速率分布函数

8kT m
2
vp
2kT m
f (v)
v v vp
o
vp v
v
2
v
说明
f(v)
T
p
( 一般三种速率用途各 不相同 讨论速率分布一般用 v · 讨论分子的碰撞次数用 v · 讨论分子的平均平动动 · 能用
O
vp v
v
v
2
v2
(2) 同一种气体分子的三种速率的大小关系: v 2 v v p
fi 的取值范围：
0 fi 1
2.统计平均值
测得物理量M: M1、M2、Mn出现的次数分别为 N1、N2、Nn M的算术平均值：
M1 N 1 M 2 N 2 M n N n M N1 N 2 N n
M i N i M i f i N
平均值
N
两边微分
mvv
/ kT
代入上式得
N 4 2π 1 2 f ( ) e 32 N (2π kT )

意义： 上式表明理想气体在平衡态下，分子动能在
~ + 区间内的分子数与总分子数的比率。
思考 最概然平动动能是否等于最概然速率所对应的平
动动能?
统计规律的特点：
x
Δx
1. 分布函数 概率(几率):
一定条件下，某偶然事件出现的可能性的大小
设 N---实验总次数，Ni---事件A出现次数，
则
Ni f i lim N N Ni 即 fi N
fi 随Ni变化的函数式--分布函数
对所有事件：

Ni fi N
N 1 N
i
--分布函数是归一化的
§6 麦克斯韦
分子速率分布定律
§5 麦克斯韦分子速率分布定律
一、统计规律
[伽尔顿板实验]
粒子落入其中一 格是一个偶然事 件，大量粒子在 空间的分布服从 统计规律。
...................................... ......................................................... ........................................
：
真实值 (统计平均值)
二、分子速率分布的测定—斯特恩实验
φ
v
金属 蒸汽 方向选择
ω
t2
L
ω
屏
L t1 v
速率选择器
t1 t 2
v L
葛正权测定分子速率实验：
B G
热原子炉
速 验 400~500 20.6 % 1920年斯特 率 数 500~600 15.1 % 恩从实验上证 分 据 600~700 9.2 % 实了速率分布 布 700~800 4.8 % 定律。 的
800~900 ＞ 900
速率区间 百分数 (m/s) 1859年麦克 1.4 % ＜100 斯韦从理论上 100~200 8.1 % 得到速率分布 分 200~300 16.5 % 定律。 子 实 300~400 21.4 %
2.0 % 0.9 %
三、麦克斯韦分子速率分布定律
设 N 为气体分子总数，N为 v v+v 区间内气体分子数。 N v v+ v 速率区间 的分子 : 数占总分子数的百分比 N
x 2
2
2
1 0 x e d x 2 2 3 4 x 2 x x e d 52 0 8
3 x 2

(4）方均根速率
v
2
2
v
2


0
v dN N
2
v f ( v ) dv
0

3kT m
v
2
3kT m
3 RT M mol
wk.baidu.com v
2
3kT v m
Nv
v 0
m 3 / 2 mv 2 / 2 kT 2 4 ( ) e v 2kT f (v)
dN f ( v )dv N
o dv
v
讨论：
f (v)
（1）归一化条件：
dN f (v)= N dv
dN f ( v )dv N

v dv
f ( v )dv 1
0
N 1 v附近单位速率区间的分 : N v 子数占总分子数的百分比
定义：
vz
dv
N 1 f ( v) N v
速率分布函数：
(v x , v y , v z )
v
d Nv
（1）是速率 v 的函数
（2）是温度 T 的函数
vx
vy
速度空间
v附近单位速率区间的 分子数占总分子数的百 分比
对一定量理想气体，处于平衡状 态麦克斯韦证明： f v N
2kT m
0
vp
2 RT M mol
(3）算术平均速率
v
N
v

0
vdN N

0

vNf v dv
vf v dv
0

得：
8kT v m
8 RT M mol
高斯积分：
0 e d x 2 1 2 x 1 x 0 x e d 2 2 x x 0 x e d 4 3 2
(5）T、m 变化对曲线的影响。
vp
m 一定
f (v)
T低
2kT m
T 一定
f (v)
m大 m小
T高 0
v 0
v
(6) 气体分子按平动动能的分布规律
麦克斯韦速率分布定律
N m 3 / 2 2 m v 2 / 2 kT 4 π( ) v e v N 2π kT
1 mv 2 2
v
物理意义是所有速率区间内分子数 百分比之和应等于1。
讨论： （2）最概然速率
f (v)
o vp 其意义为：速率在 vp 附近 单位速率间隔的分子数占总分子 数比率最大。
v
df ( v ) 0 dv
4 ( / ) 2 ve
3/ 2 2
m 2kT
v 2

v 2
v 2 ve
粒子数按空间 位置 X 分布曲线
N: x x+x的 粒子数
...................................... ......................................................... ........................................
统计规律是对大量偶然事件整体起作 用的规律。 统计规律从本质上不同于每一事件的 动力学规律。 统计规律总是伴随着涨落（起伏）现 象
说明下列各式的物 理意义： v v+ d v 速率区间 的分子 f ( v )dv