ａｘ＋ｂ不经过第二象限，则直线ｙ＝ｂｘ＋ａ不经过（ ）．Ａ．第一象限Ｂ．第二象限Ｃ．第三象限Ｄ．第四象限６．一次函数ｙ＝ｋｘ－ｋ的图象的可能是（ ）．７．（１）已知ｙ＝（２ｍ－１）ｘｍ－３＋ｍ是一次函数，且ｙ随ｘ的增大而减小，求ｍ的值；（２）若ｙ＝（２ｍ－１）ｘｍ－３＋ｍ是一次函数，且该函数图象经过第一、二、三象限，求ｍ的值．８．某生产车间有工人２０名，已知每名工人每天可制造甲种零件６个或乙种零件５个，且每制造１个甲种零件可获利润１５０元，每制造１个乙种零件可获利润２６０元．已知车间每天安排ｘ名工人制造甲种零件，其余工人制造乙种零件．（１）请写出此车间每天所获利润ｙ（元）与ｘ（人）之间的函数关系式；（２）若要使该车间每天所获利润不低于２４０００元，至少要派多少名工人制造乙种零件？第二课时 相信同学们在预习这一节内容以后，一定能快速回答！１．先设所求的一次函数关系式为ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ，ｂ是待确定的系数），再根据已知条件列出关于ｋ，ｂ的方程组，求得ｋ，ｂ的值，这种确定关系式中系数的方法，叫做． 请同学们独立完成下列问题：２．ｙ与ｘ成正比例函数关系，且ｘ＝２时ｙ＝８，那么ｙ与ｘ之间的函数关系式为．３．请写出一个图象经过点（１，２）的正比例函数解析式： ．９ ４．已知直线ｙ＝２ｘ＋ｂ过点（－１，３），则ｂ＝．５．直线过（０，３）和（－２，０）两点，则此直线的解析式为 ．１．已知ｙ－２与ｘ成正比例，当ｘ＝－２时，ｙ＝４，则当ｘ＝２时，ｙ＝．２．已知一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ中自变量ｘ的取值范围为－２≤ｘ≤６，相应函数值范围为－１１≤ｙ≤９，则此函数解析式为 ．３．直线ｙ＝ｋｘ＋ｂ过点（０，６）且平行于直线ｙ＝３ｘ＋２，则此直线的解析式为 ．４．两个一次函数ｙ＝ａｘ＋ｂ和ｙ＝ｂｘ＋ａ在同一个直角坐标系中的图象可能是（ ）．５．弹簧的长度与所挂物体的质量的关系是一次函数．如图可知，不挂物体时弹簧的长度为（ ）．Ａ．９ｃｍ Ｂ．１０ｃｍＣ．１１ｃｍ Ｄ．１２ｃｍ６．一支蜡烛长２０ｃｍ，点燃后每小时燃烧５ｃｍ，燃烧时剩下的高度ｈ（ｃｍ）与燃烧时间ｔ（ｈ）的函数关系的图象是（ ）．７．一个有进水管与出水管的容器，单位时间内进出的水量都是一定的．设从某时刻开始的４ｍｉｎ内只进水不出水，在随后的８ｍｉｎ内既进水又出水，容器内的水量ｙ（Ｌ）与时间ｔ（ｍｉｎ）之间的关系如图所示．（１）求０≤ｘ≤４时，ｙ随ｘ变化的函数关系式；（２）求４＜ｘ≤１２时，ｙ随ｘ变化的函数关系式；（３）求每分钟进水和出水各多少升．１０ ８．某空中加油飞机接到命令，立即给另一架正在飞行的运输飞机进行空中加油．在加油过程中，设运输飞机的油箱余油量为Ｑ１ｔ，加油飞机的加油油箱余油量为Ｑ２ｔ，加油时间为ｔｍｉｎ，Ｑ１，Ｑ２与ｔ之间的函数关系如右图所示，结合图象回答下列问题：（１）加油飞机的加油油箱中装载了多少吨油？将这些油全部加给运输飞机需多少分钟？（２）求加油过程中，运输飞机的余油量Ｑ１（ｔ）与时间ｔ（ｍｉｎ）的函数关系式；（３）运输飞机加完油后，以原速度继续飞行，需１０ｈ到达目的地，问油料是否够用？请说明理由．１３．３ 一次函数与一次方程、一次不等式 相信同学们在预习这一节内容以后，一定能快速回答！１．直线ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠０）与ｘ轴交点的横坐标就是一元一次方程的解．２．一般地，一元一次不等式ｋｘ＋ｂ＞０（或ｋｘ＋ｂ＜０）的解集，就是使一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ取时ｘ的取值范围． 请同学们独立完成下列问题：３．如果一元一次方程３ｘ＋ｎ＝０的根是ｘ＝１，那么一次函数ｙ＝３ｘ＋ｎ的图象与ｘ轴交点的坐标为．４．一元一次不等式－２ｘ＋３＞０的解集可看做一次函数ｙ＝－２ｘ＋３取时，ｘ的．１．当自变量满足时，函数ｙ＝３ｘ＋８的值小于２．２．观察一次函数ｙ＝－３ｘ－６的图象，当函数值大于零时，ｘ的取值范围是．３．画出函数ｙ＝－ｘ＋４的图象，根据图象回答：当自变量满足时，函数的图象在ｘ轴下方．４．已知函数ｙ＝－２ｘ－１，当－１０≤ｘ≤１０时，函数值的取值范围为；当－１０≤ｙ≤１０时，自变量ｘ的取值范围为．５．已知函数ｙ１＝ｘ＋２和ｙ２＝－ｘ＋３，当时，ｙ１＞ｙ２；当时，ｙ１＜ｙ２；当时，ｙ１＝ｙ２．直线ｙ１＝ｘ＋２与ｙ２＝－ｘ＋３在直角坐标系中的交点坐标为．１１ ６．一次函数的图象如右图所示，则它的解析式为，方程－２ｘ＋２＝０的解为．７．利用函数图象法解方程或不等式：（１）２ｘ＋３＝ｘ－１；（２）３ｘ＋２＜２ｘ＋５．８．某图书馆开展两种方式的租书业务：一种是使用会员卡，另一种是使用租书卡，使用这两种卡租书，租书金额ｙ（元）与租书时间ｘ（天）之间的关系如图所示：（１）分别写出用租书卡和会员卡租书的租书金额ｙ（元）与租书时间ｘ（天）之间的函数关系式；（２）两种租书方式每天租书的收费分别是多少？（３）若两种租书卡的使用期限均为一年，则在一年中（按３６５天计）如何选取这两种租书方式比较划算？１３．４ 二元一次方程组的图象解法 相信同学们在预习这一节内容以后，一定能快速回答！１．二元一次方程２ｘ＋３ｙ＝５的图象就是一次函数的图象，它是一条直线．２．利用图象法解方程组是从研究问题． 请同学们独立完成下列问题：３．已知函数３ｘ＋５ｙ＝８，ｙ是ｘ的函数关系式为 ；ｘ是ｙ的函数关系式为 ．４．已知直线ｙ＝－ｘ＋ｍ与直线ｙ＝２ｘ－ｎ的交点坐标为（－３，２），则方程组ｘ＋ｙ＝ｍ，２ｘ－ｙ＝ｎ的解为．１２ ５．直线ｙ＝３ｘ－２和ｙ＝３ｘ＋１图象的位置关系为，由此可知方程组３ｘ－ｙ＝２，３ｘ－ｙ＝－１的解的情况为．１．如右图，两直线的交点坐标可看做方程组的解．２．方程组ｘ＋ｙ＝１１，ｘ－ｙ＝５的解为，则直线ｙ＝－ｘ＋１１和ｙ＝ｘ－５的交点坐标为．３．直线ｙ＝ｘ＋１和ｙ＝２ｘ－３的交点坐标为（４，５），当时，直线ｙ＝ｘ＋１上的点在直线ｙ＝２ｘ－３上相应点的上方；当时，直线ｙ＝ｘ＋１上的点在直线ｙ＝２ｘ－３上相应点的下方．４．已知直线ｙ＝３ｘ＋ｍ和直线ｙ＝－ｘ＋４的交点在ｘ轴上，则ｍ＝．５．下面的图象中，不可能是关于ｘ的一次函数ｙ＝ｋｘ－（ｋ－３）的图象的是（ ）．６．若二元一次方程组３ｘ＋ｙ＝－１，２ｘ＋ｋｙ＝－８有唯一的一组解，那么应满足的条件是（ ）．Ａ．ｋ＝２３Ｂ．ｋ≠２３Ｃ．ｋ＝－２３Ｄ．ｋ≠－２３７．如图，直线ｌ１，ｌ２相交于Ａ点，试求Ａ点的坐标．８．某电信公司开通了两种手机通讯业务，甲种业务：先缴５０元月租费，然后每通话１ｍｉｎ再付话费０．４元；乙种业务：不缴月租费，每通话１ｍｉｎ付话费０．６元（不包括长途）．若刘老师一个月通话ｘｍｉｎ．（１）分别写出刘老师使用甲种业务所付费用ｙ１和使用乙种业务所付费用ｙ２与ｘ的函数关系式，并画出它们的图象；（２）结合图象指出刘老师使用哪种业务较划算．１３ 第１４章 三角形中的边角关系１４．１ 三角形中的边角关系第一课时 相信同学们在预习这一节内容以后，一定能快速回答！１．三角形按边来分，有三条边互不相等的 ，也有两条边相等的 和三条边都相等的 ；按角来分，有三个角都是锐角的 ；有最大角是直角的 和最大角是钝角的 ．２．三角形中任何两边的和第三边；三角形中任何两边的差第三边． 请同学们独立完成下列问题：３．如右图，Ｄ，Ｅ是ＢＣ上两点，则图中有个三角形，它们分别是 ．４．有下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）．Ａ．１ｃｍ，２ｃｍ，３ｃｍＢ．１ｃｍ，４ｃｍ，２ｃｍＣ．２ｃｍ，４ｃｍ，３ｃｍＤ．６ｃｍ，２ｃｍ，３ｃｍ５．右图中有个直角三角形，分别记作 ．１．△ＡＢＣ中，ＡＢ＝４，ＢＣ＝５，则ＡＣ的取值范围是．２．用７根火柴棒首尾顺次连接摆成一个三角形，能摆成不同的三角形的个数为．３．如果一个等腰三角形的两边长分别为８和５，则这个三角形的周长为．４．下列各项中，不能组成三角形的是（ ）．Ａ．ｘ＋１，ｘ＋２，ｘ＋３（ｘ＞０）Ｂ．１，２，３Ｃ．３ｋ，４ｋ，５ｋＤ．６，１０，８５．若△ＡＢＣ的三边长是整数，周长为１１，且有一边长为４，则这个三角形的最大边长是（ ）．Ａ．４Ｂ．５Ｃ．６Ｄ．７６．如右图：（１）以ＡＣ为边的三角形有几个？（２）以点Ｂ为顶点的三角形有几个？（３）∠Ｂ是哪几个三角形的内角？（４）线段ＡＦ是哪几个三角形的边？１４ ７．三角形三边长是三个连续的自然数，且三角形的周长小于１５，求三边长．第二课时 相信同学们在预习这一节内容以后，一定能快速回答！１．三角形中，三条边、三个角是它的基本元素，此外，三角形还有的重要元素是、、． 请同学们独立完成下列问题：２．在△ＡＢＣ中，∠Ａ＋∠Ｂ＋∠Ｃ＝．若∠Ｃ＝９０°，则∠Ａ＋∠Ｂ＝，这个三角形是三角形．３．如右图，ＢＭ是△ＡＢＣ的中线，已知ＡＢ＝５ｃｍ，ＢＣ＝３ｃｍ，则△ＡＢＭ与△ＣＢＭ的周长差是．４．直角三角形三边上的高相交于．１．如下左图，ＡＤ是△ＡＢＣ一边上的中线，则分成的两个三角形的面积Ｓ△ＡＢＤＳ△ＡＣＤ．（填“＞”、“＝”或“＜”） ２．如上右图，连接四边形的一条对角线，将这个四边形分成两个三角形，由此推出四边形的内角和为．３．△ＡＢＣ中，若∠Ａ＝３０°，∠Ｂ＝１２∠Ｃ，那么∠Ｂ＝，∠Ｃ＝．４．△ＡＢＣ中，∠Ｂ＝４０°，∠Ｃ＝６０°，∠Ｂ与∠Ｃ的平分线交于Ｏ点，则∠ＢＯＣ＝．５．下列叙述中错误的是（ ）．Ａ．三角形的中线、角平分线、高都是线段Ｂ．三角形的三条角平分线都在三角形内部Ｃ．三角形的三条高线中至少有一条在三角形内部Ｄ．只有一条高在三角形内部的三角形一定是钝角三角形１５ ６．三角形的三个角中，最小的角为ｘ，则ｘ的取值范围是（ ）．Ａ．０°＜ｘ≤６０°Ｂ．６０°≤ｘ＜９０°Ｃ．０°＜ｘ≤４５°Ｄ．０°＜ｘ＜４５°７．如图，∠Ａ＝∠Ｃ，ＣＤ⊥ＡＢ，垂足为Ｄ，且交ＡＥ于点Ｆ，试判断△ＡＥＢ的形状，并说明你的理由．８．如图，在△ＡＢＣ中，∠Ｂ＝４０°，∠Ｃ＝６０°，ＡＥ是∠ＢＡＣ的平分线，ＡＤ是△ＡＢＣ的高，求∠ＤＡＣ，∠ＥＡＤ的度数．１４．２ 命题与证明第一课时 相信同学们在预习这一节内容以后，一定能快速回答！１．在逻辑学中， 的语句叫做命题．其中判断正确的命题，我们称之为 ；判断错误的命题，我们称之为 ．２．数学命题一般都可以写成“如果ｐ，那么ｑ”的形式，共中ｐ叫做这个命题的 ，ｑ叫做这个命题的 ；将命题“如果ｐ，那么ｑ”中的条件与结论互换，便得到一个新命题，我们将这样的两个命题称为 ，其中一个叫做 ，另一个就叫做 ． 请同学们独立完成下列问题：３．判断下列语句是否是命题：（１）作直线ＡＢ＝５ｃｍ；（２）明天下雨吗？（３）熊猫是植物；１６ （４）小明是一个中学生；（５）对顶角相等．４．写出下列命题中的条件和结论：如果两个角相等，那么它们是对顶角．５．将下列命题写成“如果ｐ，那么ｑ”的形式：等腰三角形的两底角相等．１．指出下列命题的条件和结论：（１）两条平行线被第三条直线所截，内错角相等；（２）如果ａ＝ｂ，ｂ＝ｃ，那么ａ＝ｃ；（３）等角的余角相等．２．把下列命题写成“如果ｐ，那么ｑ”的形式：（１）直角三角形两锐角互余；（２）对顶角相等．３．下列命题是真命题的是（ ）．Ａ．若ｘ＞ｙ，则ｘ２＞ｙ２Ｂ．若｜ｘ｜＝｜ｙ｜，则ｘ＝ｙＣ．若ｘ＞｜ｙ｜，则ｘ２＞ｙ２Ｄ．若ａ＜１，则ａ＞１ａ４．如图所示，如果ＡＢ∥ＣＤ，ＡＤ∥ＢＣ，试问：∠Ｂ与∠Ｄ相等吗？请说出你的理由．１７ ５．一个农夫要过河，他身边有一筐白菜，一只可爱的小白兔，一只小狗．而小船一次只能载他本人和一样东西过河．众所周知，小狗会吓跑小白兔，而小白兔最喜欢吃白菜．这可难倒了农夫．聪明的你来帮助农夫设计一个安全渡河的方案吧！６．现有Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ四名同学进行１００ｍ赛跑，当大家问他们谁是第一名时，Ａ说：“不是Ｂ．”Ｂ说：“是Ａ．”Ｃ说：“是Ｂ．”Ｄ说：“不是我．”已知他们四人中只有一个人说对了，请问谁是第一名？７．有三个人分别姓龙、牛、马，恰好这三个人的属相也是龙、牛、马．属牛的说：“我们三个人的属相与自己的姓都不一样．”姓马的说：“我姓马，但我也不属牛．”请你推测这三个人的姓与属相之间的关系．第二课时 相信同学们在预习这一节内容以后，一定能快速回答！１． 的真命题称为公理； ，并被选定作为判定其他命题真假的依据的真命题叫做定理．２．在证明命题时，要分清命题的条件和 ，首先，根据条件 ，再结合图形，１８ 写出 、 ，最后写出 ． 请同学们独立完成下列问题：３．“两点之间所有连线中，线段最短”是 （填“公理”或“定理”）．４．“对顶角相等”是 （填“公理”或“定理”）．１．命题有真假之分，要说明一个命题是假命题，只要 就可以了；而要说明一个命题是真命题，必须 ．２．“平行于同一条直线的两直线平行”，写出已知、求证： ．３．下列说法正确的有（ ）．①公理是真命题；②定理是公理推出来的真命题；③真命题一定是定理；④真命题是公理．Ａ．１个Ｂ．２个Ｃ．３个Ｄ．４个４．定理的正确性的证实是通过（ ）．Ａ．观察Ｂ．测量Ｃ．实验Ｄ．推理５．两角的平分线互相垂直的是（ ）．Ａ．对顶角Ｂ．同旁内角Ｃ．互补的两个角Ｄ．互为邻补角的两个角６．如下左图所示，直线ａ，ｂ被直线ｃ所截，现给出四个条件：①∠１＝∠５；②∠１＝∠７；③∠２＋∠３＝１８０°；④∠６＝∠８．其中能判定ａ∥ｂ的条件的序号是（ ）．Ａ．①②Ｂ．①③Ｃ．①④Ｄ．③④７．如上右图，已知：ＡＢ∥ＤＥ，∠１＝∠２．求证：ＡＥ∥ＤＣ．证明：∵ＡＢ∥ＤＥ（ ），∴∠１＝∠ＡＥＤ（ ）．∵∠１＝∠２（ ），∴（ ）．∴ＡＥ∥ＤＣ（ ）．８．如图，已知∠Ｂ＝∠Ｃ，ＡＥ∥ＢＣ，求证：ＡＥ平分∠ＤＡＣ．证明：∵ＡＥ∥ＢＣ（ ），∴∠ＤＡＥ＝∠Ｂ（ ）， ∠ＥＡＣ＝∠Ｃ（ ）．∵∠Ｂ＝∠Ｃ（ ），∴（ ），∴ＡＥ平分∠ＤＡＣ（ ）．第三课时 相信同学们在预习这一节内容以后，一定能快速回答！１．为了证明的需要，在原来图形上添画的线叫做 ．２．三角形三个内角和等于 ． 请同学们独立完成下列问题：３．如右图，四边形ＡＢＣＤ的内角和为 ．１．如下左图，若∠Ｂ＋∠ＢＤＥ＝１８０°，∠Ｃ＝６０°，则∠ＡＥＤ＝ ．２．如上右图，ＡＢ∥ＥＤ，则∠Ｂ＋∠Ｃ＋∠Ｄ＝ ．３．在△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝２∠Ａ，∠Ａ＋∠Ｂ＝１００°，则∠Ａ＝ ，∠Ｂ＝ ．４．等腰三角形中，已知一个角为８０°，则另外两个角为 ．５．如下左图，ＡＤ∥ＢＣ，ＡＢ平分∠ＤＡＣ，若∠Ｂ＝４０°，则∠Ｃ＝ ．６．三角形中，最大的内角应不小于（ ）．Ａ．３０°Ｂ．６０°Ｃ．９０°Ｄ．１２０°７．如上右图，△ＡＢＣ中，ＡＤ⊥ＢＣ，垂足为Ｄ，∠１＝∠Ｂ．求证：△ＡＢＣ为直角三角形．第四课时 相信同学们在预习这一节内容以后，一定能快速回答！１．三角形的一个外角等于 ；三角形的一个外角 与它不相邻的任何一个内角．２．由公理、定理直接得出的真命题，又称 ．１９２０ 请同学们独立完成下列问题：３．如下左图，已知∠ＤＡＣ＝１４０°，且∠Ｂ＝∠Ｃ，则∠Ｂ＝ ．４．如上右图，试判定∠１，∠２与∠Ａ的大小关系．１．△ＡＢＣ中，∠Ａ＝７０°，∠Ｂ的外角为１００°，则∠Ｃ＝ ．２．三角形的外角和等于 ；四边形的外角和等于 ．３．如下左图，已知∠Ａ＝５０°，∠ＡＢＤ＝２０°，∠ＡＣＤ＝４０°，则∠ＢＤＣ＝ ．４．如下中图，ＢＰ平分∠ＡＢＣ，ＣＰ平分∠ＡＣＤ，若∠Ａ＝６０°，则∠Ｐ＝ ． ５．如上右图所示，五角星中∠Ａ＋∠Ｂ＋∠Ｃ＋∠Ｄ＋∠Ｅ＝ ．６．下列说法中正确的是（ ）．Ａ．三角形的外角大于它的内角Ｂ．三角形的一个外角等于它的两个内角Ｃ．三角形的外角和是１８０°Ｄ．三角形的一个内角小于和它不相邻的外角７．如下页左图所示，下列关系成立的是（ ）．Ａ．∠１＋∠４＝∠２－∠３Ｂ．∠１＋∠４＝∠２＋∠３Ｃ．∠１＋∠２＝∠４－∠３Ｄ．∠１＋∠２＝∠３＋∠４８．如上右图，ＦＡ⊥ＥＣ，垂足为Ｅ，∠Ｆ＝４０°，∠Ｃ＝２０°，求∠ＦＢＣ的度数．２１２２ 第１５章 全等三角形１５．１ 全等三角形 相信同学们在预习这一节内容以后，一定能快速回答！１．全等三角形相等；相等．２．两边和对应相等的两个三角形全等，简记为“边角边”或．请同学们独立完成下列问题：３．已知△ＡＢＣ≌△ＤＥＦ，则相等的边有 ；相等的角有 ．４．已知△ＡＢＣ≌△Ａ′Ｂ′Ｃ′，若△ＡＢＣ的周长为２３，ＡＢ＝８，ＢＣ＝６，则ＡＣ＝，Ｂ′Ｃ′＝．５．如图，已知ＡＤ＝ＡＥ，∠１＝∠２，ＢＤ＝ＣＥ，那么有△ＡＢＤ≌，理由是．１．如下左图，若△ＡＢＣ≌△ＡＤＥ，∠ＥＡＣ＝３５°，则∠ＢＡＤ＝． ２．如上右图，已知△ＡＢＣ≌△ＢＡＤ，Ａ和Ｂ，Ｃ和Ｄ分别是对应顶点，如果ＡＢ＝６ｃｍ，ＢＤ＝７ｃｍ，ＡＤ＝５ｃｍ，则ＢＣ＝．３．如下左图，已知ＡＣ＝ＢＤ，要使得△ＡＢＣ≌△ＤＣＢ，根据你学过的知识，需添加的一个条件是 ．４．如上右图，△ＡＢＣ≌△ＡＥＦ，ＡＢ和ＡＥ，ＡＣ和ＡＦ是对应边，那么与∠ＥＡＣ的度数相等的角是（ ）．Ａ．∠ＡＣＢＢ．∠ＢＡＦＣ．∠ＣＡＦＤ．∠ＢＡＣ５．在△ＡＢＣ和△Ａ′Ｂ′Ｃ′中，若使△ＡＢＣ≌△Ａ′Ｂ′Ｃ′，必须满足条件（ ）．２３ Ａ．ＡＢ＝Ａ′Ｂ′，ＡＣ＝Ａ′Ｃ′，∠Ｂ＝∠Ｂ′Ｂ．ＡＣ＝Ａ′Ｃ′，ＢＣ＝Ｂ′Ｃ′，∠Ｂ＝∠Ｂ′Ｃ．ＡＣ＝Ａ′Ｃ′，ＢＣ＝Ｂ′Ｃ′，∠Ｃ＝∠Ｃ′Ｄ．ＡＢ＝Ａ′Ｂ′，ＢＣ＝Ｂ′Ｃ′，∠Ａ＝∠Ａ′６．△ＡＢＣ中，∠Ｂ＝∠Ｃ，若与△ＡＢＣ全等的一个三角形中有一个角为９５°，那么９５°角在△ＡＢＣ中的对应角是（ ）．Ａ．∠ＡＢ．∠ＢＣ．∠Ｂ或∠ＣＤ．∠Ａ或∠Ｂ７．已知△ＡＢＣ≌△ＤＥＦ，且∠Ａ＝５０°，∠Ｂ＝４５°，ＥＤ＝１０ｃｍ，求∠Ｆ的度数和ＡＢ的长．８．如图，已知ＡＢ∥ＤＣ，ＡＢ＝ＤＣ，试说明：ＡＤ∥ＢＣ．１５．２ 三角形全等的判定第一课时 相信同学们在预习这一节内容以后，一定能快速回答！１．两角和它们的对应相等的两个三角形全等，简记为“角边角”或；三边对应相等的两个三角形全等，简记为“边边边”或．２．三角形具有性． 请同学们独立完成下列问题：３．如下页左图，在Ｒｔ△ＡＢＣ和Ｒｔ△Ａ′Ｂ′Ｃ′中，∠Ｃ＝∠Ｃ′＝９０°，∠Ｂ＝∠Ｂ′，ＢＣ＝Ｂ′Ｃ′，则△ＡＢＣ≌△Ａ′Ｂ′Ｃ′，依据是 ．。
八年级上第06讲 轴对称及等腰三角形 讲义测试题(含答案)【精品】
轴对称及等腰三角形【精品】【知识导图】一、导入复习预习提出问题，引入新课1.有时我们感觉两个图形是轴对称的，如何验证呢？不折叠图形，•你能比较准备地作出轴对称图形的对称轴吗？2.轴对称图形性质．如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线．轴对称图形的对称轴，是任何一对对称点所连线段的垂直平分线．3.找到一对对应点，作出连结它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴了．4.问题：如何作出线段的垂直平分线？要作出线段的垂直平分线，根据垂直平分线的判定定理，到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，又由两点确定一条直线这个公理，那么必须找到两个到线段两端点距离相等的点，这样才能确定已知线段的垂直平分线．[例]如图（1），点A和点B关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？已知：线段AB【如图（1）】．求作：线段AB的垂直平分线．作法：如图（2）(1)．分别以点A、B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C和D两点；(2)．作直线CD．直线CD就是线段AB的垂直平分线．图中的五角星有几条对称轴？作出这些对称轴．作法：1．找出五角星的一对对应点A和A′，连结AA′．2．作出线段AA′的垂直平分线L．则L就是这个五角星的一条对称轴．用同样的方法，可以找出五条对称轴，所以五角星有五条对称轴．有两条边相等的三角形叫做等腰三角形相等的两边叫做等腰三角形的腰，第三边叫做底边腰与底边的夹角叫做底角两腰的夹角叫做顶角12考点1二、知识讲解考点2考点3等腰三角形的概念等腰三角形顶角的角平分线、底边的中线、底边上的高互相重合（也称等腰三角形三线合一），它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴等腰三角形的两个底角相等根据等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也相等，简称等角对等边如图所示，DE是线段AB的垂直平分线，下列结论一定成立的是（）A．ED=CD B．∠DAC=∠B C．∠C＞2∠B D．∠B+∠ADE=90°【答案】∵DE是线段AB的垂直平分线，∴AD=BD．∴∠B=∠BAD，∠ADE=∠BDE．∴∠B+∠ADE=90°其它选项无法证明其是正确的．故选D【解析】根据线段垂直平分线的性质得等腰三角形ADB，运用等腰三角形的性质得出尽量多的结论，与各选项进行比对，答案可得如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA=6cm，则线段PB的长度为________431例题2【答案】6cm【解析】∵直线CD是线段AB的垂直平分线，∴PA=PB，而PA=6cm，∴PB=6cm．故答案为6如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，则∠AOC=_______【答案】90°【解析】∵直线CD是线段AB的垂直平分线，∴AO⊥CD，∴∠AOC=90°，故答案为：90如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求：△ABC各角的度数．【答案】因为AB=AC，BD=BC=AD，所以∠ABC=∠C=∠BDC．∠A=∠ABD（等边对等角）．设∠A=x，则∠BDC=∠A+∠ABD=2x，从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x．于是在△ABC中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°，解得x=36°．在△ABC中，∠A=35°，∠ABC=∠C=72°．3例题4【解析】根据等边对等角的性质，我们可以得到∠A=∠ABD，∠ABC=∠C=∠BDC，•再由∠BDC=∠A+∠ABD，就可得到∠ABC=∠C=∠BDC=2∠A．再由三角形内角和为180°，•就可求出△ABC的三个内角．如图，等腰三角形ABC中，已知AB=AC，∠A=30°，AB的垂直平分线交AC于D，则∠CBD 的度数为°【答案】45【解析】根据三角形的内角和定理，求出∠C，再根据线段垂直平分线的性质，推得∠A=∠ABD=30°，由外角的性质求出∠BDC的度数，从而得出∠CBD=45°．解：∵△ABC是等腰三角形，∠A=30°，∴∠ABC=∠ACB=75°，∵AB的垂直平分线交AC于D，∴AD=BD，∴∠A=∠ABD=30°，∴∠BDC=60°，∴∠CBD=180°﹣75°﹣60°=45°．故填45如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E分别在AC，AB上，且BC=BD=DE=EA，则∠A的度数为【答案】解：∵AE=ED，∴∠ADE=∠A，∴∠DEB=∠A+∠ADE=2∠A，∵BD=ED，∴∠ABD=∠DEB=2∠A，5例题6∴∠BDC=∠A+∠ABD=3∠A，∵BD=BC，∴∠C=∠BDC=3∠A，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=3∠A，【解析】由已知根据等腰三角形的性质可得到几组相等的角，再根据三角形外角的性质可得到∠C与∠A之间的关系，从而再利用三角形内角和定理求解即可等腰三角形的一条边长为6，另一边长为13，则它的周长为多少？【答案】解：①当6为底时，其它两边都为13，6、13、13可以构成三角形，周长为32；②当6为腰时，其它两边为6和13，∵6+6＜13，∴不能构成三角形，故舍去，∴答案只有32【解析】．因为已知长度为6和13两边，没有明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，则这个等腰三角形的顶角是【答案】解：当高在三角形内部时（如图1），顶角是60°；当高在三角形外部时（如图2），顶角是120°．故答案为：60或120．【解析】等腰三角形的高相对于三角形有三种位置关系，三角形内部，三角形的外部，三角形的边上．根据条件可知第三种高在三角形的边上这种情况不成了，因而应分两种情况进行讨论．例题7例题8如图：点P为∠AOB内一点，分别作出P点关于OA、OB的对称点P1，P2，连接P1P2交OA于M，交OB于N，P1P2=15，则△PMN的周长为．【答案】15【解析】试题分析：因为P点关于OA、OB的对称点P1，P2，所以P1M=PM, P2N=PN,所以△PMN的周长=PM+PN+MN=P1M+P2N+MN= P1P2=15．考点：轴对称的性质如图：将一个长方形纸片ABCD，沿着BE折叠，使C、D点分别落在点C1、D1处，若∠C1BA ＝50°，则∠ABE的度数为．【答案】20°．【解析】试题分析：设∠ABE=x，根据折叠前后角相等可知，∠C1BE=∠CBE=50°+x，所以50°+x+x=90°，解得x=20°．故答案为：20°．已知MN是线段AB的垂直平分线，下列说法正确的是（）A．与AB距离相等的点在MN上B．与点A和点B距离相等的点在MN上C．与MN距离相等的点在AB上D．AB垂直平分MN【答案】B【解析】∵MN是线段AB的垂直平分线，∴与点A和点B距离相等的点在MN上，MN垂直平分AB．故B正确；A、C、D错误．P2P1NMOPBA910例题11如图，点D是线段AB与线段BC的垂直平分线的交点，∠B=40°，则∠ADC等于（）A．50° B．60° C．70° D．80°【答案】D【解析】连接BD，AC．设∠1=x，∵点D是线段AB与线段BC的垂直平分线的交点，∴AD=BD，BD=CD，∴∠1=∠2=x，∠4=∠ABD=40°+x，根据三角形的内角和定理，得∠ADB=180°-2∠4=100°-2x，∠BDC=180°-2x，∴∠ADC=∠BDC-∠ADB=80°．故选D下列说法中：①P是线段AB上的一点，直线l经过点P且l⊥AB，则l是线段AB的垂直平分线；②直线l经过线段AB的中点，则l是线段AB的垂直平分线；③若AP=PB，且直线l垂直于线段AB，则l是线段AB的垂直平分线；④经过线段AB的中点P且垂直于AB的直线l是线段AB的垂直平分线．其中正确的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C12例题13【解析】①P不是AB的中点，则l不平分线段AB，故错误；②直线l经过线段AB的中点，且垂直于AB则l是线段AB的垂直平分线，故错误；③若AP=PB，则P在线段AB的垂直平分线上，但l不一定是线段AB的垂直平分线，故错误；④正确．故选A14下列命题中正确的命题有（）①线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等；②线段上任一点到垂直平分线两端距离相等；③经过线段中点的直线只有一条；④点P在线段AB外且PA=PB，过P作直线MN，则MN 是线段AB的垂直平分线；⑤过线段上任一点可以作这条线段的中垂线．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【解析】①线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等，是线段垂直平分线的性质，符合逆定理，正确；②错误；这是对线段垂直平分线的误解；③有无数条，错误；④点P在线段AB外且PA=PB，过P作直线MN⊥AB，则MN是线段AB的垂直平分线，错误；⑤错误，这是对线段垂直平分线的误解；故选A1证明等腰三角形三线合一。
人教版数学八年级上册《轴对称》单元综合测试(含答案)
A.4B.6C.8D.10
【答案】C
【解析】
【分析】
根据 点在 的垂直平分线上得到AB=BD,所以∠D=∠BAD,所以∠ABC=30°,在△ABC中求出BD.
【详解】∠D=15°,B点在AD的垂直平分线上,则△ABD是等腰三角形,AB=BD,∠DAB=15°,∠ABC=30°.由于∠ACD=90°,则∠CAB=60°.AC=4,则AB=8.所以BD=8.
18.等腰三角形一腰上 高与另一腰的夹角为30度,则它的底角的度数为____
19.已知 、 ,点 在 轴上,若 是等腰三角形,则满足这样条件的 有________个．
三、解答题（共5小题,共58分）
20.如图,在等边三角形 中, 是 的中点,延长 到点 ,使 , ．
求 的长；
（2） 吗？为什么？
21.如图,点 是等边 内一点, , ．将 绕点 逆时针旋转 得 ,连接 ．
8.下列说法错误的是（）
A. 关于某直线对称的两个图形一定能够重合
B. 长方形是轴对称图形
C. 两个全等的三角形一定关于某直线对称
D. 轴对称图形的对称轴至少有一条
9.若等腰三角形的顶角为 ,则它一腰上的高与底边的夹角等于（）
A. B. C. D.
10.如图是小明在平面镜里看到的电子钟示数,这时的实际时间是（）
故选A
【点睛】本题考察轴对称图形的对称点的相关知识点,要牢固掌握对称轴相关性质,合理的与题目相结合.
8.下列说法错误的是（）
A.关于某直线对称的两个图形一定能够重合
B.长方形是轴对称图形
C.两个全等的三角形一定关于某直线对称
D.轴对称图形的对称轴至少有一条
第15章 轴对称图形和等腰三角形数学八年级上册-单元测试卷-沪科版(含答案)
第15章轴对称图形和等腰三角形数学八年级上册-单元测试卷-沪科版(含答案)一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，矩形ABCD中，E是AB的中点，将△BCE沿CE翻折，点B落在点F处，tan∠BCE= ．设AB=x，△ABF的面积为y，则y与x的函数图象大致为A. B. C. D.2、下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A. B. C.D.3、如图，将一个三角形纸片ABC沿过点B的直线折叠，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则下列结论一定正确的是（）A.AD=BDB.AE=ACC.ED+EB=BDD.AE+CB=AB4、如图，在△ABC中，AB=6，AC=4，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC 分别交AB、AC于M、N，则△AMN的周长为（）A.10B.6C.4D.不确定5、如图，折叠长方形纸片ABCD的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，已知AB＝8cm，BC＝10cm，则折痕AE的长为（）A. cmB. cmC.12cmD.13 cm6、下列图形中，是轴对称图形的是（）A. B. C. D.7、如图，已知正方形ABCD的边长为12，BE=EC，将正方形边CD沿DE折叠到DF，延长EF 交AB于G，连接DG，现在有如下4个结论：①△ADG≌△FDG；②GB=2AG；③△GDE∽△BEF；④S△BEF=．在以上4个结论中，正确的有（）A.1 B.2C.3D.48、如图，已知，点P在边上，，点M，N在边上，，若，则（）A.8B.6C.5D.39、如图，在矩形ABCD中，点F在AD上，点E在BC上，把这个矩形沿EF折叠后，使点D 恰好落在BC边上的G点处，若矩形面积为4 且∠AFG=60°，GE=2BG，则折痕EF的长为（）A.1B.C.2D.10、如图，在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为D，CE平分∠ACB．若BE=2，则AE的长为（）A. B.1 C. D.211、如图，在△ABC中，按以下步骤作图:①分别以点B和C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N ；②作直线MN交AC于点D，连接BD。
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第16章轴对称图形与等腰三角形单元测试题号一1 二2 三3 四4 五5 六6 七7 八8 得分
度的反复训练才能取得跟多的收获，我们设计的试卷主要就是从这点出发，所以从你下载这张试卷开始，就与知识接近了一步。
一、选择题（每小题3分，共18分）
1．已知等腰三角形ABC的底边BC=8cm，且AC BC
=2cm，则腰AC的长为（）A．10cm或6cm B．10cm C．6cm D．8cm或6cm
2．已知∠AOB=30°，点P在∠AOB的内部，
1
P与P关于OB对称，
2
P与P关于OA对称，
则
12
POP
△是（）
A．直角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．等边三角形
3．如图1，将△ABC变换到△A′B′C′的位置，则你从图中观察
发现下列说法正确的是（）
A．△ABC与△A′B′C′是关于x轴对称的
B．△ABC与△A′B′C′是关于y轴对称的
C．△ABC与△A′B′C′是关于点O对称的
D．△ABC与△A′B′C′既关于x轴对称，又关于y轴对称
4．如图2，一张长方形纸片沿AB对折，以AB中点O 为顶点将平角五等分，并沿五等分的折线折叠，再沿CD剪开，使展开后为正五角星（正五边形对角线所构成的图形），则∠OCD等于（）
A．108°B．114°C．126°D．129°
5．有一等腰直角三角形纸片，以它的对称轴为折痕，将三角形对折，得到的三角形还是等腰直角三角形（如图3）．依照上述方法将原等腰直角三角形折叠四次，所得小等腰直角
图3
图1
B
O
x
A A′
C′
B′
C
y
图2
三角形的周长是原等腰直角三角形周长的（）
A．
1
2
B．
1
4
C．
1
8
D．
1
16
6．如图4所示，将矩形纸片ABCD沿虚线EF折叠，使点A落在点G上，点D落在点H 上；然后再沿虚线GH折叠，使B落在点E上，点C落在点F上；叠完后，剪一个直径在BC上的半圆，再展开，则展开后的图形为（）．
图4
二、填空题（每小题3分，共24分）
7．周长为13，边长为整数的等腰三角形共有______个．
8．小明从镜子里看到镜子对面的钟表里的时间是2点30分，实际时间为______．
9．等腰三角形两腰上的高相交所成的钝角为100°，则顶角的度数为______，底角的度数为______．
10．在平面直角坐标系中，点A，B，C，D的坐标分别为（1-，3），（2-，-4），（1，3），（2，-4），则线段AB与CD的位置关系是______．
11．在如图5所示的4×4正方形网格中．∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝______．
图5
12．如图6，△ABC中，∠B＝∠C，FD⊥BC于D，DE⊥AB于E，∠AFD＝158°，则EDF
∠等于______．
13．若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的底角
为______．
14．如图7是跳棋盘，其中格点上的黑色点为棋子，剩余的格点上没有棋
A
C
E
F
图6
B
D
子．我们约定跳棋游戏的规则是：把跳棋棋子在棋盘内，沿着棋子对称跳行，跳行一次称为一步．己知点A 为己方一枚棋子，欲将棋子A 跳进对方区域（阴影部分的格点），则跳行的最少步数为 步．
图7
三、解答题（本大题共56分）
15．（本题10分）如图8，在正方形网格上有一个△ABC ． （1）作△ABC 关于直线MN 的对称图形（不写作法）； （2）若网格上的最小正方形的边长为1，求△ABC 的面积．
图8
16．（本题10分）已知△ABC 中，∠C =90°，沿过B 的一条直线BE 折叠这个三角形，使点
C 与AB 边上的一点
D 重合，如图9所示．
（1）要使D 恰为AB 的中点，还应添加一个什么条件？（请写出一个你认为正确的添加条
件）
（2）将（1）中的添加条件作为题目的补充条件，试说明其能使D 为AB 中点的理由． 解：（1）添加条件：______； （2）说明：
A
B
C
D
E
图9
17．(本题10分)如图10，AB ＝AE ，∠ABC ＝∠AED ，BC ＝ED ，点F 是CD 的中点． （1）求证：AF ⊥CD ；
（2）在你连接BE 后，还能得出什么新的结论？请写出三个（不要求证明）．
18．(本题12分)为了美化环境，在一块正方形空地上分别种植四种不同的花草．现将这块空地按下列要求分成四块：⑴分割后的整个图形必须是轴对称图形;⑵四块图形形状相同;⑶四块图形面积相等．现已有两种不同的分法： （1）分别作两条对角线（图11）
（2）过一条边的三等分点作这边的垂线段（图12）（图12中两个图形的分割看作同一方法）
请你按照上述三个要求，分别在下面三个正方形中给出另外三种不同的分割方法（只要求正确画图，不写画法）．
A
B
C
D
E
图
10
F
图11
图12
19．（本题14分）用围棋棋子可以在棋盘中摆出许多有趣的图案．如图13，在棋盘上建立平面直角坐标系，以直线y ＝x 为对称轴，我们可以摆出一个轴对称图案（其中A 与A '是对称点），你看它像不像一条美丽的鱼．
（1）请你在图14中，也用10枚以上的棋子摆出一个以直线y ＝x 为对称轴的轴对称图案，并在所作的图形中找出两组对称点，分别标为B －B '，C －C '（注意棋子要摆在格点上）． （2）在给定的平面直角坐标系中，你标出的B －B ′，C ， C '的坐标分别是：B （______），
B '（______）
，C （______），C '（______）；根据以上对称点坐标的规律，写出点()P a b ，关于对称轴y ＝x 的对称点P '的坐标是（______）．
参考答案
一、选择题
1．A2．D3．B4．C5．B6．B
二、填空题
7．3 8．9点30分9．80°，50°10．关于y轴成轴对称11．315°12．68°13．15°或75°14．3
三、解答题
15．（1）图略；（2）2.5
16．（1）∠A=30°(答案不惟一)
（2）证明:∵∠A=30°，∠C=90°，∴AB=2BC．
由已知C与D重合，∴22
AB BC BD
==．∴D为AB中点17．（1）证明：连接AC，AD．
在△ABC和△AED中，
AB AE ABC AED BC ED
=
⎧
⎪
=
⎨
⎪=
⎩
∴(SAS)
ABC AED
△≌△．∴AC=AD．
∴△ACD为等腰三角形．又∵F是CD中点，
∴AF CD
⊥．
（2）略．
18．答案不惟一．
19．略．
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