导体中的平面电磁波

2
比较 k = ω µ ε ′ 和 k = β + iα 有
（3.20）
k (0)
比较等式两边
θ
x
又 k (0) 在zx平面内，那么有 那么
βx = kx ,
αx = 0,
ω
c
( ky0) = ky = βy + iαy = 0
→ α y = β y = 0,
（3.21） （3.22）
β = βxex + βyez + βzez = sin θ ex + βzez ,
α = αxex +αyey +αzez = αzez .
显然，复波矢的实部和虚部一般不同向。
这时导体中的平面电磁波的振幅函数为 E e−α⋅x = E e−αz z , 0 0 可见，波的透射深度δ为 导体中电磁波的相速度是
δ=
1
αz
=
1
α
.
（3.23）
ω ω ω = v= = 2 2 β ω2 2 βx + βz
α = β ≈ω
其透入深度为
εµ
2
σ ωµσ = εω 2
2
（3.30） （3.31）
δ=
ωµσ
.
上式说明一个重要的事实： 上式说明一个重要的事实： （1）在高频的情况下，电磁场及其在导体内激发的高频电流只 1 在高频的情况下， 能集中在导体表面的一个薄层内，这种现象称为趋肤效应。 能集中在导体表面的一个薄层内，这种现象称为趋肤效应。 （2）在直流和低频时作为良导体的物质，在极高频的电磁场 2 在直流和低频时作为良导体的物质， 它就有可能不是良导体了。 中，它就有可能不是良导体了 σ −2 22H ）来说， 如铜，对于短X射线（ 如铜，对于短X射线（υ=10 z 来说， ~ 10 〈〈 1, 在这种情况
ωε
ω
也是良导体中单色电磁波磁场能量与电场能量之比。 1 导体中电磁波的磁场表示可由 H = k × E 给出。即
H= 1
ωµ
( β + iα ) n × E ,
ωµ
(3.32)
ωµσ
2 ,
n 指向导体内部，对良导体且波垂直入射，这时α = β =
（3.32）式变为
σ σ iπ H= (1+ i) n × E= e 4 n × E, ωµ ωµ
反射系数
E′
2
(1−
2ωε0
R=1-0.016，与（3.37）的计算结果相符。对于波长较长的电磁波， 这意味着绝大部份的能量被反射。 因此在微波 反射系数更接近于1， 或无线电波情形下，往往把金属看为反射系数接近1的导体，导体 面是约束电磁波的理想界面。
例1
证明在良导体内，在非垂直入射情形下有
αz ≈ βz ≈
ωµσ
2
,
βx 〈〈 βz .
解：设空间入射波矢 k (0) 并位于xoz平面内， 导体中的复波矢为 k 由波矢的边值关系有 α = 0, β = k (0) , α = β = 0 ** y y x x x 因为导体内复波数的平方为
σ ∇⋅ J = ρ . ε
（3.3）
（3.4） （3.5）
t
∂ρ σ = − ρ. 和（3.3）比较： ∂t ε
（3.5）式的解是
（3.6） ρ0是t=0时的电荷密度。 显然ρ随t 减少，衰减的特征时间是τ，它
ρ(t) = ρ0 e
−σ
ε
,
为：
石墨 τ= 3.69×10 -10秒 铜 τ =1.55×10-19 秒 这说明，良导体内部不能堆积电荷，电荷只能分布在良导体的表 面上，本节着重讨论良导体， 二、导体内的电磁波（时谐）因为导体内部ρ(t)=0，J = σ E , 所以对应 的麦克斯韦方程组为 （3.8） ∇⋅ D = 0, ∇⋅ B = 0. 对一定频率的电磁波E，D，H，B仍然满足 D = ε E, B = µ H , 则有 B
。 其中使用了 （其中使用了
k
(0)
=
ω
c
）
（3.26）
讨论：电磁波正入射时θ=0，此时 α , β 均沿z方向，略去 αz , βz 的脚标，由（3.26）式可得到
σ 2 12 [1+ 1+ ( ) ] , β =ω 2 ωε
µε
（3.27） （3.28）
由δ =
1
σ 2 12 α =ω [−1+ 1+ ( ) ] . 2 ωε
一定频率下的平面电磁波解 和本章第一小节作类比，导体内 电场应满足亥姆霍兹方程
∇2E + k 2E = 0,
其中
（3.12） （3.13）
k = ω µ ε′ .
（3.12）的电磁波解必须满足的条件： ∇⋅ E = 0 和本章第一小节作类比，（3.12）的平面波解是
E(x, t) = E0ei(k⋅x−ωt ) → E(x) = E0eik⋅x .
∂B ∇× E = − , ∂t ∂D ∇× H = + J; ∂t
ε τ= . σ
（3.7）
是ρ(t)减少到ρ0(0)的1/e所 经历的时间。
∇× E = iωµH, ∇⋅ E = 0;
∇⋅ H = 0. （3.9） 和P124（4-1-16）作比较，上面的第二式多了一项σE，该项由传 E
导电流引起。如果引入“复电容率” σ ′ = ε +i , ε
c
2
.
2 z
sin θ + β
（3.24）
把
βx = kx ,
2 2
αy = βy = 0, αz ≠ 0, βz ≠ 0, αx = 0代入
2
联立上面两式可得
2 z
1 β −α = ω ε µ , α ⋅ β = ωµσ 有 2 2 1 ω 2 2 2 2 ( 2 sin θ + βz ) −αz = ω ε µ, βz αz = ωε µ . c 2
ωε
下铜就不再是良导体了， 射线在铜扳上不仅不存在趋肤效应， 下铜就不再是良导体了， X射线在铜扳上不仅不存在趋肤效应，而 不能穿透铜扳。 且不能穿透铜扳。 σ σ 不难发现： 的虚部与实部之比； 不难发现： 正好是复电容率ε ′ = ε + i 的虚部与实部之比 也正好是导体中传导电流与位移电流两者数值大小之比； 也正好是导体中传导电流与位移电流两者数值大小之比 附： J = σ E , Jd = ∂D = −iωε E ∂t
E + E′ = E′′ , H − H′ = H′′. (3.35) 其中 E , E ′, E ′′分别代表入射、反射、折射波的 场强。 在良导体的情形下，由
H= 1
ωµ
(β + iα) n × E 和
E B
=
1
µ0ε0
= c,
可把(3.35)中的第二式
用E表示。（设µ0= µ）
E − E′ =
( kx0) = kx = βx + iαx .
σ k = β −α + 2iα ⋅ β = ω µ(ε + i ) , （3.19） ω σ 其中利用了 ε ′ = ε + i , 比较（3.19）两边的实部和虚部有 ω 1 2 2 2 （3.19） β −α = ω ε µ , α ⋅ β = ωµσ. 2
第三节
平面电磁波在导体中的传播及其 在导体表面的反射和折射
导体和绝缘体的差别是导体内有自由电子，当电磁波进入导体 后必将引起传导电流，电场对传导电流做功使得电磁波的能量转化 为焦耳热。 可以预料，在导体中传播的电磁波是个衰减波。 本节要点：1.导体中平面电磁波的数学表示； 2.导体中平面电磁波的传播特征； 3.衡量导体是否为良导体的判据； 4.绝缘介质和导体分界面上的菲涅耳公式。 一、导体内的自由电荷分布 静电场中的导体其自由电荷分布在导体的外表面上，处在速 变场中的导体是否有保留这一特性？ 设导体内某一区域内有自由电荷分布，其密度为ρ，区域内的 电场为E，则 （3.1） ε∇⋅ E = ρ 导体内在 E 作用下引起的传导电流密度J 由欧姆定律决定，即
1 2 1 ω2 2 ω2 2 2 2 β = (ω ε µ − 2 sin θ) + (ω ε µ − 2 sin θ) +ω2σ 2 µ2 . 2 c 2 c （3.25） 其中考虑了β 是实矢量。 其中考虑了 是实矢量。 同理可得到
1 2 1 ω2 2 ω2 2 2 2 αz = − (ω ε µ − 2 sin θ) + (ω2ε µ − 2 sin θ) +ω2σ 2µ2 . 2 c 2 c
α (1+ i)E′′ 2ωε0
E − E′ =
α E 立 解 (1+ i)E′′ 和 + E′ = E′′联 可 出 2ωε0
E′ =− E
σ . 2ωε0 1+ i + σ
)2 +1
1+ i −
2ωε0
(3.36)
2ωε0 σ ≈1− 2 R= 2 = (3.37) σ 2ωε0 2 E (1+ ) +1 σ 由上式可见，σ增大，R也增大且向1接近。上式的结果和实验事实 相符。 如铜，当λ=1.2×10-5m 的红外线垂直入射时，测得反射系数为
µε
σ 常数有关。 的大小来判断该导体是不是良导体。 常数有关。一般用比值 的大小来判断该导体是不是良导体。 ωε σ 〈〈 1，利用 1 + x ≈ 1 + 1 x （x为小量 对于不良导体 不良导体比值 为小量） 对于不良导体比值 ωε 2
（3.28）式可简化为
α
和（3.28）可见 透射深度和波的频率及物质的电磁 ）可见， 透射深度和波的频率及物质的电磁
xn是位置矢量x在β方向上的分量,对相位函数的时间求导可得