二项式定理(1)
二项式定理1
L
Cnn 3n 1]
1 [(1 3)n 1] 1 (4n 1)
3
3
13
例 求(2a+b)5的展开式的(1)第三项；(2)第三
题
2 项的二项式系数；(3)第三项的系数。
解:
(1)
T3＝T2+1＝C
2 5
(2a)5-2b2
=80a
3b2
(2) C52 =10
∴第三项的二项式系数是10
等号右边的积的展开式的每一项,是从每个 括号里任取一个字母的乘积.
3
寻找 规 律
(a+b)4的展开式中各项的系数是什么?
(a+b)4 = (a+b)(a+b)(a+b)(a+b)
=
c 40a4
+c 14a3b1
+c 42a2b2
+
c 43a1b3
+c
4 4
b4
每个都不取b的情况有1种,即
c
0 4
,所以 a4的系数是
(1 3)10 210 1024
(2).(x 1)5 5(x 1)4 10(x 1)3 10(x 1)2 5(x 1)
(x 11)5 1 x5 1
(3).Cn1 3Cn2 9Cn3 L
3n
C 1 n n
1[1 3
Cn1
3
Cn2
32
8
本节课的课题杨《辉二简项式介定理》就是研究
（• a+南b宋）末的年平钱方塘，人（，a是+当b）时的有三名次的方数…学…家 （和a教+b育）家的，n杨次辉方一的生乘编法写展的开数式学的书规很律多，， 法但国散数佚学严家重帕。斯卡在17世纪发现了它，国外 把这一规律称为帕斯卡三角。其实，我国数学
二项式定理(1)
8
100
（7 1）
C1 0 07
0
100
0
100
C1 0 07
99 1
1
99
C1 0 07
r
100 r
C1 0 07 C1 0 0 （C1 0 07 7
99
100
C1 0 0 1 ）
99
余数是1， 所以是星期六
练习
P31 1~4
注意：
1664年冬，牛顿研读沃利斯博士的《无穷算术》…
2 (a 2aba b) b)( b 2 (a b) a
2
b)(b b)( b (a b) (a 3a a 3aba b ) a
3
3
2
2
3
4 (a 4a)(a a 2b2 4b)(a 4 ) b 3b 6 b)(a ab3 b b (a b) a
Tr+1＝C n
r
an-rbr ；其中
x
C n称为第r +1项的二项式系数。
r
例1：展开(1+ )
解：
1
5 0 1
1 5
(1 ) C5 C5 C5 ( ) C 5 ( ) C 5 ( ) C 5 ( ) x x x x x x 1 5 x 10 x
0 4 1 2 3 3 4
4
(a＋b)2 ＝ C0 a2＋ C1 ab＋ C2 b2 2 2 2 (a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3 ＝ C0 a3＋ C1a2b＋ C2 ab2＋C3 b3 3 3 3 3 (a＋b)4＝(a＋b) (a＋b) (a＋b) (a＋b) ＝ 4 4 4 4 一般地， ＋b)n＝(a＋b) (a＋b) (a＋b) … (a＋b) (a r n-r ＝ C0 an＋C1 an-1b＋C2 an-2b2＋ C3 an-3b3＋…＋C r an-rbrr＋…＋ Cn bn C a b n n n n n
二项式定理和泰勒公式的关系(一)
二项式定理和泰勒公式的关系(一)二项式定理和泰勒公式的关系关系概述•二项式定理和泰勒公式都是在数学中具有重要意义的公式；•二项式定理用于展开二项式的幂；•泰勒公式则是将一个函数在某一点的邻域内用无穷级数的形式展开。
二项式定理•二项式定理是数学中的一个重要定理；•它描述了一个二项式的幂可以通过一系列的二项式系数来展开；•二项式定理的公式为：(a+b)^n = C(n,0) * a^n * b^0 + C(n,1) * a^(n-1) * b^1 + … + C(n,k) * a^(n-k) * b^k + … +C(n,n) * a^0 * b^n；•其中C(n,k)表示组合数，表示从n个元素中选择k个元素的组合方式。
泰勒公式•泰勒公式是数学中的一个重要公式，用于将一个函数在某一点的邻域内用无穷级数的形式展开；•根据泰勒公式，若函数在点a处存在n阶导数，则可用泰勒级数近似地表示为：f(x) = f(a) + f’(a) * (x-a) + f’’(a) *(x-a)^2/2! + … + f^n(a) * (x-a)^n/n! + R_n(x)；•其中R_n(x)是余项，表示了级数近似与原函数之间的误差。
当x 趋向于a时，余项通常趋于0。
二项式定理与泰勒公式的联系•在泰勒公式中，二项式定理可以被看作是对泰勒展开中的常数项的近似；•当泰勒展开中只考虑到常数项时，泰勒公式可以退化为二项式定理；•二项式定理可以看作是泰勒公式在多项式函数中的一种特殊情况；•二项式定理可以通过泰勒公式的推广得到，在常数项附近进行展开，得到一个无穷级数；•因此，可以将二项式定理看作是泰勒公式在二项式函数中的一个特殊应用；•这种联系使得二项式定理和泰勒公式在数学中有着密切的关联。
综上所述，二项式定理和泰勒公式既有相似之处，又有各自的特点。
通过理解和应用二项式定理和泰勒公式，可以更深入地理解数学中的展开和逼近的相关概念，进而应用到更广泛的数学和科学领域中。
人教版高中数学选择性必修3《二项式定理》第1课时课件
(a b)(a b)(a b)(a b)
b4 (a b)(a b)(a b)(a b)
探 探究3 仿照上述过程，推导 (a b)4 的展开式.
究 (a b)4 (a b)(a b)(a b)(a b)
归 ① 项： a4 a3b a2b2 ab3 b4 a4-kbk (k=0,1,2,3,4)
猜想：
(a b)n C0nan C1na b n1 1 Cnk ankbk Cnnbn (n N ).
探 究
探究4 分析 (a b)n的展开过程，证明猜想.
(a b)n (a b)(a b)(a b) (a b)
归 纳
n个
① 项： an a b n1 1 ankbk bn an-kbk (k=0,1,2,…,n)
分析 a2b (a b)(a b)(a b)
(a b)(a b)(a b) C13 (a b)(a b)(a b)
探 探究2 推导 (a b)3的展开式.
究 (a b)3 (a b)(a b)(a b)
归 ① 项： a3 a2b ab2 b3 纳 ② 系数：1 C13 C32
纳 ② 系数：1
C13
C32
C
3 3
a3-kbk ,其中k=0,1,2,3
探 探究2 推导 (a b)3的展开式. 究 (a b)3 (a b)(a b)(a b)
归 ① 项： a3 a2b ab2 b3
纳 ② 系数：C130 C13
C32
C
3 3
a3-kbk ,其中k=0,1,2,3 C3k ,其中k=0,1,2,3
探 究
探究3 仿照上述过程，推导 (a b)4 的展开式.
(a b)4 (a b)(a b)(a b)(a b)
二项式定理(1)
高三数学一轮复习 二项式定理 2014。
7一．二项式定理 01()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈⑴()n a b +的展开式的各项都是n 次式，即展开式应有下面形式的各项：n a ，n a b ，…，n r r a b -，…，n b ，⑵展开式各项的系数：每个都不取b 的情况有1种，即0n C 种，n a 的系数是0n C ；恰有1个取b 的情况有1n C 种，n a b 的系数是1n C ，……，恰有r 个取b 的情况有r n C 种，n r r ab -的系数是r n C ，……， 有n 都取b 的情况有n n C 种，n b 的系数是n n C ，01()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈ ，这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫()n a b +的二项展开式，⑶它有1n +项，各项的系数(0,1,)r n C r n = 叫二项式系数，⑷r n r r n C a b -叫二项展开式的通项，用1r T +表示，即通项1r n r r r nT C a b -+=． ⑸二项式定理中，设1,a b x ==，则1(1)1n r r n n x C x C x x +=+++++二．杨辉三角二项式系数表 ()n a b +展开式的二项式系数，当n 依次取1,2,3…时，二项式系数表，表中每行两端都是1，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和2．二项式系数的性质：()n a b +展开式的二项式系数是0n C ，1n C ，2n C ，…，n n C ．r n C 可以看成以r 为自变量的函数()f r定义域是{0,1,2,,}n ，例当6n =时，其图象是7个孤立的点（如图）（1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵m n m n n C C -=）． 直线2n r =是图象的对称轴． （2）增减性与最大值．∵1(1)(2)(1)1!k k n n n n n n k n k C C k k ----+-+==⋅ ，∴k n C 相对于1k n C -的增减情况由1n k k -+决定，1112n k n k k -++>⇔<， 当12n k +<时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值； 当n 是偶数时，中间一项2nn C 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项12n n C-，12n nC +取得最大值． （3）各二项式系数和：∵1(1)1n r r n n n x C x C x x +=+++++ ， 令1x =，则0122n r n n n n n nC C C C C =++++++ 在()n a b +的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．即021312n n n n n C C C C -++=++= .例1.展开6．例2．(通项意识)已知n 的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列， （1） 证明展开式中没有常数项；（2）求展开式中所有的有理项例3. (赋值意识)求（2x-1）5的展开式中（1）各项系数之和；（2）各项的二项式系数之和；（3）偶数项的二项式系数之和；（4）各项系数的绝对值之和；（5）奇次项系数之和例4．求42)43(-+x x 的展开式中x 的系数例5．已知⎝⎛⎭⎫12＋2x n ，(1)若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数；(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．例6. 求+++32132n n n C C C …++k n kC …n nnC +的值。
二项式定理(1)
6−2
(2x)
2
= 4860y x
4 2
第三项的系数分别是 2160、4860 2160、 2 第三项的二项式系数是 C6 =15 注意系数与二项式系数的区别. 注意系数与二项式系数的区别.
例 3 求(x-2)10的展开式中x6的系数. 的展开式中x 的系数.
解：二项展开式的通项 为 Tm+1 = C x （− 2） m 10 − m = (−1) 2 C10 x Q 10 − m = 6 ∴m = 4
−
n
+C 通项公式 T = C
m n
a
n−m
m
m +1
a n−mb m n
b + LL + C n b n
m n
(a + b) n 的展开式的特点：
是关于a与 的齐次多项式 ①项数：共n+1项,是关于 与b的齐次多项式 项数： 项 是关于 的指数从n逐项递减到 是降幂排列； ②指数:a的指数从 逐项递减到 是降幂排列； 指数 的指数从 逐项递减到0,是降幂排列 b的指数从 逐项递增到 ，是升幂排列。 的指数从0逐项递增到 的指数从 逐项递增到n，是升幂排列。
a （ + b) = C a + C a b +L+ C a b +L+ C b
n
0 n n 1 n-1 n m n-m m n
二项式定理: 二项式定理:
n n n
右边的多项式叫( 右边的多项式叫(a+b)n的二项展开式, 的二项展开式, 二项式系数: 二项式系数: C（m = 0，⋅ ⋅ ⋅，n） 1，
二 项 式 定 理
回顾：
（a + b) = a + 2ab + b 3 ( a + b) = ( a + b)( a + b)( a + b) 2 2 = ( a + b)( a + ab + ba + b ) 2 2 3 2 = a + a b+ aba + ab + ba 2 3 + bab + b a+ b 3 2 2 3 = a + 3a b + 3ab + b
高考数学一轮复习---二项式定理知识点与题型复习
二项式定理知识点与题型复习一、基础知识1.二项式定理(1)二项式定理：(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C k n a n－k b k＋…＋C n n b n(n∈N*)(2)通项公式：T k＋1＝C k n a n－k b k，它表示第k＋1项；(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数为C0n，C1n，…，C n n.2.二项式系数的性质注：(1)项数为n＋1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.二项式系数与项的系数的区别二项式系数是指C0n，C1n，…，C n n，它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关.如(a＋bx)n的二项展开式中，第k＋1项的二项式系数是C k n，而该项的系数是C k n a n－k b k.当然，在某些二项展开式中，各项的系数与二项式系数是相等的.二、考点解析考点一二项展开式中特定项或系数问题考法(一)求解形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量例1、(1)522⎪⎭⎫⎝⎛+xx的展开式中x4的系数为()A.10B.20C.40D.80(2)若(2x－a)5的二项展开式中x3的系数为720，则a＝________.(3)已知5⎪⎭⎫⎝⎛+xax的展开式中x5的系数为A，x2的系数为B，若A＋B＝11，则a＝________.[解题技法]求形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量(常数项、参数值、特定项等)的步骤第一步，利用二项式定理写出二项展开式的通项公式T r＋1＝C r n a n－r b r，常把字母和系数分离开来(注意符号不要出错)；第二步，根据题目中的相关条件(如常数项要求指数为零，有理项要求指数为整数)先列出相应方程(组)或不等式(组)，解出r；第三步，把r代入通项公式中，即可求出T r＋1，有时还需要先求n，再求r，才能求出T r＋1或者其他量.考法(二)求解形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的展开式中与特定项相关的量例2、(1)(1－x)6(1＋x)4的展开式中x的系数是()A.－4B.－3C.3D.4(2)已知(x－1)(ax＋1)6的展开式中含x2项的系数为0，则正实数a＝________.[解题技法]求形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的展开式中与特定项相关的量的步骤第一步，根据二项式定理把(a＋b)m与(c＋d)n分别展开，并写出其通项公式；第二步，根据特定项的次数，分析特定项可由(a＋b)m与(c＋d)n的展开式中的哪些项相乘得到；第三步，把相乘后的项合并即可得到所求特定项或相关量.考法(三)求形如(a＋b＋c)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量例3、(1)(x2＋x＋y)5的展开式中x5y2的系数为()A.10B.20C.30D.60(2)将344⎪⎭⎫⎝⎛-+xx展开后，常数项是________.[解题技法]求形如(a＋b＋c)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量的步骤第一步，把三项的和a＋b＋c看成是(a＋b)与c两项的和；第二步，根据二项式定理写出[(a ＋b )＋c ]n 的展开式的通项；第三步，对特定项的次数进行分析，弄清特定项是由(a ＋b )n －r 的展开式中的哪些项和c r 相乘得到的； 第四步，把相乘后的项合并即可得到所求特定项或相关量. 跟踪训练1.在(1－x 3)(2＋x )6的展开式中，x 5的系数是________.(用数字作答)3.5212⎪⎭⎫⎝⎛++x x (x ＞0)的展开式中的常数项为________.考点二 二项式系数的性质及各项系数和[典例精析](1)若531⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中各项系数之和大于8，但小于32，则展开式中系数最大的项是( ) A.63x B.4x C.4x 6x D.4x或4x 6x(2)若nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-12的展开式中含x 的项为第6项，设(1－3x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则a 1＋a 2＋…＋a n的值为________.(3)若(a ＋x )(1＋x )4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a ＝________.[解题技法] 1.赋值法的应用二项式定理给出的是一个恒等式，对于x ，y 的一切值都成立.因此，可将x ，y 设定为一些特殊的值.在使用赋值法时，令x ，y 等于多少，应视具体情况而定，一般取“1，－1或0”，有时也取其他值.如： (1)形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ，c ∈R )的式子，求其展开式的各项系数之和，只需令x ＝1即可. (2)形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R )的式子，求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可. 2.二项展开式各项系数和、奇数项系数和与偶数项系数和的求法 若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )的展开式中 (1)各项系数之和为f (1).(2)奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f (1)＋f (－1)2.(3)偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f (1)－f (－1)2.跟踪训练1.已知(2x－1)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则|a0|＋|a1|＋…＋|a5|＝()A.1B.243C.121D.1222.若(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9，且(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39，则实数m的值为________.3.已知(1＋3x)n的展开式中，后三项的二项式系数的和等于121，则展开式中二项式系数最大的项为____.考点三二项展开式的应用例、设a∈Z，且0≤a＜13，若512 018＋a能被13整除，则a＝()A.0B.1C.11D.12[解题技法]利用二项式定理解决整除问题的思路(1)要证明一个式子能被另一个式子整除，只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可.因此，一般要将被除式化为含相关除式的二项式，然后再展开.(2)用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开.但要注意两点：①余数的范围，a＝cr＋b，其中余数b∈[0，r)，r是除数，若利用二项式定理展开变形后，切记余数不能为负；②二项式定理的逆用.跟踪训练]1.使得多项式81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1能被5整除的最小自然数x为()A.1B.2C.3D.4课后作业1.3422⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中的常数项为( ) A.－32 B.32 C.6 D.－6 2.设(2－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，则a 2＋a 4a 1＋a 3的值为( )A.－6160B.－122121C.－34D.－901213.若二项式72⎪⎭⎫ ⎝⎛+x a x 的展开式的各项系数之和为－1，则含x 2项的系数为( )A.560B.－560C.280D.－2804.已知(1＋x )n 的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( ) A.29 B.210 C.211 D.2125.二项式9221⎪⎭⎫⎝⎛-x x 的展开式中，除常数项外，各项系数的和为( )A.－671B.671C.672D.673 6.在(1－x )5(2x ＋1)的展开式中，含x 4项的系数为( )A.－5B.－15C.－25D.257.若(x 2－a )101⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中x 6的系数为30，则a 等于( )A.13B.12C.1D.2 8.若(1＋mx )6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 6x 6，且a 1＋a 2＋…＋a 6＝63，则实数m 的值为( ) A.1或3 B.－3 C.1 D.1或－3 9.(2x －1)6的展开式中，二项式系数最大的项的系数是________.(用数字作答)10.9⎪⎭⎫ ⎝⎛+x a x 的展开式中x 3的系数为－84，则展开式的各项系数之和为________.11.511⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x 展开式中的常数项为________.12.已知nx x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+41的展开式中，前三项的系数成等差数列. (1)求n ；(2)求展开式中的有理项；(3)求展开式中系数最大的项.。
【高中数学】秒杀秘诀MS06二项式定理1
二项式定理（一）1．二项式定理：011()()n n n r n r r n nn n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈ ，2．基本概念：①二项式展开式：右边的多项式叫做()na b +的二项展开式。
②二项式系数:展开式中各项的系数r n C (0,1,2,,)r n =⋅⋅⋅.③项数：共(1)r +项，是关于a 与b 的齐次多项式④通项：展开式中的第1r +项r n r r n C a b -叫做二项式展开式的通项。
用1r n rr r n T C ab -+=表示。
3．注意关键点：①项数：展开式中总共有(1)n +项。
②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。
()na b +与()nb a +是不同的。
③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。
b 的指数从0逐项增到n ，是升幂排列。
各项的次数和等于n .④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是012,,,,,,.r nn n n n n C C C C C ⋅⋅⋅⋅⋅⋅项的系数是a 与b 的系数（包括二项式系数）。
题型一：利用通项公式求n例1：在二项式3241()n x x+的展开式中倒数第3项的系数为45，求含有3x 的项的系数？解：由条件知245n n C -=，即245n C =，2900n n ∴--=，解得9()10n n =-=舍去或，由2102110343411010()()r r r rrr r T C x x C x--+--+==，由题意1023,643r r r --+==解得，则含有3x 的项是第7项6336110210T C x x +==,系数为210。
例2：求291(2x x-展开式中9x 的系数？解：291821831999111()()()()222rr r r r r r r r r r T C x C x x C x x ----+=-=-=-，令1839r -=,则3r =故9x 的系数为339121()22C -=-。
2021届浙江新高考数学一轮复习教师用书：第十章 3 第3讲 二项式定理
第3讲 二项式定理1．二项式定理 (1)定理：(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C k n a n －k b k ＋…＋C n nb n (n ∈N *)． (2)通项：第k ＋1项为T k ＋1＝C k n an －k b k． (3)二项式系数：二项展开式中各项的二项式系数为：C k n (k ＝0，1，2，…，n )． 2．二项式系数的性质[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)(a ＋b )n 的展开式中的第r 项是C r n an －r b r .( ) (2)在二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．( ) (3)在(a ＋b )n 的展开式中，每一项的二项式系数与a ，b 无关．( )(4)通项T r ＋1＝C r n an －r b r 中的a 和b 不能互换．( ) (5)(a ＋b )n 展开式中某项的系数与该项的二项式系数相同．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)× [教材衍化]1．(选修2-3P31例2(1)改编)(1＋2x )5的展开式中，x 2的系数为________．解析：T k ＋1＝C k 5(2x )k ＝C k 52k x k ，当k ＝2时，x 2的系数为C 25·22＝40.答案：402．(选修2-3P31例2(2)改编)若⎝⎛⎭⎫x ＋1x n展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为________．解析：二项式系数之和2n＝64，所以n ＝6，T k ＋1＝C k 6·x6－k·⎝⎛⎭⎫1x k＝C k 6x 6－2k，当6－2k ＝0，即当k ＝3时为常数项，T 4＝C 36＝20.答案：203．(选修2-3P41B 组T5改编)若(x －1)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则a 0＋a 2＋a 4的值为________．解析：令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝0，令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4＝16，两式相加得a 0＋a 2＋a 4＝8.答案：8 [易错纠偏](1)混淆“二项式系数”与“系数”致误； (2)配凑不当致误．1．在二项式⎝⎛⎭⎫x 2－2x n的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为________．解析：由题意得2n ＝32，所以n ＝5.令x ＝1，得各项系数的和为(1－2)5＝－1. 答案：－12．已知(1＋x )10＝a 0＋a 1(1－x )＋a 2(1－x )2＋…＋a 10(1－x )10，则a 8＝________． 解析：因为(1＋x )10＝[2－(1－x )]10，所以其展开式的通项公式为T r ＋1＝(－1)r 210－r ·C r 10(1－x )r ，令r ＝8，得a 8＝4C 810＝180.答案：180二项展开式中的特定项或特定项的系数(高频考点)二项式定理是高中数学中的一个重要知识点，也是高考命题的热点，多以选择题、填空题的形式呈现，试题多为容易题或中档题．主要命题角度有：(1)求展开式中的某一项；(2)求展开式中的项的系数或二项式系数； (3)由已知条件求n 的值或参数的值． 角度一 求展开式中的某一项(2019·高考浙江卷)在二项式(2＋x )9的展开式中，常数项是________，系数为有理数的项的个数是________．【解析】 该二项展开式的第k ＋1项为T k ＋1＝C k 9(2)9－k x k，当k ＝0时，第1项为常数项，所以常数项为()29＝162；当k ＝1，3，5，7，9时，展开式的项的系数为有理数，所以系数为有理数的项的个数为5.【答案】 162 5角度二 求展开式中的项的系数或二项式系数⎝⎛⎭⎫1＋1x 2(1＋x )6展开式中x 2的系数为( ) A ．15 B ．20 C ．30D ．35【解析】 (1＋x )6展开式的通项T r ＋1＝C r 6x r ，所以⎝⎛⎭⎫1＋1x 2(1＋x )6的展开式中x 2的系数为1×C 26＋1×C 46＝30，故选C.【答案】 C角度三 由已知条件求n 的值或参数的值(2020·浙江新高考联盟联考)若二项式(ax －1x)6(a >0)的展开式中x 3的系数为A ，常数项为B ，若A ＝4B ，则a ＝________．【解析】 T r ＋1＝(－1)r C r 6(ax )6－r (1x)r ＝(－1)r a 6－r C r 6x 6－32r . 令6－32r ＝3得r ＝2，则 A ＝a 4C 26＝15a 4； 令6－32r ＝0得r ＝4，则B ＝(－1)4a 2C 46＝15a 2， 又由A ＝4B 得15a 4＝4×15a 2，则a ＝2. 【答案】 2与二项展开式有关问题的解题策略(1)求展开式中的第n 项，可依据二项式的通项直接求出第n 项．(2)求展开式中的特定项，可依据条件写出第r ＋1项，再由特定项的特点求出r 值即可． (3)已知展开式的某项，求特定项的系数，可由某项得出参数项，再由通项写出第r ＋1项，由特定项得出r 值，最后求出其参数．1．若⎝⎛⎭⎫x 6＋1x x n的展开式中含有常数项，则正整数n 的最小值等于( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选C.T r ＋1＝C r n (x 6)n －r ⎝⎛⎭⎫1x x r＝C r n x 6n －152r ，当T r ＋1是常数项时，6n －152r ＝0，即n＝54r ，又n ∈N *，故n 的最小值为5，故选C. 2．(2020·金华十校期末调研)在(x 2－1x )n 的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则n ＝________；展开式中常数项是________．解析：在⎝⎛⎭⎫x 2－1x n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，所以n ＝8. 所以T r ＋1＝C r 8⎝⎛⎭⎫x 28－r⎝⎛⎭⎫－1x r ＝⎝⎛⎭⎫128－r(－1)r C r 8x8－2r.由8－2r ＝0，得r ＝4.所以展开式中常数项是⎝⎛⎭⎫124(－1)4C 48＝358. 答案：8358二项式系数的性质或各项系数和(1)在二项式⎝⎛⎭⎫x 2－1x 11的展开式中，系数最大的项为第________项． (2)(2020·宁波十校联考)若(x ＋2＋m )9＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 9(x ＋1)9，且(a 0＋a 2＋…＋a 8)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝39，则实数m 的值为________．【解析】 (1)依题意可知T r ＋1＝C r 11(－1)r x22－3r，0≤r ≤11，r ∈Z ，二项式系数最大的是C 511与C 611.当r ＝6时，T 7＝C 611x 4，故系数最大的项是第七项． (2)令x ＝0，得到a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝(2＋m )9，令x ＝－2，得到a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 9＝m 9，所以有(2＋m )9m 9＝39，即m 2＋2m ＝3，解得m ＝1或－3.【答案】 (1)七 (2)1或－3(变条件)本例(2)变为：若(x ＋2＋m )9＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋…＋a 9(x －1)9，且(a 0＋a 2＋…＋a 8)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝39，则实数m 的值为________．解析：令x ＝2，得到a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝(4＋m )9，令x ＝0，得到a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 9＝(m ＋2)9，所以有(4＋m )9(m ＋2)9＝39，即m 2＋6m ＋5＝0，解得m ＝－1或－5.答案：－1或－5赋值法的应用(1)形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ，c ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可．(2)对形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R )的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可． (3)若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)，奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f （1）＋f （－1）2，偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f （1）－f （－1）2.1．在⎝⎛⎭⎫x 2＋1x n的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式中常数项是( ) A ．15 B ．20 C ．30D ．120解析：选A.因为二项展开式中中间项的二项式系数最大，又二项式系数最大的项只有第4项，所以展开式中共有7项， 所以n ＝6， 展开式的通项为T r ＋1＝C r 6(x 2)6－r⎝⎛⎭⎫1x r＝C r 6x 12－3r ， 令12－3r ＝0，则r ＝4，故展开式中的常数项为T 5＝C 46＝15.2．已知多项式(x ＋1)3(x ＋2)2＝x 5＋a 1x 4＋a 2x 3＋a 3x 2＋a 4x ＋a 5，则a 4＝________，a 5＝________．解析：由题意知a 4为含x 的项的系数，根据二项式定理得a 4＝C 23×12×C 22×22＋C 33×13×C 12×2＝16，a 5是常数项，所以a 5＝C 33×13×C 22×22＝4.答案：16 4二项式定理的应用设a ∈Z ，且0≤a ＜13，若512 018＋a 能被13整除，则a ＝( ) A ．0 B ．1 C ．11D ．12【解析】 512 018＋a ＝(52－1)2 018＋a ＝C 02 018522 018－C 12 018522 017＋…＋C 2 0172 018×52×(－1)2 017＋C 2 0182 018×(－1)2 018＋a .因为52能被13整除，所以只需C 2 0182 018×(－1)2 018＋a 能被13整除，即a ＋1能被13整除，所以a ＝12.【答案】 D(1)利用二项式定理解决整除问题时，关键是进行合理地变形构造二项式，应注意：要证明一个式子能被另一个式子整除，只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可．(2)求余数问题时，应明确被除式f (x )与除式g (x )(g (x )≠0)，商式q (x )与余式的关系及余式的范围．1．(2020·金华十校联考)设二项式⎝⎛⎭⎫x －12n(n ∈N *)展开式的二项式系数和与各项系数和分别为a n ，b n ，则a 1＋a 2＋…＋a nb 1＋b 2＋…＋b n＝( )A ．2n －1＋3 B ．2(2n －1＋1) C ．2n ＋1D ．1解析：选C.二项式⎝⎛⎭⎫x －12n(n ∈N *)展开式的二项式系数和为2n ，各项系数和为⎝⎛⎭⎫1－12n＝⎝⎛⎭⎫12n ，所以a n ＝2n ，b n ＝⎝⎛⎭⎫12n，所以a 1＋a 2＋…＋a n b 1＋b 2＋…＋b n ＝2×（1－2n ）1－212×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝2n ＋1－21－12n ＝2n ＋1，故选C. 2．求证：3n >(n ＋2)·2n －1(n ∈N *，n >2)． 证明：因为n ∈N *，且n >2， 所以3n ＝(2＋1)n 展开后至少有4项．(2＋1)n ＝2n ＋C 1n ·2n －1＋…＋C n －1n ·2＋1≥2n ＋n ·2n －1＋2n ＋1>2n ＋n ·2n －1＝(n ＋2)·2n －1， 故3n >(n ＋2)·2n －1(n ∈N *，n >2)．[基础题组练]1．(2020·金华十校期末调研)在(x 2－4)5的展开式中，含x 6的项的系数为( ) A ．20 B ．40 C ．80D ．160解析：选D.T r ＋1＝C r 5(x 2)5－r (－4)r ＝(－4)r C r 5x 10－2r，令10－2r ＝6，解得r ＝2，所以含x 6的项的系数为(－4)2C 25＝160.2．(2020·台州高三期末考试)已知在(x 2－15x )n 的展开式中，第6项为常数项，则n ＝( )A ．9B ．8C ．7D ．6解析：选D.因为第6项为常数项，由C 5n (x 2)n －5(－15x )5＝－(12)n －5C 5n ·x n －6，可得n －6＝0，解得n ＝6.故选D.3．(2020·温州市普通高中模考)在⎝⎛⎭⎫x ＋3x n的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为64，则x 3的系数为( )A ．15B ．45C ．135D ．405解析：选C.由题意4n 2n ＝64，n ＝6，T r ＋1＝C r 6x 6－r ⎝⎛⎭⎫3x r ＝3r C r 6x 6－3r 2，令6－3r 2＝3，r ＝2，32C 26＝135.4．(2020·湖州市高三期末考试)若(x ＋a x )(2x －1x )5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项是( )A ．－40B ．－20C ．40D ．20解析：选C.令x ＝1，(1＋a )×(2－1)5＝2，解得a ＝1. 所以(2x －1x)5的通项公式T r ＋1＝C r 5(2x )5－r (－1x )r ＝(－1)r 25－r C r 5x 5－2r ， 令5－2r ＝－1，5－2r ＝1. 解得r ＝3或2.所以该展开式中常数项＝(－1)322C 35＋(－1)2×23C 25＝40. 5．(x 2－x ＋1)10的展开式中x 3项的系数为( ) A ．－210 B ．210 C ．30D ．－30解析：选A.(x 2－x ＋1)10＝[x 2－(x －1)]10＝C 010(x 2)10－C 110(x 2)9(x －1)＋…－C 910x 2(x －1)9＋C 1010(x －1)10， 所以含x 3项的系数为：－C 910C 89＋C 1010(－C 710)＝－210.6．(x 2＋x ＋y )5的展开式中x 5y 2的系数为( ) A ．10 B ．20 C ．30D ．60解析：选C.(x 2＋x ＋y )5的展开式的通项为T r ＋1＝C r 5(x 2＋x )5－r ·y r ，令r ＝2，则T 3＝C 25(x 2＋x )3y 2，又(x 2＋x )3的展开式的通项为C k 3(x 2)3－k ·x k ＝C k 3x 6－k ，令6－k ＝5，则k ＝1，所以(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数为C 25C 13＝30，故选C. 7．已知(ax ＋b )6的展开式中x 4项的系数与x 5项的系数分别为135与－18，则(ax ＋b )6的展开式中所有项系数之和为( )A ．－1B ．1C ．32D ．64解析：选D.由二项展开式的通项公式可知x 4项的系数为C 26a 4b 2，x 5项的系数为C 16a 5b ，则由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧C 26a 4b 2＝135C 16a 5b ＝－18，解得a ＋b ＝±2，故(ax ＋b )6的展开式中所有项的系数之和为(a＋b )6＝64，选D.8．在(1＋x )6(1＋y )4的展开式中，记x m y n 项的系数为f (m ，n )，则f (3，0)＋f (2，1)＋f (1，2)＋f (0，3)＝( )A ．45B ．60C ．120D ．210解析：选C.因为f (m ，n )＝C m 6C n 4，所以f (3，0)＋f (2，1)＋f (1，2)＋f (0，3)＝C 36C 04＋C 26C 14＋C 16C 24＋C 06C 34＝120.9．(2020·义乌调研测试)若(x 2－a )⎝⎛⎭⎫x ＋1x 10的展开式中x 6的系数为30，则a 等于( ) A.13 B.12 C ．1D ．2解析：选D.因为⎝⎛⎭⎫x ＋1x 10展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 10x 10－r ·⎝⎛⎭⎫1x r＝C r 10x 10－2r ，所以(x 2－a )⎝⎛⎭⎫x ＋1x 10的展开式中含x 6的项为x 2·C 310x 4－a C 210x 6＝(C 310－a C 210)x 6，则C 310－a C 210＝30，解得a ＝2，故选D.10．(2020·台州模拟)(x ＋2y )7的展开式中，系数最大的项是( ) A ．68y 7 B ．112x 3y 4 C ．672x 2y 5D ．1 344x 2y 5解析：选C.设第r ＋1项系数最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧C r 7·2r ≥C r －17·2r －1，C r 7·2r ≥C r ＋17·2r ＋1， 即⎩⎪⎨⎪⎧7！r ！（7－r ）！·2r ≥7！（r －1）！（7－r ＋1）！·2r －1，7！r ！（7－r ）！·2r≥7！（r ＋1）！（7－r －1）！·2r ＋1，即⎩⎨⎧2r ≥18－r，17－r ≥2r ＋1解得⎩⎨⎧r ≤163，r ≥133.又因为r ∈Z ，所以r ＝5.所以系数最大的项为T 6＝C 57x 2·25y 5＝672x 2y 5.故选C.11．(2020·金华市东阳二中高三调研)在二项式⎝⎛⎭⎫x －1x n的展开式中恰好第5项的二项式系数最大，则展开式中含x 2项的系数是________．解析：因为在二项式⎝⎛⎭⎫x －1x n的展开式中恰好第5项的二项式系数最大，所以n ＝8， 展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 8·(－1)r ·x8－2r，令8－2r ＝2，则r ＝3，所以展开式中含x 2项的系数是－C 38＝－56. 答案：－5612．(2020·温州中学高三模考)已知(1＋x ＋x 2)⎝⎛⎭⎫x ＋1x 3n(n ∈N *)的展开式中没有常数项，且2≤n ≤8，则n ＝________．解析：因为⎝⎛⎭⎫x ＋1x 3n的通项公式为T r ＋1＝C r n x n －r ·x －3r ＝C r n x n －4r，故当n －4r ＝0，－1，－2时存在常数项，即n ＝4r ，4r －1，4r －2，故n ＝2，3，4，6，7，8时为常数项，所以当n ＝5时没有常数项符合题设．答案：513．若直线x ＋ay －1＝0与2x －y ＋5＝0垂直，则二项式⎝⎛⎭⎫ax 2－1x 5的展开式中x 4的系数为________．解析：由两条直线垂直，得1×2＋a ×(－1)＝0，得a ＝2，所以二项式为⎝⎛⎭⎫2x 2－1x 5，其通项公式T r ＋1＝C r 5(2x 2)5－r ·⎝⎛⎭⎫－1x r＝(－1)r 25－r C r 5x 10－3r ，令10－3r ＝4，解得r ＝2，所以二项式的展开式中x 4的系数为23C 25＝80.答案：8014．已知⎝⎛⎭⎫1－1x (1＋x )5的展开式中x r (r ∈Z 且－1≤r ≤5)的系数为0，则r ＝________. 解析：依题意，(1＋x )5的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 5x r ，故展开式为⎝⎛⎭⎫1－1x (x 5＋5x 4＋10x 3＋10x 2＋5x ＋1)，故可知展开式中x 2的系数为0，故r ＝2.答案：215．(2020·杭州市高考模拟)若(2x －1x 2)n 的展开式中所有二项式系数和为64，则n ＝________；展开式中的常数项是________．解析：因为(2x －1x 2)n 的展开式中所有二项式系数和为2n ＝64，则n ＝6；根据(2x －1x 2)n＝(2x －1x2)6的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 6·(－1)r ·(2x )6－r ·x －2r ＝C r 6·(－1)r ·26－r ·x 6－3r ， 令6－3r ＝0，求得r ＝2，可得展开式中的常数项是C 26·24＝240.答案：6 24016．(2020·浙江东阳中学高三检测)已知(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7，则a 0＝________；(a 0＋a 2＋a 4＋a 6)2－(a 1＋a 3＋a 5＋a 7)2＝________．解析：由(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7，观察：可令x ＝0得：(1－2×0)7＝a 0＋a 1×0＋…＋a 7×0＝1，a 0＝1.(a 0＋a 2＋a 4＋a 6)2－(a 1＋a 3＋a 5＋a 7)2＝(a 0＋a 1＋…＋a 7)[a 0＋a 2＋a 4＋a 6－(a 1＋a 3＋a 5＋a 7)]，则可令x ＝1得：(1－2×1)7＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 7＝－1， 再可令x ＝－1得：(1＋2×1)7＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 7＝37＝2 187， 可得：(a 0＋a 2＋a 4＋a 6)2－(a 1＋a 3＋a 5＋a 7)2 ＝－1×2 187＝－2 187. 答案：1 －2 18717．设f (x )是(x 2＋12x )6展开式中的中间项，若f (x )≤mx 在区间[22，2]上恒成立，则实数m 的取值范围是________．解析：(x 2＋12x )6的展开式中的中间项为第四项，即f (x )＝C 36(x 2)3(12x )3＝52x 3，因为f (x )≤mx 在区间[22，2]上恒成立，所以m ≥52x 2在[22，2]上恒成立，所以m ≥(52x 2)max ＝5，所以实数m 的取值范围是[5，＋∞)． 答案：[5，＋∞)[综合题组练]1．C 22n ＋C 42n ＋…＋C 2k 2n ＋…＋C 2n 2n (n ∈N *)的值为( )A ．2nB ．22n －1 C ．2n －1D ．22n －1－1解析：选D.(1＋x )2n ＝C 02n ＋C 12n x ＋C 22n x 2＋C 32n x 3＋…＋C 2n 2n x 2n . 令x ＝1，得C 02n ＋C 12n ＋C 22n ＋…＋C 2n －12n ＋C 2n 2n ＝22n ；再令x ＝－1，得C 02n －C 12n ＋C 22n －…＋(－1)r C r 2n ＋…－C 2n －12n ＋C 2n 2n ＝0.两式相加，可得C 22n ＋C 42n ＋…＋C 2n2n ＝22n2－1＝22n －1－1.2．(2020·杭州七校联考)若(x ＋y )9按x 的降幂排列的展开式中，第二项不大于第三项，且x ＋y ＝1，xy <0，则x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，15 B.⎣⎡⎭⎫45，＋∞C.⎝⎛⎦⎤－∞，－45 D ．(1，＋∞)解析：选D.二项式(x ＋y )9的展开式的通项是T r ＋1＝C r 9·x9－r ·y r . 依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧C 19·x 9－1·y ≤C 29·x 9－2·y 2，x ＋y ＝1，xy <0，由此得⎩⎪⎨⎪⎧x 8·（1－x ）－4x 7·（1－x ）2≤0，x （1－x ）<0， 解得x >1，即x 的取值范围为(1，＋∞)．3．若⎝⎛⎭⎫x ＋13x n 的展开式中前三项的系数分别为A ，B ，C ，且满足4A ＝9(C －B )，则展开式为x 2的系数为________．解析：易得A ＝1，B ＝n 3，C ＝C 2n 9＝n （n －1）18，所以有4＝9⎝⎛⎭⎫n 2－n 18－n 3，即n 2－7n －8＝0，解得n ＝8或n ＝－1(舍)．在⎝⎛⎭⎫x ＋13x 8中，因为通项T r ＋1＝C r 8x 8－r ⎝⎛⎭⎫13x r ＝C r 83r·x 8－2r ，令8－2r ＝2，得r ＝3，所以展开式中x 2的系数为5627. 答案：56274．已知(x tanθ＋1)5的展开式中x 2的系数与⎝⎛⎭⎫x ＋544的展开式中x 3的系数相等，则tan θ＝________．解析：⎝⎛⎭⎫x ＋544的通项为T r ＋1＝C r 4·x 4－r ·⎝⎛⎭⎫54r ，令4－r ＝3，则r ＝1，所以⎝⎛⎭⎫x ＋544的展开式中x 3的系数是C 14·54＝5，(x tan θ＋1)5的通项为T R ＋1＝C R 5·(x tan θ)5－R ，令5－R ＝2，得R ＝3，所以(x tan θ＋1)5的展开式中x 2的系数是C 35·tan 2θ＝5，所以tan 2θ＝12，所以tan θ＝±22.答案：±225．(2020·台州市书生中学高三期中)设m ，n ∈N ，f (x )＝(1＋x )m ＋(1＋x )n .(1)当m ＝n ＝5时，若f (x )＝a 5(1－x )5＋a 4(1－x )4＋…＋a 1(1－x )＋a 0，求a 0＋a 2＋a 4的值；(2)f (x )展开式中x 的系数是9，当m ，n 变化时，求x 2系数的最小值．解：(1)当m ＝n ＝5时，f (x )＝2(1＋x )5，令x ＝0，则f (0)＝a 5＋a 4＋…＋a 1＋a 0＝2，令x ＝2，则f (2)＝－a 5＋a 4－…－a 1＋a 0＝2×35，所以a 0＋a 2＋a 4＝f （0）＋f （2）2＝35＋1＝244. (2)由题意得f (x )展开式中x 的系数是C 1m ＋C 1n ＝m ＋n ＝9，x 2系数为C 2m ＋C 2n ＝m （m －1）2＋n （n －1）2＝m 2＋n 2－（m ＋n ）2＝m 2＋n 2－92， 又m 2＋n 2－92＝m 2＋（9－m ）2－92＝2m 2－18m ＋722， 因为m ，n ∈N ，所以当m ＝4或m ＝5时最小，最小值为16.6．(2020·金丽衢十二校联考)已知⎝⎛⎭⎫12＋2x n . (1)若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数；(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．解：(1)通项T r ＋1＝C r n ⎝⎛⎭⎫12n －r·(2x )r ＝22r －n C r n x r ， 由题意知C 4n ，C 5n ，C 6n 成等差数列，所以2C 5n ＝C 4n ＋C 6n ，所以n ＝14或7.当n ＝14时，第8项的二项式系数最大，该项的系数为22×7－14C 714＝3 432； 当n ＝7时，第4、5项的二项式系数相等且最大，其系数分别为22×3－7C 37＝352，22×4－7C 47＝70. (2)由题意知C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＝79，所以n ＝12或n ＝－13(舍)．所以T r ＋1＝22r －12C r 12x r .由⎩⎪⎨⎪⎧22r －12C r 12≥22（r －1）－12C r －112，22r －12C r 12≥22（r ＋1）－12C r ＋112，得⎩⎨⎧r ≤525，r ≥475所以r ＝10. 所以展开式中系数最大的项为T 11＝22×10－12·C 1012x 10＝332(2x )10.。
06二项式定理1(经典题型+答案)
二项式定理（一）1．二项式定理：011()()n n n r n r rn nn n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈，2．基本概念：①二项式展开式：右边的多项式叫做()na b +的二项展开式。
②二项式系数:展开式中各项的系数rn C (0,1,2,,)r n =⋅⋅⋅. ③项数：共(1)r +项，是关于a 与b 的齐次多项式 ④通项：展开式中的第1r +项rn rr n C ab -叫做二项式展开式的通项。
用1r n r rr nT C a b -+=表示。
3．注意关键点：①项数：展开式中总共有(1)n +项。
②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。
()na b +与()nb a +是不同的。
③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。
b 的指数从0逐项增到n ，是升幂排列。
各项的次数和等于n .④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是012,,,,,,.r nn n n n n C C C C C ⋅⋅⋅⋅⋅⋅项的系数是a 与b 的系数（包括二项式系数）。
题型一：利用通项公式求n x 的系数例2：求29()x -展开式中9x 的系数？例4：求二项式6(2)x -的展开式中的常数项？例5：若2()n x x+的二项展开式中第5项为常数项，则____.n =解：4244421251()()n n n n T C x C xx--==，令2120n -=，得6n =. 1.在的展开式中，x 4的系数为（ ）A ．﹣120B ．120C ．﹣15D ．152.（2015•陕西）二项式（x+1）n （n ∈N +）的展开式中x 2的系数为15，则n=（ ） A ．7 B ．6 C ．5 D ．43.（2015•湖南）已知（﹣）5的展开式中含x 的项的系数为30，则a=（ ）A ．B ．﹣C ．6D ．﹣64.若的展开式中第四项为常数项，则n=（ ）A ． 4 B ．5 C ．6 D ．75.在nx x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-3122的展开式中含常数项，则自然数n 的最小值是 ( ) A.2 B.3 C.4 D.56.若（9x ﹣）n （n ∈N *）的展开式中第2项的二项式系数为9，则其展开式中的常数项为（ ）A ．﹣84B ．﹣252C ．252D ．847.二项式的展开式中的常数项是（ ）A ．﹣45 B ．﹣10 C ．45D ．658.（1+x ）4+（1+x ）5+…+（1+x ）9展开式中，x 3项的系数为（ ）A ．120 B ．119 C ．210 D ．209 9.在（+）12的展开式中，x 项的系数为（ ）A ．CB ．CC ．CD ．C10.（1﹣）5的展开式中x 2的系数是（ ）A ．﹣5B ．5C ．﹣10D ．10常用的结论：令1,,a b x == 0122(1)()n r r n nn n n n n x C C x C x C x C x n N *+=++++++∈ 令1,,a b x ==- 0122(1)(1)()n r r n n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *-=-+-+++-∈二项式定理的性质：①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即0n n n C C =， (1)k k n n C C -=②二项式系数和：令1a b ==,则二项式系数的和为0122rnn n n n n n C C C C C ++++++=，变形式1221r nn n n n n C C C C +++++=-。
高二数学二项式定理1
因此：(a b)4 C40a4 C41a3b C42a2b2 C43ab3 C44b4
按上述规律，我们能将(a+b)n展开吗？
（一）二项式定理：
(a+ b)n
=
C
0 n
an
+
C
1 n
an
-
1b
+
C
2 n
an
-
2
b2
+
+
C
r n
an-
rbr
+
右边多项式叫(a+b)n的二项展开式；
C
0 n
,
C
1 n
,
C
2 n
,C
r n
,C
n n
叫二项式系数；
C
r n
a
nr b
r
叫二项展开式的通项，
用Tr+1表示即：Tr+1= Cnr a nrbr
+
C
n n
b
n
注意：
1、弄清定理结构特征：项数：n+1 次数：n，a降b升，和为n
二项式系数： Cnr
2、二项式系数与项的系数不同 二项式系数是组合数，而项的系数是该项的数字因数
(a+b)3 = a3 + 3a2 b + 3a b2 + b3
= C30 a3 + C13a2 b + C32 a b2 + C33 b3
观察上面公式，从右边的项数、每项的
次数、系数进行研究，你会发现什么规律？
1.项数比左边次数多1； 2.每项次数均为左边指数； 3.a,b指数a降b升； 4.系数 C20，C21，C22；C30，C31，C32，C33
二项式定理(一)
n 2 2
b、 、 a C
叫做二项式的项。展开式共有n+1项。
r Tr 1 C n a n r b r 叫做展开式的通项（第r+1项）。
例1 写出下列二项展开式：
(1) ( p q) ;
7
(2) ( x 2 y ) .
5
例2： 求（ x) 的展开式的第四项的系数。 (1) 1+2
以上这个公式叫做二项式定理。
n 等式右边的式子叫做 ( a b ) ( n N *) 的二项展开式。
0 1 2
C 其中 C n 、C n 、 n 、
其中C a 、 a C
0 n n 1 n n 1
、C
2 n
n n 、叫做二项式系数。 r n n r n Cn bn b、 、 r
b、C a
7
19 3 （2）求（x ) 的展开式中x 的系数。 x
二项式定理 （一）
பைடு நூலகம்察以下等式：
(a b ) a b, ( a b ) 2 a 2 2ab b 2 , 3 3 2 2 3 ( a b ) a 3a b 3ab b , 4 [猜测] ( a b ) 的展开式是什么？
1
___ a ___ a b ___ a b ___ ab ___ b , ? ? ? ? ? 1 1
4 3 2 2 3 4
[问题] 有四个盘子，每个盘子内各有黑白两枚围棋子， 现要从每个盘子内各取出一枚棋子，要形成以下结果， （用a表示黑棋子，b表示白棋子）
各有几种取法？ 全黑
三黑一白
二黑二白
一黑三白
全白
a 0 取法： C 4
4 0 4
高中数学完整讲义——二项式定理1.二项展开式1求展开式中的指定项
求睁开式中的指定项知识内容1．二项式定理⑴二项式定理an0 n 1 n 1 2 n 2 2n nN b C n a C n a b C n a b... C n b n这个公式表示的定理叫做二项式定理．⑵二项式系数、二项式的通项0 n1n 1 2 n 2 2n nrn C n r 0, 1, 2, ..., n叫做二C n a C n a b C n a b ...C n b 叫做 a b的二项睁开式，此中的系数项式系数，式中的C n r a n r b r叫做二项睁开式的通项，用T r 1表示，即通项为睁开式的第r 1 项：T r 1C n r a n r b r．⑶二项式睁开式的各项幂指数二项式 a b nn 1 项，各项的幂指数情况是的睁开式项数为①各项的次数都等于二项式的幂指数n ．②字母 a 的按降幂摆列，从第一项开始，次数由n 逐项减 1 直到零，字母b按升幂摆列，从第一项起，次数由零逐项增 1 直到 n ．⑷几点注意①通项 T rr n r r是 a bn1 项，这里 r0, 1, 2,..., n ．1C n a b的睁开式的第 ran1项和nr a r是有区其他，应用二项式定理时，其②二项式b的 r b a 的睁开式的第r 1项 C n r b n中的 a 和b是不可以随意互换的．③注意二项式系数（C n r）与睁开式中对应项的系数不必定相等，二项式系数必定为正，而项的系数有时可为负．④通项公式是n这个标准形式下而言的，如 a bna b的二项睁开式的通项公式是r r n r rb 当作 b 代入二项式定理）这与T r 1r n r rT r 11C n a b （只须把C n a b 是不一样的，在这里对应项的C n r r二项式系数是相等的都是，但项的系数一个是 1 C n r，一个是 C n r，可看出，二项式系数与项的系思想的挖掘能力的飞腾1数是不一样的观点．⑤设 a 1, b x ，则得公式：n...C n r x r... x n．1 x1 C n1 x C n2 x2⑥通项是 T r 1C n r a n r b r r0, 1, 2, ..., n 中含有 T r 1, a , b , n , r 五个元素，只需知道此中四个即可求第五个元素．⑦当 n 不是很大， x 比较小时能够用睁开式的前几项求(1x)n的近似值．2．二项式系数的性质⑴杨辉三角形：关于 n 是较小的正整数时，能够直接写出各项系数而不去套用二项式定理，二项式系数也能够直接用杨辉三角计算．杨辉三角有以下规律：“左、右两边斜行各数都是 1．其他各数都等于它肩上两个数字的和．”⑵二项式系数的性质：an睁开式的二项式系数是：012n，从函数的角度看r能够当作是r 为自变量的函数b C n, C n , C n , ..., C n C nf r，其定义域是： 0, 1, 2,3, ...,n．当n6时， f r 的图象为下列图：这样我们利用“杨辉三角”和n 6 时f r的图象的直观来帮助我们研究二项式系数的性质．①对称性：与首末两头“等距离”的两个二项式系数相等．事实上，这一性质可直接由公式C n m C n n m获得．②增减性与最大值假如二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；假如二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等而且最大．因为睁开式各项的二项式系数按序是C n01, C n1n, C n2n n 1，1 1 22思想的挖掘能力的飞腾C n3n n1n2，．．．，1 23C n k 1n n 12n2... n k 2 ，C n k n n 1 n 2 ... n k2n k 1，．．．，1 3 ....k112 3...k 1 kC n n 1 ．此中，后一个二项式系数的分子是前一个二项式系数的分子乘以逐次减小 1 的数（如n, n1, n 2,... ），分母是乘以逐次增大的数（如1， 2， 3，）．因为，一个自然数乘以一个大于 1 的数则变大，而乘以一个小于 1 的数则变小，进而当k 挨次取1，2，3，等值时，r的值转变为不递加而递减了．又因为C n与首末两头“等距离”的两项的式系数相等，因此二项式系数增大到某一项时就渐渐减小，且二项式系数最大的项必在中间．当 n 是偶数时，n1是奇数，睁开式共有 n 1 项，因此睁开式有中间一项，而且这一项的二项式系数n最大，最大为C n2．当 n 是奇数时，n 1 是偶数，睁开式共有n 1项，因此有中间两项．n 1n1这两项的二项式系数相等而且最大，最大为C n2C n2．③二项式系数的和为012r...n n．2n，即C n C n C n ...C n C n2④奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即024135n1C n C n C n ...C n C n C n... 2．常有题型有：求睁开式的某些特定项、项数、系数，二项式定理的逆用，赋值用，简单的组合数式问题．典例剖析16【例1】 2的睁开式中的第四项是．x3x y 6【例 2】的睁开式中，x3的系数等于____．y x35【例 3】 1 2 x13 x 的睁开式中 x 的系数是A ．4B ．2C． 2 D ．4思想的挖掘能力的飞腾3a 9【例 4】若 x的睁开式中 x3的系数是84 ，则a．xa 5【例 5】 x( x R ) 睁开式中 x3的系数为10，则实数 a 等于xA ．1B ．1C．1D． 2 2【例 6】若 (1 2 x)n a0a1 x a2 x2L a n x n，则 a2的值是（）A．84B．84C．280D．280【例 7】862项的系数是（）( x2 y) 的睁开式中x yA．56 B ．56C．28D．28【例8】若5a4 x4a1x a0，则 a2的值为（3x 1a5 x5）A ．270B． 270 x2C． 90D． 90 x2【例 9】(1x )6 (1x)4的睁开式中x 的系数是_______（用数字作答）．【例 10】在 (x2 4 x 2)5的睁开式中，x 的系数为_______（用数字作答）．4思想的挖掘能力的飞腾【例 11】在 ( x24x 2)5的睁开式中，x2的系数为 _______（用数字作答）．【例 12】在 ( x24x 2)5的睁开式中，x3的系数为 _______（用数字作答）．294睁开式中含 x2项系数．【例 13】求 ( x3x 1) (2 x1)【例 14】在 (1 x) (1 x)2L(1 x)6的睁开式中，x2项的系数是．（用数字作答）【例 15】 ( x 1) (x 1)2( x 1)3( x 1)4(x 1)5的睁开式中x2的系数等于 ________．（用数字作答）1 )9睁开式中x9的系数是_______（用数字作答）．【例 16】 (x22x【例 17】在 ( x 1)(x 1)8的睁开式中x5的系数是（）思想的挖掘能力的飞腾5A ．-14B． 14C． -28 D ． 28【例 18】在 (x1)(x2)( x 3)( x4)( x 5) 的睁开式中，含x4的项的系数是（）A ．15B．85C．120 D ．274【例 19】在 (1 x)5(1 x) 6(1 x)7(1 x)8(1 x)9的睁开式中，含x3 项的系数是（用数字作答）【例 20】求 (1 x x2 ) 6睁开式中x5的系数．【例 21】 (1x )6 (1x)4的睁开式中x 的系数是_______（用数字作答）．【例 22】在 (x2 4 x 2)5的睁开式中，x 的系数为_______（用数字作答）．【例 23】在 (x2 4 x 2)5的睁开式中，x2的系数为 _______（用数字作答）．6思想的挖掘能力的飞腾【例 24】在 ( x 24x 2)5的睁开式中，3的系数为 _______（用数字作答）．x【例 25】求 ( x23x 1)9 (2 x 1)4睁开式中含x2项系数．【例 26】在 (1 x) (1 x)2L(1 x)6的睁开式中，x2项的系数是．（用数字作答）【例 27】 ( x 1) (x 1)2( x 1)3( x 1)4(x 1)5的睁开式中x2的系数等于 ________．（用数字作答）【例 28】 (x21)9睁开式中 x9的系数是 _______（用数字作答）．2x思想的挖掘能力的飞腾7【例 29】在 (x 1)(x 1)8的睁开式中x5的系数是（）A ．-14B． 14C． -28 D ． 28【例 30】在 (x1)(x2)( x 3)( x 4)( x5) 的睁开式中，含x4的项的系数是（）（ A ）15（B） 85（ C）120（ D ）274【例 31】在 (1 x)5(1 x)6(1 x)7(1 x)8(1 x)9 的睁开式中，含x3项的系数是（用数字作答）【例 32】求 (1 x x2 ) 6睁开式中x5的系数．15【例 33】在二项式 x2的睁开式中，含x4的项的系数是（）xA． 10B． 10C． 5 D ． 5【例 34】 (1 2 x)3 (1 x)4的睁开式中x 的系数是______，x2的系数为______．8思想的挖掘能力的飞腾【例 35】 11(1x)4的睁开中含 x2的项的系数为（）xA ．4B ． 6C． 10D．1264【例 36】 1x 1x 的睁开式中x的系数是（）A ．4B ． 3C． 3 D ． 4【例 37】求 1 x 3 1x 10睁开式中 x5的系数；【例 38】在二项式 x215的睁开式中，含x4的项的系数是（）xA． 10B． 10C． 5D． 5【例 39】 (x 2)6的睁开式中x3 的系数是（）A． 20B． 40C． 80D． 160【例 40】在 (1x)4的睁开式中，x 的系数为（用数字作答）思想的挖掘能力的飞腾9【例 41】在 (1 x)3313_____ （用数字作答）1x3 x 的睁开式中，x的系数为9【例 42】 x1的二项睁开式中含x3的项的系数为（）xA ．36B．84C．36D．84【例 43】若 (x216的二项睁开式中3的系数为5．（用数字作答）ax)x, 则a2【例 44】设常数 a2143的系数为3，则 a ＝_____．0 ， (axx)睁开式中 x2【例 45】已知 (1 kx2 )6（ k 是正整数）的睁开式中，x8的系数小于120，则 k．10思想的挖掘能力的飞腾【例 46】已知 ( xcos1)5 的睁开式中 x 2 的系数与 ( x 5 )4 的睁开式中 x 3 的系数相等4cos．1 10【例 47】的二项睁开式的第 6 项的系数为（）xxA ． 210B ． 252C ． 210D ． 252【例 48】若 ( x 21 )6 的二项睁开式中 x 3 的系数为 5 , 则 a __________．（用数字作答）ax2【例 49】 若 ( x 2n 1 与 (mx 2 n0) 的睁开式中含 xn的系数相等，则实数 m 的取值范围m)1) (n N * ，m是（）A ． 1，22 ， C ． (，0)D ． (0， )(B ． [1)2 331 6【例 50】已知 a0πsin x cos x dx ，则二项式 a x睁开式中含 x 2 项的系数是．x【例 51】在 ( ax7的睁开式中，x 3 的系数是 x 2 的系数与 x 4 的系数的等差中项，若实数a 1 ，那么1) a _______ ．【例 52】已知 (1 kx2 )6（ k 是正整数）的睁开式中，x8的系数小于 120 ，则 k ______．【例 53】 ( x y y x)4的睁开式中x3 y3的系数为．【例 54】若 (1 x)n的睁开式中，x3的系数是x的系数的 7 倍，求n；【例 55】 ( x y)10的睁开式中，x7 y3的系数与x3 y7的系数之和等于__________ ．【例 56】已知a为实数， ( x a)10睁开式中 x7的系数是15 ，则a_______．121n【例 57】二项式的睁开式中第三项系数比第二项系数大44，求第4项的系数．x x4x19【例 58】求 x的二项睁开式中含x3的项的二项式系数与系数．x1n【例 59】若 x的睁开式中前三项的系数成等差数列，则睁开式中x4项的系数为 _______．2x【例 60】令 a n为 f n (x)(1 x)n 1的睁开式中含x n 1项的系数，则数列{1} 的前 2009 项和为______．a n【例 61】在 (ax 1)7 (a 1) 的睁开式中，x3的系数是 x2的系数与 x4的系数的等差中项，求 a 的值．【例 62】已知 1 ax 52L a5 x5，则 b．1 10 x bx【例 63】在 1 x n的系数分别为 a ，b ，假如a3 ，那么 b 的值为（）睁开式中， x3与 x2bA．70B．60C．55D．40【例 64】若 (ax 1)5的睁开式中x3的系数是80 ，则实数a的值是_______．142143【例 65】设常数 a0 ， ax睁开式中 x3 的系数为，则 a．x21n12项的系数与含14项的系数之比为【例 66】若 2x睁开式中含 5 ，则n等于（）x x xA ． 4B．6C．8D．10【例 67】设 a n为 f n (x) (1 x)n 1的睁开式中含n 1项的系数，则数列1x的前 n 项和为_____a n1n【例 68】已知 x睁开式的第二项与第三项的系数比是1: 2 ，则n ________．2x【例 69】在 (1 x2 ) 20的睁开式中，假如第4r 项和第 r 2 项的二项式系数相等，则第4r 项为 ______【例 70】若在二项式 ( x 1)10的睁开式中任取一项，则该项的系数为奇数的概率是_____ ．【例 71】已知 (2 x lg x lg21)n睁开式中最后三项的系数的和是方程lg( y272 y 72) 0 的正数解，它的中间项是 1042lg2，求 x 的值．【例 72】设数列 { a n } 是等比数列，3m1，公比是14的睁开式的第二项．1C2m3 m2q( x2 )aΑ4x⑴用 n，x 表示通项a n与前n项和S n；⑵若 A C1 S C2S L C n S 用n ，x 表示 An n 1n 2n n n 16。
二项式定理(一)-学生版
．（用数字填写答案）
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二项式定理（一）
21．（2015•新课标Ⅱ） (a x)(1 x)4 的展开式中 x 的奇数次幂项的系数之和为 32，则 a
．
22．（2014•新课标Ⅰ） (x y)(x y)8 的展开式中 x2 y7 的系数为
．（用数字填写答案）
23．（2014•山东）若 (ax2 b)6 的展开式中 x3 项的系数为 20，则 a2 b2 的最小值为
②展开式中各项的系数
C
r n
(r
0,1,2,, n) 叫做二项式系数；
③式中的第 r+1 项叫做二项展开式的通项，公式为Tr1 Cnranrbr .
2.二项式系数的性质
①对称性：二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等.
②单调性：二项式系数在前半部分逐渐增大，在后半部分逐渐减小，在中间取得最大值.其中，
是
．
，系数为有理数的项的个数
18．（2018•全国）多项式 (1 x)3 (1 x)4 中 x2 的系数为
．（用数字填写答案）
19．（2018•上海）设
a
R
，若
(x2
2)9 与(x x
a x2
)9
的二项展开式中的常数项相等，则
a
20．（2016•新课标Ⅰ） (2x x)5 的展开式中， x3 的系数是
二项式定理（一）
知识点部分： 1.二项式定理 公式 (a b)n Cn0an Cn1an1b Cn2an2b2 Cnk ank bk Cnnbn (n N * ) 叫做二项式定理，其中
Cnk (k 0,1, 2,, n) 叫做二项式系数，Tk1 Cnk ank bk 叫做二项展开式的通项，它表示第 k 1项. 其中： ①公式右边的多项式叫做 (a b)n 的二项展开式；
6.3.1二项式定理课件(人教版)(1)
A．33
解析
B．29
D．19
∵(1＋ 2)4＝1＋4 2＋12＋8 2＋4＝17＋12 2＝a＋b 2，又∵a，b 为有理数，
∴a＝17，b＝12.∴a＋b＝29.
答案
C．23
)
B
3．在(1－x)5－(1－x)6的展开式中，含x3的项的系数是(
A．－5
B．5
C．－10
D．10
)
解析 (1－x)5 中 x3 的系数－C35＝－10，－(1－x)6 中 x3 的系数为－C36·
(a＋b)4＝_________________________
……
C n0 a n C n1a n 1b C n2 a n 2 b 2 C nk a n k b k C nn b n .
(a＋b)n＝_____________________________________________
只剩下了无穷量的二项式定理，他抓住了姑娘的手，错误地把它当
成通烟斗的通条，硬往烟斗里塞，痛的姑娘大叫，离他而去．
问题
什么是二项式定理？
提示 (a＋b)n＝C0nan＋C1nan－1b＋…＋Cknan－kbk＋…＋Cnnbn 即为二项式定理．
复习巩固：
n!
1. 排列数公式： A n( n 1)( n 2) ( n m 1)
－
－
k
6－k 1
Tk＋1＝C6(2x) · 2 ＝Ck6·
26 k·
x6 3k，令
x
6－3k＝0，
2 18
5.x －x 的展开式中 x7 的系数为__________(用数字作答)．
7.4.1二项式定理(第1课时)(教学课件)-高中数学苏教版(2019)选择性必修第二册
1
＋x4.
(3)
2
1 6
1
1
x－ ＝C 06 (2 x) 6 ＋C 16 (2 x) 5·－ ＋C 26 (2 x) 4 － 2
x
x
x
＋…＋C66 (2
x)0·－
1 6
60 12 1
3
2
－
2 ＋ 3.
＝64x －192x ＋240x－160＋
(
A. 3
【解析】
B. 4
C. 5
1n
因为x－x 的展开式的第
)
D. 6
－
r＋1 项为 Tr＋1＝Cnr xn r(－1)rx
1
n
r
r n-2r
＝Cn (－1) x ，若x－ x 的展开式中存在常数项，则
－r
n－2r＝0，即
n＝2r.又 n∈N*，r∈N，所以 n 为正偶数．故选 BD.
b，左边＝右边，所以等式成立．
②假设当 n＝k 时等式成立，即(a＋b)k＝C0k ak＋C1k ＋…＋Ckk bk，
内容索引
那么当 n＝k＋1 时，(a＋b)k+1＝(a＋b)k(a＋b)＝(C0k a k＋C1k ak-1b
－
＋…＋C rk a k rbr ＋…＋C kk b k)(a＋b)＝C 0k a k+1 ＋C 1k a kb＋…＋C rk+1 a k
－
－
b ＋…＋Ckk abk＋C0k akb＋…＋Crk ak rbr+1＋…＋Ckk-1 abk＋Ckk bk+1＝
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高三数学第一轮复习讲义（71）
二项式定理（1）
一．复习目标：
1．掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们讨论整除、近似计算等相关问题．
2．能利用二项展开式的通项公式求二项式的指数、求满足条件的项或系数．
二．知识要点：
1．二项式定理： ．
2．二项展开式的性质：
（1）在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数 ．
（2）若n 是偶数，则 的二项式系数最大；若n 是奇数，则 的二项式系数最大．
（3）所有二项式系数的和等于 ．
（4）奇数项的二项式系数的和与偶数项的二项式系数的和 ．
三．课前预习：
1．设二项式n x
x )13(3+的展开式的各项系数的和为P ，所有二项式系数的和为S ，若2=+S P ，则
=n
（ A ）
()A 4 ()B 5 ()C 6 ()D 8 2．当+∈N n 且2≥n 时，q p n +=++++-52221142 （其中N q p ∈,,且
50<≤q ），则q 的值为
（ A ）
()A 0 ()B 1 ()C 2 ()D 与n 有关
3．在62)12(x x -的展开式中常数项是605=T ；中间项是34160x T -=． 4．在1033)3(x x -的展开式中，有理项的项数为第3，6，9项．
5．求62)321(x x -+展开式里5x 的系数为-168．
6．在7)1(+ax 的展开式中，3x 的系数是2x 的系数与4x 的系数的等差中项，若实数1>a ，那么=a 5
101+． 四．例题分析：
例1．求9)23(x -展开式中系数绝对值最大的项．
解：9)23(x -展开式的通项为r r r r r r r r x C x C T ⋅⋅⋅-=-⋅⋅=--+999913)2()2(3，
设第1+r 项系数绝对值最大，即⎪⎩⎪⎨⎧⋅⋅≥⋅⋅⋅⋅≥⋅⋅-----++-r r r r r r r r r r r r C C C C 10191998191993
2323232， 所以⎩⎨⎧≥--≥+r
r r r 322021833，∴43≤≤r 且N r ∈，∴3=r 或4=r ，
故系数绝对值最大项为3448988x T -=或45489888x T =．
例2．已知n x x )12(2lg lg ++展开式中最后三项的系数的和是方程
0)7272lg(2=--y y 的正数解，它的中间项是2lg 2410+，求x 的值．
解：由0)7272lg(2=--y y 得073722=--y y ，∴1-=y （舍去）或73=y ，
由题意知，732412=+⋅+⋅--n n n n n n C C C ，∴6=n
已知条件知，其展开式的中间项为第4项，即
20001016022lg 24)2lg (lg 3)2lg (lg 3336==⋅=⋅⋅+++x x x x C ，
∴012lg lg 2lg lg 2=-+⋅+x x ，∴1lg -=x 或5lg 2lg 1lg =-=x ，∴10
1=
x 或5=x ． 经检验知，它们都符合题意。
例3．证明98322--+n n 能被64整除(+∈N n )．
证明：
)
88(88889
8188898)18(989983112111221111111111122-+-+--+++++++++++⋅+=⋅++⋅+=--+⋅++⋅+=--+=--=--n n n n n n n n n n n n n n n n n n C C C C n C C n n n ∵11211188-+-+-++⋅+n n n n n C C 是整数，∴983
22--+n n 能被64整除．
五．课后作业： 班级 学号 姓名
1．若443322104)32(x a x a x a x a a x ++++=+，则2312420)()(a a a a a +-++的
值为 （ A ）
()A 1 ()B -1 ()C 0 ()D 2
2．由1003)23(+x 展开所得的x 的多项式中，系数为有理数的共有
（ B ）
()A 50项 ()B 17项 ()C 16项 ()D 15项
3．)1()2(210-+x x 的展开式中，10x 的系数为179．(用数字作答)
4．9)2
(x x a -的展开式中，3x 的系数为49，常数a 的值为4． 5．求111999除以8的余数．
解：
∵)
(7)1250(88720001)200020002000(2000
1
2000200020002000)12000(1999101182119111101011921110111110111111Z k k k C C C C C C C ∈+-=-+=-+-+-=-⋅+-⋅+⋅-⋅=-= 由上面展开式可知199911除以8的余数是7．
6．（1）求7)21(x +展开式中系数最大项．（2）求7)21(x -展开式中系数最大项． 解：(1)设第1+r 项系数最大，则有
⎪⎩⎪⎨⎧⋅≥⋅⋅≥⋅--++117711772222r r r r r r r r C C C C ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--≥-⋅-+⋅≥-)!
8()!1(!7)!7(!!72)!6()!1(!72)!7(!!7r r r r r r r r ，即⎩⎨⎧≥--≥+r r r r )8(2)7(21， ∴3
16313≤≤r 且Z r r ∈≤≤,70，∴5=r ． 所以系数最大项为5555766722x x C T =⋅⋅=
(2)展开式共有8项，系数最大项必为正项，即在第一、三、五、七这四项中取得，故系数最大项必在中间或偏右，故只需比较5T 和7T 两项系数大小即可．又因为
444475560)2(x x C T =-=，666677448)2(x x C T =-=，
所以系数最大的项是第五项为444475560)2(x x C T =-=．
7．设),()1()1()(+∈+++=N n m x x x f n m ，若展开式中关于x 的一次项系数和为11，试问n m ,为何值时，含2x 项的系数取得最小值．
解：由题意知1111=+n m C C ，即11=+n m ，
又展开式中含2x 项的系数4
49)211(5511)]1()1([212222+-=+-=-+-=+=n n n n n m m C C n m ， ∴当5=n 或6=n 时，含2x 项的系数最小，最小值为25．
此时6,5==m n ；或6,5==n m ．
8．设n x
x )32(-展开式中第2项的系数与第4项的系数的比为4：45，试求2
x 项的系数．
解：第1+r 项2321)3(2)3()2(r
n r r n r n r r n r n r x C x
x C T ---+-⋅⋅=-⋅⋅=， ∴454)
3(2)3(233311=-⋅⋅-⋅⋅--n n n n C C ，即454)2)(1(964=--⋅⋅n n n n ，∴02832=--n n ， ∴7=n 或4-=n （舍负）． 令2232=-r n ，即2
3227r =-，∴1=r ． ∴2x 项的系数1344)3(21717-=-⋅⋅-C ．
9．求6998.0的近似值，使误差小于001.0．
解：988.0)002.0(61)002.0()002.0(15)002.0(61)002.01(998.06266=-⋅+≈-++-⋅+-⋅+=-=。