微积分之幂级数

提示： R lim an 1
n
an 1
R 1，又 x 1时级数发散 . 收敛域
1,1 .
例 3 （ 1）求幂级数
( 1)n 1 3n x 2n 的收敛半径与收敛域 . （缺项级数 ）
n0
n
提示： lim un 1
n
un
( 1)n 3n x1 2( n 1)
n
lim
n
n1
( 1)n 13n x2n
lim 3n x2 3x2 n n1
anx n 收敛且绝对收敛 .
n0
(2) 若 x0 D , 则 对 | x | | x0 |, 有 x D 即级数 an xn 发散 .
n0
ຫໍສະໝຸດ Baidu
证明 : (1) x0 D
an x0n 收敛，
n0
由
n
a n x0 收
n0
n
an x0
|x| |x0 |
0 | anx n | | anx0n |
0( n
n
x x0
当 3x2 1
x
1 时级数收敛；当 3x2 1
x
1
时级数发散 .
3
3
当x
1
时，原级数是
( 1)n 1 1 ，收敛的交错级数 .
3
n1
n
所以 收敛半径 R
1
11
11
，收敛区间 (
, ) ，收敛域 [
, ].
3
33
33
注意 ： 缺项级数可以直接用比值法求收敛半径
.
（ 2）求幂级数
n 1 2n 1
( 1) x 的收敛域 .
n1
(2) 发散点 x0 I ——常数项级数
u n( x0 ) 发散；
n1
(3) 收敛域 D —— 函数项级数 un ( x) 的所有收敛点形成的集合 D ；
n1
—
(4) 发散域 G ——
un ( x) 的发散点的全体构成的集合 G .
n1
3．和函数 S(x) —— S( x)
un ( x) , x D .
,
n!
n
an 1
n
n!
n
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5
—
故 收敛区间和收敛域均是 ( , ) .
（ 2） 求幂级数 n! xn 的收敛半径 .
n0
解 : an n!
R lim an n an 1
lim n!
lim 1 0 .
n (n 1)! n n 1
练习 ：求幂级数
( 1)n 1 xn 1 的收敛半径与收敛域 .
n0
n0
常数 an （ n 0,1,2,L ）称为幂级数的系数 .
标准幂级数 ） , 其中
结论 ：对于级数
an (x
n
x0 ) ，作代换
t
x x0 可以将一般幂级数化
n0
为标准幂级数
ant n ，所以我们只研究标准幂级数敛散性的判别方法
.
n0
anx n 的 收敛域 ：此级数的全体收敛点的 集合 .
n0
显然 : x0 D ( 收敛域 ) ，即幂级数总在 x x0 点处收敛 .
an xn 敛散另行判定 .
l
n0
（ 4）若 l 0 ，即 l x 0 1，此时对任意 x ， anxn 收敛 .
n0
上述分析显示级数
an xn 在一个以原点为中心，从
n0
绝对收敛，区间 ( R, R) 称为幂级数的 收敛区间 ， R
R 到 R 的区间内 1
为收敛半径 .
l
若级数 an xn 仅在点 x 0 收敛，则规定 R 0 ，级数的收敛域为 x 0
例如 :
xn ,
( x 1) n 均为幂级数 .
n0
n 0 n!
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2
—
显然 :
xn 的收敛域 D ( 1,1) , 其发散域 G ( , 1] [1, ) .
n0
且和函数 S(x)
xn
1 , | x | 1 . 此结论可当公式使用 .
n0
1x
2. 级数的收敛域
把级数 an xn 的各项取绝对值得正项级数
n1
n1
1 , 则幂级数 3
n
1
an2 bn2
xn 的收敛半径为（
A）
5与 3
(A) 5
(B)
5
3
答案 lim an 1 n an
3 , lim bn 1 5 n bn
(C)
3
1
(D)
3
1 R
lim
n
an2 1 bn2 1
bn2 an2
1 5 91 1 59 5
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7
—
（2） (90.5)
求级数
n0
有逐项积分公式
x
S( x )dx
0
x 0
ant ndt
n0
an xn 1 , | x | R n 0n 1
R.
( 积分前后的收敛半径不变 ).
例 : 1 1 x x2 1x
意义 .
xn
, | x | 1. 逐项积分时在 x 1 处无
4. 幂级数 a nxn 的和函数 S( x) 在其收敛区间上可微， 且在收敛区间上
一、函数项级数的概念
1．【 定义 】设 u1 (x), u2 ( x), , un (x),
是定义在区间 I 上的函数 , 则
un( x) u1(x) u2 (x)
n1
un( x)
称为定义在区间 I 上的 ( 函数项 ) 无穷级数 .
2． 收敛域
(1) 收敛点 x0 I —— 常数项级数
u n (x0) 收敛；
M0
n
)
| an x0 | M ( M
n
x
x
M
,因
1,
x0
x0
从而
n
M x 收敛 ,
n0
x0
正项级数 | an x |n 收敛
n0
0 的常数）
an x n 收敛
n0
x D 即对 | x | | x0 | , a nxn 收敛且绝对收敛 .
n0
由(1)
(2) x0 D , 假若有 x1 D 满足 | x1 | | x0 |
lim
1.
n
n
级数为
( 1)n 收敛；
n1 n
当 x 1 时 , 级数为 1 发散 . n 1n
故收敛区间（ 敛区 ）是 1,1 ，收敛域为 ( 1,1] （ 敛域 ） .
xn
例 2（ 1） 求幂级数
的收敛半径与收敛域 .
n 0 n!
解 : an 1
R lim an
lim (n 1)! lim ( n 1)
(an
n0
bn )x n , x
Rc , Rc .
an x n
bn xn
n0
n0
cn x n
n0
(
aib j )x n , x
n0 i j n
其中 : Rc
min{ Ra, Rb} , cn
n
akbn k , n
k0
Rc , Rc . 1,2, .
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8
—
3）除法 :
an xn
n0
bn xn
n0
n1
若函数项级数
un ( x) 在收敛域内每一点都对应于 S( x) 的一个函数值，
n1
则称 S(x) 为函数项级数 un( x) 的 和函数 .
n1
4．余项 rn ( x) —— rn ( x) S( x) Sn ( x) , Sn ( x)
注 : ①只有在收敛域 D 上, rn ( x) 才有意义； ② lim rn ( x) 0 , x D .
cn x n , x
n0
Rc , Rc .
其中 : Rc 待定 , 而 cn 由系列表达式 a n
n
bk cn k , n
k0
此处 , Ra Rb
, 但 Rc 1 .
1,2,
确定 .
2. 幂级数 a nxn 的和函数 S( x) 在其收敛区间 ( R, R) 内是连续 .
n0
3. 幂级数 a nxn 的和函数 S( x) 在其收敛区间 ( R, R) 内可积，且
当 x 0 和 x 4 时 , 原级数都为
1 发散 , 所以收敛域为 (0,4) .
n1n
三、幂级数以及和函数的运算性质
1. 设
an x n 和 bnx n 的收敛半径分别为 Ra 和Rb
n0
n0
1） 加减法 :
an x n
bn x n
n0
n0
其中 : Rc min{ Ra, Rb} .
2）乘法 :
注意： 对于级数 un ，当 u n 收敛时， u n 绝对收敛 .
n1
n1
n1
例证
( 1)n 1 绝对收敛：令
n 1 (2n 1)2
un
( 1)n 1 ，则 (2 n 1)2
un
1 (2 n 1)2
1 [ n (n 1)]2
1 n2 , n
1 1 n2
收敛
un 收敛
n1
故 原级数绝对收敛 .
§ 7.5 幂级数
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4
—
4. 【定理 7.13 】 若幂级数
anx n 系数满足条件 lim an 1 l 或
n0
n
an
lim
n
n | an |
l （ l 为常数或
），则
(1) 当 0 l
时, 则 R
1
；
l
(2) 当 l 0 时 , 则 R
.
（ 3）当 l
时, 则 R 0 .
常用公式 : R
lim an ， R n an 1
n0
S ( x)
n
an x
n0
n
nan x
1
,
|x|
R
R.
n1
说明 ： 求导与积分前后两级数的收敛半径不变
，但收敛域有可能改变 .
教学目的： 弄清幂级数的相关概念；掌握幂级数收敛半径、收敛区间、
收敛域定义与求法； 掌握幂级数的性质， 能灵活正确运用性质
求幂级数的和函数 .
重难点： 掌握幂级数收敛半径、收敛区间、收敛域概念与求法；掌握幂
级数的性质，能灵活正确运用性质求幂级数的和函数，以及常
数项级数的和 .
教学方法： 启发式讲授 教学过程：
n
1
( x 3)n n2
的收敛域
.
解 令t
x
3 ， 级数
tn n 1 n2
, 由 lim n
an 1 an
n2
lim n (n
1)2
1知 Rt
1,
因此当 1 x 3 1 即 2 x 4 时级数收敛 .
n
当x
2 时 , 原级数为
( 1) n 1 n2
收敛 , 当 x
4 时 , 原级数为
所以收敛域为 [ 2,4] .
2
1 x
2
1
时级数发散，
2
t1 x
1, x 0 ，当 x
1 时原级数为
( 1)n 1 收敛，
n1
n
1
1
当 x 0 时，
发散，故 原级数收敛半径 R ，收敛域为 [ 1,0] .
n 1n
2
注意 ： 一般幂级数求收敛半径时作变量代换 .
提问：（1）(02.3) 设幂级数
an xn 与 bnxn 的收敛半径分别为
n
an x0 收敛
n0
x0 D 矛盾 . 所以 | x | | x0 | , 有 a n xn 发散，即 x D .
n0
注意 :(1) 若 x0 D , 则 ( | x0 |,| x0 | ) D ( 收敛域 ), ( x0 0) ；
(2)
若 x0 D , 则 ( , | x0 |) U ( | x0 |, ) G ( 发散域 ).
所以 收敛域为 [ 1,1].
例 4 求幂级数
n
(2 x 1) 的收敛半径与收敛域 .
n1
n
（ 中心不在原点的级数 ）
解 令 t 2x 1, 幂级数变形为
tn
,
n1 n
1
Rt lim an n an 1
lim n 1 lim n 1
n
1 n n1
Rt 1
Rx
1 2
n
t1
1 x
2
1 时级数绝对收敛， t 1
n0
例如 由于
级数
n! xn 1 x 2! x2
n0
lim un 1
n
un
n！x n
lim n (n
n1
1)! x
L n!xn L lim n x 1( x
n
∴ 级数收敛域为 x 0 或 {0} ； 独点集 .
0) ，
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3
—
若 a n xn 对任意 x 都收敛，则 R
n0
，级数的收敛域为 ( , ) .
1 n 1 n2 收敛 .
（ 3） (92.3)
(x
级数
n1 n
2) 2n 4n 的收敛域为
(0,4) .
答 令t
(x
2)n
对于
tn
n 1n
4n
,
由
lim
n
an 1 an
n 4n
lim n (n
1) 4n 1
1
,
4
于是收敛半径 Rt 4 , 则 4 ( x 2)2 4 , 即 0 x 4 内收敛 .
n 1 2n 1
解 ： lim un 1
n
un
x2n 1 2n 1
lim n 2n
1
x2n 1
2
2n 1 2
x lim
x
n 2n 1
2
2
由 x 1 即 x 1时级数收敛，由由 x 1即 x 1 时级数发散 .
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6
—
得 R1 当 x 1时， （－1）n－1 收敛，当 x
n=1 2n－1
1时， （－1）n 收敛， n=1 2n－1
n
二、幂级数及其收敛半径和收敛域
n
uk ( x) , x D .
k1
1．【 定义 】形如 an( x x0 )n 的函数项级数称为 ( x x0) 的幂级数 .（也
n0
称为 一般幂级数 ），其中 a0, a1,a2,L .an,L 为常数，称为幂级数的系
数 . 当 x0 0 时,
an x n 称为 x 的幂级数（也称为
1
.
lim
n
n
an
例如 : 幂级数 xn 的收敛半径 R
n0
与敛域均为 ( 1,1) .
1, x
1 时，级数发散，故其敛区
例 1 求幂级数
( 1)n 1 x n 的收敛半径与收敛域 .
n1
n
解 (1) 级数的通项为 an ( 1)n 1 1 n
R
(2)
lim an n an 1 当 x 1时 ,
n1
当0 R
时，要讨论级数在 x R 处的敛散性才能确定收敛域 . 此
时收敛域可能是下列区间之一： ( R, R), [ R, R), ( R, R], [ R, R].
3. 【 阿贝尔定理 】（补充）设
an xn 的收敛域为 D ，则
n0
（ 1）若 x0 D 且 x0 0 , 则对 | x | | x0 | ,
n0
anxn ，
n0
记 lim an 1
n
an
l ，则
lim
n
an 1 xn 1 an xn
l x ；于是由比值判别法知
（ 1）若 l x 1, (l 0) ，即 x 1 R ，
n
anx 绝对收敛 .
l
n0
(2) 若 l x
1 ，即 x
1 l
R， an xn 发散 .
n0
(3) 若 l x 1 ，即 x 1 R ，比值法失效，