微积分期末复习指导_20201209172955_202012092133568
（完整版）微积分复习资料
（完整版）微积分复习资料基本知识复习⼀、不定积分1．不定积分概念，第⼀换元积分法（1）原函数与不定积分概念设函数()F x 与()f x 在区间(),a b 内有定义，对任意的(),x a b ∈，有()()'F x f x =或()()dF x f x dx =，就称()F x 是()f x 在(),a b 内的⼀个原函数。
如果()F x 是函数()f x 的⼀个原函数,称()f x 的原函数全体为()f x 的不定积分,记作()(),f x dx F x C =+?（2）不定积分得基本性质1．()()df x dx f x dx=?2。
()()'F x dx F x C =+? 3。
()()()().Af x Bg x dx A f x dx B g x dx +=+（3）基本不定积分公式表⼀()()122222(1)2)1,13ln C,x (4)arctan ,1(5)arcsin ,(6)cos sin ,(7)sin cos ,(8)sec tan ,cos (9)csc cot ,sin (10)sec t kdx kx C k x x dx C dx x dx x C x x C xdx x C xdx x C dx xdx x C x dx xdx x C x x µµµµ+=+=+≠-+=+=++=+=+=-+==+==-+是常数，（1（）22an sec ,(11)csc cot csc ,(12),ln (13),(14),1(15),1(16).xxxdx x C x xdx x C a a dx C ashxdx chx C chxdx shx C dx thx C ch x dx cthx C sh x =+=-+=+=+=+=+=-+（3）第⼀换元积分法（凑微分法）设()f u 具有原函数, ()u x ?=可导,则有换元公式()()()()'.u x f x x dx f u du =??=?2．第⼆换元积分法，分部积分法（1）第⼆换元积分法设()x t ψ=是单调的、可导的函数,并且()'0t ψ≠.⼜设()()'f t t ψψ具有原函数,则有换元公式()()()()1',t x f x dx f t t dt ψψψ-=??=其中()1x ψ-是()x t ψ=的反函数.（2）分部积分法设函数()u u x =及()v v x =具有连续导数,那么,()''',uv u v uv =+移项,得 ()'''.uv uv u v =-对这个等式两边求不定积分,得''.uv dx uv u vdx =-??这个公式称为分部积分公式.它也可以写成以下形式:.udv uv vdu =-??（3）基本积分公式表⼆(2222(17)tan ln cos )cot ln sin ,sec ln sec tan C,(20)csc ln csc cot ,1(21)arctan ,1(22)ln ,2(23)arcsin ,(24)ln ,(2xdx x C xdx x C xdx x xdx x x C dx x C a x a a dx x adx C x a a x a xC a x C =-+=+=++=-+=++-=+-+=+=++，（18（19）5)ln .x C =+ （3）有理函数的积分，三⾓函数有理式的积分，某些简单⽆理式的积分⼀、有理函数的积分两个多项式的商()()P x Q x 称为有理函数，⼜称为有理分式.我们总假定分⼦多项式()P x 与分母多项式()Q x 之间是没有公因式的.当分⼦多项式()P x 的次数⼩于分母多项式()Q x 的次数时,称这有理函数为真分式,否则称为假分式.利⽤多项式的除法,总可以将⼀个假分式化成⼀个多项式与⼀个真分式之和的形式,由于多项式的积分容易求,故我们将重点讨论真分式的积分⽅法.对于真分式()()n m P x Q x ,⾸先将()m Q x 在实数范围内进⾏因式分解,分解的结果不外乎两种类型:⼀种是()kx a -,另外⼀种是()2lx px q ++,其中,k l 是正整数且240p q -<;其次,根据因式分解的结果,将真分式拆成若⼲个分式之和.具体的做法是:若()m Q x 分解后含有因式()kx a -,则和式中对应地含有以下k 个分式之和:()()()122,k kA A A x a x a x a +++---L 其中:1,,k A A L 为待定常数.若()m Q x 分解后含有因式()2lx px q ++,则和式中对应地含有以下l 个分式之和:()()()11222222,l l l M x N M x N M x N x px q x px q x px q ++++++++++++L 其中:(),1,2,,i i M N i l =L 为待定常数.以上这些常数可通过待定系数法来确定.上述步骤称为把真分式化为部分分式之和,所以,有理函数的积分最终归结为部分分式的积分.⼆、可化为有理函数的积分举例例4 求()1sin .sin 1cos xdx x x ++?解由三⾓函数知道,sin x 与cos x 都可以⽤tan2x的有理式表⽰,即 222222222tan 2tan22sin 2sin cos ,22sec 1tan 221tan 1tan 22cos cos sin .22sec 1tan 22x x x x x x xx xx x x x x ===+--=-==+如果作变换()tan2xu x ππ=-<<,那么 22221sin ,cos ,11u u x x u u -==++ ⽽2arctan ,x u =从⽽2.1dx du u =+ 于是()22222221sin sin 1cos 2211121111112212ln 2211tan tan ln tan .42222 xdx x x u du u u u u u u u du u u u u C x x xC ++??+ ?++??=??-+ ?++??=++=+++ ?=+++例5求. 解u =,于是21,2,x u dx udu =+=从⽽所求积分为()222222111212arctan 12.u u dx udu dux u u du u u C u C =?=++?=-=-++??=+ 例6求u =,于是322,3,x u dx u du =-=从⽽所求积分为223113113ln 13ln 1.2u duu u duu u u u C C =+?=-+ +=-+++=+例7 求解设6x t =,于是56,dx t dt =从⽽所求积分为()()52223266111616arctan 16arctan .t t dt dt t t tdt t t C t C ==++?=-=-+ +=+例8求解t =,于是()2222112,,,11x tdtt x dx x t t +===---从⽽所求积分为 ()()()22222222*********ln 1122ln 1ln 12ln 1ln .t t t t dt dtt t t dt t Ct t t t t C x C -=-?=----?=-+=--+ -+=-++--+=-++⼆、定积分（1）定积分概念，微积分基本定理，定积分得基本性质（1）定积分的概念1。
微积分期末复习指导
“微积分”期末复习指导第一章 函数一．本章重点复合函数及分解，初等函数的概念。
二．复习要求1、 能熟练地求函数定义域；会求函数的值域。
2、理解函数的简单性质，知道它们的几何特点。
3、 牢记常函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等六类基本初等函数的表达式，知道它们的定义域、值域、性质及图形特点。
其中⑴. 对于对数函数ln y x =不仅要熟记它的运算性质，还能熟练应用它与指数函数 x y e =互为反函数的关系，能熟练将幂指函数作如下代数运算： ln vu v ue =⑵.对于常用的四个反三角函数，不仅要熟习它们的定义域、值域及简单性质，还要熟记它们在特殊点的函数值.4、 掌握复合函数，初等函数的概念，能熟练地分解复合函数为简单函数的组合。
5、 知道分段函数，隐函数的概念。
. 三．例题选解例1. 试分析下列函数为哪几个简单函数（基本初等函或基本初等函数的线性函数）复合而成的？ ⑴.2sin x y e =⑵.21arctan()1y x =+ 分析：分解一个复合函数的复合过程应由外层向里层进行，每一步的中间变量都必须是基本初等函数或其线性函数（即简单函数）。
解：⑴.2,,sin u y e u v v x===⑵.21arctan ,, 1.y u u v x v===+例 2. cot y arc x =的定义域、值域各是什么？cot1arc ＝？ 答：cot y arc x = 是cot ,(0,)y x x π=∈ 的反函数，根据反函数的定义域是原来函数的值域，反函数的值域是原来函数的定义域，可知c o t y a rc x =的定义域是(,)f D =-∞+∞，值域为(0,)f Z π=. cot14arc π=四．练习题及参考答案1. ()arctan f x x =则f (x )定义域为 ，值域为 f (1) = ；(0)f = .2.()arcsin f x x =则f (x )定义域为 ，值域为 f (1) = ；3()2f = .3.分解下列函数为简单函数的复合： ⑴.3x y e -= ⑵.3ln(1)y x =- 答案：1.（-∞ +∞）, (,)22ππ-,,04π2. []1,1,,,,2223ππππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ .3. ⑴.,3u y e u x ==-⑵.3ln ,1.y u u x ==-自我复习：习题一.（A ）55．⑴、⑵、⑶； 习题一.（B ）.11.第二章 极限与连续一．本章重点极限的计算；函数的连续及间断的判定；初等函数的连续性。
微积分——复习课.doc
微积分一一复习课老师总结性讲话：首先，课本上的方法要搞懂，然后要搞懂例题。
这是最基本的，没有这基础，你再复习，也没有用的。
老师提供的复习要点(例题略)一、求函数极限1、记住重要的函数极限lim (l + x)x = eXT Of. ln(l + x) 1hm --- =lI。
Xe x -Ilim ---- = Iio xlim ——=a (Q为常数)10 x。
工—1lim ---- = lna ( a >0,。
主1 常数)10 %2、重要的等价无穷小量当XT O时，sinx x , ln(l + x) x , e x -1 x , (l + x)"-l ax (QA O常数)，a x -1 xlna等价量的意思(标准形式)：若lim丑打=1,称/'(X) g(x) (XTX。
)。
如果这两者是无穷小量, f。
g(x) 就称为等价无穷小量；如果这两者是无穷大量，就称为等价无穷大量；如果这两者是一般的量，只要他们的比例极限是1,就称为等价量。
等价量的一般形式：若IT%时，尹⑴，有sin/(x) /(x) ；ln(l+ /(%)) /(x)；e fM-l /(x)； l + /(x))fl-l «f(x) =3、求函数极限的方法一四大法宝(1)、极限的四则运算(2)、等价量替换(注：只能在分式中分子、分母中因式用等价量替换；其他情况不要乱用。
)(3)、变量代换(4)、洛比达法则/(x) zO GO / (x) 4\lim- --- (―)(一) = lim ―,= A (00)XT% g(x) 0 co XT%g (x)lim f(x)g(x)(Oco) = 或)x^>x0 1 00X^>X Q X^>X0 1 (Jg(x) /(x)lim(y(x)-g(x))(oo-oo)把每一项化成分式，通分，化简，化成9或竺，再用洛比达法则。
XT% 0 00limf(x)m>(r°) = lim{[l + (f(x) —l)]77^i \ =1血』〃"以"=欧卜X―X―I I X―lim峪(》(竺)(竺)lim (x)lnf(x) S】° oo oo lim f (x)gCv,l co o O°00 = lim = lim e s^f^ = e^s ' =e示再用洛比达法则XT% XTR二、求函数的导数1、记住基本初等函数的导数公式2、记住导数的四则运算3、理解复合函数的求导,即[/'(9(x))] =f'(9(x))9‘(x)(1)求初等函数的导数注：(X。
微积分期末复习总结资料(精品)
微积分期末复习总结资料（精品）首先，就是要有正确的复习方法。
在这里，我们也给大家提供几种有效的方法以供参考：第一、大家首先要克服浮躁的毛病，养成看课本的习惯。
其实，所有的考试都是从课本知识中发散来的，所以在复习时就必须看课本，反复的看，细节很重要，特别是基本概念和定理。
详细浏览完课本之后，认真复习课本上的课后习题和学习指导上每章的复习小结，力争复习参考题每题都过关。
复习小结了然于心，然后再复习。
第二、制定复习计划，把时间合理分配到四个章节，尤其是第二章极限尤为重点，是整个上学期微积分理论的基础。
学好极限，对于理解连续还有导数有着重要意义，很多同学觉得越学越吃力的原因还是在于学期初没有扎实的打好知识基础。
第三、理清知识结构网络图（极限、连续、导数、不定积分），然后根据知识结构网络图去发散、联想基础概念和基本定理和每个知识点的应用计算题，对本章节的内容有个清晰的思路，这样就可以在整体上把握书本知识。
从整体上把握书本知识有利于我们对于试卷中的一些基本的题目有一个宏观的把握，对于试卷中的问答题，可以从多角度去理解和把握，这样就能够做到回答问题的严密性。
第四、将课上老师所讲授的典型例题及做习题过程遇到的难题还有易错的题归纳整理，分析。
数学当中很容易出现同一个问题有几种不同的解决方法的情况，但是经过总结归纳之后在应试时可以选取一个最简单而且效率最高的解法。
比如，求极限的13种方法要分别练习，还有求导、求微分及求不定积分公式表要经常回顾。
第五、有条件的话可以看看往年的考试真题，针对出现较频率较高的题型，适当的做些有针对性的模拟试题。
另外，应该多做那些自己认为知识点理解、应用薄弱的题，对一些难题可在自己思考的基础上加强与同学、老师的交流，对于那些偏题、怪题笑而弃之。
其次，有了好的复习方法，还要注意复习内容，也就是复习要点。
微积分上学期的主要内容及基本要求经过详细整理分类主要包括以下三个部分，希望能够对大家的复习起到事半功倍的效果：函数、极限与连续(一)基本概念1．函数：常量与变量，函数的定义2．函数的表示方法：解析法，图示法、表格法3．函数的性质：函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性4．初等函数：基本初等函数，复合函数，初等函数，分段表示的函数，建立函数关系5．极限：数列极限、函数极限、左右极限、极限四则运算，无穷小量与无穷大量，无穷小量的性质，无穷小量的比较，两个重要极限6．连续：函数在一点连续，左右连续，连续函数，间断点及其分类，初等函数的连续性，闭区间上连续函数性质的叙述重点：函数概念，基本初等函数，极限的计算难点：建立函数关系，极限概念(二)基本要求1. 理解函数的概念，了解分段函数。
微积分复习及解题技巧.docx
《微积分》复习及解题技巧第一章函数一、据定义用代入法求函数值：典型例题：《综合练习》第二大题之2二、求函数的定义域：（答案只要求写成不等式的形式，可不用区间表示）对于用数学式子来表示的函数，它的定义域就是使这个式子有意义的自变量X的取值范围（集合）主要根据：①分式函数：分母H0②偶次根式函数：被开方式20③对数函数式：真数式>0④反正（余）弦函数式：自变量W1在上述的函数解析式中，上述情况有几种就列出几个不等式组成不等式组解之。
典型例题：《综合练习》第二大题Z1补充：求y=、巨的定义域。
（答案：-2<^<|）]ll-2x 2三、判断函数的奇偶性：典型例题：《综合练习》第一大题之3、4第二章极限与连续式（用罗彼塔法则）求极限主要根据:1、常见的极限：lim 占=（）（。
>0）X->COXlimlim/（x）= /（x o ） XT%初等函数在其定义域上都连续。
例:lim*TXT1兀3、求极限r ‘⑴ 1 lim —- = 1—a gO ）的思路：lim/W= ci （ci 工0常数）X —可考虑以下9种可能:00①彳型不定式（用罗彼塔法则）④5=00⑦汁limgU ） x->a②冷⑤牙<C 2（C 2^O 常数）③2=000@ —=000⑨丝型不定00X丿特别注意：对于f （X ）、g （X ）都是多项式的分式求极限吋，解法见 教材P70下总结的“规律”。
以上解法都必须贯穿极限四则运算的法则典型例题：《综合练习》第二大题之3. 4；第三大题之1、3、5. 7、81砂［而+而+而+」（2-1畑+ 1）『1］更寸一3+3丐+」右一冇丿补充4：2型一匚 limf = iXT1 丄（此题用了 “罗彼塔法则”）补充1： 洛lim x-»lsin 2(x-l)广 + ax+补充厶 limX —>00 \2x^lim 12/? +1 丿lim XT1lnxx-1贝 ij a= ~2X 4- Px — \)第三章导数和微分一、根据导数定义验证函数可导性的问题:典型例题：《综合练习》第一大题之12二、求给定函数的导数或微分：求导主耍方法复习：1、求导的基本公式：教材P1232、求导的四则运算法则:教材P110—1113、复合函数求导法则（最重要的求导依据）4、隐函数求导法（包括对数函数求导法）6、求高阶导数（最高为二阶）7、求微分：dy=y z dx即可典型例题：《综合练习》第四大题之1、2、7、9补充：设\ + （arctgx）2,求dy.解：岛…右話十，丿 / X 2arctgx、右+K)dx第四章中值定理，导数的应用一、关于罗尔定理及一些概念关系的识别问题: 典型例题：《综合练习》第一大题之16、19二、利用导数的几何意义，求曲线的切、法线方程: 典型例题：《综合练习》第二人题之5二、函数的单调性（增减性）及极值问题:典型例题：《综合练习》第一大题之18,第二大题之6,第六大题之2第五章不定积分第六章定积分I理论内容复习：1、原函数：F f(x) = /(x)则称F (x)为f (x)的二±原函数。
微积分期末复习5
b cos
a cos
r cos r d r
2
r a cos
b a 2 2
2
2
x y ax
2 2
形心
2 b b ba a 2 ba a ( , 0 ). . 2(b b a ) 2( a )
2
x r cos y r sin
26
(1) 平面薄片的转动惯量
I x y m,
2
设平面薄片占有平面区域D, 有连续密度函数 ( x , y ) y 由微元法: D
2 dI x y ( x , y ) d
x
o
Iy
( x, y)
d
dI y x ( x , y ) d ,
2
y
x
dI 0 ( x y ) ( x , y ) d ,
( x,y )d
D
2.空间区域的质量
M
( x,y,z )dv
本节介绍用重积分求质心,转动惯量,及引力
3
定积分的微元法:
(1) 所求量I 与一个变量x 有关， 选x 为积分变量
( 2 ) x [a , b ]
( 3 )求出典型区间 [ x , x d x ]上所求量的近似值
由微元法:
d M y x ( x , y )d
dM
x
y
x
o
Mx
( x, y)
D
d
y ( x , y )d ,
y
x
My
x ( x, y )d ,
D
y ( x , y ) d ,
微积分(全册)期末复习题
《微积分》（全册）期末复习题 黄士叶 老师一、填空题1、复合函数x y 5sin 4=可分解为______________________;2、若y=f （x ）的定义域是[0，1]，则)(2x f 的定义域是__________;3、=-→)13(lim 1x x ___ 4、=++→21lim1x x x ____ 5、=+∞→22342limxx x ____6、=-+-→265lim22x x x x _______;7、=++-∞→3223lim232x x x x ___8、=→x x x 5sin lim_ 9.=→xx x ωsin lim_____10、=-→xxx x sin tan lim______;11、=→xx x tan lim_____12．xx xx 21lim ）（+∞→=____ 13．x x x 1)1lim -→（ = ___ 14、xx x)81lim -∞→（ = __；15、43)31lim +∞→+x x x（ = ______； 16xx x2)21lim +∞→（ = ______；17、函数2)2(1+=x y 的间断点是______；是第______类间断点；18、函数2212)(2>≤⎩⎨⎧-=x x x x x f ，当2→x 时的左极限是______；右极限是______；在2=x 处______；（填是否连续） 19、函数3313)(≥<⎩⎨⎧-=x x x xx f ，当3→x 时的左极限是______；右极限是______；极限是______；在3=x 处______；（填是否连续） 20、函数2)1(1-=x y 当______时，是无穷大量；当______时，是无穷小量；21、函数11)2(1++-=x x y 的间断点是______和______；22、函数)(x f y =在点x 处的导数)(x f '表示曲线)(x f y =在点（x ，y ）处的______和______； 23、曲线x y ln =在点M （e ，1）处的切线方程是____________ ；24、若函数)(x f y =在点0x 处可导，则)(x f y =在点0x 处必______，且=→)(lim 0x f x x ______；25、函数112)(3++=x x x f 在定义域内是单调______的； 26、函数6)1()(-=x x f 的凹区间为________ ；27、已知函数)(x f y =在点0x 处可导，且)(0x f 是极小值，则=')(0x f ___ ； 28、若点（1，4）是曲线23bx ax y +=的拐点，则a =_____，=b ___ ；29、已知函数F （x ）和G （x ）都是函数f （x ）的原函数，且G （x ）=2x e ，F （0）=0，则F（x ）=________ ；30、已知不定积分⎰+=,)()(C x F dx x f 则⎰=dx x F x f )()(________ ；31、根据定积分的几何意义可知：⎰=-1021dx x ____；32、已知0)2(1⎰=+dx b x ，则b=________ ； 33、已知连续函数)(x f 是奇函数，且1)(10-=⎰dx x f ，则⎰-=01)(dx x f ________ ；34、曲线y=x 3在点A(2,8)处的切线斜率为_________； 二、选择题1、=→x x e 1lim （ ）A 0； B －∞； C +∞； D 不存在。
微积分-期末复习总结整理-第一章.docx
第一章第一节常用符号介绍一，集合符号1.集合与元素之间符号“W”表示“属于”,符号F “表示”不属于“。
2.集合之间符号” W “表示”包含于“；符号”=“表示”等于“；符号” 0“表示”空集”；符号“U”表示“并”；符号“CI”表示“和”；符号表示“差”或“余”。
二，数集符号自然数集：表示为“N”；整数集：表示为“Z“；有理数集：表示为” Q”。
显然有NCZCQCR区间设a, b WR, a<bo常用的有限区间有开区间 (a, b) ={x I a<x<b }；闭区间【a, b] ={x I aWxWb }；半开半闭区间：(a,, b] ={x I aVxWb }或【a, b) =(x I aWxVb }o常用的无限区间有(a, +oo) ={x I x>a} ； [a, +oo) ={x I xNa}(-oo, a) ={x I xVa} ； (-oo, a] ={x I xWa}邻域设aWR,对任意5>0,记数集U (a, 8) =(x I x-a| <8}= (a-5, a+5),称作以a为中心，以6为半径的邻域。
当不需要证明邻域半径5时，常将它表示为U(a),简称为a的邻域记数集U (a, 8) = (x I 0< x-a | <8}= (a—& a+6) Ta}, 即在a的5的邻域u(a, 5)中去掉a,称为a的6去心邻域。
第二节函数的概念一，函数的定义给定一个数集A,假设其中的元素为xo现对A中的元素x施加对应法则f,记作f (x),得到另一数集B。
假设B中的元素为y。
则y与x之间的等量关系可以用y=f (x)表示。
我们把这个关系式就叫函数关系式，简称函数。
函数概念含有三个要素：定义域A、值域C和对应法则f。
其中核心是对应法则f,它是函数关系的本质特征。
符号函数(1, x>0Y=sgnx< 0, x = 0(-1/ x <ro绝对值函数I . (—X, x<0 Y=|x|=I x, x > 0迪利克雷函数黎曼函数1 V一，X = 一Y 二q qto, x = 0, 1和3D内的无理数第三节数列的极限1.定义：设有数列｛%｝ , a是常数，若对任意的£>0 ,总存在自然数N ,对任意的自然数n>N ,有|a孔-a\ < £ ,则称数列｛%｝的极限是a , 或数列｛%｝收敛于a,表示为ZiTna” = a71T002.重点性质：唯一性，有界性，保序性3.数列收敛的判别方法：两边夹定理（夹逼定理），单调有界定理•夹逼定理:如果数列｛Xn｝,｛Yn｝及｛Zn｝满足下列条件：（1 ）当n>N0 时，其中NOeN* ,有YnWXnWZn ,（2 ）｛Yn｝、｛Zn｝有相同的极限a ,设-»<a<+oo单调性对任一数列｛Xj,如果从某一项Xk开始，满足Xk <X k+l <X k+2 < ......则称数列（从第k项开始）是单调递增的。
微积分Ⅰ总复习 完整版
无穷大: 绝对值无限增大的变量称为无穷大.
记作 lim f ( x ) (或 lim f ( x ) ).
x x0 x
无穷小与无穷大的关系
在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为 零的无穷小的倒数为无穷大.
无穷小的运算性质
定理1 在同一过程中,有限个无穷小的代数和 仍是无穷小.
un为常数
un
n 1
un为函数 un ( x )
常数项级数
一 般 项 级 数
在收敛 条件下
取 x x0
函数项级数
正 项 级 数
任 意 项 级 数
级数与数 相互转化
收 敛 半 径 R
幂级数 泰勒展开式
R( x ) 0
三角级数 傅氏展开式
满足狄 氏条件
泰勒级数 数或函数
傅氏级数
函 数
数
a 等式 x n a 都成立,那末就称常数 是数列x n a 的极限,或者称数列x n 收敛于 ,记为
lim x n a , 或 x n a ( n ).
n
" N "定义
0, N 0, 使n N时, 恒有 xn a .
定义 2
续
定
义
lim y 0
x x0
lim f ( x ) f ( x 0 )
间断点定义
左右连续
在区间[a,b] 上连续 非初等函数 的连续性
连续的 充要条件
连续函数的 运算性质 初等函数 的连续性
第一类 第二类 可跳 去跃 间间 断断 点点 无振 穷荡 间间 断断 点点
连续函数 的 性 质
关 dy y dy y dx y dy o( x ) 系 dx
微积分下册复习要点（共5篇）
微积分下册复习要点（共5篇）第一篇：微积分下册复习要点微积分下册复习要点第七章多元函数微分学1．了解分段函数在分界点连续的判别；2．掌握偏导数的计算（特别是抽象函数的二阶偏导数）必考3．掌握隐函数求导（曲面的切平面和法线），及方程组求导（曲线的切线和法平面方程）必考。
4．方向导数的计算，特别是梯度，散度，旋度的计算公式；必考。
5．可微的定义，分段函数的连续性及可微性，偏导数及偏导数的连续性。
6．多元函数的极值和最值：无条件极值和条件极值（拉格朗日乘数法），实际问题的最值。
必考。
第八章重积分1．二重积分交换积分次序；必考。
2．利用合适的坐标系计算（特别是极坐标）3．三重积分中三种坐标系的合理使用（直角坐标系，柱坐标系，球坐标系）在使用时特别注意“先二后一法”的运用。
必考。
4．重积分的应用中曲面面积、重心、转动惯量、引力的公式，曲面面积为重点。
第九章曲线曲面积分1．第一、二类曲线积分的计算公式（特别是参数方程）；2．第一、二类曲面积分的计算公式（常考第一类曲面积分，第二类曲面积分一般用高斯公式）3．三个公式的正确使用（格林公式、高斯公式、斯托克斯公式）必考。
可以参考期中考试卷中最后三个题。
4．格林公式中有“奇点”的使用条件及积分与路径无关的条件（可能和全微分方程结合）必考。
第10章级数1．数项级数的敛散性的判别：定义，收敛的必要条件，比较判别法及极限形式，比值判别法，根值判别法，莱布尼兹判别法，条件收敛和绝对收敛的概念。
2．幂级数的收敛域及和函数的计算。
（利用逐项求导和逐项积分）必考。
3．将函数展成幂级数。
（一般利用间接法）必考。
4．将函数展成傅里叶级数，系数的计算公式；狄利克雷收敛定理；几个词的理解（周期延拓、奇延拓、偶延拓、变量替换）第11章常微分方程1．各种一阶微分方程的计算：可分离变量、齐次方程、可化为齐次方程的方程、一阶线性微分方程、伯努利方程、全微分方程。
2．可降阶的微分方程三种形式，特别注意不显含x 这种情形。
经济数学微积分(下)期末复习题1
《微积分（下）》课程期末复习题（1）一、计算下列积分(每小题5分,共15分)1. 22arctan 1x xdx x ++⎰2.40⎰3. 1ln eexdx ⎰二、 求由曲线3 , 02()4 , 2x x f x x x ⎧≤≤=⎨->⎩和x 轴所围平面图形的面积，并求此图形绕x 轴旋转一周所成的旋转体体积（9分）三、求下列函数的偏导数或全微分（18分）1. ()cos sin ,x z e y xy =+，求,z z x x∂∂∂∂2. 设()yx y x z 2354+-=,求zx∂∂及z y ∂∂.3. 若(),z z x y =由方程()2sin 2323x y z x y z +-=+- 确定，计算.z z x y∂∂+∂∂四、某厂生产两种型号的产品. 已知生产A 产品x 单位. B 产品y 单位时的总成本函数为()1003070,++=y x y x C . 两种产品的需求函数分别为330 . 550B A py p x -=-=（B A p p , 分别为两种产品的价格），若限制总产量为20 ， 试求 y x , 使总利润最大。
（9分）五、重积分（15）1.已知sin()xyf x dyyπ=⎰，计算0()f x dxπ⎰。
2.计算二重积分D xydxdy⎰⎰，其中D是由抛物线2y x=及直线2y x=+所围成的闭区域。
六、 选择题 (每小题2分,共10分)1. 设⎰=+=+)( cos )1(x f c x dx x f 则( )A .)1sin(-xB .)1sin(--xC .)1sin(+xD .)1sin(+-x2. 设平面区域D 由(),(),,y f x y g x x a x b ====围成，其中a b <，(),()f xg x 均连续且()()0f x g x ≤≤，则平面区域D 绕x 轴旋转所成旋转体体积为（ ）A .()2()()baf xg x dx π-⎰B .()22()()ba g x f x dx π-⎰C . ()22()()b af xg x dx π-⎰D . ()()baf xg x dx π-⎰3. 已知00(,)3f x y =，00(,)2x f x y '=，00(,)4y f x y '=，[]00ln (,)x f x y '=( )A .13 B . 23 C . 43D . 0 4. 设二元函数(,)z f x y =在()00,x y 的某邻域内有连续的二阶偏导数，且00(,)2xxA f x y ''==00(,)0xyB f x y ''==00(,)2yyC f x y ''==，则点()00,x y （ ） A . 不是极大值点 B . 不是极小值点 C . 是极大值D . 是极小值5. 设{}22(,)14 D x y x y =≤+≤，则Ddxdy =⎰⎰（ ）A . πB . 2πC . 3πD . 4π七、填空题(每小题2分,共20分)1. 若2()f x dx x C =+⎰，则211()f dx x x =⎰______________2. 设()f x 在[,]a b 上连续，则()ba d f x dx dx =⎰3. 设)(x f 的一个原函数是cos x ，则 ='⎰dx x f x )(4.11cos )x x dx -=⎰5. 1001lim (1sin 2)xu x u du x →+⎰=6. 函数)1ln(4222y x y x z ---=的定义域为7. 设(2)x z e f x y -=--，且当0y =时，2z x =，则zx∂∂=8. 已知21xx yyx dz e dx e dy y y=-, 则2z x y ∂=∂∂ . 9. 函数333z x y xy =+-的极值点是___________________.10. 设(,)(,)Df x y x f x y dxdy =+⎰⎰, 其中D 是由(0,0),(1,0),(1,1)A B C 围成的三角形闭区域，则(,)Df x y dxdy ⎰⎰=___________________.八、证明：11(1)(1)m n n m x x dx x x dx -=-⎰⎰（4分）。
微积分下期末考试考前视频辅导视频PPT文件
un1
lim
n
un
1
lim
n
n
0.
所以由莱布尼茨定理,原级数收敛.
7、绝对收敛与条件收敛
正项和负项任意出现的级数称为一般的数项级数.
对于数项级数
u 1
u 2
u n
其中un 可以是正数、负数或零.
构造一个正项级数
un
u 1
u 2
n=1
un
称此级数为原级数的绝对值级数.
定理 若 un 收敛,则 un 收敛.
31n收敛,
故原级数收敛.
比较判别法的不便: 需有参考级数.
②比值判别法(达朗贝尔D’Alembert判别法)
设
un
是正项级数,如果
lim
n
un1 un
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
n1
则（1） 1时级数收敛;（2） 1或 时级数
发散; （3） 1时判别法失效.
比值审敛法的优点: 不必找参考级数.
例 1 判别下列级数的收敛性:
微积分下主要内容
第一章 广义积分和定积分的应用 （2） 第二章级数 第三章多元函数 第四章隐函数 第五章重积分 第六章微分方程初步
第二章 级数
数项级数 函数项级数 幂级数
一、数项级数
数项级数收敛与发散判别法 正项级数收敛与发散判别法 交错级数收敛与发散判别法 绝对收敛与条件收敛
1、 数项级数 给定一个数列u1, u2 , u3, , un , , 按
lim an1 ，
n an
其中an、an1 是幂级数 an x n 的相邻两项的系数,
n0
(1) 则当 0 时,R 1 ; (2) 当 0时,R ;
(3) 当 时, R 0.
微积分期末复习指导.doc
微积分期末复习指导一、复习要求和重点函数1•理解函数概念，了解函数的两要素——定义域和对应关系，会判断两函数是否相同。
2.掌握求函数定义域的方法，会求函数值，会确定函数的值域。
3•了解函数的属性，掌握函数奇偶性的判别，知道它的儿何特点。
4.了解复合两数概念，会对复合函数进行分解，知道初等函数的概念。
5•了解分段函数概念，掌握求分段函数定义域和函数值的方法。
6.知道初等函数的概念，理解常数函数、帚函数、指数函数、对数函数和三如函数(正弦、余弦、正切和余切)。
7.了解需求、供给、成木、平均成木、收入和利润等经济分析屮常见的函数。
&会列简单应用问题的两数关系式。
本章重点：函数概念，函数的奇偶性，儿类基木初等函数。
一元函数微分学1•知道极限概念(数列极限、函数极限、左右极限)，知道极限存在的充分必要条件：lim/(x) = A o lim f(x)二A 且lim /(x) = AXT%2•了解无穷小量概念，了解无穷小量与无穷大量的关系，知道无穷小量的性质，如有界变量乘无穷小量仍为无穷小量，即limxsin- = 0。
3.掌握极限的四则运算法则，掌握两个重要极限，掌握求极限的一般方法。
两个重要极限的一般形式是：sincr(x) ,lim ------------ = 1a(x)T() cr(x)1 丄lim (1 + ------- y(x) = e, lim (l + a(x))a(x) = e0(X)T8 (p(X)a(・Y)T()4.了解函数在一点连续的概念，知道左连续利右连续的概念。
知道函数在一点间断的概念，会求函数的间断点。
5•理解导数定义，会求曲线的切线。
知道可导与连续的关系。
6.熟练拿握导数基本公式、导数的四则运算法则、复合函数求导法则，拿握求简单隐函数的导数。
7.了解微分概念，即dy = y f dx o会求函数的微分。
8.知道高阶导数概念，会求函数的二阶导数。
本章重点：导数概念，极限、导数和微分的计算。
(完整版)微积分复习资料
基本知识复习一、 不定积分1． 不定积分概念，第一换元积分法（1） 原函数与不定积分概念设函数()F x 与()f x 在区间(),a b 内有定义，对任意的(),x a b ∈，有()()'F x f x =或()()dF x f x dx =，就称()F x 是()f x 在(),a b 内的一个原函数。
如果()F x 是函数()f x 的一个原函数,称()f x 的原函数全体为()f x 的不定积分,记作()(),f x dx F x C =+⎰（2） 不定积分得基本性质1．()()df x dx f x dx=⎰2。
()()'F x dx F x C =+⎰ 3。
()()()().Af x Bg x dx A f x dx B g x dx +=+⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰（3）基本不定积分公式表一()()122222(1)2)1,13ln C,x (4)arctan ,1(5)arcsin ,(6)cos sin ,(7)sin cos ,(8)sec tan ,cos (9)csc cot ,sin (10)sec t kdx kx C k x x dx C dx x dx x C x x C xdx x C xdx x C dx xdx x C x dxxdx x C x x μμμμ+=+=+≠-+=+=++=+=+=-+==+==-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰是常数，（1（）22an sec ,(11)csc cot csc ,(12),ln (13),(14),1(15),1(16).xxxdx x C x xdx x C a a dx C ashxdx chx C chxdx shx C dx thx C ch x dx cthx C sh x =+=-+=+=+=+=+=-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰（3） 第一换元积分法（凑微分法）设()f u 具有原函数, ()u x ϕ=可导,则有换元公式()()()()'.u x f x x dx f u du ϕϕϕ=⎡⎤=⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎰⎰2． 第二换元积分法，分部积分法（1） 第二换元积分法设()x t ψ=是单调的、可导的函数,并且()'0t ψ≠.又设()()'f t t ψψ⎡⎤⎣⎦具有原函数,则有换元公式()()()()1',t x f x dx f t t dt ψψψ-=⎡⎤=⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎰⎰其中()1x ψ-是()x t ψ=的反函数.（2） 分部积分法设函数()u u x =及()v v x =具有连续导数,那么,()''',uv u v uv =+移项,得 ()'''.uv uv u v =-对这个等式两边求不定积分,得''.uv dx uv u vdx =-⎰⎰这个公式称为分部积分公式.它也可以写成以下形式:.udv uv vdu =-⎰⎰（3） 基本积分公式表二(2222(17)tan ln cos )cot ln sin ,sec ln sec tan C,(20)csc ln csc cot ,1(21)arctan ,1(22)ln ,2(23)arcsin ,(24)ln ,(2xdx x C xdx x C xdx x xdx x x C dx x C a x a a dx x adx C x a a x a xC a x C =-+=+=++=-+=++-=+-+=+=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰，（18（19）5)ln .x C =+ （3）有理函数的积分，三角函数有理式的积分，某些简单无理式的积分一、有理函数的积分 两个多项式的商()()P x Q x 称为有理函数，又称为有理分式.我们总假定分子多项式()P x 与分母多项式()Q x 之间是没有公因式的.当分子多项式()P x 的次数小于分母多项式()Q x 的次数时,称这有理函数为真分式,否则称为假分式.利用多项式的除法,总可以将一个假分式化成一个多项式与一个真分式之和的形式,由于多项式的积分容易求,故我们将重点讨论真分式的积分方法.对于真分式()()n m P x Q x ,首先将()m Q x 在实数范围内进行因式分解,分解的结果不外乎两种类型:一种是()kx a -,另外一种是()2lx px q ++,其中,k l 是正整数且240p q -<;其次,根据因式分解的结果,将真分式拆成若干个分式之和.具体的做法是:若()m Q x 分解后含有因式()kx a -,则和式中对应地含有以下k 个分式之和:()()()122,k kA A A x a x a x a +++---L 其中:1,,k A A L 为待定常数.若()m Q x 分解后含有因式()2lx px q ++,则和式中对应地含有以下l 个分式之和:()()()11222222,l l l M x N M x N M x N x px q x px q x px q ++++++++++++L 其中:(),1,2,,i i M N i l =L 为待定常数.以上这些常数可通过待定系数法来确定.上述步骤称为把真分式化为部分分式之和,所以,有理函数的积分最终归结为部分分式的积分.二、可化为有理函数的积分举例 例4 求()1sin .sin 1cos xdx x x ++⎰解 由三角函数知道,sin x 与cos x 都可以用tan2x的有理式表示,即 222222222tan 2tan22sin 2sin cos ,22sec 1tan 221tan 1tan 22cos cos sin .22sec 1tan 22x x x x x x xx xx x x x x ===+--=-==+如果作变换()tan2xu x ππ=-<<,那么 22221sin ,cos ,11u u x x u u -==++ 而2arctan ,x u =从而22.1dx du u =+ 于是()22222221sin sin 1cos 2211121111112212ln 2211tan tan ln tan .42222xdx x x u du u u u u u u u du u u u u C x x xC ++⎛⎫+ ⎪++⎝⎭=⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭⎛⎫=++ ⎪⎝⎭⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭=+++⎰⎰⎰例5求. 解u =,于是21,2,x u dx udu =+=从而所求积分为()222222111212arctan 12.u u dx udu dux u u du u u C u C =⋅=++⎛⎫=-=-+ ⎪+⎝⎭=+⎰⎰⎰⎰ 例6求解u =,于是322,3,x u dx u du =-=从而所求积分为223113113ln 13ln 1.2u duu u duu u u u C C =+⎛⎫=-+ ⎪+⎝⎭⎛⎫=-+++=+ ⎪⎝⎭⎰⎰例7 求解 设6x t =,于是56,dx t dt =从而所求积分为()()52223266111616arctan 16arctan .t t dt dt t t tdt t t C t C ==++⎛⎫=-=-+ ⎪+⎝⎭=+⎰⎰⎰例8求.解t =,于是()2222112,,,11x tdtt x dx x t t +===---从而所求积分为 ()()()22222222*********ln 1122ln 1ln 12ln 1ln .t t t t dt dtt t t dt t Ct t t t t C x C -=-⋅=----⎛⎫=-+=--+ ⎪-+⎝⎭=-++--+⎫=-++⎪⎪⎭⎰⎰⎰二、 定积分（1） 定积分概念，微积分基本定理，定积分得基本性质 （1） 定积分的概念1。
微积分复习资料
微积分复习资料微积分复习资料微积分是数学中的一门重要学科，它研究的是函数的变化和极限。
对于学习微积分的学生来说，复习是非常重要的环节。
本文将为大家介绍一些微积分复习资料，帮助大家更好地理解和掌握微积分的知识。
一、教材复习首先，我们可以从教材入手进行复习。
微积分的教材通常包括了基本概念、极限、导数、积分等内容。
通过仔细阅读教材，并结合例题进行练习，可以帮助我们理解和掌握基本概念和方法。
同时，教材中通常会有一些习题，我们可以选择一些典型的习题进行解答，加深对知识点的理解和运用能力。
二、辅导书籍除了教材，还有很多优秀的辅导书籍可以作为复习资料。
这些书籍通常会对微积分的知识点进行更加详细的解释和讲解，并提供大量的例题和习题供我们练习。
一本好的辅导书籍可以帮助我们更好地理解微积分的概念和原理，同时提供丰富的练习题，帮助我们巩固所学知识。
三、网络资源在互联网时代，我们可以利用网络资源进行复习。
有很多微积分的学习网站和视频教程可以供我们学习和参考。
这些资源通常会有讲解微积分的基本概念和方法的视频，同时提供一些练习题供我们练习。
我们可以根据自己的需要选择合适的资源进行学习和复习。
四、习题集在复习微积分的过程中，做大量的习题是非常重要的。
通过做习题，我们可以巩固所学的知识，提高解题能力。
可以选择一些习题集进行练习，这些习题集通常会根据知识点进行分类，并提供答案和解析，方便我们检查答案和理解解题思路。
在做习题时，我们可以先选择一些简单的题目进行练习，逐渐提高难度，以提高自己的解题能力。
五、参考资料和笔记在复习微积分的过程中，我们还可以参考一些优秀的学习资料和笔记。
这些资料和笔记通常是由一些优秀的学生或教师整理而成，对于理解和掌握微积分的知识点有很大的帮助。
我们可以在学习的过程中积累自己的笔记，对于重要的概念和方法进行总结和归纳，方便我们复习和回顾。
总结起来，复习微积分需要我们系统地学习和练习。
教材、辅导书籍、网络资源、习题集以及参考资料和笔记都是非常有用的复习资料。
微积分复习要点
微积分复习要点第一章函数一、内容提要1、函数（1）定义：设有两个变量x与y。
当变量x在给定的某一变域中任意取定一值时，另一变量y就按某一确定的法则有一个确定值与x的这个值相对应，那末变量y称为变量x的函数，记作y=f(x)。
（2）定义中两要素：定义域与对应法则。
定义域：自变量x的取值范围。
对应法则：自变量x与因变量y的对应规则。
（3）注意两点：①两个函数只有当它们的定义域和对应法则都相同时，才能说它们是相同的函数。
②在不同区间上用不同数学表达式来表示的函数称为分段函数。
分段函数是一个函数而不是几个函数。
2、反函数（1）定义：设已知y是x的函数y=f(x)，如果将y当作自变量，x 当函数，则由关系式y=f(x)所确定的函数x=ϕ(y)就叫做函数f(x)的反函数，由于通常总把自变量记作x，函数记作y，因此习惯上称y=ϕ(x)为函数f(x)的反函数，记作f -1(x)，而f(x)叫做直接函数。
（2）附注：反函数的定义域与直接函数的值域相同。
3隐函数定义:凡能够由方程F(x,y)=0确定的函数关系，称为隐函数。
4、函数的简单性质有界性，奇偶性，单调性与周期性。
5、复合函数（1）定义：设y是u的函数y=f(u)，而u又是x的函数u=ϕ(x)，而且当x在某一区间I取值时相应的u值可使y有定义，则称y是x 的一个定义于区间I上的复合函数，记作y=f[ϕ(x)]。
（2）几个注意的问题：①复合函数可以简单地理解为函数的函数。
有了复合函数的概念，可以把一个较复杂的函数分解成几个简单的函数。
例如，函数y=sinx2可以看作由函数y=sinu和u=x2复合运算而产生的。
②要使复合函数y=f[ϕ(x)]有意义，必须满足函数u=ϕ(x)的值域包含在函数y=f(u)的定义域中。
6、基本初等函数与初等函数（1）基本初等函数幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数统称为基本初等函数。
（2）初等函数由基本初等函数与常数经过有限次的四则运算和复合构成的，并能用一个解析式表示的函数称为初等函数。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
试题按其难度分为容易题、中等题和较难题，其分值在试卷中的比例为：4:4:2。
三、样卷
一、单项选择题 1. 下列极限计算中，正确的是（
(A) limln( x 1) 1 x0
）．
(B) lim x
1
x2
e 2 0
2
(C) lim sin x 1 x x
1
(D) lim(1 t) t e t0
2. 关于函数 f (x) x 1 ，正确结论是（ ）．
⒎知道奇偶函数在对称区间上的积分结果。即
若 f (x) 是奇函数，则有
a
f ( x)dx 0
a
a
a
0
若 f (x) 是偶函数，则有 f ( x)dx 2 f ( x)dx 2 f (x)dx
a
0
a
本章重点：不定积分、原函数概念，积分的计算。
积分的应用
⒈掌握用定积分求简单平面曲线围成图形的面积。
更多各科期末考试学习资料答案加QQ78873162 全套已整理 微积分期末复习指导
一、复习要求和重点 函数
⒈理解函数概念，了解函数的两要素定义域和对应关系，会判断两函数是否相同。 ⒉掌握求函数定义域的方法，会求函数值，会确定函数的值域。 ⒊了解函数的属性，掌握函数奇偶性的判别，知道它的几何特点。 ⒋了解复合函数概念，会对复合函数进行分解，知道初等函数的概念。 ⒌了解分段函数概念，掌握求分段函数定义域和函数值的方法。 ⒍知道初等函数的概念，理解常数函数、幂函数、指数函数、对数函数和三角函数（正 弦、余弦、正切和余切）。
b
c
b
a f ( x)dx a f ( x)dx c f (x)dx
熟练掌握不定积分的直接积分法。 ⒊掌握第一换元积分法（凑微分法）。 注意：不定积分换元，要还原回原变量的函数；定积分换元，一定要换上、下限，直接
计算其值。
⒋掌握分部积分法。分部积分公式为：
uvdx uv vudx 或 udv uv vdu
了解定积分的定义，设 f (x) 在[a , b] 上连续，存在 F(x) 使得 F ( x) f (x) ，则
b
b
a f (x)dx F(x) a F(b) F(a)
⒉熟练掌握积分基本公式。了解不定积分和定积分的性质，尤其是：
a
a f ( x)dx 0
b
a
a f ( x)dx b f (x)dx
1
(D)
4
1 (A) dx
2x
1 (B) dx
x
1
(C)
dx
x ln10
(D) ln10 dx x
p
5. 设某商品的需求函数为q( p) 10e 2 ，则当 p 6 时，需求弹性为（ ）．
(A) 5e3
(B) －3
(C) 3
(D) 1 2
6. 设 f (x)dx F( x) C ，则 sin x f (cos x)dx （ ）．
简单的几何问题的最大（小）值问题。
本章重点：函数的极值及其应用最值问题。
一元函数积分学
⒈理解原函数与不定积分概念，会求当曲线的切线斜率已知时，满足一定条件的曲线方
程，知道不定积分与导数（微分）之间的关系。
ddx( f ( x)dx) f ( x) f ( x)dx f ( x) c
d f ( x)dx f ( x)dx df (x) f (x) c
x x0
x x0
x x0
⒉了解无穷小量概念，了解无穷小量与无穷大量的关系，知道无穷小量的性质，如有界
变量乘无穷小量仍为无穷小量，即 lim x sin 1 0 。
x0
x
⒊掌握极限的四则运算法则，掌握两个重要极限，掌握求极限的一般方法。
两个重要极限的一般形式是：
lim sin( x) 1 (x)0 (x)
b
uv
dx
uv
b
b
vudx
或
b
udv
uv
b
b
vdu
a
a
a
a
a
a
会求被积函数是以下类型的不定积分和定积分： ①幂函数与指数函数相乘， ②幂函数与对数函数相乘， ③幂函数与正（余）弦函数相乘； ⒌知道无穷限积分的收敛性，会求简单的无穷限积分。
x
⒍知道变上限定积分概念，知道(x) f (t)dt 是 f (x) 的原函数。即 a ( x) f ( x)
(A) f (x) 在 x 1处连续，但不可导
(B) f (x) 在 x 0 处连续，但不可导
(C) f (x) 在 x 1处既不连续，又不可导
(D) f (x) 在 x 1处既连续，且可导
3.
曲线 y
1 x2
在x
2 处的切线斜率是（
）．
(A) 1 4
(B) 1 2
(C) －1
4. 设 y lg 2x ，则 d y （ ）．
题类型分为单项选择题、填空题和解答题。单项选择题的形式为四选一，即在每题的
四个备选答案中选出一个正确答案；填空题只要求直接填写结果，不必写出计算过程和推理
过程；解答题包括计算题、应用题或证明题，解答题要求写出文字说明、演算步骤或推证过
程。三种题型分数的百分比为：单项选择题和填空题 40%，解答题 60%（其中若有证明题， 分数约占 5%）。
q1
q
R(q) R(q)dq 0 R(t)dt
R q2 R(t)dt q1
已知 L(q) （或 C(q) , R(q) ）
q
L(q) L(q)dq c0 0 L(t)dt c0
L q2 L(t)dt q1
本章重点：积分在几何问题与经济分析中的应用。
二、考试说明
考试采用闭卷笔试形式，卷面满分为 100 分，60 分为及格。考试时间为 120 分钟。 试
13. 计算积分 ln x 2 dx ．
x
五、应用题
14.生产某种产品产量为q（单位：百台）时总成本函数为C(q) 3 q（单位：万元），
销售收入函数为 R(q) 6q 1 q 2（单位：万元），问产量为多少时利润最大？最大利润是 2
多少？ 各科期末考试复习资料由 QQ：1175 2525 75 整理
由 y f (x) , y g( x) 及 x a , x b 围成图形的面积为 S
b
S a f (x) g( x) dx
⒉熟练掌握用不定积分和定积分求总成本函数、收入函数和利润函数或其增量的方法。
已知C (q)
已知 R(q)
q
C(q) C(q)dq c0 0 C (t)dt c0 (c 0 C(0)) C q2 C(t)dt
数的导数。
⒎了解微分概念，即 dy y dx 。会求函数的微分。
⒏知道高阶导数概念，会求函数的二阶导数。 本章重点：导数概念，极限、导数和微分的计算。
导数的应用
⒈掌握函数单调性的判别方法，会求函数的单调区间。 ⒉了解函数极值的概念，知道极值存在的必要条件，掌握极值点的判别方法。知道函数
的极值点与驻点的区别与联系，会求函数的极值。 ⒊了解边际概念和需求价格弹性概念，掌握求边际函数的方法，会求需求弹性。 ⒋熟练掌握经济分析中的平均成本最低、收入最大和利润最大等应用问题的解法，会求
lim (1
1
1
)( x ) e ， lim (1 (x))( x ) e
( x)
(x)
( x)0
⒋了解函数在一点连续的概念，知道左连续和右连续的概念。知道函数在一点间断的概
念，会求函数的间断点。
⒌理解导数定义，会求曲线的切线。知道可导与连续的关系。 ⒍熟练掌握导数基本公式、导数的四则运算法则、复合函数求导法则，掌握求简单隐函
⒎了解需求、供给、成本、平均成本、收入和利润等经济分析中常见的函数。 ⒏会列简单应用问题的函数关系式。 本章重点：函数概念，函数的奇偶性，几类基本初等函数。
一元函数微分学
⒈知道极限概念（数列极限、函数极限、左右极限），知道极限存在的充分必要条件：
lim f ( x) A lim f ( x) A 且 lim f ( x) A
．
ln(x 1)
9. 设 f (x) e x ，则 lim f (x) f (0)
．
x0
x
10.
[
1
(
x2ex
)dx]
0
．
三、极限与微分计算题
11. 求极限lim[ sin(x 1) 1 ] ． x1 x 2 1 2x 1
12. 设 y ln(2 x 1) ，求 dy ．
四、积分计算题（每小题６分，本题共 12 分）
(A) F(cos x) C
(B) F(cos x) C
(C) F(sin x) C
(D) F(sin x) C
7.
1 dx 2x 1
（
）．
(A) ln(2x) 1 C
(B) ln(2x 1) C
(C) 1 ln(2x 1) C 2
(D) 2 C (2x 1)2
二、填空题
8. 函数 y 1 3 x 的定义域是