线性代数 5-1 第5章1讲-特征值与特征向量(1)
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OPTION
2 对每一个，求方程组( A E) X O 的基础解系；即得到属于这个特征值
OPTION
的线性无关的特征向量.
4
特征值与特征向量的定义
1 1 1 例1 求矩阵A 1 3 0 的特征值与特征向量.
0 0 1
1 1 1
解
A E 1 3 0 1 22
0 0 1
1 1，2 3 2.
0 0 1
对2 3 2，解( A 2E) X 0
1 1 1 1 1 0
A
2E
1
1
0
0
0
1
0 0 1 0 0 0
得基础解系为 p2 (1,1, 0)T，
x1 x3
x2 0
其全部特征向量为k2 p2 (k2不为零).
6
特征值与特征向量的定义
2 1 1
例2
求矩阵的特征值与特征向量：A
基础解系为p1 (1, 0,1)T，
全部特征向量为k1 p1(k1 0).
7
特征值与特征向量的定义
2 1 1
求矩阵的特征值与特征向量：A
0
2 0.
4 1 3
对2 3 2，解方程组( A 2E) X 0，
4 1 1 4 1 1
A
2E
0
0
0
0
0 0，
4 1 1 0 0 0
同解方程组为4x1 x2 x3， 基础解系为p2 (0,1, 1)T ，p3 (1, 0, 4)T ，
对1 1，解( A E) X 0
0 1 1 1 2 0 A E 1 2 0 0 1 1
0 0 0 0 0 0
x1 x2
2 x3
x2
得基础解系为 p1 (2,1,1)T ， 其全部特征向量为k1 p1 (k1不为零).
5
特征值与特征向量的定义
1 1 1 求矩阵A 1 3 0 的特征值与特征向量.
求特征向量：(E 1 E)X 0，即解方程组0 X 0， 所以任意n 维非零列向量均为n 阶单位矩阵E 的特征向量.
11
p2 (1,1, 0)T；
2 3 2对应的线性无关特征向量
p2 (0,1, 1)T ，p3 (1, 0, 4)T
9
特征值与特征向量的定义
例3 设n 阶矩阵A 的元素全为1，则A 的n 个特征值为 ______ .
1 1 1 1
1 1 11
1 1 1 1
1 1 1 1
解 A E 1 1 1 1 (n ) 1 1 1 1
全部特征向量为k2 p2 k3 p3 (k2 , k3不全为零).
8
特征值与特征向量的定义
对比
1 1 1 例1 A 1 3 0
0 0 1
1 1对应的线性无关特征向量
p1 (2,1,1)T ，
2 1 1
例2
A
0
2 0.
4 1 3
1 1对应的线性无关特征向量
p1 (1, 0,1)T ，
2 3 2对应的线性无关特征向量
0
2 0.
4 1 3
2 1 1
解
AE 0
2
2 0 (2 )
1 ( 1)( 2)2
4 3
4 1 3
1 1，2 3 2.
1 1 1 1 0 1
对1 1，解( A E) X 0
A
E
0
3 0 0 1
0Leabharlann Baidu
4 1 4 0 0 0
同解方程组为
x1 x2
x3 0
(2) 一个特征值对应无数个特征向量； A A(k) (k)
(3) 每个特征向量对应一个特征值；
(4) 求特征值就是解 A E 0 ； (5) 齐次线性方程组( A E) X O的非零解即为特征向量.
3
特征值与特征向量的定义
求特征值与特征向量的步骤：
1 解 A E 0求出 的值；即得到特征值；
线性代数（慕课版）
第五章 矩阵的特征值与特征向量
第一讲 特征值与特征向量(1)
主讲教师 |
本讲内容
特征值与特征向量的定义
特征值与特征向量的定义
定义5.1 设A是n 阶矩阵，为一个数，若存在非零向量，使A ，则称数 为矩阵A 的特征值，非零向量 为矩阵A 的对应于特征值 的特征向量.
注 (1) 特征向量为非零向量；
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 11
0 0 0 (n ) 0 0 0 (n )()n1 0
0 0 0
n1个
故1 n, 2 n 0， 即A 的n 个特征值为n, 0, 0,0.
10
特征值与特征向量的定义
例4 求n阶单位矩阵E 的特征值与特征向量.
解 求特征值：|E E| |(1 )E | (1 )n 0 1 2 n 1
2 对每一个，求方程组( A E) X O 的基础解系；即得到属于这个特征值
OPTION
的线性无关的特征向量.
4
特征值与特征向量的定义
1 1 1 例1 求矩阵A 1 3 0 的特征值与特征向量.
0 0 1
1 1 1
解
A E 1 3 0 1 22
0 0 1
1 1，2 3 2.
0 0 1
对2 3 2，解( A 2E) X 0
1 1 1 1 1 0
A
2E
1
1
0
0
0
1
0 0 1 0 0 0
得基础解系为 p2 (1,1, 0)T，
x1 x3
x2 0
其全部特征向量为k2 p2 (k2不为零).
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特征值与特征向量的定义
2 1 1
例2
求矩阵的特征值与特征向量：A
基础解系为p1 (1, 0,1)T，
全部特征向量为k1 p1(k1 0).
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特征值与特征向量的定义
2 1 1
求矩阵的特征值与特征向量：A
0
2 0.
4 1 3
对2 3 2，解方程组( A 2E) X 0，
4 1 1 4 1 1
A
2E
0
0
0
0
0 0，
4 1 1 0 0 0
同解方程组为4x1 x2 x3， 基础解系为p2 (0,1, 1)T ，p3 (1, 0, 4)T ，
对1 1，解( A E) X 0
0 1 1 1 2 0 A E 1 2 0 0 1 1
0 0 0 0 0 0
x1 x2
2 x3
x2
得基础解系为 p1 (2,1,1)T ， 其全部特征向量为k1 p1 (k1不为零).
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特征值与特征向量的定义
1 1 1 求矩阵A 1 3 0 的特征值与特征向量.
求特征向量：(E 1 E)X 0，即解方程组0 X 0， 所以任意n 维非零列向量均为n 阶单位矩阵E 的特征向量.
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p2 (1,1, 0)T；
2 3 2对应的线性无关特征向量
p2 (0,1, 1)T ，p3 (1, 0, 4)T
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特征值与特征向量的定义
例3 设n 阶矩阵A 的元素全为1，则A 的n 个特征值为 ______ .
1 1 1 1
1 1 11
1 1 1 1
1 1 1 1
解 A E 1 1 1 1 (n ) 1 1 1 1
全部特征向量为k2 p2 k3 p3 (k2 , k3不全为零).
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特征值与特征向量的定义
对比
1 1 1 例1 A 1 3 0
0 0 1
1 1对应的线性无关特征向量
p1 (2,1,1)T ，
2 1 1
例2
A
0
2 0.
4 1 3
1 1对应的线性无关特征向量
p1 (1, 0,1)T ，
2 3 2对应的线性无关特征向量
0
2 0.
4 1 3
2 1 1
解
AE 0
2
2 0 (2 )
1 ( 1)( 2)2
4 3
4 1 3
1 1，2 3 2.
1 1 1 1 0 1
对1 1，解( A E) X 0
A
E
0
3 0 0 1
0Leabharlann Baidu
4 1 4 0 0 0
同解方程组为
x1 x2
x3 0
(2) 一个特征值对应无数个特征向量； A A(k) (k)
(3) 每个特征向量对应一个特征值；
(4) 求特征值就是解 A E 0 ； (5) 齐次线性方程组( A E) X O的非零解即为特征向量.
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特征值与特征向量的定义
求特征值与特征向量的步骤：
1 解 A E 0求出 的值；即得到特征值；
线性代数（慕课版）
第五章 矩阵的特征值与特征向量
第一讲 特征值与特征向量(1)
主讲教师 |
本讲内容
特征值与特征向量的定义
特征值与特征向量的定义
定义5.1 设A是n 阶矩阵，为一个数，若存在非零向量，使A ，则称数 为矩阵A 的特征值，非零向量 为矩阵A 的对应于特征值 的特征向量.
注 (1) 特征向量为非零向量；
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 11
0 0 0 (n ) 0 0 0 (n )()n1 0
0 0 0
n1个
故1 n, 2 n 0， 即A 的n 个特征值为n, 0, 0,0.
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特征值与特征向量的定义
例4 求n阶单位矩阵E 的特征值与特征向量.
解 求特征值：|E E| |(1 )E | (1 )n 0 1 2 n 1