金融工程第11章二叉树模型介绍
二叉树模型介绍
5）偏离均衡价格时的套利： 如果期权的价值超过了$0.633，构造该 组合的成本就有可能低于$4.367，并将 获得超过无风险利率的额外收益； 如果期权的价值低于$0.633，那么卖空 该证券组合将获得低于无风险利率的资 金。
2、一般结论
1）条件： 考虑一个无红利支付的股票，股 票价格为S。 基于该股票的某个衍生证券的当 前价格为f。 假设当前时间为零时刻，衍生证 券给出了在T时刻的盈亏状况 。
看跌期权的价值是$4.1923。 利用每个单步二步二叉树向回倒推算， 也可以得到这个结果。
四、美式期权
1、方法： 从树图的最后末端向开始的起点倒推计 算。 在每个节点检验提前执行是否最佳。 在最后节点的期权价值与欧式期权在最 后节点的期权价值相同。
在较早的一些节点，期杈的价值是取如 下两者之中较大者： 1）．由公式f=e-rT[pfu+(1-p)fd] 求出的值。 2）．提前执行所得的收益。
该组合的现值 ( S u f u )e S f
rT
该组合的成本
则有: S f (Su f u )e
rT
rT
得到: f e [ pfu (1 p) f d ]
d 其中 : p ud e
rT
3、股票预期收益的无关性
衍生证券定价公式没有用到股票上升和 下降的概率。 人们感觉：假设如果股票价格上升的概 率增加，基于该股票的看涨期权价值也 增加，看跌期权的价值则减少。
3、风险中性估值(risk-neutralvaluation)： 把金融资产放在风险中性的世界去估值 即为期权和其它衍生证券估值时，世界 是风险中性的。 在风险中性世界中得到的价格，在现实 世界中也是正确的。
二叉树模型-资料
Cu
pC u
2
(1 1 r
p)Cud
=
(.6)56.25+(.4)0.0 1.07
31.54
Cd
pCdu
(1 p)Cd2 1 r
(.6)0.0 (.4)0.0 1.07
0.0
因而，期权现在的价值为：
C pCu (1 p)Cd 1 r
(.6)31.54 (.4)0.0 17.69 1.07
Cu2 Max[0, Su 2 X] Max[0,156. 25 100] 56.25 Cud Max[0, Sud X] Max[0,100 100] 0.0 Cd2 Max[0, Sd 2 X] Max[0,64 100] 0.0
一步之后，期权的价值为：
这时无风险利率变成 (1 + r)T/n 上涨和下降的比率变成：
u e T/n
d 1/u
其中 是波动率。
计算时，从后往前逐步计算每个节点的价值。
在美式期权的情况下，要在每一步比较提前 执行和不提前执行时的价值，取大的价值用 于计算。
练习题
12.1 12.4 12.5 12.6
注意： d < exp(r*T) < u 以避免套利 构筑一个无风险的组合，价值为：
V = hS - C
到期时价值为：
Vu = hSu - Cu Vd = hSd – Cd 令 Vu = Vd，可以解得 h （对冲比率, hedge ratio）。
h Cu Cd Su Sd
4.46%，低于无风险利率。
两步二叉树模型
二叉树定价模型知识讲解
二叉树定价模型期权定价的二叉树模型Cox、Ross和Rubinstein提出了期权定价的另一种常用方法二叉树（binomial tree）模型，它假设标的资产在下一个时间点的价格只有上升和下降两种可能结果，然后通过分叉的树枝来形象描述标的资产和期权价格的演进历程。
本章只讨论股票期权定价的二叉树模型，基于其它标的资产如债券、货币、股票指数和期货的期权定价的二叉树方法，请参考有关的书籍和资料。
8.1一步二叉树模型我们首先通过一个简单的例子介绍二叉树模型。
例8.1 假设一只股票的当前价格是$20，三个月后该股票价格有可能上升到$22，也有可能下降到$18. 股票价格的这种变动过程可通过图8.1直观表示出来。
在上述二叉树中，从左至右的节点（实圆点）表示离散的时间点，由节点产生的分枝（路径）表示可能出现的不同股价。
由于从开始至期权到期日只考虑了一个时间步长，图8.1表示的二叉树称为一步（one-step）二叉树。
这是最简单的二叉树模型。
一般地，假设一只股票的当前价格是，基于该股票的欧式期权价格为。
经过一个时间步（至到期日T）后该股票价格有可能上升到相应的期权价格为；也有可能下降到相应的期权价格为. 这种过程可通过一步（one-step）二叉树表示出来，如图8.2所示。
我们的问题是根据这个二叉树对该欧式股票期权定价。
为了对该欧式股票期权定价，我们采用无套利（no arbitrage）假设，即市场上无套利机会存在。
构造一个该股票和期权的组合（portfolio），组合中有股的多头股票和1股空头期权。
如果该股票价格上升到，则该组合在期权到期日的价值为；如果该股票价格下降到，则该组合在期权到期日的价值为。
根据无套利假设，该组合在股票上升和下降两种状态下的价值应该相等，即有由此可得(8.1)上式意味着是两个节点之间的期权价格增量与股价增量之比率。
在这种情况下，该组合是无风险的。
以表示无风险利率，则该组合的现值（the present value）为 ,又注意到该组合的当前价值是，故有即将(8.1)代入上式，可得基于一步二叉树模型的期权定价公式为(8.2)(8.3)需要指出的是，由于我们是在无套利（no arbitrage）假设下讨论欧式股票期权的定价，因此无风险利率应该满足： .现在回到前面的例子中，假设相应的期权是一个敲定价为$21，到期日为三个月的欧式看涨权，无风险的年利率为12%，求该期权的当前价值。
《二叉树模型》课件
二叉树的分类
01 满二叉树
如果一个二叉树的每个节点都有两个子节点，则 该二叉树称为满二叉树。
02 完全二叉树
如果一个二叉树的最后一层是满的，且除了最后 一层外，其他各层的节点数达到最大，则该二叉 树称为完全二叉树。
03 平衡二叉树
平衡二叉树是一种特殊的完全二叉树，它的左右 子树的高度差不超过1。
二叉树的应用场景
详细描述
在n叉树模型中，每个节点可以拥有任意数 量的子节点，而不仅仅是两个。这种模型在 处理具有多个分支的数据结构时非常有用， 例如决策树和知识图谱。n叉树模型在搜索 、排序和数据压缩等领域有广泛应用。
B树模型
要点一
总结词
B树模型是一种自平衡的多路搜索树，用于数据库和文件系 统的索引。
要点二
详细描述
详细描述
二叉树的插入操作包括节点的添加和位置调整两个步骤。在添加节点时，需要找到合适 的位置将其插入到二叉树中，并保持二叉树的平衡性。位置调整是为了维护二叉树的性
质，确保每个节点的左子树和右子树的高度差不超过1。
插入操作的时间复杂度
总结词
插入操作的时间复杂度取决于具体的实现方式和数据结构。
详细描述
在平衡二叉树中，插入操作的时间复杂度为O(log n)，其中n为二叉树中节点的数量。而在一般的二 叉树中，插入操作的时间复杂度可能达到O(n)，因为可能需要遍历整棵树才能找到合适的位置插入新 节点。因此，选择合适的二叉树数据结构和算法对于提高插入操作的效率至关重要。
05
二叉树算法的应用
堆排序算法
平衡二叉树的性质：平衡二叉树具有以下性质：1）它的左右子树的高度差不超过1；2）它的左 子树和右子树都是平衡二叉树；3）它的左子树和右子树的节点数相差不超过1。
二叉树定价模型知识讲解
二叉树定价模型期权定价的二叉树模型Cox、Ross和Rubinstein提出了期权定价的另一种常用方法二叉树（binomial tree）模型，它假设标的资产在下一个时间点的价格只有上升和下降两种可能结果，然后通过分叉的树枝来形象描述标的资产和期权价格的演进历程。
本章只讨论股票期权定价的二叉树模型，基于其它标的资产如债券、货币、股票指数和期货的期权定价的二叉树方法，请参考有关的书籍和资料。
8.1一步二叉树模型我们首先通过一个简单的例子介绍二叉树模型。
例8.1 假设一只股票的当前价格是$20，三个月后该股票价格有可能上升到$22，也有可能下降到$18. 股票价格的这种变动过程可通过图8.1直观表示出来。
在上述二叉树中，从左至右的节点（实圆点）表示离散的时间点，由节点产生的分枝（路径）表示可能出现的不同股价。
由于从开始至期权到期日只考虑了一个时间步长，图8.1表示的二叉树称为一步（one-step）二叉树。
这是最简单的二叉树模型。
一般地，假设一只股票的当前价格是，基于该股票的欧式期权价格为。
经过一个时间步（至到期日T）后该股票价格有可能上升到相应的期权价格为；也有可能下降到相应的期权价格为. 这种过程可通过一步（one-step）二叉树表示出来，如图8.2所示。
我们的问题是根据这个二叉树对该欧式股票期权定价。
为了对该欧式股票期权定价，我们采用无套利（no arbitrage）假设，即市场上无套利机会存在。
构造一个该股票和期权的组合（portfolio），组合中有股的多头股票和1股空头期权。
如果该股票价格上升到，则该组合在期权到期日的价值为；如果该股票价格下降到，则该组合在期权到期日的价值为。
根据无套利假设，该组合在股票上升和下降两种状态下的价值应该相等，即有由此可得(8.1)上式意味着是两个节点之间的期权价格增量与股价增量之比率。
在这种情况下，该组合是无风险的。
以表示无风险利率，则该组合的现值（the present value）为 ,又注意到该组合的当前价值是，故有即将(8.1)代入上式，可得基于一步二叉树模型的期权定价公式为(8.2)(8.3)需要指出的是，由于我们是在无套利（no arbitrage）假设下讨论欧式股票期权的定价，因此无风险利率应该满足： .现在回到前面的例子中，假设相应的期权是一个敲定价为$21，到期日为三个月的欧式看涨权，无风险的年利率为12%，求该期权的当前价值。
金融工程二叉树模型概念
金融工程二叉树模型概念一、引言金融工程是指将数学、统计学、计算机科学等方面的知识应用于金融领域，以解决金融市场中的问题。
而二叉树模型则是其中的一个重要工具，在金融工程领域有着广泛的应用。
本文将详细介绍金融工程中二叉树模型的概念及其应用。
二、二叉树模型概述1. 什么是二叉树？二叉树是一种数据结构，由节点和连接它们的边组成。
每个节点最多有两个子节点，一个称为左子节点，一个称为右子节点。
如果一个节点没有子节点，则称该节点为叶子节点。
2. 什么是二叉树模型？在金融工程中，我们可以利用二叉树来建立模型，以便对金融市场进行分析和预测。
这种利用二叉树建立模型的方法就被称为“二叉树模型”。
三、基本原理1. 二叉树模型的构建在构建二叉树模型时，我们需要确定以下几个参数：（1）时间步数：即我们需要将时间划分成多少个步骤；（2）上涨幅度：即在每个时间步骤中，股票价格上涨的幅度；（3）下跌幅度：即在每个时间步骤中，股票价格下跌的幅度；（4）无风险利率：即在每个时间步骤中，我们所假设的无风险利率。
2. 二叉树模型的计算在确定了以上参数后，我们可以利用二叉树模型来计算股票价格在未来某个时刻的可能取值。
具体方法如下：（1）将当前时刻的股票价格作为二叉树模型的根节点；（2）对于每个节点，分别计算其左子节点和右子节点所对应的股票价格；（3）不断重复上述步骤，直到达到所设定的时间步数为止。
四、应用案例1. 期权定价期权是一种金融衍生品，其价值取决于标的资产价格变化。
利用二叉树模型可以对期权进行定价，并且可以通过调整各种参数来预测未来期权价格。
2. 风险管理利用二叉树模型可以对投资组合进行风险管理。
我们可以通过建立多个二叉树模型来分析不同情况下投资组合可能出现的收益和风险，并且可以根据分析结果进行调整，以达到最优的风险收益比。
3. 股票价格预测利用二叉树模型可以对股票价格进行预测。
我们可以通过建立多个二叉树模型来分析不同情况下股票价格可能出现的变化，并且可以根据分析结果进行调整，以达到最优的投资策略。
期权定价的二叉树模型
03
二叉树模型在期权定价中 的应用
二叉树模型在欧式期权定价中的应用
欧式期权定义
二叉树模型原理
欧式期权是一种只能在到期日行权的期权。
二叉树模型是一种离散时间模型，通过构造 一个二叉树来模拟股票价格的演变过程。
模型参数
定价过程
包括无风险利率、股票波动率、期权行权价 等。
从到期日逆推至起始时间，考虑各种可能的 价格路径，计算期权的预期收益，并使用无 风险利率折现至起始时间。
与其他理论的结合
二叉树模型与其它金融理论的结合也是理论研究的一个重要方向，如将二叉 树模型与随机过程理论、博弈论等相结合，以提供更深入、更全面的分析框 架。
二叉树模型的应用研究进展
扩展到其他金融衍生品
二叉树模型在期权定价方面的应用已经非常成熟，研究者们正在将其应用于其他金融衍生品的定价，如期货、 掉期等。
案例一：某公司股票期权定价
背景介绍
某上市公司股票期权激励计划需要为期权定价，以确定向员工发 放的期权数量和行权价格。
模型应用
根据二叉树模型，预测股票价格的上涨和下跌幅度，并计算期权 的内在价值和时间价值。
结论分析
根据计算结果，确定期权的行权价格和数量，实现了员工激励与公 司发展的双赢。
案例二：某交易所债券期权定价
调整利率和波动率
根据市场数据和实际情况，调整利率和波动率的参数，可以提 高模型的拟合度。
模型的选择与比较
1 2
基于误差
比较不同模型的预测误差，选择误差最小的模 型。
基于风险
比较不同模型的风险指标，选择风险最小的模 型。
3
基于解释性
选择更具有解释性的模型，以便更好地理解市 场行为和风险。
05
期权定价的二叉树模型介绍
计算期权的价值
计算期权的现值
根据预期收益和折现率，我们可以计算出期权的现值。 看涨期权的现值是每个节点的股票价格与执行价格的差 值与风险中性概率的乘积之和；看跌期权的现值是每个 节点的执行价格与股票价格的差值与风险中性概率的乘 积之和。
校准二叉树模型参数
为了使模型的预测结果与实际期权价格一致，我们需要 校准模型参数。通常，我们使用历史数据来估计参数， 例如股票价格的波动率和无风险利率。
建立二叉树
以时间步长为单位，从最后一个时间步长开始，依 次向前建立二叉树，每个节点代表一个时间步长。
确定初始股票价格
确定股票的当前价格
通常以市场价格为基础确定初始股票价格 。
考虑股息
如果股票在期权有效期内发放股息，需要 在每个时间步长上调整股票价格。
确定无风险利率与时间步长
要点一
确定无风险利率
无风险利率是投资者在相同风险水平下可以获得的最低 回报率。
05
二叉树模型的结果分析
模拟结果展示
假设一个股票价格变动模型，通过二叉树模型模拟股 票价格的涨跌情况，并计算期权的价值。
根据不同的利率和波动率等参数设置，模拟不同的股 票价格路径，从而得到期权价格的模拟结果。
结果分析与比较
将模拟结果与实际期权价格进行比较，分析二叉树模型 定价的准确性。
对比不同参数设置下的模拟结果，分析利率和波动率等 因素对期权价格的影响。
期权定价的二叉树模型介绍
2023-11-06
目 录
• 引言 • 二叉树模型基本原理 • 构建二叉树模型 • 计算期权价值 • 二叉树模型的结果分析 • 二叉树模型在金融实践中的应用 • 结论与展望
01
引言
研究背景与意义
金融工程(第五版)期权损益及二叉树模型
3. 设利率也是取二值的过程
4.设债券面值为D，半年的票息为Ci，i=1,…,2n，若把此债券看成面值 与票息分离的债券，则债券的现金流相当于2n份面值为Ci和一份面值 为D的零息债券。
债券价格树的构造 (一) 风险中性方法
1. 一年期债券的价格树 2. 一年半期债券的价格树
设股票在0时刻的价格为S(0)=S0， 在t=1 时刻价格为S(1)是随机变量，它可能的取值为S11或S12 (S12 > S11 ) 在t=2时刻价格为S(2)，它可能取值为S21<S22 <S23 < S24 假设存在无风险投资，即可在银行存款，每期得到无风险回报为R（=1+r）， 同时假设在银行里存款和从银行贷款，所支付的利率一样。 为了排除套利 机会，下列条件必须满足：
1 r d
q= ud
p=q
所以通常也称p为风险中性概率
例如:设S=21，1+r=1.15，u=1.4，d=1.1，X=22 ，求C。
注1.由此可知套期保值证券组合所需要的投资
21-1 1.869596=19.13
在期末所得到的无风险收益为22。
S-mC=21-1 1.869565=19.13 uS-mCu=1.4 21-1 7.4=22
它是牛市价差买卖与熊市价差买卖的组合，即购入一份执行价格为 X1 和其一中份，执X2>行X价3 格> 为X1X，2的且看涨X3期权X，1 再2 X卖2出两份执行价格为X3的看涨期权。 4.底部马鞍式组合（ bottom straddle 或买马鞍式）： 购入一份看涨期权和一份看跌期权，执行价格均为 X
Bd,t+1 +票息- mCd,t+1= B u,t+1 +票息- mCu,t+1
金融工程二叉树模型概念
金融工程二叉树模型概念一. 概述金融工程是将金融理论、数学和计算技术应用于金融市场、金融产品和金融机构的实践领域。
金融工程的一个重要模型是二叉树模型，它是一种对金融市场价格和风险进行建模和评估的数学工具。
本文将对金融工程二叉树模型的概念进行全面、详细、完整且深入地探讨。
二. 二叉树模型的原理二叉树模型是一种离散时间的、离散状态的模型，它将金融市场的演化过程划分为若干个时间步长，并假设每个时间步长内市场处于两种状态之一。
每个时间步长内，根据给定的概率，市场可能上涨或下跌。
根据这种二叉树结构，可以模拟金融产品的价格和风险变化。
1. 二叉树结构二叉树是一种树形结构，它由根节点、左子树和右子树构成。
在金融工程中，根节点表示当前时刻的市场价格，左子树和右子树分别表示市场可能上涨和下跌的价格。
每个节点都有一个概率与之关联，表示市场在下一个时间步长内上涨或下跌的概率。
2. 风险中性概率在二叉树模型中，风险中性概率是一个关键的概念。
它是指在不考虑利率的情况下，市场上涨和下跌的概率之比。
通过计算风险中性概率，可以确定期权等金融衍生品的价格。
3. 价格的演化在二叉树模型中，价格的演化是通过计算每个节点的价格得到的。
从根节点开始，根据给定的概率，计算出左子节点和右子节点的价格。
递归地进行这个过程，直到达到最后一层节点。
通过这种方式，可以得到整个期权或衍生品的价格变化路径。
三. 二叉树模型的应用二叉树模型在金融工程领域有着广泛的应用。
它可以用于定价期权、衍生品和其他金融产品，进行风险管理和投资决策。
1. 期权定价二叉树模型可以用于定价欧式期权和美式期权。
通过构建二叉树，计算每个节点的价格，可以得到期权的合理价格。
对于美式期权，可以在每个节点上比较立即行权和持有到下一个时间步长行权的收益，选择较高的收益。
2. 风险管理二叉树模型可以用于评估金融产品的风险。
通过计算每个节点的价格，可以得到金融产品价格的分布。
通过分析这个分布，可以评估产品在不同市场状态下的风险水平，为风险管理提供参考。
期权定价的二叉树模型
期权定价的二叉树模型期权定价是金融领域中的重要问题之一，而二叉树模型是一种经典的期权定价工具。
二叉树模型的主要思想是将期权到期日之间的时间划分为多个等长的时间段，并根据每个时间段内的股价变动情况来计算期权的价值。
下面将介绍二叉树模型的构建过程以及期权定价的基本原理。
首先，我们需要确定二叉树模型的参数。
主要包括股票价格的初始值、期权到期日、无风险利率、每个时间段的长度等。
其中，股票价格的初始值可以通过市场价格获取，期权到期日通常由合约确定，无风险利率可以参考国债收益率，而每个时间段的长度可以根据需要自行设置。
接下来，根据二叉树模型的思想，我们构建一个二叉树。
树的每个节点表示一个时间段，而每个节点下方的两个子节点分别表示股票价格在该时间段内上涨和下跌的情况。
具体构建二叉树的方式有很多种，常见的有Cox-Ross-Rubinstein模型和Jarrow-Rudd模型。
其中，Cox-Ross-Rubinstein模型是一种离散时间模型，每个时间段内股价上涨或下跌的幅度是固定的；而Jarrow-Rudd模型是一种连续时间模型，股价的变动是连续的。
在构建好二叉树之后，我们需要从期权到期日开始反向计算每个节点的期权价值。
通过回溯法，我们可以计算出每个节点的期权价值。
具体计算的方式是，对于期权到期日的节点，其价值等于股价与行权价格的差值（对于欧式期权而言）或者最大值（对于美式期权而言）。
而对于其他节点，其价值等于期权在上涨和下跌情况下的期望值，即其左右子节点的价值经过贴现后得到的值。
通过不断回溯，最终我们可以得到二叉树的根节点即为期权的实际价值。
需要注意的是，期权定价的准确性与二叉树模型的参数设定和树的构建方法有关。
参数的选择需基于市场数据和合理的假设，而构建二叉树的方法应能很好地反映实际股价的变动规律。
此外，二叉树模型也有一定的局限性，特别是在处理股价波动较为剧烈的情况下，可能无法准确地定价。
总之，二叉树模型是一种常用的期权定价工具，可以通过构建二叉树和回溯计算的方式来估计期权的价值。
金融工程第11章二叉树模型介绍课件
风险中性定价
在3个月末，看涨期权价值为1美元的概率为0.6523,价值为零的概率 为0.3477。因此，看涨期权的期望值为：
0.6523×1+0.3477×0=0.6523美元 用无风险利率贴现后，该期权的今天价值为：
0.6523e -0. 12x0.25
即0.633美元。这个结果与前面所得结果相同，说明无套利理论和风 险中性定价方法的结论相同。
第11章二叉树模型
● 本章导读 -单步二叉树模型 -风险中性定价 -两步二叉树模型 -看跌期权定价 -美式期权定价 -奇异期权定价 -N 步二叉树模型 -考虑红利的影响 - Delta - 实际应用
1
11.1单步二叉树模型
我们从一个非常简单的例子开始。假设一种股票当前价格为20美元， 我们知道3个月后的价格将可能为22美元或18美元。假设股票不付红 利，我们打算对3个月后以21美元的执行价格买人股票的欧式看涨期权进 行定价。若到时股票价格为22美元，期权的价值将是1美元；若股票价格 为18美元，期权的价值将是0。
从(10.2)式可得：
f=e-0. 12x0.2[0.6523×1+0.3477×0]=0.633
这个结果与本节开始时所得结果相同。
15
11.2风险中性定价
就推导方程式(10.2)的过程而言，虽然我们不需要对股票价格上升和 下降的概率做任何假设，但将方程式(10.2)中的变量p 解释为股票价格上
升的概率是很自然的。于是变量1-p 就是股票价格下降的概率。表达 式：
该问题的关键是：我们并不是在完全的条件下为期权定价。我们只是 根据标的股票的价格估计期权的价值。未来上升和下降的概率已经包含在 股票的价格中。这说明：当根据股票价格为期权定价时，我们不需要股票价 格上升和下降的概率。
金融工程 第十一章 二叉树简介
0.120.25
0.633
结论：风险中性定价与无套利方法等价
2.2 现实世界与风险中性世界 计算股价上涨的真实概率 p* 设股票在现实世界中的期望收益率为 16%，则
得 计算现实世界期权价格 f 的困难
不能确定期权在真实世界里的期望收益率，无 法获得贴现利率
11.3 两步二叉树 Two-step binomial trees
即期权的价格为：
代入 D , 即有：
(11.2)
其中
(11.3)
例 P166 ： 在前例中，有
因此
1.3 股票收益期望与期权价格的无关性
股票上涨或下跌一般有不同的概率；
上述期权的定价与股票上涨或下跌的概率无关 根据股票价格给期权定价时，已经将股价的变 化概率考虑在内。
11.2 风险中性定价 risk-neutral valuation
Call option
D
22
B
24.2 3.2 19.8 0.0 16.2 0.0
20 1.2823
A
2.0257 18 0.0
C
E
F
•在第 1 步，
Delta=
•如果在第 1 步，股价上涨，则在第2步
Delta=
Put option
D
60 50 4.192320
B
E
1.4147
现实世界风险中性世界71现实世界realworld设股票在?t时间间隔内收益率记为假设股票价格的年波动率为???年期望收益为???即varr??那么股票在?t时间间隔内波动率和期望收益率为vartr???tsrs???er??tertt?????股票价格的期望与二叉树中股票价格期望一致即二叉树中股票价格波动率应与现实世界的波动率一致即s???可得11112t2020001varvartttssesessss?????????????tes?所以即有利用级数展开并忽略时间间隔的高阶项可得72风险中性世界riskneutralworld假设在风险中性世界里股票的期望收益率等于无风险收益率因此1111成为股票价格的期望其中001
金融工程学金融衍生工具知识点总结
金融工程学金融衍生工具知识点总结金融衍生工具在现代金融市场中扮演着至关重要的角色，它们为投资者和金融机构提供了多样化的风险管理和投资策略选择。
金融工程学作为一门将金融理论、数学方法和计算机技术相结合的学科，对于深入理解和运用金融衍生工具具有重要的指导意义。
接下来，让我们一同深入探讨金融工程学中金融衍生工具的相关知识点。
一、金融衍生工具的定义与分类金融衍生工具是基于基础金融资产（如股票、债券、货币、商品等）的价值而衍生出来的金融合约。
其价值取决于基础资产的价格、利率、汇率等变量的变化。
常见的金融衍生工具主要包括以下几类：1、远期合约远期合约是指交易双方约定在未来某一特定日期，按照事先确定的价格买卖一定数量的某种资产的合约。
由于远期合约是在场外交易市场（OTC）进行的非标准化合约，因此其流动性相对较差，违约风险也较高。
2、期货合约期货合约与远期合约类似，也是在未来某一特定日期按照约定价格买卖一定数量资产的合约。
但期货合约是在交易所内进行交易的标准化合约，具有较高的流动性和较低的违约风险。
期货合约实行每日结算制度，通过保证金制度来控制风险。
3、期权合约期权合约赋予持有者在未来某一特定日期或之前，以约定价格买入或卖出一定数量资产的权利，但持有者并不负有必须买卖的义务。
期权合约分为看涨期权和看跌期权。
4、互换合约互换合约是指交易双方约定在未来一定期限内，按照约定的条件相互交换一系列现金流的合约。
常见的互换合约包括利率互换和货币互换。
二、金融衍生工具的特点1、杠杆性金融衍生工具通常只需要支付少量的保证金或权利金，就可以控制较大金额的基础资产。
这种杠杆效应在放大收益的同时，也放大了风险。
2、高风险性由于金融衍生工具的价值取决于基础资产价格的波动，其价格变化往往较为剧烈，加之杠杆效应的存在，使得金融衍生工具具有较高的风险。
3、复杂性金融衍生工具的设计和交易涉及到复杂的数学模型和金融理论，对于投资者的专业知识和风险承受能力要求较高。
期权定价-二叉树模型
期权定价-二叉树模型期权定价是金融市场中的重要内容，它是根据期权的特点和市场条件来确定期权价格的过程。
二叉树模型是一种常用的期权定价方法之一，其基本思想是将时间离散化，并通过构建一个二叉树来模拟标的资产价格的变动。
在二叉树模型中，每个节点代表了一个特定的时刻，而每个节点之间的关系是通过上涨和下跌两种情况进行连接的。
通过调整上涨和下跌的幅度，可以模拟出不同标的资产的价格变动情况。
期权的定价在二叉树模型中可以通过回溯法进行计算。
首先，在最后一个节点上，根据期权的特点以及市场条件来确定期权的价值。
然后，逐步向前回溯，通过考虑不同的路径来计算每个节点上的期权价值。
在回溯过程中，需要考虑每个节点的两个子节点的权重，即上涨和下跌的概率。
这可以根据市场条件来确定，通常是基于历史数据进行估计。
然后，在回溯过程中，可以根据节点上的期权价值和子节点的权重来计算每个节点的期权价格。
通过不断回溯，最终可以得到期权的初始价值，即在当前市场条件下，期权价格应该是多少。
这个初始价值可以用作参考，帮助投资者做出合理的投资决策。
需要注意的是，二叉树模型是一个简化的模型，它有一些假设和限制。
首先，它假设标的资产的价格只有上涨和下跌两种情况，而忽略了其他可能的情况。
其次，它假设市场条件在整个期权有效期内保持不变，而实际情况可能是变化的。
因此，在使用二叉树模型进行期权定价时，需要注意这些假设和限制。
总而言之，期权定价是金融市场中的重要内容，二叉树模型是一种常用的定价方法。
通过构建二叉树模型，并根据回溯法计算每个节点上的期权价值，可以得到期权的初始价格。
然而，需要注意二叉树模型的假设和限制，并结合实际情况进行综合分析和判断。
期权定价是金融市场中的重要内容，其旨在确定期权的合理价格。
期权是一种金融工具，赋予购买者在期权到期时以约定价格购买或出售标的资产的权利。
很多投资者都希望能够在市场上买入或者卖出期权，以便于在未来某个时刻获得利润。
因此，了解期权的合理价格对投资者来说至关重要。
二叉树期权定价模型
支付已知红利率资产的期权定价
可通过调整在各个结点上的证券价格，算出期权价格；
如果时刻 it 在除权日之前，则结点处证券价格仍为：
Su j d i j , j 0,1,, i
如果时刻 it 在除权日之后，则结点处证券价格相应调整为：
S (1 )u j d i j
j 0,1, ,i
若在期权有效期内有多个已知红利率，则 it 时刻结点的相应的证券价格为：
2、保持不变，仍为 S ；
3、下降到原先的 d 倍，即 Sd
Su3
Su2
Su2
Su
Su
Su
S
S
S
S
Sd
Sd
Sd
Sd2 Sd2
Sd3
一些相关参数：
u e 3t
d1 u
pm
2 3
pd
t 12 2
r
q
2 2
1 6
t
2 1
pu
12 2
r q
2
6
控制方差技术 基本原理：期权A和期权B的性质相似，我们可以得到期权B的解析定价公
的波动率，mˆ i 为 i 在风险中性世界中的期望增长率， ik为 i 和 k 之间的瞬间相关系数）
常数利率和随机利率的蒙特卡罗模拟 利率为常数时：期权价值为（初始时刻设为0）：
.
f erT Eˆ fT
其中， Eˆ 表示风险中性世界中的期望。
利率为变量时：期权价值为（初始时刻设为0）： f Eˆ erT fT
j 0,1, ,i
注意：由于
u 1 d
，使得许多结点是重合的，从而大大简化了树图。
得到每个结点的资产价格之后，就可以在二叉树模型中采用倒推定价 法，从树型结构图的末端T时刻开始往回倒推，为期权定价。
金融工程二叉树模型介绍
11.8 红利的影响
红利的影响
11.9 Delta
股票期权的Delta是股票期权价格的变化与标的股票价格变化之比 。即为了构造一个无风险对冲，对每一个卖空的期权头寸而应该 持有的股票数目。
看涨期权的Delta为正值，看跌期权的Delta为负值。
1 0 0.25 22 18
1.4147 9.4636 0.4024 60 40
0 4 0.1667 72 48
4 20 1.0 48 32
11.10 实际应用
u e t
d 1 e t u
p ert d ud
通常将期权有效期分成30或 更多的时间步。30个时间步 有31个终端股票价格，230即 大约10亿个可能的股票价格 路径。
应用举例
第11章 二叉树模型
本章导读 单步二叉树模型 风险中性定价 两步二叉树模型 看跌期权定价 美式期权定价 奇异期权定价 N步二叉树模型 考虑红利的影响 Delta 实际应用
11.1 单步二叉树模型
二叉树图
构造无风险组合
构造无风险组合
到期日无风险组合的价值
期权的价格
进一步说明
其他构造方法
股票+期权=无风险资产 无风险资产+股票=期权 无风险资产+期权=股票
练习
推广：一般性结论
二叉树图
构造无风险投资组合
二叉树期权定价公式
应用期权定价公式
11.2 风险中性定价
股票预期收益无关性
风险中性概率
风险中性定价
单步二叉树模型再考察
风险中性定价
练习
11.3 两步二叉树模型
看涨期权定价
逆推法
期权价格的决定
练习
推广：一般性结论
金融工程二叉树定价课件
35
u和d 的选取
已知股票的波动率，一种 u 和 d 的取法 ud = 1 u = e Dt d = e- Dt
若d>erT，则在期初借钱买入股票，到期股价即 使下跌到dS0，也要卖出股票，偿还银行借款， 到期获益为正。
16
重做例1
S0=20 V0=?
S0u = 22 Vu = 1
S0d = 18 Vd = 0
在Q的意义下，股价预期收益率是r，
即，EQ (ST) = puS0 +(1-p)dS0 = erTS0
= e–rT EQ (VT)
在Q的意义下，期权的 预期收益率是r
12
续（4）
在上面的定义中，p 为股票价格上升的概 率，q=1-p 为股价下降的概率。但它们不 是股价上升和下降的实际概率。
S0u
Vu
S0
V0=?
S0d
Vd
13
续（5）
EQ (ST) = puS0 +(1-p)dS0 = erTS0
21
Delta
注意，在[t, t+Δt]中，
Dt
=
Vu t +Dt Stu
-
Vt
d +Dt
- Std
Delta (D) 表示期权价格变化与标的资产价格变
化的比率。
D-对冲就是构造由标的资产和期权组成的无风 险投资组合
D的值是随时间变化的，这说明为保持一个无风 险对冲，需要定期调整所持有的标的资产数量。
为期权的风险中性价格。 风险中性世界：所有人对风险都是无差异
的，在这样的世界中，人们对风险不要求 补偿，所有证券的预期收益都是无风险利 率。
15
市场无套利 d < erT < u
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1.4147 9.4636 0.4024 60 40 4 20 1.0 48 32
11.10 实际应用
u e
t
1 d e u
t
通常将期权有效期分成30或 更多的时间步。30个时间步 有31个终端股票价格，230即 大约10亿个可能的股票价格 路径。
第11章 二叉树模型
本章导读 单步二叉树模型 风险中性定价 两步二叉树模型 看跌期权定价 美式期权定价 奇异期权定价 N步二叉树模型 考虑红利的影响 Delta 实际应用
11.1 单步二叉树模型
二叉树图
构造无风险组合
构造无风险组合
到期日无风险组合的价值
期权的价格
进一步说明
其他构造方法
e rt期权定价
逆推法
期权价格的决定
练习
推广：一般性结论
两步二叉树模型定价公式
练习
11.4 欧式看跌期权定价
二叉树图
应用两步二叉树期权定价公式
11.5 美式期权
美式看跌期权定价
练习
11.6 奇异期权定价
回望看跌期权：收益等于最高价格减去资产的 最终价格。
11.7 N步二叉树模型
11.8 红利的影响
红利的影响
11.9 Delta
股票期权的Delta是股票期权价格的变化与标的股票价格变化之比 。即为了构造一个无风险对冲，对每一个卖空的期权头寸而应该 持有的股票数目。 看涨期权的Delta为正值，看跌期权的Delta为负值。
1 0 0.25 22 18 04 0.1667 72 48
股票+期权=无风险资产 无风险资产+股票=期权 无风险资产+期权=股票
练习
推广：一般性结论
二叉树图
构造无风险投资组合
二叉树期权定价公式
应用期权定价公式
11.2 风险中性定价
股票预期收益无关性
风险中性概率
风险中性定价
单步二叉树模型再考察
风险中性定价
练习
11.3 两步二叉树模型