期权定价二叉树模型
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的收益。
令
解之得
33A 2 27A ,
A 1/3，
即该组合应由买入1/3股该股票和卖出一份
该股票的买入期权组成。无论股票的价格
是升还是降，组合在期末的价值:
33 1 2 27 1 9
3
3
• 根据无套利原理,这就要求无风险投资在期 末的收益同为9元，因而期初用于无风险投 资的资金应为:
9 e0.10.25 8.78
33
2
1.025
30
?
27
1 0
1.025
(a)股票价格树
(b)期权价值树
(c)无风险收益树
股票价格树: 给出股票在不同阶段不同状态确 定的价格.
期权价值树: 根据股票在不同阶段不同状态确 定的价格以及期权确定的执行价格,给出期 权在相应状态的价值,其在初始状态的价值 就是要确定的期权价格.
无风险收益树: 无风险资产在不同阶段不同状 态的价格,这是进行无套利定价的标准.
• 期权的价格就可以利用无套利原理从这有限个确 定的股票价格(期权的收益)来进行估计.
• 时间区间分得越小, 在到期日确定的股票价格状 态越多, 计算越复杂,所得期权价格估计越接近于 真实的价格.
二、二项式定价的基本过程
设有这样一个以某股票为标的资产的3月期 欧式买入期权,股票现行的市场价格为30元， 期权确定的执行价格为31元。设已知3个月 后股票价格要么上升10%，要么下降10%， 市场的无风险利率为10%(年利率)，试确定 该期权的价格。
期权定价的二项式方法
一、定价原理 二、二项式定价的基本过程 三、期权定价的二项式公式 四、二项式定价公式推导 五、美式期权的定价
一、定价原理
无套利定价原理: 具有相同收益不同头寸的价格应该相同。
在到期日现金流完全相同的两个组合,它们 期初的现金流必定也完全相同 .
期权在到期日的执行与否是不确定的， 这种不确定性使得在到期日的收益变得不确 定,因而难于直接利用无套利原理对期权进行 定价。
生成股票价格树
72.6
79.86
87.846 75.867
66
68.97
60
62.7
65.5215
57
59.565
54.15
56.5868
51.4425
股票价格树
48.8704
到第四阶段末,即期权的到期日，股票价格已经有5 个状态。如果我们把整个有效期分成n个阶段，那 么到期权的到期日(最后一个阶段末)，股票价格将 有n+1个可能的状态。
• 无风险资产在每个阶段的收益率应该根据无风险资 产的年收益率及每个阶段的时间长度来确定. 在本 例中,每阶段无风险资产的收益率为: 10%/4=0.025
• 确定期权的价格 无套利定价: 考虑这样一个组合,买入A股该股票和 卖出该股票的一份买入期权组成。 要求组合在期权到期日的收益无论股票价格是升还 是降都应同无风险投资的收益相等。
在期权价值树上进行计算
qu Ru
C
2
0.61111
1.22
qd Rd
0.3642
0
计算期权价格的价格树(二叉树)
四个时段的情形 考虑以某一股票为标的资产、执行期限为T 的买入期权,设股票的现行价格为 S0 元60， 期权确定的执行价格为 SX 6。5元设把期权 的有效期分为时间相同的4个阶段，预计股 票价格在每阶段要么上升10%，要么下降 5%，每阶段内无风险收益率为5%, 确定期 权的价格.
对上述例子的应用
u (erT 1) 0.1 (e0.025 1) 0.37342
ud
0.2
qu erT (1 ) e0.025 0.62658 0.611111
qd erT e0.025 0.37342 0.36420
Ru 2, Rd 0
C qu Ru qd Rd 0.611111 2 1.22.
Baidu Nhomakorabea了克服这种不确定性的困难, 以便采用 无套利原理对期权进行定价:
二项式定价方法; 布莱克—舒尔斯定价方法； 蒙特卡罗模拟法。 二项式方法 (二叉树方法)的步骤具体如下:
• 把整个持有期分成若干个时间区间, 并假定在每 个时间区间内股票的价格只有上升和下降两种状 态, 且价格上升和下降的百分比也已知,这样可以 得出股票在期权到期日有限个确定的价格状态,从 而克服了不确定性.
ud
ud
qu erT (`1 ) 市场的上升状态价格因子 qd erT 市场的下降状态价格因子
C qu Ru qd Rd
qu max{ S0 (1 u) S X ,0} qd max{ S0 (1 d) S X ,0}
上升状态价格因子和下降状态价格因子仅同股 票价格在每个阶段的上升因子、下降因子、期 权有效期(每个时段)的长短以及期权有效期内 的无风险收益率有关,而同股票价格和期权确 定的执行价格无关。
• 首先确定应买入的股票数A使得组合在期末的收 益在两种状态(价升或价降)下都相同。
• 如果股票价格上升至33元,组合在到期日的价值为: ，
其中2是期权被执3行3后A投 2资者的付出;
• 如果股票价格下降至27元，期权不被执行，组合 的价值为：
。
• 在到期日这两个值应2相7等A ，且应等于无风险投资
r 年无风险收益率
T 期权的期限
期权在股票价格上升状态下的收益:
Ru max{ S0 (1 u) S X ,0}
期权在股票价格下降状态下的收益 ：
Rd max{S0 (1 d) SX , 0} 构建一个组合,由买入A股股票，卖出一份 买入期权组成，要求在期权到期日无论何种 情况出现，组合的价值相同
• 这也应该是期初用于投资组合的资金，由 此得：
30 1 C 8.78, C 10 8.78 1.22
3
• 买入期权的价格应该定为1.22元
三、期权定价的二项式公式
符号:
S0 股票在期初的价格,
SX 期权确定的执行价格,
u 股票价格在单个时间阶段内的上升因子
d 股票价格在单个时间阶段内的下降因子(-) Ru 期权在股票价格上升状态下的收益 Rd 期权在股票价格下降状态下的收益
AS0 (1 u) Ru AS0 (1 d ) Rd A Ru Rd
S0 (u d )
根据无套利原理,买入期权的价格C应满足方
程:
S0 A C [ AS0 (1 u) Ru ]erT
将A代入得:
C erT [Rd (1 )Ru ]
erT (1 u) u (er T 1)
令
解之得
33A 2 27A ,
A 1/3，
即该组合应由买入1/3股该股票和卖出一份
该股票的买入期权组成。无论股票的价格
是升还是降，组合在期末的价值:
33 1 2 27 1 9
3
3
• 根据无套利原理,这就要求无风险投资在期 末的收益同为9元，因而期初用于无风险投 资的资金应为:
9 e0.10.25 8.78
33
2
1.025
30
?
27
1 0
1.025
(a)股票价格树
(b)期权价值树
(c)无风险收益树
股票价格树: 给出股票在不同阶段不同状态确 定的价格.
期权价值树: 根据股票在不同阶段不同状态确 定的价格以及期权确定的执行价格,给出期 权在相应状态的价值,其在初始状态的价值 就是要确定的期权价格.
无风险收益树: 无风险资产在不同阶段不同状 态的价格,这是进行无套利定价的标准.
• 期权的价格就可以利用无套利原理从这有限个确 定的股票价格(期权的收益)来进行估计.
• 时间区间分得越小, 在到期日确定的股票价格状 态越多, 计算越复杂,所得期权价格估计越接近于 真实的价格.
二、二项式定价的基本过程
设有这样一个以某股票为标的资产的3月期 欧式买入期权,股票现行的市场价格为30元， 期权确定的执行价格为31元。设已知3个月 后股票价格要么上升10%，要么下降10%， 市场的无风险利率为10%(年利率)，试确定 该期权的价格。
期权定价的二项式方法
一、定价原理 二、二项式定价的基本过程 三、期权定价的二项式公式 四、二项式定价公式推导 五、美式期权的定价
一、定价原理
无套利定价原理: 具有相同收益不同头寸的价格应该相同。
在到期日现金流完全相同的两个组合,它们 期初的现金流必定也完全相同 .
期权在到期日的执行与否是不确定的， 这种不确定性使得在到期日的收益变得不确 定,因而难于直接利用无套利原理对期权进行 定价。
生成股票价格树
72.6
79.86
87.846 75.867
66
68.97
60
62.7
65.5215
57
59.565
54.15
56.5868
51.4425
股票价格树
48.8704
到第四阶段末,即期权的到期日，股票价格已经有5 个状态。如果我们把整个有效期分成n个阶段，那 么到期权的到期日(最后一个阶段末)，股票价格将 有n+1个可能的状态。
• 无风险资产在每个阶段的收益率应该根据无风险资 产的年收益率及每个阶段的时间长度来确定. 在本 例中,每阶段无风险资产的收益率为: 10%/4=0.025
• 确定期权的价格 无套利定价: 考虑这样一个组合,买入A股该股票和 卖出该股票的一份买入期权组成。 要求组合在期权到期日的收益无论股票价格是升还 是降都应同无风险投资的收益相等。
在期权价值树上进行计算
qu Ru
C
2
0.61111
1.22
qd Rd
0.3642
0
计算期权价格的价格树(二叉树)
四个时段的情形 考虑以某一股票为标的资产、执行期限为T 的买入期权,设股票的现行价格为 S0 元60， 期权确定的执行价格为 SX 6。5元设把期权 的有效期分为时间相同的4个阶段，预计股 票价格在每阶段要么上升10%，要么下降 5%，每阶段内无风险收益率为5%, 确定期 权的价格.
对上述例子的应用
u (erT 1) 0.1 (e0.025 1) 0.37342
ud
0.2
qu erT (1 ) e0.025 0.62658 0.611111
qd erT e0.025 0.37342 0.36420
Ru 2, Rd 0
C qu Ru qd Rd 0.611111 2 1.22.
Baidu Nhomakorabea了克服这种不确定性的困难, 以便采用 无套利原理对期权进行定价:
二项式定价方法; 布莱克—舒尔斯定价方法； 蒙特卡罗模拟法。 二项式方法 (二叉树方法)的步骤具体如下:
• 把整个持有期分成若干个时间区间, 并假定在每 个时间区间内股票的价格只有上升和下降两种状 态, 且价格上升和下降的百分比也已知,这样可以 得出股票在期权到期日有限个确定的价格状态,从 而克服了不确定性.
ud
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qu erT (`1 ) 市场的上升状态价格因子 qd erT 市场的下降状态价格因子
C qu Ru qd Rd
qu max{ S0 (1 u) S X ,0} qd max{ S0 (1 d) S X ,0}
上升状态价格因子和下降状态价格因子仅同股 票价格在每个阶段的上升因子、下降因子、期 权有效期(每个时段)的长短以及期权有效期内 的无风险收益率有关,而同股票价格和期权确 定的执行价格无关。
• 首先确定应买入的股票数A使得组合在期末的收 益在两种状态(价升或价降)下都相同。
• 如果股票价格上升至33元,组合在到期日的价值为: ，
其中2是期权被执3行3后A投 2资者的付出;
• 如果股票价格下降至27元，期权不被执行，组合 的价值为：
。
• 在到期日这两个值应2相7等A ，且应等于无风险投资
r 年无风险收益率
T 期权的期限
期权在股票价格上升状态下的收益:
Ru max{ S0 (1 u) S X ,0}
期权在股票价格下降状态下的收益 ：
Rd max{S0 (1 d) SX , 0} 构建一个组合,由买入A股股票，卖出一份 买入期权组成，要求在期权到期日无论何种 情况出现，组合的价值相同
• 这也应该是期初用于投资组合的资金，由 此得：
30 1 C 8.78, C 10 8.78 1.22
3
• 买入期权的价格应该定为1.22元
三、期权定价的二项式公式
符号:
S0 股票在期初的价格,
SX 期权确定的执行价格,
u 股票价格在单个时间阶段内的上升因子
d 股票价格在单个时间阶段内的下降因子(-) Ru 期权在股票价格上升状态下的收益 Rd 期权在股票价格下降状态下的收益
AS0 (1 u) Ru AS0 (1 d ) Rd A Ru Rd
S0 (u d )
根据无套利原理,买入期权的价格C应满足方
程:
S0 A C [ AS0 (1 u) Ru ]erT
将A代入得:
C erT [Rd (1 )Ru ]
erT (1 u) u (er T 1)