三垂直模型及练习题
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的结论并证明。
2. 如图 1，等腰 Rt△ABC 中，AB=CB，∠ABC=90º，点 P 在线段 BC 上（不与 B、C 重合）， 以 AP 为腰长作等腰直角△PAQ，QE⊥AB 于 E ，连 CQ 交 AB 于 M。 （1）求证：M 为 BE 的中点
（2）若 PC=2PB，求 PC 的值 MB
1
2
变式 1：如图，在 R t △ABC 中，∠ACB=45º，∠BAC=90º，AB=AC，点 D 是 AB 的中点，AF⊥CD
于 H 交 BC 于 F，BE∥AC 交 AF 的延长线于 E，求证：BC 垂直且平分 DE.
变式 2：等腰 Rt△ABC 中，AC=AB，∠BAC＝90°，点 D 是 AC 的中点，AF⊥BD 于点 E， 交 BC 于点 F，连接 DF，求证：∠1=∠2。
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6、如图，在等腰 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，D 为 BC 的中点，DE⊥AB，垂足为 E，过点 B 作 BF∥AC 交 DE 的延长线于点 F，连接 CF． （1）求证：AD⊥CF； （2）连接 AF，求证：AF＝CF．
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7、已知：如图所示，在△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D 为 AC 中点，AF⊥BD 于点 E，交 BC 于 F，连接 DF . 求证：∠ADB＝∠CDF .
变式 1、已知：如图所示，在△ABC 中，AB＝AC，AM＝CN，AF⊥BM 于 E，交 BC 于 F， 连接 NF . 求证：（1）∠AMB＝∠CNF；（2）BM＝AF＋FN .
变式 2、在变式 1 的基础上，其他条件不变，只是将 BM 和 FN 分别延长交于点 P， 求证：（1）PM＝PN；（2）PB＝PF＋AF .
★模型一 等腰三垂直全等模型
（1）以原等腰直角三角形的两直角边为对应斜边，必定可以构造一对全等的直角三角形：
例 1．如图：RtΔABC 中，∠BAC=90º，AB=AC，点 D 是 BC 上任意一点，过 B 作 BE⊥AD 于点 E，过 C 作 CF⊥AD 于点 F。
（1）求证：BE-CF=EF； （2）若 D 在 BC 的延长线上（如图（2）），（1）中的结论还成立吗？若不成立，请写出新
A
D
F E
B
C
(2)
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4、已知 BE，CF 是△ABC 的高，且 BP=AC，CQ=AB，试确定 AP 与 AQ 的数量关系和位 置关系.
5、如图所示，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AD 是 BC 边上的中线，过 C 作 AD 的垂线，交 AB 于点 E，交 AD 于点 F，求证：∠ADC＝∠BDE．
为直角边作等腰 Rt△EGH，过 A 作 x 轴垂线交 EH 于点 M，连 FM，等式 AM FM 1 是 OF
否成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由。
6
3、在△ABC 和△DCE 中，AB=AC，DC=DE,∠BAC=∠EDC=90°，点 E 在 AB 上，连 AD， DF⊥AC 于点 F。试探索 AE、AF、AC 的数量关系；并求出∠DAC 的度数。
BM
AM
（1）求 AB BC 的值；（2）求 BC AB 的值。
课后练习：
1．已知：Rt⊿ABC 中，AB=AC，∠BAC=90°，若 O 是 BC 的中点，以 O 为顶点作∠MON， 交 AB、AC 于点 M、N。
（1）若∠MON=90°（如图 1），求证：①OM=ON；
A
M
B
O
图1
N C
变式 1：等腰 Rt△ABC 中，AC=AB，∠BAC＝90°，E 是 AC 上一点，点 D 为 BE 延长线上 一点，且∠ADC＝135°求证：BD⊥DC。
4Hale Waihona Puke 变式 2：等腰 Rt△ABC 中，AC=AB，∠BAC＝90°，BE 平分∠ABC 交 AC 于 E，过 C 作 CD⊥BE
于 D，DM⊥AB 交 BA 的延长线于点 M，
（2）以原等腰直角三角形的两直角边为对应直角边，必定可以构造一对全等的直角三角形：
3、如图：RtΔABC 中，∠BAC=90º，AB=AC，点 D 是 BC 上任意一点，过 B 作 BE⊥AD 于 点 E，交 AC 于点 G，过 C 作 CF⊥AC 交 AD 的延长线与于点 F。 （1）求证：BG=AF； （2）若 D 在 BC 的延长线上（如图（2）），（1）中的结论还成立吗？若不成立，请写出新的 结论并证明。
变式 3：等腰 Rt△ABC 中，AC=AB，∠BAC＝90°，点 D、E 是 AC 上两点且 AD=CE，AF⊥BD 于点 G，交 BC 于点 F 连接 DF，求证：∠1=∠2。
3
★模型二 等腰直角对直角全等模型
等腰直角三角形与另一个直角三角形有公共斜边，一定可以以两腰为对应边构造全等三角形
例 1：等腰 Rt△ABC 中，AC=AB，∠BAC＝90°，E 是 AC 上一点，过 C 作 CD⊥BE 于 D， 连接 AD，求证：∠ADB＝45°。
（2）若∠MON=45°（如图 2），求证：①AM+MN=CN；
A N
M
B
O
C
图2
5
2、如图，在平面直角坐标系中，△AOB 为等腰直角三角形，A（4，4）。 （1）若 C 为 x 轴正半轴上一动点，以 AC 为直角边作等腰直角△ACD，∠ACD=90°，连 OD，求∠AOD 的度数；
（2）过 A 作 y 轴的垂线交 y 轴于 E，F 为 x 轴负半轴上一点，G 在 EF 的延长线上，以 EG
2. 如图 1，等腰 Rt△ABC 中，AB=CB，∠ABC=90º，点 P 在线段 BC 上（不与 B、C 重合）， 以 AP 为腰长作等腰直角△PAQ，QE⊥AB 于 E ，连 CQ 交 AB 于 M。 （1）求证：M 为 BE 的中点
（2）若 PC=2PB，求 PC 的值 MB
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变式 1：如图，在 R t △ABC 中，∠ACB=45º，∠BAC=90º，AB=AC，点 D 是 AB 的中点，AF⊥CD
于 H 交 BC 于 F，BE∥AC 交 AF 的延长线于 E，求证：BC 垂直且平分 DE.
变式 2：等腰 Rt△ABC 中，AC=AB，∠BAC＝90°，点 D 是 AC 的中点，AF⊥BD 于点 E， 交 BC 于点 F，连接 DF，求证：∠1=∠2。
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6、如图，在等腰 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，D 为 BC 的中点，DE⊥AB，垂足为 E，过点 B 作 BF∥AC 交 DE 的延长线于点 F，连接 CF． （1）求证：AD⊥CF； （2）连接 AF，求证：AF＝CF．
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7、已知：如图所示，在△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D 为 AC 中点，AF⊥BD 于点 E，交 BC 于 F，连接 DF . 求证：∠ADB＝∠CDF .
变式 1、已知：如图所示，在△ABC 中，AB＝AC，AM＝CN，AF⊥BM 于 E，交 BC 于 F， 连接 NF . 求证：（1）∠AMB＝∠CNF；（2）BM＝AF＋FN .
变式 2、在变式 1 的基础上，其他条件不变，只是将 BM 和 FN 分别延长交于点 P， 求证：（1）PM＝PN；（2）PB＝PF＋AF .
★模型一 等腰三垂直全等模型
（1）以原等腰直角三角形的两直角边为对应斜边，必定可以构造一对全等的直角三角形：
例 1．如图：RtΔABC 中，∠BAC=90º，AB=AC，点 D 是 BC 上任意一点，过 B 作 BE⊥AD 于点 E，过 C 作 CF⊥AD 于点 F。
（1）求证：BE-CF=EF； （2）若 D 在 BC 的延长线上（如图（2）），（1）中的结论还成立吗？若不成立，请写出新
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4、已知 BE，CF 是△ABC 的高，且 BP=AC，CQ=AB，试确定 AP 与 AQ 的数量关系和位 置关系.
5、如图所示，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AD 是 BC 边上的中线，过 C 作 AD 的垂线，交 AB 于点 E，交 AD 于点 F，求证：∠ADC＝∠BDE．
为直角边作等腰 Rt△EGH，过 A 作 x 轴垂线交 EH 于点 M，连 FM，等式 AM FM 1 是 OF
否成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由。
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3、在△ABC 和△DCE 中，AB=AC，DC=DE,∠BAC=∠EDC=90°，点 E 在 AB 上，连 AD， DF⊥AC 于点 F。试探索 AE、AF、AC 的数量关系；并求出∠DAC 的度数。
BM
AM
（1）求 AB BC 的值；（2）求 BC AB 的值。
课后练习：
1．已知：Rt⊿ABC 中，AB=AC，∠BAC=90°，若 O 是 BC 的中点，以 O 为顶点作∠MON， 交 AB、AC 于点 M、N。
（1）若∠MON=90°（如图 1），求证：①OM=ON；
A
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图1
N C
变式 1：等腰 Rt△ABC 中，AC=AB，∠BAC＝90°，E 是 AC 上一点，点 D 为 BE 延长线上 一点，且∠ADC＝135°求证：BD⊥DC。
4Hale Waihona Puke 变式 2：等腰 Rt△ABC 中，AC=AB，∠BAC＝90°，BE 平分∠ABC 交 AC 于 E，过 C 作 CD⊥BE
于 D，DM⊥AB 交 BA 的延长线于点 M，
（2）以原等腰直角三角形的两直角边为对应直角边，必定可以构造一对全等的直角三角形：
3、如图：RtΔABC 中，∠BAC=90º，AB=AC，点 D 是 BC 上任意一点，过 B 作 BE⊥AD 于 点 E，交 AC 于点 G，过 C 作 CF⊥AC 交 AD 的延长线与于点 F。 （1）求证：BG=AF； （2）若 D 在 BC 的延长线上（如图（2）），（1）中的结论还成立吗？若不成立，请写出新的 结论并证明。
变式 3：等腰 Rt△ABC 中，AC=AB，∠BAC＝90°，点 D、E 是 AC 上两点且 AD=CE，AF⊥BD 于点 G，交 BC 于点 F 连接 DF，求证：∠1=∠2。
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★模型二 等腰直角对直角全等模型
等腰直角三角形与另一个直角三角形有公共斜边，一定可以以两腰为对应边构造全等三角形
例 1：等腰 Rt△ABC 中，AC=AB，∠BAC＝90°，E 是 AC 上一点，过 C 作 CD⊥BE 于 D， 连接 AD，求证：∠ADB＝45°。
（2）若∠MON=45°（如图 2），求证：①AM+MN=CN；
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图2
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2、如图，在平面直角坐标系中，△AOB 为等腰直角三角形，A（4，4）。 （1）若 C 为 x 轴正半轴上一动点，以 AC 为直角边作等腰直角△ACD，∠ACD=90°，连 OD，求∠AOD 的度数；
（2）过 A 作 y 轴的垂线交 y 轴于 E，F 为 x 轴负半轴上一点，G 在 EF 的延长线上，以 EG