复习课(三) 指数函数、对数函数和幂函数

的值域为[1,9]．
答案：C
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2．已知幂函数 f(x)＝(n2＋2n－2)·xn2－3n(n∈Z )的图象关于 y 轴
对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则 n 的值为
()
A．－3
B．1
C．2
D．1 或 2
解析：由于 f(x)为幂函数，所以 n2＋2n－2＝1，解得 n＝1 或
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[典例] (1)设 a，b 都是不等于 1 的正数，若 3a>3b>3， 则 loga3 和 logb3 的大小关系为________．
(2) 若函数 f(x)＝xln(x＋ a＋x2)为偶函数，则 a＝ ________.
(3)若函数 f(x)＝－ 3＋x＋ log6a，x，x≤x＞2，2 (a＞0，且 a≠1) 的值域是[4，＋∞)，则实数 a 的取值范围是________．
________．
(2)若函数 f(x)＝|2x－2|－b 有两个零点，则实数 b 的
取值范围是________．
(3)若 x0 是方程 2x＋x－8＝0 的解且 x0∈(k，k＋1)，
k∈Z ，则 k＝________.
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[解析] (1)由已知条件可得 g(x)＝3－f(2－x)＝
底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧．
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[题组训练]
1．lg52＋2lg 2－12－1＝________. 解析：lg52＋2lg 2－12－1＝lg 5－lg 2＋2lg 2－2
结束
＝(lg 5＋lg 2)－2＝1－2＝－1.
答案：－1 2．已知 4a＝2，lg x＝a, 则 x＝________.
又由 f(m)＝f(n)得，m·n＝1，
由 0＜m＜1 得 0＜m2＜1＜n，
由图象可知 f(x)max＝f(m2)， 即|log2m2|＝2，∴－2log2m＝2，∴log2m＝－1，
∴m＝12，从而 n＝2，∴m＋n＝2＋12＝52.
[答案]
(1)C
5 (2)2
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[类题通法] 在判断函数图象时，要充分利用特殊点以及图象的 对称关系来判断，对于图象的应用作图要准确，否则结 论易出错．
[答案] (1)loga3＜logb3 (2)1 (3)(1,2]
(4)－32
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[类题通法] 解决此类问题要熟练掌握指数函数、对数函数的图 象和性质，方程、不等式的求解可利用单调性进行转化， 对含参数的问题进行分类讨论，同时还要注意变量本身 的取值范围，以免出现曾根；比较大小问题可直接利用 单调性和中间值解决．
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函数与方程
[考点精要]
函数 y＝f(x)－g(x)的零点就是方程 f(x)＝g(x)的根， 也就是函数 y＝f(x)和 y＝g(x)交点的横坐标．
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[典例]
(1)已知函数
f(x)
＝
2－|x|，x≤2， x－22，x>2，
函数
g(x)＝3－f(2－x)，则函数 y＝f(x)－g(x)的零点个数为
n＝－3.当 n＝1 时，f(x)＝x－2＝x12关于 y 轴对称，且在(0，＋
∞)上是减函数；当 n＝－3 时，f(x)＝x18 在(0，＋∞)上是增函
数．故 n＝1 符合题意，应选 B. 答案：B
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3．若函数 f(x)＝loga(3－ax)在区间(2,6)上递增，则实数 a 的取 值范围是________． 解析：由题意得 0＜a＜1，且 3－ax 在区间(2,6)上恒大于 零，∴3－6a≥0，∴a≤12，∴0＜a≤12. 答案：0，12
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[类题通法]
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指数、对数的运算应遵循的原则
(1)指数式的运算：
①注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为
分数指数幂运算．
②若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的
目的．
(2)对数式的运算：
①注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价．
②熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式、换
(1)logaMN＝logaM＋logaN；
(2)logaMN ＝logaM－logaN；
(3)logaMn＝nlogaM.
3．对数恒等式：alogaN＝N(a＞0 且 a≠1)．
4．换底公式：logaN＝llooggccNa (a＞0 且 a≠1，c＞0 且 c≠1，N＞0)．
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[题组训练]
1．已知 f(x)＝3x－b(2≤x≤4，b 为常数)的图象经过点(2,1)，则
f(x)的值域为
()
A．[9,81]
B．[3,9]
C．[1,9]
D．[1，＋∞)
解析：由 f(x)过定点(2,1)可知 b＝2，因为 f(x)＝3x－2 在[2,4]
上是增函数，f(x)min＝f(2)＝1，f(x)max＝f(4)＝9，所以 f(x)
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[解析]
(1)原式＝234
3 4
＋log354×45＝23－3＝287.
(2)log2 22＝log2 2－log22＝12－1＝－12.
＝3 3.
(3)f(－2)＝1＋log2(2＋2)＝1＋log24＝1＋2＝3. ∵log212>1，∴f(log212)＝2log212－1＝122＝6. ∴f(－2)＋f(log212)＝3＋6＝9. [答案] (1)287 (2)－12 3 3 (3)9
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(4)当 a>1 时，函数 f(x)＝ax＋b 在－1，0上为增函 数，由题意得aa－ 0＋1＋b＝b＝0－1， 无解．
当 0<a<1 时，函数 f(x)＝ax＋b 在[－1,0]上为减函数， 由题意得aa－ 0＋1＋b＝b＝－0，1，
解得a＝12， b＝－2，
所以 a＋b＝－32.
(3)(二分法)主要用于求函数零点的近似值．
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[题组训练]
1．已知 f(x) 是定义在 R 上的奇函数，当 x≥0 时， f(x)＝
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复习课(三) 指数函数、对数函数和幂函数
指数、对数的基本运算
[考点精要]
1．有理数指数幂的运算性质 (1)as·at＝as＋t；(2)(as)t＝ast；(3)(ab)t＝atbt， 其中 s，t∈Q ，a＞0，b＞0.
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2．对数的运算性质
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若 a＞0 且 a≠1，M＞0，N＞0，则
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4．函数 f(x)＝log2 x·log 2(2x)的最小值为________．
解析：依题意得 f(x)＝12log2x·(2＋2log2x)＝(log2x)2＋log2x
＝log2x＋122－14≥－14，当且仅当
log2x＝－12，即
x＝
1时 2
等号成立，因此函数 f(x)的最小值为－14. 答案：－14
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[典例]
(1)计算：1861
3 4
＋log354＋log
1 3
54＝________.
(2)计算：log2 22＝________，2log23＋log43＝________. (3)设函数 f(x)＝21x＋－1l，ogx2≥2－1，x，x<1， 则 f(－2)＋f(log212) ＝________.
|x－2|＋1，x≥0， 3－x2，x<0.
函数 y＝f(x)－g(x)的零点个数即为
函数 y＝f(x)与 y＝g(x)图象的交点个数，在平面直角坐标
系内作出函数 y＝f(x)与 y＝g(x)的图象如图所示．
由图可知函数 y＝f(x)与 y＝g(x)的图象有 2 个交点， 所以函数 y＝f(x)－g(x)的零点个数为 2.
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[题组训练]
1．函数 y＝ax－1a(a＞0 且 a≠1)的图象可能是
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()
答案：D
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2．已知 f(x)＝logax(a＞0，a≠1)，若对任意的 x∈13，2，不等 式|f(x)|≤1 恒成立，则 a 的取值范围是________． 解析：设 g(x)＝|logax|，作出 g(x)图象，如图， 由图象可知f12＝|f(2)|， 要使不等式恒成立，只要使f13≤1 即可， 即loga13≤1，∴－1≤loga13≤1，∴loga1a≤loga13≤logaa，
(4)已知函数 f(x)＝ax＋b(a>0，a≠1)的定义域和值域 都是[－1,0]，则 a＋b＝________.
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[解析] (1)由 3a＞3b＞3，可知 a＞b＞1，∴loga3＜logb3. (2)∵f(x)为偶函数，∴f(－x)－f(x)＝0 恒成立， ∴－xln(－x＋ a＋x2)－xln(x＋ a＋x2)＝0 恒成立， ∴xln a＝0 恒成立，∴ln a＝0，即 a＝1. (3)当 x≤2 时，y＝－x＋6≥4. ∵f(x)的值域为[4，＋∞)， ∴当 a＞1 时，3＋logax＞3＋loga2≥4，∴loga2≥1， ∴1＜a≤2； 当 0＜a＜1 时，3＋logax＜3＋loga2，不合题意． 故 a∈(1,2]．
∵f(2)＝－2＜0，f(3)＝3＞0， ∴在区间(2,3)上存在唯一零点，故 k＝2. [答案] (1)2 (2)(0,2) (3)2
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[类题通法] 函数零点的求法
(1)(代数法)求方程 f(x)＝0 的实数根(常用公式法、因 式分解、直接求解等)；
(2)(几何法)对于不能用求根公式的方程，可以将它 与函数 y＝f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出 零点；
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若 a＞1，则1a≤13≤a， 解之 a≥3，若 0＜a＜1，则1a≥13≥a， 解之得 0＜a≤13. 答案：0，13∪[3，＋∞)
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指、对、幂函数的性质
[考点精要]
(1)指、对数函数的单调性由底的范围而定． 若 a＞1，y＝ax(a＞0，且 a≠1)及 y＝logax(a＞0，且 a≠1) 在定义域内单调增． 若 0＜a＜1，y＝ax(a＞0，且 a≠1)及 y＝logax(a＞0，且 a≠1)在定义域内单调减． 幂函数 y＝xα 单调性由幂指数的 α 来确定 当 α＞0 时，幂函数 y＝xα 在(0，＋∞)单调增， 当 α＜0 时，幂函数 y＝xα 在(0，＋∞)单调减． (2)对于复合函数单调性可按口诀同性增异性减来确定．
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[解析] (1)由函数 f(x)＝ax＋b 的图象，可
得 a>1，b∈(－1,0)，函数 g(x)＝loga(x＋b)的图
象可以看作函数 h(x)＝logax 的图象向右平移|b|
个单位长度得到的，所以函数 g(x)＝loga(x＋b)
的图象可能是 C，故选 C.
(2)画出 f(x)＝|log2x|图象，由图可知 0＜m＜1，n＞1，
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(2)由 f(x)＝|2x－2|－b＝0，得|2x－2|＝b. 在同一平面直角坐标系中画出 y＝|2x－ 2|与 y＝b 的图象，如图所示， 则当 0＜b＜2 时，两函数图象有两个交 点，从而函数 f(x)＝|2x－2|－b 有两个零点．
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(3)设 f(x)＝2x＋x－8，则 f(x)在 R 上是单调增函数．
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对数函数 的图象
指数函数 的图象
指、对、幂函数图象
[考点精要]
指、对函数的图象
a＞1
0＜a＜1
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[典例] (1)若函数 f(x)＝ax＋b 的图象如图所示，则函数
g(x)＝loga(x＋b)的图象可能是
()
(2)已知函数 f(x)＝|log2x|，若 0＜m＜n 且 f(m)＝f(n)，若 f(x)在 [m2，n]上最大值为 2，则 m＋n＝________.
解析：由已知 4a＝2⇒a＝log42＝12，又 lg x＝a⇒x＝10a
1
＝10 2 ＝ 10.
答案： 10
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3．已知函数 f(x)＝2－x－lo1－g22x，＋x1≤，1，x>1， 且 f(a)＝－3， 则 f(6－a)＝________. 解析：由于 f(a)＝－3， ①若 a≤1，则 2a－1－2＝－3，整理得 2a－1＝－1. 由于 2x>0，所以 2a－1＝－1 无解； ②若 a>1，则－log2(a＋1)＝－3，解得 a＋1＝8，a＝7， 所以 f(6－a)＝f(－1)＝2－1－1－2＝－74. 综上所述，f(6－a)＝－74. 答案：－74