二元一次方程及其解法

一、问题引入

问题一：如图，已知一个矩形的宽为3，周长为24，求矩形的长。如果我们设长为x ，则可

列方程为：x ＋3＝12 ；如果把问题中矩形的宽改为y ，则可得到什么样的等量关系！ 解：x ＋y ＝12

问题二：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？

解：如果设鸡有x 只，兔有y 只，则可列方程为：

x ＋y ＝35 2x ＋4y ＝94

1.二元一次方程的概念：含有两个未知数，且含未知数的项的次数为1的整式方程叫做二元一次方程。 例1.下列方程组中，哪些是二元一次方程组_______________

判断一个一个方程时候为二元一次方程的三个要素： ①含有两个未知数 ②未知数的次数为1

③整式方程 （与分式区分开来）

想一想：二元一次方程的解与一元一次方程的解有什么区别？

①二元一次方程的解是成对出现的； ②二元一次方程的解有无数个； ③一元一次方程的解只有一个。

例2 若方程 是二元一次方程，求m 、n 的值． 分析： 变式： 方程 是二元一次方程，试求a 的值． 注意：

①含未知项的次数为1； ②含有未知项的系数不能为0

2.二元一次方程组的解

二元一次方程组的解法，即解二元一次方程的方法；今天我们就一起探究一下有什么方法能解二元一次方程组。

2、把下列各对数代入二元一次方程３x+2y=10，哪些能使方程两边的值相等？ (1)X=2,y=2 是 (2)x=3,y=1 否 (3)x=0,y=5 是 (4)x=2/3,y=6 是

解析：把x ＝2，y ＝2代入方程3x ＋2y ＝10，

2(1)3x y y z +=⎧⎨

+=⎩，5(2)6

x y xy +=⎧⎨

=⎩，

7(3)6

a b b -=⎧⎨=⎩，

2(4)13x y x y +=-⎧⎪⎨-=⎪⎩，52(5)122

y x x y

=-⎧⎪

⎨+=⎪⎩，25(6)312

x y -=⎧⎨

+=⎩，213257m n x y --+=211

321

m n -=⎧⎨-=⎩1

(2)2a x a y -+-=

左边＝3*2＋2*2＝10＝右边．

概括总结：使一个二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫二元一次方程的解。

3、二元一次方程2x+y=10的解有多少个？

指出：一般地，二元一次方程的解有无数个

设问：是否x 、y 任意取两个数都是这个方程的解？

练一练：1、若 =-⎧⎨=⎩

x 1

y 2是关于 x 、y 的方程 5x +ay = 1 的解，则a=（ ）.

2、方程组 +=⎧⎨

-=⎩y z 180y z （）的解是 =⎧⎨=

⎩y 100

z （）.

3、若关于x 、y 的二元一次方程组––=⎧⎨+=⎩4x 3y 1

kx k 1y 3（）的解x 与 y 的值相等，则k =（ ）.

3、用一个未知数表示另一个未知数

例1、某球员在一场篮球比赛中共得35分(其中罚球得10分).问:他分别投中了多少个两分球和三分球?

解：设他投中x 个两分球、y 个三分球， 那么 2x+3y=35－10, 即 2x+3y=25.

例2、已知二元一次方程 x+y=10 (1)用关于x 的代数式表示y 解：y=10 － x

(2)用关于y 的代数式表示x 解：x=10 －y

变式训练1：已知二元一次方程 3x+y=10.

（1）用关于x 的代数式表示y （2）用关于y 的代数式表示x.

变式训练2：已知二元一次方程 3x+2y=10

(1) 用关于x 的代数式表示y ；

(2) 求当x= －2，0，3时,对应的y 的值, 并写出方程3x ＋2y=10的三个解.

想一想：(1)24x y ，所以________x ；

(2)345x

y ，所以________x ，________y

；

(3) 2y x =,所以x = ，________y ．

总结出用一个未知数表示另一个未知数的方法步骤：

①被表示的未知数放在等式的左边，其他的放在等式的右边． ②把被表示的未知数的系数化为1．

4.二元一次方程的解法

（1）用代入法解二元一次方程组

将方程组中的一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示，并代入到另一个方程中，消去一个未知数，得到一元一次方程，最后求得方程组的解，这种解方程组的方法叫做代入消元法，简称代入法.

代入消元法解方程组的步骤是： ①用一个未知数表示另一个未知数；

②把新的方程代入另一个方程，得到一元一次方程（代入消元）； ③解一元一次方程，求出一个未知数的值；

④把这个未知数的值代入一次式，求出另一个未知数的值； ⑤检验，并写出方程组的解.

例3：方程组

92x

y y x ……①

………②

解：把②代入①得，29x

x 3x 9 3x

把x=3代入②，得

6y

所以，原方程组的解是

36

x y 总结：解方程组的方法的图解：

练一练： 1、如果31014x

y ，那么x =________；

2、解方程组

35,23 1.

x y x y

3、解方程组

31014101532

x y x y

3、以⎩⎨⎧-=-=5.05.1y x 为解的方程组是（ ）

A. ⎩⎨⎧=-+=--0

5301y x y x B.

⎩⎨

⎧=++=+-0

530

1y x y x C. ⎩⎨

⎧-=+=-y

x y x 531

D. ⎩⎨

⎧=+=-5

31

y x y x 4、用代入消元法解下列二元一次方程组：

（1）23321y x x y =-⎧⎨

+=⎩ （2）⎩⎨

⎧-=-=+4

23

57y x y x （3） 23

3418

x y

x y ⎧=⎪

⎨⎪+=⎩