快速傅里叶变换及其应用
快速傅里叶变换的基本概念及其应用
快速傅里叶变换的基本概念及其应用快速傅里叶变换，通常称为 FFT，是一种高效的计算傅里叶变换的算法。
它广泛应用于信号处理、图像处理、音频处理、通信系统等领域中。
在这篇文章中，我们将探讨快速傅里叶变换的基本概念及其应用。
傅里叶变换是一个将时间域信号转换为频域信号的数学工具。
它可以将一个时域信号表示为其构成频谱的复振幅和相位。
这个过程被广泛应用于信号处理、图像处理和通信系统中，因为它允许我们分析和操作复杂的信号。
然而，计算傅里叶变换的传统方法需要大量的计算量和时间。
这个计算量往往太大，以致于在处理复杂的信号时，传统的方法无法满足实时处理的需求。
这就是快速傅里叶变换的优越之处。
快速傅里叶变换是一种高效的算法，它可以在 O(n log n) 的时间内计算一个序列的傅里叶变换，而传统方法需要 O(n^2) 的计算时间。
这个算法的核心是分治策略。
即通过将序列分成两个较小的序列，然后对它们进行递归操作，最后将结果合并到一起来计算真正的傅里叶变换。
应用方面，快速傅里叶变换在信号处理、图像处理和通信系统中得到了广泛的应用。
在图像处理中，它可以用于提取图像中的纹理、过滤图像中的噪声和分析图像的频率。
在音频处理中，它可以用于调节音频的音色、混响和变调。
在通信系统中，它可以用于处理数字信号、降噪和解调。
总之，快速傅里叶变换是一个非常有用的数学工具，它广泛应用于信号处理、图像处理和通信系统中。
在实际应用中，我们需要根据实际情况选择适当的算法，并结合实际场景来进行优化。
通过利用它的优越性能，它可以帮助我们更有效地处理和操作复杂的信号。
快速傅里叶变换原理及其应用
快速傅里叶变换原理及其应用快速傅里叶变换的原理基于傅里叶级数展开定理，它认为任何一个周期信号可以由一组正弦和余弦函数的和表示。
快速傅里叶变换通过将时域信号划分为若干个频率组成的离散点，然后对这些点进行计算，得到频域信号的表示。
快速傅里叶变换的核心思想是将一个N点的DFT（离散傅里叶变换）分解为若干个较小的DFT，然后通过递归的方式进行计算。
这样可以大大减少计算量，提高算法的效率。
FFT算法的时间复杂度为O(NlogN)，远远优于传统的DFT算法的时间复杂度O(N^2)。
由于快速傅里叶变换具有高效、快速的特点，因此被广泛应用于多个领域。
在音频处理中，FFT常用于信号的频谱分析和频率检测。
通过对音频信号进行FFT变换，可以得到频谱图，从而分析音频信号的频率成分和强度分布。
这在音乐制作、语音识别、音频编码等领域具有重要的应用。
在图像处理中，FFT常用于图像的频域滤波和图像压缩。
通过对图像进行二维FFT变换，可以将图像从空域转换到频域，然后对频域图像进行一系列的滤波操作，最后再通过逆变换将图像转换回空域。
这样可以实现图像的去噪、增强、模糊等效果。
在通信领域，FFT常用于信号的调制和解调。
通过对信号进行FFT变换，可以将信号从时域转换到频域，然后进行调制或解调操作，最后再通过逆变换将信号从频域转换回时域。
这在无线通信、数字电视等领域具有广泛的应用。
在科学研究领域，FFT常用于信号的频谱分析和频率测量。
通过对科学实验中的信号进行FFT变换，可以得到信号的频率成分和幅度信息，从而帮助科学家研究信号的特性和变化规律。
总之，快速傅里叶变换作为一种高效的计算算法，在音频、图像、通信、科学研究等多个领域都具有重要的应用价值。
它不仅可以将时域信号转换为频域信号，还可以对频域信号进行滤波、压缩、调制等操作，从而实现对信号的处理和分析。
快速傅里叶变换推导
快速傅里叶变换推导摘要：1.快速傅里叶变换的概念与意义2.傅里叶变换的定义与性质3.快速傅里叶变换的算法原理4.快速傅里叶变换的实际应用正文：一、快速傅里叶变换的概念与意义快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）是一种高效的计算离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）及其逆变换的算法。
DFT 是一种将时间域信号转换到频率域的方法，常用于信号处理、图像处理等领域。
然而，当信号长度很长时，DFT 的计算复杂度较高，因此，为了加速计算，提出了快速傅里叶变换算法。
二、傅里叶变换的定义与性质傅里叶变换是一种将信号从时域转换到频域的方法。
对于一个信号f(t)，其傅里叶变换结果为频谱F(ω)，可以通过以下公式计算：F(ω) = ∫[f(t) * e^(-jωt) dt]，其中积分范围为-∞到∞。
傅里叶变换具有以下性质：1.傅里叶变换是线性的，即满足线性性质的信号可以通过傅里叶变换分开。
2.傅里叶变换是可逆的，即频域信号可以通过傅里叶逆变换转换回时域信号。
3.傅里叶变换具有时域与频域之间的帕斯卡三角关系，即频谱的幅度与相位分别对应时域信号的幅度与相位。
三、快速傅里叶变换的算法原理快速傅里叶变换算法的原理是将DFT 分解成更小的子问题，并重复利用子问题的计算结果。
具体来说，如果将信号长度为N 的DFT 表示为：X_k = ∑[x_n * e^(-j2πnk/N)]，其中n 为时域索引，k 为频域索引。
那么，如果将信号长度分解为2 的幂次方形式（如N = 2^m），则可以将DFT 分解为两个较短的DFT 的加权和，即：X_k = ∑[x_n * e^(-j2πnk/N)] = ∑[x_n * e^(-j2πn(k-m)/2^m)] + e^(-j2πkm/2^m) * ∑[x_n * e^(-j2πn(k+m)/2^m)]其中，第一个和式计算偶数项的DFT，第二个和式计算奇数项的DFT。
关于傅里叶变换和快速傅里叶变换的数学原理和应用
关于傅里叶变换和快速傅里叶变换的数学原理和应用傅里叶变换和快速傅里叶变换是用于信号处理和图像处理的重要工具。
在科学领域，数学是一项非常重要的技能。
傅里叶变换和快速傅里叶变换就是其中的两个重要的理论和技术。
傅里叶变换的数学原理傅里叶变换是用于将信号或图像从时域转换到频域的数学工具。
在时域中，信号或图像是按时间分布的。
在频域中，信号或图像是按频率分布的。
傅里叶变换的数学原理是将一个信号或图像分解为一组正弦波或余弦波的和，每个正弦波或余弦波在频域上具有不同的振幅和频率。
这些波形或频率是通过傅里叶级数表达式计算的，表示为：f(t) = a0/2 + Σ(an*cos(nwt) + bn*sin(nwt))其中，a0是信号或图像在时间上的平均值，an和bn是正弦波和余弦波的系数，w是角频率，t是时间。
快速傅里叶变换的数学原理快速傅里叶变换是傅里叶变换的一种高效算法，它通过计算某些特殊函数的值，使用递归技巧将信号或图像从时域变换到频域。
快速傅里叶变换的数学原理与傅里叶变换的数学原理类似，但它可以更快地进行计算。
它的核心思想是利用旋转因子，将n个点的傅里叶变换分为两个n/2个点的傅里叶变换。
这一过程可以递归地继续下去，使计算完整个傅里叶变换所需的时间为O(nlogn)，而不是O(n^2)，这是传统傅里叶变换所需的时间。
快速傅里叶变换的应用快速傅里叶变换在信号处理和图像处理等领域有着广泛的应用。
以下是一些快速傅里叶变换的应用：1. 语音和音频信号的分析和处理快速傅里叶变换可用于对语音和音频信号进行分析和处理。
它可以将声音信号从时间域转换到频域，以便更好地分析和处理音频信号。
2. 图像处理和计算机视觉快速傅里叶变换可用于对图像进行分析和处理。
它可以将图像从空间域转换到频域，以便更好地分析和处理图像。
这在计算机视觉和图像处理领域中非常有用。
3. 信号压缩快速傅里叶变换可用于数据压缩，并且在数字通信中经常使用。
通过将信号从时间域转换为频域，信号可以被压缩，以便在通信传输中更有效地使用带宽。
快速傅里叶变换FFT算法及其应用
快速傅里叶变换FFT算法及其应用快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform, FFT）是一种高效的计算离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform, DFT）的算法，它可以将一个时间域上的信号转换为频域上的表示。
FFT算法的提出改变了信号处理、图像处理、音频处理等领域的发展，广泛应用于各种科学与工程领域。
FFT算法的基本思想是将一个N点的DFT分解为多个较小规模的DFT，然后再通过合并子问题的解来得到原问题的解。
这种分治思想使得FFT算法的时间复杂度从O(N^2)降低到了O(NlogN)，大大提高了计算效率。
FFT算法主要利用了DFT的对称性和周期性质，通过递归和迭代的方式，以分离出DFT的实部和虚部的形式计算出频域上的信号。
FFT算法的应用非常广泛。
在通信领域中，FFT算法常被用于信号的频谱分析、频域滤波、信号调制解调等方面。
在图像处理中，FFT算法可用于图像增强、滤波、噪声去除等。
在音频处理中，FFT算法可以用于音频压缩、声音合成等。
此外，FFT算法还广泛应用于科学计算、数字信号处理、雷达信号处理、语音识别、生物信息学等领域。
以音频处理为例，使用FFT算法可以将音频信号从时域转换到频域表示，使得我们可以对音频信号进行频谱分析。
通过FFT计算，我们可以获取音频信号的频率分量、频谱特征、能量分布等信息。
这对于音频的压缩、降噪、音频增强、音频特征提取等操作非常有帮助。
例如，在音频压缩中，我们可以根据音频信号的频谱特性，选择性地保留主要的频率成分，从而实现压缩效果。
而在音频增强中，我们可以通过FFT计算，去除或减弱一些频率上的噪声，提高音频的质量。
在实际应用中，为了提高计算效率和减少计算量，通常会使用基于FFT算法的快速卷积、快速滤波等技术。
这些技术可以利用FFT算法的高效性质，实现更快速、更准确的计算。
此外，也可以采用多线程、并行计算等技术，进一步提高FFT算法的性能。
快速傅里叶变换及其应用
数值与符号计算实验快速傅里叶变换及其应用1 实验要求2 实验原理计算离散傅里叶变换的一种快速算法，简称FFT。
快速傅里叶变换是1965年由J.W.库利和T.W.图基提出的。
采用这种算法能使计算机计算离散傅里叶变换所需要的乘法次数大为减少，特别是被变换的抽样点数N越多，FFT算法计算量的节省就越显著。
快速傅氏变换，它是根据离散傅氏变换的奇、偶、虚、实等特性，对离散傅立叶变换的算法进行改进获得的。
它对傅氏变换的理论并没有新的发现，但是对于在计算机系统或者说数字系统中应用离散傅立叶变换，可以说是进了一大步。
设x(n)为N项的复数序列，由DFT变换，任一X（m）的计算都需要N次复数乘法和N-1次复数加法，而一次复数乘法等于四次实数乘法和两次实数加法，一次复数加法等于两次实数加法，即使把一次复数乘法和一次复数加法定义成一次“运算”（四次实数乘法和四次实数加法），那么求出N项复数序列的X （m）,即N点DFT变换大约就需要N2次运算。
当N=1024点甚至更多的时候，需要N2=1048576次运算.在FFT中，利用WN的周期性和对称性，把一个N项序列（设N=2k, k为正整数），分为两个N/2项的子序列，每个N/2点DFT变换需要（N/2）2次运算，再用N次运算把两个N/2点的DFT变换组合成一个N点的DFT变换。
这样变换以后，总的运算次数就变成N+2（N/2）2=N+N2/2。
继续上面的例子，N=1024时，总的运算次数就变成了525312次，节省了大约50%的运算量。
如果我们将这种“一分为二”的思想不断进行下去，直到分成两两一组的DFT运算单元，那么N点的DFT变换就只需要Nlog2N次的运算，N在1024点时，运算量仅有10240次，是先前的直接算法的1%，点数越多，运算量的节约就越大，这就是FFT的优越性。
3 算法思想及代码实现3.1 复数类及常规运算函数定义了复数类，以及复数的“＋”，“－”，“*”，“÷”四则运算。
快速傅里叶变换浅析
快速傅里叶变换浅析快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）是一种用于将信号在时域和频域之间转换的高效算法。
它广泛应用于数字信号处理、图像处理、音频处理以及其他各种领域。
本文将简要介绍FFT的原理、应用及其优缺点。
一、快速傅里叶变换的原理快速傅里叶变换是傅里叶变换（Fourier Transform，FT）的一种快速算法。
FT是将一个信号分解成不同频率的正弦波组成的频谱。
而FFT则通过将信号分解成更小的子问题并利用许多对称性质来大大减少计算量。
在FFT中，信号被表示为一组复数形式的采样点。
通过对这些采样点进行分解和重组，可得到信号的频谱。
FFT算法的核心思想是将信号分解成大小相等的子问题，并通过迭代的方式快速计算出频谱。
不同大小的子问题需要使用不同的算法，其中最常用的是基2快速傅里叶变换算法（Cooley-Tukey算法）。
二、快速傅里叶变换的应用1. 信号处理领域FFT在信号处理领域得到了广泛应用，例如音频和图像处理。
在音频处理中，FFT可以将时域的音频信号转换为频域，从而实现音频的分析、滤波、压缩等操作。
在图像处理中，FFT可以将图像转换为频域表达，从而实现图像增强、滤波、纹理分析等操作。
2. 通信领域FFT在通信领域也有着重要的应用。
例如，在调制解调器中，FFT被用于将时域的信号转换为频域，以进行调制解调操作。
另外，FFT还可以用于信号的编码、解码和信道估计等方面，提高通信系统的性能。
3. 数值计算领域FFT在数值计算领域也扮演着重要的角色。
例如，在大规模线性方程组的求解中，FFT被用于加速计算过程。
FFT还可以应用于信号滤波、噪声消除、信号重建和频谱分析等方面。
三、快速傅里叶变换的优缺点1. 优点（1）高效性：相比于传统的傅里叶变换算法，FFT具有更高的计算效率，能够在较短的时间内完成复杂的频谱计算。
（2）节省空间：FFT所需的内存空间较少，可以适用于有限的计算资源。
快速傅里叶变换FFT及其应用
快速傅里叶变换FFT 及其应用摘要: FFT(Fast Fourier transform)技术是快速傅里叶变换,它是离散傅里叶的快速算法,随着大规模集成器件的问世以及计算机技术的迅速发展,FFT 技术已应用于现代科学技术的各个领域。
本文首先简单介绍了FFT 的原理，还介绍了FFT 在数字图像处理、机床噪声分析、数据采集、现代雷达、机车故障检测记录等领域的应用。
关键词:DFT ；FFT ；应用；1. 快速傅里叶变换FFT 简介1.1离散傅里叶变换(DFT)在信号处理中，DFT 的计算具有举足轻重的地位，信号的相关、滤波、谱估计等等都可通过DFT 来实现。
然而，由DFT 的定义式可以看出，求一个N 点的DFF 要N 2次复数乘法和N(N-1)次负数加法。
当N 很大时，其计算量是相当大。
傅立叶变换是信号分析和处理的重要工具。
离散时间信号*(n)的连续傅立叶变换定义为:式中()j X e ω是一个连续函数，不能直接在计算机上做数字运算。
为了在计算机上实现频谱分析，必须对x(n)的频谱作离散近似。
有限长离散信号x(n), n=0, 1, .......,N-1的离散傅立叶变换(DFT)定义为：式中()exp -2/N ,n=0,1,........N-1N W j π=。
其反变换定义为:将DFT 变换的定义式写成矩阵形式，得到X=Ax 。
其中DFT 的变换矩阵A 为1.2快速傅里叶变换(FFT)快速傅里叶变换(FFT)是1965年J. W. Cooley 和J. W Tukey 巧妙地利用造了DFT 的快速算法，即快速离散傅里叶变换(FFT)。
在以后的几十年中，FFT 算法有了进一步的发展，目前较常用的是基2算法和分裂基算法。
在讨论图像的数学变换时，我们把图像看成具有两个变量x, y 的函数。
首先引入二维连续函数的傅里叶变换，设f(x,y)是两个独立变量x ，y 的函数，且满足()++--,<0f x y dxdy ∞∞∞∞⎰⎰, 则定义:()++-2(ux+vy)--(u,v) = ,j F f x y e dxdy π∞∞∞∞⎰⎰为f(x,Y)的傅立叶变换。
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实验三快速傅里叶变换及其应用
04012636 陈郁蕾
一．实验目的
1.在理论学习的基础上，通过本实验，加深对FFT的理解，熟悉MATLAB中的有关函数。
2.应用FFT对典型信号进行频谱分析。
3.了解应用FFT进行信号频谱分析过程中可能出现的问题，以便在实际中正确应用FFT。
4.应用FFT实现序列的线性卷积和相关。
二．实验原理
1.混叠
采样序列的频谱是被采样信号频谱的周期延拓，当采样频率不满足奈奎斯特采样定理的时候，就会发生混叠，使得刺痒后的序列信号的频谱不能真实的反映原采样信号的频谱。
2.泄漏
根据理论分析，一个时间的信号其频带宽度为无限，一个时间无限的信号其频带宽度则为有限。
因此对一个时间有限的信号，应用DFT进行分析，频谱混叠难以避免。
对一个时间无限的信号虽然频带有限，但在实际运算中，时间总是取有限值，在将信号截断的过程中，出现了展谱线的现象，称之为频谱泄漏或功率泄漏。
3.栅栏效应
DFT是对单位圆上Z变换的均匀采样，所以它不可能将频谱视为一个连续函数，就在一定意义上看，用DFT来观察频谱就好象通过一个栅栏来观看一个景象一样，只能在离散点上看到真实的频谱，这样就有可能发生一些频谱的峰点和谷点被“尖桩的栅栏”
所挡住，不能被我们观察到。
4.圆周卷积
把序列X（N）分布在N等份的圆周上，而序列Y（N）经反摺后也分布在另一个具有N等份的同心圆的圆周上。
两圆上对应的数两量两相乘求和，就得到全部卷积序列。
这个卷积过程称做圆周卷积。
5.互相关函数
反映了两个序列X（N）和Y（N）的相似程度，用FFT可以很快的计算互相关函数。
三．实验内容及结果
1.观察高斯序列的时域和幅频特性，固定信号xa(n)中参数p=8，改变q的值，使
q分别等于2，4，8，观察他们的时域和幅频特性，了解当q取不同值时，对信号序列的时域和幅频特性影响；改变p，使p分别等于8，13，14，观察参数p变化对信号序列的时域和幅频特性影响，注意p等于多少时，会发生明显的泄漏现象，混叠是否也随之出现？记录实验中观察到的现象，绘出相应的时域序列和幅频特性曲线。
1.1幅频特性曲线
1.1.1p=8,q=2
1.1.2p=8,q=4
1.1.3p=8,q=8
1.1.4p=13,q=8
1.1.5p=14,q=8
1.2结果分析
X（n）中的参数p为高斯序列的峰值位置，q则表示高斯序列峰的尖锐度，（即峰值边沿的陡峭度）q值越大，时域图中图象越平缓，序列变化越慢；其幅频特性图中高频分量越少，频谱越窄，越不容易产生混叠。
p值越大，序列右移，在规定的窗口内有效值被截断的越多。
因为窗口截断会造成窗口泄漏，所以我们可以在幅频特性图中看到，随着p值的变大，高频分量会增加。
易出现泄露，当p=13时，特别是p=14时，产生了明显的泄漏与混叠。
2.观察衰减正弦序列xb(n)的时域和幅频特性，a=0.1,f=0.0625,检查谱峰出现位置是否正确，
注意频谱的形状，绘出幅频特性曲线，改变f，使f分别等于0.4375和0.5625，观察这两种情况下，频谱的形状和谱峰出现的位置，有无混叠和泄漏现象？说明产生现象的原因。
2.1幅频特性曲线
2.1.1f=0.0625
2.1.2f=0.4375
2.1.3f=0. 5625
2.2结果分析
图中的幅频特性图，当f=0.0625时，没有产生明显的混叠和泄露，；当f=0.4375和f=0.5625时，产生了混叠，是因为不满足奈奎斯特采样定理的缘故；图中后两个序列的时域图，因为0.4375+0.5625=1，满足如下等式（此情况只适用于正弦序列），Xb(n)|f=0.4375=-Xb(n)|0.5625,即sin(2pi*fn）=-sin[2pi(1-f)n],其幅频特性是完全相同的。
3.观察三角波和反三角波序列的时域和幅频特性，用N=8点FFT分析信号序列xc(n)
和xd(n)的幅频特性，观察两者的序列形状和频谱曲线有什么异同？绘出两序列及其幅频特性曲线。
在xc(n)和xd(n)末尾补零，用N=32点FFT分析这两个信号序列的幅频特性，观察频谱特性发生了什么变化？两种情况下的FFT频谱还有相同之处吗？这些变化说明了什么？
3.1 幅频特性曲线
3.1.1 N=8
3.1.2 N=32
3.2 结果分析
反三角波的边沿比较陡峭，因此它的幅频特性曲线中高频分量比较多。
由图知：当N=8时，正反三角波的幅频特性相同，因为两者的时域只差一个相位；当N=16时，正，反三角波的幅频特性不同。
这是因为栅栏效应，当N=8时，一些谱线被挡住。
通过在原序列的末端补零，N=16，即增加采样的点数和改变采样的位置，使这些被挡住的谱线显
露出来，弱化了栅栏效应。
4.一个连续信号含两个频率分量，经采样得x(n)=sin[2π*0.125n]+cos[2π*(0.125+∆f)n]
n=0,1,…N-1；已知N=16，∆f分别为1/16和1/64，观察其频谱；当N=128时，∆f不变，其结果有何不同？
4.1幅频特性曲线
4.1.1N=16,f=1/16
4.1.2N=16,f=1/64
4.1.3N=128,f=1/16
4.1.4N=128,f=1/64
4.2结果分析
当N=16，f=1/16，N=128,f=1/16以及N=128,f=1/64时，均反应了真实的频谱；只有当N=16,f=1/64时，频谱发生了严重的栅栏效应。
这是由于分辨率等于1/N，当f>=1/N 时，能分辨，不会发生栅栏效应；当f=<1/N时，不能分辨，会发生栅栏效应。
5.用FFT 分别计算xa(n)(p=8,q=2)和xb(n)(a=0.1,f=0.0625)的16点循环卷积和线形卷积5.1幅频特性曲线
5.2结果分析
比较图中线性卷积与圆周卷积序列：
Xa(n)（序列长度为N1）与Xb(n)(序列长度为N2)的N点圆周卷积序列（当N<N1+N2-1）,即为将Xa(n)与Xb(n)线性卷积序列中序号从N到N1+N2-1的序列叠加到原序列序号从0到N-1的地方。
6.产生一512点的随即序列xe(n)并用xc(n)和xe(n)做线形卷积，观察卷积前后xe(n)
频谱的变化。
要求将xe(n)分成8段，分别采用重叠相加法和重叠保留法。
6.1幅频特性曲线
6.1.1重叠相加法
6.1.2重叠保留法
6.2结果分析
比较图中序列的线形卷积频谱：原序列的频谱曲线较线性卷积序列的频谱曲线陡峭，即一个长序列与一个短序列作线性卷积，短序列就相当于一个低通滤波器，滤除长序列的一部分高频分量；
7.用FFT分别计算xa(n)(p=8,q=2)和xb(n)(a=0.1,f=0.0625)的16点循环相关和线形相关，
问一共有多少种结果，他们之间有何异同点。
7.1幅频特性曲线
7.2结果分析
由上图可以看到，16点的循环相关由于高斯噪声的干扰，衰减发生了微小的变化，时间位置不对了。
并且线形相关32点，循环相关只有16点。
8.用FFT分别计算xa(n)(p=8,q=2)和xb(n)(a=0.1,f=0.0625)的自相关函数。
8.1幅频特性曲线
8.2结果分析
由图可以看出最大值出现在0点，这是因为自相关的两个序列是完全一样的，之间不存在延迟。
而且，两个序列的互相关与自相关不相同。
四．思考题
1.实验中的信号序列Xc(n)和Xd(n)，在单位圆上的变化频谱|Xc(exp(jw)|和|Xd(exp(jw))|
会相同吗？如果不同，说出哪一个低频分量更多一些，为什么？
答：他们的单位圆上的Z变换频谱不同，Xc(n)的时域波形比较平缓，顾其低频分量会多一些。
2.对于一个有限长度序列进行DFT等价于将该序列周期延拓后进行DFT展开，因为
DFS也知识取其中一个周期来运算，所以FFT在一定条件下也可以用以分析周期信号序列。
如果实正弦信号sin(2pi*fn)f=0.1用16点FFT来做DFS运算，得到的频谱是信号本身的真实谱吗？为什么？
答：不是信号本身的真实谱。
因为原信号的周期是10，因而进行16点FFT时，其16点的周期延拓后的波形已经不再是原来的波形了。