振动之弹簧振子的能量
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{范例5.4} 弹簧振子的能量
弹簧振子的质量为m，劲度系数为k，振幅为A，求弹簧 振子的动能和平均势能、势能和平均势能以及机械能。
由于系统的动能和势能是周期性变化的， 只需要考虑一个周期内的平均值就行了。
平均动能为
T
1
T0
Tdt
1
T0
m2 A2 sin2 (t )dt
1
kA2T0 1 [1 cos 2(t )]dt
T0 0
2T0
0
2T0 0 2
1
kA2[t
1
T0
sin 2(t )]
百度文库
4T0
2
0
即 T 1 kA2 4
平均势能为
V
1 T0
T0
Vdt
0
1 2T0
T0
kA2
0
cos2 (t
)dt
1 2T0
T0
kA2
0
1 [1 cos 2(t
2
)]dt
即 V 1 kA2 4
可知：系统的平均动能等于平均 势能，等于总的机械能的一半。
取初相位为零，位移随 时间按余弦规律变化， 速度按正弦规律变化。
动能和势能则分别按正弦平方和 余弦平方的规律变化，其周期只 有位移和速度周期的一半， 这是因 为在一 个周期 之内， 动能和 势能两 次取得 极大值 或极小 值。
总机械能保持不变。
弹簧振子的质量为m，劲度系数为k，振幅为A，求弹簧 振子的动能和平均势能、势能和平均势能以及机械能。
由于系统的动能和势能是周期性变化的， 只需要考虑一个周期内的平均值就行了。
平均动能为
T
1
T0
Tdt
1
T0
m2 A2 sin2 (t )dt
1
kA2T0 1 [1 cos 2(t )]dt
T0 0
2T0
0
2T0 0 2
1
kA2[t
1
T0
sin 2(t )]
百度文库
4T0
2
0
即 T 1 kA2 4
平均势能为
V
1 T0
T0
Vdt
0
1 2T0
T0
kA2
0
cos2 (t
)dt
1 2T0
T0
kA2
0
1 [1 cos 2(t
2
)]dt
即 V 1 kA2 4
可知：系统的平均动能等于平均 势能，等于总的机械能的一半。
取初相位为零，位移随 时间按余弦规律变化， 速度按正弦规律变化。
动能和势能则分别按正弦平方和 余弦平方的规律变化，其周期只 有位移和速度周期的一半， 这是因 为在一 个周期 之内， 动能和 势能两 次取得 极大值 或极小 值。
总机械能保持不变。