第三章运输问题

闭回路的一些明显特点： (1) 闭回路均为一封闭折线，它的 每一条边，或为水平的，或为垂直的； (2) 闭回路的每一条边（水平的或 垂直的）均有且仅有两个闭回路的顶 点（变量格）。
基变量的构成
对于闭回路
xi1 j1 , xi1 j2 , xi2 j2 , xi2 j3 ,, xis js , xis j1
运输问题模型及有关概念
运输问题是一种 特殊的线性规划 问题，在求解时依然可以采用单纯形法 的思路。由于运输规划系数矩阵的特殊 性，如果直接使用线性规划单纯形法求 解计算，则无法利用这些有利条件。人 们在分析运输规划系数矩阵特征的基础 上建立了针对运输问题的 表上作业法。 在这里需要讨论基本可行解、检验数以 基的转换等问题。
基变量的构成
闭回路
xi1 j1 , xi2 j1 , xi2 j2 , xi3 j2 , xi3 j3 , xi4 j3 , xi4 j4 , xi1 j4 xi1 j1 xi2 j1 xi 4 j 4 xi3 j2 xi1 j4 xi 2 j 2 xi 4 j 3 xi3 j3
闭回路示意图
来自百度文库
基变量的构成
运输问题求解 —表上作业法
按照上述方法所产生的一组变量的取值将满足下面 条件： a．所得的变量均为非负，且变量总数恰好为 m+n-1 个； b．所有的约束条件均得到满足； c．所得的变量不构成闭回路。 因此所得的解一定是运输问题的基本可行解。 在上面的方法中： xij的选取方法并没有加以限定， 如果采取一定的规则来选取，则会产生不同的方法
x
i 1 j 1 n m
m
n
ij
ai
i 1 n
m
x b
j 1 i 1 ij j 1
j
m行 n行
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
运输问题模型及有关概念
解： 产销平衡问题： 总产量 = 总销量 设 xij 为从产地 Ai运往销地 Bj 的运输量，得到下列运输量表：
A1 A2 销量 B1 x11 x21 150 B2 x12 x22 150 B3 x13 x23 200 产量 200 300
运输问题模型及有关概念
Min f
= 6x11+4x12+6x13+6x21+5x22+5x23
xij dj
m
j = 1,2,…, n （3）
j=1 m
xij = si xij = dj
xij≥0(i=1,2,…, m;j=1,2,…, n)（4）
在模型（1）—（4）中，式（ 2）为 m 个产地的 产量约束；式（ 3）为 n 个销地的销量约束。
i=1

xij≥0(i=1,2,…, m;j=1,2,…, n)
m n
运输问题模型及有关概念
对于产销平衡问题，可得到下列运输 问题的模型：
m n
Min f =
n
i=1 j=1

cij xij i = 1,2,…, m
（1） （2）
s.t. xij si
j=1 i =1
Min f = s.t.
n
i=1 j=1

cij xij i = 1,2,…, m (5) j = 1,2,…, n (6)
pij ei em j
基变量个数 m+n-1
x11 x12 x1n x21 x22 x2 n xm1 xm 2 xmn b
基变量个数 m+n-1
x11 x12 x1n x21 x31 xm1
m 1行 n行 1 1 1 1 1 1 1 1 1 a1 a2 am b1 b2 bn
运输问题模型及有关概念
求一个初始基本可行解
是 判断基本可行解是否最优 不是 求使目标得到改善的基本可行解 结 束
运输问题有关概念
产销平衡的运输问题
min Z cij xij
n i 1~ m xij a i j 1 m s.t . xij b j j 1~ n i 1 xij 0, i 1 ~ m , j 1 ~ n
B1 A1 : Ai : Am b j b’ j=b’ b jj - x ij a’ i= a i- x ij xij ai a’i … … Bj … … Bn
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2016-9-20
运输问题求解 —表上作业法
初始基本可行解的确定 ①在供需表中任选一个单元 xij，尽量匹配产销，使 一个约束方程得以满足，填入相应位置； ②调整 Ai的拥有量及 Bj的需求量，分别减去 xij ，得 到调整后的拥有量 ai和需求量 bj ； ③若ai=0，则划去对应的行（拥有的量全部运走）， 若bj=0则划去对应的列（需求的量全部运来），且 每次只划去一行或一列（每次只去掉一个约束 ）； ④若平衡表中所有的行或列均被划去，则结束。 否则，在剩下的平衡表中选下一个变量，转 ②
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2016-9-20
运输问题模型及有关概念
模型系数矩阵特征 1. 共有m+n行，分别表示各 产地和销地； m列，分别表示各 变量； 2. 每列只有两个 1，其余 为 0，分别表示只有一个产地和 一个销地被使用。
运输问题模型及有关概念
一般运输问题的线性规划模型及求解思路 一般运输问题的提法： A1, A2,…, Am 表示某物资的 m个产地； B1,B2,…, Bn 表示某物资的 n个销地； si 表示产地 Ai 的产量； dj 表示销地 Bj 的销量； c ij 表示把物资为从产地 Ai 运往销地 Bj 的单位 运价。 如果 s1 + s2 + … + sm = d1 + d2 + … + dn ， 则称该运输问题为产销平衡问题；否则，称产销 不平衡。下面，首先讨论产销平衡问题。
约束方程系数矩阵结构
0 1 i行 pij 0 1 m j行 0 0 0 ei 1 i行 0 0
x11 x12 x1n x 21 x 22 x 2 n x m1 x m 2 x mn
┇
A1 A2 Am
┇
x11 x21 xm1 d1
┇
x 12 … x 1n x 22 … x 2n
┇
┇
┇
s1 s2 sm
x m2 … x mn d2 … dn
设 x ij 为从产地 A i 运往销地 B j 的运 输量，根据这个运输问题的要求，可以建立 运输变量表。
销量
运输问题模型及有关概念
于是得到下列一般运输问题的模型：
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第三章
运输问题
运输问题模型及有关概念
问题的提出 一般的运输问题就是要解决把 某种产品从若干个产地调运到若干个 销地，在每个产地的供应量与每个销 地的需求量已知，并知道各地之间的 运输单价的前提下，如何确定一个使 得总的运输费用最小的方案。
本章内容重点
n 运输问题与有关概念 n 运输问题的求解 —表上作业法 n 运输问题应用 —建模
运输问题模型及有关概念
例4.1: 某公司从两个产地 A1、 A2将物品运往三个销地 B1、B2、B3， 各产地的产量、各销地的销量和 各产地运往个销地每件物品的运 费如下表所示，问：应如何调运 可使总运输费用最小？
A1 A2 销量 B1 6 6 150 B2 4 5 150 B3 6 5 200 产量 200 300
其对应的列向量 线性相关
pi1 j1 , pi1 j2 , pi2 j2 , pi2 j3 , , pis js , pis j1
pi1 j1 pi1 j2 pi2 j2 pi2 j3 , pis js pis j1
ei1 em j1 ei1 em j2 ei2 em j2 ei2 em j3
其中， i1i2,….,i s互不相同， j1j2,….,j s互不相同） 上述形式的变量的集合称为一个闭回路 其中的变量称为闭回路的顶点 闭回路的特点：封闭、每行每列至多两个顶点
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2016-9-20
运输问题基变量
例如， x13, x16, x36, x34, x24, x21 ； x23, x53, x55, x45, x41, x12 ； x11, x14, x34, x31等都是闭回路。 若把闭回路的各变量格看作节点， 在表中可以画出如下形式的闭回路：
运输问题模型及有关概念
系数矩阵 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1
s.t. x11+ x12 + x13 =
x21 x11 x12 x13
200 + x22+ x23 = 300 + x21 = 150 + x22 = 150 + x23 = 200 x ij≥0(i=1,2；j=1,2,3）
A 的增广矩阵的秩小于 m+n
A 的增广矩阵的秩等于 m+n-1
运输问题基变量
特点
运输问题基变量
闭回路
运输问题的基变量共有 m + n -1 个， A的秩为 m + n -1。 运输问题的 m + n -1 个变量构成基 变量的充分必要条件是不含 闭回路。 重要概念 : 闭回路、闭回路的顶点
xi1 j1 , xi2 j1 , xi2 j2 , xi3 j2 ,, xis js , xi1 js x i1 j1 , x i1 j2 , x i2 j2 , x i2 j3 , , x is js , x is j1
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约束方程系数矩阵结构
m行 n行 0 1 1 1 1 1 1 1 i行 1 1 1 p 1 ij 1 1 0 1 m j行 1 1 1 0 1 1 1
is
e
em js eis em j1




0
若变量组中有一部分构成闭回路，则变量组线性 相关。
基变量的构成
定理：r个变量对应的系数列向量线性 无关的充要条件是变量组不包含闭回 路。 推论：m+n-1个变量构成基变量的充要 条件是不含闭回路。
运输问题求解 —表上作业法
运输问题模型及有关概念
表1 运输问题数据表
销地 产地
运输问题模型及有关概念
表2 运输问题变量表
销地
B1 c11 c21 cm1 d1
B2 … B n c 12 … c 1n c 22 … c 2n
┇
产量
B1
B2 … B n
产量
┇
A1 A2 Am
┇
┇
┇
┇
s1 s2 sm
产地
销量
c m2 … c mn d2 … d n
i, j
a b
i 1 i j 1
m
n
约束方程系数矩阵结构
j
x11 x12 x1n x 21 x 22 x 2 n x m1 x m 2 x mn
x
j 1
n
ij
ai
m行 n行
x
i 1
m
ij
bj
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
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运输问题模型及有关概念
在产销平衡问题中，约束条件成 为等式。 在实际问题建模时，还会出现如下变化： （1）有时目标函数求最大，如求利润最 大或营业额最大等； （2）当某些运输线路上的能力有限制时， 模型中可直接加入（等式或不等式）约束；
运输问题模型及有关概念
(3)产销不平衡的情况。当销量 大于产量时可加入一个虚设的产地 去生产不足的物资，这相当于在式 （2）每一式中加上 1 个松弛变量， 共 m 个；当产量大于销量时可加 入一个虚设的销地去消化多余的物 资，这相当于在式（ 3 ）每一式中 加上 1 个松弛变量，共 n 个。