最新微积分(上)期末考试试题A卷(附答案)

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微积分上考试题目及答案

微积分上考试题目及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 函数f(x)=x^3-3x+1的导数为：A. 3x^2-3B. x^2-3x+1C. 3x^2-3xD. 3x^2-3x+1答案：A2. 极限lim(x→0)(sin(x)/x)的值为：A. 0B. 1C. -1D. ∞答案：B3. 以下哪个函数是偶函数？A. f(x) = x^2 + xB. f(x) = x^3 - 2xC. f(x) = cos(x)D. f(x) = sin(x) + x答案：C4. 以下哪个积分是发散的？A. ∫(1/x)dx 从1到∞B. ∫(x^2)dx 从0到1C. ∫(e^(-x))dx 从0到∞D. ∫(sin(x))dx 从0到2π答案：A5. 以下哪个是复合函数的导数？A. (f(g(x)))' = f'(g(x))g'(x)B. (f(g(x)))' = f'(x)g'(x)C. (f(g(x)))' = f(g'(x))g'(x)D. (f(g(x)))' = f'(x)g(x)答案：A二、填空题（每题4分，共20分）6. 函数f(x)=x^2的二阶导数为________。

答案：27. 定积分∫(0到1) x dx的值为________。

答案：1/28. 函数y=ln(x)的反函数为________。

答案：e^y9. 函数f(x)=e^x的不定积分为________。

答案：e^x + C10. 函数f(x)=x^3-3x^2+2x的极值点为________。

答案：x=0, x=2三、计算题（每题10分，共30分）11. 计算极限lim(x→∞) (x^2 - 3x + 2) / (2x^2 + 5x - 3)。

答案：1/212. 计算定积分∫(0到1) (x^2 - 2x + 1) dx。

答案：1/313. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的极值。

(完整word版)微积分期末试卷A及答案

共 4 页，第 1 页学生答题注意：勿超黑线两端；注意字迹工整。

共 4页，第 2 页） ()f x 在x a =处可导； (B ）()f x 在x a =处不连续；（C)。

lim ()x af x →不存在； (D ） ()f x 在x a =处没有定义。

、设lnsin y x =,则dy =（）（A) 1cos x ; （B ） 1cos dx x；（C) cot x dx -； (D) cot x dx 。

6. 若()f x 的一个原函数为2x ,则()f x dx '=⎰（）（A)12x C + (B ） 2x C + （C) x C + (D ） 2C +7、 1dx =⎰（）(A ） 2；（B ） 2π-; (C ） 0； (D ）。

8、对-p 级数∑∞=11n p n ，下列说法正确的是（）(A ）收敛; （B ）发散;（C ） 1≥p 时，级数收敛； (D) 级数的收敛与p 的取值范围有关。

9、二元函数在(,)xy f x y ye =点0(1,1)p 可微，则(,)xy f x y ye =在0p 的全微）00)()limx x f x x→-- .cos x ，求它的微分共 4 页，第 5 页学生答题注意：勿超黑线两端；注意字迹工整。

共 4页，第 6 页5、（10分）求微分方程()x xe y dx xdy +=在初始条件1|0x y ==下的特解；6、（12分）判断级数211ln(1)n n ∞=+∑的敛散性。

《微积分》课程期末考试试卷参考答案及评分标准(A 卷，考试）一、单项选择（在备选答案中选出一个正确答案，并将其号码填在题目后的括号内.每题3分，共30分）1、（C ）；2、（D ）；3、(B)；4、(A ）；5、(D)；6、（B);7、（A ）；8、（D ）；9、(A); 10、（D)。

二、填空（每题4分,共20分）1、 bx n e a b )ln (；2、同阶无穷小；3、3- ；4、0；5、2。

北京理工大学微积分a期末试题及答案

北京理工大学微积分a期末试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 若函数f(x)=x^2-4x+c，且f(2)=0，则c的值为多少？A. 0B. 2C. 4D. 6答案：C2. 极限lim(x→0) (sin x/x)的值为：A. 0B. 1C. -1D. 2答案：B3. 设函数f(x)=3x^3-2x^2+5x-7，其导数f'(x)为：A. 9x^2-4x+5B. 3x^2-4x+5C. 9x^2-4xD. 3x^2+5x-7答案：A4. 曲线y=x^3在点(1,1)处的切线方程为：A. y=3x-2B. y=3xC. y=xD. y=3x+2答案：B5. 定积分∫(0到1) x^2 dx的值为：A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 1/4答案：B6. 微分方程dy/dx+y=0的通解为：A. y=e^(-x)B. y=e^xC. y=e^(-2x)D. y=e^(2x)答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 若函数f(x)=x^3-3x，其在x=1处的导数为______。

答案：02. 设函数f(x)=x^2+3x+2，其在x=-1处的定积分值为______。

答案：13. 函数y=ln(x)的导数为______。

答案：1/x4. 微分方程dy/dx-2y=0的通解为______。

答案：y=e^(2x)三、计算题（每题10分，共40分）1. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的极值点。

答案：首先求导数f'(x)=3x^2-12x+11，令f'(x)=0，解得x=1或x=11/3。

通过二阶导数测试或分析f'(x)的符号变化，可得x=1为极大值点，x=11/3为极小值点。

2. 计算定积分∫(1到2) (x^3-2x+1) dx。

答案：首先求出被积函数的原函数F(x)=1/4x^4-x^2+x，然后计算F(2)-F(1)=5/4-2+2-1/4+1=1。

《微积分》课程期末考试试卷(A)及参考答案

3、若函数
f (x, y)
x y ，则
x y
f
(
1 x
,
y)

（
）
A、 x y
x y
B、 1 xy
1 xy
C、 1 xy
1 xy
4、设 D 由 y x, y 2x, y 1围成，则 dxdy （）
D
A、 1
2
B、 1
4
C、1
5、（）是一阶微分方程

3x 2
3y2
（6
分）。
2、
z y

xy
ln
x （3
分）；
2z y 2

xy
ln 2
x
（6
分）。
3、
f
1 x
(
x,
y)

1
x x2
y2
（5
分）；
f
1 x
(3,4)

2 （6
5
分）。
4、
z x

y

1 y
,
z y

x

x y2
（4
分）；
dz

(y

1 )dx y

(x

x y2
六、求方程 yy' x 的通解。（6 分）

七、判别级数 n1
2n n3n
的敛散性。（6
分）
《微积分》课程期末考试试卷（A）参考答案
一、填空题（每题 3 分，共 36 分）。
1、
x3 y3
2x
xy y
3xy
2、 1

微积分A第一学期期末试卷A及答案

《微积分A 》期末试卷(A 卷)班级学号姓名成绩一、求解下列各题（每小题7分，共35分） 1设,1arctan 122---=x x x x y 求.y '2 求不定积分.)ln cos 1sin (2dx x x xx⎰++ 3求极限.)(tanlim ln 110x x x ++→ 4 计算定积分,)(202322⎰-=a x a dxI 其中.0>a 5 求微分方程.142+='-''x y y 的通解. 二、完成下列各题（每小题7分，共28分）1 设当0→x 时，c bx ax e x---2是比2x 高阶的无穷小，求c b a ,,的值. 2求函数)4()(3-=x x x f 在),(+∞-∞内的单调区间和极值.3 设)(x y y =是由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--+=⎰01cos sin )cos(20t t y du t u x t所确定的隐函数，求.dx dy 4 求证：.sin sin42222⎰⎰ππππ=dx xxdx xx.三、（8分）设)(x y 在),0[+∞内单调递增且可导，又知对任意的,0>x 曲线)(x y y =，上点)1,0(到点),(y x 之间的弧长为,12-=y s 试导出函数)(x y y =所满足的微分方程及初始条件，并求)(x y 的表达式. 四、(8分)过点)0,1(-作曲线x y =的切线，记此切线与曲线x y =、x 轴所围成的图形为D ，（1）求图形D 的面积；（2）求D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.五、（7分）求证：方程010cos 042=++⎰⎰-xt xdt e dt t 有并且只有一个实根.六、（8分）一圆柱形桶内有500升含盐溶液，其浓度为每升溶液中含盐10克。

现用浓度为每升含盐20克的盐溶液以每分钟5升的速率由A 管注入桶内(假设瞬间即可均匀混合)，同时桶内的混合溶液也以每分钟5升的速率从B 管流出。

微积分试卷及标准答案6套

微积分试题 (A 卷)一. 填空题 (每空2分,共20分)1.已知则对于，总存在δ>0，使得当,)(lim 1A x f x =+→0>∀ε时，恒有│ƒ(x )─A│< ε。

2.已知，则a = ，b =2235lim 2=-++∞→n bn an n 。

3.若当时，α与β 是等价无穷小量，则。

0x x →=-→ββα0limx x 4.若f (x )在点x = a 处连续，则。

=→)(lim x f ax 5.的连续区间是。

)ln(arcsin )(x x f =6.设函数y =ƒ(x )在x 0点可导，则______________。

=-+→hx f h x f h )()3(lim0007.曲线y = x 2＋2x －5上点M 处的切线斜率为6，则点M 的坐标为。

8. 。

='⎰))((dx x f x d 9.设总收益函数和总成本函数分别为，，则当利润最大时产2224Q Q R -=52+=Q C 量是。

Q 二. 单项选择题 (每小题2分,共18分)1.若数列{x n }在a 的ε 邻域（a -ε,a +ε）内有无穷多个点，则（）。

(A) 数列{x n }必有极限，但不一定等于a (B) 数列{x n }极限存在，且一定等于a(C) 数列{x n }的极限不一定存在 (D) 数列{x n }的极限一定不存在2.设则为函数的（）。

11)(-=x arctg x f 1=x )(x f(A) 可去间断点(B) 跳跃间断点 (C) 无穷型间断点(D) 连续点3.（）。

=+-∞→13)11(lim x x x(A) 1 (B) ∞(C)(D) 2e 3e4.对需求函数，需求价格弹性。

当价格（）时，5p eQ -=5pE d -==p 需求量减少的幅度小于价格提高的幅度。

(A) 3 (B) 5 (C) 6(D) 105.假设在点的某邻域内(可以除外)存)(),(0)(lim ,0)(lim 0x g x f x g x f x x x x ''==→→得0x 0x 在，又a 是常数，则下列结论正确的是（）。

微积分上期末试题及答案

微积分上期末试题及答案试题一：1.求函数f(x) = x^3 + 2x^2 - 5x的导数f'(x)。

答案：f'(x) = 3x^2 + 4x - 5。

2.计算极限lim(x->3)[(x^2 - 9)/(x - 3)]。

答案：由分式的定义可知，当x ≠ 3时，(x^2 - 9)/(x - 3) = x + 3，故lim(x->3)[(x^2 - 9)/(x - 3)] = 3 + 3 = 6。

3.已知y = 2x^3 - x^2 + 4x + 7，求dy/dx。

答案：dy/dx = 6x^2 - 2x + 4。

4.求函数f(x) = sin(x)的不定积分∫f(x)dx。

答案：∫f(x)dx = -cos(x) + C（C为常数）。

5.已知直线L的斜率为2，并且过点P(3, 4)，求直线L的方程。

答案：直线L的方程为y - 4 = 2(x - 3)。

试题二：1.求曲线y = x^2的切线方程，且该切线通过点P(2, 3)。

答案：曲线y = x^2的导数为2x，斜率为m = 2(2) = 4。

切线方程为y - 3 = 4(x - 2)。

2.计算定积分∫(2x + 1)dx在区间[0, 2]上的值。

答案：∫(2x + 1)dx = x^2 + x + C。

在区间[0, 2]上的定积分值为[(2)^2 + 2 + C] - [(0)^2 + 0 + C] = 6。

3.已知函数f(x) = e^x，求f'(x)。

答案：f'(x) = e^x。

4.求函数f(x) = ln(x)的不定积分∫f(x)dx。

答案：∫f(x)dx = xln(x) - x + C（C为常数）。

5.已知曲线C的方程为y = x^3 - 3x^2 + 2，求曲线C的切线方程在点Q(-1, -2)处的斜率。

答案：曲线C的导数为3x^2 - 6x，点Q(-1, -2)在曲线C上，代入x = -1得到斜率m = 3((-1)^2) - 6(-1) = 3 - 6 = -3。

2021微积分A期末试题及答案

2021⭌᮶㢔⫕➶᮷ᱤAᱥᱤ㔋ᱥ⶞⒴㋜ㄯⶌ㗎㗎㝘(2022年1⽉3⽇，⽤时120分钟)专业班级学号姓名题号⼀⼆三四总分分数㮥ᮢ㫍㵗㝘(ょ㝘4➶ᱨ⤎16➶)阅卷⼈得分1.下列说法正确的是(D)A.有界数列⼀定收敛；B.有限区间上的连续函数⼀定⼀致连续；C.函数f在R上处处可导，它的导函数f1⼀定是连续的;D.有界数集⼀定存在上确界。

2.下列哪个极限不存在(B)A.limxÑ0x sin1xB.limxÑ0D(x)，其中D(x)是Dirichlet函数C.limxÑ0|sgn(x)|D.limnÑ+8(1+122+¨¨¨+1n2)3.当xÑ0时，下⾯哪个函数不是与y=x等阶的⽆穷⼩(D)A.sin xB.arcsin xC.ln(1+x)D.1´cos x4.函数f(x)定义在R上，在x0处可导⽽且f(x0)ą0。

下列说法错误的是（A）A.函数f(x)在x0处的微分是f1(x0)；B.函数f(x)在x0处连续；C.存在x0的⼀个邻域U(x0)，使得在该邻域内f(x)ą0；D.当xÑx0时，f(x)=f(x0)+o(1)。

✠ᮢ㝤ⶥ㝘(ょ㝘4➶ᱨ⤎20➶)阅卷⼈得分5.集合A=t(1+1n)n|n P N,ną0u，那么inf A=2，sup A=e。

6.函数φ(t),ψ(t)在R上⼆阶可导，⽽且φ1(t)‰0。

由参数⽅程x=φ(t),y=ψ(t)确定了函数关系y=y(x)。

那么d yd x =ψ1(t)/φ1(t)，d2yd x2=ψ2(t)φ1(t)´ψ1(t)φ2(t)φ13(t)。

7.函数y=2x3+3x2´12x+18在区间[´3,3]上的最⼤值是63，最⼩值是11。

8.函数y=x4+8x3+1图像的垂直渐近线是x=´1，斜渐近线是y=x。

9.函数f(x)在R上的连续，F(x)=şxf(x+t)dt，那么F1(x)=2f(2x)´f(x)。

微积分试卷及规范标准答案6套

微积分试题 (A 卷)一. 填空题 (每空2分,共20分)1. 已知,)(lim 1A x f x =+→则对于0>∀ε，总存在δ>0，使得当时，恒有│ƒ(x )─A │< ε。

2. 已知2235lim2=-++∞→n bn an n ，则a = ，b = 。

3. 若当0x x →时，α与β 是等价无穷小量，则=-→ββα0limx x 。

4. 若f (x )在点x = a 处连续，则=→)(lim x f ax 。

5. )ln(arcsin )(x x f =的连续区间是。

6. 设函数y =ƒ(x )在x 0点可导，则=-+→hx f h x f h )()3(lim000______________。

7. 曲线y = x 2＋2x －5上点M 处的切线斜率为6，则点M 的坐标为。

8. ='⎰))((dx x f x d 。

9. 设总收益函数和总成本函数分别为2224Q Q R -=，52+=Q C ，则当利润最大时产量Q 是。

二. 单项选择题 (每小题2分,共18分) 1. 若数列{x n }在a 的邻域（a -,a +）内有无穷多个点，则（）。

(A) 数列{x n }必有极限，但不一定等于a (B) 数列{x n }极限存在，且一定等于a(C) 数列{x n }的极限不一定存在 (D) 数列{x n }的极限一定不存在2. 设11)(-=x arctgx f 则1=x 为函数)(x f 的（）。

(A) 可去间断点 (B) 跳跃间断点 (C) 无穷型间断点 (D) 连续点 3. =+-∞→13)11(lim x x x（）。

(A) 1 (B) ∞ (C)2e (D) 3e4. 对需求函数5p eQ -=，需求价格弹性5pE d -=。

当价格=p （）时，需求量减少的幅度小于价格提高的幅度。

(A) 3 (B) 5 (C) 6 (D) 105. 假设)(),(0)(lim ,0)(lim 0x g x f x g x f x x x x ''==→→；在点0x 的某邻域内(0x 可以除外)存在，又a 是常数，则下列结论正确的是（）。

大一上学期微积分期末试卷及答案

11•设f(x) 2cosx,g(x) (l)sinx在区间(0, —)内(2 2A f (x)是增函数，g (x)是减函数Bf (x)是减函数，g(x)是增函数C二者都是增函数D二者都是减函数2、x 0时，e2x cosx与sinx相比是()A高阶无穷小E低阶无穷小C等价无穷小13、x = 0 是函数y = (1 -sinx)书勺()A连续点E可去间断点C跳跃间断点4、下列数列有极限并且极限为1的选项为( )n 1 nA X n ( 1)B X n sin -n 21 1C X n n (a 1)D X n cos—a n5、若f "(x)在X。

处取得最大值，则必有()A f /(X。

)o Bf /(X。

)oCf /(X。

)0且f''( X o)<O Df''(X o)不存在或f'(X o) 046、曲线y xe x( )A仅有水平渐近线E仅有铅直渐近线C既有铅直又有水平渐近线D既有铅直渐近线1~6 DDBDBD一、填空题11、d ) = ----dxx +12、求过点(2,0 )的一条直线，使它与曲线y=-相切。

这条直线方程为:x2x3、函数y=-—的反函数及其定义域与值域分别是：2x+14、y= 3、x的拐点为：2D同阶但不等价无价小D无穷型间断点5、若则a,b 的值分别为：X 1X + 2x-321 In x 1 ;2y x 3 2x 2; 3 y log^x 1 -,(0,1), R ; 4(0,0)xlim5解：原式=x 1(x 1)( x m )~~1)( x 7 blim3) x7, a1、 2、、判断题无穷多个无穷小的和是无穷小( lim 沁在区间(， X 0 X 是连续函数()3、 f"(x 0)=0—定为f(x)的拐点 ()4、若f(X)在X o 处取得极值，则必有f(x)在X o 处连续不可导(5、 f (x) 0,1 f '(x) 0令 A f'(0), f '(1),C f (1)f (0),则必有 A>B>C(1~5 FFFFT 二、计算题 1用洛必达法则求极限 12 ~lim x e x x 01 e 解：原式=lim x 0 1 x x2 lim e x 2 ( 2x x 0 2x3 34 k 2 若 f(x) (x 10),求f”(0) 3)1 lim e x x 0 3 32 2 f '(x)4(x 10) 3x 12x (x 3 3 2 32 2 f ''(x) 24x (x 10) 12x3 (x 10) 3x 24x f ''(x) 0 10)33 .. .334 , 3(x 10)108 x (x10)24 r t I 八］ 2 3 求极限 lim(cos x)xx 0224 ,2I ncosx解：原式=lim e xx 05tan 3xdx2=sec x tan xdx tan xdx6 求xarctanxdxQ lim p Incosx x 0x 2原式e 2I>解：In y 5ln3x11 Jx 1cosxI>yy1 5 311y 2 x 21 2(x 1)1 2(x 2)1cosx(sin x) tanx limlim x x x 0 xx 0 x2 224Incosxlim / e x 0解：原式=tan 2xtanxdx2(sec x 1)tanxdx =tan xd tan x =tan xd tan xsin x , dx cosx 1 . d cosx cosx= -ta n 2xIn cosx c22’解：原式=1 arcta nxd(x 2)1(x 2 arcta nx2 22arcta nx四、证明题。

《微积分》期末考试试卷(含ABC三套)

四、计算题 1、求极限 lim
x 。（6 分） x 0 2 4 x
B、 lim f (0 x) f (0)
x 0
f (x) f (0) x
）
D、 lim
x 0
f ( x x) f ( x) x
4、 (ln x)dx =（ A、 ln x
2
B、 ln x C ）
C、
2
1 x
1 D、 C x
5、定积分为零的是（ A、 ( x 3 x 5 )dx
四、计算题 1、求极限 lim
1 cos x 。（6 分） x 0 x2
2、 y ln( x x 2 a 2 ), 求y 。（8 分）
3、 y cos x , 求dy 。（8 分）
4、求 arctan xdx 。（10 分）
2 sin 3 xdx 。 5、求（10 分） 2
sin x A、 lim 1 x x
2
sin
B、 lim
x 0
1 x
1 x 1
C、 lim
x

2
tan x 1 x
D、 lim x sin
x
1 1 x
）
3、若函数 y f ( x) 在点 x=0 处可导，则 f (0) =（ A、 f (0) C、 lim
x 0
2 2
B、 ( x 3 x 5 1)dx
2 2
C、 x sin xdx
2
D、 x 2 cos xdx
2
二、填空题（每空 3 分，共 18 分） 1、若函数 y f ( x) 在点 x。连续，则 lim f ( x) f ( x0 ) =

微积分上册期末练习题1

广东金融学院期末考试试题（A ）卷考试科目：《微积分I 》姓名班级学号成绩一、填空题、（每小题3分，共15分） 1．函数 xx y 1arctan3+-=的定义域为. ； 2．设2211x x x x f +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+，则)(x f ＝；.3．曲线x x y 2sin +=在点⎪⎭⎫ ⎝⎛+21,2ππ处的切线方程为；4．曲线xxy ln 1+=的水平渐近线为； 5．函数)0()(>=x x x f x 的单调增加区间是；二、单项选择题（每小题3分，共15分） 1．下列数列}{n u 中收敛的是（）（A ）n n u n n 1)1(+-= （B ）n u n n 1)1(-=；（C ）2sin πn u n =；（D ）n n u 2=； 2．若1)1sin()(--=x x x f ，则1=x 是)(x f 的（）（A ）连续点；（B ）可去间断点；（C ）跳跃间断点；（D ）无穷间断点； 3．下列正确的是（）（A ）2(4)(2)lim'(2)2x f x f f x →--=-；（B ）0(2)()lim '()h f a h f a f a h →+-=；（C ）0000()()1lim'()22x f x x f x x f x x →+--=；（D ）0000()()lim '()x f x f x x f x x→--= 4．设x e e x f x x cos 2)(++=-，则0=x （）（A ）不是)(x f 的驻点；（B ）是)(x f 的驻点，但非极值点；（C ）是)(x f 的极小值点；（D ）是)(x f 的极大值点； 5．判别曲线xy xe -=的凹凸性( )（A ）(,2)-∞曲线为凹的，(2,)+∞曲线为凸的；（B ）(,2)-∞曲线为凸的，(2,)+∞曲线为凹的；（C ）(,)-∞+∞曲线处处凸的；（D ）(,)-∞+∞曲线处处凹的；三、求下列函数的极限（每小题5分，共20分）1．0x → 2．xx x x 222lim ⎪⎭⎫⎝⎛+-∞→；3．x x x ln )1arcsin(lim1-→； 4．0(1cos )x x x →-四、求解下列各题（每小题5分，共20分） 1. 54)1()3(2+-+=x x x y 求'y ； 2. ⎩⎨⎧-=+=t t y t x arctan )1ln(2 求dydx 3. .设由方程x xy y cos ln +=所确定隐函数为)(x y y =，求dy .4. x x y ln cos 2= 求22d ydx；五、应用题（每小题8分，共24分）1．求函数7323+-=x x y 的极值：2．设函数⎩⎨⎧>+≤=11)(2x b ax x x x f ，在1=x 处可导，确定b a ,的值.3．某服装公司确定卖出q 套服装，其单价应为q p 5.0150-=，同时生产x 套服装，其成本可表示为225.04000)(q q C +=，问服装公司生产并销售多少套服装利润最大？最大利润为多少？为获得这个最大利润，其服装单价应定价为多少？六、证明题（6分）1．已知函数)(x f 在]1,0[上连续，在)1,0(内可导，且0)1(,1)0(==f f ，证明：在)1,0(内至少存在一点ξ，使得ξξξ)()(f f -='一、填空题、（每小题3分，共15分）（评分标准：错一题扣3分）1．(,0)(0,3]-∞⋃ 2．22x - 3．1y x =+ 4．1y = 5．1(,)e -+∞二、单项选择题（每小题3分，共15分）（评分标准：错一题扣3分） 1．B 2．C 3．D 4．C 5．B 三、求下列数列的极限（每小题5分，共20分） 1．解：0001lim 2x x x →→→=== -- -- -- -- -- ( 5’ ) 2．xx x x 222lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∞→xx x x 22121lim ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=∞→x xx x x 222121lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛-=∞→---- -- -- -- -- -- -- -- ( 2’ ) 42)4(22/112/11lim ⨯-⨯-∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=xxx x x 844--==e ee ---- -- -- -- -- -- -- -- ( 5’ ) 3．当1→x 时，)1(~)]1(1ln[ln ,1~)1arcsin(x x x x x ----=------ -- -- -- -- -- -- -- ( 2’ ) 所以 1)1(1lim )]1(1ln[)1arcsin(lim ln )1arcsin(lim111-=---=---=-→→→x xx x x x x x x ----- -- -- -- -- ( 5’ )4．原式=0x →’)x →=---- -- -- -- -- -- -- -- ( 4’)12x →==---- -- -- -- -- -- -- -- ( 5’ )四、求解下列各题（每小题5分，共20分）1．1ln ln(2)4ln(3)5ln(1)2y x x x =++--+　方程两边取对数：-- -- -- -- -- -- ( 2’ )11145'2231145'2(2)31x y y x x x y x x x =--+-+⎫=--⎪+-+⎝⎭ 方程两边关于求导：从而---- -- -- -- -- -- -- -- ( 5’ )2．22111121dy dy t t dx dt dt t -+===+---- -- -- -- -- -- -- -- ( 5’ ) 3．''sin y y xy x y=+-　对方程两端关于x求导：2sin 1y y xdxxy-=- 整理得：dy ---- -- -- -- -- -- -- -- ( 5’ ) 4．221cos '2cos (sin )ln cos sin 2ln xy x x x x x x x x=-+=-+　---- -- -- -- -- -- -- -- ( 2’ )2222sin 2sin 2cos ''2cos 2ln 2sin 2cos 2cos 2ln (5)x x x xy x x x x x xx x x x --=--+=---　五、应用题（每小题8分，共24分）1．解：函数定义域为R ，令0)2(3632=-=-='x x x x y ，得驻点01=x ，22=x ，---- -- -- -- -- -- -- -- ( 2’ ) 用第二判别法判断，因为)1(666-=-=''x x y ，06)0(<-=''y ，06)2(>=''y ，---- -- -- -- -- -- -- -- ( 4’ )所以01=x 是极大值点，极大值7)0(=y ，---- -- -- -- -- -- -- -- ( 6’ )22=x 是极小值点，极小值3)2(=y 。

四川大学《微积分(I)-1》2020-2021学年第一学期期末试卷A卷及解答

四川大学期末考试试题（闭卷）（2020——2021学年第 1 学期）A卷课程号：201137050 课序号：课程名称：微积分（Ⅰ）-1 任课教师：成绩：试卷编号：(1)n+-与轴所围成区域的面积x试卷编号：20202021(I)-1-四川大学学年微积分期末试题参考答案(315)一、填空题每小题分，共分3221111.3 2.1 3.3 4.arctan ln(1)3665.131x x x x C y x y x --+++=+=-；；；；；.(832)二、计算题每小题分，共分222021(121.lim.cos x x x x x e→-+--求极限 2224422421111cos 1()1()()2!4!2!2!2x x x x x o x e x o x -=-++=-+-+解因为，，12244211(1)1()28x x x o x =+=+-+ ……………….. 3分2244211101~cos ~2812xx x x x e x -→+---所以当时，，……………….. 6分404138lim .1212x xx →==--因此，原式 ……………….. 8分23332.()(1)sin ()sin d ().x f x x e x f x x x f x ππ-=++⎰设，求33()sin d sin ]A f x x x x ππππ-=-⎰解设，两边同乘并在区间，上积分，得23363()sind (1)sin d sin d x f x x x xe x x A x x ππππππ---=++⎰⎰⎰ ……….. 4分由奇偶性得662605315sin d 4sin d 4I 4.64228A x x x x πππππ-====⋅⋅⋅⋅=⎰⎰2335()(1)sin .8x f x x e x π=++所以 …………….. 8分3.()(0)()1[()()]sin d .f x f f f x f x x x ππ''''==+⎰已知连续，且，求积分的值()sin d ()sin d ()sin d sin d ()f x x x f x x x f x x x x f x ππππ'''=+=+⎰⎰⎰⎰解由分部积分公式原式00()sin d [()sin |()cos d ]f x x x f x x f x x x πππ''=+-⎰⎰()sin d ()cos d f x x x f x x x ππ'=-⎰⎰ …………….. 4分()sin d cos d ()f x x x x f x ππ=-⎰⎰00()sin d [cos ()|()sin d ]f x x x x f x f x x x πππ=-+⎰⎰…………….. 6分2= …………….. 8分22(12)4.()cos (0).f x x x f =设，求222211()cos cos 222f x x x x x x ==+解首先， …………….. 2分由莱布尼茨公式(12)22(12)2(12)111()(cos 2)(cos 2)222f x x x x x x =+=⋅(12)21(11)2(10)12121[(cos 2)(cos 2)2(cos 2)20]2x x C x x C x =⋅+⋅+⋅+……….. 6分 (12)2(10)1201(0)(cos 2)2|2x f C x ==⋅⋅所以10100662cos(210)|662.2x x π==⋅⋅+⋅=-⋅ …………….. 8分(1020)三、解答题每小题分，共分220()()1.()0lim1lim(0)x ax x t f x t d tf x f x x b b xxa b →→-===≠⎰设函数在处可导，且，若，求，的值.()lim1 0()~.x f x x f x x x→=→解知，当时，因此 22222220011()()()()22x x x t f x t d t f x t d x t f u du -=---=⎰⎰⎰ ……….. 4分224001110()~224x x x f u du udu x →=⎰⎰所以，当时，，从而2204()1lim4x x t f x t d tx →-=⎰14.4a b ∴==， …………….. 10分 232.()1(1)0().23nnx x x f x x n n=-+-++-=讨论方程为正整数有几个实根0()0.0x f x x ≤>>解易知当时，，无实根故就讨论即可. 212221(1) 21()10.1k k x n k f x x x xx--+'=-=-+-+-=-<+当时，()(0)1()f x f f =+∞=-∞严格单减，，，.由零点存在定理知原方程有唯一实根 …………….. 6分 22211(2) 2()10 1.1k k x n k f x x x xx x--'==-+-+=-==+当时，令，得01()0() 1()0()x f x f x x f x f x ''<<<>>当时，，严格单减；当时，，严格单增.11111(1)(11)()()02322212f k k k=-+-++-+>--而，2.n k =因此当时原方程无实根 …………….. 10分(1020)四、应用题每小题分，共分sin 1.(02).1cos x t t t x y tπ=-⎧≤≤⎨=-⎩求由曲线与轴所围成区域的面积解区域的面积20d A y x π=⎰…………….. 2分20(1cos )d(sin )t t t π=--⎰22244200(1cos )d 4sin d 16sin d 2tt t t u u πππ=-==⎰⎰⎰ ………….. 8分31163422ππ=⋅⋅⋅= …………….. 10分2.(110)(021).(1)0(2)(3)02.A B AB z AB AB z z z ===设空间有两点，，，，，求经过且与坐标面垂直的平面方程；求经过的直线方程；将直线绕轴旋转一周，求介于面与之间的旋转体体积(1)(001).()n M x y z =解平面的法矢量，，设所求平面上任意一点为，，，则1111101[]020.x y z AM AB n x y ---==+-=，，，即平面方程为…………….. 3分11(2).111x y zAB --==-由两点式知经过的直线方程为…………….. 6分 22222(3)11.[02]()()((1)(1))2(1).AB x z y z z z A z x y z z z πππ=-=+=+=-++=+由直线的方程知:，故在区间，上任取一点，做垂直于轴的截面，面积为222028()d 2(1)d .3V A z z z z ππ==+=⎰⎰因此旋转体的体积为…………….. 10分(162713)五、证明题第小题分，第小题分，共分120121.()[0]()d 0(1)(0)()0(2)()cos d 0(0)()()0.f x C f x x f f x x x f f πππξπξηηπηη∈=∈==∈==⎰⎰设函数，，满足，证明：存在，，使得；若同时还满足，则存在不同的，，，使得0(1)()()(0)0()0(0)xF x f t d t F F ππξ===⎰证明令，则，，由罗尔定理知，在，内至少存在，()0()0.F f ξξ'==使得，即 …………….. 3分 00(2)0()cos cos ()[cos ()]sin ()sin ()f x xd x xd F x xF x xF x d x xF x d xπππππ===+=⎰⎰⎰⎰同时(1)(0)()sin 0()0.F F ξπξξξ∈==由知存在，，使得，即12[0][](0)ξξππηη在区间，，，上分别由罗尔定理即得：在，内存在两个不同的点，， 12()()0.f f ηη==使得 …………….. 6分11112.{}1 2.lim !.(1)n n n n n n a a a a n n a n a e-→∞-==≥=+设数列满足：，，证明111211111111!(1)!(1)!(1)!(1)!(2)!(2)!n n n n n a n a n a n n a n n n a ----+==+=++------证明111+1(1)!(2)!1!n n ==+++-- …………….. 3分 111+1()(1)!(2)!1!!e e e n n n n ξ+++=-→→∞--由泰勒公式知， …………….. 5分 11lim !lim.111+1(1)!(2)!1!n n n n a en n →∞→∞∴==+++-- …………….. 7分。

微积分A1期末试卷(武汉大学)-附参考答案

武汉大学数学与统计学院 B 卷《微积分A1》期末考试试题一、（86'⨯）试解下列各题：1、计算30arctan lim ln(12)x x x x →-+2、计算120ln(1)d (2)x x x +-⎰ 3、计算积分：21arctanxd x x +∞⎰ 4、已知两曲线()y f x =与1x yxy e++=所确定，在点(0,0)处的切线相同，写出此切线方程，并求极限2lim ()n nf n→∞5、设，2221cos cos t x t udu y t t ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，试求：d d y x，22d |d t y x 6、确定函数sin sin sin ()lim()sin xt xt x t f x x -→=的间断点，并判定间断点的类型。

7、设1(1)y x x =-，求()n y8、求位于曲线(0)xy xex -=≥下方，x 轴上方之图形面积。

二、（12分）设()f x 具有二阶连续导数，且()0f a =， ()()f x x a g x x a Ax a ⎧≠⎪=-⎨⎪=⎩1、试确定A 的值，使()g x 在x a =处连续；2、求()g x '3、证明()g x '在x a =处连续。

三、（15分）设P 为曲线2cos (0)2sin 2x t t y tπ=⎧≤≤⎨=⎩上一点，作原点(0,0)O 和点P 的直线OP ，由曲线、直线OP 以及x 轴所围成的平面图形记为A ，1、将y 表成x 的函数；2、求平面图形A 的面积()S x 的表达式；3、将平面图形A 的面积()S x 表成t 的函数(cos )()S S t S t ==，并求d dtS取得最大值时点P 的坐标；四、（15分）已知函数253x y x -=-求：1、函数)(x f 的单调增加、单调减少区间，极大、极小值；2、函数图形的凸性区间、拐点、渐近线。

五、（10分）设函数()f x 在[,]l l -上连续，在0x =处可导，且(0)0f '≠，1、证明：对于任意(0,)x l ∈，至少存在一个(0,1)θ∈使()d ()d [()()]xxf t t f t t x f x f x θθ-+=--⎰⎰2、求极限0lim xθ+→武汉大学数学与统计学院 B 卷《微积分A1》期末考试试题参考答案一、试解下列各题：（86'⨯）1、解：30arctan lim ln(12)x x x x →-+ 22232200011arctan 111lim lim lim6266x x x x x x x x x x x →→→---++====- 2、解：原式111000ln(1)1111|ln 2()d 2(1)(2)31+2x dx x x x x x x +=-=-+-+--⎰⎰110011ln 2(ln(1)|ln(2)|)ln 233x x =-+--= 3、解： 12211arctanx 11d arctan |d x (1)x x x x x x +∞+∞+∞=-++⎰⎰ 2111[ln ln(1)]ln 24242x x ππ+∞=+-+=+4、解：由(0)0(0)(0)f f y ''==，又 (1)0x yy xy e y +''+++=；(0)1(0)1y f ''=-=-故所求切线方程为：0x y +=，且2()(0)2lim ()lim 22(0)22n n f f n nf f n n→∞→∞-'=⋅==-5、解：2222sin (0),2sin dy dtt t t t t dt dx=->=-|t dy dy t dxdx =222221|2sin t d y d y dx t t dx =- 6、解：sin sin sin sin ()lim()sin xxt xx t x t f x e x-→==，故0x =是)(x f 的第一类可去间断点。

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一、选择题 (选出每小题的正确选项，每小题２分，共计10分)1．1lim 2xx -→=_________。

（A ） -∞ （B ） +∞ （C ） 0 （D ）不存在 2．当0x →时，()x xf x x+=的极限为 _________。

（A ） 0 （B ） 1 （C ）2 （D ）不存在３．下列极限存在，则成立的是_________。

0()()()lim ()x f a x f a A f a x -∆→+∆-'=∆0()(0)()lim (0)x f tx f B tf x→-'= 0000()()()lim 2()t f x t f x t C f x t →+--'= 0()()()lim ()x f x f a D f a a x →-'=-４．设f （x ）有二阶连续导数，且()0()(0)0,lim1,0()_______x f x f f f x x→'''==则是的。

（A ）极小值（B ）极大值（ C ）拐点（D ）不是极值点也不是拐点 5．若()(),f x g x ''=则下列各式成立。

()()()0A f x x φ-=()()()B f x x C φ-=()()()C d f x d x φ=⎰⎰()()()d dD f x dx x dx dx dxφ=⎰⎰ 二、填空题（每小题3分，共18分）1. 设0(2)()0(0)0,lim1sin x f x f x x f x→===-在处可导，且，那么曲线()y f x =在原点处的切线方程是__________。

２．函数()f x =[0，3]上满足罗尔定理，则定理中的ξ= 。

3．设1(),()ln f x f x dx x'=⎰的一个原函数是那么。

4．设(),xf x xe -=那么2阶导函数 ()___f x x ''=在点取得极_____值。

5．设某商品的需求量Ｑ是价格Ｐ的函数5Q =-，那么在Ｐ＝４的水平上，若价格下降1％，需求量将。

6．若,11),(+-==x x u u f y 且,1)('u u f =dydx = 。

三、计算题（每小题6分，共42分）：1、求11ln (ln )lim xx ex -→2、1[(1)]lim xx x ex →∞+-3、设211~,21x ax x c bx→∞-++时，无穷小量求常数a 、b 、c. 4、5、ln(2)x xe dx e +⎰ 6、3cos sin x x dx x ⎰7、设函数f(x)具有二阶导数，且f （0）=0, 又(0)0()()0f x g x f x x x'=⎧⎪=⎨≠⎪⎩ ，求()g x '。

四、（8分）假设某种商品的需求量Q 是单价P （单位元）的函数：Q=1200-8P ；商品的总成本C 是需求量Q 的函数：C=2500+5Q 。

（1）求边际收益函数和边际成本函数；（2）求使销售利润最大的商品单价。

五、（12分）作函数221(1)x y x -=-的图形六、证明题（每题5分，共计10分）1、设函数)(x f 在[,]a b 上连续，且()f x '在(,)a b 内是常数，证明)(x f 在[,]a b 上的表达式为 (),f x Ax B A B =+其中、为常数。

2、设函数)(x f 在[0,)+∞上可导，且()0,(0)0.f x k f '>><证明)(x f 在(0,)+∞内仅有一个零点。

《微积分》（上）期末考试试卷答案(A)一、选择题 (选出每小题的正确选项，每小题２分，共计10分)1．C ； 2． D ； 3.B C; 4.A; 5.B C.二、填空题（每小题3分，共18分）1. 12y x =-２． 2 3．21ln C x x-+ 4．X=2,极小值 5．上升2% 6．221dy dx x =- 三、计算题（每小题6分，共42分）： 1、求11ln (ln )lim xx ex -→解：令11ln (ln )xy x -=，则1ln ln(ln )______21ln y x x=-分00011ln limln lim ln(ln lim 11ln x x x x x y x x x →→→==--）=-1-----3分 10lim x y e -→=-----1分3、1[(1)]lim xx x ex →∞+-解：原式= 11[(1)1]2lim x x x e x →∞+------分11111lim(1)241lim xx x x x e e x e x→∞→∞-+==+=-----分 3、设211~,21x ax x c bx→∞-++时，无穷小量求常数a 、b 、c.解：由2211ax x cbx -+=+ 3分得a=0，b=-2，c 取任意实数。

3分 4解：12==分1arc 2C = 3分5、解ln(2)1ln(2)ln(2)2x x x x xxx e dx e de e e dx e e --+=-+=-+++⎰⎰⎰ 2分 12ln(2)22x x xxx e e e e dx e -+-=-+++⎰ 2分11ln(2)ln(2)2211()ln(2)22x x x x x e e x e C e e x C--=-++-++=-++++ 2分6、解：32cos 11sin 2sin x x dx xd x x=-⎰⎰ 2分221[csc ]2sin xxdx x=--⎰ 2分2112sin 2x ctgx C x =--+ 2分 7、设函数f(x)具有二阶连续导数，且f （0）=0, 又(0)0()()0f x g x f x x x'=⎧⎪=⎨≠⎪⎩ ，求()g x '解：2()()0()xf x f x x x x '-'≠=当时，g ，这时()g x '连续 2分200()(0)()(0)10(0)lim lim (0)22x x f x xf f x f x f x x →→'''--'''====当时，g 3分所以2()(),0,()1(0),0.2xf x f x x x g x f x '-⎧≠⎪⎪'=⎨⎪''=⎪⎩ 1分四、（8分）假设某种商品的需求量Q 是单价P （单位元）的函数：Q=1200-8P ；商品的总成本C 是需求量Q 的函数：C=2500+5Q 。

（3）求边际收益函数MR 和边际成本函数MC ；（4）求使销售利润最大的商品单价。

解：（1）212008,5;MR PQ P P MC ==-= 3分（2）利润函数2()812408500,L P PQ C P P =-=-+- 1分155()1612400,2L P P '=-+=令得P=()160,L p ''=-<唯一驻点，又 2分P=155/2时利润最大。

2分五、（12分）作函数221(1)x y x -=-的图形答案：（1）定义域是()()1,,11,=+∞⋃∞-x 是间断点 1分（2）渐近线因,0)1(122lim =--∞→x x x 故y=0为水平渐近线因,)1(1221lim ∞=--→x x x 故x=1为垂直渐近线 2分(3)单调性、极值、凹凸及拐点 ,)1(23'--=x x y 令,0'=y 得x=0 ,)1(244''-+=x x y 令,0''=y 得21-=x再列表'y ''y1)0(-=f 是极小值；拐点是)89,21(--. 6分(4)选点当21=x 时，y=0;当23=x 时,y=8;当x=2时,y=3；当x=3时，45=y 1分(5)描点作图略 2分六、证明题（每题5分，共计10分）1、设函数)(x f 在[,]a b 上连续，且()f x '在(,)a b 内是常数，证明)(x f 在[,]a b 上的表达式为 (),f x Ax B A B =+其中、为常数。

证明：设(),f x k '=在（a ，b ）内任取一点x ，在区间[a ，x]上由拉格朗日中值定理有：()()()()()f x f a f a x k a x a x ξξ'-=-=-<< 2分则()()(,())f x kx ka f a Ax B A k B ka f a =-++=+=-=+其中 2分当x=a 时，上式也成立。

1分2、设函数)(x f 在[0,)+∞上可导，且()0,(0)0.f x k f '>><证明)(x f 在(0,)+∞内仅有一个零点。

证明：在0,)+∞（内任取一点x ，则()[0]f x x 在，上满足拉格朗日中值定理条件， 1()(0)(),f x f f x kx ξ'-=>()(0),f x kx f >+即 3分令11(0)0,()0f x f x k=->>且，由f （x ）的单调性和零值定理知原命题成立。

2分。