最新高考数学一轮复习高三专题复习篇专题三 第三讲平面向量

足结合律与消去律.a·b 运算结果不仅与 a，b 的长度有关而
目 开
且与 a 与 b 的夹角有关，即 a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.
3.两非零向量平行、垂直的充要条件
若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， 则 a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0. a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. 可利用它处理几何中的两线平行、垂直问题，但二者不能混淆.
答案 2
题型与方法
专题三 第三讲
题型一 向量的概念及线性运算
例 1 (1)已知向量 a＝(cos α，－2)，b＝(sin α，1)，且 a∥b，
本 讲 栏
则 tanα－π4等于
()
目 开
A.3
B.13
C.－3
D.－13
(2)已知|O→A|＝1，|O→B|＝ 3，O→A·O→B＝0，点 C 在∠AOB 内，
真题感悟
专题三 第三讲
2.(2013·湖北)已知点 A(－1,1)、B(1,2)、C(－2，－1)、D(3,4)，
则向量A→B在C→D方向上的投影为
(A )
32 A. 2
3 15 B. 2
本 讲
C.－3 2 2
D.－3
15 2
栏 目
解析 A→B＝(2,1)，C→D＝(5,5)，
开
∴A→B在C→D方向上的投影为A→|BC→·DC→D| ＝2×55＋2＋15×2 5
解析 在平行四边形 ABCD 中，取 AB 的中点 F，则B→E＝F→D，
本 讲 栏
∴B→E＝F→D＝A→D－12A→B，又A→C＝A→D＋A→B，
目 开
∴A→C·B→E＝(A→D＋A→B)·(A→D－12A→B)
＝A→D2－12A→D·A→B＋A→D·A→B－12A→B2
＝|A→D|2＋12|A→D||A→B|cos 60°－12|A→B|2
真题感悟
＝1＋12×12|A→B|－12|A→B|2＝1.
本 讲
∴12－|A→B||A→B|＝0，
栏
目 开
又|A→B|≠0，∴|A→B|＝12.
答案
1 2
专题三 第三讲
真题感悟
专题三 第三讲
5.(2012·江苏)如图，在矩形ABCD中，AB＝ 2，
BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上， 若A→B·A→F＝ 2，则A→E·B→F的值是________.
考点整合
专题三 第三讲
第三讲 平面向量
1.向量的概念
本 (1)零向量模的大小为 0,方向是任意的,它与任意非零向量都
讲 栏
共线,记为 0.
目 (2)长度等于 1 个单位长度的向量叫单位向量,a 的单位向量
开
为±|aa|.
(3)方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量).
(4)如果直线 l 的斜率为 k,则 a＝(1,k)是直线 l 的一个方向向量.
又∵A→B·A→F＝ 2，∴2x＝ 2，
真题感悟
专题三 第三讲
∴x＝ 22.∴B→F＝B→C＋C→F＝B→C＋ 22－1A→B.
∴A→E·B→F＝(A→B＋B→E)·B→C＋ 22－1A→B
本 讲 栏
＝A→B＋12B→CB→C＋ 22－1A→B
目
开 ＝ 22－1A→B2＋12B→C2
＝ 22－1×2＋12×4＝ 2.
且∠AOC＝30°，设O→C＝mO→A＋nO→B (m，n∈R)，则mn ＝
_____.
题型与方法
专题三 第三讲
审题破题 (1)直接根据向量共线的坐标表示求 tan α，再用差
角公式求 tanα－π4；(2)寻找点 C 满足的条件.
解析 (1)∵a∥b，∴cos α＝－2sin α.
本
讲 栏 目 开
解析 方法一 坐标法.
本 讲
以 A 为坐标原点，AB，AD 所在直线为 x 轴，
栏 目
y 轴建立平面直角坐标系，则
开 A(0,0)，B( 2，0)，E( 2，1)，F(x,2).
故A→B＝( 2，0)，A→F＝(x,2)，A→E＝( 2，1)，
B→F＝(x－ 2，2)，
∴A→B·A→F＝( 2，0)·(x,2)＝ 2x.
∴tan α＝－12，∴tanα－π4＝1－＋12－ －112＝－3.
(2)方法一 |O→A|＝1，|O→B|＝ 3，O→A·O→B＝0，
不妨假设点C在AB上，且∠AOC＝30°.
题型与方法
专题三 第三讲
以 O 为原点，OA 所在直线为 x 轴，OB 所在直线为 y 轴，建 立直角坐标系，
则 A 点坐标为(1,0)，B 点坐标为(0， 3)，C 点坐标为34， 43，
真题感悟
专题三 第三讲
又A→B·A→F＝ 2，∴x＝1. ∴B→F＝(1－ 2，2).
∴A→E·B→F＝( 2，1)·(1－ 2，2)＝ 2－2＋2＝ 2.
本 讲 栏
方法二 用A→B，B→C表示A→E，B→F是关键.
目 开
设D→F＝xA→B，则C→F＝(x－1)A→B.
A→B·A→F＝A→B·(A→D＋D→F) ＝A→B·(A→D＋xA→B)＝xA→B2＝2x，
＝5152＝32
2 .
真题感悟
专题三 第三讲
3.(2013·北京)向量 a，b，c 在正方形网格中的位置如图所示， 若 c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则μλ＝____4____.
本 讲 栏 目
开 解析 以向量 a 和 b 的交点为原点建立直角坐标系，
则 a＝(－1,1)，b＝(6,2)，c＝(－1，－3)，
根据 c＝λa＋μb⇒(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)有－λ＋6μ＝
－1，λ＋2μ＝－3， 解之得 λ＝－2 且 μ＝－12，故μλ＝4.
真题感悟
专题三 第三讲
4.(2013·天津)在平行四边形 ABCD 中，AD＝1，∠BAD＝60°， E 为 CD 的中点.若A→C·B→E＝1，则 AB 的长为______.
(5)向量的投影：|b|cos〈a,b〉叫做向量 b 在向量 a 方向上的
投影.
考点整合
专题三 第三讲
2.向量的运算
(1)向量的加法、减法、数乘向量是向量运算的基础，应熟
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练掌握其运算规律.
(2)平面向量的数量积的结果是实数，而不是向量，要注意
本 运算数量积与实数运算律的差异，平面向量的数量积不满
讲 栏
真题感悟
专题三 第三讲
1.(2013·福建)在四边形 ABCD 中，A→C＝(1,2)，B→D＝(－4,2)，
本 则该四边形的面积为
讲
栏 A. 5
B.2 5
C.5
目
开 解析 因为A→C·B→D＝0，
D.10
(C )
∴AC⊥BD.
∴四边形 ABCD 的面积 S＝12|A→C||B→D|＝12× 5×2 5＝5.