力学习题非惯性系含答案

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解答非惯性参考系内动力学问题的三种思路

解答非惯性参考系内动力学问题的三种思路作者：***来源：《中学教学参考·理科版》2021年第11期[摘要]解答非惯性参考系内的动力学问题，既可以重选惯性参考系，又可以根据等效原理把非惯性参考系转换为惯性参考系，还可以对物体添加平衡力使物体的不平衡状态转换为其他的不平衡状态，甚至平衡状态，再分别进行解答。

[关键词]非惯性参考系;参考系转换法;运动状态转换法[中图分类号] G633.7 [文献标识码] A [文章编号] 1674-6058（2021）32-0054-03当我们站在电梯中随电梯匀速上升或者匀速下降时，感觉和人静止站立在地面上时一样，此时支持力等于重力，合外力等于零，人相对电梯的加速度也等于零，符合“合外力等于物体质量与物体加速度相乘”的牛顿第二定律，电梯是惯性参考系。

当我们站在电梯中随电梯开始上升或者开始下降时，随电梯即将停止上升或者即将停止下降时，感觉和人静止站立在地面上时不一样，此时人“超重”或“失重”，支持力大于或小于重力，合外力不等于零，而人相对于电梯的加速度却等于零，不符合“合外力等于物体质量与物体加速度相乘”的牛顿第二定律，电梯是非惯性参考系。

参考系是惯性参考系还是非惯性参考系，是用牛顿第二定律解答动力学问题之前需要弄清楚的问题，否则就可能会判断错误。

下面结合例题进行分析探讨。

题目：（2015年高考物理海南卷第9题）如图1所示，升降机内有一固定斜面，斜面上放一物块，开始时升降机做匀速运动，物块相对斜面匀速下滑。

当升降机加速上升时（）。

A.物块与斜面间的摩擦力减小B.物块与斜面间的正压力增大C.物块相对于斜面减速下滑D.物块相对于斜面匀速下滑分析：该题中升降机开始时做匀速向上的运动，升降机和斜面对在斜面上运动的物块来说是惯性参考系，物块的运动符合“合外力等于物体质量与物体加速度相乘”的牛顿第二定律。

此时在斜面上匀速下滑的物块受重力、支持力、滑动摩擦力三个力作用而平衡，支持力与重力沿垂直于斜面斜向下方向的分力抵消，滑动摩擦力与重力沿平行于斜面斜向下方向的分力抵消。

非惯性系中的力学(物理竞赛)

例 2.如图所示，定滑轮 A 的一侧持有 m1=5kg 的物体，另一侧挂有轻滑轮 B，滑轮 B 两侧挂着民 m2=3kg，m3=2kg 的物体，求每个物体的加速度。
例 3.一辆质量为 m 的汽车以速度 v 在半径为 R 的水平弯道上做匀速圆周运动。汽车左右轮相距为 d，重心离地高度为 h，车轮与路面之间的摩擦因数为 μ ，求：（1）汽车内外轮各承受多大的支持力？（2）汽车能安全行驶的最大速度？
F 合+F 惯=0
例 1.在火车车厢内有一长 l，倾角为的斜面，当车厢以恒定加速度 a0 从静止开始运动时，物体自倾角为 θ 的斜面顶部 A 点由静止开始下滑，已知斜面的静摩因数为 μ ，求物体滑至斜面底部 B 点时，物体相对于车厢的速度，并讨论当 a0 与 μ 一定时，倾角 θ 为多大时，物体可静止于 A 点？
F 合+F 惯=ma 相式中, F 合为物体实际受到的合力.
二,匀速转动系中的惯性力圆盘以角速度 ω 绕铅直轴转动,在圆盘上用长为 r 的轻线将质量为 m 的小球系于盘心且小不球相对于圆盘静止,即随盘一起作匀速圆周运动.从惯性系观察,小球在线拉力 T 的作用一下作圆周运动, 符合牛顿第二定律.以圆盘为参考系,小球受到拉力 T 的作用,却保持静止,没有加速度,不符合牛顿第二定律.所以,相对于惯性系作匀速转动的参考系也是非惯性系,要在这种参考系中保持牛顿第二定律形式不变,在质点静止于此参考系的情况下,应引入惯性力: F 惯=mω 2r.这个力叫做惯性离心力.若质点静止于匀速转动的参考系中,则作用于此物体所有相互作用力与惯性离心力的合力等于只适用于惯性系,在非惯性系中,为了能得到形式上与牛顿第二定律一致的动力学方程,就需要引入惯性力的概念.
一.直线加速系中的惯性力设非惯性参考系的加速度为 a 参,物体相对于参考系的加速度为 a 相,物体实际的加速度为 a 绝, 则有: a 绝= a 参+a 相.那么,物体”受到”的惯性力 F 惯=－m a 参,其方向与 a 参的方向相反. 惯性力是虚构的力,不是真实力,因此,惯性力不是自然界中物体间的相互作用,因此不属于牛顿第三定律涉及的范围之内,它没有施力物体,不存在与之对应的反作用力. 在非惯性系中,考虑到惯性力后的动力学方程为:

一、位移、速度、加速度dtrdv...

I = ∫ Fdt = P2 − P1
t1
t2
合外力为零时, P = 常矢量
三、质心及质心运动定理： rc
∑m r =
m
i i
F = Mac
四、角动量定理
dL d ( r × p ) M = r×F = = dt dt
五、角动量守恒定律
M = 0 ⇒ L = 常矢量
例3.1 如图示，从半径为R的均质圆盘上挖掉一块半径为r的小圆盘，两部分中心O和O′相距为d，且（d + r）< R 。求：挖掉小圆盘后，该系统的质心坐标。解：由对称性分析，质心C应在 x 轴上。用挖补法 1) 先将挖去的部分补上计算总的质心位置
at = an ⇒ − c
(
(b − ct ) =
2
)
b 2 b R ⎛ b ⎞ < R, ∴ t = + ∵⎜ ⎟ ∴t = ± c ⎝ c⎠ c c
R c
3.一质点沿 X 轴作直线运动，其 v − t曲线
如图所示。当 t = 0时，质点位于坐标原点，
则 t = 4.5s时，质点在 X轴上的位置为：
质点力学习题课
质点运动学
一、位移、速度、加速度
dr v = dt
dv 二、圆周运动 a τ = τ dt
三、相对运动
v = v′ + u
v2 a n = vω n = R ω 2 n = n R
dv d r a= = 2 dt dt
2
a = a ′ + a0
运动学中的两类问题：
1、已知运动方程，求轨迹方程(消t)、速度及加速度(求导) --------微分法 2、已知加速度 a (t ) 及初始条件，求运动方程、轨迹方程 --------积分法

力学习题-第3章非惯性系(含答案)

相对转盘不动，转动角速度的最小值为
rad/s（结果保留一位小数）。
答案：3.2 解：取转盘参为参考系（匀角速转动的非惯性系），以木块为研究对象，受力分析：重力 mg 、静摩擦力 f 、斜面的支持力 N 、惯性离心力 F m2r （方向沿径向向外， r 为木块离盘心的水平距离）。木块处于静止状态，受力平衡有：沿斜面方向： mg sin m 2r cos f 0
h 1 gt 2 ， l vt 2
其中，v R 为物体刚好离开圆盘时相对地面的速度（此时，物体相对圆盘的速度近似为零）。设小物体质量为 m，与圆盘的摩擦力为 f，以圆盘为参考系（因为圆盘绕其轴的角速度逐渐增大，所以可将其在短时间内视为匀角速转动的非惯性系）。小物体恰好滑出圆盘时受最大静摩擦力 f mg ，加上沿圆盘径向方向的惯性离心力
2. 在以加速度 a 相对惯性系作加速平动的非惯性系中，质点 m 受到的惯性力的大小等于 ma. 答案：对解释：请参考本章视频。
3. 由于惯性力是人为引入的虚拟力，所以它的作用效果与真实力不同。答案：错解释：虽然惯性力不是真实的力，找不到施力物体，但其作用效果与真实力相同。比如，地面上静止的汽车突然加速，站在车上的人突然向后倾倒的现象可以理解为惯性力的作用，其效果与站在静止的车上人突然有力向后拉他是相同的。
A. v =
gh tan 1 ;B. v =
gh tan 2 ;C. v =
gh tan 1 tan 1 + tan 2
;
D.
v=
gh tan 1 cot 1 + cot 2
答案：D 解：以小球为参考系（匀角速转动的非惯性），小球上、下两侧绳中的张力分别
为
FT1、FT 2

哈工大理论力学教研室《理论力学》(第7版)笔记和课后习题(含考研真题)详解(第16~17章)【圣才出

第16章非惯性系中的质点动力学16.1复习笔记一、基本方程1．非惯性系中的质点动力学基本方程（或称为质点相对运动动力学基本方程），其表达式为r Ie ICma F F F =++v v v v 式中，e Ie F ma =-v v ，表示牵连惯性力；C C I F ma =-v v ，表示科氏惯性力。

2．在动参考系内，把非惯性系质点动力学基本方程写成微分形式22Ie IC d d r m F F F t'=++v v v v 3．几种特殊情况（1）当动参考系相对于定参考系作平移时，则C 0a = ，0F =IC ，于是相对运动动力学基本方程为r Iema F F =+v v v （2）当动参考系相对于定参考系作匀速直线平移时，则C 0a = ，e 0a = ，Ie 0F F ==IC，于是相对运动动力学基本方程与相对于惯性参考系的基本方程形式一样，其表达式为r ma F= ①相对于惯性参考系做匀速直线平移的参考系都是惯性参考系。

②发生在惯性参考系本身的任何力学现象，都无助于发现该参考系本身的运动状况，这称为经典力学的相对性原理。

（3）当质点相对于动参考系静止时，则r r 00a υ==v v ，，0F =IC ，所以质点相对静止的平衡方程为F F +=Ie 上式称为质点相对静止的平衡方程，即当质点在非惯性参考系中保持相对静止时，作用在质点上的力与质点的牵连惯性力相互平衡。

（4）当质点相对于动参考系作等速直线运动时，有r 0a =，质点相对平衡方程为0Ie IC F F F ++=v v v 上式称为质点相对平衡方程。

可见在非惯性参考系中，质点相对静止和作等速直线运动时，其平衡条件是不相同的。

二、非惯性系中质点的动能定理1．质点相对运动动能定理的微分形式质点在非惯性系中相对动能的增量，等于作用于质点上的力与牵连惯性力在相对运动中所作的元功之和。

即2r 1d()δδ2F mv W W ''=+Ie 2．质点相对运动动能定理的积分形式质点在非惯性参考系中相对动能的变化，等于作用在质点上的力与牵连惯性力在相对路程上所作的功之和。

理论力学非惯性参考系

§5.2 非惯性系中的动力学方程惯性力惯性系中: 惯性系中: m d2rI /dt2 = F 非惯性系: 非惯性系: mδ2r/δt2 =F -m[d2R /dt2+β×r +ω×(ω×r) +2ω×v'] β ω ω ω v' δ δ F = Feff 1,平移力 , - md2R /dt2 ← 动系平动加速 2,方位力 , - mβ × r β ← 动系转动加速 3,惯性离心力 , - m[ω × (ω × r ) ← 动系相对固定系转动 ω ω 4,科里奥利力 , - 2mω × v' ω ← 质点相对动系运动
= ω t t = 1 ln 2 + 3 ω
(
)
可证明,引入非惯性力 ,质点动量定理,角动质点动量定理, 可证明, 量定理和动能定理的形式都保持不变. 量定理和动能定理的形式都保持不变. 例:角动量定理 : r' v') δ L' / δt = δ(r' × mv' / δt = δ(r' δt × mv' + r' × mδv'/ δt r')/δ v' δv' = r' × ( F + F惯性) 动能定理: v' 动能定理 ∵ m δv'/ δ t = F + F惯性 → m δv' δr / δt = (F + F惯性 ) δr F → m v' δv' = (F + F惯性 ) δr F F → δ(mv'2/2) = (F + F惯性 ) δr F 即: δT = (F + F惯性 ) δr
d L 2 L 2 d L 1 L 1 d df df = + & & & dt q dt q q q dt q dt q dt df f f df 2 f 2f & & Q q+ q+ = ∴ = 2 dt q t q dt q qt d df d f 2 f 2f & = q = q 2 q + qt & dt q dt dt d L 1 L 1 d L 2 L 2 因此, 因此,当 = 0时, =0 & & dt q dt q q q

力学2动力学II-非惯性系讲解

设有一质量为m的质点，在真实的外力F 的作用下相对于某一惯性系S产生加速度 a ，
则根据牛顿第二定律，有:
F ma
假沿设直线另运有动一。参在考S系参S考相系对中于,惯质性点系的S加以速加度速是度aa。0
则： a a a0
aAB aAC aCB
将此式代入上一式可得：
e
er
方向描述：er ：径向方向
e ：极角增加方向
O
位矢 r rer
速度
v

dr dt

d( rer dt
)

dr dt
er
r der dt

dr dt
er

r
d
dt
e

vr er

v e
r
P

X
e

r
der
d er
der der e der er d d
vr : v :
dt
参阅专业《力学》书
本地加速度
牵连横向加速度
牵连向心加速度
科里奥利加速度
a a d r ( r ) 2 v
dt
a绝 a相 a牵
牵连加速度
f惯性力 ma牵
m
d
dt

r

[m

(

r
)]
2m(v )
欧拉力
对匀速转动的S'系：
非惯性系中的牛顿第二定律：
虚拟力
F ma F真实力 R
惯性力不是物体间的真实的相互作用,是一种假想的力。它既无施力者, 也无反作用力, 不满足牛顿第三定律。

力学习题-第4章质点组动量定理(含答案)

已知 B 的质量是 A 的两倍，而 C 的质量是 A 的三倍，此时由此三质点组成的体
系的质心的位置为
1 28 A. ( 3 , - 3 , 3) ; B. (1, -1, 2) ; C. (1, - 2, 8) ; D. (1, 2, 3)
答案：B
解：根据题中给定的坐标系，由质心计算公式可知：
rc

M月l 81M 月 M 月

l 82

4.68 106
m.
2. 已知质点质量 m = 5kg，运动方程 r = 2ti + t2j . 则质点在 0~2 秒内受的冲量大小为 N·s. 答案：20 解：F = ma = 10j ;
I = FΔt = 20j; 所以冲量大小为 20Ns.
3. 沿 x 方向的力 F = 12t (SI)作用在质量 m = 2kg 的物体上，使物体从静止开始运动，则它在 3 秒末的动量大小为 kg·m/s. 答案：54 解：力 F 的冲量大小为
2. 无论质心系是否是惯性系，质心系下质点组的总动量始终为零. 答案：对解释：对质心系下的观测者而言，质点组所受的合外力与总的惯性力相等，即，质点组所受合外力为零，动量守恒. 其守恒值为质点组的总质量与质心速度的乘积。而对质心系下的观测者而言，观测的质点组的质心速度始终为零. 因此，出现质心系下质点组总动量为零的结果. 这也是质心系的特点之一.
第四章质点组动量定理与守恒定律单元测验题
一、选择题
1. 作用在质点上的力对时间的累积称为力的，其效果等于质点
的
改变.
A. 冲量、动量；B. 功、动量；C. 功、动能；D. 冲量、动能
答案：A
2. 某一时刻 A、B、C 三质点的位置坐标分别为：(-3, 4, 3)、(3, -8, 6)、(1, 2, -1)，

理论力学简明教程第三章非惯性参考系课后答案

第三章非惯性参考系不识庐山真面目，只缘身在此山中。

地球的多姿多彩，宇宙的繁荣，也许在这里可以略见一斑。

春光无限，请君且放千里目，别忘了矢量语言在此将大放益彩。

【要点分析与总结】1 相对运动t r r r '=+t t dr dr dr dr dr r dt dt dt dt dtυω'''==+=++⨯ t r υυω''=++⨯()t dv dv d v r a dt dt dtω''+⨯==+222**22()t d r d r d dr r v r dt dt dt dtωωωω'''''=++⨯+⨯+⨯+⨯()2t a a r r v ωωωω''''=++⨯+⨯⨯+⨯t c a a a '=++〈析〉仅此三式便可以使“第心说”与“日心说”归于一家。

（1）平动非惯性系 (0ω=)t a a a '=+ 即：()t ma F ma '=+-（2）旋转非惯性系 (0t t a υ==)()2a a r r ωωωωυ''''=+⨯+⨯⨯+⨯2 地球自转的效应（以地心为参考点）2mr F mg m r ω=--⨯写成分量形式为：2sin 2(sin cos )2cos x y z mx F m y my F m x z mz F mg m y ωλωλλωλ⎧=+⎪=-+⎨⎪=-+⎩ 〈析〉坐标系选取物质在地面上一定点O 为坐标原点，x 轴指向南方，y 轴指向东方，铅直方向为 z 轴方向。

2mr F mg m r ω=--⨯ 为旋转非惯性系 ()2F mg mr m r m r m r ωωωω-=+⨯+⨯⨯+⨯在 ,rR ωω条件下忽略 m r ω⨯与 ()m r ωω⨯⨯所得。

正因如此，地球上的物体运动均受着地球自转而带来的科氏力 2m r ω-⨯的作用，也正是它导致了气旋，反气旋，热带风暴，信风，河岸右侧冲刷严重，自由落体，傅科摆等多姿多彩的自然现象。

非惯性系下力学问题

非惯性系下力学问题(总32页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--渤海大学本科毕业论文题目非惯性系下力学问题的研究完成人姓名张亚楠主修专业物理学教育数理学院物理系所在院（系）入学年度 2008年完成日期 2011年6月1日指导教师丁文波非惯性系下力学问题的探讨张亚楠渤海大学物理系摘要：非惯性参照系就是能够对同一个被观测的单元施加作用力的观测参照框架和附加非线性的坐标系的统称。

在经典机械力学中，任何一个使得“伽利略相对性原理”失效的参照系都是所谓的“非惯性参照系”。

了解非惯性系下的力学问题很重要。

对于非惯性系的研究已经从传统的理论已经从传统的理论教学扩展到实际生活应用领域，从宏观研究深入到微观领域。

随着生活领域的不断扩大，对非惯性系下的元器件动力学行为，特别是非线性动力学行为的研究还有很大的空间。

在直升机转子等航空发动机转子的动力学研究中，应用的也主要是非惯性系动力学的理论知识。

近年来通过研究发现，在非惯性系中两体问题、摩擦力、压强以及浮力问题等都得以解决。

本文阐述了惯性系和非惯性系的区别，由惯性力着手，把牛顿第二地定律引入到非惯性系中，分析了牛顿第二定律的适用条件，并对非惯性系下的力学问题进行研究。

第一部分对非惯性系和惯性系进行概述。

第二部分对非惯性系下摩擦力的研究进行了讲述，摩擦力从动于包括惯性力在内的其它力作用。

第三部分通过分析在非惯性系中液体内部浮力和压强的变化，阐述了在不同参考系下液体浮力和压强的变化规律。

关键词：非惯性系；摩擦力；压强；浮力Mechanics Problems in the non-inertial frameZhang Ya-nan Department of Physics， Bohai UniversityAbstract: Collectively referred to as the coordinate system of the observation frame of reference and additional non-linear non-inertial frame of reference is the ability to exert force on the same observation unit. In classical mechanics, no one makes the "failure of the principle of Galilean relativity" frame of reference is the so-called "non-inertial frame of reference. Mechanical problem is very important to understand the non-inertial frame. For non-inertial frames from the traditional theory has been expanded from the traditional teaching of the theory to real-life applications, from a macro research into micro areas. With the continuous expansion of areas of life, the dynamic behavior of non-inertial frame components, especially the study of nonlinear dynamic behavior there is a lot of space. The study of helicopter rotor aero-engine rotor dynamics, the application of theoretical knowledge of non-inertial frame dynamics. In recent years, the study found that two-body problem in the non-inertial, friction, pressure and buoyancy problems are all resolved. This paper describes the difference between inertial frames and non-inertial frames, to proceed by the inertia force, the introduction of Newton's second law of land to the non-inertial reference frame, Newton's Second Law applies to conditions,mechanical problems and non-inertial frame study. The first part an overview of the non-inertial frames and inertial frames. The second part of the non-inertial friction about the friction follower force, including the inertia force. The third part through the analysis of liquid internal buoyancy and pressure change in the non-inertial reference frame on a different reference liquid buoyancy and pressure variation.Key words: Non-inertial；Friction；Pressure；Buoyancy目录引言 (1)一、非惯性系概述 (3)（一）非惯性系和惯性系 (3)（二）平动非惯性参考系 (5)1. 平动的非惯性系 (5)2. 非惯性系中牛顿运动定律的应用 (7)（三）转动非惯性参考系………………………………………………111. 转动坐标系中的运动学问题 (11)2. 转动非惯性系中的动力学问题 (13)3. 落体偏东——地球自转的动力学效应 (13)二、非惯性系中摩擦力的研究 (14)（一）摩擦力的从动性…………………………………………………14（二）非惯性系中的摩擦力……………………………………………151.惯性力的具体形式 (15)2.静摩擦力 (16)3.滑动摩擦力 (16)三、非惯性系中液体内部的浮力和压强的讨论...........................17（一）惯性系中液体内部浮力和压强的表达式...........................17（二）非惯性系中液体内部浮力和压强的表达式 (18)结论 (25)参考文献 (26)非惯性系下的力学问题的研究引言经典理论认为凡是牛顿运动定律适用的参照系为惯性系，牛顿运动定律不成立的参照系为非惯性系[1]。

2-2 力学相对性原理非惯性参考系

两 y 个相 [S] 对平动参考 o 系
y′ u [S] r R o′ r′
.P (x, y, z )
(x,y,z ) x′ x
r r R
v v u
第11章静电场第2章质点运动定律
a a
du dt
2-2 力学相对性原理非惯性参考系 11-1 电荷
若质点 m 在 S 系中满足牛顿第二定律： m a F
力与参考系无关
则在 S ' 系中： F ' m a '
F ' F m a0 m a '
牛顿第二定律在非惯性系不成立！
第11章静电场第2章质点运动定律
2-2 力学相对性原理非惯性参考系 11-1 电荷
S′一定也是惯性系
一切相对于惯性系作匀速直线运动的参照系都是惯性参照系。
第11章静电场第2章质点运动定律
2-2 力学相对性原理非惯性参考系 11-1 电荷
换句话说：牛顿定律在所有惯性系中均成立且具有相同的形式。力学相对性原理！又可表述为：不可能通过惯性系内部进行任何形式的力学实验来确定该惯性系相对于其它惯性系的速度。
g
2-2 力学相对性原理非惯性参考系 11-1 电荷
dy
x
2
dx
g

y 0dy x 0 x2
dx
g
2 2
y
x
2g
所以金属丝要弯抛物线的形状！
第11章静电场第2章质点运动定律
2-2 力学相对性原理非惯性参考系 11-1 电荷
参考视频
三种相互作用惯性力

非惯性系中的动力学

在非惯性系中由于牛顿运动定律不成立, 不能直接用牛顿运动定律处理力学问题。若仍希望能用牛顿运动定律处理这些问题, 则必须在非惯性系中引入一种作用于物体上的惯性力。惯性力不同于前面所说的力，因为惯性力既没有施力物体，也不存在它的反作用力。
小车作加速运动a≠0时，单摆偏转了一个角度，拉小球的弹簧被拉伸，其状态不符合牛顿定律，引入了惯性力后，就能把牛顿运动定律应用于非惯性系。
a cos
g
sin
(m2 m1)sin m2 m1 sin2
g
m2g
二、转动参照系中的离心惯性力
m
FT
m
F*
观察者2
一光滑的圆盘以匀角速ω绕其铅直轴转动，将一质
量为m的小球用长为r的细线栓在轴上，并使小球在圆
盘上与圆盘一起以匀角速ω绕铅直轴转动。
如果在O则系对内于的观观察测者者1：1测F量T 到 m细a线对m小球2r的拉力为FT
§3.5 非惯性中的动力学
一、直线加速参考系中的惯性力二、离心惯性力 *三、科里奥利力
§3.5 非惯性中的动力学
一、直线加速参考系中的惯性力
问题：如图，一单摆悬挂在小车的天花板上，另一个小
球用弹簧拉着，现均以小车为参考系来研究小球的运动
a =0
a 0
小车作匀速直线运动，即a = 0 时，单摆、小球均处于静止状态符合牛顿定律。
小车作加速直线运动，即a≠0时，单摆偏转了一个角度，拉小球的弹簧被拉伸，其状态不符合牛顿定律，为什么？
inertia force 1.avi
如图：O系为基本参考系，O 系为动参考系
设 O系相对O系以加速度 a 作直线加速运动,
z
质点在空间运动, 某时刻位于P点

理论力学简明教程(第二版)课后答案

第零章数学准备一泰勒展开式1 二项式的展开()()()()()m 23m m-1m m-1m-2f x 1x 1mx+x x 23=+=+++！！2 一般函数的展开()()()()()()()()230000000f x f x f xf x f x x-x x-x x-x 123!''''''=++++！！特别:00x =时,()()()()()23f 0f 0f 0f x f 0123!x x x ''''''=++++！！3 二元函数的展开(x=y=0处)()()00f f f x y f 0x+y x y ⎛⎫∂∂=++ ⎪∂∂⎝⎭，22222000221f f f x 2xy+y 2x x y y ⎛⎫∂∂∂++ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭！评注：以上方法多用于近似处理与平衡态处的非线性问题向线性问题的转化。

在理论力问题的简单处理中，一般只需近似到三阶以内。

二常微分方程1 一阶非齐次常微分方程： ()()x x y+P y=Q通解：()()()P x dx P x dx y e c Q x e dx -⎛⎫⎰⎰=+ ⎪⎝⎭⎰注：()()(),P x dx P x dx Q x e dx ⎰±⎰⎰积分时不带任意常数，()x Q 可为常数。

2 一个特殊二阶微分方程2y A y B =-+ 通解：()02B y=K cos Ax+Aθ+注：0,K θ为由初始条件决定的常量 3 二阶非齐次常微分方程 ()x y ay by f ++=通解：*y y y =+；y 为对应齐次方程的特解，*y 为非齐次方程的一个特解。

非齐次方程的一个特解（1）对应齐次方程0y ay by ++=设x y e λ=得特征方程2a b 0λλ++=。

解出特解为1λ，2λ。

*若12R λλ≠∈则1x 1y e λ=，2x 2y e λ=；12x x 12y c e c e λλ=+*若12R λλ=∈则1x 1y e λ=，1x 2y xe λ=； 1x 12y e (c xc )λ=+*若12i λαβ=±则x 1y e cos x αβ=，x 2y e sin x αβ=；x 12y e (c cos x c sin x)αββ=+（2）若()2000x f a x b x c =++为二次多项式*b 0≠时，可设*2y Ax Bx C =++ *b 0≠时，可设*32y Ax Bx Cx D =+++注：以上1c ,2c ,A,B,C,D 均为常数，由初始条件决定。

《理论力学》试题库

《理论力学》试题库一、判断体：1.没有参照系就无法描述物体的位置和运动。

2.经典力学可分为牛顿力学和分析力学两大部分。

3.运动是绝对的，而运动的描述是相对的。

4.相对一个惯性系运动的参照系一定不是惯性系。

5.相对一个惯性系作匀速直线运动的参照系也是一个惯性系。

6.经典力学的相对性原理表明：所有参照系等价。

7.通过力学实验不能确定参照系是否为惯性系。

8.通过力学实验不能确定参照系是否在运动。

9.位移矢量描述质点的位置。

10.表述为时间函数的位置变量称为运动学方程。

11.质点的轨道方程可以由运动学方程消去时间变量得到。

12.速度矢量的变化率定义为加速度。

13.速率对时间的一阶导数定义为加速度。

14.速率对时间的一阶导数等于切向加速度。

15.若质点的加速度为常矢量则其必作直线运动。

16.极坐标系中的径向加速度就是向心加速度。

17.在对物体运动的描述中，参照系和坐标系是等价的。

18.若质点作圆周运动，则其加速度恒指向圆心。

19.牛顿第二定律只适用于惯性系。

20.若质点组不受外力则机械能守恒。

21.质点组内力对任意点力矩的矢量和与内力有关。

22.内力不能改变系统的机械能。

23.内力可以改变系统的机械能。

24.内力不改变系统的动量。

25.内力可以改变系统的动量。

26.质点组内力的总功可以不等于零。

27.质点系动量守恒时动量矩不一定守恒。

28.质点系内力对任意点力矩的矢量和必为零。

29.质点系的质心位置与质点系各质点的质量和位置有关。

30.质点的动量守恒时对任意定点的动量矩也守恒。

31.质点系的动量守恒时对任意定点的动量矩也守恒。

32.质点系对某点的动量矩守恒则其动量必定守恒。

33.刚体是一种理想模型。

34.刚体的内力做的总功为零。

35.刚体平衡的充要条件是所受外力的矢量和为零。

36.刚体处于平衡状态的充要条件是所受外力的主矢和主矩均为零。

37.正交轴定理适用于任何形式的刚体。

38.正交轴定理只适用于平面薄板形的刚体。

课后习题答案 (2)

第二章牛顿定律2 -1 如图(a)所示,质量为m 的物体用平行于斜面的细线联结置于光滑的斜面上,若斜面向左方作加速运动,当物体刚脱离斜面时,它的加速度的大小为( )(A) g sin θ (B) g cos θ (C) g tan θ (D) g cot θ分析与解当物体离开斜面瞬间,斜面对物体的支持力消失为零,物体在绳子拉力F Ｔ (其方向仍可认为平行于斜面)和重力作用下产生平行水平面向左的加速度a ,如图(b)所示,由其可解得合外力为mg cot θ,故选(D)．求解的关键是正确分析物体刚离开斜面瞬间的物体受力情况和状态特征． 2 -2 用水平力F N 把一个物体压着靠在粗糙的竖直墙面上保持静止．当F N 逐渐增大时,物体所受的静摩擦力F f 的大小( )(A) 不为零,但保持不变(B) 随F N 成正比地增大(C) 开始随F N 增大,达到某一最大值后,就保持不变(D) 无法确定分析与解与滑动摩擦力不同的是,静摩擦力可在零与最大值μF N 范围内取值．当F N 增加时,静摩擦力可取的最大值成正比增加,但具体大小则取决于被作用物体的运动状态．由题意知,物体一直保持静止状态,故静摩擦力与重力大小相等,方向相反,并保持不变,故选(A)．2 -3 一段路面水平的公路,转弯处轨道半径为R ,汽车轮胎与路面间的摩擦因数为μ,要使汽车不至于发生侧向打滑,汽车在该处的行驶速率( )(A) 不得小于gR μ (B) 必须等于gR μ(C) 不得大于gR μ (D) 还应由汽车的质量m 决定分析与解由题意知,汽车应在水平面内作匀速率圆周运动,为保证汽车转弯时不侧向打滑,所需向心力只能由路面与轮胎间的静摩擦力提供,能够提供的最大向心力应为μF N ．由此可算得汽车转弯的最大速率应为v ＝μRg ．因此只要汽车转弯时的实际速率不大于此值,均能保证不侧向打滑．应选(C)．2 -4 一物体沿固定圆弧形光滑轨道由静止下滑,在下滑过程中,则( )(A) 它的加速度方向永远指向圆心,其速率保持不变(B) 它受到的轨道的作用力的大小不断增加(C) 它受到的合外力大小变化,方向永远指向圆心(D) 它受到的合外力大小不变,其速率不断增加分析与解由图可知,物体在下滑过程中受到大小和方向不变的重力以及时刻指向圆轨道中心的轨道支持力F N 作用,其合外力方向并非指向圆心,其大小和方向均与物体所在位置有关．重力的切向分量(m g cos θ) 使物体的速率将会不断增加(由机械能守恒亦可判断),则物体作圆周运动的向心力(又称法向力)将不断增大,由轨道法向方向上的动力学方程R m θmg F N 2sin v =-可判断,随θ 角的不断增大过程,轨道支持力F N 也将不断增大,由此可见应选(B)．2 -5 图(a)示系统置于以a ＝1/4 g 的加速度上升的升降机内,A 、B 两物体质量相同均为m ,A 所在的桌面是水平的,绳子和定滑轮质量均不计,若忽略滑轮轴上和桌面上的摩擦,并不计空气阻力,则绳中张力为( )(A) 58 mg (B) 12 mg (C) mg (D) 2mg分析与解本题可考虑对A 、B 两物体加上惯性力后,以电梯这个非惯性参考系进行求解．此时A 、B 两物体受力情况如图(b)所示,图中a ′为A 、B 两物体相对电梯的加速度,m a ′为惯性力．对A 、B 两物体应用牛顿第二定律,可解得FＴ＝5/8 mg．故选(A)．讨论对于习题2 -5 这种类型的物理问题,往往从非惯性参考系(本题为电梯)观察到的运动图像较为明确,但由于牛顿定律只适用于惯性参考系,故从非惯性参考系求解力学问题时,必须对物体加上一个虚拟的惯性力．如以地面为惯性参考系求解,则两物体的加速度a A和a B均应对地而言,本题中a A和a B的大小与方向均不相同．其中aA 应斜向上．对a A、a B、a和a′之间还要用到相对运动规律,求解过程较繁．有兴趣的读者不妨自己尝试一下．2 -6图示一斜面,倾角为α,底边AB 长为l＝2.1 m,质量为m的物体从题2 -6 图斜面顶端由静止开始向下滑动,斜面的摩擦因数为μ＝．试问,当α为何值时,物体在斜面上下滑的时间最短其数值为多少分析动力学问题一般分为两类：(1) 已知物体受力求其运动情况；(2)已知物体的运动情况来分析其所受的力．当然,在一个具体题目中,这两类问题并无截然的界限,且都是以加速度作为中介,把动力学方程和运动学规律联系起来．本题关键在列出动力学和运动学方程后,解出倾角与时间的函数关系α＝f (t ),然后运用对t 求极值的方法即可得出数值来．解取沿斜面为坐标轴Ox ,原点O 位于斜面顶点,则由牛顿第二定律有ma αmg μαmg =-cos sin (1)又物体在斜面上作匀变速直线运动,故有()22cos sin 2121cos t αμαg at αl -== 则 ()αμααg l t cos sin cos 2-= (2) 为使下滑的时间最短,可令0d d =αt ,由式(2)有 ()()0sin cos cos cos sin sin =-+--αμαααμαα则可得 μα12tan -=,o 49=α 此时 ()s 99.0cos sin cos 2=-=αμααg l t 2 -7 工地上有一吊车,将甲、乙两块混凝土预制板吊起送至高空．甲块质量为m 1 ＝ ×102 kg,乙块质量为m 2 ＝ ×102 kg ．设吊车、框架和钢丝绳的质量不计．试求下述两种情况下,钢丝绳所受的张力以及乙块对甲块的作用力：(1) 两物块以10.0 m·ｓ-2 的加速度上升；(2) 两物块以1.0 m·ｓ-2 的加速度上升．从本题的结果,你能体会到起吊重物时必须缓慢加速的道理吗分析预制板、吊车框架、钢丝等可视为一组物体．处理动力学问题通常采用“隔离体”的方法,分析物体所受的各种作用力,在所选定的惯性系中列出它们各自的动力学方程．根据连接体中物体的多少可列出相应数目的方程式．结合各物体之间的相互作用和联系,可解决物体的运动或相互作用力．解按题意,可分别取吊车(含甲、乙)和乙作为隔离体,画示力图,并取竖直向上为Oy轴正方向(如图所示)．当框架以加速度a 上升时,有FＴ-(m1 ＋m2)g ＝(m1＋m2)a (1)F N2 -m2g ＝m2a (2)解上述方程,得FＴ＝(m1＋m2)(g ＋a) (3)F N2＝m2(g ＋a) (4)(1) 当整个装置以加速度a＝10 m·ｓ-2上升时,由式(3)可得绳所受张力的值为FＴ＝×103 N乙对甲的作用力为F′N2＝-F N2＝-m2 (g ＋a)＝×103 N(2) 当整个装置以加速度a＝1 m·ｓ-2上升时,得绳张力的值为FＴ＝×103 N此时,乙对甲的作用力则为F′N2 ＝×103 N由上述计算可见,在起吊相同重量的物体时,由于起吊加速度不同,绳中所受张力也不同,加速度大,绳中张力也大．因此,起吊重物时必须缓慢加速,以确保起吊过程的安全．2 -8如图(a)所示,已知两物体A、B 的质量均为m ＝3.0kg 物体A 以加速度a ＝1.0 m·ｓ-2 运动,求物体B 与桌面间的摩擦力．(滑轮与连接绳的质量不计)分析该题为连接体问题,同样可用隔离体法求解．分析时应注意到绳中张力大小处处相等是有条件的,即必须在绳的质量和伸长可忽略、滑轮与绳之间的摩擦不计的前提下成立．同时也要注意到张力方向是不同的．解分别对物体和滑轮作受力分析［图(b)］．由牛顿定律分别对物体A 、B 及滑轮列动力学方程,有m A g -F Ｔ＝m A a (1)F ′Ｔ1 -F ｆ＝m B a ′ (2)F ′Ｔ -2F Ｔ1 ＝0 (3)考虑到m A ＝m B ＝m , F Ｔ＝F′Ｔ , F Ｔ1 ＝F ′Ｔ1 ,a ′＝2a ,可联立解得物体与桌面的摩擦力()N a m m mg F 2724f .=+-=讨论动力学问题的一般解题步骤可分为：(1) 分析题意,确定研究对象,分析受力,选定坐标；(2) 根据物理的定理和定律列出原始方程组；(3) 解方程组,得出文字结果；(4) 核对量纲,再代入数据,计算出结果来．2 -9质量为m′的长平板A 以速度v′在光滑平面上作直线运动,现将质量为m 的木块B 轻轻平稳地放在长平板上,板与木块之间的动摩擦因数为μ,求木块在长平板上滑行多远才能与板取得共同速度分析当木块B 平稳地轻轻放至运动着的平板A 上时,木块的初速度可视为零,由于它与平板之间速度的差异而存在滑动摩擦力,该力将改变它们的运动状态．根据牛顿定律可得到它们各自相对地面的加速度．换以平板为参考系来分析,此时,木块以初速度-v′(与平板运动速率大小相等、方向相反)作匀减速运动,其加速度为相对加速度,按运动学公式即可解得．该题也可应用第三章所讲述的系统的动能定理来解．将平板与木块作为系统,该系统的动能由平板原有的动能变为木块和平板一起运动的动能,而它们的共同速度可根据动量定理求得．又因为系统内只有摩擦力作功,根据系统的动能定理,摩擦力的功应等于系统动能的增量．木块相对平板移动的距离即可求出．解1 以地面为参考系,在摩擦力F ｆ＝μmg 的作用下,根据牛顿定律分别对木块、平板列出动力学方程F ｆ＝μmg ＝ma 1F ′ｆ＝-F ｆ＝m ′a 2a 1 和a 2 分别是木块和木板相对地面参考系的加速度．若以木板为参考系,木块相对平板的加速度a ＝a 1 ＋a 2 ,木块相对平板以初速度- v ′作匀减速运动直至最终停止．由运动学规律有- v ′2 ＝2as由上述各式可得木块相对于平板所移动的距离为()m m g μm s +'''=22v 解2 以木块和平板为系统,它们之间一对摩擦力作的总功为W ＝F ｆ (s ＋l ) -F ｆl ＝μmgs式中l 为平板相对地面移动的距离．由于系统在水平方向上不受外力,当木块放至平板上时,根据动量守恒定律,有m ′v ′＝(m ′＋m ) v ″由系统的动能定理,有()222121v v ''+'-''=m m m mgs μ 由上述各式可得()m m g μm s +'''=22v 2 -10 如图(a)所示,在一只半径为R 的半球形碗内,有一粒质量为m 的小钢球,当小球以角速度ω在水平面内沿碗内壁作匀速圆周运动时,它距碗底有多高分析维持钢球在水平面内作匀角速度转动时,必须使钢球受到一与向心加速度相对应的力(向心力),而该力是由碗内壁对球的支持力F N 的分力来提供的,由于支持力F N 始终垂直于碗内壁,所以支持力的大小和方向是随ω而变的．取图示Oxy 坐标,列出动力学方程,即可求解钢球距碗底的高度．解取钢球为隔离体,其受力分析如图(b)所示．在图示坐标中列动力学方程θωmR ma θF n N sin sin 2== (1)mg θF N =cos (2) 且有 ()Rh R θ-=cos (3) 由上述各式可解得钢球距碗底的高度为2ωg R h -= 可见,h 随ω的变化而变化． 2 -11 火车转弯时需要较大的向心力,如果两条铁轨都在同一水平面内(内轨、外轨等高),这个向心力只能由外轨提供,也就是说外轨会受到车轮对它很大的向外侧压力,这是很危险的．因此,对应于火车的速率及转弯处的曲率半径,必须使外轨适当地高出内轨,称为外轨超高．现有一质量为m 的火车,以速率v 沿半径为R 的圆弧轨道转弯,已知路面倾角为θ,试求：(1) 在此条件下,火车速率v 0 为多大时,才能使车轮对铁轨内外轨的侧压力均为零 (2) 如果火车的速率v ≠v 0 ,则车轮对铁轨的侧压力为多少分析如题所述,外轨超高的目的欲使火车转弯的所需向心力仅由轨道支持力的水平分量F N sin θ 提供(式中θ 角为路面倾角)．从而不会对内外轨产生挤压．与其对应的是火车转弯时必须以规定的速率v 0行驶．当火车行驶速率v ≠v 0 时,则会产生两种情况：如图所示,如v ＞v 0 时,外轨将会对车轮产生斜向内的侧压力F 1 ,以补偿原向心力的不足,如v ＜v 0时,则内轨对车轮产生斜向外的侧压力F 2 ,以抵消多余的向心力,无论哪种情况火车都将对外轨或内轨产生挤压．由此可知,铁路部门为什么会在每个铁轨的转弯处规定时速,从而确保行车安全．解 (1) 以火车为研究对象,建立如图所示坐标系．据分析,由牛顿定律有Rm θF N 2sin v = (1) 0cos =-mg θF N (2)解(1)(2)两式可得火车转弯时规定速率为θgR tan 0=v(2) 当v ＞v 0 时,根据分析有R m θF θF N 21cos sin v =+ (3) 0sin cos 1=--mg θF θF N (4)解(3)(4)两式,可得外轨侧压力为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θg θR F sin cos m 21v 当v ＜v 0 时,根据分析有RθF θF N 22m cos sin v =- (5) 0sin cos 2=-+mg θF θF N (6)解(5)(6)两式,可得内轨侧压力为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θR θg m F cos sin 22v 2 -12 一杂技演员在圆筒形建筑物内表演飞车走壁．设演员和摩托车的总质量为m ,圆筒半径为R ,演员骑摩托车在直壁上以速率v 作匀速圆周螺旋运动,每绕一周上升距离为h ,如图所示．求壁对演员和摩托车的作用力．分析杂技演员(连同摩托车)的运动可以看成一个水平面内的匀速率圆周运动和一个竖直向上匀速直线运动的叠加．其旋转一周所形成的旋线轨迹展开后,相当于如图(b)所示的斜面．把演员的运动速度分解为图示的v 1 和v 2 两个分量,显然v 1是竖直向上作匀速直线运动的分速度,而v 2则是绕圆筒壁作水平圆周运动的分速度,其中向心力由筒壁对演员的支持力F N 的水平分量F N2 提供,而竖直分量F N1 则与重力相平衡．如图(c)所示,其中φ角为摩托车与筒壁所夹角．运用牛顿定律即可求得筒壁支持力的大小和方向解设杂技演员连同摩托车整体为研究对象,据(b)(c)两图应有01=-mg F N (1)Rm F N 22v = (2) ()222π2π2cos h R Rθ+==v v v (3)2221N N N F F F += (4)以式(3)代入式(2),得222222222222π4π4π4π4h R Rm h R R R m F N +=+=v v (5) 将式(1)和式(5)代入式(4),可求出圆筒壁对杂技演员的作用力(即支承力)大小为22222222221π4π4⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+=h R R g m F F F N N N v 与壁的夹角φ为()g h R R F F N N 2222212π4π4arctan arctan +==v 讨论表演飞车走壁时,演员必须控制好运动速度,行车路线以及摩托车的方位,以确保三者之间满足解题用到的各个力学规律．2 -13 一质点沿x 轴运动,其受力如图所示,设t ＝0 时,v 0＝5m·ｓ-1 ,x 0＝2 m,质点质量m ＝1kg,试求该质点7ｓ末的速度和位置坐标．分析首先应由题图求得两个时间段的F (t )函数,进而求得相应的加速度函数,运用积分方法求解题目所问,积分时应注意积分上下限的取值应与两时间段相应的时刻相对应．解由题图得()⎩⎨⎧<<-<<=7s t 5s,5355s t 0 ,2t t t F 由牛顿定律可得两时间段质点的加速度分别为5s t 0 ,2<<=t a7s t 5s ,535<<-=t a对0 ＜t ＜5ｓ时间段,由ta d d v =得 ⎰⎰=tt a 0d d 0v v v 积分后得 25t +=v 再由tx d d =v 得 ⎰⎰=t t x 0d d 0v x x 积分后得33152t t x ++= 将t ＝5ｓ代入,得v 5＝30 m·ｓ-1 和x 5 ＝68.7 m对5ｓ＜t ＜7ｓ时间段,用同样方法有⎰⎰=t t a s 52d d 0v v v得 t t t 5.825.2352--=v再由⎰⎰=tx x t x s 55d d v 得x ＝＋将t ＝7ｓ代入分别得v 7＝40 m·ｓ-1 和 x 7 ＝142 m2 -14 一质量为10 kg 的质点在力F 的作用下沿x 轴作直线运动,已知F ＝120t ＋40,式中F 的单位为N,t 的单位的ｓ．在t ＝0 时,质点位于x ＝5.0 m 处,其速度v 0＝6.0 m·ｓ-1 ．求质点在任意时刻的速度和位置．分析这是在变力作用下的动力学问题．由于力是时间的函数,而加速度a ＝d v /d t ,这时,动力学方程就成为速度对时间的一阶微分方程,解此微分方程可得质点的速度v (t )；由速度的定义v ＝d x /d t ,用积分的方法可求出质点的位置．解因加速度a ＝d v /d t ,在直线运动中,根据牛顿运动定律有 tm t d d 40120v =+ 依据质点运动的初始条件,即t 0 ＝0 时v 0 ＝6.0 m·ｓ-1 ,运用分离变量法对上式积分,得()⎰⎰+=tt t 0d 0.40.12d 0v v v v ＝++又因v ＝d x /d t ,并由质点运动的初始条件：t 0 ＝0 时x 0 ＝5.0 m,对上式分离变量后积分,有()⎰⎰++=t x x t t t x 020d 0.60.40.6d x ＝++ +2 -15 轻型飞机连同驾驶员总质量为 ×103 kg ．飞机以55.0 m·ｓ-1 的速率在水平跑道上着陆后,驾驶员开始制动,若阻力与时间成正比,比例系数α＝ ×102 N·ｓ-1 ,空气对飞机升力不计,求：(1) 10ｓ后飞机的速率；(2) 飞机着陆后10ｓ内滑行的距离．分析飞机连同驾驶员在水平跑道上运动可视为质点作直线运动．其水平方向所受制动力F 为变力,且是时间的函数．在求速率和距离时,可根据动力学方程和运动学规律,采用分离变量法求解．解以地面飞机滑行方向为坐标正方向,由牛顿运动定律及初始条件,有t αt m ma F -===d d v ⎰⎰-=t t m t α0d d 0v v v得 202t m α-=v v 因此,飞机着陆10ｓ后的速率为v ＝30 m·ｓ-1又 ⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t xx t t m αx 0200d 2d v 故飞机着陆后10ｓ内所滑行的距离m 4676300=-=-=t mαt x x s v 2 -16 质量为m 的跳水运动员,从10.0 m 高台上由静止跳下落入水中．高台距水面距离为h ．把跳水运动员视为质点,并略去空气阻力．运动员入水后垂直下沉,水对其阻力为bv 2 ,其中b 为一常量．若以水面上一点为坐标原点O ,竖直向下为Oy 轴,求：(1) 运动员在水中的速率v 与y 的函数关系；(2) 如b /m ＝0.40m -1 ,跳水运动员在水中下沉多少距离才能使其速率v 减少到落水速率v 0 的1 /10 (假定跳水运动员在水中的浮力与所受的重力大小恰好相等)分析该题可以分为两个过程,入水前是自由落体运动,入水后,物体受重力P 、浮力F 和水的阻力F ｆ的作用,其合力是一变力,因此,物体作变加速运动．虽然物体的受力分析比较简单,但是,由于变力是速度的函数(在有些问题中变力是时间、位置的函数),对这类问题列出动力学方程并不复杂,但要从它计算出物体运动的位置和速度就比较困难了．通常需要采用积分的方法去解所列出的微分方程．这也成了解题过程中的难点．在解方程的过程中,特别需要注意到积分变量的统一和初始条件的确定．解 (1) 运动员入水前可视为自由落体运动,故入水时的速度为gh 20=v运动员入水后,由牛顿定律得P -F ｆ -F ＝ma由题意P ＝F 、F ｆ＝bv 2 ,而a ＝d v /d t ＝v (d v /d y ),代入上式后得-bv 2＝ mv (d v /d y )考虑到初始条件y 0 ＝0 时, gh 20=v ,对上式积分,有 ⎰⎰=⎪⎭⎫ ⎝⎛-v v v v 0d d 0t y b m m by m by e gh e //02--==v v(2) 将已知条件b/m ＝0.4 m -1 ,v ＝代入上式,则得m 76.5ln 0=-=v v b m y *2 -17 直升飞机的螺旋桨由两个对称的叶片组成．每一叶片的质量m ＝136 kg,长l ＝3.66 m ．求当它的转速n ＝320 r/min 时,两个叶片根部的张力．(设叶片是宽度一定、厚度均匀的薄片)分析螺旋桨旋转时,叶片上各点的加速度不同,在其各部分两侧的张力也不同；由于叶片的质量是连续分布的,在求叶片根部的张力时,可选取叶片上一小段,分析其受力,列出动力学方程,然后采用积分的方法求解．解设叶片根部为原点O ,沿叶片背离原点O 的方向为正向,距原点O 为r 处的长为d r 一小段叶片,其两侧对它的拉力分别为F Ｔ(r)与F Ｔ(r ＋d r )．叶片转动时,该小段叶片作圆周运动,由牛顿定律有()()r r ωlm r r F r F F T T T d d d 2=+-= 由于r ＝l 时外侧F Ｔ＝0,所以有 ()r r lωm F lr tr F T T d d 2⎰⎰= ()()()22222222r l l mn πr l l ωm r F T --=--= 上式中取r ＝0,即得叶片根部的张力F Ｔ0 ＝ ×105 N负号表示张力方向与坐标方向相反．2 -18 一质量为m 的小球最初位于如图(a)所示的A 点,然后沿半径为r 的光滑圆轨道ADCB 下滑．试求小球到达点C 时的角速度和对圆轨道的作用力．分析该题可由牛顿第二定律求解．在取自然坐标的情况下,沿圆弧方向的加速度就是切向加速度a ｔ,与其相对应的外力F ｔ是重力的切向分量mg sin α,而与法向加速度a n 相对应的外力是支持力F N 和重力的法向分量mg cos α．由此,可分别列出切向和法向的动力学方程F ｔ＝m d v/d t 和F n ＝ma n ．由于小球在滑动过程中加速度不是恒定的,因此,需应用积分求解,为使运算简便,可转换积分变量．倡该题也能应用以小球、圆弧与地球为系统的机械能守恒定律求解小球的速度和角速度,方法比较简便．但它不能直接给出小球与圆弧表面之间的作用力．解小球在运动过程中受到重力P 和圆轨道对它的支持力F N ．取图(b)所示的自然坐标系,由牛顿定律得tm αmg F t d d sin v =-= (1) Rm m αmg F F N n 2cos v =-= (2) 由t αr t s d d d d ==v ,得vαr t d d =,代入式(1),并根据小球从点A 运动到点C 的始末条件,进行积分,有()⎰⎰-=αααrg o 090d sin d vv v v得 αrg cos 2=v则小球在点C 的角速度为 r αg rω/cos 2==v 由式(2)得 αmg αmg rm m F N cos 3cos 2=+=v 由此可得小球对圆轨道的作用力为αmg F F N Ncos 3-=-=' 负号表示F ′N 与e n 反向．2 -19 光滑的水平桌面上放置一半径为R 的固定圆环,物体紧贴环的内侧作圆周运动,其摩擦因数为μ,开始时物体的速率为v 0 ,求：(1) t 时刻物体的速率；(2) 当物体速率从v 0减少到12 v 0时,物体所经历的时间及经过的路程．分析运动学与动力学之间的联系是以加速度为桥梁的,因而,可先分析动力学问题．物体在作圆周运动的过程中,促使其运动状态发生变化的是圆环内侧对物体的支持力F N 和环与物体之间的摩擦力F ｆ ,而摩擦力大小与正压力F N ′成正比,且F N 与F N ′又是作用力与反作用力,这样,就可通过它们把切向和法向两个加速度联系起来了,从而可用运动学的积分关系式求解速率和路程．解 (1) 设物体质量为m ,取图中所示的自然坐标,按牛顿定律,有Rm ma F n N 2v ==tma F t d d f v -=-= 由分析中可知,摩擦力的大小F ｆ＝μF N ,由上述各式可得tR μd d 2v v -= 取初始条件t ＝0 时v ＝v 0 ,并对上式进行积分,有⎰⎰-=v v v v 020d d μR t t tμR R 00v v v += (2) 当物体的速率从v 0 减少到1/2v 0时,由上式可得所需的时间为v μR t =' 物体在这段时间内所经过的路程 ⎰⎰''+==t t t tμR R t s 0000d d v v v 2ln μR s = 2 -20 质量为45.0 kg 的物体,由地面以初速60.0 m·ｓ-1 竖直向上发射,物体受到空气的阻力为F r ＝kv,且k ＝ N/( m·ｓ-1 )．(1) 求物体发射到最大高度所需的时间．(2) 最大高度为多少分析物体在发射过程中,同时受到重力和空气阻力的作用,其合力是速率v 的一次函数,动力学方程是速率的一阶微分方程,求解时,只需采用分离变量的数学方法即可．但是,在求解高度时,则必须将时间变量通过速度定义式转换为位置变量后求解,并注意到物体上升至最大高度时,速率应为零．解 (1) 物体在空中受重力mg 和空气阻力F r ＝kv 作用而减速．由牛顿定律得t m k mg d d v v =-- (1)根据始末条件对上式积分,有⎰⎰+-=v v vv v 0d d 0k mg m t t s 11.61ln 0≈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=mg k k m t v (2) 利用yv t d d d d v v =的关系代入式(1),可得 ym k mg d d v v v =-- 分离变量后积分⎰⎰+-=000d d v vv v k mg m y y故 m 1831ln 00≈⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=v v mg k k mg k m y 讨论如不考虑空气阻力,则物体向上作匀减速运动．由公式g t 0v =和gy 220v =分别算得t ≈ｓ和y≈184 m,均比实际值略大一些． 2 -21 一物体自地球表面以速率v 0 竖直上抛．假定空气对物体阻力的值为F r ＝kmv 2 ,其中m 为物体的质量,k 为常量．试求：(1) 该物体能上升的高度；(2)物体返回地面时速度的值．(设重力加速度为常量．)分析由于空气对物体的阻力始终与物体运动的方向相反,因此,物体在上抛过程中所受重力P 和阻力F r 的方向相同；而下落过程中,所受重力P 和阻力F r 的方向则相反．又因阻力是变力,在解动力学方程时,需用积分的方法．解分别对物体上抛、下落时作受力分析,以地面为原点,竖直向上为y 轴(如图所示)．(1) 物体在上抛过程中,根据牛顿定律有ym t mkm mg d d d d 2v v v v ==-- 依据初始条件对上式积分,有 ⎰⎰+-=0200d d v vv v k g y y ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=202ln 21v v k g k g k y 物体到达最高处时, v ＝0,故有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+==g k g k y h 20max ln 21v (2) 物体下落过程中,有yv m km mg d d 2v v =+-对上式积分,有⎰⎰--=0200d d v v v v k g y y则 2/1201-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=g k v v v2 -22 质量为m 的摩托车,在恒定的牵引力F 的作用下工作,它所受的阻力与其速率的平方成正比,它能达到的最大速率是v m ．试计算从静止加速到v m /2所需的时间以及所走过的路程．分析该题依然是运用动力学方程求解变力作用下的速度和位置的问题,求解方法与前两题相似,只是在解题过程中必须设法求出阻力系数k ．由于阻力F r ＝kv 2 ,且F r 又与恒力F 的方向相反；故当阻力随速度增加至与恒力大小相等时,加速度为零,此时速度达到最大．因此,根据速度最大值可求出阻力系数来．但在求摩托车所走路程时,需对变量作变换．解设摩托车沿x 轴正方向运动,在牵引力F 和阻力F r 同时作用下,由牛顿定律有tm k F d d 2v v =- (1) 当加速度a ＝d v /d t ＝0 时,摩托车的速率最大,因此可得k ＝F/v m 2 (2)由式(1)和式(2)可得t m F m d d 122v v v =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛- (3) 根据始末条件对式(3)积分,有⎰⎰-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=m m tF m t v v v v 2101220d 1d则 3ln 2F m t m v =又因式(3)中xm t m d d d d v v v =,再利用始末条件对式(3)积分,有⎰⎰-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=m m xF m x v v v v 2101220d 1d则 F m F m x m m 22144.034ln 2v v ≈= *2 -23 飞机降落时,以v 0 的水平速度着落后自由滑行,滑行期间飞机受到的空气阻力F 1＝-k 1 v 2 ,升力F 2＝k 2 v 2 ,其中v 为飞机的滑行速度,两个系数之比k 1/ k 2 称为飞机的升阻比．实验表明,物体在流体中运动时,所受阻力与速度的关系与多种因素有关,如速度大小、流体性质、物体形状等．在速度较小或流体密度较小时有F ∝v ,而在速度较大或流体密度较大的有F ∝v 2 ,需要精确计算时则应由实验测定．本题中由于飞机速率较大,故取F ∝v 2 作为计算依据．设飞机与跑道间的滑动摩擦因数为μ,试求飞机从触地到静止所滑行的距离．以上计算实际上已成为飞机跑道长度设计的依据之一．分析如图所示,飞机触地后滑行期间受到5 个力作用,其中F 1为空气阻力, F 2 为空气升力, F 3 为跑道作用于飞机的摩擦力,很显然飞机是在合外力为变力的情况下作减速运动,列出牛顿第二定律方程后,用运动学第二类问题的相关规律解题．由于作用于飞机的合外力为速度v 的函数,所求的又是飞机滑行距离x ,因此比较简便方法是直接对牛顿第二定律方程中的积分变量d t 进行代换,将d t 用vx d 代替,得到一个有关v 和x 的微分方程,分离变量后再作积分．解取飞机滑行方向为x 的正方向,着陆点为坐标原点,如图所示,根据牛顿第二定律有tm k F N d d 21v v =- (1) 022=-+mg k F N v (2)。

动力学2非惯性系

解：以地面为参考系（惯性系）， hamster受力为零，向心加速度为零，
d 2x dt 2

0,
d2y dt 2

0
转轮
Fc=2mv
以转轮为参考系（非惯性系）
受力情况？
Hamster的加速度： 2r
v
Fc-F离=ma’ 2mv-m2r = m2r F离=m2r
思考：如果转轮的速度是 =v1/r, hamster的相对速度为
F
“转m动 ”r参考m系中 (，牛顿r)运动0 定m律a：'.
物体相对于转动参考系静止。
切向惯性力
惯性离心力
例（P165）：试研究地面上物体的重量。所谓重量即静止于地球上的物体施于其承托物的力。
隔离物体具体分析（重力、惯性离心力) 建立坐标(Z’为天顶,X’为南方)
（用到x 0, y 0）
y'
d 2x' / dt 2 2x'2(x sin t y cost)
Fc f
2m

qv

B

v' 2mv'.
方向判断：类似于洛仑兹力
(B) Fc
科里奥利力的方向：北半球——向右南半球——向左
左、右不同因为南半球人是头向“下”
的
Fc v(qv) (B) v(qv) 上
Fc
上
av质点av作''一般rr的.“相 (对” r运)系关和动，键相2从：对而掌”av正’握加'. 0确“ 速计度绝入之对惯间、性的牵力关连。
dy' / dt x cost y sin t x sin t y cost

力学习题-第11章狭义相对论(含答案)

3. 设 S 和 S′是两个相对作匀速直线运动的惯性系，则在 S 系中同一时刻、不同地点发生的
两个事件，在 S′系一定不同时发生答案：对
4. 两只相对运动的标准时钟 A 和 B，从 A 所在的所在惯性系观察，走得快得是 A，从 B 所在的所在惯性系观察，走得快得是 B。答案：对
5. 可以同时发生的两个事件的空间间隔，在它们同时发生的惯性系中最短答案：错
D. 惯性系与非惯性系之间答案：C
7. 设 S′系的 X′轴与 S 系的 X 轴始终重合，S′系相对 S 系以匀速 u 沿 X（X′）轴运动，一刚性直尺固定在 S′系中，它与 X′轴正向的夹角为 45 度，则在 S 系中测量该尺与 X 轴正向的夹角为
A. 大于 45 度 B. 等于 45 度 C. 小于 45 度 D. 若 u 沿 X′轴正向则大于 45 度、若 u 沿 X′轴负向则小于 45 度答案：A
第十一单元狭义相对论单元测验题一、单选题 1. 设地球可看做惯性系，则按照牛顿力学的经典时空观，下列说法错误的是 A. 在地球上同时发生的两个事件，在人造卫星上观察也是同时发生的 B. 在地球上两个事件相隔 1 小时发生，在人造卫星上观察也相隔 1 小时 C. 在地球上某处测量向各个方向传播的光速大小，结果都相同 D. 在地面上测量一列火车的长度，火车静止时和高速运动时测量的结果相同答案：C
10. 自然界中任何真实物体在真空中的运动速度都不能大于 c
答案：对
6. 可以同地发生的两个事件的时间间隔，在它们同地发生的惯性系中最短答案：对
7. 在惯性系中观测，运动物体在其运动方向上的长度要缩短答案：对
8. 当两个参考系的相对运动速度远小于光速时,可用伽利略变换代替洛伦兹变换答案：对

第二章 2.5 力学相对性原理惯性系与非惯性系

F
地面参考系：
ω
Байду номын сангаас
F
桌面参考系：
m
Fi
ω
F=
2 mlω en
a = 0, F ≠ 0
设在匀角速转动的非惯性系中的虚拟力：
2 惯性离心力 Fi = − mω Ren 2 F + Fi = −mω len + Fi = 0 （小球相对桌面静止）
例2 由于地球的自转, 故物体在地球表面所受的重力与物体所处的纬度有关, 试找出他们之间的关系. 解: 在地面纬度θ 处 , 物体的重力P（视重）等于地球引力与自转效应的惯性离心力之矢量合，即
例1 动力摆可用来测定车辆的加速度. 一根质量不计的细棒一端固定在车厢的顶部, 另一端系一小球, 当列车以加速度 a 行驶时, 细杆偏离竖直线成 α 角. 试求加速度 a 与摆角 α 间的关系 . 解以车厢为参考系（非惯性系）小球处于平衡状态. 分量式
解得

惯性离心力 l m
如何解决？
光滑桌面
1）凡相对于惯性系作匀速直线运动的一切参考系都是惯性系 . 2）对于不同惯性系，牛顿力学的规律都具有相同的形式，与惯性系的运动无关 . 伽利略相对性原理
力学相对性原理
y＇ u x
二
非惯性系和惯性力
1 非惯性系地面参考系：小球保持匀速直线运动.
− a0
N
P
光滑桌面 m
a v0
θ
A
FTA
o′
Ff = µFN
d θ dθ ≈ sin 2 2
dFT = Ff = µFN
dθ cos ≈1 2
Ff
FT

力学竞赛资料惯性参考系与非惯性参考系

惯性参考系与非惯性参考系目的•正确理解惯性参考系的定义•正确识别惯性参考系与非惯性参考系•正确理解惯性力的概念•知道惯性力不是物体间的相互作用•会正确运用惯性力计算有关问题思考问题1：牛顿第一定律的内容是什么？(答：一切物体总保持静止或匀速直线运动状态，直到有外力迫使它改变这种状态为止。

)说明：这条定律正确地说明了力与运动的关系：物体的运动不需要力去维持：力是改变物体运动状态(产生加速度)的原因。

问题2：当你和同伴同时从平台跳下，如各自以自身为参考系，对方做什么运动？(答：对方是静止的。

)问题3：在平直轨道上运动的火车中有一张水平的桌子，桌上有一个小球，如果火车向前加速运动，以火车为参考系，小球做什么运动？(答：小球加速向后运动。

)疑问：问题 2 中，既然对方是静止的，按照牛顿第一定律，他不应受到力的作用，然而每个人都的确受到重力的作用。

这怎么解释呢？问题 3 中，小球加速向后运动，按照牛顿第一定律，小球应受到力的作用，然而小球并没有受到向后的力。

这又怎么解释呢？对这个问题暂时还不能解释，但我们至少能说明一点：并非对一切参考系，牛顿第一定律都成立。

惯性参考系与非惯性参考系我们以牛顿运动定律能否成立来将参考系划分为两类：惯性参考系和非惯性参考系。

•两种参考系•惯性参考系：牛顿运动定律成立的参考系，简称惯性系。

中间空出两行。

•非惯性参考系：牛顿运动定律不能成立的参考系。

要判断一个参考系是否为惯性参考系，最根本的方法是根据观察和实验；判断牛顿运动定律在参考系中是否成立。

分析问题 2 ：当你和同伴同时从平台跳下，以地面为参考系，做匀加速运动。

由于人受重力作用，所以人做匀加速运动，这是符合牛顿运动定律的。

我们生活在地球上，通常是相对地面参考系来研究物体运动的。

伽利略的理想实验以及我们前面做过的研究运动和力的关系的实验，都是以地面作参考系的。

在地面上作的许多观察和实验表明：牛顿运动定律对地面参考系是成立的。