4.1 一阶逻辑命题符号化new
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一阶逻辑基本概念谓词逻辑(离散数学)
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一、个体词、谓词、量词的概念
个体常项：具体的客体，用a, b, c表示。
个体变项：抽象或泛指的事物，用x, y, z表示。 例：x高于y。x，y都是个体变项。 个体域（论域）: 个体变项的取值范围。
有限个体域 即个体域是 有限集合
无限个体域 即个体域是 无穷集合
全总个体域 宇宙间一切 事物组成。
“ 1”, 则 L(2,1) 就是命题“ 21” 。此时二元谓
词变成0元谓词。
同理：一元谓词F(x)中的x代以个体“小王”， 则F(小王)就是命题“小王是女孩”。也是0
元谓词。
谓词逻辑包括命题逻辑。
9
一、个体词、谓词、量词的概念
例1：用0元谓词将下述命题符号化。 (1) 墨西哥位于南美洲 在命题逻辑中, 设 p: 墨西哥位于南美洲 符号化为 p, 该命题为真命题。 在一阶逻辑中, 设 a：墨西哥； F(x)：x位于南美洲； 符号化为F(a)
35
4.
二、个体变项的自由出现与约束出现
例1：说明以下各式量词的辖域与变元的约 束情况：
（1） x(F(x,y)G(x,z))
A=(F(x,y)G(x,z))为的辖域， x为指导变元, A中x的两次出现均为约 束出现，y与z均为自由出现。
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二、个体变项的自由出现与约束出现
（ 2 ）xy( P( x, y) Q( x, y )) xP( x, y)
（ 2 ）x( F ( x, y) yG( x, y, z ))
x( F ( x, y ) tG( x, t , z ))
或 x( F ( x, w ) yG( x, y, z ))
三、公式的解释
引例：给定公式 A=x(F(x)G(x)) 个体域N, F(x): x>2, G(x): x>1 代入得A = 成真解释
一、个体词、谓词、量词的概念
个体常项：具体的客体，用a, b, c表示。
个体变项：抽象或泛指的事物，用x, y, z表示。 例：x高于y。x，y都是个体变项。 个体域（论域）: 个体变项的取值范围。
有限个体域 即个体域是 有限集合
无限个体域 即个体域是 无穷集合
全总个体域 宇宙间一切 事物组成。
“ 1”, 则 L(2,1) 就是命题“ 21” 。此时二元谓
词变成0元谓词。
同理：一元谓词F(x)中的x代以个体“小王”， 则F(小王)就是命题“小王是女孩”。也是0
元谓词。
谓词逻辑包括命题逻辑。
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一、个体词、谓词、量词的概念
例1：用0元谓词将下述命题符号化。 (1) 墨西哥位于南美洲 在命题逻辑中, 设 p: 墨西哥位于南美洲 符号化为 p, 该命题为真命题。 在一阶逻辑中, 设 a：墨西哥； F(x)：x位于南美洲； 符号化为F(a)
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4.
二、个体变项的自由出现与约束出现
例1：说明以下各式量词的辖域与变元的约 束情况：
（1） x(F(x,y)G(x,z))
A=(F(x,y)G(x,z))为的辖域， x为指导变元, A中x的两次出现均为约 束出现，y与z均为自由出现。
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二、个体变项的自由出现与约束出现
（ 2 ）xy( P( x, y) Q( x, y )) xP( x, y)
（ 2 ）x( F ( x, y) yG( x, y, z ))
x( F ( x, y ) tG( x, t , z ))
或 x( F ( x, w ) yG( x, y, z ))
三、公式的解释
引例：给定公式 A=x(F(x)G(x)) 个体域N, F(x): x>2, G(x): x>1 代入得A = 成真解释
屈婉玲离散数学第四章
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谓词
谓词——表示个体词性质或相互之间关系的词 谓词常项 如, F(a)：a是人 谓词变项 如, F(x)：x具有性质F n（n1）元谓词 一元谓词(n=1)——表示性质 多元谓词(n2)——表示事物之间的关系 如, L(x,y)：x与 y 有关系 L，L(x,y)：xy，… 0元谓词——不含个体变项的谓词, 即命题常项 或命题变项
9
实例5
例5 设个体域为实数域, 将下面命题符号化 (1) 对每一个数x都存在一个数y使得x<y (2) 存在一个数x使得对每一个数y都有x<y 解 L(x,y):x<y (1) xyL(x,y) (2) xyL(x,y)
注意: 与不能随意交换 显然(1)是真命题, (2)是假命题
10
4.2 一阶逻辑公式及解释
14
封闭的公式
定义4.6 若公式A中不含自由出现的个体变项，则称A为封闭 的公式，简称闭式. 例如，xy(F(x)G(y)H(x,y)) 为闭式， 而 x(F(x)G(x,y)) 不是闭式
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公式的解释
定义4.7 设L 是L生成的一阶语言, L 的解释I由4部分组成： (a) 非空个体域 DI . (b) 对每一个个体常项符号aL, 有一个 aDI, 称 a 为a在I 中的解释. (c) 对每一个n元函数符号fL, 有一个DI上的n元函数 f : DIn DI , 称 f 为f在I中的解释. (d) 对每一个n元谓词符号FL, 有一个DI上的n元谓词常项F , 称 F 为F在I中的解释. 设公式A, 取个体域DI , 把A中的个体常项符号a、函数符 号f、谓词符号F分别替换成它们在I中的解释 a、 f 、F , 称 所得到的公式A为A在I下的解释, 或A在I下被解释成A.
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谓词
谓词——表示个体词性质或相互之间关系的词 谓词常项 如, F(a)：a是人 谓词变项 如, F(x)：x具有性质F n（n1）元谓词 一元谓词(n=1)——表示性质 多元谓词(n2)——表示事物之间的关系 如, L(x,y)：x与 y 有关系 L，L(x,y)：xy，… 0元谓词——不含个体变项的谓词, 即命题常项 或命题变项
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实例5
例5 设个体域为实数域, 将下面命题符号化 (1) 对每一个数x都存在一个数y使得x<y (2) 存在一个数x使得对每一个数y都有x<y 解 L(x,y):x<y (1) xyL(x,y) (2) xyL(x,y)
注意: 与不能随意交换 显然(1)是真命题, (2)是假命题
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4.2 一阶逻辑公式及解释
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封闭的公式
定义4.6 若公式A中不含自由出现的个体变项，则称A为封闭 的公式，简称闭式. 例如，xy(F(x)G(y)H(x,y)) 为闭式， 而 x(F(x)G(x,y)) 不是闭式
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公式的解释
定义4.7 设L 是L生成的一阶语言, L 的解释I由4部分组成： (a) 非空个体域 DI . (b) 对每一个个体常项符号aL, 有一个 aDI, 称 a 为a在I 中的解释. (c) 对每一个n元函数符号fL, 有一个DI上的n元函数 f : DIn DI , 称 f 为f在I中的解释. (d) 对每一个n元谓词符号FL, 有一个DI上的n元谓词常项F , 称 F 为F在I中的解释. 设公式A, 取个体域DI , 把A中的个体常项符号a、函数符 号f、谓词符号F分别替换成它们在I中的解释 a、 f 、F , 称 所得到的公式A为A在I下的解释, 或A在I下被解释成A.
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离散数学 第四章 一阶逻辑基本概念
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§4.1 一阶逻辑命题符号化
（3）没有人登上过木星。 令H(x):x登上过木星， M(x):x是人。命题符号化为 ┐x(M(x)∧H(x))。 命题真值为真。 （4）在美国留学的学生未必都是亚洲人。 令F(x):x是在美国留学的学生，G(x):x是亚洲人。符号化 ┐x(F(x)→G(x)) 命题真值为真。
个体词、谓词和量词，以期达到表达出个体与总体的内在 联系和数量关系。
4
§4.1 一阶逻辑命题符号化
一阶逻辑命题符号化的三个基本要素
个体词
谓词
量词
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个体词及相关概念
个体词：指所研究对象中可以独立存在的具体的 或抽象的客体。
举例
命题：电子计算机是科学技术的工具。 个体词：电子计算机。 命题：他是三好学生。 个体词：他。
个体域为全总个体域
令 M(x):x是人 , F(x):x呼吸 , G(x):x用左手写字
能否将”凡人都呼吸”符号化为 (∀x) (M(x)∧F(x) ) ？ 不可以。 (∀x) (M(x)∧F(x) )表示宇宙中的万物都是人并 且会呼吸 能否将”有的人用左手写字”符号化为 (x)( M(x)→G(x) ) ？ 不可以。(x)( M(x)→G(x) ) 表示在宇宙万物中存在某个 个体x,”如果x是人则x会用左手写字”
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个体词及相关概念
个体常项：表示具体或特定的客体的个体词，用小写字母 a, b, c,…表示。 个体变项：表示抽象或泛指的客体的个体词，用x, y, z,… 表示。 个体域（或称论域）：指个体变项的取值范围。 可以是有穷集合，如{a, b, c}, {1, 2}。 可以是无穷集合，如N，Z，R，…。 全总个体域（universe）——宇宙间一切事物组成 。
F4一阶逻辑基本概念
(a)非空个体域 DI . (b) DI 中一些特定元素的集合{a1,a2 , …,ai , …}. (c) DI 上特定函数的集合{fin|i, n 1}. (d) DI 上特定谓词的集合{Fin|i, n 1}. †其实质是明确公式中各个变项, 繁琐之处毋庸细究.
第四章一阶逻辑基本概念
§4.1 一阶逻辑命题的符号化 §4.2 一阶逻辑公式及解释
091离散数学(60). W&M. §4.2 一阶逻辑公式及解释
命题逻辑形式系统 I = A, E, AX, R, 其中A, E是语言系统. 谓词逻辑形式系统的语言 , 它便于翻译自然语言. (下一章
Dx2Dx1A(x1, x2, …, xn) 可记为 A2(x3, x4, …, xn), …… ,
Dxn…Dx1A(x1, x2, …, xn) 中没有自由出现的个体变项, 可z) = x(F(x, y) G(x, z)) B(z) = yA(y, z) = yx(F(x, y) G(x, z)) C =zyA(y, z) = zyx(F(x, y) G(x, z))
(3) H(a, b), 其中 H: “…与…同岁”, a: 小王, b: 小 李.
(4) L(x, y), 其中L: “…与…具有关系L”.
091离散数学(60). W&M. §4.1 一阶逻辑命题的符号化
一元谓词 F(x) 表示 x 具有性质 F.
二元谓词 F(x, y) 表示个体变项 x, y 具有关系 F.
xy(x + y = 0) 与 yx(x + y = 0) 含义不同. ‡†句子的符号化形式不止一种. 设 H(x): x 是人, P(x): x 是完美的, 则 “人无完人”可 符号化为
第四章一阶逻辑基本概念
§4.1 一阶逻辑命题的符号化 §4.2 一阶逻辑公式及解释
091离散数学(60). W&M. §4.2 一阶逻辑公式及解释
命题逻辑形式系统 I = A, E, AX, R, 其中A, E是语言系统. 谓词逻辑形式系统的语言 , 它便于翻译自然语言. (下一章
Dx2Dx1A(x1, x2, …, xn) 可记为 A2(x3, x4, …, xn), …… ,
Dxn…Dx1A(x1, x2, …, xn) 中没有自由出现的个体变项, 可z) = x(F(x, y) G(x, z)) B(z) = yA(y, z) = yx(F(x, y) G(x, z)) C =zyA(y, z) = zyx(F(x, y) G(x, z))
(3) H(a, b), 其中 H: “…与…同岁”, a: 小王, b: 小 李.
(4) L(x, y), 其中L: “…与…具有关系L”.
091离散数学(60). W&M. §4.1 一阶逻辑命题的符号化
一元谓词 F(x) 表示 x 具有性质 F.
二元谓词 F(x, y) 表示个体变项 x, y 具有关系 F.
xy(x + y = 0) 与 yx(x + y = 0) 含义不同. ‡†句子的符号化形式不止一种. 设 H(x): x 是人, P(x): x 是完美的, 则 “人无完人”可 符号化为
4一阶逻辑基本概念
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东南大学
4.1一阶逻辑命题符号化 一阶逻辑命题符号化
使用谓词表达一个命题时, 使用谓词表达一个命题时,若谓词字母联系 着一个个体变元,则称作一元谓词 一元谓词; 着一个个体变元,则称作一元谓词;若谓词 字母联系着二个个体变元,则称作二元谓词 二元谓词; 字母联系着二个个体变元,则称作二元谓词; 若谓词字母联系着n个个体变元 则称作n元 个个体变元, 若谓词字母联系着 个个体变元,则称作 元 谓词. 谓词. 一般个体变元的位置是有规定的. 一般个体变元的位置是有规定的. 河南省北接河北省. 北接河北省 例:河南省北接河北省. n L b 写成二元谓词为:L(n,b) . 写成二元谓词为:
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4.1一阶逻辑命题符号化 一阶逻辑命题符号化
存在量词 符号: 读作"存在一个" 对于一些" 符号:"" ,读作"存在一个","对于一些" 等. 例: (a)某个人很聪明 某个人很聪明 (b)某些实数是有理数 某些实数是有理数 规定M(x):x是人;C(x):x很聪明;R1(x): 是人; 很聪明; 解:规定 : 是人 : 很聪明 : 是有理数. x是实数;R2(x):x是有理数. 是实数; : 是有理数 是实数 (a) x (M(x) ∧C(x)); ; (b) x (R1(x) ∧ R2(x)) .
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东南大学
4.1一阶逻辑命题符号化 一阶逻辑命题符号化
将谓词转化为命题 对变元量化
谓词F(x) :"x是质数" 是质数" 谓词 是质数 论域为I, 为假, 为真. 论域为 , x F(x) 为假, x F(x) 为真. 量化后命题的真值与论域有关. 量化后命题的真值与论域有关.
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4.1一阶逻辑命题符号化 一阶逻辑命题符号化
使用谓词表达一个命题时, 使用谓词表达一个命题时,若谓词字母联系 着一个个体变元,则称作一元谓词 一元谓词; 着一个个体变元,则称作一元谓词;若谓词 字母联系着二个个体变元,则称作二元谓词 二元谓词; 字母联系着二个个体变元,则称作二元谓词; 若谓词字母联系着n个个体变元 则称作n元 个个体变元, 若谓词字母联系着 个个体变元,则称作 元 谓词. 谓词. 一般个体变元的位置是有规定的. 一般个体变元的位置是有规定的. 河南省北接河北省. 北接河北省 例:河南省北接河北省. n L b 写成二元谓词为:L(n,b) . 写成二元谓词为:
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4.1一阶逻辑命题符号化 一阶逻辑命题符号化
存在量词 符号: 读作"存在一个" 对于一些" 符号:"" ,读作"存在一个","对于一些" 等. 例: (a)某个人很聪明 某个人很聪明 (b)某些实数是有理数 某些实数是有理数 规定M(x):x是人;C(x):x很聪明;R1(x): 是人; 很聪明; 解:规定 : 是人 : 很聪明 : 是有理数. x是实数;R2(x):x是有理数. 是实数; : 是有理数 是实数 (a) x (M(x) ∧C(x)); ; (b) x (R1(x) ∧ R2(x)) .
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4.1一阶逻辑命题符号化 一阶逻辑命题符号化
将谓词转化为命题 对变元量化
谓词F(x) :"x是质数" 是质数" 谓词 是质数 论域为I, 为假, 为真. 论域为 , x F(x) 为假, x F(x) 为真. 量化后命题的真值与论域有关. 量化后命题的真值与论域有关.
离散数学课件 4.1一阶逻辑命题符号化
说明： x yG(x, y) 和 x yG(x, y)表示的含义不同！
第 10 页
四、符号化
例2 在一阶逻辑中将下面命题符号化。
(1)人都爱美。
(2)有人用左手写字。
个体域分别为：
(a) D为人类集合 (b) D为全总个体域
解: (a)设F(x):x爱美，G(x):x用左手写字，则
(1) xF(x) (2) xG(x)
， L(x,y): x与y跑得同样快。 (5) ﹁ x y(F(x) G(y) H(x, y)) (6) ﹁ x y(F(x) F(y) L(x, y))
第 16 页
总结和作业
➢ 小结 ◆ 理解个体词、谓词、量词的含义 ◆ 掌握一阶逻辑命题的符号化
➢ 作业（做书上）
课本63-64页 4(1) (3), 5(1) (3)，6 (1) (3) (5)
第1 页
第四章 一阶逻辑基本概念
➢ 命题逻辑的局限性
在命题逻辑中，研究的基本单位是简单命题，对简单 命题不再进行分解，并且不考虑命题之间的内在联系和数 量关系。
➢ 一阶逻辑所研究的内容
为了克服命题逻辑的局限性，将简单命题再细分，分 析出个体词、谓词和量词，以期达到表达出个体与总体的 内在联系和数量关系。 ◆ §4.1一阶逻辑命题符号化 ◆ §4.2一阶逻辑公式及解释 ◆ §5.1一阶逻辑等值式与置换规则 ◆ §5.2一阶逻辑前束范式
第四章 一阶逻辑基本概念
➢ 苏格拉底三段论
◆ 所有的人都是要死的。 ◆ 苏格拉底是人。 ◆ 所以，苏格拉底是要死的。 试证明此推理。 解：令p:所有的人都是要死的,q:苏格拉底是人,r:苏格拉底 是要死的，则 前提：p，q 结论：r 推理的形式结构： p Ù q ® r
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四、符号化
例2 在一阶逻辑中将下面命题符号化。
(1)人都爱美。
(2)有人用左手写字。
个体域分别为：
(a) D为人类集合 (b) D为全总个体域
解: (a)设F(x):x爱美，G(x):x用左手写字，则
(1) xF(x) (2) xG(x)
， L(x,y): x与y跑得同样快。 (5) ﹁ x y(F(x) G(y) H(x, y)) (6) ﹁ x y(F(x) F(y) L(x, y))
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总结和作业
➢ 小结 ◆ 理解个体词、谓词、量词的含义 ◆ 掌握一阶逻辑命题的符号化
➢ 作业（做书上）
课本63-64页 4(1) (3), 5(1) (3)，6 (1) (3) (5)
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第四章 一阶逻辑基本概念
➢ 命题逻辑的局限性
在命题逻辑中，研究的基本单位是简单命题，对简单 命题不再进行分解，并且不考虑命题之间的内在联系和数 量关系。
➢ 一阶逻辑所研究的内容
为了克服命题逻辑的局限性，将简单命题再细分，分 析出个体词、谓词和量词，以期达到表达出个体与总体的 内在联系和数量关系。 ◆ §4.1一阶逻辑命题符号化 ◆ §4.2一阶逻辑公式及解释 ◆ §5.1一阶逻辑等值式与置换规则 ◆ §5.2一阶逻辑前束范式
第四章 一阶逻辑基本概念
➢ 苏格拉底三段论
◆ 所有的人都是要死的。 ◆ 苏格拉底是人。 ◆ 所以，苏格拉底是要死的。 试证明此推理。 解：令p:所有的人都是要死的,q:苏格拉底是人,r:苏格拉底 是要死的，则 前提：p，q 结论：r 推理的形式结构： p Ù q ® r
个体词、谓词、量词 一阶逻辑命题符号化一阶逻辑公式及其
解 (a) (1) xG(x), G(x)：x爱美
(2) xG(x), G(x)：x用左手写字 (b) F(x)：x为人，G(x)：x爱美
(1) x(F(x)G(x)) (2) x(F(x)G(x))
1. 引入特性谓词F(x) 2. (1),(2)是一阶逻辑中两个“基本”公
式
7
实例3
例3 在一阶逻辑中将下面命题符号化 (1) 正数都大于负数 (2) 有的无理数大于有的有理数 解 注意：题目中没给个体域，一律用全总个体域 (1) 令F(x)：x为正数，G(y)：y为负数, L(x,y)：x>yF(a)，其中，a：墨西哥，F(x)：x位于北美洲 .
(2) F( 2 )G( 3 ),
其中，F(x)：x是无理数，G(x)：x是有理数 (3) F(2, 3)G(3, 4)，其中，F(x, y)：x>y，G(x, y)：x<y
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实例2
例 2 在一阶逻辑中将下面命题符号化 (1) 人都爱美 (2) 有人用左手写字 个体域分别为 (a) D为人类集合 (b) D为全总个体域
2
谓词
谓词——表示个体词性质或相互之间关系的词 谓词常项 如, F(a)：a是人 谓词变项 如, F(x)：x具有性质F n（n1）元谓词 一元谓词(n=1)——表示性质 多元谓词(n2)——表示事物之间的关系 如, L(x,y)：x与 y 有关系 L，L(x,y)：xy，… 0元谓词——不含个体变项的谓词, 即命题常项 或命题变项
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一阶语言L 的项与原子公式
定义4.2 L 的项的定义如下： (1) 个体常项和个体变项是项.
(2) 若(x1, x2, …, xn)是任意的n元函数，t1, t2, …, tn是任意的 n个项，则(t1, t2, …, tn) 是项.
(2) xG(x), G(x)：x用左手写字 (b) F(x)：x为人，G(x)：x爱美
(1) x(F(x)G(x)) (2) x(F(x)G(x))
1. 引入特性谓词F(x) 2. (1),(2)是一阶逻辑中两个“基本”公
式
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实例3
例3 在一阶逻辑中将下面命题符号化 (1) 正数都大于负数 (2) 有的无理数大于有的有理数 解 注意：题目中没给个体域，一律用全总个体域 (1) 令F(x)：x为正数，G(y)：y为负数, L(x,y)：x>yF(a)，其中，a：墨西哥，F(x)：x位于北美洲 .
(2) F( 2 )G( 3 ),
其中，F(x)：x是无理数，G(x)：x是有理数 (3) F(2, 3)G(3, 4)，其中，F(x, y)：x>y，G(x, y)：x<y
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实例2
例 2 在一阶逻辑中将下面命题符号化 (1) 人都爱美 (2) 有人用左手写字 个体域分别为 (a) D为人类集合 (b) D为全总个体域
2
谓词
谓词——表示个体词性质或相互之间关系的词 谓词常项 如, F(a)：a是人 谓词变项 如, F(x)：x具有性质F n（n1）元谓词 一元谓词(n=1)——表示性质 多元谓词(n2)——表示事物之间的关系 如, L(x,y)：x与 y 有关系 L，L(x,y)：xy，… 0元谓词——不含个体变项的谓词, 即命题常项 或命题变项
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一阶语言L 的项与原子公式
定义4.2 L 的项的定义如下： (1) 个体常项和个体变项是项.
(2) 若(x1, x2, …, xn)是任意的n元函数，t1, t2, …, tn是任意的 n个项，则(t1, t2, …, tn) 是项.
8一阶逻辑-概念公式4-14-1
变项都受量词的约束，因而在具体解释中总表达一个意义确定的语句，即 一个真命题或一个假命题． 3．不是闭式的公式在某一解释中，可能成为命题，也可能不能成为命题。
3. 量词
1）全称量词 －∀ 表示日常生活和数学中常用的“一切的”，“所有的”，“每 一个”、 “任意的”，“凡”，“都”等词可统称为全称量 词 用∀xf(x)，∀yG(y)等分别表示个体域里所有个体都有性质F 和都有性质G．
4
2) 存在量词-- ∃
表示日常生活和数学中常用的“存在”，“有一个”，“有 的”，“至少有一个”等词统称为存在量词. 并用∃x，∃y等表示个体域里有的个体，而用∃xF(x)，∃yG(y) 等分别表示在个体域里存在个体具有性质F和存在个体具有性质 G等 4.一阶逻辑的符号化 要理解自然语言的真实含义，体会出整体和存在的意思 1）谓词的设定 2）量词的选定 例： 3）个体域的选取，在未特别说明情况下一般是指全总个体域 但对于描述的具体具体要选用适当的特性谓词来进行限定： 特性谓词：确定个体对象、性质的谓词（一般为一元谓词） F(x)：x是人 R(x)：x是实数 H(x)：x是猫 等
6) F(f(x,y),g(x,y)) 7) ∀x ( F(x,a0)→ F( f(x,y),g(x,y) ) )
1) (x - 1 ) < (x+1 ) 不是闭式 ，但在此解释下是命题 T
2) ∀x∀y( (x-y) < (x+y) )
F
3) ∀x ∃y ( (x-y) < (x+y) )
T
4)∀y( (y<0)→∀x(┑( (x-y) <(x+y) ) ) )
∀x ( M（x）→D（x）)
例：在美国留学的人未必都是亚洲人
3. 量词
1）全称量词 －∀ 表示日常生活和数学中常用的“一切的”，“所有的”，“每 一个”、 “任意的”，“凡”，“都”等词可统称为全称量 词 用∀xf(x)，∀yG(y)等分别表示个体域里所有个体都有性质F 和都有性质G．
4
2) 存在量词-- ∃
表示日常生活和数学中常用的“存在”，“有一个”，“有 的”，“至少有一个”等词统称为存在量词. 并用∃x，∃y等表示个体域里有的个体，而用∃xF(x)，∃yG(y) 等分别表示在个体域里存在个体具有性质F和存在个体具有性质 G等 4.一阶逻辑的符号化 要理解自然语言的真实含义，体会出整体和存在的意思 1）谓词的设定 2）量词的选定 例： 3）个体域的选取，在未特别说明情况下一般是指全总个体域 但对于描述的具体具体要选用适当的特性谓词来进行限定： 特性谓词：确定个体对象、性质的谓词（一般为一元谓词） F(x)：x是人 R(x)：x是实数 H(x)：x是猫 等
6) F(f(x,y),g(x,y)) 7) ∀x ( F(x,a0)→ F( f(x,y),g(x,y) ) )
1) (x - 1 ) < (x+1 ) 不是闭式 ，但在此解释下是命题 T
2) ∀x∀y( (x-y) < (x+y) )
F
3) ∀x ∃y ( (x-y) < (x+y) )
T
4)∀y( (y<0)→∀x(┑( (x-y) <(x+y) ) ) )
∀x ( M（x）→D（x）)
例：在美国留学的人未必都是亚洲人
4.1-一阶逻辑命题符号化newPPT课件
（1）所有的人都呼吸。 所有的个体都呼吸。 （2）有的人用左手写字。有的个体用左手写字。
所以个体域是全总个体域时，命题应转述为： （1）对于任意的个体，如果它是人，则它是要呼吸的。
（2）存在着个体，它是人并且用左手写字。
需要引进一种新的谓词（特性谓词）将人与其它事 物区分开来 令M（x）：x是人。
使用特性谓词M（x），所给命题就可以符号化为： （1）x（M（x）→F（x）） （2）x（M（x）∧ G（x））
命题可看成“存在在美国留学的学生不是亚洲 人”。
令F（x）：x是在美国留学的学生；
G（x）：x是亚洲人 命题符号化为：x（F（x）∧┐G（x）） 或者命题可看成“在美国留学的任意学生都是亚 洲人”的否定。 命题符号化为：┐x（F（x）→G（x））
2021
18
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19
例 使用多元谓词将下列命题符号化。 （1）兔子比乌龟跑得快。 （2）有的兔子比所有的乌龟跑得快。 （3）并不是所有的兔子都比乌龟跑的快。 （4）不存在跑的同样快的两只兔子。
解：本题未给出个体域，因而以全总个体域为个体域 令M（x）：x为人
（1）令F（x）：x长着黑头发
可将命题转述为：对所有个体而言，如果它是人， 那么它就长着黑头发。
命题符号化为：x（M（x）→F（x））
2021
16
（2）有的人登上过月球。 令G（x）：x登上过月球 可将命题转述为：存在着个体，它是人并且登上过
不带个体变项的谓词称为0元谓词。 例如：F（a），G（a，b），P（a1，a2，…，an） 都是0元谓词。
2021
8
例 将下面命题用0元谓词符号化。 （1）只有2是素数，4才是素数 （2）如果5大于4，则4大于6
命题的谓词符号化步骤： （a）找出谓词、个体词常项 （b）符号化谓词和个体词常项 （c）使用符号化了的谓词和个体词以及逻辑运算符
所以个体域是全总个体域时，命题应转述为： （1）对于任意的个体，如果它是人，则它是要呼吸的。
（2）存在着个体，它是人并且用左手写字。
需要引进一种新的谓词（特性谓词）将人与其它事 物区分开来 令M（x）：x是人。
使用特性谓词M（x），所给命题就可以符号化为： （1）x（M（x）→F（x）） （2）x（M（x）∧ G（x））
命题可看成“存在在美国留学的学生不是亚洲 人”。
令F（x）：x是在美国留学的学生；
G（x）：x是亚洲人 命题符号化为：x（F（x）∧┐G（x）） 或者命题可看成“在美国留学的任意学生都是亚 洲人”的否定。 命题符号化为：┐x（F（x）→G（x））
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例 使用多元谓词将下列命题符号化。 （1）兔子比乌龟跑得快。 （2）有的兔子比所有的乌龟跑得快。 （3）并不是所有的兔子都比乌龟跑的快。 （4）不存在跑的同样快的两只兔子。
解：本题未给出个体域，因而以全总个体域为个体域 令M（x）：x为人
（1）令F（x）：x长着黑头发
可将命题转述为：对所有个体而言，如果它是人， 那么它就长着黑头发。
命题符号化为：x（M（x）→F（x））
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（2）有的人登上过月球。 令G（x）：x登上过月球 可将命题转述为：存在着个体，它是人并且登上过
不带个体变项的谓词称为0元谓词。 例如：F（a），G（a，b），P（a1，a2，…，an） 都是0元谓词。
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8
例 将下面命题用0元谓词符号化。 （1）只有2是素数，4才是素数 （2）如果5大于4，则4大于6
命题的谓词符号化步骤： （a）找出谓词、个体词常项 （b）符号化谓词和个体词常项 （c）使用符号化了的谓词和个体词以及逻辑运算符
06 第四章 一阶逻辑基本概念
练习-将命题符号化 练习 将命题符号化: 将命题符号化
所有的人都要死， 所有的人都要死， 苏格拉底是人， 苏格拉底是人， 所以， 所以，苏格拉底是要死的
4.2 一阶逻辑公式及解释
定义（一阶语言） 一阶语言L 的字母表定义如下： (1)个体常项：a, b, c,L, ai , bi , ci ,L (2)个体变项：x, y, z,L, xi , yi , zi ,L （ ）函数符号：f , g, h,L, fi , gi , hi ,L, 3 （ ）谓词符号：F, G, H,L, Fi , Gi , Hi ,L 4 （ ）量词符号： ∀ ∃ 5 （ ）联结词符号：¬，，， ， 6 ∧ ∨ → ↔ （ ）逗号和括号：（）， 7
定义（ 定义（代换实例） 的命题公式， 设 A0是含命题变项p1 , p2 ,L, pn的命题公式， A , A2 ,L, An是n个谓词公式，用Ai 1 ≤ i ≤ n 个谓词公式， （ ） 1 处处代替A0中的pi , 所得的公式A称为A0的 代换实例
定理 重言式的代换实例都是永真式， 矛盾式的代换实例都是矛盾式
判断下列公式的类型： 例 判断下列公式的类型： (1) ∀xF( x) →∃xF( x) (2) ∀x∃yF( x, y) →∃x∀yF( x, y) (3) ∃x(F( x) ∧ G( x)) →∀yG( y)
作业： 作业： 2，5，10(1,3), 11(1, 3, 5) ， ，
定义（ 定义（指导变元） 中， 在公式 ∀xA 和 ∃xA 中，称x为指导变元，A为 的辖域中， 相应量词的辖域。在∀x和∃x的辖域中，x的 所有出现都称为约束出现，A 中不是约束出现 的其他变项均称为自由出现的 由出现的
指出下列公式的指导变元，各量词的辖域， 例 指出下列公式的指导变元，各量词的辖域， 自由出现以及约束出现的个体变项： 自由出现以及约束出现的个体变项： (1) ∀x(F( x, y) → G( x, z)) (2) ∀x(F( x) → G( y)) →∃y( H( x) ∧ L( x, y, z))
4.1 一阶逻辑的符号化PPT课件
(4.14) (4.15)
┐ x y(F(x)∧F(y)∧L(x,y))
(4.16)
注 1. 一般说来，多个量词出现时，它们的顺序不能随意调换. 意 2. 有些命题的符号化形式可不止一种.
由于引进了个体词，谓词和量词的概念，现 在可以将本章开始时讨论的推理在一阶逻辑中符号 化为如下形式:
x(F(x) →G(x)) ∧F(a)→G(a) (4.21) 其中，F(x): x 是偶数. G(x):x能被2整除. a: 6.
3）有时候将不带个体变项的谓词称为0元谓词， 例如, F(a), G(a,b), P( a1, a2, …, an )等都是0元谓词. 当F, G, P为谓词常项时，0元谓词为命题.
这样一来，命题逻辑中的命题均可以表示成0 元谓词，因而可以将命题看成特殊的谓词.
例4.1 将下列命题在一阶逻辑中用0元谓词符号 化，并讨论它们的真值:
所以 (4.10) 表示的命题为真.
(3) 令H(x):x登上过木星. 命题(3)符号化形式为
┐ x ( M(x)∧H(x) )
(4.11)
到目前为止，对于任何一个人 (含已经去世的人)
都还没有登上过木星，
所以对任何人a， M(a)∧H(a) 均为假，
因而 x ( M(x)∧H(x) )为假， 所以(4.11)表示的命题为真 .
G(b,a)→G(a,c) 由于G(b,a)为真，而G(a,c)为假，所以(2)中命题为假.
三、量词
有了个体词和谓词之后, 有些命题还是不能准确 的符号化，原因是还缺少表示个体常项或变项之 间数量关系的词. 称表示个体常项或变项之间数 量关系的词为量词. 量词可分两种:
全称量词 存在量词
1 全称量词
(1) 凡人都呼吸. (2) 有的人用左手写字. 其中: (a)个体域 D1为人类集合； (b)个体域 D2为全总个体域.
4-一阶逻辑-符号化-类型
6
量词
量词: 表示数量的词 全称量词: 表示任意的, 所有的, 一切的等 如 x 表示对个体域中所有的x 存在量词: 表示存在, 有的, 至少有一个等 如 x 表示在个体域中存在x
7
墨西哥位于南美洲
在命题逻辑中
设
p: 墨西哥位于南美洲 p
符号化为
在一阶逻辑中
设a：墨西哥，F(x)：x位于南美洲 符号化为F(a)
在一阶逻辑中
设
F(x,y)：x>y，G(x,y)：x<y, F(2,3) G(3,4)
符号化为
10
人都爱美
D为人类集合
设G(x): x
x爱美
G(x) x为人，G(x): x爱美
D为全总个体域
设F(x): x
(F(x)G(x))
11
有人用左手写字
D为人类集合
人”
16
一阶逻辑中的公式
17
个体、谓词、量词的符号化
个体表示
个体常项
a, b, c, …, ai, bi, ci, …, i 1
个体变项
x, y, z, …, xi, yi, zi, …, i 1
谓词表示：
F,
G, H, …, Fi, Gi, Hi, …, i 1
量词表示
13
有的无理数大于有的有理数
令F(x): G(y):
x是无理数
y是有理数,
L(x,y)：x>y
x ( F(x) y ( G(y) L(x,y) ) ) xy ( F(x) G(y) L(x,y) )
量词
量词: 表示数量的词 全称量词: 表示任意的, 所有的, 一切的等 如 x 表示对个体域中所有的x 存在量词: 表示存在, 有的, 至少有一个等 如 x 表示在个体域中存在x
7
墨西哥位于南美洲
在命题逻辑中
设
p: 墨西哥位于南美洲 p
符号化为
在一阶逻辑中
设a：墨西哥，F(x)：x位于南美洲 符号化为F(a)
在一阶逻辑中
设
F(x,y)：x>y，G(x,y)：x<y, F(2,3) G(3,4)
符号化为
10
人都爱美
D为人类集合
设G(x): x
x爱美
G(x) x为人，G(x): x爱美
D为全总个体域
设F(x): x
(F(x)G(x))
11
有人用左手写字
D为人类集合
人”
16
一阶逻辑中的公式
17
个体、谓词、量词的符号化
个体表示
个体常项
a, b, c, …, ai, bi, ci, …, i 1
个体变项
x, y, z, …, xi, yi, zi, …, i 1
谓词表示：
F,
G, H, …, Fi, Gi, Hi, …, i 1
量词表示
13
有的无理数大于有的有理数
令F(x): G(y):
x是无理数
y是有理数,
L(x,y)：x>y
x ( F(x) y ( G(y) L(x,y) ) ) xy ( F(x) G(y) L(x,y) )
离散数学一阶逻辑命题符号化ppt精选课件
(2)表示抽象或泛指的个体词称为个体变项, 一般用小写字母 x, y, z, … 表示.
个体变项的取值范围称为个体域 (或论域). 个体域可以是有 限集合, 如{1,2,3}或{a,b,c}, 也可以是无限集合, 如自然数集合 N或实数集合R. 由宇宙间一切事物组成的个体域称为全总个 体域.
谓词
5/26
b. x F(x)表示个体域中存在个体具有性质 F. 例: 凡偶数都能被2整除.
可符号化为: x(P(x)→S(x))是真命题, 其中x不再起变元的作用, 它 被全称量词 限制住了, 这时我们称 x 被量化了.
一阶逻辑中命题符号化
9/26
例 个体域为人类集合, 将下面两个命题符号化: (1) 凡是人都要呼吸; (2) 有的人用左手写字.
① 特性谓词: 从全总个体域中分离出一个集合, 定义的谓词. ② 在不同个体域中, 同一个命题的符号化形式可能不同.
一般地, 对全称量词, 特性谓词应作为蕴含式的前件. 一般地, 对存在量词, 特性谓词应作为合取式的一项. ③ 同一个命题, 在不同个体域中的真值也可能不同. 如果问题中没有指明个体域时, 默认为全总体域.
量词的引入
7/26
有了个体词和谓词的概念之后, 有些命题还是不能准确 地符号化. 以前面所讨论的三段论为例: 令 P(x): x是偶数. S(x) : x能被2整除. a: 6. 符号化为: (1) P(x)→S(x) (2)P(a) (3)S(a) 我们知道, “凡偶数都能被2整除.”是一个真命题, 而“P(x)→S(x)” 不是一个命题. 原因是“P(x)→S(x)”没 有把命题 中“凡”的意思表示出来. 即缺少表示个体常项或变项的数量关系的词. 所以还要 引入量词的概念.
例如: 逻辑学中著名的三段论:
个体变项的取值范围称为个体域 (或论域). 个体域可以是有 限集合, 如{1,2,3}或{a,b,c}, 也可以是无限集合, 如自然数集合 N或实数集合R. 由宇宙间一切事物组成的个体域称为全总个 体域.
谓词
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b. x F(x)表示个体域中存在个体具有性质 F. 例: 凡偶数都能被2整除.
可符号化为: x(P(x)→S(x))是真命题, 其中x不再起变元的作用, 它 被全称量词 限制住了, 这时我们称 x 被量化了.
一阶逻辑中命题符号化
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例 个体域为人类集合, 将下面两个命题符号化: (1) 凡是人都要呼吸; (2) 有的人用左手写字.
① 特性谓词: 从全总个体域中分离出一个集合, 定义的谓词. ② 在不同个体域中, 同一个命题的符号化形式可能不同.
一般地, 对全称量词, 特性谓词应作为蕴含式的前件. 一般地, 对存在量词, 特性谓词应作为合取式的一项. ③ 同一个命题, 在不同个体域中的真值也可能不同. 如果问题中没有指明个体域时, 默认为全总体域.
量词的引入
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有了个体词和谓词的概念之后, 有些命题还是不能准确 地符号化. 以前面所讨论的三段论为例: 令 P(x): x是偶数. S(x) : x能被2整除. a: 6. 符号化为: (1) P(x)→S(x) (2)P(a) (3)S(a) 我们知道, “凡偶数都能被2整除.”是一个真命题, 而“P(x)→S(x)” 不是一个命题. 原因是“P(x)→S(x)”没 有把命题 中“凡”的意思表示出来. 即缺少表示个体常项或变项的数量关系的词. 所以还要 引入量词的概念.
例如: 逻辑学中著名的三段论:
离散数学第四章
使用特性谓词M（x），所给命题就可以符号化为： （1）∀x（M（x）→F（x）） （2）∃x（M（x）∧ G（x））
13
例 在个体域限制为（a）和（b）条件时，将下列命题 符号化：
（1）对于任意的数x，均有x2-3x+2=(x-1)(x-2) （2）存在数x，使得x+5=3
其中：（a）个体域D1=N（自然数集合） （b）个体域D2=R（实数集合）
10
量词
量词是表示个体常项或变项之间数量关系的词。
量词分为两种： （1）全称量词：对应日常语言中的“一切”，“所有的”，
“任意的”，“每一个”等等，用符号“∀”表示。 用∀x表示对个体域里的所有个体，∀xF(x)表示个体
域里的所有个体都有性质F。 ∀x∀yG(x, y)表示个体域里的任意两个个体都有关系G。
不带个体变项的谓词称为0元谓词。 例如：F（a），G（a，b），P（a1，a2，…，an） 都是0元谓词。
8
例 将下面命题用0元谓词符号化。 （1）只有2是素数，4才是素数 （2）如果5大于4，则4大于6
命题的谓词符号化步骤： （a）找出谓词、个体词常项 （b）符号化谓词和个体词常项 （c）使用符号化了的谓词和个体词以及逻辑运算符
解：令 F(x) : x2-3x+2=(x-1)(x-2)；G(x) : x+5=3 在个体域限制为（a）和（b）条件时 命题（1）的符号化均为：∀xF（x） 命题（2）的符号化均为：∃xG（x） 个体域为（a）时，（1）为真命题，（2）为假命题 个体域为（b）时，（1）为真命题，（2）为真命题
14
第四章 一阶逻辑的基本概念
1
4.1 一阶逻辑命题符号化
在一阶逻辑中，个体词、谓词、量词是命 题符号化的三个基本要素。
13
例 在个体域限制为（a）和（b）条件时，将下列命题 符号化：
（1）对于任意的数x，均有x2-3x+2=(x-1)(x-2) （2）存在数x，使得x+5=3
其中：（a）个体域D1=N（自然数集合） （b）个体域D2=R（实数集合）
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量词
量词是表示个体常项或变项之间数量关系的词。
量词分为两种： （1）全称量词：对应日常语言中的“一切”，“所有的”，
“任意的”，“每一个”等等，用符号“∀”表示。 用∀x表示对个体域里的所有个体，∀xF(x)表示个体
域里的所有个体都有性质F。 ∀x∀yG(x, y)表示个体域里的任意两个个体都有关系G。
不带个体变项的谓词称为0元谓词。 例如：F（a），G（a，b），P（a1，a2，…，an） 都是0元谓词。
8
例 将下面命题用0元谓词符号化。 （1）只有2是素数，4才是素数 （2）如果5大于4，则4大于6
命题的谓词符号化步骤： （a）找出谓词、个体词常项 （b）符号化谓词和个体词常项 （c）使用符号化了的谓词和个体词以及逻辑运算符
解：令 F(x) : x2-3x+2=(x-1)(x-2)；G(x) : x+5=3 在个体域限制为（a）和（b）条件时 命题（1）的符号化均为：∀xF（x） 命题（2）的符号化均为：∃xG（x） 个体域为（a）时，（1）为真命题，（2）为假命题 个体域为（b）时，（1）为真命题，（2）为真命题
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第四章 一阶逻辑的基本概念
1
4.1 一阶逻辑命题符号化
在一阶逻辑中，个体词、谓词、量词是命 题符号化的三个基本要素。
第四章 一阶逻辑基本概念
4.2 一阶逻辑公式及解释
一阶语言——用于一阶逻辑公式的形式语言 用于一阶逻辑公式的形式语言 一阶语言 一、一阶语言F与合式公式 一阶语言 与合式公式 1．F的字母表，定义 一阶语言 的字母表定义如下： ． 的字母表 定义4.1 一阶语言F的字母表定义如下 的字母表， 的字母表定义如下： （1）个体常项：a, b, c, …, ai, bi, ci, …, i ≥1 ）个体常项： （2）个体变项：x, y, z, …, xi, yi, zi, …, i ≥1 ）个体变项： （3）函数符号：f, g, h, …, fi, gi, hi, …, i ≥1 ）函数符号： （4）谓词符号：F, G, H, …, Fi, Gi, Hi, …, i ≥1 ）谓词符号： （5）量词符号：∀, ∃ ）量词符号： （6）联结词符号：¬, ∧, ∨, →, ↔ ）联结词符号： （7）括号与逗号：(, ), ， ）括号与逗号：
2 是无理数仅当 3 是有理数
（3）如果 ）如果2>3，则3<4 ， 要求： 先将它们在命题逻辑中符号化， 要求 ： 先将它们在命题逻辑中符号化 ， 再在一 阶逻辑中符号化
在命题逻辑中： 解：在命题逻辑中： (1)p, p为墨西哥位于南美洲（真命题） 为墨西哥位于南美洲（真命题） 为墨西哥位于南美洲 (2)p→q, 其中，p： 2 是无理数，q： 3 是有理数 其中， ： 是无理数， ： 是有理数. (假命题 假命题) 假命题 (3)p→q, 其中，p：2>3，q：3<4. (真命题 → 其中， ： 真命题) ， ： 真命题 在一阶逻辑中： 在一阶逻辑中： (1)F(a)，其中，a：墨西哥，F(x)：x位于南美洲 位于南美洲. ，其中， ：墨西哥， ： 位于南美洲 (2) F( 2) →G( 3), 其中， 是无理数， 其中，F(x)：x是无理数，G(x)：x是有理数 ： 是无理数 ： 是有理数 (3)F(2,3)→G(3,4)， → ， 其中， 其中，F(x,y)：x>y，G(x,y)：x<y ： ， ：
一阶逻辑基本概念
将下列命题符号化，并讨论真值。 例4.4 将下列命题符号化，并讨论真值。 （1）所有的人都长着黑头发 ）所有的人都长着黑头发. （2）有的人登上过月球 ）有的人登上过月球. （3）没有人登上过木星 ）没有人登上过木星. （4）在美国留学的学生未必都是亚洲人 ）在美国留学的学生未必都是亚洲人. 解：由于本题没提出个体域，因而应采用全 由于本题没提出个体域， 总个体域，并令 为人。 总个体域，并令M(x): x为人。 为人
∀x ∀y (F(x) ∧ G(y) →H(x,y)) ∃x (F(x) ∧ ∀y( G(y) →H(x,y) ) ) ¬∀x ∀y( F(x) ∧ G(y) →H(x,y) ) ¬ ∃x ∃y( F(x) ∧ G(y) ∧ L(x,y) )
补充) 例(补充 在一阶逻辑中将下面命题符号化 补充 (1) 正数都大于负数 (2) 有的无理数大于有的有理数
下面讨论n（n≥2）元谓词的符号化 问题
将下列命题符号化： 例4.5 将下列命题符号化： （1）兔子比乌龟跑的快 ） 2） （2）有的兔子比所有的乌龟跑的快 （3）并不是所有的兔子都比乌龟跑的快 ） （4）不存在跑得同样快的两只兔子 ）
解：因为本题没有指明个体域，因而采用全总个体 因为本题没有指明个体域， 因为本例中出现二元谓词， 域，因为本例中出现二元谓词，因而引入两个个 体变项x与y。 体变项 与 。 是兔子， 令F(x)：x是兔子，G(y)：y是乌龟 ： 是兔子 ： 是乌龟 H(x,y)：x比y跑的快， L(x,y)：x与y跑得同样快 ： 比 跑的快 跑的快， ： 与 跑得同样快 这四个命题分别符号化为： 这四个命题分别符号化为：
例4.1 将下列命题在一阶逻辑中用0元谓词符 号化，并讨论它们的真值： （1）如果2是素数，4才是素数。 解：设一元谓词F(x)：x是素数。 a：2 b：4 则（1）中命题符号化为0元谓词的蕴涵 式： F(a) → F(b)。 由于此蕴涵式前件为假，所以命题为真.
离散数学(一阶逻辑的基本概念)
27
多个量词的使用
xyG(x,y)：对于每一个x，都存在一个y， 真命题 x与y能配成一对。
yxG(x,y)：存在一个y，对于每一个x，x 假命题 与y能配成一对。
28
小结
一元谓词用以描述某一个个体的某种特性， 而n元谓词则用以描述n个个体之间的关系； 如有多个量词，则读的顺序按从左到右的顺 序；另外，量词对变元的约束，往往与量词 的次序有关，不同的量词次序，可以产生不 同的真值，此时对多个量词同时出现时，不 能随意颠倒它们的顺序，颠倒后会改变原有 的含义。
20
实例
例 2 在一阶逻辑中将下面命题符号化 (1) 人都爱美 (2) 有人用左手写字 个体域分别为 (a) D为人类集合 (b) D为全总个体域 解：(a) D为人类集合 (1) xG(x), G(x)：x爱美 (2) xG(x), G(x)：x用左手写字
21
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 实例
(b) D为全总个体域 F(x)：x为人，G(x)：x爱美 (1) x(F(x)G(x)) (2) x(F(x)G(x)) 1. 引入特性谓词F(x) 2. (1),(2)是一阶逻辑中两个“基本”公式
29
小结
根据命题的实际意义，选用全称量词或存在 量词。全称量词加入时，其刻划个体域的特 性谓词将以蕴涵的前件加入，存在量词加入 时，其刻划个体域的特性谓词将以合取项加 入； 有些命题在进行符号化时，由于语言叙述不 同，可能翻译不同，但它们表示的意思是相 同的，即句子符号化形式可不止一种。
30
22
实例
例3 在一阶逻辑中将下面命题符号化 (1) 正数都大于负数 (2) 有的无理数大于有的有理数 解： 注意：题目中没给个体域，一律用全总个体域 (1) 令F(x)：x为正数，G(y)：y为负数, L(x,y)：x>y x(F(x)y(G(y)L(x,y))) 或者 xy(F(x)G(y)L(x,y))
多个量词的使用
xyG(x,y)：对于每一个x，都存在一个y， 真命题 x与y能配成一对。
yxG(x,y)：存在一个y，对于每一个x，x 假命题 与y能配成一对。
28
小结
一元谓词用以描述某一个个体的某种特性， 而n元谓词则用以描述n个个体之间的关系； 如有多个量词，则读的顺序按从左到右的顺 序；另外，量词对变元的约束，往往与量词 的次序有关，不同的量词次序，可以产生不 同的真值，此时对多个量词同时出现时，不 能随意颠倒它们的顺序，颠倒后会改变原有 的含义。
20
实例
例 2 在一阶逻辑中将下面命题符号化 (1) 人都爱美 (2) 有人用左手写字 个体域分别为 (a) D为人类集合 (b) D为全总个体域 解：(a) D为人类集合 (1) xG(x), G(x)：x爱美 (2) xG(x), G(x)：x用左手写字
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 实例
(b) D为全总个体域 F(x)：x为人，G(x)：x爱美 (1) x(F(x)G(x)) (2) x(F(x)G(x)) 1. 引入特性谓词F(x) 2. (1),(2)是一阶逻辑中两个“基本”公式
29
小结
根据命题的实际意义，选用全称量词或存在 量词。全称量词加入时，其刻划个体域的特 性谓词将以蕴涵的前件加入，存在量词加入 时，其刻划个体域的特性谓词将以合取项加 入； 有些命题在进行符号化时，由于语言叙述不 同，可能翻译不同，但它们表示的意思是相 同的，即句子符号化形式可不止一种。
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实例
例3 在一阶逻辑中将下面命题符号化 (1) 正数都大于负数 (2) 有的无理数大于有的有理数 解： 注意：题目中没给个体域，一律用全总个体域 (1) 令F(x)：x为正数，G(y)：y为负数, L(x,y)：x>y x(F(x)y(G(y)L(x,y))) 或者 xy(F(x)G(y)L(x,y))
离散数学第四章一阶逻辑基本概念
在命题逻辑中，命题是最基本的单位，对简单命题不再进行分解，并且不考虑命题之间的内在联系和数量关系。
因而命题逻辑具有局限性，甚至无法判断一些简单而常见的推理。
考虑下面的推理:凡偶数都能被2整除；6是偶数。
所以，6能被2整除。
这个推理是我们公认的数学推理中的真命题，但是在命题逻辑中却无法判断它的正确性。
因为在命题逻辑中只能将推理中出现的三个简单命题依次符号化为p，q，r，将推理的形式结构符号化为(p∧q)→r由于上式不是重言式，所以不能由它判断推理的正确性。
为了克服命题逻辑的局限性，就应该将简单命题再细分，分析出个体词，谓词和量词，以期达到表达出个体与总体的内在联系和数量关系，这就是一阶逻辑所研究的内容。
一阶逻辑也称一阶谓词逻辑或谓词逻辑。
4.1 一阶逻辑的符号化下面直接仿照1.1来对谓词逻辑进行符号化。
个体词，谓词和量词是一阶逻辑命题符号化的三个基本要素。
下面讨论这三个要素。
一、个体词个体词是指所研究对象中可以独立存在的具体的或抽象的客体。
例如，小王，小李，中国，，3等都可以作为个体词。
将表示具体或特定的客体的个体词称作个体常项，一般用小写英文字母a，b，c…表示；而将表示抽象或泛指的个体词称为个体变项，常用x，y，z…表示。
称个体变项的取值范围为个体域(或称论域)。
个体域可以是有穷集合，例如，{1，2，3}，{a，b，c，d}，{a，b，c，…，x，y，z}，…；也可以是无穷集合，例如，自然数集合N={0，1，2，…}，实数集合R={x|x是实数}…。
有一个特殊的个体域，它是由宇宙间一切事物组成的，称它为全总个体域。
本书在论述或推理中如没有指明所采用的个体域，都是使用全总个体域。
二、谓词谓词是用来刻画个体词性质及个体词之间相互关系的词。
考虑下面四个命题(或命题公式):(1)是无理数。
(2)x是有理数。
(3)小王与小李同岁。
(4)x与y具有关系L.在(1)中，是个体常项，“…是无理数”是谓词，记为F，并用F()表示(1)中命题。
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（4）不存在跑的同样快的两只兔子。 命题可看成“存在跑的同样快的两只兔子”的否定 命题可以符号化为： ┐xy（F（x）∧F（y）∧L（x，y）） 命题也可看成“任意的两只兔子跑的不一样快” 命题也可以符号化为： xy（F（x）∧F（y）→ ┐L（x，y））
23
使用多元谓词符号化命题时的注意点： （1）使用n元谓词符号化命题需要n个量词。 （2）有些命题的倒后会改变命题的含义。 例 如 ： 考 虑 个 体 域 为 实 数 集 ， H（x，y） 表 示 “x+y=10”。 则命题“对于任意的x，都存在y，使得x+y=10”的符 号化为： x y H（x，y），命题为真命题。 颠倒顺序后，得 y x H（x，y），这表示“存在 y，对任意的x有x+y=10”，显然是假命题。
17
（4）在美国留学的学生未必都是亚洲人。 命 题 可 看 成 “存在在美国留学的学生不是亚洲 人”。 令F（x）：x是在美国留学的学生； G（x）：x是亚洲人 命题符号化为：x（F（x）∧┐G（x）） 或者命题可看成“在美国留学的任意学生都是亚 洲人”的否定。 命题符号化为：┐x（F（x）→G（x））
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思考：符号化命题：张三的父亲是校长。 解一：令F(x)：x是校长，a：张三的父亲 命题符号化为F(a) 解二：令F(x)：x的父亲是校长，a：张三 命题符号化为F(a) 解三：令F(x)：x是校长，G(x, y)：x是y的父亲 M(x)：x是人，a：张三 命题符号化为x(M(x)∧G(x, a)∧F(x)) 解四：设F(x): x是校长，f(x): x的父亲，a：张三 命题符号化为：F(f(a))) 谓词是一个完整的句子；函数则是一个短语
15
例 将下列命题符号化。 （1）所有的人都长着黑头发。 （2）有的人登上过月球。 （3）没有人登上木星。 （4）在美国留学的学生未必都是亚洲人。
解：本题未给出个体域，因而以全总个体域为个体域 令M（x）：x为人 （1）令F（x）：x长着黑头发 可将命题转述为：对所有个体而言，如果它是人， 那么它就长着黑头发。 命题符号化为：x（M（x）→F（x））
（2）命题符号化为：xG（x）
12
（b）现在假设个体域D2是全总个体域 这时， x F（x）和 x G（x）不能表示原命题的 意义了，因为 （1）所有的人都呼吸。 所有的个体都呼吸。 （2）有的人用左手写字。有的个体用左手写字。
所以个体域是全总个体域时，命题应转述为： （1）对于任意的个体，如果它是人，则它是要呼吸的。 （2）存在着个体，它是人并且用左手写字。
16
（2）有的人登上过月球。 令G（x）：x登上过月球 可将命题转述为：存在着个体，它是人并且登上过 月球。 命题符号化为：x（M（x）∧G（x）） （3）没有人登上木星。 令H（x）：x登上过木星 命题可看成：“有人登上木星”的否定。 命题符号化为：┐x（M（x）∧H（x）） 命题也可看成：所有人都没登上木星 命题符号化为： x（M（x）→┐H（x））
8
例 将下面命题用0元谓词符号化。 （1）只有2是素数，4才是素数 （2）如果5大于4，则4大于6 命题的谓词符号化步骤： （a）找出谓词、个体词常项 （b）符号化谓词和个体词常项 （c）使用符号化了的谓词和个体词以及逻辑运算符 对命题符号化 解：（1）令F（x）：x是素数，a：2，b：4 则命题符号化为：F（b）→F（a） （2）令G（x，y）：x大于y。a：4，b：5，c：6 则命题符号化为：G（b，a）→G（a，c）
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例 使用多元谓词将下列命题符号化。 （1）兔子比乌龟跑得快。 （2）有的兔子比所有的乌龟跑得快。 （3）并不是所有的兔子都比乌龟跑的快。 （4）不存在跑的同样快的两只兔子。 解：本题未给出个体域，因而以全总个体域为个体域 令F（x）：x是兔子； G（y）：y是乌龟； H（x，y）：x比y跑的快； L（x，y）：x和y跑得同样快 （1）兔子比乌龟跑得快。 可将命题转述为： 对于任意的一个个体 x，如果x 是兔子， 那么对于任意的个体y，如果y是乌龟，那么x比y跑得快。 命题可以符号化为： x（F（x）∧y（G（y）→H（x，y）））
第四章 一阶逻辑的基本概念
1
4.1 一阶逻辑命题符号化
在一阶逻辑中，个体词、谓词、量词是命 题符号化的三个基本要素。
2
个体词
个体词是独立存在的客体，可以是一个具体的 事物，也可以是一个抽象的概念 例如：小王、玫瑰花、黑板、自然数、 3 、思 想、定理等都可以作为个体词。 个体常项：表示具体的或特定的个体的词 用小写的英文字母a，b，c…表示 个体变项：表示抽象的或泛指的个体的词 用小写的英文字母x，y，z…表示
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例 在个体分别限制为（a）和（b）条件时，将下面 两个命题符号化： 个体词“人”需不 （1）所有的人都呼吸。 需要进行符号化？ （2）有的人用左手写字。 其中：（a）个体域D1为人类集合 （b）个体域D2为全总个体域 解： （a）个体域为人类集合 令F（x）：x呼吸；G（x）：x用左手写字
（1）命题符号化为：xF（x）
6
谓词应符号化成个体词和谓词的联合体的形式 如F（a）、F（x）、F（a，b）、F（x，y）等
F（a）表示个体常项a具有性质F； F（x）表示个体变项x具有性质F； F（a，b）表示个体常项a，b具有关系F； F（x，y）表示个体变项x，y具有关系F。
例：（1）π是无理数。（2）小王与小李同岁。 令F（x）：x是无理数 H（x，y）：x与y同岁
9
有些命题除了个体词和谓词之外，还有表示数 量的词。 例如：（1）所有的人都呼吸。 （2）有的人用左手写字。
10
量词
量词是表示个体常项或变项之间数量关系的词。
量词分为两种： （1）全称量词：对应日常语言中的“一切”，“所有 的”， “任意的”，“每一个”等等，用符号“”表示。 用x表示对个体域里的所有个体，xF(x)表示个体 域里的所有个体都有性质F。 xyG(x, y)表示个体域里的任意两个个体都有关系G。 （2）存在量词：对应日常语言中的“存在”，“有一 个”，“有的”，“至少有一个”等词，用符号“”表示。 用x表示个体域里有的个体，xF(x)表示个体域里存 在个体具有性质F。 xyG(x, y)表示个体域里存在两个个体具有关系G。
需要引进一种新的谓词（特性谓词）将人与其它事 物区分开来 令M（x）：x是人。 使用特性谓词M（x），所给命题就可以符号化为： （1）x（M（x）→F（x）） （2）x（M（x）∧ G（x））
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例 在个体域限制为（a）和（b）条件时，将下列命题 符号化： （1）对于任意的数x，均有x2-3x+2=(x-1)(x-2) （2）存在数x，使得x+5=3 其中：（a）个体域D1=N（自然数集合） （b）个体域D2=R（实数集合） 解：令 F(x) : x2-3x+2=(x-1)(x-2)；G(x) : x+5=3 在个体域限制为（a）和（b）条件时 命题（1）的符号化均为：xF（x）
7
谓词的元
一个谓词中所包含的个体变项的数目称为该谓词 的元数。含有n（n≥1）个体变项的谓词称为n元谓词。 常用P(x1，x2，…，xn)表示n元谓词。 一元谓词通常表示个体变项具有性质P； n（n≥2）元谓词通常表示个体变项之间具有关系P。 不带个体变项的谓词称为0元谓词。 例如：F（a），G（a，b），P（a1，a2，…，an） 都是0元谓词。
3
个体词
个体域（也称论域）：个体变项的取值范围 个体域可以是有限事物的集合， 如{1,2,3}、{a,b,c}、{中华人民共和国所有公 民} 等 也可以是无限事物的集合，如整数集合、实数 集合等。 特别的，当无特殊声明时，将宇宙间的一切事 物的集合作为个体域，称为全总个体域。
4
谓词
谓词是用来刻画个体词的性质或个体词之间关 系的词语。 例如：指出下面四个陈述中的个体词和谓词
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19
例 使用多元谓词将下列命题符号化。 （1）兔子比乌龟跑得快。 （2）有的兔子比所有的乌龟跑得快。 （3）并不是所有的兔子都比乌龟跑的快。 （4）不存在跑的同样快的两只兔子。 解：本题未给出个体域，因而以全总个体域为个体域 令F（x）：x是兔子； G（y）：y是乌龟； H（x，y）：x比y跑的快； L（x，y）：x和y跑得同样快 （1）兔子比乌龟跑得快。 可将命题转述为： 对于任意的两个个体 x 和 y，如果 x 是兔子，并且y是乌龟，那么x比y跑得快。 命题可以符号化为： xy（F（x）∧G（y）→H（x，y））
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例：符号化下列命题。 （1）所有实数的平方是非负的。 （2）对于任意的实数x与y，总存在实数z，使得x+y=z。 解： （1）设F(x): x是实数，f(x): x的平方，G(x): x非负 命题符号化为： x(F(x) →G(f(x))) （2）设F(x): x是实数， G(x,y,z): x+y=z 命题符号化为：xy(F(x)∧F(y)→z(F(z)∧G(x,y,z))) 或设F(x): x是实数， f(x,y): x+y，H(x,y): x=y 命题符号化为：xy(F(x)∧F(y)→z(F(z)∧H(f(x,y),z)))
26
命题（2）的符号化均为：xG（x）
个体域为（a）时，（1）为真命题，（2）为假命题 个体域为（b）时，（1）为真命题，（2）为真命题
14
使用量词时的注意点 （1）在不同的个体域中，命题符号化的形式可能一 样，也可能不一样 （2）在引入特性谓词后，使用全称量词与存在量词 符号化的形式是不同的 （3）同一个命题，在不同的个体域中的真值可能不 一样 （4）如果事先没有给出个体域，都应以全总个体域 为个体域
用大写英文字母F，G，H，…表示
例如：“…是无理数”，“…是程序员”，“… 与…同 岁”是谓词常项，可以用F表示“…是无理数”， G表 （2）谓词变项：表示抽象的或泛指的谓词 示“…是程序员”，H表示“…与…同岁”
（4）不存在跑的同样快的两只兔子。 命题可看成“存在跑的同样快的两只兔子”的否定 命题可以符号化为： ┐xy（F（x）∧F（y）∧L（x，y）） 命题也可看成“任意的两只兔子跑的不一样快” 命题也可以符号化为： xy（F（x）∧F（y）→ ┐L（x，y））
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使用多元谓词符号化命题时的注意点： （1）使用n元谓词符号化命题需要n个量词。 （2）有些命题的倒后会改变命题的含义。 例 如 ： 考 虑 个 体 域 为 实 数 集 ， H（x，y） 表 示 “x+y=10”。 则命题“对于任意的x，都存在y，使得x+y=10”的符 号化为： x y H（x，y），命题为真命题。 颠倒顺序后，得 y x H（x，y），这表示“存在 y，对任意的x有x+y=10”，显然是假命题。
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（4）在美国留学的学生未必都是亚洲人。 命 题 可 看 成 “存在在美国留学的学生不是亚洲 人”。 令F（x）：x是在美国留学的学生； G（x）：x是亚洲人 命题符号化为：x（F（x）∧┐G（x）） 或者命题可看成“在美国留学的任意学生都是亚 洲人”的否定。 命题符号化为：┐x（F（x）→G（x））
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思考：符号化命题：张三的父亲是校长。 解一：令F(x)：x是校长，a：张三的父亲 命题符号化为F(a) 解二：令F(x)：x的父亲是校长，a：张三 命题符号化为F(a) 解三：令F(x)：x是校长，G(x, y)：x是y的父亲 M(x)：x是人，a：张三 命题符号化为x(M(x)∧G(x, a)∧F(x)) 解四：设F(x): x是校长，f(x): x的父亲，a：张三 命题符号化为：F(f(a))) 谓词是一个完整的句子；函数则是一个短语
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例 将下列命题符号化。 （1）所有的人都长着黑头发。 （2）有的人登上过月球。 （3）没有人登上木星。 （4）在美国留学的学生未必都是亚洲人。
解：本题未给出个体域，因而以全总个体域为个体域 令M（x）：x为人 （1）令F（x）：x长着黑头发 可将命题转述为：对所有个体而言，如果它是人， 那么它就长着黑头发。 命题符号化为：x（M（x）→F（x））
（2）命题符号化为：xG（x）
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（b）现在假设个体域D2是全总个体域 这时， x F（x）和 x G（x）不能表示原命题的 意义了，因为 （1）所有的人都呼吸。 所有的个体都呼吸。 （2）有的人用左手写字。有的个体用左手写字。
所以个体域是全总个体域时，命题应转述为： （1）对于任意的个体，如果它是人，则它是要呼吸的。 （2）存在着个体，它是人并且用左手写字。
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（2）有的人登上过月球。 令G（x）：x登上过月球 可将命题转述为：存在着个体，它是人并且登上过 月球。 命题符号化为：x（M（x）∧G（x）） （3）没有人登上木星。 令H（x）：x登上过木星 命题可看成：“有人登上木星”的否定。 命题符号化为：┐x（M（x）∧H（x）） 命题也可看成：所有人都没登上木星 命题符号化为： x（M（x）→┐H（x））
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例 将下面命题用0元谓词符号化。 （1）只有2是素数，4才是素数 （2）如果5大于4，则4大于6 命题的谓词符号化步骤： （a）找出谓词、个体词常项 （b）符号化谓词和个体词常项 （c）使用符号化了的谓词和个体词以及逻辑运算符 对命题符号化 解：（1）令F（x）：x是素数，a：2，b：4 则命题符号化为：F（b）→F（a） （2）令G（x，y）：x大于y。a：4，b：5，c：6 则命题符号化为：G（b，a）→G（a，c）
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例 使用多元谓词将下列命题符号化。 （1）兔子比乌龟跑得快。 （2）有的兔子比所有的乌龟跑得快。 （3）并不是所有的兔子都比乌龟跑的快。 （4）不存在跑的同样快的两只兔子。 解：本题未给出个体域，因而以全总个体域为个体域 令F（x）：x是兔子； G（y）：y是乌龟； H（x，y）：x比y跑的快； L（x，y）：x和y跑得同样快 （1）兔子比乌龟跑得快。 可将命题转述为： 对于任意的一个个体 x，如果x 是兔子， 那么对于任意的个体y，如果y是乌龟，那么x比y跑得快。 命题可以符号化为： x（F（x）∧y（G（y）→H（x，y）））
第四章 一阶逻辑的基本概念
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4.1 一阶逻辑命题符号化
在一阶逻辑中，个体词、谓词、量词是命 题符号化的三个基本要素。
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个体词
个体词是独立存在的客体，可以是一个具体的 事物，也可以是一个抽象的概念 例如：小王、玫瑰花、黑板、自然数、 3 、思 想、定理等都可以作为个体词。 个体常项：表示具体的或特定的个体的词 用小写的英文字母a，b，c…表示 个体变项：表示抽象的或泛指的个体的词 用小写的英文字母x，y，z…表示
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例 在个体分别限制为（a）和（b）条件时，将下面 两个命题符号化： 个体词“人”需不 （1）所有的人都呼吸。 需要进行符号化？ （2）有的人用左手写字。 其中：（a）个体域D1为人类集合 （b）个体域D2为全总个体域 解： （a）个体域为人类集合 令F（x）：x呼吸；G（x）：x用左手写字
（1）命题符号化为：xF（x）
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谓词应符号化成个体词和谓词的联合体的形式 如F（a）、F（x）、F（a，b）、F（x，y）等
F（a）表示个体常项a具有性质F； F（x）表示个体变项x具有性质F； F（a，b）表示个体常项a，b具有关系F； F（x，y）表示个体变项x，y具有关系F。
例：（1）π是无理数。（2）小王与小李同岁。 令F（x）：x是无理数 H（x，y）：x与y同岁
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有些命题除了个体词和谓词之外，还有表示数 量的词。 例如：（1）所有的人都呼吸。 （2）有的人用左手写字。
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量词
量词是表示个体常项或变项之间数量关系的词。
量词分为两种： （1）全称量词：对应日常语言中的“一切”，“所有 的”， “任意的”，“每一个”等等，用符号“”表示。 用x表示对个体域里的所有个体，xF(x)表示个体 域里的所有个体都有性质F。 xyG(x, y)表示个体域里的任意两个个体都有关系G。 （2）存在量词：对应日常语言中的“存在”，“有一 个”，“有的”，“至少有一个”等词，用符号“”表示。 用x表示个体域里有的个体，xF(x)表示个体域里存 在个体具有性质F。 xyG(x, y)表示个体域里存在两个个体具有关系G。
需要引进一种新的谓词（特性谓词）将人与其它事 物区分开来 令M（x）：x是人。 使用特性谓词M（x），所给命题就可以符号化为： （1）x（M（x）→F（x）） （2）x（M（x）∧ G（x））
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例 在个体域限制为（a）和（b）条件时，将下列命题 符号化： （1）对于任意的数x，均有x2-3x+2=(x-1)(x-2) （2）存在数x，使得x+5=3 其中：（a）个体域D1=N（自然数集合） （b）个体域D2=R（实数集合） 解：令 F(x) : x2-3x+2=(x-1)(x-2)；G(x) : x+5=3 在个体域限制为（a）和（b）条件时 命题（1）的符号化均为：xF（x）
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谓词的元
一个谓词中所包含的个体变项的数目称为该谓词 的元数。含有n（n≥1）个体变项的谓词称为n元谓词。 常用P(x1，x2，…，xn)表示n元谓词。 一元谓词通常表示个体变项具有性质P； n（n≥2）元谓词通常表示个体变项之间具有关系P。 不带个体变项的谓词称为0元谓词。 例如：F（a），G（a，b），P（a1，a2，…，an） 都是0元谓词。
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个体词
个体域（也称论域）：个体变项的取值范围 个体域可以是有限事物的集合， 如{1,2,3}、{a,b,c}、{中华人民共和国所有公 民} 等 也可以是无限事物的集合，如整数集合、实数 集合等。 特别的，当无特殊声明时，将宇宙间的一切事 物的集合作为个体域，称为全总个体域。
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谓词
谓词是用来刻画个体词的性质或个体词之间关 系的词语。 例如：指出下面四个陈述中的个体词和谓词
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例 使用多元谓词将下列命题符号化。 （1）兔子比乌龟跑得快。 （2）有的兔子比所有的乌龟跑得快。 （3）并不是所有的兔子都比乌龟跑的快。 （4）不存在跑的同样快的两只兔子。 解：本题未给出个体域，因而以全总个体域为个体域 令F（x）：x是兔子； G（y）：y是乌龟； H（x，y）：x比y跑的快； L（x，y）：x和y跑得同样快 （1）兔子比乌龟跑得快。 可将命题转述为： 对于任意的两个个体 x 和 y，如果 x 是兔子，并且y是乌龟，那么x比y跑得快。 命题可以符号化为： xy（F（x）∧G（y）→H（x，y））
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例：符号化下列命题。 （1）所有实数的平方是非负的。 （2）对于任意的实数x与y，总存在实数z，使得x+y=z。 解： （1）设F(x): x是实数，f(x): x的平方，G(x): x非负 命题符号化为： x(F(x) →G(f(x))) （2）设F(x): x是实数， G(x,y,z): x+y=z 命题符号化为：xy(F(x)∧F(y)→z(F(z)∧G(x,y,z))) 或设F(x): x是实数， f(x,y): x+y，H(x,y): x=y 命题符号化为：xy(F(x)∧F(y)→z(F(z)∧H(f(x,y),z)))
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命题（2）的符号化均为：xG（x）
个体域为（a）时，（1）为真命题，（2）为假命题 个体域为（b）时，（1）为真命题，（2）为真命题
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使用量词时的注意点 （1）在不同的个体域中，命题符号化的形式可能一 样，也可能不一样 （2）在引入特性谓词后，使用全称量词与存在量词 符号化的形式是不同的 （3）同一个命题，在不同的个体域中的真值可能不 一样 （4）如果事先没有给出个体域，都应以全总个体域 为个体域
用大写英文字母F，G，H，…表示
例如：“…是无理数”，“…是程序员”，“… 与…同 岁”是谓词常项，可以用F表示“…是无理数”， G表 （2）谓词变项：表示抽象的或泛指的谓词 示“…是程序员”，H表示“…与…同岁”