数学模型与数学建模-第4章-量纲分析法
量纲分析法PPT课件
堪德
摩尔N
其他所有物理量的单位都由这7个基本量复合得到。
量纲齐次原则
引力常数 k 的量纲 [k] =[f][l]2[m]-2=L3M-1T-2
对无量纲量，[]=1(=L0M 0T 0)
量纲齐次原则 等式两端的量纲一致
量纲分析~利用量纲齐次原则寻求物理量之间的关系
单摆运动示例
例:单摆运动 求摆动周期 t 的表达式
[ t ] L 0 M T0 1
[
m
]
L0M
1T
0
[
l
]
L1M
0T
0
[ g ] L 1 M 0 T 2
(L0M0T1)y1(L0M1T0)y2(L1M0T0)y3 (L1M0T2)y4 L0M0T0
LM T L M T y 3 y 4 y 2 y 1 2 y 4
0 00
y3
y 4
ys = (ys1, ys2, …,ysm)T s = 1,2,…, m-r
m-r 个无量纲量
y1 ( 1 / 2,1 / 2,0, 1,0,0)T y2 ( 0, 2, 0, 0,1,0)T y3 ( 1, 3, 1, 0,0,1)T
m
q ysj
s
j
j 1
而且存在一个未定的函数关系：
l
假设：1、不考虑空气阻力；
2、忽略地球自转对单摆运动的影响；
m
3、摆线是刚体，在摆动中无形变；
4、摆轴部分没有摩擦。
mg
在这样的假设条件下，与单摆运动有关的物理量分别有：
t、m、l、g、
单摆运动的规律由公式 F(t, l, m, g, ) = 0 给出。
假设物理量 t, m, l, g 之间有关系式
数学模型与数学建模 第4章 量纲分析法
K m
K
原方程变形为
dV AV F0 X dT
优点：
1. 减少了参数的个数； 2. 方程中的变量X、V、T都是无量纲量.
量纲分析是20世纪初提出的在物理领域中 建立数学模型的一种方法.
对所设问题有一定了解，在实验和经验的 基础上利用量纲齐次原则来确定各物理量之 间的关系. 例4.2.1 单摆运动 将质量为m 的一个小球系在长度为l 的线的 一端,稍偏离平衡位置后小球在重力mg的作用
其中 [质量]=[ m ]=M, [长度]=[ l ]=L, [时间]=[ t ]=T,
称为 基本量 纲
ds 例4.1.1 [速度]=[ v ]=[ ] = =LT－1 ; dt [加速度]=[ a ] =LT－2 ;
因为力 F=ma, 故 [ F ]=[ m ][ a ] =MLT－2;
部分物理常数也有量纲，如万有引力定律 m1m 2 f K 2 r 中的引力常数K的量纲为
量纲不变性:无量纲量在模型和原型中保持不变
模型中的各物理量： f , l , h, v , , , g 原型中的各物理量： f , l , h, v, , , g 有
l , v , lv ) f l v ( h lg 2 2
fl v
当无量纲量
l h
量纲齐次原则: 任一有意义的物理方程必定是量
纲一致的,即有
[左边] = [右边]
1. 对数学模型和模型的解进行量纲一致性检验.
2. 无量纲化方法减少参数个数.
例4.1.2 非线性震荡运动方程
2
dx m Kx C F 2 dt dt
d x
或
基本数学模型-量纲分析
本解系为 ys ( ys1, ys2 , , ysm )T , s 1, 2, , m r
则 m
s q j ysj , s 1,
j 1
,mr
为
m
r个相互独
Edgar Buckingham （1867－1940）
立的无量纲量，且 F (1, 2, , mr ) 0 美国物理学家
4
单摆运动
,qm) 0 与原定律等
价，则称i1该定律与单位选取无关
3
Buckingham 定理
• 设有 m 个物理量 q1, q2, , qm，
n
[qi ]
X aij i
,
j
1,
, m,
i 1
f (q1, q2, , qm ) 0 是与量纲单位选取无关
的物理定律。量纲矩阵 A (aij )nm 的 秩为 r ，齐次线性方程组Ay 0 的基
• 量纲分析：利用量纲齐次原则寻求物理量 Joseph Fourier
之间的关系
（1768－1830）
法国数学家、物理学家
1
国际单位制
• 基本量纲与基本单位
长度 质量 时间 温度 电流 物质的量 发光强度
LM
T
I
N
J
米 千克 秒 开尔文 安培 摩尔 坎德拉
• 导出量纲
• 加速度 [a] LT 2 力 [ f ] LMT 2
• 一小球系在线的一端，稍偏离平衡位 置后小球在重力作用下做往复摆动， 忽略阻力，求摆动周期的表达式
• 物理量及其关系
• 质量 m 、线长 l 、重力加速度 g 、周期 t
t mx1l x2 g x3 m y1l y2 g ty3 y4
L y2 y3 0 M y1 0
第4章 量纲分析和相似原理
dim q1 M 1 L 1T
1
dim q 2 M 2 L 2 T 2
dim q 3 M 3 L 3 T 3
③ 基本量依次与其余物理量组成 项
a b c 1 q1 q2 q3 q4
1 1 1
2 q q q q5
a2 1 b2 2 c2 3
……
a n 3 q1
4.2量纲分析法
量纲分析法的依据：物理方程的量纲一致性。
① ② ③ ④
充分了解流体流动的物理过程； 找出这一过程当中的影响因素； 假定一个未知的函数关系； 运用物理方程量纲一致性原则确定这个函数关系。
包括两种：
瑞利法数n小于等于4~5个。 定理，普遍方法
【例4 – 1】研究自由落体在时间t内经过的距离S，实验观察后认为与下列 因素有关：落体重量W，重力加速度g及时间t。试用物理方程量纲一 致性原则分析自由落体下落距离公式。 解 首先将关系式写成幕乘积形式 s=KWagbtc 式中：K为量纲一的系数；各变量的量纲分别为dim s = L , dim W = MLT-2， dim g =LT-2 , dim t=T。 将上式写成量纲方程 L=(MLT-2)a(LT-2)b(T)c 根据物理方程量纲一致性原则得到 M：0=a L：1=a+b T：0=-2a-2b+c 解得a =0 ， b=l , c=2 ， 代入原式，得 s=KW0gt2 即 s=Kgt2
下面依据物理方程的量纲一致性原理推求这些变量间的关系。 现设FD与其他各物理量成幕乘积的关系，即 FD=KDaυbρcμd 这里的K 是量纲一的系数。 用基本量纲M 、L 、T 表达各物理量量纲，则有量纲方程 MLT-2=La(LT-1)b(ML-3)c(ML-1T-1)d
量 纲 分 析 法 建 模
§5 量 纲 分 析 法 建 模量纲分析(Dimensional Analysis)是20世纪初提出的在物理领域中建立数学模型的一种方法，它在经验和实验的基础上利用物理定律的量纲齐次原则，确定各物理量之间的关系．本节在一个例子的引导下先介绍量纲齐次原则和著名的BuckinghamPi 定理，然后用这个定理讨论一个力学问题的建模方法，并介绍量纲分析在物理模拟中的应用．最后给出一种简化模型的方法——无量纲化．一、量纲齐次原则许多物理量是有量纲的，有些物理量的量纲是基本的，另一些物理量的量纲则可 以由基本量纲根据其定义或某些物理定律推导出来．例如在研究动力学问题时常把长度l 、质量m 和时间t 的量纲作为基本量纲，记以相应的大写字母L ，M 和T ．于 是速度v 、加速度a 的量纲可以按照其定义分别用1-LT 和2-LT表示，力f 的量纲则应根据牛顿第二定律用质量和加速度量纲的乘积2-LMT 表示．有些物理常数也有量纲，如万有引力定律221r m m k f =中的引力常数k ，由 221m m fr k =可知其量纲应从力f 、距离r 和质量m 的量纲求出，为2-LMT ·2L ·2-M =213--T M L ．通常，一个物理量q 的量纲记作[q]，于是上述各物理量的量纲为[l]=L ，[m]=M ，[t]=T ，[v]=LT -1，[a ]=LT -2，[f] =LMT -2，[k]= 213--T M L .对于无量纲量α，我们记[α]=1(因为可视为[α]=000T M L )．用数学公式表示一个物理定律时，等号两端必须保持量纲的一致，或称量纲齐次性(Dimensional Homogeneity)．量纲分析就是利用量纲齐次原则来寻求理量之间的关系[6,20]．在叙述主要定理之前先看一个例子．单摆运动 这是一个熟知的物理现象，质量为m 的小球系在长度为l 的线的一端，稍偏离平衡位置后小球在重力mg 作用下(g 为重力加速度)做往复摆动，忽略阻力．求摆动周期t 的表达式．在这个问题中出现的物理量有t ，m ，l ，g ，设它们之间有关系式其中1α，2α，3α是待定常数，λ是无量纲的比例系数．取(1)式的量纲表达式即[][][][]321αααg l m t =将[t]=T ，[m]=M ，[l]=L ，[g]=LT -2代入得按照量纲齐次原则应有(3)的解为1α=0，2α=1/2，3α=-1/2，代人(1)式得g l t λ= （4） (4)式与用力学规律得到的结果是一致的．为了导出量纲分析建模的一般方法，将这个例子中各个变量之间的关系写作进而假设(5)式形如 π=4321y y y y g l m t （6）其中1y ～4y 是待定常数，π是无量纲常数．将t ，m ，l ，g 的量纲用基本量纲L ，M ，T表示为100][T M L t =,010][T M L m =,001][T M L l =,201][-=T M L l ，则(6)的量纲表达式可写作(注意到000][T M L =π)即 000241243T M L T M L y y y y y =-+ （7）此方程组有一个基本解T T y y y y y )1,1,0,2(),,,(4321-== （9）代回(6)式得 π=-g l t 12 （10）而(5)式等价于0)(=πF （11）(10)，(11)两式就是用量纲齐次原则从(5)式得到的结果．前面给出的(4)式只是它的特殊表达形式.把从(5)式到(11)式的推导过程一般化，就是著名的Pi 定理．定理 设有m 个物理量m q q q ,,,21 ，是与量纲单位的选取无关的物理定律*,n X X X ,,,21 是基本量纲，n ≤m ． m q q q ,,,21 的量纲可表为m j X q n i ai i ij ,...,2,1,][1==∏= (13)矩阵m n ij a A ⨯=}{称量纲矩阵．若A 的秩r RankA = (14)设线性齐次方程组(y 是m 维向量) 0=Ay (15)的m-r 个基本解为r m s y y y y T sm s s s -==,,2,1,),,,(21 (16)则∏==m j y j i sj q1π为m-r 个相互独立的无量纲量．且与(12)式等价．F 表示一个未定的函数关系．[航船的阻力] 长l 、吃水深度h 的船以速度v 航行，若不考虑风的影响，那么航船受的阻力f除依（8）赖于船的诸变量l ，h ，v 以外，还与水的参数——密度ρ、粘性系数μ，以及重力加速度g 有关．下面用量纲分析方法确定阻力f 和这些物理量之间的关系．我们按照Pi 定理中(12)～(18)式的步骤进行．1．航船问题中涉及的物理量有：阻力f ，船长l ，吃水深度h ，速度v ，水的密度ρ，水的粘性系数μ，重力加速度g ，要寻求的关系式记作2．这是一个力学问题，基本量纲选为L ，M ，T ．上述各物理量的量纲表为其中μ的量纲由基本关系xv p ∂∂=μ得到．其中p 是压强(单位面积受的力)，所以2][-=LMT p 212---=⋅MT L L ;v 是流速，x 是尺度，所以111---=⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂T L LT x v ． 并且有n=3<m=7．3．由(20)立即可写出量纲矩阵并且计算 )(3r RankA == (22)4．解齐次方程0=Ay (23)方程(23)有m-r=7—3=4个基本解，可取为5．(24)式给出4个相互独立的无量纲量而(19)式与 等价，Φ是未定的函数，(25)、(26)两式表达了航船问题中各物理量间的全部关系． 6，为得到阻力f 的显示表达式，由(25)及(26)中4π的式子可写出其中ψ表示一个未定函数．在流体力学中无量纲量)(lg 2/12-=πv称Froude 数，)(3πμρ=lv 称Reynold 数(雷诺数)，分别记作μρlv v Fr ==Re ,lg (28) 则(27)式又表示为 Re),,1(22Fr hl f ρψυ= (29)这就是用量纲分析方法确定的航船阻力与各物理量之间的关系，这个结果用通常的机理分析是难以得到的．虽然这里函数ψ的形式无从知道，但是在下面将会看到这个表达式在物理模拟中的用途．评注 从上面的例子可以看出，量纲分析方法在建立物理问题的数学模型中能够得到一些重要的、有用的结果，但是也有较大的局限性．在应用和评价这个方法时以下几点值得注意．1．正确确定各物理量 面对一个实际问题将哪些物理量包括在量纲分析的基本关系式f(·)=0中，对所得结果的合理性是至关重要的．对于航船问题，如果在(19)式中忽略了水的密度ρ或粘性系数μ，则得到的结果就会不同．各物理量的确定主要靠经验和物理知识，无法绝对保证所得结果是正确或有用的．2．合理选取基本量纲 基本量纲选少了，无法表示各物理量，当然不行；选多了也会使问题复杂化．在一般情况下力学问题选取L ，M ，T 即可，热学问题加上温度量纲Θ，电学问题加上电量量纲Q ．3．恰当构造基本解 线性齐次方程组的基本解可以有许多不同的构造方法，虽然基本解组能够相互线性表出，但是为了特定的建模目的恰当地构造基本解，能够更直接地得到我们所期望的结果．4．结果的效用和局限性 量纲齐次原则和n 定理是具有普遍意义的又是相当初 等的方法，它不需要非常专门的物理知识及高等的数学方法，就可以得到用其他方法 难以得到的结果，如(29)式．一般地说，从未知定律f(m q q q ,,,21 )=0到用量纲分析方法得到的等价形式F(r m -πππ,,,21 )=0，不仅物理量个数减少了r 个，而且原始物理量m q q q ,,,21 ，组合成了一些有用的无量纲量r m -πππ,,,21 ，下面将进一步讨论它们的用途．另一方面，用这个方法得到的结果是有局限的，“不彻底”的．F(·)=0中仍然包含着一些未定函数和常数 (无量纲量)，诸如物理定律中经常 出现的三角函数sin(·)、指数函数exp(·)不可能用量纲分析法得到，因为这些函 数的自变量和函数值都是无量纲的．二、量纲分析的应用——物理模拟中的比例模型我们在1．1节曾介绍过物理模型，它是在实验室条件下按照缩小了的比例尺寸构造的，目的是根据相应的比例来研究原型的某些性质．量纲分析的结果可以指导这种比例关系的确定．以本节提到的单摆运动为例．已经得到模型中摆动周期t 与摆长l 的关系为若记原型中相应的各个物理量为t '，l '，g '，因为λ是无量纲量，在模型与原型中不变，又显然有g=g ，，所以由(30)式立即得到这样，如果模型摆的尺寸按照摆长比例l: l ' =1:4设计制造，那么测定了模型摆的周期t 以后，就可以知道原型摆的周期为t '=2t ．可以看出，这里主要用了无量纲量在模型和原型中保持不变的性质．下面利用航船问题的结果讨论怎样构造航船模型，以确定原型航船在海洋中受的阻力，并且当速度不大时可以忽略雷诺数Re 的影响．以g v h l f ,,,,,ρ和g v h l f '''''',,,,,ρ，分别记模型和原型中的各物理量，由(28)、(29)式(略去Re)得注意(32)，(33)两式中的函数ψ是一样的．当无量纲量成立时，由(32)、(33)式可得只要模型船和原型船的形状相似，就可以保证(34)的第1式成立．而注意到g=g '，(34)的第2式给出如果在模拟中用与海水有相同密度的水，即ρρ'=，则由(35)，(36)式可得于是确定了模型船和原型船的比例l l ':，并测得了模型船的阻力f 后，就能够确定原型航船的阻力f 了．三、无量纲化我们不拟对无量纲化方法作一般阐述，而是通过一个例子介绍这种方法如何用来对模型进行简化．抛射问题 在星球表面以初速v 竖直向上发射火箭*，记星球半径为r ，星球表面重力加速度为g ，忽略阻力，讨论发射高度x 随时间t 的变化规律．设J 轴竖直向上，在发射时刻f=0火箭高度x=O(星球表面)．火箭和星球的质量分别记作1m 和2m ，则由牛顿第二定律和万有引力定律可得以x=O 时x=-g 代入(38)式，并注意到初始条件，抛射问题满足如下方程(39)的解可以表示为即发射高度x 是以r ，v ，g 为参数的时间f 的函数．这里的目的不是研究这个函数的具体形式(虽然可以通过求解方程(39)直接得到)，而是讨论用无量纲化方法简化它的途径．(40)式包含3个独立参数r ，v ，g ，由(40)式得到的进一步的结果，如火箭到达最高点的时间0==x M t t 。
量纲分析模型
量纲分析法来构造模型一、基本概念：在表达一个物理量时，总是用数和量这两个概念在一起来度量该物理量的某种属性，因此，许多物理量都是有量纲的，例如：质量的量纲是：克（g ）；千克（kg ） 速度的量纲是：厘米/秒；公里/时 热量的量纲是：卡def ：量纲：在对物理对象进行分析时用来表示物理特性的量称之为量纲，例如：长度、密度、速度等。
用数学公式描述一个规律时，等号两端都必须保持量纲的一致。
def ：量纲分析：在量纲一致的原则下，分析物理量之间关系的一种方法称为量纲分析。
例如：用数学公式描述一个物理规律时等式两边必须保持量纲的一致，同时也保持单位的一致。
def ：量纲分析法：用量纲分析法来建立数学模型的一种方法。
def ：基本量纲：在物理学或力学中有一些物理量的量纲是基本的，其他物理量的量纲可以由这些基本量纲推导出来，这些基本的量纲叫基本量纲，例如：力学中基本量纲为：m （质量），l （长度），t （时间），分别记成：[]M ，[]L ，[]T ，其他量纲可由此推出来。
例如：速度 1[][]V LT -=；加速度 2[][]a LT -=，力22[][][][][][]f M a M LT MLT --=== .有些物理常数也有量纲，例如：万有引力定律 122m m f K r= 中的引力常数K 的量纲也可推出来：222132132[][][][][][][][]MLT K m L K M L T M L T ------=⇒==def ：无量纲常数α，记为0[]1, ( [])L M T αα== 二、量纲分析法建模的例子：先从实例讨论出发，再给出一般方法。
例1：单摆运动模型：已知：质量为m 的小球，系在长为l 的线的一端，重力F mg =作用下作简谐运动，求：单摆运动关于周期t 的模型。
解： 1：将可能与t 有关的物理量, , m l g 用关系式(, , )t l m g ϕ= （1）表示出来。
2：量纲分析法 数学建模
π
2 gt 故单摆公式可用 f(π ,π ) 0 f(θ , ) 0 表示。 1 2 l gt 2 从中解出显函数 h(θ( 则可得： l l l 其中 k (θ ) h(θ ) t h(θ( k(θ( g g
l
此即理想单摆的周期公式。当然 k(θ)是无法求得的，事实 上，需要用椭圆积分才能表达它。
R（A）=3
解齐次方程Ay=0
y 1 (0,1,1,0,0,0,0) T y 2 (0,1,0,2,0,0,1) T y 3 (0,1,0,1,1,1,0) T y 4 (1,2,0,2,1,0,0) T
(6)式给出4个相互独立的无量纲量 (6)
1 lh
1
2 lv 2 g 3 lvru1 4 fl 2 v 2 r 1
f LMT 2
假设关系式为： G(f,l,h,v,R源自u,g)=0 基本量纲为：L，M，T
[l ] L [h ] L [ v ] LM 1 [p ] L 3 M [u ] L1 MT 1 [g ] LT 2
1--8
v 其中u的量纲由基本关系P u , p为压强 x -2 2 1 1 [p] LMT L L MT
量纲分析法建模
• • • • 1 万有引力公式的推导 2 理想单摆的摆动周期 3 量纲分析法理论 4 航船的阻力
§2.6 量纲分析法建模
物理量大都带有量纲，其中基本量纲通常是质量（用M表 示）、长度（ 用L表示）、时间（ 用T表示），有时还有温 度（用Θ表示）。其他物理量的量纲可以用这些基本量纲来 表示，如速度的量纲为LT-1，加速度的量纲为 LT-2，力的量纲 为 MLT-2，功的量纲为 ML2T-2等。
量纲分析法
量纲分析法量纲分析法是一种工程数学方法，用于处理含有多个变量的物理问题。
这种方法非常有用，因为在实际应用中，我们通常需要考虑许多不同的变量和参数，这些参数可能具有不同的单位和量纲，使得问题变得复杂和难以处理。
利用量纲分析法，可以将各个参数转换为无量纲形式，从而简化问题并提高计算精度。
1. 什么是量纲首先，我们需要明确什么是量纲。
量纲是一个物理量所具有的度量属性，通常包括基本量纲，比如长度、时间、质量、电流等等。
每个量纲都有一个标准单位，比如米、秒、千克、安培等等。
通过组合不同的基本量纲和单位，我们可以得到其他物理量的单位和量纲。
比如速度可以表示为长度/时间，加速度可以表示为长度/时间^2。
在处理物理问题时，量纲是非常重要的，因为它们决定了各个物理量之间的关系和单位的选择。
2. 如何运用量纲分析法量纲分析法是一种基于量纲的数学方法，用于研究变量之间的关系和有效参数的数量。
在使用这种方法时，我们需要将所有涉及的物理量和参数转换为无量纲形式，然后通过比较各个无量纲参量的数量级和变化趋势来分析问题。
这种方法可用于许多不同的物理问题，例如流体力学、热传递、电路分析等等。
下面我们以流体力学为例来讲解量纲分析法的应用过程。
首先，我们考虑一个典型的流体力学问题：水从一根直管中流出的速度是多少？公司设计师可以运用以下方程式解决此题: v = (P1 - P2) / ρL其中v是水的速度，P1和P2是入口和出口处的压力，ρ是水的密度，L是管道长度。
我们观察到这个公式涉及四个参数，每个参数都有自己的单位和量纲。
在使用量纲分析法时，我们需要将它们都转换为无量纲形式。
我们可以定义以下五个无量纲参量：F1 = v L / νF2 = (P1 - P2) / (0.5ρv^2)F3 = D / LF4 = ε/ D其中，ν是水的动力粘度，D是管道的直径，ε是管道壁面粗糙度。
这里表示F1 代表惯性力，F2 代表压力力，F3 代表管道长度比，F4 代表管道细度等无量纲参量。
量纲分析法
第三节 量纲分析法量纲分析是20世纪初提出的, 在物理领域中建立数学模型的一种方法，它是在经验和实验的基础上, 利用物理定律的量纲齐次原则，确定各物理量之间的关系。
3.1 量纲齐次原则与Pi 定理许多物理量是有量纲的，有些物理量的量纲是基本的，另一些物理量的量纲则可以由基本量纲根据其定义或某些物理定律推导出来。
例如在动力学中，把长度l , 质量m 和时间t 的量纲作为基本量纲，记为[][][]T t M m L l ===,,; 而速度f v ，力的量纲可表示为[][]21,--==MLT f LT v .在国际单位制中，有7个基本量：长度、质量、时间、电流、温度、光强度和物质的量，它们的量纲分别为L 、M 、T 、I 、Θ、J 、和N ；称为基本量纲。
任一个物理量q 的量纲都可以表成基本量纲的幂次之积，[]ηξεδγβαJ N I T M L q Θ=量纲齐次性原则：用数学公式表示一个物理定律时，等式两端必须保持量纲一致。
量纲分析就是在保证量纲一致的原则下，分析和探求物理量之间关系；先看一个具体的例子，再给出量纲分析的一般方法。
例3—1： 单摆运动，质量为m 的小球系在长度为l 的线的一端，线的另一端固定，小球偏离平衡位置后，在重力mg 作用下做往复摆动，忽略阻力，求摆动周期t 的表达式。
解：在这个问题中有关的物理量有g l m t ,,,设它们之间有关系式3211αααλg l m t =---------------（3.1）其中32,,ααα为待定常数，入为无量纲的比例系数，取（3．1）式的量纲表达式有[][][][]321αααg l m t = 整理得：33212αααα-+=T LM T --------------（3.2）由量纲齐次原则应有⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=12003321αααα ---------------（3.3）解得：,21,21,0321-===ααα 代入（3．1）得 glt λ= -------（3.4）（3.4）式与单摆的周期公式是一致的下面我们给出用于量纲分析建模的 Buckingham Pi 定理，定理：设n 个物理量n x x x ,,,21 之间存在一个函数关系()0,,,21=n x x x f --------------（3.5）[][]m x x 1为基本量纲，n m ≤。
量纲分析法
（注：在流体力学中称 Fr =
v lg
为
Froude
数，
Re
=
lvρ μ
为
Reynold
数。）
3． 无量纲化 单位和量纲在建模过程中是一个需要注意的问题，在建立模型时，为了满足量纲齐次原 则需要引入新的参量，这使得模型十分复杂；在建立和分析模型时，模型所描述的实际问题 的内涵性质一般应该独立于度量单位的选择。因此在机理模型建立过程中如何使得模型摆脱
模型建立：
由万有引力定律 m1
d2y dt 2
=
−k
m1m2 (y + r)2
，y(0)
=
0,
y′(0)
=
v 。由假设
2，y′′(0)
=
−g
。
在方程始终令 t = 0 ，则有 g = k m2 ，则模型可以简化为 r2
y′′
=
−
r2g (y + r)2
,
y(0)
=
0,
y′(0)
=
v
。
在模型中有三个参量 r, g, v ，两个变量 t, y 。这些量都是有量纲的，下面将利用无量纲
2
二、 轮廓模型
1．量的比例关系
因为模型表达了不同量纲的量之间的转换规律，不同量纲的量的乘幂之间一定存在比例
关系。所以在同一模型中，若量 X1 和 X 2 的量纲分别为 [ X 1 ] = X α 和 [ X 2 ] = X β ，则一
定有
X1
=
kX
α 2
/
β
。
例 4（几何上的比例关系）
对于正立方体：设棱长为 L1 = a ，底面周长为 L2 = 4a ，底面对角线长 L3 = 2a ，立
数学建模3.1量纲分析法
[q j ] X i ,
aij i 1
n
j 1,2, , m
A {aij }nm
m=6, n=3
rank A = 3
Ay=0 有m-r=3个基本解
s = 1,2,…, m-r
m-r 个无量纲量
y1 ( 1 / 2,1 / 2,0, 1, 0, 0) T y 2 ( 0, 2, 0, 0, 1, 0) y ( 1, 3, 1, 0, 0, 1)T 3
s qj
j 1
m
y sj
为得到差 p 的显式表达式 F=0
1 ( 2 , 3 )
1 v 2 1 p 2 lv 1 1 2 1 3 l v g
未定
v gl : Froude number
p v 2 ( 2 , 3 ) v 2 ( 2 , 3 ),
f , s , l , v, , g
~模型船的参数(均已知) 注意：二者的相同
f1 , s1 , l1 , v1 , 1 , g1
~原型船的参数 (f1未知，其他已知)
f l g ( 1 , 2 )
3
f1 l13 g1 1 ( 1, 2 ) v1 s1 1 , 2 2 l1 g1l1
l t g
l t 2 g
t m l g
1 2
3
为什么假设这种形式
设p= f(x,y,z)
x,y,z的量纲单 位缩小a,b,c倍
对 x,y,z的两组测量值x1,y1,z1 和x2,y2,z2， p1 = f( x1,y1,z1), p2 = f( x2, y2,z2 )
量纲分析法
量纲数 j j n k , n，并代入变量的量纲组成量纲关系式。
如在该问题中，有：
4 h A1 d A2 A3
5
g B1
d B2 B3
步骤 5：对量纲关系式中的每一个基本量纲令等式两边的幂
量纲分析法
一、量纲
1. 量纲的定义 是用来描述物体或系统物理状态的可测量性质，如长度、质量、速度、 加速度。 2. 基本量纲
彼此无关的量纲，如长度、质量和时间。 3. 导出量
最终要用基本量纲的组合来确定的量纲，如速度、加速度、动量等。 国际单位制中基本量纲为：
[L]、[t]、[M]、[T]。
二、量纲分析法—π定理
为无量纲的量，所以有
ML1T 2 L x LT 1 y ML3 z M z Lx y3zT y
z 1, y 2, x 0
p
2
同理有，分别有：
ML1T 1 L x4 LT 1 y4 ML3 z4 M L T z4 x4 y4 3z4 y4
2
2g
hf
P
g
2
g
f 1 , l , Re d d
莫迪图
hf
Re ， l
dd
2
2g
例题： 在层流情况下，流过一小等边三角形截面的孔（边长为 b
，孔长为 L )的体积流量 Q 为动力粘性系数 、单位长度上的压降
p / L 及 b 的函数。试将此关系写成无因次式。在其他条件不变的
z4 1, y4 1, x4 1
4
数学建模-量纲分析建模
如速度的量纲是LT 1, 但其单位可以是(m / s) 也可以是(km/ s), 还可以是(km/ h).
3）、有的量可以没有量纲，但它可能有单位。如角度
4）、物理量的量纲及其相互关系反映了各量之间的内在属 性，这是量纲关系能用于建立数学模型的理论基础。
L T M 12 33 4 5 6 -2 24 5 26 3 4 5
L0T0M 0
由此得一六个未知量的方程组 其系数矩阵为
1 2 33 4 5 6 0
3 4 5
0
-2
24 5 26 0
则可等价地写出1 h( 2,3),即. p v2h( 2,3).
量纲分析法建模的工作步骤
一、找出含目标因素在内的各主要相关因素。
二、写出含目标因素在内的各主要相关因素的量纲积。
三、
写出含目标因素在内的各主要相关因素的无量纲量
的
i
量纲表达式 该表达式的指数为待定常数。
四、 利用量纲齐次性原理得到齐次线性方程组， 并求基础解系
摩尔
符号 m kg s A K cd
mol
3、量纲
定义：一物理量与基本物理量之间的规定关系，称为该量的 量纲。这种规定关系常以基本物理量的幂指乘积形式表示， 因此也称为量纲积。即任一物理量的量纲皆可表示成
Q L1 M T I 2 3 4 5 J 6 N 7
许多物理问题的研究只涉及M , L,T三个基本量纲，
§5.1 量纲分析建模
一、单位与量纲 1、单位
数学建模的目的是解决实际问题，而实际问题中的量都有 相应的单位。数学中纯粹的数在实际问题中不具有明确的含义。 如在实际问题中谈某个长度量，在关注其数值的同时还必须关 注其单位，否则，我们便没有把这个量完全弄清楚。但实际问 题中的诸多量并非全是相互独立的，其中一些量能起到基本量 的作用，其它量是这些基本量的符合某种规律的组合，如速度 是长度与时间这两个基本量的一种规定的组合。
量纲分析法ppt课件
分 类 无量纲量：
对无量纲量q，[q]=1(=L0M0T0)
0
两个具有相同量纲的物理量相比； 几个有量纲物理量乘除组合，使组合量的量纲指数为零。
意义
(1)无量纲量的大小与所选单位无关，具有客观性： 凡有量纲的物理量，都有单位，同一物理量，因选取的度 量单位不同，数值也不同，运动方程式的计算结果会受人主 观选取单位的影响；
y1~y4 为待定常数, 为无量纲量
1 2 3
0 0 1y 0 1 0y 1 0 0y ( L M T )( L M T )( L M T )
( L M T) L M T
1 0 2y 4 0 0 0
L M T L M T
y y 3 4 y 2 y 2 y 1 4 0 0 0
y3 y4 0 y2 0 y 2y 0 4 1
(2)不受运动规律的影响：
无量纲量是常数，数值大小与度量单位无关，也不受运动 规律的影响；
(3)可进行超越函数运算：
由于有量纲量只能做简单的代数运算，做对数、指数、三 角函数等超越函数的运算是没有意义的。只有无量纲化才能
V2 W p1V 进行超越函数运算。如气体等温压缩计算式： 1 ln V 1
y 2 , y 0 , y 1 , y 1 1 2 3 4
t l g F ( )0(t l/g)
2 1
方法二：布金汉（Buckingham）定理（定理）
一般情况下，瑞利法要求相关物理量个数 n 不超过4个， 待求量纲指数不超过3个。当有关物理量超过4个时，需要归并 有关物理量或选待定系数，以求得量纲指数。
q1 M a Lb T c q2 M a Lb T c q3 M a Lb T c
第4章 量纲分析和相似原理
4.3 相似准则数
粘性力： F (
du ) A ( )l dy l v
2
vl
压力： Fp (p) A (p)l 重力： Fg mg
2
l g
3
4.3 相似准则数
惯性力： i ma l F
3
l t
2
l t
4 2
v l
(
v l
)p (
v l
2
2 2
EV l
)m
Ma p Ma m
2
(
v EV /
)p (
2
v EV /
)m
2
马赫数
Ma v /
EV /
马作流的性马 赫用动比力赫 数并受值与数 相相弹，弹， 等似性即性是 。时力两力惯 ，
4.3.5 韦伯数
由惯性力和表面张力的关系，得
4.1 单位和量纲
量纲分类：
（1）几何学量纲：α≠0,β=0,γ=0； （2）运动学量纲：α≠0，β≠0，γ=0；
（3）动力学量纲：α≠0，β≠0，γ≠0。
4.1 单位和量纲
无量纲数（纯数，如相似准数）：
α=0,β=0,γ=0，即[x]=[1]。 特点： （1）无量纲单位，它的大小与所选单位无关； （2）具有客观性； （3）在超越函数（对数、指数、三角函数） 运算中，均应用无量纲数。
速度、压强、各种作用力等）具有各自的固定比例 关系，则这两个流动就是相似的。 模型和原型保证流动相似，应满足： 几何相似 运动相似 动力相似 初始条件和边界条件相似
4.2.1 几何相似
几何相似：模型与原型具有相同形状但但大
《数学模型》课件量纲分析法20180907
[q] M L T
几何学量纲： = 0，0，=0
分
类
运动学量纲： = 0，0，0
动力学量纲：0，0，0
无量纲量
当
0
则
［q］= 1
无量纲量可由两个具有相同量纲的物理量相比得到；可由几
个有量纲物理量乘除组合，使组合量的量纲指数为零得到。
i
，X1,X2, , Xn 是基本量纲, nm, q1, q2, , qm 的量纲
可表为
q1 q2
qm
n
aij
q j X i , j 1, 2, , m
X 1 a11
i 1
X 1 a21 aij
量纲矩阵记作
A {aij }nm ,
若 rank A r
于是
由F( 1, 2) = 0,可得 1 = ( 2 ) ( )
从而有
l
t 2
g
. 给定摆角实验,从数据进行参数估计
为什么可以假设为幂次乘积式
物理量，通常由实数连同所采用的单位表示。随单位的变
化物理量的实数值也会随着相应变化，也可以认为这是一
种主观的变化，非实质的变化。客观规律当然不依赖于主
量纲分析法
我们发现的化学元素仅有百余种，然而各成分的多寡、
结构差异形成了万物间的千差万别. 我们称这些元素为
基础成分.
反映物理现象的各个量是否也具有类似的统一的基础
成分哪？如有，可以找到类似分子结构的东西。类比
如，物理学研究物质在时空中的演化和运动，所有一
切最终离不开质量、时间和长度这三种基本量，因此
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用数加单位来表示具体度量； 用量纲的概念来表示被度量的特性.
量纲分析法是一种有效的物理建模方法
一.单位 SI 国际单位制（米—千克—秒）； fps 英制单位制（英尺—磅—秒）
一个模型中单位必须统一
二.量纲 基 本 物 理 量
引进无量纲量：
T=w0t , X=x/x0 , V=v/v0
得
dx dt
d(x0X ) d( T )
w0 x0dX dT
v0dX dT
v
w0
特点？
dX v V
dT v0
将
m
dv dt
m
d (v0V ) d(T w0 )
mw 0v0
dV dT
代入原方程，有
dV K x C v F dT mw0v0 mw0v0 mw0v0
质量（M） 力学中，任何物理量
长度（L）
都可以表示为其组合形 式，称这种组合形式为
时间（T） 物理量的量纲.
其中 [质量]=[ m ]=M, [长度]=[ l ]=L, [时间]=[ t ]=T,
称为 基本量
纲
例4.1.1
[速度]=[ v ]=[
ds
dt ]
=
=LT－1
;
[加速度]=[ a ] =LT－2 ;
0 1
1
t2l1g
t l
g
或者 F ( ) t 2l 1g 0
(5)
将此例一般化有以下定理
Buckingham Pi定理：
设有m 个物理量 q1，q2，… qm , 而
f (q1，q2，… qm )=0
(6)
是与量纲单位的选取无关的物理定律。X1, X2,
… , Xn 是基本量纲,其中n≤m，q1，q2，… qm
因为力 F=ma, 故 [ F ]=[ m ][ a ] =MLT－2;
部分物理常数也有量纲，如万有引力定律
f
K
m1m2 r2
中的引力常数K的量纲为
[K]
fr 2
[ f ][r 2 ]
m1m2 [m1][m2 ]
LMT 2L2 M2
L3M 1T 2
部分物理量是无量纲的,称之为纯数字,如
3.写出量纲矩阵
(f) (l) (h) (v) (ρ) (μ) (g)
1 1 1 1 3 1 1 (L)
A37
1
00
0
1
1
0
(
M
K x Cv F
mw
2 0
(
x0
)
mw
0
(
v0
)
mw 0v0
= －X－AV+F0
其中，因v0=x0w0 , w0=
K m
原方程变形为
优点：
dV dT
AV
F0
X
1. 减少了参数的个数；
2. 方程中的变量X、V、T都是无量纲量.
量纲分析是20世纪初提出的在物理领域中 建立数学模型的一种方法.
对所设问题有一定了解，在实验和经验的 基础上利用量纲齐次原则来确定各物理量之 间的关系.
的量纲可表为
n
qj
X , ij i
j 1,2,, m
i 1
矩阵A={ai,j}n×m称为量纲矩阵. 若A的秩 Rank(A)=r
若齐次线性方程组 AY=0 ( y是m维向量)的 m－r个基本解为：
ys=(ys1, ys2, …, ysm)T , s=1,2, …,m－r
则
s
m
q
ysj j
下面用量纲分析法确定阻力与这些物理量 之间的关系.
1.航船问题中涉及物理量满足的物理关系记为
Ф(f, l, h, v,ρ,μ, g)=0
(8)
2.这是力学问题,基本量纲选为L、M、T, 各物理量的量纲表示为
[ f ] LMT 2 , [t] L, h L v LT 1, L3M , L1MT 1, g LT 2 ,
例4.1.2 非线性震荡运动方程
m
d2x dt 2
Kx
C
dx dt
F
或
dx dt
v,
m
dv dt
Kx Cv
F.
模型中有参数：m、K、C
令 x0=x(0) , w0 =
根据量纲齐次性, 有 [ w0 ]=T－1 , [ K ]=MT－2,
K m
,
v0=x0 w0 ,
[ F ]=MLT－2 , [ C ]= MT－1.
t [m]1 [l] 2 [g] 3
将[ t ]=T, [m]=M, [ l ]=L, [g ]=LT－2 代入得
T M 1 L2 3 T 23
(2)
按照量纲齐次性,有
12
0 3Biblioteka 023 1求解为
1
0, 2
1 2
,3
1 2
代入式(1) 得
t
l g
续例4.2.1 单摆运动的抽象
设变量关系为
［角度］=LL—1=L0
尽管角度是无量纲量,但它有单位(弧度).
量纲独立于单位
三. 量纲齐次性（Dimensional Homogeneity）
量纲齐次原则: 任一有意义的物理方程必定是量 纲一致的,即有
[左边] = [右边]
1. 对数学模型和模型的解进行量纲一致性检验. 2. 无量纲化方法减少参数个数.
Ly3 y4 M y2 T y1 2 y4 L0 M 0T 0
根据量纲齐次性，有线性方程组成立
y3 y4 0,
y2
0,
y1
2
y4
0
0
AY 0
1
0 1 0
1 0 0
1
0
2
y1
y2
y3
y4
0 0 0 0
解得方程组的一个解为 代入(4)式有
y1 2
y2 y3 y4
f (t，m，l，g) =0， (3)
假设各变量间的关系如下：
t y1 m y2 l y3 g y4
(4)
其中y1～y4 是待定常数,π是无量纲量.
各变量的量纲用基本量纲表示如下：
[ t ]=L0M0T1, [ m ]=L0M1T0, [ l ]=L1M0T0, [ g ]=L1M0T－2,
(4) 式的量纲表达式为
j 1
为 m－r 个相互独立的无量纲量,且
F(π1, π2, …，πm－r)=0
(7)
与(6) 式等价, 其中F的形式未知.
例4.2.2 航船阻力
长度为l、吃水深度h的船以速度v 航行,若不
考虑风的影响,那么航船受到的阻力f除依赖船 的诸变量l, h, v 以外,还与水的参数—密度ρ, 粘性系数μ,以及重力加速度g有关.
例4.2.1 单摆运动 将质量为m 的一个小球系在长度为l 的线的
一端,稍偏离平衡位置后小球在重力mg的作用
下(g为重力加速度),做往复摆动. 忽略阻力, 求摆动周期t的表达式.
求解 考虑问题中出现的物理量t、m、l、g，
假设它们之间有关式
t m1 l 2 g3
(1)
其中α1,α2,α3是待定常数,λ是无量纲的 比例常数.上式的量纲表达式为