第八章期权及其二叉树模型
第八章-期权分析
2）当 X ＜S ＜X+C 时，盈利=（X+C)-S 3）当 S=X+C，盈亏平衡 4）当 S ＞ X+C 时，亏损=S—（X+C）。 例如：某日芝加哥期货交易所 9 月玉米期货合约价格为 350 美分/蒲式耳，某个投资者 卖出一份执行价格为 360 美分/蒲式耳玉米期货的看涨期权，权利金为 12 美分/蒲式耳。 如果到期日期货合约价格为 S 美分/蒲式耳，则该期货期权盈亏情况如下： 若到期时期期货价格 360+12=372 美分/蒲式耳，则投资者达到盈亏平衡； 若到期期货价格低于 360 美分/蒲式耳，则不执行期权，投资者可获利 12 美分/蒲式耳； 若 S 介于 360——372 之间时，投资者将亏损 372—S 美分/蒲式耳； 若高于 372，则投资者将遭受损失，损失为（S—372）美分/蒲式耳。 3、买进看跌期权的损益图：看跌期权的买方损失有限，盈利可能巨大
【解析】买方（多头）期权价值=市价-执行价格=3，买方净损益=期权价值-期权价格 =3-2=1，卖方（空头）期权价值=-3，卖方净损失=-1 2）看跌期权价格 A.如果在到期日 T，标的物价格高于期权的执行价格，那么，以执行价格行使看跌期权 没有价值，即：P=0 B.如果在到期日 T，标的物价格低于期权的执行价格，那么，以执行价格行使看跌期权 价值就等于执行价格与标的物价格的差，即：P=X-S 综上，看涨期权在到期日的价值可以表示如下： P=Max[0, (X-S)] 如图所示：P339
同理
11
这里 的公式还是
【例 8--6】 在一阶段的例子中我们假定股票价格上涨 25%或者下跌 20%，现在我们假定两阶段模 型中股票价格上涨 11.8%或者下跌 10.56%，那么两阶段后最高上涨 1.118× 1.118= 1.25 或者最低下跌 0.8944× 0.8944=0.8.这样使得股票最终变化后的最高和最低价格不 变，无风险利率设为 3.44%,那么 为（1.0344-0.8944）/（1.118-0.8944）= 0.6261 S++=50× 1.118× 1.118=62.5（美元） S+-=50× 1.118× 0.8944=50（美元） S--=50× 0.8944× 0.8944=40（美元） 当期权到期时，它们的价格为： C++=Max（0，S++-50）=Max(0,62.5-50)=12.5(美元) C+-= Max（0，S+--50）=Max(0,50-50)=0(美元) C--= Max（0，S---50）=Max(0,40-50)=0(美元) 一阶段后期权的价值为：
第八讲期权二叉树定价模型
8.2 风险中性估值
➢ 8.2.1 风险中性估值原理
式〔9.2〕中的变量p可以解释为股票价格上升的概率， 于是变量1—p就是股票价格下降的概率。这样，
pfu+〔1-p〕fd 就是衍生证券的预期收益。于是，式〔9.2〕可以表述为： 衍生证券的价值是其未来预期值按无风险利率贴现的值 。
同样，按照上式对p的解释，在T时刻预期的股票价格
用r表示无风险利率，该组合的现值应为：
(Su fu )erT
而构造该组合的成本是：
S f
因此
S f (Su fu )erT
将式〔9.1〕代入上式，得到
f erT [ pfu (1 p) fd ]
其中
p erT S0 S D SU SD
〔9.3〕风险中性概率
运用单步二叉树图方法，式〔9.2〕和〔9.3〕就可为衍 生证券估值。
以图8-2所示的看涨期权估值为例，该看涨期权的 Delta计算如下：
1 0 0.25 22 18
这是因为当股票价格从18变化到22时，期权价格从0 变化到1。
在图8-3中，对于第一个时间步，股票价格变动的 Delta为：
2.0257 0 0.5064 22 18
如果在第一个时间步之后，还有一个向上的运动，则 在第二个时间步股票价格变动的Delta为：
在初始节点A，求出的期权价值为: f= e-0..05×1〔0.6282×1.4147+0.3718×12.0〕
=5.0894 而提前执行的价值为$2.0。在这种情况下，提前执行是不 明智的。因此期权的价值为$5.0894。
8.5 Delta
8.5.1 Delta的含义
fU fD SU SD
从股票价格波动率，可以确定u和d的值。可以有许多 种不同的方式做到这一点。
金融工程学(期货)第八单元：二叉树模型
股票价格=$22 期权价格=$1 股票价格 =$20 现时刻 T时刻 股票价格=$18 期权价格=$0
无风险利率为12%(年率)，期权期限是三个月
一个无风险证券组合为 多头:0.25股股票 空头:一个期权 如果股票价格上升到$22，或股票价格下降到 $18，该组合的价值都为$4.5 无套利机会存在，则无风险证券组合的收益率 也是无风险利率。 该组合的现值为:4.5e-0.12*0.25=4.367 即:20*0.25-f=4.367，f是期权的价格 f=0.633
复制组合（Synthetic Portfolio）： 持有N股股票的多头，并出售一个看涨期权， 在一个时期后，将得到确定的收益。也可以通 过投资于无风险债券而获得确定的收益。 N股股票的多头+1个看涨期权的空头=无风险借款 稍加变形我们得到：股票+债券可以复制期权Βιβλιοθήκη ② 一般结论 S 现时刻 f
Su fu
f=e-2rΔt[p2fuu+2p(1-p)fud+(1-p)2fdd] 结论:衍生工具的价格等于它在风险中性世界的 预期收益按无风险利率贴现值.
多步二叉树
• 股票价格树图
SU3 SU2 SU2 SU SU S SD S
SU5
SU4
SU3
SU
S
SD SD2 SD3
SD2
SD
SD2
SD4 SD5
• • •
节点B,提前执行期权的损益为-$8,按公式计算 值为$1.4147.选择$1.4147. 节点C,提前执行期权的损益为$12.0,按公式计 算值为$9.4636.选择$12.0. 节点A,提前执行期权的损益为$2.0,按公式计算 值为$5.0894.选择$5.0894. 72
林清泉主编的《金融工程》笔记和课后习题详解 第八章 期权的损益及二叉树模型【圣才出品】
第八章期权的损益及二叉树模型8.1复习笔记期权合约是买卖双方签订的一种协议，该协议赋予期权购买者在未来某一时刻以事先约定的价格购买（或出售）某一资产的权利。
具有以一定价格购买标的资产权利的期权称为看涨期权，具有以一定价格出售标的资产权利的期权称为看跌期权。
一、期权及其组合的损益1．期权交易到期日的损益分析（1）看涨期权（买权）到期日的损益分析数学表达式为（如图8-1所示）：图8-1不考虑初始购买期权费用的看涨期权多头损益如果考虑看涨期权做多方在购买期权时所要支付的期权费用C t：（8-1）对于看涨期权做空方来讲，其收益的数学表达式为：看涨期权空头（承担义务）损益如图8-2所示：图8-2不考虑初始出售期权收入的看涨期权空头损益（2）看跌期权到期日损益分析对于看跌期权合约的做多方而言，收益（损益）的数学表达式为：（8-3）看跌期权多头的损益如图8-3所示：图8-3不考虑初始购买期权费用的看跌期权多头的损益对看跌期权合约的做空方而言，其在到期日的看跌期权的损益为：（8-4）（8-2）看跌期权空头的损益如图8-4所示：图8-4不考虑初始出售期权收入的看跌期权空头的损益2．在（AS，AW）平面上欧式看涨期权和看跌期权的损益表示（1）看涨期权多头和看涨期权空头的收益看涨期权多头和空头的收益如图8-5所示：图8-5买入一份看涨期权的收益的数学表达式为：卖出一份看涨期权的收益的数学表达式为：（2）看跌期权多头和空头的损益看跌期权多头和空头的损益如图8—7所示：图8-6买入一份看跌期权的收益的数学表达式为：卖出一份看跌期权的收益的数学表达式为：3．在（ΔS，ΔW）平面上股票和债券的收益（1）股票买卖的收益图8-7（2）债券买卖的收益图8-8（3）无风险证券组合的构造①购入一份股票和一份以此股票为标的看跌期权的收益：图8-9图8-10表示购入一份股票和一份以此股票为标的看跌期权的证券组合的收益：图8-10②卖出一份以该股票为标的资产的看涨期权的收益：图8-11③购入一份股票、一份以此股票为标的看跌期权并卖出一份看涨期权的收益：图8-12④S+P-C损益的数学表达式。
期权定价的二叉树模型
期权定价的二叉树模型Cox、Ross和Rubinstein提出了期权定价的另一种常用方法二叉树（binomial tree）模型，它假设标的资产在下一个时间点的价格只有上升和下降两种可能结果，然后通过分叉的树枝来形象描述标的资产和期权价格的演进历程。
本章只讨论股票期权定价的二叉树模型，基于其它标的资产如债券、货币、股票指数和期货的期权定价的二叉树方法，请参考有关的书籍和资料。
8.1 一步二叉树模型我们首先通过一个简单的例子介绍二叉树模型。
例8.1 假设一只股票的当前价格是$20，三个月后该股票价格有可能上升到$22，也有可能下降到$18. 股票价格的这种变动过程可通过图8.1直观表示出来。
在上述二叉树中，从左至右的节点（实圆点）表示离散的时间点，由节点产生的分枝（路径）表示可能出现的不同股价。
由于从开始至期权到期日只考虑了一个时间步长，图8.1表示的二叉树称为一步（one-step）二叉树。
这是最简单的二叉树模型。
一般地，假设一只股票的当前价格是，基于该股票的欧式期权价格为。
经过一个时间步（至到期日T）后该股票价格有可能上升到相应的期权价格为；也有可能下降到相应的期权价格为. 这种过程可通过一步（one-step）二叉树表示出来，如图8.2所示。
我们的问题是根据这个二叉树对该欧式股票期权定价。
为了对该欧式股票期权定价，我们采用无套利（no arbitrage）假设，即市场上无套利机会存在。
构造一个该股票和期权的组合（portfolio），组合中有股的多头股票和1股空头期权。
如果该股票价格上升到，则该组合在期权到期日的价值为；如果该股票价格下降到，则该组合在期权到期日的价值为。
根据无套利假设，该组合在股票上升和下降两种状态下的价值应该相等，即有由此可得(8.1)上式意味着是两个节点之间的期权价格增量与股价增量之比率。
在这种情况下，该组合是无风险的。
以表示无风险利率，则该组合的现值（the present value）为,又注意到该组合的当前价值是，故有即将(8.1)代入上式，可得基于一步二叉树模型的期权定价公式为(8.2)(8.3)需要指出的是，由于我们是在无套利（no arbitrage）假设下讨论欧式股票期权的定价，因此无风险利率应该满足： .现在回到前面的例子中，假设相应的期权是一个敲定价为$21，到期日为三个月的欧式看涨权，无风险的年利率为12%，求该期权的当前价值。
期权定价的二叉树模型
03
二叉树模型在期权定价中 的应用
二叉树模型在欧式期权定价中的应用
欧式期权定义
二叉树模型原理
欧式期权是一种只能在到期日行权的期权。
二叉树模型是一种离散时间模型，通过构造 一个二叉树来模拟股票价格的演变过程。
模型参数
定价过程
包括无风险利率、股票波动率、期权行权价 等。
从到期日逆推至起始时间，考虑各种可能的 价格路径，计算期权的预期收益，并使用无 风险利率折现至起始时间。
与其他理论的结合
二叉树模型与其它金融理论的结合也是理论研究的一个重要方向，如将二叉 树模型与随机过程理论、博弈论等相结合，以提供更深入、更全面的分析框 架。
二叉树模型的应用研究进展
扩展到其他金融衍生品
二叉树模型在期权定价方面的应用已经非常成熟，研究者们正在将其应用于其他金融衍生品的定价，如期货、 掉期等。
案例一：某公司股票期权定价
背景介绍
某上市公司股票期权激励计划需要为期权定价，以确定向员工发 放的期权数量和行权价格。
模型应用
根据二叉树模型，预测股票价格的上涨和下跌幅度，并计算期权 的内在价值和时间价值。
结论分析
根据计算结果，确定期权的行权价格和数量，实现了员工激励与公 司发展的双赢。
案例二：某交易所债券期权定价
调整利率和波动率
根据市场数据和实际情况，调整利率和波动率的参数，可以提 高模型的拟合度。
模型的选择与比较
1 2
基于误差
比较不同模型的预测误差，选择误差最小的模 型。
基于风险
比较不同模型的风险指标，选择风险最小的模 型。
3
基于解释性
选择更具有解释性的模型，以便更好地理解市 场行为和风险。
05
期权定价的二叉树模型介绍
计算期权的价值
计算期权的现值
根据预期收益和折现率，我们可以计算出期权的现值。 看涨期权的现值是每个节点的股票价格与执行价格的差 值与风险中性概率的乘积之和；看跌期权的现值是每个 节点的执行价格与股票价格的差值与风险中性概率的乘 积之和。
校准二叉树模型参数
为了使模型的预测结果与实际期权价格一致，我们需要 校准模型参数。通常，我们使用历史数据来估计参数， 例如股票价格的波动率和无风险利率。
建立二叉树
以时间步长为单位，从最后一个时间步长开始，依 次向前建立二叉树，每个节点代表一个时间步长。
确定初始股票价格
确定股票的当前价格
通常以市场价格为基础确定初始股票价格 。
考虑股息
如果股票在期权有效期内发放股息，需要 在每个时间步长上调整股票价格。
确定无风险利率与时间步长
要点一
确定无风险利率
无风险利率是投资者在相同风险水平下可以获得的最低 回报率。
05
二叉树模型的结果分析
模拟结果展示
假设一个股票价格变动模型，通过二叉树模型模拟股 票价格的涨跌情况，并计算期权的价值。
根据不同的利率和波动率等参数设置，模拟不同的股 票价格路径，从而得到期权价格的模拟结果。
结果分析与比较
将模拟结果与实际期权价格进行比较，分析二叉树模型 定价的准确性。
对比不同参数设置下的模拟结果，分析利率和波动率等 因素对期权价格的影响。
期权定价的二叉树模型介绍
2023-11-06
目 录
• 引言 • 二叉树模型基本原理 • 构建二叉树模型 • 计算期权价值 • 二叉树模型的结果分析 • 二叉树模型在金融实践中的应用 • 结论与展望
01
引言
研究背景与意义
期权定价的二叉树模型
期权定价的二叉树模型期权定价是金融领域中的重要问题之一，而二叉树模型是一种经典的期权定价工具。
二叉树模型的主要思想是将期权到期日之间的时间划分为多个等长的时间段，并根据每个时间段内的股价变动情况来计算期权的价值。
下面将介绍二叉树模型的构建过程以及期权定价的基本原理。
首先，我们需要确定二叉树模型的参数。
主要包括股票价格的初始值、期权到期日、无风险利率、每个时间段的长度等。
其中，股票价格的初始值可以通过市场价格获取，期权到期日通常由合约确定，无风险利率可以参考国债收益率，而每个时间段的长度可以根据需要自行设置。
接下来，根据二叉树模型的思想，我们构建一个二叉树。
树的每个节点表示一个时间段，而每个节点下方的两个子节点分别表示股票价格在该时间段内上涨和下跌的情况。
具体构建二叉树的方式有很多种，常见的有Cox-Ross-Rubinstein模型和Jarrow-Rudd模型。
其中，Cox-Ross-Rubinstein模型是一种离散时间模型，每个时间段内股价上涨或下跌的幅度是固定的；而Jarrow-Rudd模型是一种连续时间模型，股价的变动是连续的。
在构建好二叉树之后，我们需要从期权到期日开始反向计算每个节点的期权价值。
通过回溯法，我们可以计算出每个节点的期权价值。
具体计算的方式是，对于期权到期日的节点，其价值等于股价与行权价格的差值（对于欧式期权而言）或者最大值（对于美式期权而言）。
而对于其他节点，其价值等于期权在上涨和下跌情况下的期望值，即其左右子节点的价值经过贴现后得到的值。
通过不断回溯，最终我们可以得到二叉树的根节点即为期权的实际价值。
需要注意的是，期权定价的准确性与二叉树模型的参数设定和树的构建方法有关。
参数的选择需基于市场数据和合理的假设，而构建二叉树的方法应能很好地反映实际股价的变动规律。
此外，二叉树模型也有一定的局限性，特别是在处理股价波动较为剧烈的情况下，可能无法准确地定价。
总之，二叉树模型是一种常用的期权定价工具，可以通过构建二叉树和回溯计算的方式来估计期权的价值。
期权定价二叉树模型
qd e
rT
e
0.025
0.37342 0.36420
Ru 2, Rd 0
C qu Ru qd Rd 0.611111 2 1.22.
在期权价值树上进行计算
2
qu
C
Ru
1.22
0.61111
qd
Rd
0.3642
0
计算期权价格的价格树(二叉树)
四个时段的情形 考虑以某一股票为标的资产、执行期限为T 的买入期权，设股票的现行价格为S 0 60 元， 期权确定的执行价格为 。设把期权 S X 65 元 的有效期分为时间相同的4个阶段，预计股 票价格在每阶段要么上升10%，要么下降 5%，每阶段内无风险收益率为5%, 确定期 权的价格.
二、二项式定价的基本过程
设有这样一个以某股票为标的资产的3月期 欧式买入期权，股票现行的市场价格为30 元，期权确定的执行价格为31元。设已知3 个月后股票价格要么上升10%，要么下降 10%，市场的无风险利率为10%(年利率)， 试确定该期权的价格。
33
30 27 ?
2
1 0
1.025
1.025
上升状态价格因子和下降状态价格因子仅同股 票价格在每个阶段的上升因子、下降因子、期 权有效期(每个时段)的长短以及期权有效期内 的无风险收益率有关，而同股票价格和期权确 定的执行价格无关。
对上述例子的应用
u (e rT 1) 0.1 (e 0.025 1) 0.37342 ud 0.2
,n
欧式卖出期权的二项式定价公式
n n i i n i i P qu qd max{S X S0 (1 u ) (1 d ) , 0} i 0 i
第8讲：二叉树期权定价模型.
9
一般化Generalization
• A derivative lasts for time T and is dependent on a stock
Su
S
ƒu
ƒ=?
Sd
ƒd
Binomial Trees and Option Valuation
of $21. r = 12%.
• The value of the portfolio today (r =12% per annum) is 4.5e – 0.12´0.25 = 4.3670
Binomial Trees and Option Valuation
7
期权的价值
• The portfolio that is long 0.25 shares short 1 option
Stock price = $18 Option value = $0
17
两期二叉树定价A Two-Step Binomial Tree
24.2
22
D
B
20
19.8
A
E
18
C
16.2
F
• Stock: Price = $20, up or down by 10% in each quarter
(3 months); there are two quarters. A call with a strike
14
Valuing the Option
S ƒ
The value of the option is
Su = 22 ƒu = 1
Sd = 18 ƒd = 0
第八章 期权定价二叉树模型
S0u2d S0ud2 S0d3
其中，0<d<1<u
三、单步二叉树定价模型
• 构造由 单位的股票多头和一个单位衍生 证券的空头形成的投资组合，则 • 如股票价格上升，则投资组合的价值为：
S0u fu
• 若下跌，则组合的价值为： • S0 d f d
• 如果 取特殊值，使得股价无论上升还 是下降，其价值都相等，即
t t
其中，a e r t
第三节 利用二叉树模型给美式期权定价 • 一，基本方法 • 在每个节点都将二叉树模型所计算出来 的值与提前执行所得的收益进行比较， 取较大者。 • 二、例1
• 一份2年期的美式股票看跌期权，期权执 行价格为52，当前价格为50。假设用两 步二叉树模型，每步长一年，每步股票 价格或上升20%，或下跌20%。无风险利 率为5%。见下图
=5.0894
• 3、例2 • 假设标的资产为不付红利股票，其当前市场价 为50元,波动率为每年40%，无风险连续复利 年利率为10%，该股票5个月期的美式看跌期 权协议价格为50元，求该期权的价值。
4、倒推定价法总结
5、有红利资产期权的定价
• 课后自行阅读
6、构造树图的其他方法和思路
• 不作要求
72 47
f
4
9.4636
20
• 对于1.4147点，提前执行受益为-8，提前执行 不合算。但对9.4636，提前执行受益却为12， 所以要提前执行。故该点应为12。即
0
1.4147
f
4
12
20
• 这样，该美式看跌期权价值为：
f=e
0.051
（0.6282 1.4147+0.3718 12）
期权定价-二叉树模型
期权定价-二叉树模型期权定价是金融市场中的重要内容，它是根据期权的特点和市场条件来确定期权价格的过程。
二叉树模型是一种常用的期权定价方法之一，其基本思想是将时间离散化，并通过构建一个二叉树来模拟标的资产价格的变动。
在二叉树模型中，每个节点代表了一个特定的时刻，而每个节点之间的关系是通过上涨和下跌两种情况进行连接的。
通过调整上涨和下跌的幅度，可以模拟出不同标的资产的价格变动情况。
期权的定价在二叉树模型中可以通过回溯法进行计算。
首先，在最后一个节点上，根据期权的特点以及市场条件来确定期权的价值。
然后，逐步向前回溯，通过考虑不同的路径来计算每个节点上的期权价值。
在回溯过程中，需要考虑每个节点的两个子节点的权重，即上涨和下跌的概率。
这可以根据市场条件来确定，通常是基于历史数据进行估计。
然后，在回溯过程中，可以根据节点上的期权价值和子节点的权重来计算每个节点的期权价格。
通过不断回溯，最终可以得到期权的初始价值，即在当前市场条件下，期权价格应该是多少。
这个初始价值可以用作参考，帮助投资者做出合理的投资决策。
需要注意的是，二叉树模型是一个简化的模型，它有一些假设和限制。
首先，它假设标的资产的价格只有上涨和下跌两种情况，而忽略了其他可能的情况。
其次，它假设市场条件在整个期权有效期内保持不变，而实际情况可能是变化的。
因此，在使用二叉树模型进行期权定价时，需要注意这些假设和限制。
总而言之，期权定价是金融市场中的重要内容，二叉树模型是一种常用的定价方法。
通过构建二叉树模型，并根据回溯法计算每个节点上的期权价值，可以得到期权的初始价格。
然而，需要注意二叉树模型的假设和限制，并结合实际情况进行综合分析和判断。
期权定价是金融市场中的重要内容，其旨在确定期权的合理价格。
期权是一种金融工具，赋予购买者在期权到期时以约定价格购买或出售标的资产的权利。
很多投资者都希望能够在市场上买入或者卖出期权，以便于在未来某个时刻获得利润。
因此，了解期权的合理价格对投资者来说至关重要。
期权与期货课件第8章无套利分析和二叉树期权定价模型
➢ 利用基础证券复制股票现金流
组合 V: πu×uPA + πd×dPA 组合V的价格变化
组合V* :πu +πd 组合V*的价格变化
u uPA d dPA PA u u d d 1
(u d ) ert 1
股票B的价格 PB u PBu d PBu 0.4621110 0.5279 90 98.34
➢ 在MM理论的推导中复制是一次性的，称为静态复制。 ➢ 标的资产价格的动态变化时，引入动态模型，需要动态复制技术。
8
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第一节 运用动态复制方法给风险资产定价 二、状态价格过程与风险资产定价
➢ 用二叉树描述风险资产的动态变化过程。一个枝杈表示风险资产价格的上升，用 u 来表示，一个枝杈表示风险资产 价格的下降，用 d 来表示。
PAu ert L PBu
PAd
ert L
PBd
PBu PAu
PBd PAd
L
PBd PAu PBu PAd ert (PAu PAd )
110 90 4 0.4444 125 80 9
L
90125 11080 e0.040.25 (125 80)
2450 45.4522
Cd d S d Ld
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左边的树：
Cu Cd Su Sd
L
uCd d Cu ert (u d )
C S L
17
第二节 运用动态复制技术方法求解二叉树期权定价模型 二、二叉树期权定价模型——CRR模型
复制期权的支付
代入参数，计算具体数值结果：
u 18.875 2 1 46.875 30
入局费等于期望收益的赌局，我们一般称之为公平博弈（fair game）。
二叉树期权定价模型
支付已知红利率资产的期权定价
可通过调整在各个结点上的证券价格，算出期权价格；
如果时刻 it 在除权日之前，则结点处证券价格仍为：
Su j d i j , j 0,1,, i
如果时刻 it 在除权日之后，则结点处证券价格相应调整为：
S (1 )u j d i j
j 0,1, ,i
若在期权有效期内有多个已知红利率，则 it 时刻结点的相应的证券价格为：
2、保持不变，仍为 S ；
3、下降到原先的 d 倍，即 Sd
Su3
Su2
Su2
Su
Su
Su
S
S
S
S
Sd
Sd
Sd
Sd2 Sd2
Sd3
一些相关参数：
u e 3t
d1 u
pm
2 3
pd
t 12 2
r
q
2 2
1 6
t
2 1
pu
12 2
r q
2
6
控制方差技术 基本原理：期权A和期权B的性质相似，我们可以得到期权B的解析定价公
的波动率，mˆ i 为 i 在风险中性世界中的期望增长率， ik为 i 和 k 之间的瞬间相关系数）
常数利率和随机利率的蒙特卡罗模拟 利率为常数时：期权价值为（初始时刻设为0）：
.
f erT Eˆ fT
其中， Eˆ 表示风险中性世界中的期望。
利率为变量时：期权价值为（初始时刻设为0）： f Eˆ erT fT
j 0,1, ,i
注意：由于
u 1 d
，使得许多结点是重合的，从而大大简化了树图。
得到每个结点的资产价格之后，就可以在二叉树模型中采用倒推定价 法，从树型结构图的末端T时刻开始往回倒推，为期权定价。
8.二叉树模型
美式期权的执行
• 美式看涨期权
– 如果没有红利支付的话，美式看涨期权的最佳执行时 间是到期日。 – 如果有红利支付的话，美式看涨期权可能在到期之前 就被执行。
• 美式看跌期权
– 不管股票支付红利与否，美式看跌期权都有可能在到 期之间被执行。
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无风险资产组合
• 为什么是0.25份股票？
令x＝股票份数 股票价格上升时的资产组合价值＝22x－1 股票价格下降时的资产组合价值＝18x 令22x－1＝18x，推出x＝0.25
• 期权即期的价值
假设无风险利率为12%（期权离到期日有3个月） 无风险组合的未来值为4.5 0.25S－c＝4.5e-12%×0.25 S＝20, 推出c＝0.633
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二叉树模型的一般化
S f Su fu Sd fd
• 0期
– 股票现价S – 无风险利率为r – 期权价格f未知
• 1期
– 股票价格上升至Su，期权价值变为fu – 股票价格下降至Sd，期权价值变为fd
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Delta（套期保值系数）
• Delta（套期保值系数）的含义
– 1份期权所能完全套期保值的股票份数。 – 或者说，1份期权和Δ份股票组合能够达到无风险组合 。 –更精确地说，Delta是期权价值对股票现价的敏感程度
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第四，讨论n期二叉树模型。
最后，讨论存在交易费用条件下的二叉树模型。
第一节 (欧式)期权及其组合的损益 一、（欧式）期权交易到期的损益分析 设执行价为X，在期权到期时刻T,股票价格为ST （一）看涨期权到期日的损益分析 1. 看涨期权多头（买），（赋予权力） 2. 看涨期权空头（卖），（承担义务） （二）看跌期权到期日损益分析 1. 看跌期权多头(买), (赋予权力) 2. 看跌期权空头(卖), (承担义务)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 二、 在(S,W)平面上欧式看涨期权和看跌期权的 损益表示
设股票初始价格为S, 期权的执行价格为股票初始价格， 令
W为期权的收益 (一) 在(S,W)平面上看涨期权多头和看涨期权空头 的收益
(二) 在(S,W)平面上看跌期权多头和看跌期权空头 的收益
三、在(S,W)平面上, 股票和债券的收益:(为了说 明问题方便，这里及下面都考虑无风险收益率因素）
5. 顶部马鞍组合（top straddle 或卖马鞍式)： 卖出一份看涨期权和一份看跌期权，执行价格均为 X
6. 底部梯形组合（Bottom vertical combination 或买 入梯形组合)： 买入一份看涨期权和一份看跌期权,执行价格分别是 X1和X2，其中X2 >X1。
7. 顶部梯形组合（Top vertical combination 或卖出梯 形组合)： 卖出一份看涨期权和一份看跌期权，执行价格分别为 X1和X2，其中X2 >X1 。
3. 蝶式价差买卖(butterfly spread）： 它是牛市价差买卖与熊市价差买卖的组合，即购入一 份执行价格为 X1和一份执行价格为X2的看涨期权，再卖 出两份执行价格为X3的看涨期权。其中，X2> X3 > X1 ， 且
4. 底部马鞍式组合 （ bottom straddle 或买马鞍式）： 购入一份看涨期权和一份看跌期权，执行价格均为 X
由于所构造的证券组合是无风险证券组合，故有： （1+r)(S-mC）=uS-mCU
将m的值代入时,有 (m称为套期保值率hedge ratio) 令 p称为套期保值概率。
事实上,若投资者是风险中性，则有 由此得
p=q 所以通常也称p为风险中性概率
例如:设S=21，1+r=1.15，u=1.4，d=1.1，X=22 ， 求C。
如果期权价格高了(或者低了),则套期保值证券组合 的收益率比无风险收益率高(或低)的回报,无风险套利机 会就存在.
期权定价公式三个有趣的性质：
1.期权的价格不依赖于股票价格上升的概率。尽管投资 2. 者对股票上升的概率有不同的判断,但他仍然只能
接受 3. 与u， d，X，S，r相关联的期权价值，而股票本身
注: 条件 u > 1 + r > d 必须成立,否则可能出现套利 机会。
（二）以股票为标的期权价格
设以该股票为标的看涨期权的价格为C,执行价格 为22,则
q
C
1-q
对此期权如何定价是合理的? 为了解决此问题, 构造一个无风险套期保值的证券组合：
购买一份股票，卖掉m份期权，这个证券组合的价值：
由于所构造的证券组合是无风险证券组合，故在期 末时它在各状态的收益是一样的。由无风险的证券组合 条件，我们有：
8. 叠做期权（Straps）： 购进两个看涨期权和一个看跌期权，它们的执行价与 到期日都相同。
9. 逆叠做期权（Strip）： 购买两份看跌期权 和一份看涨期权，具有相同的执行价 和到期日。
10. 三明治买卖（sandwich ）期权：买两份执行价格为 中间的Xm看涨期权,卖一份执行价为XL的较低价格的看 涨期权,卖一份执行价高Xu的看涨期权，即
11. W型
以例子说明该证券组合：
第二节 期权定价的二叉树模型 一、期权定价的一期模型 Cox-Ross-Rubinstein二叉树期权定价模型： 设资本市场是竞争的无摩檫的（不存在交易费用),不存在 无风险套利机会，股票和期权是无限可分的。下一期的 股票价格只取两种可能的值。
先讨论一期模型 ： （一）股票价格的一期变化规律
是 4. 引起投资者对q的不同判断的根源。 2. 投资者对风险的态度与期权定价公式无关,所得的结
果只假设人们偏好更多的财富。
3. 股票价格是期权价值唯一依赖的随机变量。
二、期权定价的二期模型 为了得到多期期权价格公式,首先讨论二期模型 设二期无风险利率为r，每期复利一次，则一元钱的投 资到二期后有(1+r)2元，设股票的初始价格为S， 与一期模型一样,为了得到期权的价格，构造无风险套期 保值证券组合,从而得到：
注1. 由此可知套期保值证券组合所需要的投资
在期末所得到的无风险收益为22.
注2. 此套期保值的证券组合为,买一份股票,卖一份 看涨期权.
注3. 投资的回报率 22/19.13=1.15=1+r.
注4. 由上面推导期权定价的过程可知,期权的价值依赖 于存在一个套期保值的证券组合,以及期权的定价 是要使此套期保值组合获得无风险回报率,即债券 的回报率.
(一) 股票买卖的收益 (二) 债券买卖的收益 (三) 无风险证券组合的构造: 购入一份股票、一份以此股票为标的看跌期权和卖一 份看涨期权 1. 购入一份股票和一份以此股票为标的看跌期权的收益。
2. 卖一份以该股票为标的资产的看涨期权的收益
3. 购入一份股票的收益
4. S+P-C损益的数学表达式： 5. 直接从证券组合的最终收益也可说明该组合是无风险
第八章期权及其二叉树 模型
2020/8/30
在协议中约定购买（或出售）的资产称为标的资产。 购买时间称为执行时间，购买价格称为执行价格。具有购 买权利的期权称为看涨期权，具有出售权利的期权称为看 跌期权。
这一章，首先讨论欧式期权及其组合的损益，并以简 明的图象表示出来。
第二，介绍期权定价的二叉树模型。
证券组合
(四) 其他期权组合的收益 1. 牛市价差买卖(bullish vertical spread) ：
购买一份执行价格为X1的看涨期权，卖出一份执行价格 是X2的看涨期权，其中X2 >X1
2. 熊市价差买卖（bearish vertical spread）： 卖出执行价格为X1的看涨期权，买入一份执行价格是 X2 的看涨期权，其中X2 >X1。