水平集方法

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优点：可以方便的处理曲线演化时拓 扑结构的变化
t=0
t=1
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曲线演化的一般方程式可表示为 C N ，其中 为法向速率，为单位法向方向 N t （这里C C ( p, t ) ( x( p, t ), y( p, t )) ）
说明：曲线几何形状的变化只与运动速度的 法向分量有关
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u u t
水平集方法在曲线演化中 的一些应用
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如可取
1 1 I
2
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偏微分方程应用于图像处理的基本思想 1.构造合理的能量泛函 2.用变分法极小化能量泛函得到该泛函的 梯度下降流 3.将梯度下降流转化为相应的偏微分方程
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例：测地活动轮廓模型
能量泛函： R (C ) 1 g ( I (C (q)) ) C '(q) dq L
0 1
问题：如何实现追踪 以检测到的运动区域边缘轮廓线为初始曲线，该 曲线包含了运动物体，在梯度力的作用下，曲线 朝目标边缘演化。实现追踪
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33 (a) Initial curve (b) motion detection result and (c) tracking result
实现检测与追踪的总的能量泛函
水平集方法 在运动目标检测与跟踪中的一些应用
重庆大学行业信息化工程中心 张世征 2011年3月25日
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主要内容： 一、 水平集方法简介 二、 水平集在运动目标检测与跟 踪中的应用
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水平集
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水平集方法（Level set method）
通过把二维平面曲线嵌入到三维曲 面将平面闭曲线的演化问题转化为 三维曲面的演化.
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对分布参数的估计： 对差分图像中的任一点，由全概率公式，其概 率密度函数为 pD (d ) P pS (d ) P pM (d ) S M
p 这里 PS 为图像中一点属于静态点的概率， S (d ) 是该点在为静态点的条件下取上述值的条件概 x d 率。px ( d ) e ( x S or M ) 2 采用最大似然估计方法估计参数 {(PL , L ) : L {S : static , M : mobile}}
其对应的演化方程为
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35
36

Thank
you
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与平面 u
c相交得到水平集（线）
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由数学推导，对随时间变化的二维函数水平集
C (t ) : {( x, y), u( x, y, t ) c}
Baidu Nhomakorabea
其曲线演化方程可表示为 。这就是曲线 演化水平集方法的基本方程式 u 的构造 常选取为平面上到曲线的带符号的距离，即 d[( x, y), C ],( x, y)在封闭曲线C外部 u( x, y) ( d [( x, y), C ]， x, y)在封闭曲线C内部 式中d 表示点与曲线之间的Euclidean距离 优点：距离函数具有性质 u 1。这意味着u ( x, y ) 的变化率处处是均匀的，没有太陡的坡地，也 没有平原。这将有利于数值计算的稳定性。
t ( g ( I D , D ) g ( I D , D ). )
1 e 2

x2 2 2
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追踪部分
在原有能量泛函上添加梯度函数项
E2 (C ( p)) g ( I (C ( p); t ) , T ) C ( p) dp
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本文选取的嵌入函数
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运动目标检测部分（detection）
基本思想： 1.建立判断某一点位于运动目标在两帧图 像中的运动区域边缘的概率函数 2.建立基于该概率函数的能量泛函，极小 化能量泛函使得轮廓线向运动区域边缘 演化并最终到达边缘
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图像序列 I ( s; t ) 帧间差分图像 D(s; t ) I (s; t ) I (s; t 1) 将差分图像看作动态（mobile）点与静态（static）点 的集合。动态点：在当前帧或前一帧属于运动目标。 静态点：在当前帧和前一帧均属于背景。 假定动态点与静态点均服从相似的概率分布。 本文 中假定服从Laplacian law.
x
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Laplacian modes
Gaussian modes
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建立判断边缘点的概率函数
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I D max B(s)
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建立能量泛函
1 0
E1[C ( p)] g ( I D (C ( p))) C ( p ) dp

其中
g ( x)
用变分法求得其梯度下降流，对应的PDE为
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水平集方法的数学表示
一条平面封闭曲线可隐式表示为一个二维函数 的水平集（线）：
C {( x, y), u ( x, y) c} 既将其看作三维曲面 u u ( x, y )与平面u c
的交线。 随时间t变化的平面封闭曲线可表示为：
C (t ) : {( x, y), u( x, y, t ) c} 可看作随时间 t变化的三维曲面簇 u u ( x, y, t )
0

L (C )
0
g ( I (C ( s)) )ds
g 其中I 为图像灰度， 取为
1 1 I (C (q))
p
( p 1or 2)
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利用变分法求得该泛函的梯度下降流 将梯度下降流转化为PDE
u u u div( g ( I ) ) t u u g ( I ) u div( ) g ( I )u u g ( I ) u g ( I )u
Ct ( g (C) g (C) N ) N
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迭代0次
迭代400次
迭代1200次
迭代1600次 16
Geodesic Active Contours and Level Sets for the Detection and Tracking of Moving Objects
Paper comes from: IEEE TRANSACRIONS ON PATTERAN ANALYSIS ANS MACHINE INTELLIGENCE, VOL.22,NO.3, MARCH 2000 Author: Nikos Paragios and Rachid Deriche