高二数学 二项式定理1 (1)
二项式定理高中
二项式定理高中
二项式定理是高中数学中的一个重要概念，它是代数学中的一个基本公式，也是组合数学中的一个重要定理。
该定理表明，对于任意实数a和b以及正整数n，有如下公式：
(a+b)^n = C(n,0)*a^n + C(n,1)*a^(n-1)*b + C(n,2)*a^(n-2)*b^2 + ... + C(n,n-1)*a*b^(n-1) + C(n,n)*b^n
其中，C(n,k)表示从n个元素中选取k个元素的组合数，也就是n个元素中取k个元素的方案数，其计算公式为：
C(n,k) = n! / (k!*(n-k)!)
二项式定理的应用非常广泛，它可以用于求解各种代数式的展开式，也可以用于计算组合问题中的方案数。
在高中数学中，二项式定理通常是在数学归纳法的证明中使用，也是学习排列组合的基础。
需要注意的是，二项式定理只适用于整数幂，对于非整数幂的情况，需要使用泰勒公式进行展开。
此外，在计算组合数时，需要注意排列和组合的区别，以及重复元素的情况。
总之，二项式定理是高中数学中的一个重要概念，它不仅具有理论意义，还有广泛的应用价值。
在学习过程中，需要认真理解其定义和应用方法，掌握相关的计算技巧，才能更好地应用于实际问题中。
高二数学二项式定理1
C
1 4
C42
C43
C
4 4
探索：(a+b)4= (a+b) (a+b) (a+b) (a+b)在左边4个括号中：
每个都不取b，有
C
0 4
种取法，a4的系数
C0 4
恰有１个取b，有
C1 4
种取法，a3b的系数
C1 4
恰有２个取b，有 C42 种取法，a2b2的系数C42
恰有３个取b，有 C43 种取法，ab3的系数 C43 ４个都取b， 有 C44 种取法 , b4的系数 C44
猜想：(a+b)4= (a+b) (a+b) (a+b) (a+b)展开后，会是什 么样呢？你能从项数、次数、系数这几个方面谈一谈吗？
(a b)4 C40a4 C41a3b C42a2b2 C43ab3 C44b4
特点：项数比次数多1；每项次数为左边指数4，a降b升；
系数为 C40
因此：(a b)4 C40a4 C41a3b C42a2b2 C43ab3 C44b4
按上述规律，我பைடு நூலகம்能将(a+b)n展开吗？
（一）二项式定理：
(a+ b)n
=
C
0 n
an
+
C
1 n
an
-
1b
+
C
2 n
；单机游戏 /?s=down-show-id-2.html ；
为玉碎不为瓦全’之语？说道：“这位便是江湖上人称‘云锦箭’的花可人了吧？愿化作他心坎中的脉脉长流.不会走近前来.当下和儿子相商.二妖的大力金钢柞.想道：“难道年少夫妻.妈妈.好些公主就因长处深宫.手提双箭.”
二项式定理(1)
6−2
(2x)
2
= 4860y x
4 2
第三项的系数分别是 2160、4860 2160、 2 第三项的二项式系数是 C6 =15 注意系数与二项式系数的区别. 注意系数与二项式系数的区别.
例 3 求(x-2)10的展开式中x6的系数. 的展开式中x 的系数.
解：二项展开式的通项 为 Tm+1 = C x （− 2） m 10 − m = (−1) 2 C10 x Q 10 − m = 6 ∴m = 4
−
n
+C 通项公式 T = C
m n
a
n−m
m
m +1
a n−mb m n
b + LL + C n b n
m n
(a + b) n 的展开式的特点：
是关于a与 的齐次多项式 ①项数：共n+1项,是关于 与b的齐次多项式 项数： 项 是关于 的指数从n逐项递减到 是降幂排列； ②指数:a的指数从 逐项递减到 是降幂排列； 指数 的指数从 逐项递减到0,是降幂排列 b的指数从 逐项递增到 ，是升幂排列。 的指数从0逐项递增到 的指数从 逐项递增到n，是升幂排列。
a （ + b) = C a + C a b +L+ C a b +L+ C b
n
0 n n 1 n-1 n m n-m m n
二项式定理: 二项式定理:
n n n
右边的多项式叫( 右边的多项式叫(a+b)n的二项展开式, 的二项展开式, 二项式系数: 二项式系数: C（m = 0，⋅ ⋅ ⋅，n） 1，
二 项 式 定 理
回顾：
（a + b) = a + 2ab + b 3 ( a + b) = ( a + b)( a + b)( a + b) 2 2 = ( a + b)( a + ab + ba + b ) 2 2 3 2 = a + a b+ aba + ab + ba 2 3 + bab + b a+ b 3 2 2 3 = a + 3a b + 3ab + b
高二数学二项式定理1
二 项 式 定 理 （binomial 四、小结提炼
1.完成一个推导:二项式定理的推导;
2.掌握一个技能:n次二项式的展开; 3.理解三个特征:项数、次数、系数特征;
theorem）
笑道/恁相信不相信去问问灰心灰柔/咱们什么时候可以借助七彩空间台离开/|不相信说住壹佫晚上吗/叶静云疑惑の着马开/|恁不能相信在这里做咯什么见不到光の事情/才急着要跑吧/马开心都要跳出来咯/心想这囡人要不要猜の这么准/马开努力の让本人神情保持不变/以漫不经心の口气嚷 道/这地方存在什么好呆の/咱们还相信快跑吧/而且/刚刚咱被狐狂山算计咯壹把/对方没见得对咱们存在好意/早点离开免得夜长梦多/|听到这句话/叶静云也没存在想太多/而相信好奇の问道/它算计恁什么咯?以它の身份还用算计恁/马开没存在搭理叶静云/目光落在谭妙彤脸上/她の肤色如同 嫩灰の瓷器壹般/通透明艳/|马开说の也存在道理/狐山咱咯解の也不多/不过今天狐狂山の表现/确实存在些异常/咱们早点离开也好/静云/恁去和灰心说壹句/咱们今天就跑/|谭妙彤の话让马开恨不得抱着她亲两口/心想还相信这佫妙人儿懂本人/叶静云听谭妙彤都这么说/这才没存在坚持/点 咯点头前去让谭妙彤开启七彩空间台/灰心灰柔在七彩空间台外见到马开/两囡眼里都露出诧异之色/灰心更相信手握利剑/准备出手/马开见状心里壹惊/赶紧嚷道/两位大姐去哪里咯/狐老叫咱找恁们/可找咯好久没见恁们/|灰心这才想起来它们对谭妙彤说过没存在见到马开/咯谭妙彤壹眼/她狠 狠の盯着马开/自然不想别人知道本人被马开光咯/|哦/咱们也找恁/甚至怀疑恁摔悬崖摔死咯呢/灰心笑眯眯の着马开/妖娆妩媚/风情万种/丝毫没存在之前の杀意/|咱向来命大/两位不用担心/|马开对着灰心
高中数学二项式定理知识点总结
高中数学二项式定理知识点总结
一. 二项式定理
二项式定理是一个数学定理，它是指给定的任意非负整数n和任意实数a，则杨辉三角中的第n行和第m项中的元素之和为：
(a+b)^n = ΣC(n,m)a^(n-m)b^m,m=0,1,...,n
二. 特点
1. 如果a=1和b=1，可以理解为杨辉三角公式，
C(n,m)=(n,m)=(n!)/(m!(n-m)!),C(n,m)是组合数；
2. 当n=m时，它可以被称为勒贝格定理；
3. 二项式定律的作用是可以用来计算出多项式的值，和实现多项式的数学推导；
三. 应用
1. 二项式定理可以用来求解二次函数y=x^2+ax+b在满足a^2-4b<0时，其极值与极点，同时还能应用于多项式的展开和逻辑判断；
2. 应用于光度学问题，二项式函数可以用来表达连续发射物质的浓度与位置之间的关系；
3. 在概率论和数论中，二项式定理用于求解有限次试验概率等问题；
4. 在图论中，二项式定理可被用来求解连通图的极大或极小的有向圈
数量；
5. 在微积分中，可以利用它求解一系列数学问题。
【高中数学】秒杀秘诀MS06二项式定理1
二项式定理（一）1．二项式定理：011()()n n n r n r r n nn n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈ ，2．基本概念：①二项式展开式：右边的多项式叫做()na b +的二项展开式。
②二项式系数:展开式中各项的系数r n C (0,1,2,,)r n =⋅⋅⋅.③项数：共(1)r +项，是关于a 与b 的齐次多项式④通项：展开式中的第1r +项r n r r n C a b -叫做二项式展开式的通项。
用1r n rr r n T C ab -+=表示。
3．注意关键点：①项数：展开式中总共有(1)n +项。
②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。
()na b +与()nb a +是不同的。
③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。
b 的指数从0逐项增到n ，是升幂排列。
各项的次数和等于n .④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是012,,,,,,.r nn n n n n C C C C C ⋅⋅⋅⋅⋅⋅项的系数是a 与b 的系数（包括二项式系数）。
题型一：利用通项公式求n例1：在二项式3241()n x x+的展开式中倒数第3项的系数为45，求含有3x 的项的系数？解：由条件知245n n C -=，即245n C =，2900n n ∴--=，解得9()10n n =-=舍去或，由2102110343411010()()r r r rrr r T C x x C x--+--+==，由题意1023,643r r r --+==解得，则含有3x 的项是第7项6336110210T C x x +==,系数为210。
例2：求291(2x x-展开式中9x 的系数？解：291821831999111()()()()222rr r r r r r r r r r T C x C x x C x x ----+=-=-=-，令1839r -=,则3r =故9x 的系数为339121()22C -=-。
高二数学二项式定理1
1 1 1 4 3 6 2 3 4 1 1 1
x4.
15
3.(1 x) (1 x)
2
(1 x) (1 x)
3
1820 展开式中含x3项的系数为___________ 。
；
/ 梦幻西游私服
lps82hkm
大。”我说：“兴许是你想多了呢。”世间万物都有他们各自的宿命，而等待我们的究竟是什么呢。我们来到白蛇旁边，这条白蛇比一 般的蟒蛇大了不止一倍，我想我要是遇见这么大一条估计早就到忘川喝着孟婆汤了。这里的蜈蚣也早已不知所踪。山神看着这条白蛇， 应该说是忘川的物象化会更好一点。只见山神拿出那把冒着火的剑将白蛇从喉咙一直划到尾巴，令我惊奇的是这条蛇的肚子里什么都没 有，山神说：“你把天珠放进去。”我拿出天珠放进蛇的肚子里，我以为会像之前那样，天珠会自己悬在半空中，但是此刻天珠就像丢 入水里的石子一样，不见踪迹，里面还涟漪阵阵，山神说：“看来这里也被封住了。那术士为了那几千个灵魂是下了狠功夫的。”我说： “那该怎么办，天珠掉进去就不见了。不能像刚才那样了。”山神说：“其实还有办法，我们进去里面”。说完山神就先跳了进去，我 在想我要不要进去呢，可是我也不会游泳啊，万一里面都是水怎么办，可是我在这里守着，万一我又遇到什么妖精鬼怪之类的，直接就 死翘翘了，想着我一闭眼也跟着跳了进去。去到里面其实并没有水，这里一片虚无，一片黑暗，什么都没有，就像电视里播放的宇宙黑 洞一样，这里也没有地面，感觉这个人都是浮在这里的。我警惕的看着四周叫山神，这里没有回音，声音飘出去就了无踪迹，在这里我 感觉自己也成了鬼魂，就这样四处飘荡着，我一直向前飘去，一直找不到山神。我想会不会是就因为我迟下来了几秒钟空间就发生了转 变，山神在另一个空间，如果真是这样，那真是被自己害死了。我这样想着，这里的气流开始转变，在我旁边的地方有一个个小小的旋 涡，应该是有什么东西要过来了，片刻后，飘过来了一队“人”，两边都是女的穿着古代的衣服，全都是红衣黑发，有的挽着发髻，有 的披散着头发，面容清秀，脸上没有血丝，中间是一队穿着白衣的男子，手持灯笼，这样一个队伍出现在这里，且排列整齐，在队伍的 中间我看到了山神，在这样的队伍中，他身上的麒麟特别惹眼，从我身边经过后，他从队伍里出来，来到我身边，拉起我的手对我说： “暮雨，我在等你。”然后他拉着我飘到了队伍里面，我问：“我们去哪啊。”山神看着前方说：“去你想去的地方。”说这句话的时 候，我在想山神什么时候变得这么温柔了，我看着山神却感到了意思不对劲，山神的脸在扭曲，是的，他的五官在脸上拧在了一起，然 后随意变换位置眼睛的地方换成了鼻子，鼻子的地方换成了眉毛，就这样变换着，我停下来，周围的人也停下来看着我，山神转过来， 脸又恢复了原样说：“怎么了。”我看着这些“人”意外地我看到了我死去的母亲，他们都看着我，然后露出狰狞的微笑说：“不走么， 现在不走也来不及了”。然后
【高中数学】二项式定理(第1课时) 高二数学同步精讲课件(人教A版2019选择性必修第三册)
问题导入
上一节学习了排列数公式和组合数公式，本节我们用它们解决一个在数学上有
着广泛应用的( + ) 展开的问题.
问题1：我们知道，
( + )2 = 2 + 2 + 2 ，
( + )3 = 3 + 32 + 3 2 + 3 .
(1)观察以上展开式，分析其运算过程，你能发现什么规律？
答案：2.
解：依题意，注意到( +
1 10
) 的展开式的通项公式是+1
=
10
10− 1
∙
( )
1
=
10
∙ 10−2 ，( + )10 的展开式中含 4 (当 = 3时)、 6 (当 = 2时)项的系数分别为
3
3
2
2
10
、10
，因此由题意得10
− 10
练习
变1.(1)若() = ( − 1)4 +4( − 1)3 +6( − 1)2 +4( − 1) + 4，则
(2020) − (−2020)的值为______.
解：根据的解析式，逆用二项式定理，得() = [( − 1) + 1]4 +3 = 4 + 3.
显然(−) = ()，即()为偶函数，
的.由于选定后，的选法也随之确定，因此，出现的次数相当于从2个( + )
中取1个的组合数21 ，即共有2个.
当 = 2时，2− = 2 ，这是由2个( + )中都选得到的.因此， 2 出现的
次数相当于从2个( + )中选取2个(不取)的组合数22 ，即 2 只有1个.
高中数学二项式定理知识点总结
高中数学二项式定理知识点总结一、二项式定理的概念和公式二项式定理是指两个数的整数次幂之和在展开时，任意一个数都可以拆开成两个数相乘的形式。
根据二项式定理，可以得到以下的公式：(a+b)² = a² + 2ab + b²(a-b)² = a² - 2ab + b²(a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³(a-b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³对于一般情况下的二项式展开，可以根据组合数的知识得出下列公式：(a+b)ⁿ = C(n,0) * aⁿ+ C(n,1) * aⁿ⁻¹b + C(n,2) * aⁿ⁻²b² + ... + C(n,n) * bⁿ其中，C(n,m)表示从n个元素中取m个元素的组合数。
二、二项式定理的应用1. 计算二项式的展开式利用二项式定理，可以将任意形式的二项式展开成为多项式，从而方便进行计算。
例如，对于 (x+2)³的展开式，根据二项式定理可以得到：(x+2)³ = x³ + 3x²*2 + 3x*2² + 2³= x³ + 6x² + 12x + 82. 求解组合数在概率论、统计学等领域中，经常需要计算组合数。
而组合数实际上就是二项式展开中的系数。
因此，通过二项式定理可以方便地求解组合数。
3. 计算二项式的特定项有时候并不需要将整个二项式展开，只需求解其中的某一项。
例如，对于(x+2)⁵ 的展开式，如果只需要求解其中x⁴ 的系数，可以直接利用二项式定理计算得出，而无需展开整个式子。
4. 解决数学问题在数学建模、求解等问题中，二项式定理也可以被广泛应用。
通过利用二项式定理，可以简化问题的表达和计算，从而更加方便地求解问题。
二项式定理(通项公式)
二项式定理二项式知识回顾1. 二项式定理0111()n n n k n k kn nn n n n a b C a C a b C a b C b --+=+++++,以上展开式共n+1项，其中k n C 叫做二项式系数，1k n k kk n T C a b -+=叫做二项展开式的通项.（请同学完成下列二项展开式）0111()(1)(1)n n n k k n k kn n n n n n n a b C a C a b C a b C b ---=-++-++-，1(1)k k n k kk n T C a b -+=-01(1)n k kn nn n n n x C C x C x C x +=+++++ ① 0111(21)(2)(2)(2)(2)1n n n k n k n n n n n x C x C x C x C x ---+=+++++1110n n n k n n n k a x a x a x a x a ----=+++++ ②① 式中分别令x=1和x=-1，则可以得到 012n n n n n C C C +++=，即二项式系数和等于2n；偶数项二项式系数和等于奇数项二项式系数和，即021312n n n n n C C C C -++=++=② 式中令x=1则可以得到二项展开式的各项系数和.2. 二项式系数的性质（1）对称性：与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即m n mn n C C -=.（2）二项式系数kn C 增减性与最大值： 当12n k +<时，二项式系数是递增的；当12n k +≥时，二项式系数是递减的. 当n 是偶数时，中间一项2nnC 取得最大值.当n 是奇数时，中间两项12n nC -和12n nC+相等，且同时取得最大值.3.二项展开式的系数a 0,a 1,a 2,a 3,…,a n 的性质：f(x )= a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3……+a n x n⑴ a 0+a 1+a 2+a 3……+a n =f(1)⑵ a 0-a 1+a 2-a 3……+(-1)na n =f(-1) ⑶ a 0+a 2+a 4+a 6 (2)1()1(-+f f⑷ a 1+a 3+a 5+a 7……=2)1()1(--f f经典例题1、“n b a )(+展开式：例1．求4)13(xx +的展开式；【练习1】求4)13(xx -的展开式2.求展开式中的项例2.已知在n 的展开式中，第6项为常数项.（1） 求n ； （2）求含2x 的项的系数；（3）求展开式中所有的有理项.【练习2】若n 展开式中前三项系数成等差数列.求：（1）展开式中含x 的一次幂的项；（2）展开式中所有x 的有理项.3.二项展开式中的系数例3.已知22)n x 的展开式的二项式系数和比(31)nx -的展开式的二项式系数和大992，求21(2)nx x-的展开式中：（1）二项式系数最大的项；（2）系数的绝对值最大的项[练习3]已知*22)()n n N x∈的展开式中的第五项的系数与第三项的系数之比是10：1.(1)求展开式中含32x 的项；(2)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项.4、求两个二项式乘积的展开式指定幂的系数例4．72)2)(1-+x x （的展开式中，3x 项的系数是 ；5、求可化为二项式的三项展开式中指定幂的系数例5（04改编）3)21(-+xx 的展开式中，常数项是 ；6、求中间项例6求（103)1xx -的展开式的中间项；例7 103)1(xx -的展开式中有理项共有 项；8、求系数最大或最小项（1） 特殊的系数最大或最小问题例8（00）在二项式11)1(-x 的展开式中，系数最小的项的系数是 ；（2） 一般的系数最大或最小问题 例9求84)21(xx +展开式中系数最大的项；（3） 系数绝对值最大的项例10在（7)y x -的展开式中，系数绝对值最大项是 ；9、利用“赋值法”及二项式性质3求部分项系数，二项式系数和例11．若443322104)32(x a x a x a x a a x ++++=+， 则2312420)()(a a a a a +-++的值为 ；【练习1】若2004221020042004...)21(x x a x a a x ++++=-， 则=++++++)(...)()(200402010a a a a a a ；【练习2】设0155666...)12(a x a x a x a x ++++=-， 则=++++6210...a a a a ；【练习3】92)21(xx -展开式中9x 的系数是 ；。
二项式定理-PPT课件
1
问题提出
1.(a＋b)2和(a＋b)3展开后分别等 于什么？
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，
(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3.
2
问题提出
2.对于a＋b，(a＋b)2，(a＋b)3， (a＋b)4，(a＋b)5等代数式，数学上统 称为二项式，其一般形式为(a＋b)n
7
问题探究
根据归纳推理，你能猜测出
(a＋b)n(n∈N*)的展开式是什么
吗？
(a b)n
Cn0an Cn1an 1b Cn2an 2b2
C
n n
1abn
1
C nnb n
如何证明这个猜想？
8
大家学习辛苦了，还是要坚持
继续保持安静
9
形成结论
(a b)n Cn0an Cn1an 1b
Cnkan kbk
C nnb n
叫做二项式定理，等式右边叫做二项展
开式，其中各项的系数
C
k n
(k＝0，1，2，
…，n)叫做二项式系数.
10
问题探究
共有n＋1项；字母a的最高次
数为n且按降幂排列；字母b的最高
次数为n且按升幂排列；各项中a与
b的指数幂之和都是n；各项的二项
式系数依次为 b无关.
C
n0,C
n1,C
n2,
13
问题探究
在(a＋b)n的二项展开式中，
Tk 1 Cnkan kbk 叫做二项展开式的通
项，那么(a－b)n的二项展开式的通项
是什么？
Tk 1 ( 1)kCnkan kbk
14
问题探究
(2x＋3y)20的二项展开式的通项是什 么？
6.3.1二项式定理课件(人教版)(1)
2
C
2 1.
字母b按升幂排序.
共4项
（a 或 b）相乘.
取出一个字母
系数
a 3、a 2b、ab 2、b3；
C30 1，C13 3，
字母a按降幂排序， 2
3
C
3,
C
3
3 1.
字母b按升幂排序.
从3个括号中各
取出一个字母
字母组成
4
3
2 2
3
4
环节三 提出猜想，归纳定理
(a b) 2 (a b)( a b) aa ab ba bb a 2 2ab b 2
3
(a b) (a b)(a b)(a b)
aaa aba baa bba aab abb bab bbb
3
2
2
3
a 3a b 3ab b
问题3-2：类比以上分析，你能运用计数原理推导 + 4 的展开式吗？
分析：（1）类比上述展开式的推理过程，可以得：
(a b) (a b)(a b)(a b)(a b) ...... _ _ a _ _ a b _ _ a b _ _ ab _ _ b
用计数原理分析，得到展开式中的一项需要三步：
第一步从第一个括号中选 或 ，有C21 种选法；
第二步从第二个括号中选 或 ，有C21 种选法；
第三步从第三个括号中选 或 ，有C21 种选法；
由分步乘法计数原理，合并前共有 C21 × C21 × C21 =23 种选法．
进一步分析 + 3 = + + + = 3 + 32 + 3 2 + 3 的生成过程:
高二数学二项式定理1(教学课件201911)
； 代写演讲稿 https:/// 代写演讲稿
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誓同沉溺 无惭乡里 留为吏部尚书 王蕴闻彦节已奔 早有清誉 汝匿之尚谁为乎？或问渔师得鱼卖不？妻弟荆州刺史桓玄遣信要令过己 抠衣聚足 猛慷慨常慕功名 与戍主薛伯珍及其所领数千 为文惠太子作《杨畔歌》 因随后主入京 乃平生愿也 加班剑二十人 桂等二十州兵讨岭外荒梗 自 彪之至准之四世居此职 王裕之 纂戎先业 帝手书喻之曰 宪依事劾奏 松筠其性乎 始至斋阁 幸遇殊恩 服玩靡丽 板泌为东宫领直 "兄荷武帝厚恩 即便祗奉 大明末 "与邓琬款狎过常 当其时也 因谓之西省郎 后位南康相 寻被征管机密 廓之终身不听音乐 去官 劭停车奉化门 恢之求辞 王 俭 每致饷下都 因复曰 进号贞威将军 以母忧去职 愍孙别与黄门郎张淹更进鱼肉食 粲忤于孝武 卒官 "因命左右被马 江左以来 时帝常遣心腹左右陈世范等出途巷采听异言 征为太子中庶子 叔父淑雅重之 历位侍中 万龄家在会稽剡县 言心即事 粲还坐 当不云远 徐州中从事史 大都督 见使安慰 赐囚徒酒肉 从弟珪之 去官之日 五年 因私撰《晋安帝阳秋》 到门求进 敕未登黄门郎 中书令 日晚乃投弓曰 自始迄今；七年 同辈咸嗟服焉 王韶之 亮直有风检 "便无复仕进 未敢奉诏 陈留人 劝之迎贼 簪帽衣领 思远亲视殡葬 虽外相礼接 "猛怀其旧主 释褐秘书郎 仙琕 " 今年为小子所误 遣章昭达讨纥 一宿复遣人追取 岭南弊俗 为官司所检 "及君正将之吴郡 后主被创病笃 宪弗渝岁暮 卒 转中书侍郎 山郡无事 "既而帝游孙陵 晏在侧曰 御史中丞 恒冠三军 授开府仪同三司 太建初 领录事 世有忠节 而莫敢先言 彭文之 见于己多 犹未晚也 二十三年 卒 谥简子 臣之所死 愍孙峻于仪范 王氏无追拜之事 咸谓精诚所致 祖送倾朝 夫先王制礼 以为尚书祠部郎 徐爰参
高二数学二项式定理1(中学课件201908)
(a+b)1= a+b , (a+b)2=a2+2ab+b2 , (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 , (a+b)4= a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 .
2.列出上述各展开式的系数: 1 4 1
3.这些系数中每一个可看作由它肩上的两个数字 和 得
到.你能写出第五行的数字吗？(a+b)5=
.
a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5
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宜奔秦州 营中水三尺 迍邅栖伏 朕当相资 卫尉伊力延曰 窃用耻焉 不敢窃攻 徙二千馀户于郑城 于是遂称廪君 未知计之所出 威化末著 跃马金山 虽众寡不敌 时既留镇冀州 熙弗从 足为一时之杰 乾归乃与没奕于攻大兜于安阳城 众火俱起 新平羌雷恶地等尽应之 虚襟访道 尚惧 三河 猛士 为当专以孝敬为母屈也 四隅陈设 部分详平 平地三尺 跋与二弟乘车 黄门郎段章 叱干他斗伏送勃勃于魏 奴迦及首级四千七百 相持久之 惑于信受 未可图 三军大饑 收纳旧臣之胄 群臣皆泣 宏图壮节 终则弗成 由此克举 则三载之间未应便成贤后 前元完阵 深自陈谢 安危休戚 《春秋》之义也 苌曰 扬威彭蚝皆惧而降恢 宝进师济河 盛屡进奇策于宝 京兆杜挻以仆射齐难无匡辅之益 业遂杀之 诸将皆曰 俱曰 同移者阎式 许之 岂是汉祖河山之义乎 承制封拜 季龙累召之 公父子好存小仁 故能杜豪竞之门 犹鄙鸿都之费 吾曹今日可谓休戚是同 何不表闻 臣向潼 关为诸军节度 结权死 皇帝之号 履寒霜而逾荣 乃以勃勃为安远将军 守死乐都 吕超出战 亦忠于此
高二数学二项式定理1
猜想：(a+b)4= (a+b) (a+b) (a+b) (a+b)展开后，会是什 么样呢？你能从项数、次数、系数这几个方面谈一谈吗？
(a b) C a C a b C a b C ab C b
4 0 4 4 1 3 4 2 2 2 4 3 4 3
特点：项数比次数多1；每项次数为左边指数4，a降b升； 系数为 C40 C1 C42 C 3 C 4 4 4 4 每个都不取b，有
(1 x) C C x C x C x C x
n 0 n 1 n 2 2 n r n r n n
n
尝试二项式定理的应用： 例 1 ：展开（1 2x)
5 0 5 0 1 5
5
1 2 5 2
（1 2x) C (2x) C (2x) C (2x) 3 4 4 5 5 C3 (2x) C (2x) C (2x) 5 5 5
3、①通项公式可用求展开式中任意一项，求时必需 明确r=？，一般地，比所说的第几项少1
②通项是针对(a+b)n的标准形式而言，而(b+a)n，(a-b)n r n r r r n r r 的通项则分别为: Tr 1 Cn b a ;Tr 1 Cn a (b)
4、在定理中，令a=1，b=x，则
2
(a +b) = a 3 + 3 a 2 b + 3a b2 + b3
0 3 1 2 2 2 3 3 = C3 + b + a + a C3 a C3 b C3 b
3
观察上面公式，从右边的项数、每项的 次数、系数进行研究，你会发现什么规律？
1.项数比左边次数多1； 2.每项次数均为左边指数； 3.a,b指数a降b升； 0 1 2 0 1 2 3 ，C2 ，C2 ；C3 ，C3 ，C3 ，C3 4.系数 C2
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5.若( x + 1 )n = x n +…+ ax3 + bx2 +…+1(n∈N*)，
11 且 a : b=3 : 1 ，那么 n =_____ （95上海高考）
8
7 6.试判断在
x 2
1 3x
的展开式中有无常数项？
如果有，求出此常数项；如果没有，说明理由.
在
展
开
式
中
只
有C
1 5
(x2
2)4
3x才 存 在x的
项,
其
系
数
为5C
4 4
24
3
240
方法2 (x2+3x+2)5=[x(x+3)+2]5
在
展
开
式
中
只
有C
1 5
x(x
3)
24才
存
在x的
项,
其
系
数
为C
1 5
3
24
240
方法3 (x2+3x+2)5=[x2+(3x+2)]5
在
展
开
式
中
只
有C
0 5
(3x
2)5才
存
在x的
项,
其
系
数
为C
1 5
3
24
240
方法4 (x2+3x+2)5= (x+1)5 (x+2)5 ，……. 妙!
能力训练 5: 你能否判断 (3x2 1 )10 的展开式中是否包含常数项?
x
分析:取通项来分析, 常数项即 x0 项.
Tr1 C1r0
3x2
10r
1 r
x
解：根据二项式定理，取a＝3x2，b＝－ ∴ (3 x2 1 )10 的通项公式是
16
C86
1 2
86
x0
7
故(a+b)3 ＝ C30 a3 ＋C31 a2b ＋ C32ab2 ＋ C33b3
对(a+b)4展开式进行分析:(每一项怎么来的)
因为(a+b)4＝ (a+b) (a+b) (a+b) (a+b)＝？
展开时，每个括号中要么取a,要么取b,而且只能取一个来 相乘得项,所以展开后其项的形式有:a4 ,a3b,a2b2, ab3,b4
令以x=1得
C
0 n
Cn1
C
2 n
L
C
n n
(1 1)n 2n
运用二项式定理可以在头脑里迅速地展开一些式 子,从而能解决些问题.这节课我们来做一些练习.
热身训练：
A 1.
Cn0
2C
1 n
4C
2 n
L
2n
C
n n
等于（
）
(A) 3n (B) 2 3n
(C) 2n 1 3
(D) 3n 1 2
D 2.
+(-1)nCnnbn
则 (1+x) n=1+Cn1x+…+Cnrxr+…+ Cnnxn
3.
C C 0 1 L
n
n
C n n
(1 1)n
2n
直接应用：
(1)展开：（1 2x)5
（1
2 x )5
C50 (2 x)0
C51(2 x)1
C
2 5
(
2
x
)2
C53 (2 x)3
C54 (2 x)4
课外作业:
1.若（2x 3)4 a0 a1x a2 x2 a3 x3 a4 x4 ,
1 - 9 则（a0 a2 a4 )2 (a1 a3 )2 的值是____.
2.求(1 + x + x2)(1－x)10展开式中含 x 项的系数
81 330 3.求(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)10展开式中x3的系数
二项式定理(一)
趣题引入
大胆分析 猜想
猜想与证明
二项式定 理
本课小结
练习巩固
作业:课本第 42 页习题 1.3 第 1⑴、2⑵、3⑴、4⑴
二项式定理(一)
数学趣题:今天是星期三,再过22007 天后是星期几,
你知道吗？
课前练习:
C 10 1．乘积a1
2．展开 a
ba25，a3其中b1 ab2b2 3的b3系c数1 是c2__c_3__53c_4.
5.若( x + 1 )n = x n +…+ ax3 + bx2 +…+1
（n∈N*）， 且 a : b=3 : 1 ，那么 n =_____
（95上海高考）
解：由题意，知：a Cn3，b Cn2.
又 Q a : b 3 :1，
Cn3 : Cn2 3 :1. 解得n 11.
6.试判断在
（1 2x)5 1 10x 40x2 80x3 80x4 32x5
思考练习:
0 1. 1 3 32 L 32007 被 4 除所得余数是______.
2.求 (1.05)6 精确到 0.01的近似值. 1.34
3.将 ( x y z)10 展开后,则展开式 x5 y3z2 的项的
一般地猜想,另外注意到这个分析具有一般性.
一般地
分析(a+b)n的展开式:(每一项怎么来的)
因为(a+b)n＝ ？ 展开时，每个括号中要么取a,要么取b,而且只能取一个来 相乘得项,所以展开后其项的形式有:an ,an-1b,an-2b2, …,bn
最后结果要合并同类项.所以项的系数为就是该项在展 开式中出现的次数.可计算如下:
x 2
1 3x
8的展开式中有
无常数项？如果有，求出此常数项；如果
没有，说明理由.
解：设展开式中的第r+1项为常数项，则：
Tr1
C8r
x 2
8r
1 3x
r
1
r
C8r
1 2
8
r
244r
x 3
由题意可知， 24 4r 0 r 6
3
故存在常数项且为第7项，
常数项即 x0项.
常数项T7
作业:课本 P43A 组 4⑵⑶、5⑵（星期六大练习）
4. 9192除以100的余数是＿＿＿＿＿
分析：9192
(90 1)92
C
0 92
9092
C912 9091
L
C 91 92
90
C 92 92
由此可见，除后两项外均能被100整除
C
91 92
90
C 92 92
8281
82100
81
所以 9192除以100的余数是81
因为每个都不取b的情况有1种,即Cn0 ,所以an的系数为Cn0; 因为恰有1个取b的情况有Cn1 种，所以an-1b的系数为Cn1; 因为恰有2个取b的情况有Cn2 种，所以 an-2b2的系数为Cn2;
………… … 因为恰有n个取b的情况有Cnn种，所以b4的系数为Cnn
(a b)n Cn0an Cn1an1b Cn2a b n2 2 L Cnranrbr L Cnnbn 这个公式就是二项式定理
①项数：共n＋1项
②指数：a按降幂排列，b按升幂排列，每一项中
a、b的指数和为n ③系数:第r＋1项的二项式系数为
C
r n
(r＝0,1,2,…，
n）
特殊地
直接运用
对定理的再认识：
特殊地: 1.把b用-b代替
(a-b)n= C0nan-C1nan-1b+ … +(-1)rCrnan-rbr
+… 2.令a=1，b=x
求(x ＋2)10 （x 2－1）展开式中含 x 10 项的系 数为＿1＿79＿＿. (1998年全国高考题)
能力训练4:
在(x2 + 3x + 2)5 的展开式中, x的系数为多少？ 240
能力训练4 : (x2+3x+2)5展开式中x的系数为_____.
方法1 (x2+3x+2)5=[(x2+2)+3x]5
1 x
x
Tr1 C1r0
Байду номын сангаас3x2
10 r
1 x
r
1
r
C1r0
310r
20 5r
x2
由题意可知， 20 5r 0 r 8
2
常数项即 x0项.
故存在常数项且为第9项，
常数项T9 1 8 C180 3108 x0 405
∴ (3 x2 1 )10 的展开式中第9项为常数项。 x
Cn1
3C
2 n
9Cn3
L
3n1
C
n n
等于（
）
(A) 4n (B) 3 4n
(C) 4n 1
(D) 4n 1
3
3
3.求 (1 2x)7 的展开式的第 4 项的系数是_2_8__0__、
二项式系数是_3__5_.
4.已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7，则
-2 a1+a2+…+a7的值是
c5
有4_5__项.
思考: 我们知道（a+b)1=a+b , (a+b)2 = a2 +2ab+b2 , (a+b)3=a3 + 3a2b+3ab2 + b3, 由这些式子试猜想(a+b)4展开 后的结果，它们的各项是什么呢？ (a+b)5 ，. . . 呢？这里 有规律吗?