初中数学几何专题讲座
初中数学竞赛平面几何讲座---巧添辅助-- 妙解竞赛题
初中数学巧添辅助-- 妙解竞赛题在某些数学竞赛问题中,巧妙添置辅助圆常可以沟通直线形和圆的内在联系,通过圆的有关性质找到解题途径.下面举例说明添置辅助圆解初中数学竞赛题的若干思路.1 挖掘隐含的辅助圆解题有些问题的题设或图形本身隐含着“点共圆”,此时若能把握问题提供的信息,恰当补出辅助圆,并合理挖掘图形隐含的性质,就会使题设和结论的逻辑关系明朗化.1.1 作出三角形的外接圆例1如图1,在△ABC中,AB＝AC,D是底边BC上一点,E是线段AD上一点且∠BED＝2∠CED＝∠A.求证：BD＝2CD.ABGC DFE 图1例 2 凸四边形ABCD 中,∠ABC ＝60°,∠BAD ＝∠BCD ＝90°, AB ＝2,CD ＝1,对角线AC 、BD 交于点O ,如图2.则sin ∠AOB ＝____.例3 已知：如图3,AB ＝BC ＝CA ＝AD ,AH ⊥CD 于H ,CP ⊥BC ,CP 交AH 于P . 求证：△ABC 的面积S ＝43AP ·BD .A图3BP QD HC ABCDPO图22 构造相关的辅助圆解题有些问题貌似与圆无关,但问题的题设或结论或图形提供了某些与圆的性质相似的信息,此时可大胆联想构造出与题目相关的辅助圆,将原问题转化为与圆有关的问题加以解决. 2.1 联想圆的定义构造辅助圆例4 如图4,四边形ABCD 中,AB ∥CD ,AD ＝DC ＝DB ＝p ,BC ＝q .求对角线AC 的长.2.2 联想直径的性质构造辅助圆例5 已知抛物线y ＝－x 2＋2x ＋8与x 轴交于B 、C 两点，点D 平分BC .若在x 轴上侧的A 点为抛物线上的动点,且∠BAC 为锐角,则AD 的取值范围是____.A EDCB图4图5例6 AD 是Rt △ABC 斜边BC 上的高,∠B 的平行线交AD 于M ,交AC 于N . 求证：AB 2－AN 2＝BM ·BN .例7 如图7,ABCD 是⊙O 的内接四边形,延长AB 和DC 相交于E ,延长AB 和DC 相交于E ,延长AD 和BC 相交于F ,EP 和FQ 分别切⊙O 于P 、Q .求证：EP 2＋FQ 2＝EF 2.EANCD B FM 12345图6例8 如图8,△ABC 与△A ＇B ＇C ＇的三边分别为a 、b 、c 与a ＇、b ＇、c ＇,且∠B ＝∠B ＇,∠A ＋∠A ＇＝180°.试证：aa ＇＝bb ＇＋cc ＇.同步练习题1. 作一个辅助圆证明：△ABC 中,若AD 平分∠A ,则AC AB ＝DCBD.2. 已知凸五边形ABCDE 中,∠BAE ＝3a ,BC ＝CD ＝DE ,∠BCD ＝∠CDE ＝180°－2a . 求证：∠BAC ＝∠CAD ＝∠DAE .3. 在△ABC 中AB ＝BC ,∠ABC ＝20°,在AB 边上取一点M ,使BM ＝AC .求∠AMC 的度数.(1)(2)图8ABCA'B'C'cb a'c'b'3. 如图10,AC 是ABCD 较长的对角线,过C 作CF ⊥AF ,CE ⊥AE .求证：AB ·AE ＋AD ·AF ＝AC 2.4. 如图11.已知⊙O 1和⊙O 2相交于A 、B ,直线CD 过A 交⊙O 1和⊙O 2于C 、D ,且AC ＝AD ,EC 、ED 分别切两圆于C 、D . 求证：AC 2＝AB ·AE .6．已知E 是△ABC 的外接圆之劣弧BC 的中点. 求证：AB ·AC ＝AE 2－BE 2.7. 若正五边形ABCDE 的边长为a ,对角线长为b ,试证：a b －ba＝1.F DAB EC图10C图11初中数学巧添辅助-- 妙解竞赛题答案在某些数学竞赛问题中,巧妙添置辅助圆常可以沟通直线形和圆的内在联系,通过圆的有关性质找到解题途径.下面举例说明添置辅助圆解初中数学竞赛题的若干思路.1 挖掘隐含的辅助圆解题有些问题的题设或图形本身隐含着“点共圆”,此时若能把握问题提供的信息,恰当补出辅助圆,并合理挖掘图形隐含的性质,就会使题设和结论的逻辑关系明朗化. 1.1 作出三角形的外接圆例1 如图1,在△ABC 中,AB ＝AC ,D 是底边BC 上一点,E 是线段AD 上一点且∠BED ＝2∠CED ＝ ∠A .求证：BD ＝2CD .分析：关键是寻求∠BED ＝2∠CED 与结论的联系. 容易想到作∠BED 的平分线,但因BE ≠ED ,故不能 直接证出BD ＝2CD .若延长AD 交△ABC 的外接圆 于F ,则可得EB ＝EF ,从而获取.证明：如图1,延长AD 与△ABC 的外接圆相交于点F ,连结CF 与BF ,则∠BFA ＝∠BCA ＝∠ABC ＝∠AFC ,即∠BFD ＝∠CFD .故BF :CF ＝BD :DC .又∠BEF ＝∠BAC ,∠BFE ＝∠BCA ,从而∠FBE ＝∠ABC ＝∠ACB ＝∠BFE . 故EB ＝EF .作∠BEF 的平分线交BF 于G ,则BG ＝GF . 因∠GEF ＝21∠BEF ＝∠CEF ,∠GFE ＝∠CFE ,故△FEG ≌△FEC .从而GF ＝FC . 于是,BF ＝2CF .故BD ＝2CD . 1.2 利用四点共圆例2 凸四边形ABCD 中,∠ABC ＝60°,∠BAD ＝ ∠BCD ＝90°,AB ＝2,CD ＝1,对角线AC 、BD 交于点O ,如图2. 则sin ∠AOB ＝____.ABGCD FE图1ABCDPO 图2分析：由∠BAD ＝∠BCD ＝90°可知A 、B 、C 、D四点共圆,欲求sin ∠AOB ,联想到托勒密定理,只须求出BC 、AD 即可.解：因∠BAD ＝∠BCD ＝90°,故A 、B 、C 、D 四点共圆.延长BA 、CD 交于P ,则∠ADP ＝∠ABC ＝60°.设AD ＝x ,有AP ＝3x ,DP ＝2x .由割线定理得(2＋3x )3x ＝2x (1＋2x ).解得AD ＝x ＝23－2,BC ＝21BP ＝4－3. 由托勒密定理有BD ·CA ＝(4－3)(23－2)＋2×1＝103－12.又S ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD ＝233. 故sin ∠AOB ＝263615 . 例3 已知：如图3,AB ＝BC ＝CA ＝AD ,AH ⊥CD 于H ,CP ⊥BC ,CP 交AH 于P .求证： △ABC 的面积S ＝43AP ·BD . 分析：因S △ABC ＝43BC 2＝43AC ·BC ,只 须证AC ·BC ＝AP ·BD ,转化为证△APC ∽△BCD .这由A 、B 、C 、Q 四点共圆易证(Q 为BD 与AH 交点).证明：记BD 与AH 交于点Q ,则由AC ＝AD ,AH ⊥CD 得∠ACQ ＝∠ADQ . 又AB ＝AD ,故∠ADQ ＝∠ABQ .从而,∠ABQ ＝∠ACQ .可知A 、B 、C 、Q 四点共圆. ∵∠APC ＝90°＋∠PCH ＝∠BCD ,∠CBQ ＝∠CAQ , ∴△APC ∽△BCD . ∴AC ·BC ＝AP ·BD . 于是,S ＝43AC ·BC ＝43AP ·BD . A图3BPQDHC2 构造相关的辅助圆解题有些问题貌似与圆无关,但问题的题设或结论或图形提供了某些与圆的性质相似的信息,此时可大胆联想构造出与题目相关的辅助圆,将原问题转化为与圆有关的问题加以解决. 2.1 联想圆的定义构造辅助圆例4 如图4,四边形ABCD 中,AB ∥CD ,AD ＝DC ＝DB ＝p ,BC ＝q .求对角线AC 的长.分析：由“AD ＝DC ＝DB ＝p ”可知A 、B 、C 在 半径为p 的⊙D 上.利用圆的性质即可找到AC 与 p 、q 的关系.解：延长CD 交半径为p 的⊙D 于E 点,连结AE . 显然A 、B 、C 在⊙D 上. ∵AB ∥CD ,∴BC ＝AE . 从而,BC ＝AE ＝q .在△ACE 中,∠CAE ＝90°,CE ＝2p ,AE ＝q ,故 AC ＝22AE CE -＝224q p -. 2.2 联想直径的性质构造辅助圆例5 已知抛物线y ＝－x 2＋2x ＋8与x 轴交于B 、C 两点，点D 平分BC .若在x 轴上侧的A 点为抛物线上的动点,且∠BAC 为锐角,则AD 的取值范围是____.分析：由“∠BAC 为锐角”可知点A 在以定线段BC 为直径的圆外,又点A 在x 轴上侧,从而可确定动点A 的范围,进而确定AD 的取值范围. 解：如图5,所给抛物线的顶点为A 0(1,9), 对称轴为x ＝1,与x 轴交于两点B (－2,0)、 C (4,0).分别以BC 、DA 为直径作⊙D 、⊙E ,则两圆与抛物线均交于两点P (1－22,1)、A EDCB图4图5Q (1＋22,1).可知,点A 在不含端点的抛物线PA 0Q 内时,∠BAC ＜90°.且有3＝DP ＝DQ ＜AD ≤DA 0＝9,即AD 的取值范围是3＜AD ≤9. 2.3 联想圆幂定理构造辅助圆例6 AD 是Rt △ABC 斜边BC 上的高,∠B 的平行线交AD 于M ,交AC 于N .求证：AB 2－AN 2＝BM ·BN .分析：因AB 2－AN 2＝(AB ＋AN )(AB －AN )＝BM ·BN ,而由题设易知AM ＝AN ,联想割线定理,构造辅助圆即可证得结论. 证明：如图6,∵∠2＋∠3＝∠4＋∠5＝90°, 又∠3＝∠4,∠1＝∠5, ∴∠1＝∠2.从而,AM ＝AN . 以AM 长为半径作⊙A ,交AB 于F ,交 BA 的延长线于E .则AE ＝AF ＝AN . 由割线定理有 BM ·BN ＝BF ·BE ＝(AB ＋AE )(AB －AF ) ＝(AB ＋AN )(AB －AN ) ＝AB 2－AN 2, 即 AB 2－AN 2＝BM ·BN .例7 如图7,ABCD 是⊙O 的内接四边形,延长AB 和DC 相交于E ,延长AB 和DC 相交于E ,延长AD 和BC 相交于F ,EP 和FQ 分别切⊙O 于P 、Q .求证：EP 2＋FQ 2＝EF 2. 分析：因EP 和FQ 是⊙O 的切线,由结论联想到切割线定理,构造辅助圆使EP 、FQ 向EF 转化.证明：如图7,作△BCE 的外接圆交EF 于G ,连 结CG .因∠FDC ＝∠ABC ＝∠CGE ,故F 、D 、C 、G 四点共圆.EA N D BFM 12345图6由切割线定理,有 EF 2＝(EG ＋GF )·EF ＝EG ·EF ＋GF ·EF ＝EC ·ED ＋FC ·FB＝EC ·ED ＋FC ·FB ＝EP 2＋FQ 2,即 EP 2＋FQ 2＝EF 2.2.4 联想托勒密定理构造辅助圆 例8 如图8,△ABC 与△A ＇B ＇ C ＇的三边分别为a 、b 、c 与a ＇、 b ＇、c ＇,且∠B ＝∠B ＇,∠A ＋∠A ＇＝180°.试证：aa ＇＝bb ＇＋cc ＇. 分析：因∠B ＝∠B ＇,∠A ＋∠A ＇＝180°,由结论联想到托勒密定理,构造圆内接四边形加以证明.证明：作△ABC 的外接圆,过C 作CD ∥AB 交圆于D ,连结AD 和BD ,如图9所示. ∵∠A ＋∠A ＇＝180°＝∠A ＋∠D , ∠BCD ＝∠B ＝∠B ＇,∴∠A ＇＝∠D ,∠B ＇＝∠BCD .∴△A ＇B ＇C ＇∽△DCB .有DC B A ''＝CB C B ''＝DBC A '',即 DC c '＝a a '＝DB b '.故DC ＝''a ac ,DB ＝''a ab .又AB ∥DC ,可知BD ＝AC ＝b ,BC ＝AD ＝a . 从而,由托勒密定理,得 AD ·BC ＝AB ·DC ＋AC ·BD , 即 a 2＝c ·''a ac ＋b ·''a ab . 故aa ＇＝bb ＇＋cc ＇.练习题(1)(2)图8ABCA'B'C'ca b a'c'b'A BCDa b b c图91. 作一个辅助圆证明：△ABC 中,若AD 平分∠A ,则AC AB ＝DCBD. (提示：不妨设AB ≥AC ,作△ADC 的外接圆交AB 于E ,证△ABC ∽△DBE ,从而AC AB ＝DEBD＝DCBD.) 2. 已知凸五边形ABCDE 中,∠BAE ＝3a ,BC ＝CD ＝DE ,∠BCD ＝∠CDE ＝180°－2a .求证：∠BAC ＝∠CAD ＝∠DAE .(提示：由已知证明∠BCE ＝∠BDE ＝180°－3a ,从而A 、B 、C 、D 、E 共圆,得∠BAC ＝∠CAD ＝∠DAE .)3. 在△ABC 中AB ＝BC ,∠ABC ＝20°,在AB 边上取一点M ,使BM ＝AC .求∠AMC 的度数. (提示：以BC 为边在△ABC 外作正△KBC ,连结KM ,证B 、M 、C 共圆,从而∠BCM ＝21∠BKM ＝10°,得∠AMC ＝30°.) 4．如图10,AC 是ABCD 较长的对角线,过C 作CF ⊥AF ,CE ⊥AE .求证：AB ·AE ＋AD ·AF ＝AC 2. (提示：分别以BC 和CD 为直径作圆交AC 于点 G 、H .则CG ＝AH ,由割线定理可证得结论.) 5. 如图11.已知⊙O 1和⊙O 2相交于A 、B ,直线CD 过A 交⊙O 1和⊙O 2于C 、D ,且AC ＝AD ,EC 、ED 分别切两圆于C 、D .求证：AC 2＝AB ·AE . (提示：作△BCD 的外接圆⊙O 3,延长BA 交⊙O 3 于F ,证E 在⊙O 3上,得△ACE ≌△ADF ,从而AE ＝AF ,由相交弦定理即得结论.)6．已知E 是△ABC 的外接圆之劣弧BC 的中点. 求证：AB ·AC ＝AE 2－BE 2.(提示：以BE 为半径作辅助圆⊙E ,交AE 及其延长线于N 、M ,由△ANC ∽△ABM 证AB ·AC ＝AN ·AM .)7. 若正五边形ABCDE 的边长为a ,对角线长为b ,试证：a b －ba＝1. (提示：证b 2＝a 2＋ab ,联想托勒密定理作出五边形的外接圆即可证得.)FDAEC图10图11。
初中数学讲座-初中数学平面几何解题教学 (讲座稿)
——以二道中考平几压轴题为例
★“课标”（2011）的相关要求
数学课程能使学生掌握必备的基础知识和基本技能，培养学生 的抽象思维和推理能力，培养学生的创新意识和实践能力，促 进学生在情感上、态度与价值观方面的发展。 各学段中，安排了四个部分的内容：数与代数、图形与几何、 统计与概率、综合与实践。 推理能力的发展应贯穿于整个数学学习的过程中。推理是数学 的基本思维方式，也是人们学习和生活中使用的思维方式。推 理一般包括合情推理和演绎推理，合情推理是从已有的事实出 发，凭借经验和直觉，经过归纳和类比等推断某些结果；演绎 推理是从已有事实（包括定义、公理、定理等）和确定的规则 （包括运算的定义、法则、顺序等）出发，按照逻辑推理的法 则证明和计算。在解决问题的过程中，两种推理功能不同，相 辅相成：合情推理用于探索思路，发现结论；演绎推理用于证 明结论。
图4
图5
类比探究：等腰直角三角形
拓展1 在任意△ABC中,F、G、M分别是AB、AC、BC的中点， 分别以AF、AG为边向外作正n边形（n为大于2的整数），如： 正三角形ADF，正三角形AGE（图6）；正方形AFDL，正方形 AGEO（图7）；正五边形AGEXY（图8）；‥ ‥， ∠EMD=y.
图6
解析：（1）EB=FD，理由如下.
因为以四边形ABCD的边AB、AD为边分别向外侧作为等边三角形 ABF和ADE，所以AF=AE， ∠FAB= ∠EAD=60°.因为∠FAD= ∠BAD+∠FAB=90°+60°=150°，∠BAE=∠BAD+∠EAD=90° +60°=150°，所以∠FAD=∠BAE.在△AFD和△ABE中，AF=AE， ∠FAD =∠BAE，AD=AB，所以△AFD≌△AEB，所以EB=FD.
初中数学几何专题讲座
初中数学几何专题讲座例题分析(08)如图，设AD，BE，CF为△ABC的三条高，若AB = 6，BC = 5，EF = 3，则线段BE的长为（）（A）185（B）4 （C）215（D）245【解】因为AD，BE，CF为△ABC的三条高，易知B，C，E，F四点共圆，于是△AEF∽△ABC，故AFAC=EFBC=35，即cos∠BAC =35，所以sin∠BAC =45。
在Rt△ABE中，BE = AB sin∠BAC = 6 ×45=245；(08)在△ABC中，∠ABC = 12°，∠ACB = 132°，BM和CN分别是这两个角的外角平分线，且点M，N分别在直线AC和直线AB上，则（）（A）BM > CN （B）BM = CN （C）BM < CN （D）BM和CN的大小关系不确定【解】∵∠ABC = 12°，BM为∠ABC的外角平分线，∴∠MBC =12( 180°– 12° ) = 84°，又∠BCM = 180°–∠ACB = 180°– 132° = 48°，∴∠BCM= 180°–84°–48°= 48°，∴BM = BC，又∠ACN =12( 180°–∠ACB ) =12( 180°– 132° ) = 24°，∴∠BNC = 180°–∠ABC –∠BCN = 180°– 12°– (∠ACB +∠CAN ) = 12°=∠ABC，∴CN = CB，因此，BM = BC = CN；(08)如图，正方形ABCD的边长为1，M，N为BD所在直线上的两点，且AMMAN = 135°，则四边形AMCN的面积为。
【解】设BD中点为O，连AO，则AO⊥BD，，∴MB = MO –ABM =∠NDA = 135°，∠NAD =∠MAN –∠DAB –∠MAB = 135°– 90°–∠MAB = 45°–∠MAB =∠AMB，所以△ADN∽△MBA，故ADMB=DNBA，从而DN =ADMB∙×，根据对称性可知，四边形AMCN的面积S = 2 S△MAN= 2 ×12×MN ×AO = 2 ×12×)=52；(08)如图，圆O与圆D相交于A，B两点，BC为圆D的切线，点C在圆O上，且AB = BC。
数学专题讲座教案模板范文
一、讲座主题：《探索数学之美——几何图形的奥秘》二、讲座目标：1. 让学生了解几何图形的基本概念和性质。
2. 培养学生对几何图形的观察、分析、推理能力。
3. 激发学生对数学学习的兴趣，提高数学素养。
三、讲座对象：初中一年级学生四、讲座时间：1课时五、讲座内容：一、导入1. 展示生活中的几何图形，如建筑、家具等，引导学生思考几何图形与生活的关系。
2. 提问：你们对几何图形有哪些了解？生活中常见的几何图形有哪些？二、几何图形的基本概念和性质1. 讲解几何图形的定义，如点、线、面、体等。
2. 介绍常见的几何图形，如三角形、四边形、五边形等，讲解其性质。
3. 通过实例分析，让学生理解几何图形的面积、周长、体积等概念。
三、几何图形的观察与推理1. 展示几何图形的图片，引导学生观察图形的特征，如形状、大小、位置等。
2. 提问：如何判断两个图形是否全等？如何证明一个几何命题？3. 讲解几何证明的基本方法，如公理、定理、定义等。
四、几何图形的实际应用1. 介绍几何图形在生活中的应用，如建筑设计、工程计算等。
2. 通过实例分析，让学生了解几何图形在实际问题中的运用。
3. 引导学生思考如何运用几何知识解决实际问题。
五、总结与反思1. 总结本节课所学内容，强调几何图形的基本概念和性质。
2. 引导学生反思：学习几何图形有什么意义？如何将所学知识运用到生活中？3. 鼓励学生在日常生活中发现数学之美，提高数学素养。
六、课后作业1. 完成课后练习题，巩固所学知识。
2. 观察生活中的几何图形，记录并分享。
七、教学资源：1. 几何图形的图片、视频资料。
2. 几何证明的相关书籍、网站。
3. 实际应用案例的图片、视频资料。
八、教学评价：1. 观察学生在课堂上的参与程度，如提问、回答问题等。
2. 课后收集学生的作业，了解学生对知识的掌握程度。
3. 定期进行问卷调查，了解学生对数学学习的兴趣和态度。
初中数学《几何意义及经典试题》讲义及练习
内容 基本要求略高要求较高要求绝对值 借助数轴理解绝对值的意义，会求实数的绝对值会利用绝对值的知识解决简单的化简问题板块一：绝对值几何意义当x a =时，0x a -=，此时a 是x a -的零点值．零点分段讨论的一般步骤：找零点、分区间、定符号、去绝对值符号．即先令各绝对值式子为零，求得若干个绝对值为零的点，在数轴上把这些点标出来，这些点把数轴分成若干部分，再在各部分内化简求值． a 的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离．a b -的几何意义：在数轴上，表示数a 、b 对应数轴上两点间的距离．【例1】 （2级）m n -的几何意义是数轴上表示m 的点与表示n 的点之间的距离．⑴ x 的几何意义是数轴上表示 的点与 之间的距离；x 0x -（>，=，<）； ⑵ 21-的几何意义是数轴上表示2的点与表示1的点之间的距离；则21-= ； ⑶ 3x -的几何意义是数轴上表示 的点与表示 的点之间的距离，若31x -=，则 x = ．⑷ 2x +的几何意义是数轴上表示 的点与表示 的点之间的距离，若22x +=，则 x = ．⑸ 当1x =-时，则22x x -++= ．【解析】 ⑴ x ，原点；=；⑵1；⑶x ，3，2或4；⑷x ，2-，0或4-；⑸4．【例2】 （4级）已知m 是实数，求12m m m +-+-的最小值【解析】 根据绝对值的几何意义，这个问题可以转化为在数轴上找一点m ，使点m 到点0，点1和点2的距离之和最小，显然当1m =时，原式的最小值为2【例3】 （4级）已知m 是实数，求2468m m m m -+-+-+-的最小值【解析】 根据绝对值的几何意义，这个问题可以转化为在数轴上找一点m ，使m 到点2，点4，点6和点8的距离和最小，显然当点m 在点4和点6之间（包括点4和点6）时，原式的值最小为8【例4】 （6级）设123...n a a a a ，，，是常数（n 是大于1的整数），且123...n a a a a <<<<，m 是任意实数，试探例题精讲中考要求几何意义及经典试题索求123...n m a m a m a m a -+-+-++-的最小值的一般方法【解析】 根据题意，结合数轴，不难得到：⑴当n 为奇数时，即当21n k =+（k 为正整数）时，点m 应取在点1k a +处，原式的值最小，最小值为()()()211222...k k k k a a a a a a ++-+-++-⑵当n 为偶数2k （k 是正整数）时，m 应取点k a 和点1k a +之间的任意位置，原式的值最小，最小值为()()()212121...k k k k a a a a a a -+-+-++-【例5】 （8级）122009x x x -+-++-的最小值为 ．【解析】 当1005x =时，122009x x x -+-++-取到最小值：122009x x x -+-++-100511005210052009=-+-++-1004100310110031004=++++++++(10041)10041009020=+⨯=点评：若1221n a a a +<<<，当1n x a +=时，1221n x a x a x a +-+-++-取得最小值．若122n a a a <<<，当x 满足1n n a x a +≤≤时，122n x a x a x a -+-++-取得最小值．【巩固】 （8级）试求123...2005x x x x -+-+-++-的值【解析】 联想到绝对值的几何意义：n x x -即表示数轴上数x 的对应点与数n x 的对应点的距离，把这些绝对值转化为同一数轴上若干条线段之和来研究，发现12x x -+-，当12x ≤≤时，它有最小值1，对于123x x x -+-+-，当2x =时，最小值为2，…猜想当1003x =时，原式有最小值 最小值为123...2005x x x x =-+-+-++-100311003210033...10032005=-+-+-++- 100210011000...21012...1002=++++++++++()10021002122⨯+=⨯1005006=【巩固】 （6级）(2000年郑州市中考题)设a b c <<，求当x 取何值时x a x b x c -+-+-的最小值． 【解析】 x a x b x c -+-+-实际表示x 到a b c ，，三点的距离和，画图可知当x b =时，原式有最小值为c a -．【巩固】 （6级）（2009年全国初中数学联赛四川初赛试卷）若1x 、2x 、3x 、4x 、5x 、6x 是6个不同的正整数，取值于1，2，3，4，5，6，记122334455661||||||||||S x x x x x x x x x x x x =-+-+-+-+-+-，则S 的最小值是 ． 【解析】 利用此题我们充分展示一下数形结合的优越性：利用绝对值的几何意义122334455661||||||||||x x x x x x x x x x x x -+-+-+-+-+-在数轴上表示出来，从1x 开始又回到1x ，我们可以看成是一个圈，故最小值为10，如下图所示，即使重叠路程最少．【例6】 （6级）（选讲）正数a 使得关于x 的代数式162x x x a ++-+-的最小值是8，那么a 的值为 ． 【解析】 如果6a ≤，那么当x a =时，16216(1)(6)7x x x a a a a a ++-+-=++-=++-=，小于8与已知条件矛盾．所以6a >，那么算式162x x x a ++-+-的几何意义是点x 到1-、6、a 、a 的4个距离之和，当6x a ≤≤时取最小值，因此令6x =可得7268a +-=，解得132a =．【巩固】 （6级）（第七届“走进美妙的数学花园”）182324x x a x x -+-+-+-的最小值为12，则a 的取值范围是 ． 【解析】 最小值一定能在零点处取到，而零点处代数式值为142a +、5a +、12、19a +，故12是这四个数中最小的，即14212a +≥且512a +≥且1912a +≥，所以7a ≥．【例7】 （6级）（第18届希望杯培训试题）已知代数式374x x -+-=，则下列三条线段一定能构成三角形的是（ ）．A ． 1，x ，5B ． 2，x ，5C ． 3，x ，5D ． 3，x ，4【解析】 根据374x x -+-=可得37x ≤≤，所以选择C ．【巩固】 （6级）⑴是否存在有理数x ，使132x x ++-=？⑵是否存在整数x ，使433414x x x x -+-++++=？如果存在，求出所有整数x ，如果不存在，请说明理由 【解析】 ⑴不存在⑵3210x x x x =±=±=±=，，，【巩固】 （6级）（第17届希望杯培训试题）不等式127x x ++-<的整数解有 个．【解析】 可分类讨论来做，也可以利用绝对值的几何意义来解，127x x ++-<的整数解表示数轴上到1-和2的距离之和小于7的点集合，利用数轴容易找到满足条件的整数有2-、1-、0、1、2、3共六个．【例8】 （8级）一共有多少个整数x 适合不等式20009999x x -+≤.【解析】 零点为2000和0，可将数轴分成几段去考虑：（1）当2000x ≥时，原不等式变形为：20009999x x -+≤，进而得：5999.5x ≤，即20005999.5x ≤≤，共有4000个整数适合；（2）当02000x <<时，原不等式变形为：20009999x x -+≤，而20009999<恒成立， 所以又有2000个整数适合.（3）当0x <时，原不等式变形为2000()9999x x -+-≤，3999.5x ≥-，即3999.50x -<<，共有3999个整数适合.综上所得共有9999个整数适合不等式20009999x x -+≤.【例9】 （8级）已知11x y ≤，≤，设1124M x y y x =++++--，求M 的最大值和最小值 【解析】 由已知首先讨论绝对值符号内的代数式的符号因为1x ≤，所以11x -≤≤，所以012x +≤≤，同理可得012y +≤≤因为1y ≤，所以11y -≤≤，所以222y -≤≤⑴因为1x ≤，所以11x -≤≤，所以11x --≤≤，所以14414x -----≤≤ 即543x ----≤≤⑵⑴与⑵同向相加得7241y x ----≤≤ 化简M 的表达式：26M x y =-+ 求M 的取值范围：因为11y -≤≤，所以222x -≤≤ 因为11y -≤≤，所以11y --≤≤所以323x y --≤≤ 所以3269x y -+≤≤ 当11x y ==-，时，M 最大值为9 当11x y =-=，时，M 最小值为3【例10】 （8级）(第12届希望杯试题)彼此不等的有理数a b c ，，在数轴上的对应点分别为A ，B ，C ，如果a b b c a c -+-=-，那么A ，B ，C 的位置关系是_____．【解析】 由绝对值的几何意义知, a b -表示点A 与点B 之间的距离；b c -表示点B 与点C 之间的距离；表示点A 与点C 之间的距离；当点B 位于点A 与点C 之间（包括A ，C 两点）时,a b b c -+-取得最小值，为a c -．由题设知，a ，b ，c 相等，以A ，B ，C 不重合，故点B 位于点A 与点C 之间(包括A ,C 两点)．【巩固】 （4级）有理数a 、b 、c 、d 各自对应着数轴上X 、Y 、Z 、R 四个点，且（1）b d -比a b -，a c -、a d -、b c -、c d -都大； （2）d a a c d c -+-=-；（3）c 是a 、b 、c 、d 中第二大的数.则点X 、Y 、Z 、R 从左到右依次是 【解析】 R 、X 、Z 、Y .【巩固】 （6级）（第14届希望杯1试）如右图所示，若a 的绝对值是b 的绝对值的3倍，则数轴的原点在点．（填“A ”“B ”“C ”或“D ”）【解析】 因为a 的绝对值是b 的绝对值的3倍，且a b <，当0a b <<时，由3a b =，得原点的坐标在点D 处； 当0a b <<时，由3a b =，得原点的坐标在点C 处； 当0a b <<时，由3a b =，满足条件的点不存在； 综上，知坐标原点在C 或D ．【巩固】 （6级）（05年北京市中学生数学竞赛）（第15届希望杯培训试题）如果1a b -=，1b c +=，2a c +=，求2a b c ++的值．【解析】 （法1）：可以去掉绝对值，分类讨论，但非常麻烦，我们仍可采用数形结合的方法，从绝对值的几何意义出发．根据1a b -=，()1b c b c +=--=，()2a c a c +=--=，我们可以得到a 、b 、c -三点在数轴上从左到右依次是c -、b 、a 或a 、b 、c -，我们会发现在这两种情况下，()a c --，()b c --同号，所以2()()()()3a b c a c b c a c b c a c b c ++=--+--=--+--=+++=． （法2）：我们发现112a b b c a b b c a c +=-++=-++=+= 所以a b -、b c +同号，所以有11a b b c -=-⎧⎨+=-⎩（两式相加可得2a c +=-）或11a b b c -=⎧⎨+=⎩（两式相加可得2a c +=）， 综合上述两种情况，我们可以得到23a b c a c b c ++=+++=．【巩固】 （8级）（15希望杯1试）（北京市数学竞赛）已知a 、b 、c 、d 都是整数，且2a b b c c d d a +++++++=，则a d += ． 【解析】 法1：四个非负整数和为2，a d +只可能为0、1或2． 讨论：① 当0a =，0b =，1c =，0d =，满足条件，0a d +=； ② 当1a =，0b =，0c =，0d =，满足条件，1a d +=；③ 若2a d +=，即0a d +≠且0a b +=，0b c +=，0c d +=，∴0a b +=，0b c +=，0c d +=，故()()()0000a b b c c d a d =-+=+-+++=+，这与0a d +≠矛盾．所以，0a b +=或1．法2：我们希望利用绝对值的几何意义出发解答问题，所以需要对题干进行适当变形 ()()()()2a b c b c d a d --+--+--+--=，那么题目相当于：（渗入换元思想）已知a 、c 、m 、n 都是整数，且2a m c m c n a n -+-+-+-=，则a n -= ． 因为a 、c 、m 、n 都是整数，所以a n -可能为2、1、0 （以下过程教师均须借助数轴讲解）若2a n -=，那么a m -、c m -、c n -均为0，但2a n -=，a m -、c m -为0， 得c n -为2，矛盾，所以2a n -≠；若1a n -=，当a 、m 相同，c 、n 相同时，2a m c m c n a n -+-+-+-=成立； 若0a n -=，当a 、c 、n 相同时，2a m c m c n a n -+-+-+-=成立； 所以a d +=0或1．【例11】 （8级）（2006年山东竞赛试题）在数轴上把坐标为123...2006，，，，的点称为标点，一只青蛙从点1出发，经过2006次跳动，且回到出发点，那么该青蛙所跳过的全部路径的最大长度是多少？请说明理由【解析】 设青蛙依次到达的点为12320061...x x x x x ，，，，，，整个跳过的路径长度为 12233420061...S x x x x x x x x =-+-+-++-()()2210041005...20062123..100321003+++-++++=⨯≤故青蛙跳过的路径的最大长度为221003⨯【例12】 （6级）如图所示，在一条笔直的公路上有7个村庄，其中A 、B 、C 、D 、E 、F 到城市的距离分别为4、10、15、17、19、20千米，而村庄G 正好是AF 的中点．现要在某个村庄建一个活动中心，使各村到活动中心的路程之和最短，则活动中心应建在什么位置？【解析】 因为村庄G 是AF 的中点，所以村庄G 到城市的距离为12千米，即村庄G 在村庄B C 、之间，7 个村庄依次排列为A B G C D E F 、、、、、、．设活动中心到城市的距离为x 千米，各村到活动中心的距离之和为y 千米，则：4101215171920y x x x x x x x =-+-+-+-+-+-+-因为4101215171920<<<<<<，所以当15x =时y 有最小值，所以活动中心应当建在C 处．【巩固】 （6级）如图所示为一个工厂区的地图，一条公路（粗线）通过这个地区，7个工厂1A ，2A ，…，7A 分布在公路的两侧，由一些小路（细线）与公路相连．现在要在公路上设一个长途汽车站，车站到各工厂（沿公路、小路走）的距离总和越小越好，那么这个车站设在什么地方最好？如果在P 点又建立了一个工厂，并且沿着图上的虚线修了一条小路，那么这时车站设在什么地方好？FEDCBPA 7A 6A 5A 4A 3A 2A 1【解析】 每一条小路都是工厂到车站的必经之路，和其他工厂无关．但在公路上，有些路段将是一些工厂重复经过的，应使重复路线越短越好．要使各工厂到车站的距离之和最小，只要各工厂经小路进入公路的入口处（B C D E F 、、、、）到车站的距离之和最小即可，各路段的弯曲程度是无关紧要的，因此可以把公路看成一条直线，这就和题例题6类似了！即车站设在D 点最好．若在P 处再建一个工厂，则车站建在D 处、E 处或它们之间的任何地方都是最佳的．【例13】 （6级）（山东省烟台中考）先阅读下面的材料，然后回答问题：在一条直线上有依次排列的()1n n >台机床在工作，我们要设置一个零件供应站P ，使这n 台机床到供应站P 的距离总和最小，要解决这个问题，先“退”到比较简单的情形：如图甲，如果直线上有2台机床时，很明显设在1A 和2A 之间的任何地方都行，因为甲和乙所走的距离之和等于1A 到2A 的距离。
初中数学复习几何模型专题讲解4---等腰直角三角形构造三垂直模型
初中数学复习几何模型专题讲解专题04 等腰直角三角形构造三垂直模型一、解答题1．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝k1x＋b的图象与x轴交于点A（－3，0），与y轴交于点B，且与正比例函数y＝kx的图象交点为C（3，4）．（1）求k值与一次函数y＝k1x＋b的解析式；（2）在x轴上有一动点P，求当PB+PC最小时P点坐标．（3）若点D在第二象限，△DAB是以AB为直角边的等腰直角三角形，请求出点D的坐标；【答案】（1）k= 43，y=23x+2；（2）P(1，0)；（3）（﹣5，3）或（﹣2，5）【分析】（1）根据待定系数法求解即可；（2）作点B关于x轴对称的点B＇，连接B＇C，交x轴于点P，此时PB+PC最小，求出直线B＇C的解析式，求出直线B＇C与x轴的交点坐标即可；（3）分两种情况讨论：①当∠DAB=90°时；②当∠D＇BA=90°时，添加辅助线构造全等三角形进行求解即可．【详解】解：（1）由题意，将点C(3，4)代入y=kx 中，得：4=3k ，解得：k= 43， 再将点C(3，4)、点A （﹣3，0）代入y ＝k 1x ＋b 中，得：113034k b k b -+=⎧⎨+=⎩， 解得：1232k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴函数y ＝k 1x ＋b 的解析式为：y=23x+2； （2）如图，作点B 关于x 轴对称的点B ＇，连接B ＇C ，交x 轴于点P ，此时PB+PC 最小，在y=23x+2中，令x=0，则y=2， ∴B(0，2)，则B ＇（0，﹣2），设直线B ＇C 的解析式为y ＝k 2x ﹣2，将C （3，4）代入得：4=3k 2﹣2，解得：k 2=2，∴直线B ＇C 的解析式为y ＝2x ﹣2，令y=0，由0=2x ﹣2得：x=1，∴点P 坐标为（1，0）；（3）根据题意，OA=3，OB=2，分两种情况：①当∠DAB=90°时，DA=AB ，过点D作DM⊥x轴于E，∵∠DAM+∠BAO=90°，∠BAO+∠ABO=90°，∴∠DAM=∠ABO，∵∠DMA=∠AOB=90°，DA=AB，∴△DAM≌△ABO(AAS)，∴DM=OA=3，MA=OB=2，∴D(﹣5，3)；②当∠D＇BA=90°时，D＇B=AB，过D＇作D＇N⊥y轴于N，同理可证△D＇BN≌△BAO(AAS)，∴BN=OA=3，D＇N=OB=2，∴D＇（﹣2，5），故点D的坐标为（﹣5，3）或（﹣2，5）．【点睛】本题是一次函数的综合题，主要考查待定系数法求一次函数的解析式、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质、一次函数与几何图形及最短路径相关问题、解二元一次方程组等知识，熟练掌握一次函数的相关知识，添加辅助线构造全等三角形和利用分类讨论的数学思想是解答的关键．2．在ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线，MN经过点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E．（1）当直线MN绕点C旋转到如图1的位置时，求证：DE＝AD+BE；（2）当直线MN绕点C旋转到如图2的位置时，求证：DE＝AD﹣BE；（3）当直线MN绕点C旋转到如图3的位置时，线段DE、AD、BE之间又有什么样的数量关系？请你直接写出这个数量关系，不要证明．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）DE＝BE﹣AD【分析】（1）由题意易得∠DAC+∠ACD＝90°，则∠DAC＝∠BCE，进而可证△ADC≌△CEB，然后根据全等三角形的性质可求解；（2）由题意易得∠CEB=∠ADC=90°，则可求∠CAD=∠BCE，进而可证△CAD≌△BCE，然后根据全等三角形的性质可求解；（3）根据题意可证△CAD≌△BCE，然后根据全等三角形的性质可求解．【详解】（1）证明：∵AD⊥MN，BE⊥MN，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∴∠DAC+∠ACD＝90°，∵∠ACB ＝90°，∴∠BCE+∠ACD ＝90°，∴∠DAC ＝∠BCE ，在△ADC 和△CEB ，ADC CEBDAC ECB AC CB∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADC ≌△CEB （AAS ），∴CD ＝BE ，AD ＝CE ，∴DE ＝CE+CD ＝AD+BE ；（2）证明：∵AD ⊥MN ，BE ⊥MN ，∴∠ADC ＝∠CEB ＝90°，∴∠DAC+∠ACD ＝90°，∵∠ACB ＝90°，∴∠BCE+∠ACD ＝90°，∴∠DAC ＝∠BCE ，∵AC=BC ，∴△ADC ≌△CEB ，∴CD ＝BE ，AD ＝CE ，∴DE ＝CE ﹣CD ＝AD ﹣BE ；（3）解：DE ＝BE ﹣AD ，理由如下：∵AD ⊥MN ，BE ⊥MN ，∴∠ADC ＝∠CEB ＝90°，∴∠DAC+∠ACD＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠BCE+∠ACD＝90°，∴∠DAC＝∠BCE，∵AC=BC，∴△ADC≌△CEB，∴CD＝BE，AD＝CE，∴DE＝BE﹣AD．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定及直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握全等三角形的性质与判定及直角三角形的两个锐角互余是解题的关键．3．课间，小明拿着老师的等腰三角板玩，不小心掉在两墙之间，如图所示：（1）求证：△ADC≌△CEB；（2）已知DE=35cm，请你帮小明求出砌墙砖块的厚度a的大小（每块砖的厚度相同）【答案】（1）见详解；（2）砌墙砖块的厚度a为5cm．【分析】（1）根据题意可得AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，进而得到∠ADC＝∠CEB＝90°，再根据等角的余角相等可得∠BCE＝∠DAC，再证明△ADC≌△CEB即可．（2）利用（1）中全等三角形的性质进行解答．【详解】（1）证明：由题意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∴∠ACD＋∠BCE＝90°，∠ACD＋∠DAC＝90°，∴∠BCE＝∠DAC，在△ADC和△CEB中ADC CEBDAC BCE AC BC∠∠∠∠⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ADC≌△CEB（AAS）；（2）解：由题意得：∵一块墙砖的厚度为a，∴AD＝4a，BE＝3a，由（1）得：△ADC≌△CEB，∴DC＝BE＝3a，AD＝CE＝4a，∴DC＋CE＝BE＋AD＝7a＝35，∴a＝5，答：砌墙砖块的厚度a为5cm．【点睛】此题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件．4．已知，A（-1，0）．（1）如图1，B（0，2），以B点为直角顶点在第二象限作等腰直角△ABC．①求C点的坐标；②在坐标平面内是否存在一点P （不与点C 重合），使△PAB 与△ABC 全等？ 若存在，直接写出P 点坐标； 若不存在，请说明理由；（2）如图2，点E 为y 轴正半轴上一动点，以E 为直角顶点作等腰直角△AEM ，设M （a ，b ），求a-b 的值．【答案】（1）①()2,3C -；②存在，()2,1P 或()1,1-或()3,1-；（2）1．【分析】（1）作CD ⊥y 轴于D ，证△CEB ≌△BOA ，推出CE=OB=2，BE=AO=1，即可得出答案；（2）分为三种情况，画出符合条件的图形，构造直角三角形，证三角形全等，即可得出答案；（3）作MF ⊥y 轴于F ，证△EFM ≌△AOE ，求出EF ，即可得出答案．【详解】（1）①作CE ⊥y 轴于E ，如图1，∵A （-1，0），B （0，2），∴OA=1，OB=2，∵∠CBA=90°，∴∠CEB=∠AOB=∠CBA=90°，∴∠ECB+∠EBC=90°，∠CBE+∠ABO=90°， ∴∠ECB=∠ABO ，在△CBE 和△BAO 中ECB ABO CEB AOB BC AB ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ∴△CBE ≌△BAO ，∴CE=BO=2，BE=AO=1，即OE=1+2=3，∴C （-2，3）．②存在一点P ，使PAB △与ABC 全等，分为三种情况：①如图2，过P 作PE x ⊥轴于E ，则90PAB AOB PEA ∠=∠=∠=，90EPA PAE ∴∠+∠=，90PAE BAO ∠+∠=，EPA BAO ∴∠=∠，在PEA 和AOB 中EPA BAO PEA AOB PA AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，PEA ∴≌AOB ，1PE AO ∴==，2EA BO ==，123OE ∴=+=，即P 的坐标是()3,1-；②如图3，过C 作CM x ⊥轴于M ，过P 作PE x ⊥轴于E ，则90CMA PEA ∠=∠=， CBA ≌PBA ，45PAB CAB ∴∠=∠=，AC AP =，90CAP ∴∠=，90MCA CAM ∴∠+∠=，90CAM PAE ∠+∠=， MCA PAE ∴∠=∠，在CMA 和AEP △中，CMA PEA AC AP ⎪∠=∠⎨⎪=⎩，CMA ∴≌AEP △，PE AM ∴=，CM AE =，()2,3C -，()1,0A -，211PE ∴=-=，0312OE AE A =-=-=，即P 的坐标是()2,1；③如图4，过P 作PE x ⊥轴于E ，CBA ≌PAB △，AB AP =∴，90CBA BAP ∠=∠=，则90AEP AOB ∠=∠=，90BAO PAE ∴∠+∠=，90PAE APE ∠+∠=，BAO APE ∴∠=∠，在AOB 和PEA 中，AOB PEA AB AP ⎪∠=∠⎨⎪=⎩，AOB ∴≌PEA ，1PE AO ∴==，2AE OB ==，0211E AE AO ∴=-=-=，即P 的坐标是()1,1-，综合上述：符合条件的P 的坐标是()3,1-或()1,1-或()2,1．（2）过M 作MF y ⊥轴于F ，得到下图5∵(),M a b∴,MF a FO b ==，由上图得：90AEM EFM AOE ∠=∠=∠=，90AEO MEF ∠+∠=，90MEF EMF ∠+∠=，AEO EMF ∴∠=∠，在AOE △和EMF △中AOE EFM AEO EMF AE EM ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，AEO ∴≌()EMF AAS ，1EF AO ∴==，MF OE =，MN x ⊥轴，MF y ⊥轴，90MFO FON MNO ∴∠=∠=∠=，∴四边形FONM 是矩形，MN OF ∴=，1a b MF OF EO OF EF OA -=-=-===．【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理，等腰三角形性质的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力，用了分类讨论思想．5．公路上，A ，B 两站相距25千米，C 、D 为两所学校，DA AB ⊥于点A ，CB AB ⊥于点B ，如图，已知15DA =千米，现在要在公路AB 上建一报亭H ，使得C 、D 两所学校到H 的距离相等，且90DHC ∠=︒，问：H 应建在距离A 站多远处？学校C 到公路的距离是多少千米？【答案】H 应建在距离A 站10千米处，学校C 到公路的距离是10千米．【分析】先根据垂直的定义可得90A B ∠=∠=︒，再根据直角三角形的两锐角互余、角的和差可得D BHC ∠=∠，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得,15AH BC DA HB ===千米，最后根据线段的和差可得．【详解】由题意得：DH HC =，25AB =千米，,DA AB CB AB ⊥⊥，90A B ∴∠=∠=︒，90D AHD ∠∴∠+=︒，90DHC ∠=︒，18090BH D HD C C H A ∴∠+∠=︒-∠=︒，D BHC ∴∠=∠，在ADH 和BHC △中，A B D BHC DH HC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ADH BHC AAS ∴≅，,AH BC DA HB ∴==，15DA =千米，25AB =千米，15HB ∴=千米，10BC AH AB HB ∴==-=千米，答：H 应建在距离A 站10千米处，学校C 到公路的距离是10千米．【点睛】本题考查了垂直的定义、直角三角形的两锐角互余、三角形全等的判定定理与性质等知识点，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．6．如图所示，在ABC ∆和DBC ∆中，∠ACB=∠DBC=90°，点E 是BC 的中点，EF ⊥AB ，垂足为F ，且AB=DE ．（1）求证：BC=BD；（2）若BD=10厘米，求AC的长．【答案】（1）证明见解析；（2）5厘米【分析】（1）由DE⊥AB，可得∠BFE=90°，由直角三角形两锐角互余，可得∠ABC+∠DEB=90°，由∠ACB=90°，由直角三角形两锐角互余，可得∠ABC+∠A=90°，根据同角的余角相等，可得∠A=∠DEB，然后根据AAS判断△ABC≌△EDB，根据全等三角形的对应边相等即可得到BD=BC；（2）由（1）可知△ABC≌△EDB，根据全等三角形的对应边相等，得到AC=BE，由E是BC的中点，得到BE=12BC＝12BD＝5厘米．【详解】解：（1）∵DE⊥AB，可得∠BFE=90°，∴∠ABC+∠DEB=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ABC+∠A=90°，∴∠A=∠DEB，在△ABC和△EDB中，ACB DBC A DEBAB DE ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝， ∴△ABC ≌△EDB （AAS ），∴BD=BC ；（2）∵△ABC ≌△EDB ，∴AC=BE ，∵E 是BC 的中点，BD=10厘米，∴BE=12BC ＝12BD ＝5厘米． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS 、ASA 、SAS 、SSS ，直角三角形可用HL 定理，但AAA 、SSA ，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目，找准全等的三角形是解决本题的关键．7．综合与实践特例研究：将矩形ABCD 和Rt CEF 按如图1放置，已知90,,,FCE AD CD CE CF CF CD ∠=︒==>，连接',BF DE ．()1如图1，当点D 在CF 上时，线段BF 与DE 之间的数量关系是__ ；直线BF 与直线DE 之间的位置关系是_ ；拓广探索：()2图2是由图1中的矩形ABCD 绕点C 顺时针旋转一定角度得到的，请探索线段BF 与DE 之间的数量关系和直线BF 与直线DE 之间的位置关系，并说明理由．【答案】（1）,BF DE BF DE =⊥；（2）,BF DE BF DE =⊥，理由见解析【分析】()1,BF DE BF DE =⊥，延长ED 交B F 于点G 先证△FBC ≌△EDC （SAS ），可知,BF DE CED CFB =∠=∠，由∠DCE=90º，可得∠DEC+∠CDE=90º，可推出∠FDG+∠GFD=90º即可，()2先下结论，,BF DE BF DE =⊥，再证明，证法与（1）类似，延长ED 交CF 于点,M 交FB 于点N ．由四边形ABCD 为矩形且AD=CD 可得CD CB =，()DCE BCF SAS ≅可推出,BF DE CED CFB =∠=∠．由90,FCE ∠=︒知90CME CED ∠+∠=︒．由,CME FMN ∠=∠可用等量代换得90,FMN CFB ∠+∠=︒由三角形内角和得90,FNE ∠=︒即可．【详解】解：()1,BF DE BF DE =⊥，延长ED交B F于点G，∵四边形ABCD为矩形，且AD=DC，∴BC=CD，∴∠=∠=90º，BC CEF D由旋转的FC=EC，∴△FBC≌△EDC（SAS），BF DE CED CFB=∠=∠，,∵∠DCE=90º，∴∠DEC+∠CDE=90º，∴∠FDG+∠GFD=90º∠FGD=90º，()2,=⊥，BF DE BF DE理由如下：M交FB于点N．如答图，延长ED交CF于点,，90FCE ∠=︒，四边形ABCD 为矩形，BCD FCE ∴∠=∠，FCB FCD ECD FCD ∠+∠=∠+∠，FCB ECD ∴∠=∠，AD CD =，∴矩形ABCD 为正方形．CD CB ∴=，在DCE 和BCF △中，,,CD CB ECD FCB CE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()DCE BCF SAS ∴≅．,BF DE CED CFB ∴=∠=∠．90,FCE ∠=︒90CME CED ∴∠+∠=︒．,CME FMN ∠=∠90,FMN CFB ∴∠+∠=︒90,FNE ∴∠=︒BF DE ∴⊥．【点睛】本题考查旋转中两线段的数量与位置关系问题，关键是把两线段置于两个三角形中利用全等解决问题，会利用旋转找全等条件，会计算角的和差，和证垂直的方法． 8．已知：在ABC 中，∠BAC =90°，AB ＝CA ，直线m 经过点A ，BD ⊥直线m 于点D ，CE ⊥直线m 于点E ．求证：BDA AEC ≅△△；【答案】证明见解析．【分析】先根据垂直的定义可得90ADB CEA ∠=∠=︒，再根据直角三角形的两锐角互余、角的和差可得BAD ACE =∠∠，然后根据三角形全等的判定定理即可得证．【详解】,BD m CE m ⊥⊥，90ADB CEA ∴∠=∠=︒，90ACE CAE ∴∠+∠=︒，90BAC ∠=︒，18090BAD CAE BAC ∴∠+∠=︒-∠=︒，BAD ACE ∴∠=∠，在BDA 和AEC 中，ADB CEA BAD ACE AB CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BDA AEC AAS ∴≅．【点睛】本题考查了垂直的定义、直角三角形的性质、三角形全等的判定定理，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．9．（提出问题）如图1，在直角ABC 中，∠BAC =90°，点A 正好落在直线l 上，则∠1、∠2的关系为（探究问题）如图2，在直角ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，点A 正好落在直线l 上，分别作BD ⊥l 于点D ，CE ⊥l 于点E ，试探究线段BD 、CE 、DE 之间的数量关系，并说明理由．（解决问题）如图3，在ABC 中，∠CAB 、∠CBA 均为锐角，点A 、B 正好落在直线l 上，分别以A 、B 为直角顶点，向ABC 外作等腰直角三角形ACE 和等腰直角三角形BCF ，分别过点E 、F 作直线l 的垂线，垂足为M 、N ．①试探究线段EM 、AB 、FN 之间的数量关系，并说明理由；②若AC =3，BC =4，五边形EMNFC 面积的最大值为【答案】提出问题：1290∠+∠=︒；探究问题：BD CE DE +=，理由见解析；解决问题：①EM FN AB +=，理由见解析；②492． 【分析】 提出问题：根据平角的定义、角的和差即可得；探究问题：先根据垂直的定义可得90ADB CEA ∠=∠=︒，再根据直角三角形的两锐角互余、角的和差可得2ABD ∠=∠，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得,BD AE AD CE ==，最后根据线段的和差即可得；解决问题：①如图（见解析），同探究问题的方法可得,EM AD FN BD ==，再根据线段的和差即可得；②如图（见解析），同探究问题的方法可得,ACD EAM BCD FBN ≅≅，再根据三角形全等的性质可得,ACD EAM BCD FBN S S S S ==，然后利用三角形的面积公式将五边形EMNFC 面积表示出来，由此即可得出答案．【详解】提出问题：12180,90BAC BAC ∠+∠+∠=︒∠=︒，2190∴∠+∠=︒，故答案为：1290∠+∠=︒；探究问题：BD CE DE +=，理由如下：,BD l CE l ⊥⊥，90ADB CEA ∴∠=∠=︒，190ABD ∴∠+∠=︒，由提出问题可知，1290∠+∠=︒，2ABD ∴∠=∠，在ABD △和CAE 中，2ADB CEA ABD AB CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABD CAE AAS ∴≅，,BD AE AD CE ∴==，DE AE AD BD CE ∴=+=+，即BD CE DE +=；解决问题：①EM FN AB +=，理由如下：同探究问题的方法可证：,EM AD FN BD ==，AB AD BD EM FN ∴=+=+，即EM FN AB +=；②如图，过点C 作CD l ⊥于点D ，同探究问题的方法可证：,ACD EAM BCD FBN ≅≅，,ACD EAM BCD FBN S S S S ∴==， ACE 和BCF △都是等腰直角三角形，且3,4AC BC ==，3,4AE AC BF BC ∴====， 191,8222ACE BCF S AC AE S BC BF ∴=⋅==⋅=， ∴五边形EMNFC 面积为EAM ACE ACD BCD BCF FBN S S S S S S +++++， 982ACD ACD BCD BCD S S S S =+++++， ()2522ACD BCD SS =++， 2522ABC S =+， 则当ABC 面积取得最大值时，五边形EMNFC 面积最大，设ABC的BC边上的高为h，则122ABCS BC h h=⋅=，在ABC中，CAB∠、CBA∠均为锐角，∴当90ACB∠=︒时，h取得最大值，最大值为3AC=，ABC∴面积的最大值为236ABCS=⨯=，则五边形EMNFC面积的最大值为2549 2622⨯+=，故答案为：492．【点睛】本题考查了垂直的定义、三角形全等的判定定理与性质、等腰直角三角形的定义等知识点，熟练掌握三角形全等的判定定理与性质是解题关键．10．如图，在△ABC中，AC＝BC，直线l经过顶点C，过A，B两点分别作l的垂线AE，BF，E，F为垂足．AE＝CF，求证：∠ACB＝90°．【答案】见解析【分析】根据题意易得Rt△ACE≌Rt△CBF，则有∠EAC＝∠BCF，然后根据等角的余角相等及领补角可求证．【详解】证明：如图，在Rt △ACE 和Rt △CBF 中，AC BC AE CF=⎧⎨=⎩， ∴Rt △ACE ≌Rt △CBF （HL ），∴∠EAC ＝∠BCF ，∵∠EAC+∠ACE ＝90°，∴∠ACE+∠BCF ＝90°，∴∠ACB ＝180°﹣90°＝90°．【点睛】本题主要考查直角三角形全等的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定条件及性质是解题的关键．11．如图1，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，过C 在△ABC 外作直线MN ，AM ⊥MN 于点M ，BN ⊥MN 于点N ．（1）求证：MN ＝AM ＋BN ；（2）如图2，若过点C 作直线MN 与线段AB 相交，AM ⊥MN 于点M ，BN ⊥MN 于点N （AM ＞BN ），（1）中的结论是否仍然成立？说明理由．【答案】(1)见解析；(2)不成立，理由见解析【分析】(1)根据垂直的定义得到∠AMC=∠CNB=90°，则∠MAC+∠ACM=90°，又∠ACB=90°，则∠ACM+∠NCB=90°，于是根据等量代换得到∠MAC=∠NCB ，根据“AAS ”可证明△ACM ≌△CBN ，根据全等的性质得到AM=CN ，CM=BN ，则MN=MC+CN=AM+BN ．(2)根据已知条件能证得△ACM ≌△CBN ，利用全等的性质得到AM=CN ，CM=BN ，而MN=CN-CM=AM-BN ．【详解】解：(1)∵AM ⊥MN 于点M ，BN ⊥MN 于点N ，∴∠AMC=∠CNB=90°，∴∠MAC+∠ACM=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACM+∠NCB=90°，∴∠MAC=∠NCB ，在△ACM 和△CBN 中，AMC CNB MAC NCB AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩\ ∴ACM ≌△CBN ，∴AM=CN ，CM=BN ，∴MN=MC+CN=AM+BN ．(2)题(1)中的结论不成立，同题(1)证明可知：ACM ≌△CBN ，∴AM=CN ，CM=BN ，∴MN=CN-CM=AM-BN ，【点睛】本题主要考查的是全等三角形的性质与判断，正确的掌握全等三角形的性质与判断是解题的关键．12．在平面直角坐标系中，函数443y x =-+的图像分别交x 轴、y 轴于点A C 、，函数y ax b =+的图象分别交x 轴、y 轴于点,B C ，且4OC OB =，过点C 作射线//CR x 轴． （1）求直线BC 的解析式；（2）点P 自点C 沿射线CR 以每秒1个单位长度运动，同时点Q 自点A 沿线段AC 以每秒1个单位长度的速度向终点C 运动，其中一个点停止运动时，另一个点也停止运动，连接PQ ．设POC ∆的面积为S ，点Q 的运动时间为t （秒），求S 与t 的函数关系式，并直接写出t 的取值范围；（3）在（2）的条件下，过点P 作//PF CB ，交x 轴于点F ，连接QF ，在P Q 、运动的过程中，是否存在t 值，使得45PFQ ︒∠=，若存在，求t 值：若不存在，请说明理由．【答案】（1）44y x =+；（2）()222055S t t t =-+<<；（3）存在，1511或257【分析】（1）利用待定系数法求出A ，C 两点坐标，再求出点B 坐标即可解决问题； （2）想办法用t 表示点Q 坐标，利用三角形面积公式计算即可；（3）分两种情形，通过辅助线构造等腰直角三角形，利用相似三角形解决问题．【详解】解：（1）函数443y x =-+的图象分别交x 轴、y 轴于点A ，C ， (3,0)A ∴，(0,4)C ，3OA =，4OC =，4OC OB =，1OB =∴，(1,0)B ∴-，设直线BC 的解析式为y kx b =+，则有40b k b =⎧⎨-+=⎩， 解得44k b =⎧⎨=⎩， ∴直线BC 的解析式为44y x =+．（2）如图1中，由题意AQ PC t ==，易知3(35Q t -，4)5t ，2142(4)2(05)255S t t t t t ∴=-=-+<< （3）存在；情形①如图2中，取点(4,3)M ，连接CM ，BM ，作MG CR ⊥垂足为G 交OA 于K ，作QH OA ⊥垂足为H ．4CG CO ==，90CGM COB ∠=∠=︒，1MG BO ==()CGM COB ASA ∴≅△△，GCM OCB ∴∠=∠，CB CM =，90BCM OCG ∴∠=∠=︒，BCM ∴∆的等腰直角三角形，1345∴∠=∠=︒，//PF BC ，2145∴∠=∠=︒，445∠=︒，24∴∠=∠，//FQ BN ∴，QFH MBK ∴∠=∠，90QHF MKB ∠=∠=︒，QHF MKB ∴△∽△， ∴QH FH MK BK =，∴433(1)5535t t t ---=， 1511t ∴=． 情形②如图3中，由2445∠=∠=︒，可知90MNF ∠=︒，由QHF BKM △∽△得到QH HF BK MK=， ∴43(4)5553t t t --=， 257t ∴=， 综上所述1511t或257． 【点睛】此题考查一次函数的应用，直角三角形的性质及全等三角形以及相似三角形的判定及性质，属于综合性较强的题目，对于此类动点型题目，首先要确定符合题意的条件下动点所在的位置，然后用时间t 表示出有关线段的长度，进而建立关于线段的关系式，学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题，难度较大．13．已知：如图，在平面直角坐标系中，点A （a ，0）、C （b ，c ），且a 、b 、c满足()2b 32c -++∣=0． （1）求点A 、C 的坐标；（2）在x 轴正半轴上有一点E ，使∠ECA ＝45°，求点E 的坐标；（3）如图2，若点F 、B 分别在x 轴正半轴和y 轴正半轴上，且OB=OF ，点P 在第一象限内，连接PF ，过P 作PM ⊥PF 交y 轴于点M ，在PM 上截取PN=PF ，连接PO 、BN ，过P 作∠OPG=45°交BN 于点G ，求证：点G 是BN 的中点．【答案】（1）（-3，0）；（3，-2）；（2）（2，0）；（3）证明见详解【分析】（1）根据题意，由算术平方根，绝对值和平方数的非负性，求出a 、b 、c 的值，即可得出点A 、C 的坐标；（2）通过辅助线作图，构造一线三垂直模型，证明ALG CKA S≌S ，求出点G 的坐标，由等面积法求出AE 长度即可求出点E 坐标；（3）作EO ⊥OP 交PG 的延长线于E ，连接EB 、EN 、PB ，只要证明四边形ENPB 是平行四边形即可．【详解】（1()2b 32c -++∣=0， 所以a=-3，b=3，c=-2，点A 坐标为（-3，0），点C 坐标为（3，-2），故答案为：（-3，0）；（3，-2）；（2）过点A 作AC 的垂线，交CE 的延长线于点G ，过点A 作x 轴的垂线KL ，过点C 作KL 的垂线于点K ，过点G 作KL 的垂线于点L ，过点G 作x 轴的垂线于M ，过点C作x 轴的垂线于N ，∵∠ECA ＝45°，AG ⊥AC ，∴∠CAG=90°，AG=AC ，△CAG 为等腰直角三角形，由一线三垂直模型可知，∠GAL=∠ACK ，在△ALG 和△CKA 中90GAL ACKAG A AC LG CKA ∠=∠∠=∠==︒⎧⎪⎨⎪⎩∴ALG CKA S ≌S ，∴AL=CK=AN=3+3=6，LG=AK=CN=2，∴GM=6，OM=3-2=1，∴点G 坐标为（-1，3），在Rt △ANC 中，AN=6，CN=2，由勾股定理得，由等面积法，得11()22AC AG AE GM CN ⨯⨯=⨯⨯+，∴11822AE ⨯⨯⨯， ∴AE=5，∴OE=AE-OA=5-3=2，故点E 坐标为（2，0），故答案为：（2，0）；（3）如图，作EO ⊥OP 交PG 的延长线于E ，连接EB 、EN 、PB ，∵∠EOP=90°，∠EPO=45°，∴∠OEP=∠EPO=45°，∴EO=PO ，∵∠EOP=∠BOF=90°，∴∠EOB=∠POF ，在△EOB 和△POF 中，BO OF EOB POF OE OP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△EOB ≌△POF ，∴EB=PF=PN ，∠1=∠OFP ，∵∠2+∠PMO=180°，∵∠MOF=∠MPF=90°，∴∠OMP+∠OFP=180°，∴∠2=∠OFP=∠1，∴EB ∥PN ，∵EB=PN ，∴四边形ENPB 是平行四边形，∴BG=GN ，即点G 是BN 的中点．【点睛】本题考查了算术平方根，绝对值和平方数的非负性，一线三垂直模型，等面积法求线段长度，三角形全等的判定和性质，平行四边形的判定和性质应用，熟练掌握图形的判定和性质是解题的关键．14．在平面直角坐标系中，已知点(),0A a 、()0,C b 满足2(2)0+=a（1）直接写出：a =____________，b =________．（2）点B 为x 轴正半轴上一点，如图1，BE AC ⊥于点E ，交y 轴于点D ，连接OE ，若OE 平分AEB ∠，求直线BE 的解析式．（3）在（2）的条件下，点M 为直线BE 上一动点，连OM ，将线段OM 绕点M 逆时针旋转90︒，如图2，点O 的对应点为N ，当点M 运动时，判断点N 的运动路线是什么图形，并说明理由．【答案】（1）2-，5-；（2）2y x 25=-；（3）点N 的运动路线是直线32077=--y x ，理由见解析【分析】（1）根据题意得到关于a 、b 的方程，求a 、b 即可；（2）如图1，过点O 作OF OE ⊥，交BE 于F ，分别证明EOC FOB ∆∆≌，AOC DOB ∆∆≌，得到OB OC =，OA OD =，确定点B 、D 坐标，利用待定系数法即可求解； （3）如图2，过点M 作MG x ⊥轴，垂足为G ，过点N 作⊥NH GM 交GM 的延长线于H ，证明NOM ∆为等腰直角三角形，得到=OG MH ，=GM NH ，设2,25⎛⎫- ⎪⎝⎭M m m ，则3,25--⎛⎫ ⎪⎝⎭H m m ，得到732,255⎛⎫--- ⎪⎝⎭N m m ，即752-=m x ，325--=m y ，消去m ，即可得到点N 运动轨迹．【详解】解：（1）由题意得a+2=0，b+5=0，解得a=2-，b=5-，故答案为：2-，5-；（2）如图1，过点O 作OF OE ⊥，交BE 于F ，∵BE AC ⊥，OE 平分AEB ∠，∴EOF ∆为等腰直角三角形，∴OE=OF ，∠BOF=∠COE=45°，∵BE AC ⊥于点E ，∴∠1+∠BAC=90°，∵∠2+∠BAC=90°，∴∠1=∠2，∴EOC FOB ∆∆≌，∴OB OC =，∵∠1=∠2, ∠AOC=∠DOB=90°，∴AOC DOB ∆∆≌，∴OA OD =，∵()2,0A -，()0,5C -，∴()0,2D -，()5,0B ，设直线BD 解析式为y kx b =+，∴250b k b =-⎧⎨+=⎩， ∴ 225b k =-⎧⎪⎨=⎪⎩， ∴直线BD ，即直线BE 的解析式为2y x 25=-；（3）由题意得，NOM ∆为等腰直角三角形如图2，过点M 作MG x ⊥轴，垂足为G ，过点N 作⊥NH GM 交GM 的延长线于H ， ∵NOM ∆为等腰直角三角形，∴≌∆∆GOM HMN ，∴=OG MH ，=GM NH ，由（2）得直线BD 的解析式2y x 25=-， 设2,25⎛⎫- ⎪⎝⎭M m m ，则3,25--⎛⎫ ⎪⎝⎭H m m ， ∴732,255⎛⎫--- ⎪⎝⎭N m m ， 令752-=m x ，325--=m y ， ∴32077=--y x ， 即点N 的运动路线是直线32077=--y x ．【点睛】本题为一次函数综合题，考查了三角形全等判定，等腰直角三角形性质，待定系数法等，综合性强，根据题意构造全等，理解函数图象是点的运动轨迹是解题的关键．15．如图，将Rt△ABC的斜边BC绕点B顺时针旋转90°得边BD，过点D作AB的垂线，交AB延长线于点E，求证：△EDB≌△ABC．【答案】见解析．【分析】先由旋转的性质得到BC＝BD，∠DBC＝90°＝∠CAB，再运用“AAS”证得△EDB≌△ABC 即可．【详解】证明：∵BC绕点B顺时针旋转90°得边BD，∴BC＝BD，∠DBC＝90°＝∠CAB，∴∠ABC+∠ACB＝90°，∠ABC+∠DBE＝90°，∴∠ACB＝∠DBE，又∵∠CAB＝∠DEB＝90°，∴△EDB≌△ABC（AAS）．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和旋转的性质，根据旋转的性质得到判定全等三角形的条件是解答本题的关键．16．如图，已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，分别过B、C向过A的直线作垂线，垂足分别为E、F．（1）如图①过A的直线与斜边BC不相交时，求证：EF=BE+CF；（2）如图②过A的直线与斜边BC相交时，其他条件不变，若BE=10，CF=3，求：FE 长．【答案】（1）见解析；（2）7【分析】（1）此题根据已知条件容易证明△BEA≌△AFC，然后利用对应边相等就可以证明题目的结论；（2）根据（1）知道△BEA≌△AFC仍然成立，再根据对应边相等就可以求出EF了．【详解】解：（1）∵BE⊥EA，CF⊥AF，∴∠BAC=∠BEA=∠CFE=90°，∴∠EAB+∠CAF=90°，∠EBA+∠EAB=90°，∴∠CAF=∠EBA，在△ABE和△AFC中，∠BEA=∠AFC=90°，∠EBA=∠CAF，AB=AC，∴△BEA≌△AFC．∴EA=FC，BE=AF．∴EF=EB+CF．（2）解：∵BE⊥EA，CF⊥AF，∴∠BAC=∠BEA=∠CFE=90°，∴∠EAB+∠CAF=90°，∠ABE+∠EAB=90°，∴∠CAF=∠ABE，在△ABE和△AFC中，∠BEA=∠AFC=90°，∠EBA=∠CAF，AB=AC，∴△BEA≌△AFC．∴EA=FC=3，BE=AF=10．∴EF=AF﹣CF=10﹣3=7．【点睛】此题主要考查了全等三角形的性质与判定，利用它们解决问题，经常用全等来证线段和的问题．17．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN 于E，（1）当直线MN绕点C旋转到图（1）的位置时，请你探究线段DE、AD、BE之间的数量关系并加以证明；（2）当直线MN绕点C旋转到图（2）的位置时，你在（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明．（3）当直线MN绕点C旋转到图（3）的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系．【答案】（1）DE=AD+BE，理由见详解；（2）发生变化，AD=BE+DE，理由见详解；（3）BE=AD+DE．【分析】（1）由题意易得∠CDA=∠BEC=90°，∠DCA+∠ECB=90°，∠DCA+∠DAC=90°，则有∠DAC=∠ECB，进而可知△ADC≌△CEB，然后根据全等三角形的性质及线段等量关系可求证；（2）由题意易得∠CDA=∠BEC=90°，∠DCA+∠CAD=90°，∠DCA+∠BCE=90°，则有∠DAC=∠ECB，进而可知△ADC≌△CEB，然后根据全等三角形的性质及线段等量关系可求证；（3）由题意易得∠CDA=∠BEC=90°，∠DCA+∠ECB=90°，∠EBC+∠BCE=90°，则有∠ACD=∠CBE，进而可知△ADC≌△CEB，然后根据全等三角形的性质及线段等量关系可得解．【详解】解：（1）DE=AD+BE，理由如下：∠ACB=90°，AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，∴∠CDA=∠BEC=90°，∠DCA+∠ECB=90°，∠DCA+∠DAC=90°，∴∠DAC=∠ECB，AC=BC，∴△ADC≌△CEB，∴AD=CE，CD=BE，DE=DC+CE∴DE=AD+BE；（2）发生变化，AD=BE+DE，理由如下：∠ACB=90°，AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，∴∠CDA=∠BEC=90°，∠DCA+∠CAD=90°，∠DCA+∠BCE=90°，∴∠DAC=∠ECB，AC=BC，∴△ADC≌△CEB，∴AD=CE，CD=BE，CE=DC+DE∴AD=BE+DE；（3）BE=AD+DE，理由如下：同理（2）的方法可得△ADC≌△CEB，∴AD=CE，CE=AD，CD=EC+DE∴BE=AD+DE．【点睛】本题主要考查三角形全等的判定与性质，熟练掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键．18．如图，在ABC 中∠ACB=90°，AC=BC ，直线MN 经过点C ，且AD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E ．（1）求证：ADC CEB △≌△；（2）若AD=2，BE=3，求ABC 的面积．【答案】（1）见解析；（2）132【分析】 （1）根据垂直定义求出∠BEC ＝∠ACB ＝∠ADC ，根据等式性质求出∠ACD ＝∠CBE ，根据AAS 证出△ADC 和△CEB 全等即可；（2）由（1）可推出CD ＝BE ，AD ＝CE ，进而可得到AC=AB=△ABC 面积即可．【详解】解：（1）证明：∵∠ACB ＝90°，AD ⊥MN ，BE ⊥MN ，∴∠BEC ＝∠ACB ＝∠ADC ＝90°，∴∠ACE+∠BCE ＝90°，∠BCE+∠CBE ＝90°，∴∠ACD ＝∠CBE ，在△ADC 和△CEB 中ADC=BEC ACD=CBE AC=BC ⎧⎪⎨⎪⎩∠∠∠∠，∴△ADC ≌△CEB （AAS ）；（2）∵△ADC ≌△CEB∴BE ＝CD ，AD ＝CE ，AC=BC ，又AD=2，BE=3，∴∴△ABC 的面积为11322=， 故△ABC 的面积为132．【点睛】全等三角形的性质和判定，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．二、填空题19．一个等腰直角三角尺不小心掉到两墙之间（如图），已知90,ACB AC BC ∠=︒=，从三角尺的刻度可知20,AB cm AD =为三块砖的厚度，BE 为两块砖的厚度，小聪很快就知道了砌墙所用砖块的厚度（每块砖的厚度相等，两块砖间的缝隙忽略不计）为____________cm ．【答案】13【分析】设砖块的厚度为xcm ，由题意可知：AD=3x ，BE=2x ，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理求出AC ，利用AAS 即可证出△DAC ≌△ECB ，从而得出CD=BE=2xcm ，利用勾股定理列出方程即可求出x ．【详解】解：设砖块的厚度为xcm ，由题意可知：AD=3xcm ，BE=2xcm∵90,ACB AC BC ∠=︒=，20AB cm =∴222AC BC AB +=解得AC BC ==由题意可知：∠ADC=∠CEB=90°∴∠DAC ＋∠ACD=90°，∠ECB ＋∠ACD=90°∴∠DAC=∠ECB∴△DAC ≌△ECB∴CD=BE=2xcm在Rt △ADC 中，222AD DC AC +=即()()(22232x x +=解得：x=13． 【点睛】此题考查的是等腰直角三角形的性质、勾股定理和全等三角形的判定及性质，掌握等腰直角三角形的性质、勾股定理和全等三角形的判定及性质是解题关键．20．如图，在平面直角坐标系中，A(0，5)，B(2，0)，点C是第一象限内的点，且△ABC 是以AB为直角边，满足AB=AC，则点C的坐标为________．【答案】（5，7）【分析】依题∠BAC=90°，AB=AC，画出C点位置，利用全等三角形的判定与性质，即可求得点C的坐标．【详解】解：如图：当∠BAC=90°，AB=AC时，过点C作CD⊥y轴于点D，在△OAB和△DCA中，AOB CDA OAB DCA AB AC ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△OAB ≌△DCA （AAS ），∴AD=OB=2，CD=OA=5，∴OD=OA+AD=7，∴点C 的坐标为（5，7）；【点睛】本题考查了坐标与图形、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，注意掌握数形结合思想的应用．21．如图，Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，分别过点B ． C 作过点A 的直线的垂线BD 、CE ，垂足分别为D 、 E ，若BD=4，CE=2，则DE=___．【答案】6【分析】先证明∠DBA=∠CAE ，从而根据AAS 定理证明△BDA ≌△AEC ，根据全等三角形的性质可得AD=CE=2，AE=BD=4，进而得到答案．【详解】解：∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°，∵BD ⊥DE ，∴∠BDA=90°，∴∠BAD+∠DBA=90°，∴∠DBA=∠CAE ，∵CE ⊥DE ，∴∠AEC=90°，在△BDA 和△AEC 中，ABD CAE BDA AEC AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BDA ≌△AEC （AAS ），∴AD=CE=2，AE=BD=4，∴DE=AD+AE=2+4=6；故答案为：6．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质，关键是掌握全等三角形的判定定理与性质定理．22．如图，直线a 经过正方形ABCD 的顶点A ，已知BE a ⊥于点E ，DF a ⊥于点F ．若3BE =，8DF =，则线段EF 的长为______．【答案】11【分析】根据题意易得△AEB ≌△DFA ，则有BE=AF ，DF=AE ，进而问题可得解．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴AD=AB ，∠DAB=90°，∵BE a ⊥，DF a ⊥，∴∠DFA=∠AEB=90°，∴∠FAD+∠ADF=90°，又∵∠FAD+∠BAE=90°，∴∠ADF=∠BAE ，∴△AEB ≌△DFA ，∵3BE =，8DF =，∴BE=AF=3，DF=AE=8，∴EF=AF+AE=3+8=11；故答案为11．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质及正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质及正方形的性质是解题的关键．23．如图，AO⊥OM，OA=7，点B为射线OM上的一个动点，分别以OB，AB为直角边，B为直角顶点，在OM两侧作等腰Rt△OBF、等腰Rt△ABE，连接EF交OM于P 点，当点B在射线OM上移动时，则PB的长度____________．【答案】7 2【分析】根据题意过点E作EN⊥BM，垂足为点N，首先证明△ABO≌△BEN，得到BO=ME；进而证明△BPF≌△MPE并分析即可得出答案．【详解】解：如图，过点E作EN⊥BM，垂足为点N，∵∠AOB=∠ABE=∠BNE=90°，∴∠ABO+∠BAO=∠ABO+∠NBE=90°，∴∠BAO=∠NBE，∵△ABE、△BFO均为等腰直角三角形，。
初中数学专题---------直线等分面积问题
初中数学专题讲座---------直线等分面积问题一、直线等分常见的一些特殊图形二、直线等分三角形（1）不受限制的等分（2）过一边上一点等分三、直线等分梯形（1）不受限制的等分（2）过一腰上一点等分四、等分基本图形练习：1、作图题，请用学过的知识将下图所示的图形面积分成相等的两部分，请用一条直线把阴影部分的面积两等分．（保留作图痕迹）2、在一个矩形中，把此矩形面积二等分的直线最多有条，这些直线都必须经过此矩形的点（一个矩形只画一条直线，不写画法）．3、轴对称图形的对称轴将图形面积二等分，中心对称图形过对称中心的直线将图形面积二等分．请用学过的知识将下图所示的图形面积分成相等的两部分．4、在一个矩形中，把此矩形面积两等分的直线最多有条，这些直线都必须经过该矩形．5、在复习“四边形”时，刘老师出了这样一道题：如图1，已知四边形ABCD、BEFG都是矩形，点G、H分别在AB、CD上，点B、C、E在同一条直线上．（1）当S矩形AGHD=S矩形CEFH时，试画一条直线将整个图形面积2等分．（不写画法）（2）①当S矩形AGHD＜S矩形CEFH时，如图3；②当S矩形AGHD＞S矩形CEFH时，如图4．画一条直线将整个图形面积2等分，在（1）的基础上，应该如何画图呢？（不写画法，保留作图痕迹或简要的文字说明）（3）小娟和小宇两位同学的画法是图5和图6：刘老师看过之后说这两个图形实质上体现的是一种画法，请你用简要的文字说明两个图形画法的共同点：（把原图形分割或构造成两个矩形，再过这两个矩形对角线的交点画一条直线）．6、通过计算几何图形的面积可表示一些代数恒等式7、如图所示，▱ABCD内有一圆，请你画一条直线，同时将圆和平行四边形的周长二等分．（保留画图痕迹，并简要说出画图步骤）8、提出问题：如图，有一块分布均匀的等腰三角形蛋糕（AB=BC，且BC≠AC），在蛋糕的边缘均匀分布着巧克力，小明和小华决定只切一刀将这块蛋糕平分（要求分得的蛋糕和巧克力质量都一样）．背景介绍：这条分割直线即平分了三角形的面积，又平分了三角形的周长，我们称这条线为三角形的“等分积周线”．尝试解决：（1）小明很快就想到了一条分割直线，而且用尺规作图作出．请你帮小明在图1中画出这条“等分积周线”，从而平分蛋糕．（2）小华觉得小明的方法很好，所以自己模仿着在图1中过点C画了一条直线CD交AB于点D．你觉得小华会成功吗如能成功，说出确定的方法；如不能成功，请说明理由．（3）通过上面的实践，你一定有了更深刻的认识．请你解决下面的问题：若AB=BC=5cm，AC=6cm，请你找出△ABC的所有“等分积周线”，并简要的说明确定的方法．9、提出问题：如图，在“儿童节”前夕，小明和小华分别获得一块分布均匀且形状为等腰梯形和直角梯形的蛋糕（AD∥BC），在蛋糕的边缘均匀分布着巧克力，小明和小华决定只切一刀将自己的这块蛋糕平分（要求分得的蛋糕和巧克力质量都一样）．背景介绍：这条分割直线既平分了梯形的面积，又平分了梯形的周长，我们称这条线为梯形的“等分积周线”．尝试解决：（1）小明很快就想到了一条分割直线，而且用尺规作图作出．请你帮小明在图1中作出这条“等分积周线”，从而平分蛋糕．（2）小华觉得小明的方法很好，所以模仿着在自己的蛋糕（图2）中画了一条直线EF分别交AD、BC于点E、F．你觉得小华会成功吗？如能成功，说出确定的方法；如不能成功，请说明理由．（3）通过上面的实践，你一定有了更深刻的认识．若图2中AD∥BC，∠A=90°，AD＜BC，AB=4cm，BC=6cm，CD=5cm．请你找出梯形ABCD的所有“等分积周线”，并简要的说明确定的方法．10、阅读下面问题的解决过程：问题：已知△ABC 中，P 为BC 边上一定点，过点P 作一直线，使其等分△ABC 的面积． 解决：情形1：如图①，若点P 恰为BC 的中点，作直线AP 即可．情形2：如图②，若点P 不是BC 的中点，则取BC 的中点D ，连接AP ，过点D 作DE ∥AP 交AC 于E ，作直线PE ，直线PE 即为所求直线． 问题解决：如图③，已知四边形ABCD ，过点B 作一直线（不必写作法），使其等分四边形ABCD 的面积，并证明．11、如图，把一个等边三角形的顶点放置在正六边形的中心O 点，请你借助这个等边三角形的角，以角为工具等分正六边形的面积，等分的情况分别为 等分． 12、用一条直线把下图分成面积相等的两部分．13、用三种不同的方法把▱ABCD 的面积四等分，并简要说明分法．14、、如图，所示，张家兄弟要平分这块地，请你用一条直线把它分成面积相等的两部分．（至少有两种画法）15、抛物线y=x 2，212y x =-和直线x=a （a ＞0）分别交于A 、B 两点，已知∠AOB=90°．（1）求过原点O ，把△AOB 面积两等分的直线解析式； （2）为使直线2y x b =+与线段AB 相交，那么b 值应是怎样的范围才适合．16、如图长为2的线段PQ 在x 的正半轴上，从P 、Q 作x 轴的垂线与抛物线y=x 2交于点p '、12题Q′．（1）已知P的坐标为（k，0），求直线OP′的函数解析式；（2）若直线OP′把梯形P′PQQ′的面积二等分，求k的值．17、一条直线过△ABC的内心，且平分三角形的周长，那么该直线分成的两个图形的面积比为（）A．2：1 B．1：1 C．2：3 D．3：118、某课题研究小组就图形面积问题进行专题研究，他们发现如下结论：（1）有一条边对应相等的两个三角形面积之比等于这条边上的对应高之比；（2）有一个角对应相等的两个三角形面积之比等于夹这个角的两边乘积之比；…现请你继续对下面问题进行探究，探究过程可直接应用上述结论．（S表示面积）问题1：如图1，现有一块三角形纸板ABC，P1，P2三等分边AB，R1，R2三等分边AC．经探究知=S△ABC，请证明．问题2：若有另一块三角形纸板，可将其与问题1中的拼合成四边形ABCD，如图2，Q1，Q2三等分边DC．请探究与S四边形ABCD之间的数量关系．问题3：如图3，P1，P2，P3，P4五等分边AB，Q1，Q2，Q3，Q4五等分边DC．若S四边形ABCD=1，求．问题4：如图4，P1，P2，P3四等分边AB，Q1，Q2，Q3四等分边DC，P1Q1，P2Q2，P3Q3将四边形ABCD分成四个部分，面积分别为S1，S2，S3，S4．请直接写出含有S1，S2，S3，S4的一个等式．19、阅读下面材料，再回答问题：有一些几何图形可以被某条直线分成面积相等的两部分，我们将“把一个几何图形分成面积相等的两部分的直线叫做该图形的二分线”，如：圆的直径所在的直线是圆的“二分线”，正方形的对角线所在的直线是正方形的“二分线”．解决下列问题：（1）菱形的“二分线”可以是（2）三角形的“二分线”可以是（3）在下图中，试用两种不同的方法分别画出等腰梯形ABCD的“二分线”，并说明你的画法．20、用一条直线将一个直角梯形分成面积相等的两部分，请你在下面的图中分别画出两种不同的分割图形．21、下图所示是一块木板的示意图，能不能用一条直线把这块木板分成面积相等的两部分．（3种画法）22、如图所示的图案是一个轴对称图形，直线l是它的一条对称轴，如果最大圆的半径为2，那么阴影部分面积是（）A．π B．2π C．3π D．4π23、如图所示是由7个完全相同的正方形拼成的图形，请你用一条直线将它分成面积相等的两部分．（在原图上作出）．24、九条直线中的每一条直线都把正方形分成面积比为2：3的两个四边形．证明：这九条直线中至少有三条经过同一点．抽屉原理．专题：证明题．分析：首先根据抽屉定理证明9条直线中的每一条直线都把正方形分成面积比为2：3的两个四边形中至少有5条直线穿过一对边，然后再根据抽屉原理证明至少必有三点经过同一点．解答：证明：按抽屉原理，9条直线中的每一条直线都把正方形分成面积比为2：3的两个四边形，则至少有5条直线穿过一对边．又2：3≠1：1，根据“梯形的面积等于中位线长乘以高”，可知这5条直线必过正方形的一条对边中点连线上的两定点．故若5个点不全经过一点，则必经过这条直线上的两点，再据抽屉原理，至少必有三点经过同一点．25、一条直线平行于直线y=2x-1，且与两坐标轴围成的三角形面积是4，则直线的解析式是A．y=2x+4 B．y=2x-4 C．y=2x±4 D．y=x+2 （）26、把一个圆心为点O，半径为r的圆的面积四等分，请你尽可能多地设想各种分割方法．如图，如果圆心也是点O的三个圆把大圆O的面积四等分．求这三个圆的半径OB、OC、OD的长．27、已知直线AB与x，y轴分别交于A、B（如图），AB=5，OA=3，（1）求直线AB的函数表达式；（2）如果P是线段AB上的一个动点（不运动到A，B），过P作x轴的垂线，垂足是M，连接PO，设OM=x，图中哪些量可以表示成x的函数？试写出5个不同的量关于x的函数关系式．（这里的量是指图中某些线段的长度或某些几何图形的面积等）28、（1）如图1所示，已知△ABC中，D为BC的中点，请写出图1中，面积相等的三角形：，理由是（2）如图2所示，已知：平行四边形A′ABC，D为BC中点，请你在图中过D作一条线段将平行四边形A′ABC的面积平分，平分平行四边形A′ABC的方法很多，一般地过画直线总能将平行四边形A′ABC的面积平分．（3）如图3所示，已知：梯形ABCA′中，AA′∥BC，D为BC中点，请你在图3中过D作一条线段将梯形的面积等分．（4）如图4所示，某承包人要在自己梯形ABCD（AD∥BC）区域内种两种等面积的作物，并在河岸AD与公路BC间挖一条水渠EF，EF左右两侧分别种植了玉米、小麦，为了提高效益，要求EF最短．①请你画出相应的图形．②说明方案设计的理由．19、如图，抛物线y=ax2-3ax+b经过A（-1，0），C（3，2）两点，与y轴交于点D，与x轴交于另一点B．（1）求此抛物线的解析式；（2）若直线y=kx-1（k≠0）将四边形ABCD面积二等分，求k的值．。
初中数学竞赛几何讲座(共5讲)
初中数学竞赛几何讲座（共5讲）第一讲注意添加平行线证题第二讲巧添辅助妙解竞赛题第三讲点共线、线共点第四讲四点共圆问题第五讲三角形的五心第一讲注意添加平行线证题在同一平面内,不相交的两条直线叫平行线.平行线是初中平面几何最基本的,也是非常重要的图形.在证明某些平面几何问题时,若能依据证题的需要,添加恰当的平行线,则能使证明顺畅、简洁.添加平行线证题,一般有如下四种情况.1为了改变角的位置大家知道,两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等,内错角相等,同旁内角互补.利用这些性质,常可通过添加平行线,将某些角的位置改变,以满足求解的需要.例1设P、Q为线段B C上两点,且B P＝C Q,A为B C外一动点(如图1).当点A运动到使∠B A P＝∠C A Q时,△A B C是什么三角形？试证明你的结论.答：当点A运动到使∠B A P＝∠C A Q时,△A B C为等腰三角形.证明：如图1,分别过点P、B作A C、A Q的平行线得交点D.连结D A.在△D B P＝∠A Q C中,显然∠D B P＝∠A Q C,∠D P B＝∠C.由B P＝C Q,可知△D B P≌△A Q C.有D P＝A C,∠B D P＝∠Q A C.于是,D A∥B P,∠B A P＝∠B D P.则A、D、B、P四点共圆,且四边形A D B P为等腰梯形.故A B＝D P.所以A B＝A C.这里,通过作平行线,将∠Q A C“平推”到∠B D P的位置.由于A、D、B、P四点共圆,使证明很顺畅.例2如图2,四边形A B C D为平行四边形,∠B A F＝∠B C E.求证：∠E B A＝∠A D E.证明：如图2,分别过点A、B作E D、E C的平行线,得交点P,连P E.由A B C D,易知△P B A≌△E C D.有P A＝E D,P B＝E C.显然,四边形P B C E、P A D E均为平行四边形.有∠B C E＝∠B P E,∠A P E＝∠A D E.由∠B A F＝∠B C E,可知∠B A F＝∠B P E.有P、B、A、E四点共圆.于是,∠E B A＝∠A P E.所以,∠E B A＝∠A D E.这里,通过添加平行线,使已知与未知中的四个角通过P、B、A、E四点共圆,紧密联系起来.∠A P E成为∠E B A与∠A D E相等的媒介,证法很巧妙.2欲“送”线段到当处利用“平行线间距离相等”、“夹在平行线间的平行线段相等”这两条,常可通过添加平行线,将某些线段“送”到恰当位置,以证题.例3在△A B C中,B D、C E为角平分线,P为E D上任意一点.过P分别作A C、A B、B C的垂线,M、N、Q为垂足.求证：P M＋P N＝P Q.证明：如图3,过点P作A B的平行线交B D于F,过点F作B C的平行线分别交P Q、A C于K、G,连P G.由B D平行∠A B C,可知点F到A B、B C两边距离相等.有K Q＝P N.显然,＝＝,可知P G∥E C.由C E平分∠B C A,知G P平分∠F G A.有P K＝P M.于是,P M＋P N＝P K＋K Q＝P Q.这里,通过添加平行线,将P Q“掐开”成两段,证得P M＝P K,就有P M＋P N＝P Q.证法非常简捷.3为了线段比的转化由于“平行于三角形一边的直线截其它两边,所得对应线段成比例”,在一些问题中,可以通过添加平行线,实现某些线段比的良性转化.这在平面几何证题中是会经常遇到的.例4设M1、M2是△A B C的B C边上的点,且B M1＝C M2.任作一直线分别交A B、A C、A M1、A M2于P、Q、N1、N2.试证：＋＝＋.证明：如图4,若P Q∥B C,易证结论成立.若P Q与B C不平行,设P Q交直线B C于D.过点A作P Q的平行线交直线B C于E.由B M1＝C M2,可知B E＋C E＝M1E＋M2E,易知＝,＝,＝,＝.则＋＝＝＝＋.所以,＋＝＋.这里,仅仅添加了一条平行线,将求证式中的四个线段比“通分”,使公分母为D E,于是问题迎刃而解.例5A D是△A B C的高线,K为A D上一点,B K交A C于E,C K交A B于F.求证：∠F D A＝∠E D A.证明：如图5,过点A作B C的平行线,分别交直线D E、D F、B E、C F于Q、P、N、M.显然,＝＝.有B D·A M＝D C·A N.(1)由＝＝,有A P＝.(2)由＝＝,有A Q＝.(3)对比(1)、(2)、(3)有A P＝A Q.显然A D为P Q的中垂线,故A D平分∠P D Q.所以,∠F D A＝∠E D A.这里,原题并未涉及线段比,添加B C的平行线,就有大量的比例式产生,恰当地运用这些比例式,就使A P与A Q的相等关系显现出来.4为了线段相等的传递当题目给出或求证某点为线段中点时,应注意到平行线等分线段定理,用平行线将线段相等的关系传递开去.例6在△A B C中,A D是B C边上的中线,点M在A B边上,点N在A C边上,并且∠M D N＝90°.如果B M2＋C N2＝D M2＋D N2,求证：A D2＝(A B2＋A C2).证明：如图6,过点B作A C的平行线交N D延长线于E.连M E.由B D＝D C,可知E D＝D N.有△B E D≌△C N D.于是,B E＝N C.显然,M D为E N的中垂线.有E M＝M N.由B M2＋B E2＝B M2＋N C2＝M D2＋D N2＝M N2＝E M2,可知△B E M为直角三角形,∠M B E＝90°.有∠A B C＋∠A C B＝∠A B C＋∠E B C＝90°.于是,∠B A C＝90°.所以,A D2＝＝(A B2＋A C2).这里,添加A C的平行线,将B C的以D为中点的性质传递给E N,使解题找到出路.例7如图7,A B为半圆直径,D为A B上一点,分别在半圆上取点E、F,使E A＝D A,F B＝D B.过D作A B的垂线,交半圆于C.求证：C D平分E F.证明：如图7,分别过点E、F作A B的垂线,G、H为垂足,连F A、E B.易知D B2＝F B2＝A B·H B,A D2＝A E2＝A G·A B.二式相减,得D B2－A D2＝A B·(H B－A G),或(D B－A D)·A B＝A B·(H B－A G).于是,D B－A D＝H B－A G,或D B－H B＝A D－A G.就是D H＝G D.显然,E G∥C D∥F H.故C D平分E F.这里,为证明C D平分E F,想到可先证C D平分G H.为此添加C D的两条平行线E G、F H,从而得到G、H两点.证明很精彩.经过一点的若干直线称为一组直线束.一组直线束在一条直线上截得的线段相等,在该直线的平行直线上截得的线段也相等.如图8,三直线A B、A N、A C构成一组直线束,D E是与B C平行的直线.于是,有＝＝,即＝或＝.此式表明,D M＝M E的充要条件是B N＝N C.利用平行线的这一性质,解决某些线段相等的问题会很漂亮.例8如图9,A B C D为四边形,两组对边延长后得交点E、F,对角线B D∥E F,A C的延长线交E F于G.求证：E G＝G F.证明：如图9,过C作E F的平行线分别交A E、A F于M、N.由B D∥E F,可知M N∥B D.易知S△B E F＝S△D E F.有S△B E C＝S△ K G－*5ⅡD F C.可得M C＝C N.所以,E G＝G F.例9如图10,⊙O是△A B C的边B C外的旁切圆,D、E、F分别为⊙O与B C、C A、A B的切点.若O D与E F相交于K,求证：A K平分B C.证明：如图10,过点K作B C的行平线分别交直线A B、A C于Q、P两点,连O P、O Q、O E、O F.由O D⊥B C,可知O K⊥P Q.由O F⊥A B,可知O、K、F、Q四点共圆,有∠F O Q＝∠F K Q.由O E⊥A C,可知O、K、P、E四点共圆.有∠E O P＝∠E K P.显然,∠F K Q＝∠E K P,可知∠F O Q＝∠E O P.由O F＝O E,可知R t△O F Q≌R t△O E P.则O Q＝O P.于是,O K为P Q的中垂线,故Q K＝K P.所以,A K平分B C.综上,我们介绍了平行线在平面几何问题中的应用.同学们在实践中应注意适时添加平行线,让平行线在平面几何证题中发挥应有的作用.练习题1.四边形A B C D中,A B＝C D,M、N分别为A D、B C的中点,延长B A交直线N M于E,延长C D 交直线N M于F.求证：∠B E N＝∠C F N.(提示：设P为A C的中点,易证P M＝P N.)2.设P为△A B C边B C上一点,且P C＝2P B.已知∠A B C＝45°,∠A P C＝60°.求∠A C B.(提示：过点C作P A的平行线交B A延长线于点D.易证△A C D∽△P B A.答：75°)3.六边开A B C D E F的各角相等,F A＝A B＝B C,∠E B D＝60°,S△E B D＝60c m2.求六边形A B C D E F 的面积.(提示：设E F、D C分别交直线A B于P、Q,过点E作D C的平行线交A B于点M.所求面积与E M Q D面积相等.答：120c m2)4.A D为R t△A B C的斜边B C上的高,P是A D的中点,连B P并延长交A C于E.已知A C:A B＝k.求A E:E C.(提示：过点A作B C的平行线交B E延长线于点F.设B C＝1,有A D＝k,D C＝k2.答：) 5.A B为半圆直径,C为半圆上一点,C D⊥A B于D,E为D B上一点,过D作C E的垂线交C B于F.求证：＝.(提示：过点F作A B的平行线交C E于点H.H为△C D F的垂心.)6.在△A B C中,∠A:∠B:∠C＝4:2:1,∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c.求证：＋＝. (提示：在B C上取一点D,使A D＝A B.分别过点B、C作A D的平行线交直线C A、B A于点E、F.)7.分别以△A B C的边A C和B C为一边在△A B C外作正方形A C D E和C B F G,点P是E F的中点.求证：P点到边A B的距离是A B的一半.8.△A B C的内切圆分别切B C、C A、A B于点D、E、F,过点F作B C的平行线分别交直线D A、D E于点H、G.求证：F H＝H G.(提示：过点A作B C的平行线分别交直线D E、D F于点M、N.)9.A D为⊙O的直径,P D为⊙O的切线,P C B为⊙O的割线,P O分别交A B、A C于点M、N.求证：O M＝O N.(提示：过点C作P M的平行线分别交A B、A D于点E、F.过O作B P的垂线,G为垂足.A B∥G F.)第二讲巧添辅助妙解竞赛题在某些数学竞赛问题中,巧妙添置辅助圆常可以沟通直线形和圆的内在联系,通过圆的有关性质找到解题途径.下面举例说明添置辅助圆解初中数学竞赛题的若干思路.1挖掘隐含的辅助圆解题有些问题的题设或图形本身隐含着“点共圆”,此时若能把握问题提供的信息,恰当补出辅助圆,并合理挖掘图形隐含的性质,就会使题设和结论的逻辑关系明朗化.1.1作出三角形的外接圆例1如图1,在△A B C中,A B＝A C,D是底边B C上一点,E是线段A D上一点且∠B E D＝2∠C E D＝∠A.求证：B D＝2C D.分析：关键是寻求∠B E D＝2∠C E D与结论的联系.容易想到作∠B E D的平分线,但因B E≠E D,故不能直接证出B D＝2C D.若延长A D交△A B C的外接圆于F,则可得E B＝E F,从而获取.证明：如图1,延长A D与△A B C的外接圆相交于点F,连结C F与B F,则∠B F A＝∠B C A＝∠A B C ＝∠A F C,即∠B F D＝∠C F D.故B F:C F＝B D:D C.又∠B E F＝∠B A C,∠B F E＝∠B C A,从而∠F B E＝∠A B C＝∠A C B＝∠B F E.故E B＝E F.作∠B E F的平分线交B F于G,则B G＝G F.因∠G E F＝∠B E F＝∠C E F,∠G F E＝∠C F E,故△F E G≌△F E C.从而G F＝F C.于是,B F＝2C F.故B D＝2C D.1.2利用四点共圆例2凸四边形A B C D中,∠A B C＝60°,∠B A D＝∠B C D＝90°,A B＝2,C D＝1,对角线A C、B D交于点O,如图2.则s i n∠A O B＝____.分析：由∠B A D＝∠B C D＝90°可知A、B、C、D四点共圆,欲求s i n∠A O B,联想到托勒密定理,只须求出B C、A D即可.解：因∠B A D＝∠B C D＝90°,故A、B、C、D四点共圆.延长B A、C D交于P,则∠A D P＝∠A B C ＝60°.设A D＝x,有A P＝x,D P＝2x.由割线定理得(2＋x)x＝2x(1＋2x).解得A D＝x ＝2－2,B C＝B P＝4－.由托勒密定理有B D·C A＝(4－)(2－2)＋2×1＝10－12.又S A B C D＝S△A B D＋S△B C D＝.故s i n∠A O B＝.例3已知：如图3,A B＝B C＝C A＝A D,A H⊥C D于H,C P⊥B C,C P交A H于P.求证：△A B C的面积S＝A P·B D.分析：因S△A B C＝B C2＝A C·B C,只须证A C·B C＝A P·B D,转化为证△A P C∽△B C D.这由A、B、C、Q四点共圆易证(Q为B D与A H交点).证明：记B D与A H交于点Q,则由A C＝A D,A H⊥C D得∠A C Q＝∠A D Q.又A B＝A D,故∠A D Q＝∠A B Q.从而,∠A B Q＝∠A C Q.可知A、B、C、Q四点共圆.∵∠A P C＝90°＋∠P C H＝∠B C D,∠C B Q＝∠C A Q,∴△A P C∽△B C D.∴A C·B C＝A P·B D.于是,S＝A C·B C＝A P·B D.2构造相关的辅助圆解题有些问题貌似与圆无关,但问题的题设或结论或图形提供了某些与圆的性质相似的信息,此时可大胆联想构造出与题目相关的辅助圆,将原问题转化为与圆有关的问题加以解决.2.1联想圆的定义构造辅助圆例4如图4,四边形A B C D中,A B∥C D,A D＝D C＝D B＝p,B C＝q.求对角线A C的长.分析：由“A D＝D C＝D B＝p”可知A、B、C在半径为p的⊙D上.利用圆的性质即可找到A C与p、q的关系.解：延长C D交半径为p的⊙D于E点,连结A E.显然A、B、C在⊙D上.∵A B∥C D,∴B C＝A E.从而,B C＝A E＝q.在△A C E中,∠C A E＝90°,C E＝2p,A E＝q,故A C＝＝.2.2联想直径的性质构造辅助圆例5已知抛物线y＝－x2＋2x＋8与x轴交于B、C两点，点D平分B C.若在x轴上侧的A点为抛物线上的动点,且∠B A C为锐角,则A D的取值范围是____.分析：由“∠B A C为锐角”可知点A在以定线段B C为直径的圆外,又点A在x轴上侧,从而可确定动点A的范围,进而确定A D的取值范围.解：如图5,所给抛物线的顶点为A 0(1,9),对称轴为x＝1,与x轴交于两点B(－2,0)、C(4,0).分别以B C、D A为直径作⊙D、⊙E,则两圆与抛物线均交于两点P(1－2,1)、Q(1＋2,1).可知,点A在不含端点的抛物线P A0Q内时,∠B A C＜90°.且有3＝D P＝D Q＜A D≤D A0＝9,即A D的取值范围是3＜A D≤9.2.3联想圆幂定理构造辅助圆例6A D是R t△A B C斜边B C上的高,∠B的平行线交A D于M,交A C于N.求证：A B2－A N2＝B M·B N.分析：因A B2－A N2＝(A B＋A N)(A B－A N)＝B M·B N,而由题设易知A M＝A N,联想割线定理,构造辅助圆即可证得结论.证明：如图6,∵∠2＋∠3＝∠4＋∠5＝90°,又∠3＝∠4,∠1＝∠5,∴∠1＝∠2.从而,A M＝A N.以A M长为半径作⊙A,交A B于F,交B A的延长线于E.则A E＝A F＝A N.由割线定理有B M·B N＝B F·B E＝(A B＋A E)(A B－A F)＝(A B＋A N)(A B－A N)＝A B2－A N2,即A B2－A N2＝B M·B N.例7如图7,A B C D是⊙O的内接四边形,延长A B和D C相交于E,延长A B和D C相交于E,延长A D和B C相交于F,E P和F Q分别切⊙O于P、Q.求证：E P2＋F Q2＝E F2.分析：因E P和F Q是⊙O的切线,由结论联想到切割线定理,构造辅助圆使E P、F Q向E F转化.证明：如图7,作△B C E的外接圆交E F于G,连结C G.因∠F D C＝∠A B C＝∠C G E,故F、D、C、G四点共圆.由切割线定理,有E F2＝(E G＋G F)·E F＝E G·E F＋G F·E F＝E C·E D＋F C·F B＝E C·E D＋F C·F B＝E P2＋F Q2,即E P2＋F Q2＝E F2.2.4联想托勒密定理构造辅助圆例8如图8,△A B C与△A＇B＇C＇的三边分别为a、b、c与a＇、b＇、c＇,且∠B＝∠B＇,∠A＋∠A＇＝180°.试证：a a＇＝b b＇＋c c＇.分析：因∠B＝∠B＇,∠A＋∠A＇＝180°,由结论联想到托勒密定理,构造圆内接四边形加以证明.证明：作△A B C的外接圆,过C作C D∥A B交圆于D,连结A D和B D,如图9所示.∵∠A＋∠A＇＝180°＝∠A＋∠D,∠B C D＝∠B＝∠B＇,∴∠A＇＝∠D,∠B＇＝∠B C D.∴△A＇B＇C＇∽△D C B.有＝＝,即＝＝.故D C＝,D B＝.又A B∥D C,可知B D＝A C＝b,B C＝A D＝a.从而,由托勒密定理,得A D·B C＝A B·D C＋A C·B D,即a2＝c·＋b·.故a a＇＝b b＇＋c c＇.练习题1.作一个辅助圆证明：△A B C中,若A D平分∠A,则＝.(提示：不妨设A B≥A C,作△A D C的外接圆交A B于E,证△A B C∽△D B E,从而＝＝.)2.已知凸五边形A B C D E中,∠B A E＝3a,B C＝C D＝D E,∠B C D＝∠C D E＝180°－2a.求证：∠B A C ＝∠C A D＝∠D A E.(提示：由已知证明∠B C E＝∠B D E＝180°－3a,从而A、B、C、D、E共圆,得∠B A C＝∠C A D＝∠D A E.)3.在△A B C中A B＝B C,∠A B C＝20°,在A B边上取一点M,使B M＝A C.求∠A M C的度数. (提示：以B C为边在△A B C外作正△K B C,连结K M,证B、M、C共圆,从而∠B C M＝∠B K M ＝10°,得∠A M C＝30°.)4．如图10,A C是A B C D较长的对角线,过C作C F⊥A F,C E⊥A E.求证：A B·A E＋A D·A F＝A C2.(提示：分别以B C和C D为直径作圆交A C于点G、H.则C G＝A H,由割线定理可证得结论.)5.如图11.已知⊙O1和⊙O2相交于A、B,直线C D过A交⊙O1和⊙O2于C、D,且A C＝A D,E C、E D分别切两圆于C、D.求证：A C2＝A B·A E. (提示：作△B C D的外接圆⊙O 3,延长B A交⊙O3于F,证E在⊙O3上,得△A C E≌△A D F,从而A E＝A F,由相交弦定理即得结论.)6．已知E是△A B C的外接圆之劣弧B C的中点.求证：A B·A C＝A E2－B E2.(提示：以B E为半径作辅助圆⊙E,交A E及其延长线于N、M,由△A N C∽△A B M证A B·A C＝A N·A M.)7.若正五边形A B C D E的边长为a,对角线长为b,试证：－＝1.(提示：证b2＝a2＋a b,联想托勒密定理作出五边形的外接圆即可证得.)第三讲点共线、线共点在本小节中包括点共线、线共点的一般证明方法及梅涅劳斯定理、塞瓦定理的应用。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
初中数学几何专题讲座例题分析(08)如图，设AD，BE，CF为△ABC的三条高，若AB = 6，BC = 5，EF = 3，则线段BE的长为（）（A）185（B）4 （C）215（D）245【解】因为AD，BE，CF为△ABC的三条高，易知B，C，E，F四点共圆，于是△AEF∽△ABC，故AFAC=EFBC=35，即cos∠BAC =35，所以sin∠BAC =45。
在Rt△ABE中，BE = AB sin∠BAC = 6 ×45=245；(08)在△ABC中，∠ABC = 12°，∠ACB = 132°，BM和CN分别是这两个角的外角平分线，且点M，N分别在直线AC和直线AB上，则（）（A）BM > CN （B）BM = CN （C）BM < CN （D）BM和CN的大小关系不确定【解】∵∠ABC = 12°，BM为∠ABC的外角平分线，∴∠MBC =12( 180°– 12° ) = 84°，又∠BCM = 180°–∠ACB = 180°– 132° = 48°，∴∠BCM= 180°–84°–48°= 48°，∴BM = BC，又∠ACN =12( 180°–∠ACB ) =12( 180°– 132° ) = 24°，∴∠BNC = 180°–∠ABC –∠BCN = 180°– 12°– (∠ACB +∠CAN ) = 12°=∠ABC，∴CN = CB，因此，BM = BC = CN；(08)如图，正方形ABCD的边长为1，M，N为BD所在直线上的两点，且AMMAN = 135°，则四边形AMCN的面积为。
【解】设BD中点为O，连AO，则AO⊥BD，∴MB = MO –ABM =∠NDA = 135°，∠NAD =∠MAN –∠DAB –∠MAB = 135°– 90°–∠MAB = 45°–∠MAB =∠AMB，所以△ADN∽△MBA，故ADMB=DNBA，从而DN =ADMB∙四边形AMCN的面积S = 2 S△MAN= 2 ×12×MN ×AO = 2 ×12×52；(08)如图，圆O与圆D相交于A，B两点，BC为圆D的切线，点C在圆O上，且AB = BC。
（1）证明：点O在圆D的圆周上；（2）设△ABC的面积为S，求圆D的的半径r的最小值。
【解】（1）连OA，OB，OC，AC，因为O为圆心，AB = BC，所以△OBA∽△OBC，从而∠OBA =∠OBC，因为OD⊥AB，DB⊥BC，所以∠DOB = 90°–∠OBA = 90°–∠OBC =∠DBO，所以DB = DO，因此点O在圆D的圆周上；（2）设圆O的半径为a，BO的延长线交AC于点E，易知BE⊥AC。
设AC = 2 y（0 < y≤a），OE = x，AB = l，则a2 = x 2 + y 2，S = y ( a + x )，l2 = y 2 +( a + x )2 = y 2 + a2 + 2 a x + x 2 = 2 a2 + 2 a x = 2 a ( a + x ) =2aSy。
因为∠A BC = 2∠OBA = 2∠OAB =∠BDO，AB = BC，DB = DO，所以△BDO∽△ABC，CBDANM O所以BD AB =BO AC ，即r l =2a y ，故r =2aly ，所以r 2 =2224a l y =224a y ∙2aS y=2S ∙ (a y ) 3 ≥2S ，即r其中等号当a = y 时成立，这时AC 是圆O 的直径.所以圆D 的的半径r 的最小(07) 已知锐角△ABC 的顶点A 到垂心H 的距离等于它的外接圆的半径，则∠A 的度数是（ ） （A ）30°. （B ）45°. （C ）60°. （D ）75°. 【解】锐角△ABC 的垂心在三角形内部，如图，设△ABC 的外心为O ，D 为BC 的中点，BO 的延长线交⊙O 于点E ，连CE 、AE ，则CE //AH ，AE //CH ，则OD CE AH OB 2===，所以∠OBD ＝30°，∠BOD ＝60°，所以∠A ＝∠BOD ＝60°.故选（C ）. (07)设K 是△ABC 内任意一点，△KAB 、△KBC 、△KCA 的重心分别为D 、E 、F ，则ABC DEF S S △△:的值为 （ ）（A ）91. （B ）92. （C ）94. （D ）32.【解】 分别延长KD 、KE 、KF ，与△ABC 的三边AB 、BC 、CA 交于点M 、N 、P ，由于D 、E 、F 分别为△KAB 、△KBC 、△KCA 的重心，易知M 、N 、P 分别为AB 、BC 、CA 的中点，所以ABC MNP S S △△41=.易证△DEF ∽△MNP ，且相似比为3:2，所以MNP DEF S S △△2)32(=ABC S △4194⋅=ABC S △91=.所以:DEF S △19ABC S =△.故选（A ）.(07)已知直角梯形ABCD 的四条边长分别为6,10,2====AD CD BC AB ，过B 、D 两点作圆,与BA 的延长线交于点E ，与CB 的延长线交于点F ，则BF BE -的值为____4_____. 【解】延长CD 交⊙O 于点G ，设DG BE ,的中点分别为点N M ,，则易知DN AM =.因为10==CD BC ，由割线定理，易证DG BF =，所以42)(2)(2==-=-=-=-AB AM BM DN BM DG BE BF BE . (07)如图，四边形ABCD 是梯形，点E 是上底边AD 上一点，CE 的延长线与BA 的延长线交于点F ，过点E 作BA 的平行线交CD 的延长线于点M ，BM 与AD 交于点N .证明：∠AFN =∠DME . 【解】 设MN 与EF 交于点P ，∵NE //BC ，∴△PNE ∽△PBC ，∴PCPEPB PN =, ∴PC PN PE PB ⋅=⋅.又∵ME //BF ，∴△PME ∽△PBF ，∴PFPEPB PM =, ∴PF PM PE PB ⋅=⋅.∴PF PM PC PN ⋅=⋅,故PFPCPN PM =又∠FPN =∠MPE ，∴△PNF ∽△PMC ，∴∠PNF ＝∠PMC ，∴NF//MC ∴∠ANF ＝∠EDM. 又∵ME//BF ，∴∠FAN ＝∠MED.∴∠ANF ＋∠FAN ＝∠EDM ＋∠MED ，∴∠AFN=∠DME.（06）如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，点P 在劣弧AB 上，连结DP ，DP 交AC 于点Q．若ABCD EFG M NQO QP =，则QAQC的值为（ ） （A ）132- （B ）32 （C ）23+ （D ）23+【解】如图，设⊙O 的半径为r ，m QO =，则m QP =，m r QC +=，m r QA -=．在⊙O 中，根据相交弦定理，得QD QP QC QA ⋅=⋅．即 QD m m r m r ⋅=+-))((，所以 mm r QD 22-=．连结DO ，由勾股定理，得222QO DO QD +=， 即 22222m r mm r +=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-， 解得r m 33=．所以， 231313+=-+=-+=m r m r QA QC ．故选D ．(06)如图，面积为c b a -的正方形DEFG 内接于面积为1的正三角形ABC ，其中a ，b ，c 是整数，且b 不能被任何质数的平方整除，则bca -的值等于 . 【解】设正方形DEFG 的边长为x ，正三角形ABC 的边长为m ，则342=m ．由△ADG ∽ △ABC ，可得m xm m x 2323-=， 解得m x )332(-=．于是48328)332(222-=-=m x ，由题意，a ＝28，b ＝3,c ＝48，所以320-=-b c a .(06)已知△ABC 中，B ∠是锐角．从顶点A 向BC 边或其延长线作垂线，垂足为D ；从顶点C 向AB 边或其延长线作垂线，垂足为E ．当BC BD 2和ABBE2均为正整数时，△ABC 是什么三角形？并证明你的结论． 【解】设,2m BC BD =n ABBE=2，,m n 均为正整数，则 244cos 4BD BEmn B AB BC=⋅⋅=<，所以，mn ＝1，2，3． （1）当mn ＝1时，1cos 2B =，60B ∠=︒，此时1==n m ．所以AD 垂直平分BC ，CE 垂直平分AB ，于是△ABC 是等边三角形．（2）当mn ＝2时，cos 2B =，45B ∠=︒，此时2,1==n m ，或1,2==n m ，所以点E 与点A 重合，或点D 与点C 重合．故90BAC ∠=︒，或90BCA ∠=︒，于是△ABC 是等腰直角三角形．（3）mn ＝3时，cos B =，30B ∠=︒，此时3,1==n m ，或1,3==n m ．于是AD 垂直平分BC ，或CE 垂直平分AB ．故30ACB ∠=︒，或30BAC ∠=︒，于是△ABC 是顶角为120的等腰三角形．(06)如图，已知锐角△ABC 及其外接圆⊙O ，AM 是BC 边的中线．分别过点B ，C 作⊙O 的切线，两条切线相交于点X ，连结AX ．求证：BAC AXAM∠=cos ． 【解】设AX 与⊙O 相交于点1A ，连结OB ，OC ，1OA ．又M 为BC 的中点，所以，连结OX ，它过点M ． 因为,OB BX OX BC ⊥⊥，所以2XB XM XO =⋅． ①（第5题答案图）又由切割线定理得21XB XA XA =⋅． ②由①，②得1XA XM XA XO=，于是△XMA ∽△1XA O ， 所以1OA AM OBAX OX OX==． 又2BOC BAC ∠=∠，所以BOX BAC ∠=∠，于是BAC OXOBAX AM ∠==cos ．(05)、圆内接四条边长顺次为5、10、11、14；则这个四边形的面积为( )。
A 、78.5B 、97.5C 、90D 、102【解】由题意得：52＋142－2×5×14×cos α＝102＋112－2×10×11×cos(180°－α)∴221－140cos α＝221＋220 cos α∴cos α＝0 ∴α＝90°∴四边形的面积为：5×7＋5×11＝90 ∴选C(05)、图中的三块阴影部分由两个半径为1的圆及其外公切线分割而成，如果中间一块阴影的面积等于上下两块面积之和，则这两圆的公共弦长是( )。