状态空间与simulink仿真

考虑以下系统

u x X ⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=102101110221

[]x

y 001=

对系统设计一个状态反馈控制器使得闭环阶跃响应的超调量小于5%，且在稳态值1%范围的调节时间小于4.6S 。

○

1主导二阶极点方法配置极点 分析：

超调量小于5%，即

%521≤--ξξπ

e

算得69.0≥ξ

稳态值1%范围的调节时间小于4.6S ，即

6.46

.4≤=σs t

1≥σ

下面首先对系统的能控性进行判断，以编程方式实现

a=[-1 -2 -2;0 -1 1;1 0 -1];

b=[2;0;1]; %输入a ，b 矩阵

q=[b a*b a^2*b]

rank(q)

计算结果为

⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=511010042q

q 的秩为3

因此该系统为完全能控型系统，在满足系统要求的前提下，理论上能任意配置期望极点

下面根据具体的求解思路进行编程求解反馈控制器k

g=poly(a); %求原系统的特征方程

a2=g(2);a1=g(3);a0=g(4);

w=[1 0 0;a2 1 0;a1 a2 1];

q1=[a^2*b a*b b];

p=q1*w; %求解转换矩阵

deta=1;

zeta=0.75;

wn=deta/zeta; %输入满足条件的ζ和δ

den=conv([1 4],[1 2*deta wn^2]); %输入期望极点（-4,-1±0.88i ） aa2=den(2);aa1=den(3);aa0=den(4);

k=[aa0-a0 aa1-a1 aa2-a2];

k1=k*(inv(p)) %输出配置矩阵k

得到[]0444.06444.14778.11=k

下面对系统进行验证，是否满足条件

ahat=a-b*k1;

bhat=b;

chat=[1 0 0];

dhat=0;

sys=ss(ahat,bhat,chat,dhat);

step(sys,'r');

sys1=ss(a,b,c,d);

hold on;

grid on; step(sys1,'.-');

（其中sys1为未加控制器的原系统）

由图可知，系统在进行配置之前并未满足系统要求，在增加控制器之后，系统要求得到满足。

○

2对称根轨迹（SRL ）方法配置极点 将SRL 方程写成标准的根轨迹形式

0)()()()(1=--+s D s D s N s N ρ 由此，我们需要先将上面的状态空间形式转换为传递函数形式，编程实现如下： a=[-1 -2 -2;0 -1 1;1 0 -1];

b=[2;0;1];

c=[1 0 0];

d=0;

[num,den]=ss2tf(a,b,c,d)

num=[ 0 2.0000 2.0000 -2.0000]

den=[1.0000 3.0000 5.0000 5.0000]

下面再画出根轨迹图，寻找满足条件的ρ

num1=conv([2 2 -2],[2 -2 -2]); %此处计算的参数根据num(s)和num （-s) den1=conv([1 3 5 5],[-1 3 -5 5]); %此处计算的参数根据den(s)和den （-s) sys1=tf(num1,den1);

rlocus(sys1); %画根轨迹图

grid on;

根据系统要求69.0≥ξ 和 1≥σ

如图所示，配置的极点将满足系统要求，现选取两组进行验证1.ρ=2

p1=[-2.09 -1.42+0.845*1i -1.42-0.845*1i];

k1=acker(a,b,p1)

得k1=[0.7079 0.1931 0.5143]

如上题所写程序画出响应图（其中sys1为未加控制器的原系统）2.ρ=3

得k1=[0.9271 0.2769 0.6857]

作出响应图如下（其中sys1为未加控制器的原系统）

将两个不同的ρ值阶跃响应图进行对比（sys2为ρ=3，sys为ρ=2）有比较可知：较小的ρ值的响应速度较慢，较大的ρ值响应速度快。

○

3全阶观测器的设计 首先检验系统的是否完全能观

a=[-1 -2 -2;0 -1 1;1 0 -1];

c=[1 0 0];

q=[c;c*a;c*a*a]

rank(q)

⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=241221001q

rank(q)=3

说明系统是完全能观的

下面就是观测器期望极点选择，一般为了考虑观测器的响应速度要比闭环系统快，又要考虑干扰抑制，一般极点为闭环极点的2---5倍。

根据主导二阶极点方法所配置的极点为s1=-4 s2,3=-1±0.88i

选择观测器极点为s1=-12 s2,3=-3±0.88i

由此可进一步求出观测器增益矩阵l

a=[-1 -2 -2;0 -1 1;1 0 -1];

c=[1 0 0];

pe=[-12;-3+0.88*i;-3-0.88*i];

lt=acker(a',c',pe);

l=lt'

求得l=[15;1.872;-25.2592];

可得全维观测器的方程为

y

u x ly bu x lc bk a x ⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--------=++--=2592.25872.115102~0444.16444.17814.2411872.10888.22888.59556.18~)(~

下面可依据上式构建simulink 图，据此观察观测器的跟踪能力