快速傅里叶变换及其应用

实验三快速傅里叶变换及其应用

04012636 陈郁蕾

一．实验目的

1.在理论学习的基础上，通过本实验，加深对FFT的理解，熟悉MATLAB中的有关函数。

2.应用FFT对典型信号进行频谱分析。

3.了解应用FFT进行信号频谱分析过程中可能出现的问题，以便在实际中正确应用FFT。

4.应用FFT实现序列的线性卷积和相关。

二．实验原理

1.混叠

采样序列的频谱是被采样信号频谱的周期延拓，当采样频率不满足奈奎斯特采样定理的时候，就会发生混叠，使得刺痒后的序列信号的频谱不能真实的反映原采样信号的频谱。

2.泄漏

根据理论分析，一个时间的信号其频带宽度为无限，一个时间无限的信号其频带宽度则为有限。因此对一个时间有限的信号，应用DFT进行分析，频谱混叠难以避免。对一个时间无限的信号虽然频带有限，但在实际运算中，时间总是取有限值，在将信号截断的过程中，出现了展谱线的现象，称之为频谱泄漏或功率泄漏。

3.栅栏效应

DFT是对单位圆上Z变换的均匀采样，所以它不可能将频谱视为一个连续函数，就在一定意义上看，用DFT来观察频谱就好象通过一个栅栏来观看一个景象一样，只能在离散点上看到真实的频谱，这样就有可能发生一些频谱的峰点和谷点被“尖桩的栅栏”

所挡住，不能被我们观察到。

4.圆周卷积

把序列X（N）分布在N等份的圆周上，而序列Y（N）经反摺后也分布在另一个具有N等份的同心圆的圆周上。两圆上对应的数两量两相乘求和，就得到全部卷积序列。

这个卷积过程称做圆周卷积。

5.互相关函数

反映了两个序列X（N）和Y（N）的相似程度，用FFT可以很快的计算互相关函数。

三．实验内容及结果

1.观察高斯序列的时域和幅频特性，固定信号xa(n)中参数p=8，改变q的值，使

q分别等于2，4，8，观察他们的时域和幅频特性，了解当q取不同值时，对信号序列的时域和幅频特性影响；改变p，使p分别等于8，13，14，观察参数p变化对信号序列的时域和幅频特性影响，注意p等于多少时，会发生明显的泄漏现象，混叠是否也随之出现？记录实验中观察到的现象，绘出相应的时域序列和幅频特性曲线。

1.1幅频特性曲线

1.1.1p=8,q=2

1.1.2p=8,q=4

1.1.3p=8,q=8

1.1.4p=13,q=8

1.1.5p=14,q=8

1.2结果分析

X（n）中的参数p为高斯序列的峰值位置，q则表示高斯序列峰的尖锐度，（即峰值边沿的陡峭度）q值越大，时域图中图象越平缓，序列变化越慢；其幅频特性图中高频分量越少，频谱越窄，越不容易产生混叠。p值越大，序列右移，在规定的窗口内有效值被截断的越多。因为窗口截断会造成窗口泄漏，所以我们可以在幅频特性图中看到，随着p值的变大，高频分量会增加。易出现泄露，当p=13时，特别是p=14时，产生了明显的泄漏与混叠。

2.观察衰减正弦序列xb(n)的时域和幅频特性，a=0.1,f=0.0625,检查谱峰出现位置是否正确，

注意频谱的形状，绘出幅频特性曲线，改变f，使f分别等于0.4375和0.5625，观察这两种情况下，频谱的形状和谱峰出现的位置，有无混叠和泄漏现象？说明产生现象的原因。

2.1幅频特性曲线

2.1.1f=0.0625

2.1.2f=0.4375

2.1.3f=0. 5625

2.2结果分析

图中的幅频特性图，当f=0.0625时，没有产生明显的混叠和泄露，；当f=0.4375和f=0.5625时，产生了混叠，是因为不满足奈奎斯特采样定理的缘故；图中后两个序列的时域图，因为0.4375+0.5625=1，满足如下等式（此情况只适用于正弦序列），Xb(n)|f=0.4375=-Xb(n)|0.5625,即sin(2pi*fn）=-sin[2pi(1-f)n],其幅频特性是完全相同的。3.观察三角波和反三角波序列的时域和幅频特性，用N=8点FFT分析信号序列xc(n)

和xd(n)的幅频特性，观察两者的序列形状和频谱曲线有什么异同？绘出两序列及其幅频特性曲线。

在xc(n)和xd(n)末尾补零，用N=32点FFT分析这两个信号序列的幅频特性，观察频谱特性发生了什么变化？两种情况下的FFT频谱还有相同之处吗？这些变化说明了什么？

3.1 幅频特性曲线

3.1.1 N=8

3.1.2 N=32

3.2 结果分析

反三角波的边沿比较陡峭，因此它的幅频特性曲线中高频分量比较多。由图知：当N=8时，正反三角波的幅频特性相同，因为两者的时域只差一个相位；当N=16时，正，反三角波的幅频特性不同。这是因为栅栏效应，当N=8时，一些谱线被挡住。通过在原序列的末端补零，N=16，即增加采样的点数和改变采样的位置，使这些被挡住的谱线显

露出来，弱化了栅栏效应。

4.一个连续信号含两个频率分量，经采样得x(n)=sin[2π*0.125n]+cos[2π*(0.125+∆f)n]

n=0,1,…N-1；已知N=16，∆f分别为1/16和1/64，观察其频谱；当N=128时，∆f不变，其结果有何不同？

4.1幅频特性曲线

4.1.1N=16,f=1/16

4.1.2N=16,f=1/64

4.1.3N=128,f=1/16

4.1.4N=128,f=1/64

4.2结果分析

当N=16，f=1/16，N=128,f=1/16以及N=128,f=1/64时，均反应了真实的频谱；只有当N=16,f=1/64时，频谱发生了严重的栅栏效应。这是由于分辨率等于1/N，当f>=1/N 时，能分辨，不会发生栅栏效应；当f=<1/N时，不能分辨，会发生栅栏效应。