高中数学第一册(上)二项式定理--1定理
高中数学《二项式定理》课件
03
二项式定理的证明
数学归纳法的应用
数学归纳法是一种证明数学命题的重 要方法，尤其在证明二项式定理时， 它能够通过有限步骤来证明无限递推 关系。
然后，通过假设当$n=k$时二项式定 理成立，推导出当$n=k+1$时二项 式定理也成立。
在二项式定理的证明中，数学归纳法 首先证明基础步骤，即当$n=0$或 $n=1$时，二项式定理成立。
二项式定理的推导
二项式定理推导思路
通过组合数的性质，将二项式定理展开式中的每一项表示为组合数的形式，从而推导出二项式定理的 展开式。
二项式定理的推导过程
根据组合数的性质，将二项式定理展开式中的每一项表示为C(n, k)的形式，其中k表示二项式中某一 项的次数。通过计算，可以得到二项式定理的展开式为C(n, 0) + C(n, 1)x + C(n, 2)x^2 + ... + C(n, n)x^n。
C(n, m) = C(n, n-m)，即从n个不同元素中取出m个元素和取出n-m个元素的 组合数相等。
组合数的性质2
C(n+1, m) = C(n, m-1) + C(n, m)，即从n+1个不同元素中取出m个元素的组 合数等于从n个不同元素中取出m-1个元素的组合数加上从n个不同元素中取出 m个元素的组合数。
详细描述
二项式定理的应用场景非常广泛。在多项式的展开中，二项式定理可以用来求解形如$(x+y)^n$的多项式的展开 结果。在组合数学中，二项式定理可以用来计算组合数和排列数等。在概率论中，二项式定理可以用来计算事件 的概率和期望值等。此外，二项式定理在统计学、物理、工程等领域也有广泛的应用。
02
二项式定理的推导过程
高中数学二项式定理知识点总结
高中数学二项式定理知识点总结二项式定理是高中数学中的重要知识点，它是代数中的一个基本定理，也是数学中的一个重要定理。
二项式定理在数学中有着广泛的应用，不仅在数学理论中有着重要的地位，而且在实际问题中也有着重要的应用价值。
本文将对高中数学二项式定理的知识点进行总结，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一重要的数学知识点。
一、二项式定理的基本概念。
二项式定理是指对于任意实数a、b和非负整数n，都有以下公式成立：\((a+b)^n = C_n^0a^n b^0 + C_n^1a^{n-1} b^1 + C_n^2a^{n-2} b^2 + ... +C_n^na^0 b^n\)。
其中，\(C_n^k\)表示组合数，即从n个不同元素中取出k个元素的组合数，它的计算公式是：\(C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}\)。
二项式定理的基本概念就是利用组合数的性质，将二项式展开成多项式的形式，从而方便进行计算和运用。
二、二项式定理的应用。
1. 多项式展开。
二项式定理可以方便地将一个二项式展开成多项式的形式，从而简化计算。
例如，对于(a+b)²和(a+b)³，可以利用二项式定理将其展开成多项式的形式，从而方便进行计算。
2. 组合数的计算。
二项式定理中的组合数\(C_n^k\)在实际问题中有着重要的应用，例如在概率论、统计学等领域中，经常需要计算从n个不同元素中取出k个元素的组合数，而二项式定理提供了一种方便快捷的计算方法。
3. 概率计算。
二项式定理在概率计算中有着重要的应用，例如在二项分布中，就涉及到了二项式定理的应用。
通过二项式定理，可以方便地计算出在n次独立重复试验中成功次数为k的概率。
三、二项式定理的推广。
除了普通的二项式定理外，还有二项式定理的推广形式，如多项式定理、负指数幂的二项式定理等。
这些推广形式在数学理论和实际问题中都有着重要的应用价值，可以进一步丰富和拓展二项式定理的应用领域。
高一数学二项式定理1
你们可以不相信着我，你们小瞧着我，你们可以看清着我，你们可以不懂我，我又不为你们活着。我觉得够了，这是我的人生，你们懂什么，我不放弃自己，没有人能随随便便成功，我信我自己，这就 够了。你们给我看着，我会努力的，我会成功的，付出过才有收获，努力过。我不放弃的。每一件事没那么简单，可是别想到太难，想太多会累，想好就行动吧！ 不要讨厌自己的性格，不喜欢自己，你要觉的自己是最好，你不喜欢怎样的性格，你不喜欢怎样的人生，不要觉得人生太假，我们的改变只不过想要自己好过一点，说你假的人不懂你，临可假假的过一 生，也不要苦着自己被你们说没出息。如果这些我没有看清。我还没想明白。我又有什么理想呢 你喜欢什么，认为对的就干，世界没有谁对谁错的，只要别像自己认输就行，自己别放弃就行！你觉得自己有多好，你就有多好，你觉得能够可以，你就可以，我们活着，我们过着只为我们的明天更美 好啊！别人的世界与你无关，一句话能伤到你什么！我要我自己能行，其他人，只是提醒你，你还要更努力 想去看夕阳，可是太阳才刚刚下去，想去摸月亮，可是天却是阴阴的 星星眨过几次眼睛，月亮说他忘了。风吹着树梢，鸟儿不停叫。蚂蚁在不停的搬着般清亮透彻的光影而朦胧如梦。夜幕仿佛将化作蝶的羽翼，带着淡雅的清韵，在云端邂逅生命的声音。 我的光影被无声的风揉碎了，宛若天空唇边被抿碎的泪。我悬挂在清冷的色彩中，俯视尘世间的一切。我在寻找仰望天空的那双眸子，在寻找满怀希望的那颗心
高中数学第一册(上)二项式系数的性质
二项式系数的性质(1)【教学目标】1．理解和掌握二项式系数的性质，并会简单的应用； 2．初步了解用赋值法是解决二项式系数问题；3．能用函数的观点分析处理二项式系数的性质，提高分析问题和解决问题的能力.【教学重点】二项式系数的性质及其对性质的理解和应用． 【教学难点】二项式系数的性质及其对性质的理解和应用． 【教学过程】 一、复习引入：1．二项式定理及其特例：（1）01()()n n n r n r r n n n nn n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈； （2）1(1)1n r rn nn x C x C x x +=+++++； 2．二项展开式的通项公式：1r n r r r n T C a b -+=． 3．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r 的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性二、讲解新课：1．二项式系数表（杨辉三角）()n a b +展开式的二项式系数，当n 依次取1,2,3…时，二项式系数表，表中每行两端都是1，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和．2．二项式系数的性质：()n a b +展开式的二项式系数是0n C ，1n C ，2n C ，…，n n C ．r n C 可以看成以r 为自变量的函数()f r ，定义域是{0,1,2,,}n ，例当6n =时，其图象是7个孤立的点（如图）（1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等 （∵m n m n n C C -=）．直线2nr =是图象的对称轴． （2）增减性与最大值．∵1(1)(2)(1)1!kk n n n n n n k n k C C k k----+-+==⋅， ∴k n C 相对于1k n C -的增减情况由1n k k -+决定，1112n k n k k -++>⇔<， 当12n k +<时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值；当n 是偶数时，中间一项2n nC 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项12n nC-，12n nC+取得最大值．（3）各二项式系数和：∵1(1)1n r r n nn x C x C x x +=+++++，令1x =，则0122n r nn n n n n C C C C C =++++++．三、讲解范例：例1．()n a b +的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和证明：在展开式01()()n n nr n r rn nn nn n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈中，令1,1a b ==-，则0123(11)(1)n n n n n n n n C C C C C -=-+-++-，即02130()()n n nn C C C C =++-++，∴0213n n n n C C C C ++=++，即在()n a b +的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．说明：由性质（3）及例1知021312n n n n n C C C C -++=++=.例2．已知7270127(12)x a a x a x a x -=++++，求：（1）127a a a +++； （2）1357a a a a +++； （3）017||||||a a a +++.解：（1）当1x =时，77(12)(12)1x -=-=-，展开式右边为0127a a a a ++++∴0127a a a a ++++1=-，当0x =时，01a =，∴127112a a a +++=--=-，（2）令1x =， 0127a a a a ++++1=- ① 令1x =-，7012345673a a a a a a a a -+-+-+-= ②①-② 得：713572()13a a a a +++=--，∴ 1357a a a a +++=7132+-.（3）由展开式知：1357,,,a a a a 均为负，0248,,,a a a a 均为正， ∴由（2）中①+② 得：702462()13a a a a +++=-+，∴70246132a a a a -++++=，∴017||||||a a a +++=01234567a a a a a a a a -+-+-+-702461357()()3a a a a a a a a =+++-+++=．例3．求(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)10展开式中x 3的系数．解：)x 1(1])x 1(1)[x 1(x 1)x 1()x 1(10102+-+-+=+++++）（ =xx x )1()1(11+-+，∴原式中3x 实为这分子中的4x ，则所求系数为711C ．例4.在(x 2+3x+2)5的展开式中，求x 的系数解：∵5552)2x ()1x ()2x 3x (++=++，∴在(x+1)5展开式中，常数项为1，含x 的项为x 5C 15=，在(2+x)5展开式中，常数项为25=32，含x 的项为x 80x 2C 415=∴展开式中含x 的项为 x 240)32(x 5)x 80(1=+⋅，∴此展开式中x 的系数为240．例5.已知n2)x 2x (-的展开式中，第五项与第三项的二项式系数之比为14；3，求展开式的常数项解：依题意2n 4n 2n 4n C 14C 33:14C :C =⇒=，∴3n(n -1)(n-2)(n-3)/4!=4n(n-1)/2!⇒n=10． 设第r+1项为常数项，又 2r 510r 10r r 2r10r101r x C )2()x2()x (C T --+-=-=令2r 02r 510=⇒=-，.180)2(C T 221012=-=∴+此所求常数项为180．四、课堂练习：（1）()2025x y -的展开式中二项式系数的和为 ，各项系数的和为 ，二项式系数最大的项为第 项；（2）1)n x的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则第四项为 ．（3）0n C +12n C +24n C ++2n n n C 729=，则123nn n n n C C C C ++++=（ ）A ．63 B.64 C.31 D.32（4）已知：5025001250(2)a a x a x a x =++++，求：2202501349()()a a a a a a +++-+++的值 答案：（1）202，203，11；（2）展开式中只有第六项的二项式系数最大，∴10n =， 3734101()T C x==（3）A ． 五、小结 ：1．性质1是组合数公式r n r n n C C -=的再现，性质2是从函数的角度研究的二项式系数的单调性，性质3是利用赋值法得出的二项展开式中所有二项式系数的和；2．因为二项式定理中的字母可取任意数或式，所以在解题时根据题意，给字母赋值，是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法六、课后作业：七、板书设计（略）八、教学后记：求60.998的近似值，使误差小于0.001．解：66011666660.998(10.002)(0.002)(0.002)C C C =-=+-++-， 展开式中第三项为2260.0020.00006C =，小于0.001，以后各项的绝对值更小，可忽略不计，∴66011660.998(10.002)(0.002)0.998C C =-≈+-=，一般地当a较小时(1)1n+≈+．a na。
二项式定理+课件-2024-2025学年高二上学期数学湘教版(2019)选择性必修第一册
a7 .
解：
在展开式中取 x 0 ，则 a0 1 .
再在展开式中取 x 1，得 1 a0 a1 a2
于是 a1 a2
a7 1 a0 2
a7 ，
课堂巩固
A 1.已知
x2 2
1 x
n
的展开式中第
9
项为常数项，则展开式中的各项系数之和为(
)
1 A. 210
B.
1 210
C. 210
D. 210
解析：
Tr 1 Crnan rbr
在二项式定理中，如果设 a 1，b x ，则得到公式:
(1 x)n C0n C1n x C2n x2
Crn xr
Cnn xn
例题来了
例 1 求 (3 x 1 )4 的展开式. x
解：
（3 x 1 )4 (3x 1)4
x
x2
1 x2
[C40 (3x)4
C41 (3x)3
解析：由于 x5 y2 x2 2 x y2 ， 所以 2x2 x y 5 的展开式中含 x5 y2 的项为 C52 2x2 2 C13x1 C22 y 2 120x5 y2 ， 所以 2x2 x y 5 的展开式中 x5 y2 的系数为 120.
7.
2
x
1 x
作黑球.考虑 n 个均放有一个红球和一个黑球的盒子.现从每个盒子中取一个球，有选
红球或选黑球两利选择，其结果可分为 n 1类：
第
1
类，取出的
n
个球中，有
n
个红球，即
0
个黑球，共有
C
0 n
种取法，所以展开式
中一共有 C0n 项 an .
第 2 类，取出的 n 个球中，有 n 1 个红球，即 1 个黑球，共有C1n 种取法，所以
高中数学二项式定理知识点总结
高中数学二项式定理知识点总结
一. 二项式定理
二项式定理是一个数学定理，它是指给定的任意非负整数n和任意实数a，则杨辉三角中的第n行和第m项中的元素之和为：
(a+b)^n = ΣC(n,m)a^(n-m)b^m,m=0,1,...,n
二. 特点
1. 如果a=1和b=1，可以理解为杨辉三角公式，
C(n,m)=(n,m)=(n!)/(m!(n-m)!),C(n,m)是组合数；
2. 当n=m时，它可以被称为勒贝格定理；
3. 二项式定律的作用是可以用来计算出多项式的值，和实现多项式的数学推导；
三. 应用
1. 二项式定理可以用来求解二次函数y=x^2+ax+b在满足a^2-4b<0时，其极值与极点，同时还能应用于多项式的展开和逻辑判断；
2. 应用于光度学问题，二项式函数可以用来表达连续发射物质的浓度与位置之间的关系；
3. 在概率论和数论中，二项式定理用于求解有限次试验概率等问题；
4. 在图论中，二项式定理可被用来求解连通图的极大或极小的有向圈
数量；
5. 在微积分中，可以利用它求解一系列数学问题。
二项式定理高中数学
二项式定理高中数学二项式定理这玩意儿，听起来好像很吓人，啥“展开式”啊，“系数”啊，搞得好像要开个数学大会一样。
其实它并没有那么可怕。
咱们说白了，二项式定理就是一种用来展开（或者说拆开）像“(a+b)”这种式子的神奇工具。
你可能会问了，什么叫展开呢？简单来说就是把里面的东西拆开、整理得清清楚楚，告诉你它到底能长成什么样子。
打个比方，就像拆快递一样，把里面的东西一个个拿出来看清楚，哎哟，原来是个手机，不是个耳机，哈哈，是不是明白了？我们先从最基础的开始说，二项式定理就是帮助我们把像(a+b)的形式进行展开，看看它能变成什么模样。
比如说，你有(a+b)²，这个式子很常见吧？它到底是啥意思呢？你不妨先想想，(a+b)²就是(a+b)×(a+b)，哎，就是这两个一模一样的东西相乘，咋弄呢？就拿“乘法分配律”那招吧，把a和b分别和另一个(a+b)里面的a和b都乘一遍。
你会得到：a×a + a×b + b×a + b×b，结果就是a² + 2ab + b²。
你瞧，这就是二项式定理的展开结果，超简单，完全可以照搬。
说实话，刚开始学的时候大家可能都会觉得这个很神秘，甚至会觉得有点蒙。
但其实呢，原来它的本质就是按部就班地去拆开它，明明白白地拿出来。
不过说到这里，你可能又在想了，怎么总是看到这类展开式里面的系数？是不是很复杂？别急，我们来聊聊这事儿。
其实啊，二项式定理里面的系数可不难搞。
你以为这系数是随便来的，其实它们是有规律的，这个规律叫“二项式系数”，它们可以通过一个叫做“杨辉三角”的东西来找。
这个东西可能看起来很复杂，但一旦你熟悉了它，便能像老朋友一样对它了如指掌。
我们从三角形的第一行开始数，开始算。
每一行的数都是通过上一行的数来加的，你就能找出这些系数，哦，这就是展开式里每一项前面的那个数。
举个例子哈，你如果有(a+b)³，那就等于(a+b)×(a+b)×(a+b)。
高中数学二项式定理知识点总结
高中数学二项式定理知识点总结一、二项式定理的概念和公式二项式定理是指两个数的整数次幂之和在展开时，任意一个数都可以拆开成两个数相乘的形式。
根据二项式定理，可以得到以下的公式：(a+b)² = a² + 2ab + b²(a-b)² = a² - 2ab + b²(a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³(a-b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³对于一般情况下的二项式展开，可以根据组合数的知识得出下列公式：(a+b)ⁿ = C(n,0) * aⁿ+ C(n,1) * aⁿ⁻¹b + C(n,2) * aⁿ⁻²b² + ... + C(n,n) * bⁿ其中，C(n,m)表示从n个元素中取m个元素的组合数。
二、二项式定理的应用1. 计算二项式的展开式利用二项式定理，可以将任意形式的二项式展开成为多项式，从而方便进行计算。
例如，对于 (x+2)³的展开式，根据二项式定理可以得到：(x+2)³ = x³ + 3x²*2 + 3x*2² + 2³= x³ + 6x² + 12x + 82. 求解组合数在概率论、统计学等领域中，经常需要计算组合数。
而组合数实际上就是二项式展开中的系数。
因此，通过二项式定理可以方便地求解组合数。
3. 计算二项式的特定项有时候并不需要将整个二项式展开，只需求解其中的某一项。
例如，对于(x+2)⁵ 的展开式，如果只需要求解其中x⁴ 的系数，可以直接利用二项式定理计算得出，而无需展开整个式子。
4. 解决数学问题在数学建模、求解等问题中，二项式定理也可以被广泛应用。
通过利用二项式定理，可以简化问题的表达和计算，从而更加方便地求解问题。
高中数学中的二项式定理及其应用
高中数学中的二项式定理及其应用在高中数学中，二项式定理是不可避免的一个重要话题。
二项式定理是指将一个二元式(a+b)的n次幂展开后，各项的系数满足一定规律。
这个定理的重要性不仅在于它本身的理论意义，更在于它的广泛应用。
本文将从二项式定理的基本概念开始，探讨它的应用。
一、二项式定理首先，我们来看一下二项式定理的公式：(a+b)ⁿ = C(n,0)aⁿb⁰ + C(n,1)aⁿ⁻¹b¹ + … + C(n,r)aⁿ⁻ʳbr + … +C(n,n)a⁰bⁿ其中，C(n,r)是组合数，它表示从n个元素中取r个元素的方案数，也可以用以下公式表示：C(n,r) = n!/(r!(n-r)!)例如，C(4,2) = 4!/(2!2!) = 6，表示从{1,2,3,4}这4个元素中取出2个元素的所有方案数为6个。
二项式定理告诉我们，将二元式(a+b)的n次幂展开后，每一项的系数都可以用组合数来表示。
这个规律具有很强的普适性，不论a、b是什么数，n是什么值，都能套用这个定理。
二、二项式系数的性质在实际应用中，二项式系数的性质也是我们需要掌握的。
这里列举几个常见的性质：1.对称性：C(n,r) = C(n,n-r)即从n个元素中取出r个元素的方案数等于从n个元素中取出n-r个元素的方案数。
这个性质的证明比较简单，可以通过对组合公式的变形来完成。
2.递推关系：C(n,r) = C(n-1,r-1) + C(n-1,r)即从n个元素中取出r个元素的方案数等于从n-1个元素中取出r-1个元素的方案数加上从n-1个元素中取出r个元素的方案数。
这个递推关系非常有用，可以应用于组合恒等式的证明，也可以结合递归算法来解决一些实际问题。
3.二项式系数的对数性质：∑C(n,r) = 2ⁿ即二项式系数C(n,0) + C(n,1) + … + C(n,n)的和等于2的n次幂。
这个性质的证明也比较简单，可以利用二项式定理将(a+b)ⁿ展开来证明。
高二数学二项式定理1
因此：(a b)4 C40a4 C41a3b C42a2b2 C43ab3 C44b4
按上述规律，我们能将(a+b)n展开吗？
（一）二项式定理：
(a+ b)n
=
C
0 n
an
+
C
1 n
an
-
1b
+
C
2 n
an
-
2
b2
+
+
C
r n
an-
rbr
+
右边多项式叫(a+b)n的二项展开式；
C
0 n
,
C
1 n
,
C
2 n
,C
r n
,C
n n
叫二项式系数；
C
r n
a
nr b
r
叫二项展开式的通项，
用Tr+1表示即：Tr+1= Cnr a nrbr
+
C
n n
b
n
注意：
1、弄清定理结构特征：项数：n+1 次数：n，a降b升，和为n
二项式系数： Cnr
2、二项式系数与项的系数不同 二项式系数是组合数，而项的系数是该项的数字因数
(a+b)3 = a3 + 3a2 b + 3a b2 + b3
= C30 a3 + C13a2 b + C32 a b2 + C33 b3
观察上面公式，从右边的项数、每项的
次数、系数进行研究，你会发现什么规律？
1.项数比左边次数多1； 2.每项次数均为左边指数； 3.a,b指数a降b升； 4.系数 C20，C21，C22；C30，C31，C32，C33
2019-2020年高中数学第一册(上)二项式定理教学实录
2019-2020年高中数学第一册(上)二项式定理教学实录1. 教材分析1.1 教材内容《二项式定理》是高中《代数》下册最后一章（必学）的一个单元. 本课是该单元的第一课，学习该课之前，同学们已基本上学习过高中数学的其它内容，特别是学习了与本课程有关的乘法公式中的平方、立方公式，多项式乘法，数学归纳法，排列组合，组合数公式，组合数性质. 本节课主要通过归纳二次展开式的系数和字母结构的规律猜证二项式定理，并对二项式定理进行初步应用.1.2 地位与作用二项式定理是《二项式定理》这个单元的主要内容. 只有学习二项式定理，才能进而学习二项式系数的性质和应用. 二项式定理的应用主要有：求二项展开式或求某特定项；求组合的和和证明组合恒等式；证明不等式；近似计算. 二项式定理与数列等知识可组成综合性题目. 近年高考试题中，不乏涉及到二项式定理的题目.通过本课的教学，进一步提高学生的归纳演绎能力，进一步掌握数学归纳法，感受体验数学美.1.3 重点、难点重点：猜证二项式定理.难点：求的展开式和归纳二项展开式的系数规律.2. 教学目标2.1 知识目标掌握的展开式，知道二项式定理的数学归纳法证明. 在教学过程中，让学生树立和掌握归纳思想和数学归纳法等数学思想和方法.2.2 能力目标培养学生分析、归纳、演绎能力，猜证能力，发现问题，探求问题的能力，逻辑推理能力，以及由特殊到一般，内一般到特殊的哲学思想.2.3 感情目标对学生进行爱国主义教育，激发学生奋发图强、振兴中华的爱国热情. 通过对二项展开式的教学，使学生感受和体验公式的简洁美、和谐美和对称美等数学美.3. 教学方法3.1 教法本课采用“过程教学法”，让学生参与和经历全课的思维过程. 另外，利用计算机辅助教学，便利师生交流，增大师生互动频率密度.3.2 学法采用“导学法”. 学生在教师的引导下，积极参与，积极思考，发现规律，归纳总结规律.4. 教学过程与自我评述（以下T为教师，S为学生，C为电脑显示）4.1 复习引入C,T：4个容器中有红、白玻璃球各一个，每次从4个容器中各取一个球，有什么样的取法？各种取法有多少种？S,C：取法及取法种数——都不取白球（全取红球）：；取一个白球（1白3红）：；取2个白球（2白2红）：；取3个白球（3白1红）：；取4个白球（无红球）：.T：取法种数再次验证组合数性质：. 顺便问一问，组合数的另一个性质是什么？S：T：不作多项式运算，用组合知识来考察，展开，展开式中有哪些项？各项系数是什么？S：都不取；取1个；取2个；取3个；取4个，各项系数分别是，，，， .T：这两个问题的本质是一样的，只是表达形式不同. “取球”问题具体一点，的乘法抽象一点.T,C：＝＝评述：求的展开式是本课的难点之一. 在二项式教学中，它起到承上启下的作用. 在这里，通过设计学生比较熟悉的“取球”问题，联系、类比到的展开式，既分解了难度，又为二项式定理教学打下基础.4.2 点明课题T：我们学习过平方公式和立方公式，这两个公式以及的展开式就是今天学习的二项式定理的特殊形式.T,C：……4.3 猜想二项式定理T：二项展开式各项由系数和字母组成，下面分别探究它们的规律.C：1. 系数的规律T：下面是，，各项的系数，试观察分析其规律.C: 1 11 2 11 3 3 11 4 6 4 1S1：每行的两端相等，都是1.S2：与首末等距离的两项也相等，中间一项或两项最大.T：上下两行有什么关系？S3：下一行的第二个数等于上行第一、二个数的和，第三个数等于上行第二、三个数的和……T：对. 下一行除1次外的每个数都等于它肩上两个数的和. 根据这两条规律，大家能写出，的系数吗？S： 1 5 10 10 5 11 6 15 20 15 6 1C： 1 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 11 6 15 20 15 6 1T：上面这个表称杨辉三角，它是宋朝数学家杨辉的杰作. 杨辉三角是我国数学发展史上的一个成就，它比欧洲人称为帕斯卡三角要早四百多年. 当幂指数较小时，应用杨辉三角非常简便. 但当较大时，它就表现一定的局限性. 如时，要依赖展开式的各项系数. 而且展开式的系数，也不好用类似的数字表达. 要解决这个问题，同学们从展开式的系数得到什么启示吗？S,C ： —— ，，，，—— ，，，，，T ： 你能猜想展开式的系数吗？S,C ： —— ，， ……C ： 2. 关于字母及其幂指数的规律T ： 同学们通过观察展开式，能否发现、的结构规律？S ： 的指数由4逐一减少到0；而的指数内0逐一增加到4. 每一项、的指数和都是4，即，，，，.T ： 据此，请说出的展开式.S,C ：T ： 那么在的展开式中，大家能猜想出、的指数规律吗？S,C ：、的指数规律——的指数，从逐一减少到0，且等于组合数的下标－上标；的指数，从0逐一增加到，且等于组合数的上标. 每一项的指数与的指数之和等于.T ： 牛顿有句名言：“没有大胆的猜想，就不能有伟大的发现和发明. ”请大家大胆地猜想二项式定理.S,C ：猜想：.评述：1.认识事物的规律，遵循由特殊到一般的归纳过程. 在这里，考察二项展开式的系数和字母结构，猜想二项式定理，就是这样的认识过程. 归纳思想是一个重要的数学思想，提高学生的归纳能力，是本课教学的一个重点.2.如何将杨辉三角表示的二项式系数转换到用组合数来表达，课前复习中导出的起到了很好的联系作用. 有了这个转化，就可以进而猜想出二项式的系数.3.杨辉三角是我国数学发展史的一个亮点，是中国作为文明古国的一个例证. 以光荣史实作为题材，对学生进行爱国主义教育，也是数学教学的一个任务.4.4 证明二项式定理T ： 大胆猜想，科学求证. 下面我们用数学归纳法证明二项式定理.T,C ：证明：（1）略（2）假设当时等式成立，即则当时T ： 我们在变换之前，应该先明确证明目标：S,C ：T ： 对，这是我们要证明的目标. 对照这个目标，需要作多项式的乘法. 下面请同学们进行乘法运算. 乘完后，看有什么情况？如何处理才能一步一步向证明目标靠拢？（待学生运算结束后）T ： 大家发现有什么情况？S ： ，，……，，……，各有两项，，各有一项.T ： 对，如何处理同类项？S ： 合并同类项.T,C ：1110+-+-++++++k k k k k k r r k r k k kb ab b a b a C C C C ++++=- b a a k k k r k kC C C )(010T ： 请同学们观察合并的系数与证明目标中的系数有什么关系？S,C ：理应相等，即应有：，，……，，……，，T ： 上面诸等式成立的依据是什么？S ： 组合数性质——T,C ：应用组合数性质：以及，则得到+++++-+++ 111111r r k k k k k b a b a C C （以下证明略） 评述：1.在数学归纳法证明过程中，在证明当时命题成立之前，往往先列出证明目标，这样做，目标明确，少走弯路.2.此处证明应用组合数性质：，在复习时已提到过，也算是前呼后应.4.5 对公式的再认识T,S,C ：1.通项公式：2.规律：（1）项数：项（2）二项式系数：，即，，……，，与首末等距离的两项的二项式系数相等.（3）、的指数（略）4.6 公式的初步应用【学生练习】1. 写出的展开式（解略）2. 写出的展开式（略）3. 写出的展开式（略）4. 求展开式中的第3项解：2422242632160)9)(16(15)3()2(b a b a b a C T ===5. 求展开式中的第3项解：424242634860)4)(81(15)2()3(b a a b a b C T ===T ： 比较第3、4题的解法，求二项展开式的某一项时要注意什么？S ： 公式中的、不能互换.T ： 对. 求整个展开式，、可以互换，但求某一项时，、不能互换.T ： 第4题中第3项的二项式系数是多少？该项的系数是多少？两者相同吗？ S ： 15，2160. 两者不同.T ： 是的. “二项式系数”与“系数”不一定相同，这点要注意区别.4.7 小结T,C ：1.本课我们用由特殊到一般，又由一般到特殊的归纳演绎的方法学习二项式定理.2.数学思想和方法是数学的灵魂. 本课教学突出归纳思想和数学归纳法.3.二项式定理的规律突出表现在二项式系数的规律和字母的规律.4.二项式定理体现了数学美：简洁美、和谐美、对称美.4.8 作业（略）。
高中数学完整讲义——二项式定理1.二项展开式1求展开式中的指定项
求睁开式中的指定项知识内容1．二项式定理⑴二项式定理an0 n 1 n 1 2 n 2 2n nN b C n a C n a b C n a b... C n b n这个公式表示的定理叫做二项式定理．⑵二项式系数、二项式的通项0 n1n 1 2 n 2 2n nrn C n r 0, 1, 2, ..., n叫做二C n a C n a b C n a b ...C n b 叫做 a b的二项睁开式，此中的系数项式系数，式中的C n r a n r b r叫做二项睁开式的通项，用T r 1表示，即通项为睁开式的第r 1 项：T r 1C n r a n r b r．⑶二项式睁开式的各项幂指数二项式 a b nn 1 项，各项的幂指数情况是的睁开式项数为①各项的次数都等于二项式的幂指数n ．②字母 a 的按降幂摆列，从第一项开始，次数由n 逐项减 1 直到零，字母b按升幂摆列，从第一项起，次数由零逐项增 1 直到 n ．⑷几点注意①通项 T rr n r r是 a bn1 项，这里 r0, 1, 2,..., n ．1C n a b的睁开式的第 ran1项和nr a r是有区其他，应用二项式定理时，其②二项式b的 r b a 的睁开式的第r 1项 C n r b n中的 a 和b是不可以随意互换的．③注意二项式系数（C n r）与睁开式中对应项的系数不必定相等，二项式系数必定为正，而项的系数有时可为负．④通项公式是n这个标准形式下而言的，如 a bna b的二项睁开式的通项公式是r r n r rb 当作 b 代入二项式定理）这与T r 1r n r rT r 11C n a b （只须把C n a b 是不一样的，在这里对应项的C n r r二项式系数是相等的都是，但项的系数一个是 1 C n r，一个是 C n r，可看出，二项式系数与项的系思想的挖掘能力的飞腾1数是不一样的观点．⑤设 a 1, b x ，则得公式：n...C n r x r... x n．1 x1 C n1 x C n2 x2⑥通项是 T r 1C n r a n r b r r0, 1, 2, ..., n 中含有 T r 1, a , b , n , r 五个元素，只需知道此中四个即可求第五个元素．⑦当 n 不是很大， x 比较小时能够用睁开式的前几项求(1x)n的近似值．2．二项式系数的性质⑴杨辉三角形：关于 n 是较小的正整数时，能够直接写出各项系数而不去套用二项式定理，二项式系数也能够直接用杨辉三角计算．杨辉三角有以下规律：“左、右两边斜行各数都是 1．其他各数都等于它肩上两个数字的和．”⑵二项式系数的性质：an睁开式的二项式系数是：012n，从函数的角度看r能够当作是r 为自变量的函数b C n, C n , C n , ..., C n C nf r，其定义域是： 0, 1, 2,3, ...,n．当n6时， f r 的图象为下列图：这样我们利用“杨辉三角”和n 6 时f r的图象的直观来帮助我们研究二项式系数的性质．①对称性：与首末两头“等距离”的两个二项式系数相等．事实上，这一性质可直接由公式C n m C n n m获得．②增减性与最大值假如二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；假如二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等而且最大．因为睁开式各项的二项式系数按序是C n01, C n1n, C n2n n 1，1 1 22思想的挖掘能力的飞腾C n3n n1n2，．．．，1 23C n k 1n n 12n2... n k 2 ，C n k n n 1 n 2 ... n k2n k 1，．．．，1 3 ....k112 3...k 1 kC n n 1 ．此中，后一个二项式系数的分子是前一个二项式系数的分子乘以逐次减小 1 的数（如n, n1, n 2,... ），分母是乘以逐次增大的数（如1， 2， 3，）．因为，一个自然数乘以一个大于 1 的数则变大，而乘以一个小于 1 的数则变小，进而当k 挨次取1，2，3，等值时，r的值转变为不递加而递减了．又因为C n与首末两头“等距离”的两项的式系数相等，因此二项式系数增大到某一项时就渐渐减小，且二项式系数最大的项必在中间．当 n 是偶数时，n1是奇数，睁开式共有 n 1 项，因此睁开式有中间一项，而且这一项的二项式系数n最大，最大为C n2．当 n 是奇数时，n 1 是偶数，睁开式共有n 1项，因此有中间两项．n 1n1这两项的二项式系数相等而且最大，最大为C n2C n2．③二项式系数的和为012r...n n．2n，即C n C n C n ...C n C n2④奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即024135n1C n C n C n ...C n C n C n... 2．常有题型有：求睁开式的某些特定项、项数、系数，二项式定理的逆用，赋值用，简单的组合数式问题．典例剖析16【例1】 2的睁开式中的第四项是．x3x y 6【例 2】的睁开式中，x3的系数等于____．y x35【例 3】 1 2 x13 x 的睁开式中 x 的系数是A ．4B ．2C． 2 D ．4思想的挖掘能力的飞腾3a 9【例 4】若 x的睁开式中 x3的系数是84 ，则a．xa 5【例 5】 x( x R ) 睁开式中 x3的系数为10，则实数 a 等于xA ．1B ．1C．1D． 2 2【例 6】若 (1 2 x)n a0a1 x a2 x2L a n x n，则 a2的值是（）A．84B．84C．280D．280【例 7】862项的系数是（）( x2 y) 的睁开式中x yA．56 B ．56C．28D．28【例8】若5a4 x4a1x a0，则 a2的值为（3x 1a5 x5）A ．270B． 270 x2C． 90D． 90 x2【例 9】(1x )6 (1x)4的睁开式中x 的系数是_______（用数字作答）．【例 10】在 (x2 4 x 2)5的睁开式中，x 的系数为_______（用数字作答）．4思想的挖掘能力的飞腾【例 11】在 ( x24x 2)5的睁开式中，x2的系数为 _______（用数字作答）．【例 12】在 ( x24x 2)5的睁开式中，x3的系数为 _______（用数字作答）．294睁开式中含 x2项系数．【例 13】求 ( x3x 1) (2 x1)【例 14】在 (1 x) (1 x)2L(1 x)6的睁开式中，x2项的系数是．（用数字作答）【例 15】 ( x 1) (x 1)2( x 1)3( x 1)4(x 1)5的睁开式中x2的系数等于 ________．（用数字作答）1 )9睁开式中x9的系数是_______（用数字作答）．【例 16】 (x22x【例 17】在 ( x 1)(x 1)8的睁开式中x5的系数是（）思想的挖掘能力的飞腾5A ．-14B． 14C． -28 D ． 28【例 18】在 (x1)(x2)( x 3)( x4)( x 5) 的睁开式中，含x4的项的系数是（）A ．15B．85C．120 D ．274【例 19】在 (1 x)5(1 x) 6(1 x)7(1 x)8(1 x)9的睁开式中，含x3 项的系数是（用数字作答）【例 20】求 (1 x x2 ) 6睁开式中x5的系数．【例 21】 (1x )6 (1x)4的睁开式中x 的系数是_______（用数字作答）．【例 22】在 (x2 4 x 2)5的睁开式中，x 的系数为_______（用数字作答）．【例 23】在 (x2 4 x 2)5的睁开式中，x2的系数为 _______（用数字作答）．6思想的挖掘能力的飞腾【例 24】在 ( x 24x 2)5的睁开式中，3的系数为 _______（用数字作答）．x【例 25】求 ( x23x 1)9 (2 x 1)4睁开式中含x2项系数．【例 26】在 (1 x) (1 x)2L(1 x)6的睁开式中，x2项的系数是．（用数字作答）【例 27】 ( x 1) (x 1)2( x 1)3( x 1)4(x 1)5的睁开式中x2的系数等于 ________．（用数字作答）【例 28】 (x21)9睁开式中 x9的系数是 _______（用数字作答）．2x思想的挖掘能力的飞腾7【例 29】在 (x 1)(x 1)8的睁开式中x5的系数是（）A ．-14B． 14C． -28 D ． 28【例 30】在 (x1)(x2)( x 3)( x 4)( x5) 的睁开式中，含x4的项的系数是（）（ A ）15（B） 85（ C）120（ D ）274【例 31】在 (1 x)5(1 x)6(1 x)7(1 x)8(1 x)9 的睁开式中，含x3项的系数是（用数字作答）【例 32】求 (1 x x2 ) 6睁开式中x5的系数．15【例 33】在二项式 x2的睁开式中，含x4的项的系数是（）xA． 10B． 10C． 5 D ． 5【例 34】 (1 2 x)3 (1 x)4的睁开式中x 的系数是______，x2的系数为______．8思想的挖掘能力的飞腾【例 35】 11(1x)4的睁开中含 x2的项的系数为（）xA ．4B ． 6C． 10D．1264【例 36】 1x 1x 的睁开式中x的系数是（）A ．4B ． 3C． 3 D ． 4【例 37】求 1 x 3 1x 10睁开式中 x5的系数；【例 38】在二项式 x215的睁开式中，含x4的项的系数是（）xA． 10B． 10C． 5D． 5【例 39】 (x 2)6的睁开式中x3 的系数是（）A． 20B． 40C． 80D． 160【例 40】在 (1x)4的睁开式中，x 的系数为（用数字作答）思想的挖掘能力的飞腾9【例 41】在 (1 x)3313_____ （用数字作答）1x3 x 的睁开式中，x的系数为9【例 42】 x1的二项睁开式中含x3的项的系数为（）xA ．36B．84C．36D．84【例 43】若 (x216的二项睁开式中3的系数为5．（用数字作答）ax)x, 则a2【例 44】设常数 a2143的系数为3，则 a ＝_____．0 ， (axx)睁开式中 x2【例 45】已知 (1 kx2 )6（ k 是正整数）的睁开式中，x8的系数小于120，则 k．10思想的挖掘能力的飞腾【例 46】已知 ( xcos1)5 的睁开式中 x 2 的系数与 ( x 5 )4 的睁开式中 x 3 的系数相等4cos．1 10【例 47】的二项睁开式的第 6 项的系数为（）xxA ． 210B ． 252C ． 210D ． 252【例 48】若 ( x 21 )6 的二项睁开式中 x 3 的系数为 5 , 则 a __________．（用数字作答）ax2【例 49】 若 ( x 2n 1 与 (mx 2 n0) 的睁开式中含 xn的系数相等，则实数 m 的取值范围m)1) (n N * ，m是（）A ． 1，22 ， C ． (，0)D ． (0， )(B ． [1)2 331 6【例 50】已知 a0πsin x cos x dx ，则二项式 a x睁开式中含 x 2 项的系数是．x【例 51】在 ( ax7的睁开式中，x 3 的系数是 x 2 的系数与 x 4 的系数的等差中项，若实数a 1 ，那么1) a _______ ．【例 52】已知 (1 kx2 )6（ k 是正整数）的睁开式中，x8的系数小于 120 ，则 k ______．【例 53】 ( x y y x)4的睁开式中x3 y3的系数为．【例 54】若 (1 x)n的睁开式中，x3的系数是x的系数的 7 倍，求n；【例 55】 ( x y)10的睁开式中，x7 y3的系数与x3 y7的系数之和等于__________ ．【例 56】已知a为实数， ( x a)10睁开式中 x7的系数是15 ，则a_______．121n【例 57】二项式的睁开式中第三项系数比第二项系数大44，求第4项的系数．x x4x19【例 58】求 x的二项睁开式中含x3的项的二项式系数与系数．x1n【例 59】若 x的睁开式中前三项的系数成等差数列，则睁开式中x4项的系数为 _______．2x【例 60】令 a n为 f n (x)(1 x)n 1的睁开式中含x n 1项的系数，则数列{1} 的前 2009 项和为______．a n【例 61】在 (ax 1)7 (a 1) 的睁开式中，x3的系数是 x2的系数与 x4的系数的等差中项，求 a 的值．【例 62】已知 1 ax 52L a5 x5，则 b．1 10 x bx【例 63】在 1 x n的系数分别为 a ，b ，假如a3 ，那么 b 的值为（）睁开式中， x3与 x2bA．70B．60C．55D．40【例 64】若 (ax 1)5的睁开式中x3的系数是80 ，则实数a的值是_______．142143【例 65】设常数 a0 ， ax睁开式中 x3 的系数为，则 a．x21n12项的系数与含14项的系数之比为【例 66】若 2x睁开式中含 5 ，则n等于（）x x xA ． 4B．6C．8D．10【例 67】设 a n为 f n (x) (1 x)n 1的睁开式中含n 1项的系数，则数列1x的前 n 项和为_____a n1n【例 68】已知 x睁开式的第二项与第三项的系数比是1: 2 ，则n ________．2x【例 69】在 (1 x2 ) 20的睁开式中，假如第4r 项和第 r 2 项的二项式系数相等，则第4r 项为 ______【例 70】若在二项式 ( x 1)10的睁开式中任取一项，则该项的系数为奇数的概率是_____ ．【例 71】已知 (2 x lg x lg21)n睁开式中最后三项的系数的和是方程lg( y272 y 72) 0 的正数解，它的中间项是 1042lg2，求 x 的值．【例 72】设数列 { a n } 是等比数列，3m1，公比是14的睁开式的第二项．1C2m3 m2q( x2 )aΑ4x⑴用 n，x 表示通项a n与前n项和S n；⑵若 A C1 S C2S L C n S 用n ，x 表示 An n 1n 2n n n 16。
湘教版高中数学选择性必修第一册精品课件 第4章 计数原理 4.4 第1课时 二项式定理
令 6-2r=0,则 r=3,所以常数项为C63 ·33=540.故选 C.
1 2 3 4 5 6
2 7
4.(x- ) 的展开式中
x 的系数为( A )
A.-280
B.280
C.-210
D.210
解析
2 7
(x- ) 的二项展开式的通项为
两数之和,其中一个数是除数的倍数;(2)展开,将变形后的式子按二项式定
理展开;(3)判断,判断或证明展开式中各项均能被除数整除;(4)得出结论.
变式训练4
[2024甘肃白银高二期末](1)求415除以15的余数;
(2)证明:32n+3+72n-27(n∈N+)能被96整除.
2 7
(1)解 ∵4 =4×4 =4×(4 ) =4×167=4(15+1)7
(1)展开式共有(n+1)项;
(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n;
(3)字母a的幂指数按降幂排列,从第一项开始,次数由n逐项减1直到为0,字
母b的幂指数按升幂排列,从第一项开始,次数由0逐项加1直到为n.
2.二项展开式的通项的特点:(1)表示(a+b)n的展开式的第(r+1)项,该项的二
项式系数为 nr ;(2)字母b的次数与二项式系数的组合数的上标相同;(3)a
理求解.
变式训练1
(1)求(a+2b)4的展开式;
(2)化简:1+2C1 +4C2 +…+2nC .
解 (1)(a+2b)4=C40 a4+C41 a3(2b)+C42 a2(2b)2+C43 a(2b)3+C44 (2b)4
北师大版高中数学选择性必修第一册 第五章 4.1 二项式定理的推导
3.nk an-kbk 是展开式的第 k+1 项,该项的二项式系数是nk ,而不是nk+1 .
4.二项展开式的通项公式中b的指数和组合数的上标相同,a与b的指数之和
为n.
5.二项展开式的通项公式体现了二项展开式的项数、系数、a与b的指数
的变化规律,是二项式定理的核心,它在求展开式的某些特定项(如含指定
2 5-3
2 (k=0,1,2,…,10).
3
3
(1)二项展开式的第 4 项的二项式系数为C10
=120.
3
2
3 7
(2)二项展开式的第 4 项的系数为C10
3 =-77 760.
3
(3)二项展开式的第 4 项为 T4=T3+1=-77 760√.
反思感悟 1.二项式系数都是组合数 C (k∈{0,1,2,…,n}),它与二项展开式
√
√
√
3
4
1
1
12
1
3
4
2
C4 (3√) + C4 =81x +108x+54+ + 2 .
√
√
(方法二)
1
= 2 [C40
1 4
3 √ +
√
=
3+1 4
√
=
1
4
(1+3x)
2
+ C41 ·3x+C42 (3x)2+C43 (3x)3+C44 (3x)4]
1
1
12
=2 (1+12x+54x2+108x3+81x4)=2 + +54+108x+81x2.
高中数学 二项式定理
高中数学二项式定理二项式定理是数学中最重要的定理之一，它帮助我们理解多项式的乘积的意义，并能有效地解决多个公式的问题。
本文将详细论述二项式定理的定义、证明、应用以及其他有关的知识。
二项式定理的定义首先，要熟悉二项式定理的定义，要在掌握一个正确的定义前，了解一些术语的含义，这些术语如下所示：n是一个正整数，(a+b)^n 是指a和b的乘积。
二项式定理可以定义为：当n为非负整数时，(a + b)^n = a^n + nC1*a^(n-1)*b + nC2*a^(n-2)*b^2 + + nCn-1*a*b^(n-1) + b^n 其中 nC1, nC2, nC3等，可以用来表示不同的组合概率，这些概率也可以用系数表示。
证明证明二项式定理，最常用的方法就是使用归纳法。
首先，让n=0，此时(a + b)^0 = a^0 + 0C1*a^(-1)*b +0C2*a^(-2)*b^2 + + 0C0*a*b^0 + b^0,据组合系数的定义，可以得出当n=0时，等式成立；再让n=1，此时(a + b)^1 = a^1 + 1C1*a^0*b + 1C2*a^(-1)*b^2 + + 1C1*a*b^1 + b^1,上式可分别把等号左右两边的项目分别累加，再根据组合系数的定义，可以得出当n=1时，等式也成立；以此类推，可以得出当n=2,3,4,…时，等式也成立。
由此可以得出当n为正整数时，(a + b)^n = a^n + nC1*a^(n-1)*b+ nC2*a^(n-2)*b^2 + + nCn-1*a*b^(n-1) + b^n立。
由于以上方法只证明了当n为正整数时，等式成立，要想证明当n为非负整数时，等式也成立，那就要用反证法。
假设当n为非负整数时，(a + b)^n a^n + nC1*a^(n-1)*b + nC2*a^(n-2)*b^2 + + nCn-1*a*b^(n-1) + b^n，这意味着当n=0,1,2,3,4,…时，等式都不成立，而前面已经证明了当n=0,1,2,3,4,…时，等式是成立的，因此，这个假设是不正确的，故该等式在n为非负整数的情况下也成立。
高中数学二项式定理知识点总结
高中数学二项式定理知识点总结1. 二项式定理的定义二项式定理是指对于任意实数a和b以及非负整数n，有如下公式成立：(a + b)^n = C(n, 0) * a^n * b^0 + C(n, 1) * a^(n-1) * b^1 + C(n, 2) * a^(n-2) * b^2 + … + C(n, n-1) * a * b^(n-1) + C(n, n) * a^0 * b^n其中，C(n, k)表示从n个元素中选择k个的组合数，也叫做二项系数。
公式中的每一项称为二项式展开式的项。
2. 二项式系数的计算二项系数C(n, k)的计算可以使用组合数公式表示，即：C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)其中，n!表示n的阶乘，即n! = n * (n-1) * (n-2) * … * 2 * 1。
我们可以通过简化计算以及利用性质来计算二项系数。
例如，根据性质C(n, k) = C(n, n-k)，我们可以利用对称性简化计算。
3. 二项式定理的应用3.1. 求幂和根的近似值通过二项式定理，我们可以近似地计算某些幂和根的值。
例如，对于一个实数x和一个很小的实数y，我们可以利用二项式定理近似计算 (x + y)^n 的值。
3.2. 求组合数组合数是二项式系数的另一种常见应用。
在组合数学中，我们常常需要计算从n个元素中选择k个的组合数。
例如，在概率论中，我们需要计算选择k个事件发生的可能性。
3.3. 求多项式系数二项式定理还可以用来计算多项式的系数。
例如，对于一个多项式的展开式，我们可以通过二项式定理将其展开并求得各项系数。
4. 二项式定理的证明二项式定理可以通过数学归纳法来证明。
首先，我们证明当n=1时定理成立。
然后，我们假设当n=k时定理成立，并证明当n=k+1时也成立。
根据这个逻辑推理，我们可以得出结论二项式定理对于所有非负整数n都成立。
5. 二项式定理的拓展在高等数学中，二项式定理还有一些拓展形式。
二项式定理课件 高二上学期数学北师大版(2019)选择性必修第一册
新知探究
根据上述规律，猜想 + 的展开式中会有哪些类型的项？
猜想 + 的展开式中各类型的项的系数分别是什么？
( + ) ＝ ( + )( + ) ⋯ ( + )个(＋)任取一个字母相乘得到
a与b的总个数为n
的个数为－
2
系数为 C3
(a
b)(a
b)(a b
)
0个a， 3个b， b3
3
系数为 C3
(a b)3 C30 a 3 C31a 2b C32 ab 2 C33b3
(a b)4 C40 a 4 C41a 3b C42 a 2b 2 C43ab3 C44b 4
(a b)3 (a b)(a b)(a b)
(a
a b)(
a b)
b)(
3个a， 0个b， a 3
0
系数为 C3
(a
a b)(a b
)
b)(
2个a， 1个b，a 2b
1
系数为 C3
(a
)
)(a b
b)(a b
1个a， 2个b，ab 2
0
1
2
新知探究
( + )( + )( + )
3
a b a b a b
a b a b a b
3
新知探究
2
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
新知探究
2
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
新知探究
追问2：你能推导 + 3 ， + 4 的展开式是如何得到的吗？
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二项式定理--1定理
一、 复习填空：
1. 在n=1,2,3,4时，研究(a+b)n 的展开式.
(a+b)1= ,
(a+b)2= ,
(a+b)3= ,
(a+b)4= .
2. 列出上述各展开式的系数：
3.这些系数中每一个可看作由它肩上的两个数字 得到.你能写出第五行的数字吗？(a+b)5= .
4.计算：0
4C = ，14C = ，24C = ，34C = ，44C = .用这些组合数表示(a+b)4的展
开式是：(a+b)4= .
二、定理：
(a+b) n = （n N ∈）,这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式右边的多项式叫做 (a+b) n 的 ，其中r
n C （r=0,1,2,……,n ）
叫做 ， 叫做二项展开式的通项，通项是指展开式的第 项，展开式共有 个项.
例题：1.展开4)x 1x (+； 2. 展开6)x
1x 2(-.
小结：求展开式中的指定项一般用通项公式，当指数n 不是很大时，也可用定理展开，
再找指定项.
3.计算：（1）（0.997）3 的近似值（精确到0.001）
（2）（1.002）6的近视值（精确到0.001）.
三 、课后检测
1.求（2a+3b ）6的展开式的第3项.
2.求（3b+2a ）6的展开式的第3项.
3.写出n 33)x 21
x (-的展开式的第r+1项.
4.求（x 3+2x ）7的展开式的第4项的二项式系数，并求第4项的系数.
5.用二项式定理展开：
（1）93)b a (+； （2）7)x 22x (
-.
6.化简：
（1）55)x 1()x 1(-++； （2）4212142121)x 3x 2()x
3x 2(----+。