(完整版)图形的翻折和对称
第六讲·直线与曲线的平移,翻折(对称),旋转
第六讲·直线与曲线的平移，翻折（对称），旋转平移：规律：上加下减，左加右减。
翻折：本质是轴对称。
解决方法：垂直平分。
垂直，121-=k k ，平分，中点公式⎪⎭⎫⎝⎛++2,22121y y x x对称：轴对称和点对称轴对称：设A ()11,y x 关于直线l:b kx y +=对称点为B ()22,y x 这AB 两点和直线的处理方式为垂直平分。
点对称：设A ()11,y x 关于点P ()00,y x 对称点为B ()22,y x 这AB 两点和P 点的处理方式为中点公式。
旋转：中考一般只会考90°或者180°旋转。
处理方式一般为旋转坐标轴，改变坐标。
例1、例2、在平面直角坐标系x O y 中，抛物线222--=mx mx y （0≠m ）与y 轴交于点A ，其对称轴与x 轴交于点B 。
（1）求点A ，B 的坐标；（2）设直线l 与直线AB 关于该抛物线的对称轴对称，求直线l 的解析式； （3）若该抛物线在12-<<-x 这一段位于直线l 的上方，并且在32<<x 这一段位于直线AB 的下方，求该抛物线的解析式。
例3、已知二次函数y=（t+1）x2+2（t+2）x+在x=0和x=2时的函数值相等．（1）求二次函数的解析式；（2）若一次函数y=kx+6的图象与二次函数的图象都经过点A（﹣3，m），求m和k的值；（3）设二次函数的图象与x轴交于点B，C（点B在点C的左侧），将二次函数的图象在点B，C间的部分（含点B和点C）向左平移n（n＞0）个单位后得到的图象记为G，同时将（2）中得到的直线y=kx+6向上平移n个单位．请结合图象回答：当平移后的直线与图象G有公共点时，求n的取值范围．例4、如图1，抛物线C1：y=ax2+bx+2与直线AB：y=x+交于x轴上的一点A，和另一点B（3，n）．（1）求抛物线C1的解析式；（2）点P是抛物线C1上的一个动点（点P在A，B两点之间，但不包括A，B 两点），PM⊥AB于点M，PN∥y轴交AB于点N，在点P的运动过程中，存在某一位置，使得△PMN的周长最大，求此时P点的坐标，并求△PMN周长的最大值；（3）如图2，将抛物线C1绕顶点旋转180°后，再作适当平移得到抛物线C2，已知抛物线C2的顶点E在第四象限的抛物线C1上，且抛物线C2与抛物线C1交于点D，过D点作x轴的平行线交抛物线C2于点F，过E点作x轴的平行线交抛物线C1于点G，是否存在这样的抛物线C2，使得四边形DFEG为菱形？若存在，请求E点的横坐标；若不存在请说明理由．例5、如图①，抛物线y=ax2+bx+5交x轴于A、B，交y轴于C，抛物线的顶点D的横坐标为4，OA•OC=OB．（1）求抛物线的解析式；（2）如图②，若P为抛物线上一动点，PQ∥y轴交直线l：y=+9于点Q，以PQ为对角线作矩形且使得矩形的一边在直线l上，问是否存在这样一点P使得矩形的面积最小？若存在，求其最小值；若不存在，请说明理由（3）如图③，将直线向下平移m个单位（m＞9），设平移后的直线交抛物线于M、N两点（点M在点N左边），M关于原点的对称点为M′，连接M′N，问M′N在x轴上的正投影是否为定值？若为定值，求其值；若不是定值，请说明理由．。
2024年中考数学真题汇编专题25 图形的平移翻折对称+答案详解
2024年中考数学真题汇编专题25 图形的平移翻折对称+答案详解（试题部分）一、单选题1．（2024·江苏苏州·中考真题）下列图案中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．（2024·天津·中考真题）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（）A．B．C．D．3．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．4．（2024·重庆·中考真题）下列标点符号中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．5．（2024·江苏连云港·中考真题）如图，正方形中有一个由若干个长方形组成的对称图案，其中正方形边长是80cm，则图中阴影图形的周长是（）A．440cm B．320cm C．280cm D．160cm6．（2024·四川眉山·中考真题）下列交通标志中，属于轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．7．（2024·河北·中考真题）如图，AD 与BC 交于点O ，ABO 和CDO 关于直线PQ 对称，点A ，B 的对称点分别是点C ，D ．下列不一定正确的是（ ）A ．AD BC ⊥B ．AC PQ ⊥ C ．ABO CDO △≌△D ．AC BD ∥8．（2024·湖南·中考真题）下列命题中，正确的是（ ）A ．两点之间，线段最短B ．菱形的对角线相等C ．正五边形的外角和为720︒D ．直角三角形是轴对称图形9．（2024·贵州·中考真题）“黔山秀水”写成下列字体，可以看作是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．10．（2024·北京·中考真题）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ． 11．（2024·湖北武汉·中考真题）现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．12．（2024·广西·中考真题）端午节是中国传统节日，下列与端午节有关的文创图案中，成轴对称的是（ ）A ．B ．C ．D ．13．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．14．（2024·广东·中考真题）下列几何图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．15．（2024·青海·中考真题）如图，一次函数23y x =−的图象与x 轴相交于点A ，则点A 关于y 轴的对称点是（ ）A ．3,02⎛⎫− ⎪⎝⎭B ．3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()0,3D ．()0,3−16．（2024·福建·中考真题）小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案．如图，其中OAB 与ODC 都是等腰三角形，且它们关于直线l 对称，点E ，F 分别是底边AB ，CD 的中点，OE OF ⊥．下列推断错误的是（ ）A ．OB OD ⊥B ．BOC AOB ∠=∠ C ．OE OF =D ．180BOC AOD ∠+∠=︒17．（2024·河北·中考真题）平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于0的点称为“和点”．将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位长度．若“和点”Q 按上述规则连续平移16次后，到达点()161,9Q −，则点Q 的坐标为（ ）A ．()6,1或()7,1B ．()15,7−或()8,0C ．()6,0或()8,0D ．()5,1或()7,1二、填空题18．（2024·江西·中考真题）在平面直角坐标系中，将点()1,1A 向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点B ，则点B 的坐标为 ．19．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，在ABC 中，点A 的坐标为()0,1，点B 的坐标为()4,1，点C 的坐标为()3,4，点D 在第一象限（不与点C 重合），且ABD △与ABC 全等，点D 的坐标是 ．20．（2024·四川甘孜·中考真题）如图，Rt ABC △中，90C ∠=︒，8AC =，4BC =，折叠ABC ，使点A 与点B 重合，折痕DE 与AB 交于点D ，与AC 交于点E ，则CE 的长为 ．21．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，等腰ABC 中，2AB AC ==，120BAC ∠=︒，将ABC 沿其底边中线AD 向下平移，使A 的对应点A '满足13AA AD '=，则平移前后两三角形重叠部分的面积是 ．22．（2024·四川广安·中考真题）如图，在ABCD Y 中，4AB =，5AD =，30ABC ∠=︒，点M 为直线BC 上一动点，则MA MD +的最小值为 ．23．（2024·河南·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的边AB 在x 轴上，点A 的坐标为()20−，，点E 在边CD 上．将BCE 沿BE 折叠，点C 落在点F 处．若点F 的坐标为()06，，则点E 的坐标为 ．24．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(1,0)，点B 在反比例函数(0)ky x x =>的图像上，BC x ⊥轴于点C ，30BAC ∠=︒，将ABC 沿AB 翻折，若点C 的对应点D 落在该反比例函数的图像上，则k 的值为 ．25．（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，已知50AOB ∠=︒，点P 为AOB ∠内部一点，点M 为射线OA 、点N 为射线OB 上的两个动点，当PMN 的周长最小时，则MPN ∠= ．26．（2024·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知()3,0A ，()0,2B ，过点B 作y 轴的垂线l ，P 为直线l 上一动点，连接PO ，PA ，则PO PA +的最小值为 ．27．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，点()0,2A −，()1,0B ，将线段AB 平移得到线段DC ，若90ABC ∠=︒，2BC AB =，则点D 的坐标是 ．28．（2024·浙江·中考真题）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，53AC BD =．线段AB 与A B ''关于过点O 的直线l 对称，点B 的对应点B '在线段OC 上，A B ''交CD 于点E ，则B CE '与四边形OB ED '的面积比为29．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，ABC ，90ACB ∠=︒，5CB =，10CA =，点D ，E 分别在AC AB ，边上，AE =，连接DE ，将ADE V 沿DE 翻折，得到FDE V ，连接CE ，CF ．若CEF △的面积是BEC 面积的2倍，则AD = ．三、解答题30．（2024·河南·中考真题）如图，矩形ABCD 的四个顶点都在格点（网格线的交点）上，对角线AC ，BD 相交于点E ，反比例函数()0ky x x=>的图象经过点A ．(1)求这个反比例函数的表达式．(2)请先描出这个反比例函数图象上不同于点A 的三个格点，再画出反比例函数的图象．(3)将矩形ABCD 向左平移，当点E 落在这个反比例函数的图象上时，平移的距离为________． 31．（2024·福建·中考真题）在手工制作课上，老师提供了如图1所示的矩形卡纸ABCD ，要求大家利用它制作一个底面为正方形的礼品盒．小明按照图2的方式裁剪（其中AE FB =），恰好得到纸盒的展开图，并利用该展开图折成一个礼品盒，如图3所示．图1 图2 图3(1)直接写出AD AB的值； (2)如果要求折成的礼品盒的两个相对的面上分别印有“吉祥”和“如意”，如图4所示，那么应选择的纸盒展开图图样是（ ）图4A．B．C．D．(3)现以小明设计的纸盒展开图（图2）为基本样式，适当调整AE，EF的比例，制作棱长为10cm 的正方体礼品盒，如果要制作27个这样的礼品盒，请你合理选择上述卡纸（包括卡纸的型号及相应型号卡纸的张数），并在卡纸上画出设计示意图（包括一张卡纸可制作几个礼品盒，其展开图在卡纸上的分布情况），给出所用卡纸的总费用．（要求：①同一型号的卡纸如果需要不止一张，只要在一张卡纸上画出设计方案；②没有用到的卡纸，不要在该型号的卡纸上作任何设计；③所用卡纸的数量及总费用直接填在答题卡的表格上；④本题将综合考虑“利用卡纸的合理性”和“所用卡纸的总费用”给分，总费用最低的才能得满分；⑤试卷上的卡纸仅供作草稿用）32．（2024·吉林长春·中考真题）图①、图②、图③均是33⨯的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A 、B 均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作四边形ABCD ，使其是轴对称图形且点C 、D 均在格点上．(1)在图①中，四边形ABCD 面积为2；(2)在图②中，四边形ABCD 面积为3；(3)在图③中，四边形ABCD 面积为4．33．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，ABC 的三个顶点坐标分别为()1,1A −，()2,3B −，()5,2C −．(1)画出ABC 关于y 轴对称的111A B C △，并写出点1B 的坐标；(2)画出ABC 绕点A 逆时针旋转90︒后得到的22AB C ，并写出点2B 的坐标；(3)在（2）的条件下，求点B 旋转到点2B 的过程中所经过的路径长（结果保留π） 34．（2024·吉林·中考真题）图①、图②均是44⨯的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点A ，B ，C ，D ，E ，O 均在格点上．图①中已画出四边形ABCD ，图②中已画出以OE 为半径的O ，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图．(1)在图①中，面出四边形ABCD 的一条对称轴．(2)在图②中，画出经过点E 的O 的切线．35．（2024·天津·中考真题）将一个平行四边形纸片OABC 放置在平面直角坐标系中，点()0,0O ，点()3,0A ，点,B C 在第一象限，且2,60OC AOC ∠==．(1)填空：如图①，点C 的坐标为______，点B 的坐标为______；(2)若P 为x 轴的正半轴上一动点，过点P 作直线l x ⊥轴，沿直线l 折叠该纸片，折叠后点O 的对应点O '落在x 轴的正半轴上，点C 的对应点为C '．设OP t =．①如图②，若直线l 与边CB 相交于点Q ，当折叠后四边形PO C Q ''与OABC 重叠部分为五边形时，O C ''与AB 相交于点E ．试用含有t 的式子表示线段BE 的长，并直接写出t 的取值范围； ②设折叠后重叠部分的面积为S ，当21134t ≤≤时，求S 的取值范围（直接写出结果即可）． 36．（2024·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，O 的半径为1，对于O 的弦AB 和不在直线AB 上的点C ，给出如下定义：若点C 关于直线AB 的对称点C '在O 上或其内部，且ACB α∠=，则称点C 是弦AB 的“α可及点”．(1)如图，点()0,1A ，()1,0B ．①在点()12,0C ，()21,2C ，31,02C ⎛⎫ ⎪⎝⎭中，点___________是弦AB 的“α可及点”，其中α=____________︒；②若点D 是弦AB 的“90︒可及点”，则点D 的横坐标的最大值为__________；(2)已知P 是直线y =且存在O 的弦MN ，使得点P 是弦MN 的“60︒可及点”．记点P 的横坐标为t ，直接写出t 的取值范围．2024年中考数学真题汇编专题25 图形的平移翻折对称+答案详解（答案详解）一、单选题1．（2024·江苏苏州·中考真题）下列图案中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】此题主要考查轴对称图形的概念，掌握轴对称图形的概念是解题的关键．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【详解】解：A、是轴对称图形，故此选项正确；B、不是轴对称图形，故此选项错误；C、不是轴对称图形，故此选项错误；D、不是轴对称图形，故此选项错误．故选：A．2．（2024·天津·中考真题）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】本题考查轴对称图形，掌握轴对称图形的定义：如果一个图形沿某一条直线对折,对折后的两部分是完全重合的,那么就称这样的图形为轴对称图形是解题的关键．【详解】解：A.不是轴对称图形；B.不是轴对称图形；C.是轴对称图形；D.不是轴对称图形；故选C．3．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，正确掌握中心对称图形与轴对称图形定义是解题关键．中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重台，这样的图形叫做轴对称图形．根据定义依次对各个选项进行判断即可．【详解】A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；故选：C．4．（2024·重庆·中考真题）下列标点符号中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】本题考查轴对称图形的识别．解题的关键是理解轴对称的概念（如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴），寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．据此对各选项逐一进行判断即可．【详解】解：A．该标点符号是轴对称图形，故此选项符合题意；B．该标点符号不是轴对称图形，故此选项不符合题意；C．该标点符号不是轴对称图形，故此选项不符合题意；D．该标点符号不是轴对称图形，故此选项不符合题意．故选：A．5．（2024·江苏连云港·中考真题）如图，正方形中有一个由若干个长方形组成的对称图案，其中正方形边长是80cm，则图中阴影图形的周长是（）A．440cm B．320cm C．280cm D．160cm【答案】A【分析】本题考查平移的性质，利用平移的性质将阴影部分的周长转化为边长是80cm的正方形的周长加上边长是80cm的正方形的两条边长再减去220cm⨯，由此解答即可．【详解】解：由图可得：阴影部分的周长为边长是80cm的正方形的周长加上边长是80cm的正方形的两条边长再减去220cm⨯，∴阴影图形的周长是：480280220440cm⨯+⨯−⨯=，故选：A．6．（2024·四川眉山·中考真题）下列交通标志中，属于轴对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】本题主要考查了轴对称图形，根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形可得答案．【详解】解：A.是轴对称图形，故此选项符合题意；B.不是轴对称图形，故此选项不符合题意；C. 不是轴对称图形，故此选项不符合题意；D. 不是轴对称图形，故此选项不符合题意；故选：A．7．（2024·河北·中考真题）如图，AD与BC交于点O，ABO和CDO关于直线PQ对称，点A，B的对称点分别是点C，D．下列不一定正确的是（）A ．AD BC ⊥B ．AC PQ ⊥ C ．ABO CDO △≌△D ．AC BD ∥ 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形的性质，平行线的判定，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据轴对称图形的性质即可判断B 、C 选项，再根据垂直于同一条直线的两条直线平行即可判断选项D ．【详解】解：由轴对称图形的性质得到ABO CDO △≌△，,AC PQ BD PQ ⊥⊥，∴AC BD ∥，∴B 、C 、D 选项不符合题意，故选：A ．8．（2024·湖南·中考真题）下列命题中，正确的是（ ）A ．两点之间，线段最短B ．菱形的对角线相等C ．正五边形的外角和为720︒D ．直角三角形是轴对称图形【答案】A【分析】本题考查了命题与定理的知识，多边形外角性质，菱形性质及轴对称图形的特点，解题的关键是掌握这些基础知识点．【详解】解：A 、两点之间，线段最短，正确，是真命题，符合题意；B 、菱形的对角线互相垂直，不一定相等，选项错误，是假命题，不符合题意；C 、正五边形的外角和为360︒，选项错误，是假命题，不符合题意；D 、直角三角形不一定是轴对称图形，只有等腰直角三角形是轴对称图形，选项错误，是假命题，不符合题意；故选：A ．9．（2024·贵州·中考真题）“黔山秀水”写成下列字体，可以看作是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】B【分析】本题考查了轴对称图形概念，一个图形沿着某条直线折叠后直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就叫轴对称图形．根据轴对称图形概念，结合所给图形即可得出答案．【详解】解：A．不是轴对称图形，不符合题意；B．是轴对称图形，符合题意；C．不是轴对称图形，不符合题意；D．不是轴对称图形，不符合题意；故选：B．10．（2024·北京·中考真题）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转180 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．掌握中心对称图形与轴对称图形的定义是解题的关键．【详解】解：A、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故不符合题意；B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意；C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；故选：B．11．（2024·湖北武汉·中考真题）现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】本题考查了轴对称图形的识别，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【详解】解：A，B，D选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．故选：C．12．（2024·广西·中考真题）端午节是中国传统节日，下列与端午节有关的文创图案中，成轴对称的是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】本题主要考查成轴对称的定义，掌握成轴对称的定义是解题的关键．把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫作对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫作对称点．根据两个图形成轴对称的定义，逐一判断选项即可．【详解】A．图案不成轴对称，故不符合题意；B．图案成轴对称，故符合题意；C．图案不成轴对称，故不符合题意；D．图案不成轴对称，故不符合题意；故你：B．13．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．【详解】解：A 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故A 选项不合题意；B 、既是轴对称图形又是中心对称图形，故B 选项符合题意；C 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故C 选项不合题意；D 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D 选项不合题意．故选：B ．14．（2024·广东·中考真题）下列几何图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】C【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180︒，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可．【详解】解：A ．是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；B ．不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意；C ．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故不符合题意；D ．是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；故选：C ．15．（2024·青海·中考真题）如图，一次函数23y x =−的图象与x 轴相交于点A ，则点A 关于y 轴的对称点是（ ）A ．3,02⎛⎫− ⎪⎝⎭B ．3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()0,3D ．()0,3−【答案】A【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点坐标，点的对称，属于简单题，求交点坐标是解题关键．16．（2024·福建·中考真题）小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案．如图，其中OAB 与ODC 都是等腰三角形，且它们关于直线l 对称，点E ，F 分别是底边AB ，CD 的中点，OE OF ⊥．下列推断错误的是（ ）A ．OB OD ⊥B ．BOC AOB ∠=∠ C ．OE OF =D ．180BOC AOD ∠+∠=︒ 由对称的性质得OAB ODC ≌，由全等三角形的性质即可判断；OH ，可得 GOD ∠=，即可判断；掌握轴对称的性质是解题的关键．A.OE OF ⊥，90︒，点的中点，OAB 与ODC 都是等腰三角形，由对称得OAB ODC ≌，F 分别是底边AB ，，结论正确，故不符合题意；O 作GM OH ⊥，90GOD DOH ∴∠+∠=︒，90BOH DOH ∠+∠=︒，GOD BOH ∴∠=∠，由对称得GOD COH ∴∠=∠，同理可证AOD ∠∴故选：B 17．（2024·河北·中考真题）平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于0的点称为“和点”．将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位长度．若“和点”Q 按上述规则连续平移16次后，到达点()161,9Q −，则点Q 的坐标为（ ）A ．()6,1或()7,1B ．()15,7−或()8,0C ．()6,0或()8,0D ．()5,1或()7,1【答案】D【分析】本题考查了坐标内点的平移运动，熟练掌握知识点，利用反向运动理解是解决本题的关键．先找出规律若“和点”横、纵坐标之和除以3所得的余数为0时，先向右平移1个单位，之后按照向上、向左，向上、向左不断重复的规律平移，按照16Q 的反向运动理解去分类讨论：①16Q 先向右1个单位，不符合题意；②16Q 先向下1个单位，再向右平移，当平移到第15次时，共计向下平移了8次，向右平移了7次，此时坐标为()6,1，那么最后一次若向右平移则为()7,1，若向左平移则为()5,1．【详解】解：由点()32,2P 可知横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，继而向上平移1个单位得到()42,3P ，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为2，继而向左平移1个单位得到()41,3P ，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，又要向上平移1个单位，因此发现规律为若“和点”横、纵坐标之和除以3所得的余数为0时，先向右平移1个单位，之后按照向上、向左，向上、向左不断重复的规律平移，若“和点”Q 按上述规则连续平移16次后，到达点()161,9Q −，则按照“和点”16Q 反向运动16次求点Q 坐标理解，可以分为两种情况：①16Q 先向右1个单位得到()150,9Q ，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为0，应该是15Q 向右平移1个单位得到16Q ，故矛盾，不成立；②16Q 先向下1个单位得到()151,8Q −，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，则应该向上平移1个单位得到16Q ，故符合题意，那么点16Q 先向下平移，再向右平移，当平移到第15次时，共计向下平移了8次，向右平移了7次，此时坐标为()17,98−+−，即()6,1，那么最后一次若向右平移则为()7,1，若向左平移则为()5,1，故选：D ．二、填空题18．（2024·江西·中考真题）在平面直角坐标系中，将点()1,1A 向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点B ，则点B 的坐标为 ．【答案】()3,4【分析】本题考查了坐标与图形变化－平移．利用点平移的坐标规律，把A 点的横坐标加2，纵坐标加3即可得到点B 的坐标． 【详解】解：∵点()1,1A 向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点B ， ∴点B 的坐标为()12,13++，即()3,4．故答案为：()3,4．19．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，在ABC 中，点A 的坐标为()0,1，点B 的坐标为()4,1，点C 的坐标为()3,4，点D 在第一象限（不与点C 重合），且ABD △与ABC 全等，点D 的坐标是 ．【答案】()1,4【分析】本题考查坐标与图形，三角形全等的性质．利用数形结合的思想是解题的关键．根据点D 在第一象限（不与点C 重合），且ABD △与ABC 全等，画出图形，结合图形的对称性可直接得出()1,4D ．【详解】解：∵点D 在第一象限（不与点C 重合），且ABD △与ABC 全等，∴AD BC =，AC BD =，∴可画图形如下，由图可知点C 、D 关于线段AB 的垂直平分线2x =对称，则()1,4D ．故答案为：()1,4．20．（2024·四川甘孜·中考真题）如图，Rt ABC △中，90C ∠=︒，8AC =，4BC =，折叠ABC ，使点A 与点B 重合，折痕DE 与AB 交于点D ，与AC 交于点E ，则CE 的长为 ．【答案】3【分析】本题考查了折叠的性质和勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 设CE x =，则8AE BE x ==−，根据勾股定理求解即可．【详解】解：由折叠的性质，得AE BE =，设CE x =，则8AE BE x ==−，由勾股定理，得222BC CE BE +=，∴()22248x x +=−，解得3x =.故答案为：3．21．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，等腰ABC 中，2AB AC ==，120BAC ∠=︒，将ABC 沿其底边中线AD 向下平移，使A 的对应点A '满足13AA AD '=，则平移前后两三角形重叠部分的面积是 ．出A EF A B C ''''∽，根据对应边上的中线比等于相似比，利用面积公式进行求解即可．【详解】解：∵等腰ABC 中，30ABC ∠=︒，AD 为中线，AD BC ⊥，BD CD =，∵将ABC 沿其底边中线,C BC B '∥∴A EF A B C ''''∽，EF A D B C A G'='''， 13AA AD '=，3223DA AD A G '='=2EF A D '22．（2024·四川广安·中考真题）如图，在ABCD Y 中，4AB =，5AD =，30ABC ∠=︒，点M 为直线BC 上一动点，则MA MD +的最小值为 ．∵4AB =，30ABC ∠=︒，在ABCD Y ∴122AH AB ==，AD BC ∥，∴24AA AH '==，AA AD '⊥，∵5AD =，23．（2024·河南·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的边AB 在x 轴上，点A 的坐标为()20−，，点E 在边CD 上．将BCE 沿BE 折叠，点C 落在点F 处．若点F 的坐标为()06，，则点E 的坐标为 ．【答案】()3,10【分析】设正方形ABCD 的边长为a ，CD 与y 轴相交于G ，先判断四边形AOGD 是矩形，得出OG AD a ==，DG AO =，90EGF ∠=︒，根据折叠的性质得出BF BC a ==，CE FE =，在Rt BOF △中，利用勾股定理构建关于a 的方程，求出a 的值，在Rt EGF 中，利用勾股定理构建关于CE 的方程，求出CE 的值，即可求解．【详解】解∶设正方形ABCD 的边长为a ，CD 与y 轴相交于G ，。
三角形的翻折课件
在三角形翻折的过程中，图形的形状和大小不会发生变化，只是位置和方向可能会 改变。
轴对称与中心对称
轴对称是指一个图形关于一条直线对称 ，折叠后两部分完全重合。
中心对称是指一个图形关于一个点对称 ，旋转180度后两部分完全重合。
等边三角形的翻折
等边三角形翻折后形成的三个直角三 角形是全等的，因此可以通过翻折来 证明等边三角形的性质。
翻折后形成的三个直角三角形可以通 过勾股定理来证明其边长关系，从而 证明等边三角形的性质。
一般三角形的翻折
一般三角形翻折后形成的两个直角三角形不一定是全等的，因此需要通过其他方 法来证明其性质。
可以通过将一般三角形划分为几个小三角形，然后利用勾股定理来证明其边长关 系，从而证明一般三角形的性质。
04
三角形翻折的解题策略
理解翻折的本质
翻折是一种几何变换，通过将一个平面图形沿着一条直线折 叠，使图形的一部分与另一部分重合，从而得到一个新的图 形。
在三角形翻折问题中，关键是要理解翻折的本质是图形的对 称性，即图形经过翻折后，其对称轴两侧的部分是全等的。
高阶练习题与解析
题目5
将一个三角形进行多次翻折，每次翻折都使相邻两边中点连线与翻折线重合，求所有折痕的总长度。
解析
这道题需要运用三角形的中位线性质和翻折的性质，通过逐步推导和计算，求出所有折痕的总长度。
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基础练习题
题目1
将一个等边三角形进行翻折，使其一 个顶点与相对边的中点重合，求折痕 的长度。
题目2
将一个直角三角形进行翻折，使一条 直角边与斜边的中点重合，求折痕的 长度。
八年级初二数学 图形的对称-翻折变换(折叠问题) 含答案
图形的对称-翻折变换（折叠问题）一．选择题（共30小题）1．将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF．若AB=6，则BC的长为（）A．1 B．2 C．2D．122．如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6、8，按如图那样折叠，使点A 与点B重合，折痕为DE，则S△BCE：S△BDE等于（）A．2：5 B．14：25 C．16：25 D．4：213．如图①，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，△ABD是等边三角形．如图②，将四边形ACBD折叠，使D与C重合，EF为折痕，则∠ACE的正弦值为（）A．B．C．D．4．图1为一张三角形ABC纸片，点P在BC上，将A折至P时，出现折痕BD，其中点D在AC上，如图2所示，若△ABC的面积为80，△ABD的面积为30，则AB与PC的长度之比为（）A．3：2 B．5：3 C．8：5 D．13：85．按如图所示的方法折纸，下面结论正确的个数（）①∠2=90°；②∠1=∠AEC；③△ABE∽△ECF；④∠BAE=∠3．A．1个B．2个C．3个D．4个6．如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置．若∠AED′=40°，则∠EFB等于（）A．70°B．65°C．80°D．35°7．如图，把矩形ABCD沿EF折叠，使点C落在点A处，点D落在点G处，若∠CFE=60°，且DE=1，则边BC的长（）A．3 B．4 C．3.5 D．68．如图，四边形ABCD是矩形，AB=4，AD=3，把矩形沿直线AC折叠，点B 落在点E处，AE交CD于点F．连接DE，则DF的长是（）A．B．C．D．9．张萌和小平两人打算各用一张正方形的纸片ABCD折出一个等边三角形，两人作法如下：张萌：如图1，将纸片对折得到折痕EF，沿点B翻折纸片，使点A落在EF上的点M处，连接CM，△BCM即为所求；小平：如图2，将纸片对折得到折痕EF，沿点B翻折纸片，使点C落在EF上的点M处，连接BM，△BCM 即为所求，对于两人的作法，下列判断正确的是（）A．小平的作法正确，张萌的作法不正确B．两人的作法都不正确C．张萌的作法正确，小平的作法不正确D．两人的作法都正确10．如图，折叠矩形纸片ABCD的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，若AB=8，BC=10，则△CEF的周长为（）A．12 B．16 C．18 D．2411．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，点E在边CD上，连接BE，将△BCE 沿BE折叠，若点C恰好落在AD边上的点F处，则CE的长为（）A．B．C．D．12．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，AC=4cm，点D在AC上，将△BCD 沿着BD所在直线翻折，使点C落在斜边AB上的点E处，则DC的长为（）A．cm B．cm C．2cm D．cm13．如图，在平面直角坐标系中，点A（0，4）、B（3，0），连接AB，将△AOB 沿过点B的直线折叠，使点A落在x轴上的点A′处，折痕所在的直线交y轴正半轴于点C，则直线BC的解析式为（）A．y=﹣B．y=﹣x+C．y=﹣D．y=﹣2x+14．如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=10，OC=8，在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，点O落在BC边上的点E处．则直线DE的解析式为（）A．y=x+5 B．y=x+5 C．y=x+5 D．y=x+515．如图，将三角形纸片ABC沿DE折叠，使点A落在BC边上的点F处，且DE∥BC，当DE=2时，BC的长为（）A．3 B．4 C．5 D．616．如图，将平行四边形ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点落在点E处，且点B、A、E在同一条直线上，CE交AD于点F，连接ED．下列结论中错误的是（）A．AF=B．四边形ACDE是矩形C．图中与△ABC全等的三角形有4个D．图中有4个等腰三角形17．如图，有一张直角三角形纸片ABC，边AB=6，AC=10，∠ABC=90°，将该直角三角形纸片沿DE折叠，使点C与点B重合，则四边形ABDE的周长为（）A．16 B．17 C．18 D．1918．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∠DBC=45°，点E在BC上，点F在AB上，将梯形ABCD沿直线EF翻折，使得点B与点D重合．如果，那么的值是（）A．B．C．D．19．如图，在边长为12的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交BC于点G．则BG的长为（）A．5 B．4 C．3 D．220．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，0），B（﹣2，3），C（﹣3，1）．将△ABC沿y轴翻折得到△A′B′C′，则点B′的坐标为（）A．（2，1）B．（2，3）C．（4，1）D．（0，2）21．如图，△ABC周长为36cm，把其边AC对折，使点C、A重合，折痕交BC 边于点D，交AC边于点E，连结AD，若AE=6cm，则△ABD的周长是（）A．24cm B．26cm C．28cm D．30cm22．如图，矩形ABCD中，AB=8，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，AE交CD于点F，若AF=，则AD的长为（）A．3 B．4 C．5 D．623．如图的实线部分是由Rt△ABC经过两次折叠得到的，首先将Rt△ABC沿BD折叠，使点C落在斜边上的点C′处，再沿DE折叠使点A落在DC′延长线上的点A′处，若图中，∠A=30°，BC=5cm，则折痕DE的长为（）A．B．2C．2D．24．如图一直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于（）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm25．如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，则重叠部分△AFC的面积为（）A．6 B．8 C．10 D．1226．如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=9，将此矩形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（）A．6 B．8 C．10 D．1227．如图所示，有一块直角三角形纸片，∠C=90°，AC=2，BC=，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则CE的长为（）A．B．C．1 D．28．如图所示，折叠平行四边形的一边AD，使点A落在DC边上的点E处，已知AB=6，BC=4，则EC的长为（）A．1 B．2 C．3 D．1.529．如图，正方形ABCD中，AB=12，点E在边BC上，BE=EC，将△DCE沿DE对折至△DFE，延长EF交边AB于点G，连接DG、BF，给出以下结论：①△DAG≌△DFG；②BG=2AG；③S△DGF=120；④S△BEF=．其中所有正确结论的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．130．如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使D点与BC边的中点D重合，若BC=8，CD=6，则CF的长为（）A．B．C．2 D．1图形的对称-翻折变换（折叠问题）参考答案与试题解析一．选择题（共30小题）1．将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF．若AB=6，则BC的长为（）A．1 B．2C．2D．12【考点】翻折变换（折叠问题）；勾股定理的应用；菱形的性质；矩形的性质．【分析】根据菱形AECF，得∠FCO=∠ECO，再利用∠ECO=∠ECB，可通过折叠的性质，结合直角三角形勾股定理求解．【解答】解：∵菱形AECF，AB=6，∴假设BE=x，∴AE=6﹣x，∴CE=6﹣x，∵四边形AECF是菱形，∴∠FCO=∠ECO，∵∠ECO=∠ECB，∴∠ECO=∠ECB=∠FCO=30°，2BE=CE，∴CE=2x，∴2x=6﹣x，解得：x=2，∴CE=4，利用勾股定理得出：BC2+BE2=EC2，BC===2，故选：C．【点评】此题主要考查了折叠问题以及勾股定理等知识，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．2．如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6、8，按如图那样折叠，使点A 与点B重合，折痕为DE，则S△BCE：S△BDE等于（）A．2：5 B．14：25 C．16：25 D．4：21【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】在Rt△BEC中利用勾股定理计算出AB=10，根据折叠的性质得到AD=BD=5，EA=EB，设AE=x，则BE=x，EC=8﹣x，在Rt△BEC中根据勾股定理计算出x=，则EC=8﹣=，利用三角形面积公式计算出S△BCE=BC•CE=×6×=，在Rt△BED中利用勾股定理计算出ED==，利用三角形面积公式计算出S△BDE=BD•DE=×5×=，然后求出两面积的比．【解答】解：在Rt△BAC中，BC=6，AC=8，∴AB==10，∵把△ABC沿DE使A与B重合，∴AD=BD，EA=EB，∴BD=AB=5，设AE=x，则BE=x，EC=8﹣x，在Rt△BEC中，∵BE2=EC2+BC2，即x2=（8﹣x）2+62，∴x=，∴EC=8﹣x=8﹣=，∴S△BCE=BC•CE=×6×=，在Rt△BED中，∵BE2=ED2+BD2，∴ED==，∴S△BDE=BD•DE=×5×=，∴S△BCE：S△BDE=：=14：25．故选B．【点评】本题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等，对应角相等．也考查了勾股定理．3．如图①，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，△ABD是等边三角形．如图②，将四边形ACBD折叠，使D与C重合，EF为折痕，则∠ACE的正弦值为（）A．B．C．D．【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】在Rt△ABC中，设AB=2a，已知∠ACB=90°，∠CAB=30°，即可求得AB、AC的值，由折叠的性质知：DE=CE，可设出DE、CE的长，然后表示出AE的长，进而可在Rt△AEC中，由勾股定理求得AE、CE的值，即可求∠ACE 的正弦值．【解答】解：∵△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，设AB=2a，∴AC=a，BC=a；∵△ABD是等边三角形，∴AD=AB=2a；设DE=EC=x，则AE=2a﹣x；在Rt△AEC中，由勾股定理，得：（2a﹣x）2+3a2=x2，解得x=；∴AE=，EC=，∴sin∠ACE==．故选：B．【点评】本题考查的是翻折变换，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键．4．图1为一张三角形ABC纸片，点P在BC上，将A折至P时，出现折痕BD，其中点D在AC上，如图2所示，若△ABC的面积为80，△ABD的面积为30，则AB与PC的长度之比为（）A．3：2 B．5：3 C．8：5 D．13：8【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】如图，作辅助线；首先求出△BDP的面积，进而求出△DPC的面积；借助三角形的面积公式求出的值；由旋转变换的性质得到AB=PB，即可解决问题．【解答】解：如图，过点D作DE⊥BC于点E；由题意得：S△ABD=S△PBD=30，∴S△DPC=80﹣30﹣30=20，∴=，由题意得：AB=BP，∴AB：PC=3：2，故选A．【点评】该题主要考查了翻折变换的性质及其应用问题；解题的方法是作高线，表示出三角形的面积；解题的关键是灵活运用翻折变换的性质来分析、判断、推理或解答．5．按如图所示的方法折纸，下面结论正确的个数（）①∠2=90°；②∠1=∠AEC；③△ABE∽△ECF；④∠BAE=∠3．A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质．【分析】根据翻折变换的性质、相似三角形的判定定理解答即可．【解答】解：由翻折变换的性质可知，∠AEB+∠FEC=×180°=90°，则∠AEF=90°，即∠2=90°，①正确；由图形可知，∠1＜∠AEC，②错误；∵∠2=90°，∴∠1+∠3=90°，又∠1+∠BAE=90°，∴∠BAE=∠3，④正确；∵∠BAE=∠3，∠B=∠C=90°，∴△ABE∽△ECF，③正确．故选：C．【点评】本题考查的是翻折变换的性质，翻折变换是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．6．如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置．若∠AED′=40°，则∠EFB等于（）A．70°B．65°C．80°D．35°【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】根据平角的知识可求出∠DED′的度数，再由折叠的性质可得出∠D′EF=∠DEF=∠DED′，从而根据平行线的性质可得出∠EFB的度数．【解答】解：∵∠AED′=40°，∴∠DED′=180°﹣40°=140°，又由折叠的性质可得，∠D′EF=∠DEF=∠DED′，∴∠DEF=70°，又∵AD∥BC，∴∠EFB=70°．故选：A．【点评】此题考查了翻折变换的知识，解答本题的关键是根据折叠的性质得出∠D′EF=∠DEF=∠DED′，难度一般．7．如图，把矩形ABCD沿EF折叠，使点C落在点A处，点D落在点G处，若∠CFE=60°，且DE=1，则边BC的长（）A．3 B．4 C．3.5 D．6【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】由矩形的性质得到∠1=∠CFE=60°，由折叠可得∠2=60°，从而求得∠4的度数，得到AE=EC，在Rt△CDE中利用勾股定理可求得EC的长度，即可得到答案．【解答】解：∵矩形ABCD，∴BC∥AD，∴∠1=∠CFE=60°，∵EF为折痕，∴∠2=∠1=60°，AE=EC，∴∠3=180°﹣60°﹣60°=60°，Rt△CDE中，∠4=90°﹣60°=30°，∴EC=2×DE=2×1=2，∴BC=AE+ED=EC+ED=2+1=3．故选：A．【点评】本题考查了翻折问题；由折叠得到角相等，得到AE=EC利用勾股定理求解是正确解答本题的关键．8．如图，四边形ABCD是矩形，AB=4，AD=3，把矩形沿直线AC折叠，点B 落在点E处，AE交CD于点F．连接DE，则DF的长是（）A．B．C．D．【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】由四边形ABCD是矩形与△AEC由△ABC翻折得到，AD=CE，∠ADF=∠CEF，由AAS证得△ADF≌△CEF，的长FA=FC，设DF=x，则FA=4﹣x，由勾股定理得：DA2+DF2=AF2，即可求出DF的长．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，AB=DC=4，∠ADF=90°，∵△AEC由△ABC翻折得到，∴BC=EC，∠CEF=∠ABC=90°，∴AD=CE，∠ADF=∠CEF，在△ADF与△CEF中，，∴△ADF≌△CEF（AAS），∴FA=FC，设DF=x，则FA=FC=DC﹣DF=4﹣x，在Rt△DFA中，由勾股定理得：DA2+DF2=AF2，即32+x2=（4﹣x）2，解得：x=，即DF的长是．故选C．【点评】本题主要考查了折叠的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握折叠的性质，得到相等的线段与角是解决问题的关键．9．张萌和小平两人打算各用一张正方形的纸片ABCD折出一个等边三角形，两人作法如下：张萌：如图1，将纸片对折得到折痕EF，沿点B翻折纸片，使点A落在EF上的点M处，连接CM，△BCM即为所求；小平：如图2，将纸片对折得到折痕EF，沿点B翻折纸片，使点C落在EF上的点M处，连接BM，△BCM 即为所求，对于两人的作法，下列判断正确的是（）A．小平的作法正确，张萌的作法不正确B．两人的作法都不正确C．张萌的作法正确，小平的作法不正确D．两人的作法都正确【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】在图1中，由BM=2BF推出∠BMF=30°，所以∠MBF=60°，再根据等边三角形的判定方法即可证明．在图2中，证明方法类似．【解答】解：图1中，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=BC∵AE=ED=BF=FC，AB=BM，∴BM=2BF，∵∠MFB=90°，∴∠BMF=30°，∴∠MBF=90°﹣∠BMF=60°，∵MB=MC，∴△MBC是等边三角形，∴张萌的作法正确．在图2中，∵BM=BC=2BF，∠MFB=90°，∴∠BMF=30°，∴∠MBF=90°﹣∠BMF=60°，∵MB=MC∴△MBC是等边三角形，∴小平的作法正确．故选D．【点评】本题考查正方形的性质、翻折不变性、直角三角形的性质，解题的关键是在一个直角三角形中如果斜边是直角边的两倍那么这条直角边所对的锐角是30度．10．如图，折叠矩形纸片ABCD的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，若AB=8，BC=10，则△CEF的周长为（）A．12 B．16 C．18 D．24【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】先根据矩形的性质得AD=BC=10，AB=CD=8，再根据折叠的性质得AF=AD=10，EF=DE，在Rt△ABF中，利用勾股定理计算出BF=6，则CF=BC ﹣BF=4，易得△CEF的周长．【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∴AD=BC=10，AB=CD=8，∵矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的F处，∴AF=AD=10，EF=DE，在Rt△ABF中，∵BF==6，∴CF=BC﹣BF=10﹣6=4，∴△CEF的周长为：CE+EF+CF=CE+DE+CF=CD+CF=8+4=12．故选A．【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质和勾股定理，利用勾股定理得CF的长是解答此题的关键．11．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，点E在边CD上，连接BE，将△BCE 沿BE折叠，若点C恰好落在AD边上的点F处，则CE的长为（）A．B．C．D．【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】设CE=x，由矩形的性质得出AD=BC=5，CD=AB=3，∠A=∠D=90°．由折叠的性质得出BF=BC=5，EF=CE=x，DE=CD﹣CE=3﹣x．在Rt△ABF中利用勾股定理求出AF的长度，进而求出DF的长度；然后在Rt△DEF中根据勾股定理列出关于x的方程，即可解决问题．【解答】解：设CE=x．∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC=5，CD=AB=3，∠A=∠D=90°．∵将△BCE沿BE折叠，使点C恰好落在AD边上的点F处，∴BF=BC=5，EF=CE=x，DE=CD﹣CE=3﹣x．在Rt△ABF中，由勾股定理得：AF2=52﹣32=16，∴AF=4，DF=5﹣4=1．在Rt△DEF中，由勾股定理得：EF2=DE2+DF2，即x2=（3﹣x）2+12，解得：x=．故选B．【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了勾股定理、矩形的性质、方程思想等知识，关键是熟练掌握勾股定理，找准对应边．12．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，AC=4cm，点D在AC上，将△BCD 沿着BD所在直线翻折，使点C落在斜边AB上的点E处，则DC的长为（）A．cm B．cm C．2cm D．cm【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】首先由勾股定理求出BC，由折叠的性质可得∠BED=∠C=90°，BE=BC=3cm，得出AE=AB﹣BE=2cm，设DC=xcm，则DE=xcm，AD=（4﹣x）cm，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：∵∠C=90°，AB=5cm，AC=4cm，∴BC==3cm，∵将△BCD沿着直线BD翻折，使点C落在斜边AB上的点E处，∴△BED≌△BCD，∴∠BED=∠C=90°，BE=BC=3cm，∴AE=AB﹣BE=2cm，设DC=xcm，则DE=xcm，AD=（4﹣x）cm，由勾股定理得：AE2+DE2=AD2，即22+x2=（4﹣x）2，解得：x=．故选：B．【点评】本题主要考查翻折变换的性质，全等三角形的性质，勾股定理；熟练掌握翻折变换的性质，由勾股定理得出方程是解决问题的关键．13．如图，在平面直角坐标系中，点A（0，4）、B（3，0），连接AB，将△AOB 沿过点B的直线折叠，使点A落在x轴上的点A′处，折痕所在的直线交y轴正半轴于点C，则直线BC的解析式为（）A．y=﹣B．y=﹣x+C．y=﹣D．y=﹣2x+【考点】翻折变换（折叠问题）；待定系数法求一次函数解析式．【分析】由点A（0，4）、B（3，0），可求得AB的长，然后由折叠的性质，求得OA′的长，且△A′OC∽△AOB，再由相似三角形的性质，求得OC的长，继而利用待定系数法求得直线BC的解析式．【解答】解：∵点A（0，4）、B（3，0），∴OA=4，OB=3，∴AB==5，由折叠的性质可得：A′B=AB=5，∠OA′C=∠OAB，∴OA′=A′B﹣OB=2，∵∠A′OC=∠AOB=90°，∴△A′OC∽△AOB，∴，即，解得：OC=，∴点C的坐标为：（0，），设直线BC的解析式为：y=kx+b，则，解得：，∴直线BC的解析式为：y=﹣x+．故选C．【点评】此题考查了折叠的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质以及待定系数法求一次函数的解析式．注意求得点C的坐标是解此题的关键．14．如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=10，OC=8，在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，点O落在BC边上的点E处．则直线DE的解析式为（）A．y=x+5 B．y=x+5 C．y=x+5 D．y=x+5【考点】翻折变换（折叠问题）；待定系数法求一次函数解析式．【分析】首先在RT△ABE中，求出EB，再在RT△CDE中利用勾股定理即可解决问题．【解答】解：∵△ADE是由△ADO翻折，∴DE=DO，AO=AE=10，∵四边形OABC是矩形，∴OC=AB=8，AO=BC=10，∠B=∠BCO=∠BAO=90°，在RT△ABE中，∵AE=10，AB=8，∴EB===6，∴EC=4，设DO=DE=x，在RT△DCE中，∵CD2+CE2=DE2，∴（8﹣a）2+42=a2，∴a=5，∴点D（0，5），点E（4，8），设直线DE为y=kx+b，∴解得，∴直线DE为：y=+5．故选A．【点评】本题考查翻折变换、待定系数法确定一次函数的解析式，解题的关键是巧妙利用勾股定理，用方程的思想去思考问题，属于中考常考题型．15．如图，将三角形纸片ABC沿DE折叠，使点A落在BC边上的点F处，且DE∥BC，当DE=2时，BC的长为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】首先由DE∥BC与折叠的性质，可证得DE是△ABC的中位线，继而求得答案．【解答】解：∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠EDF=∠BFD，由折叠的性质可得：∠ADE=∠EDF，AD=DF，∴∠B=∠BFD，∴BD=DF，∴AD=BD，同理：AE=EC，∴DE=BC，即BC=2DE=4．故选B．【点评】此题考查了折叠的性质以及三角形中位线的性质．注意证得DE是△ABC的中位线是关键．16．如图，将平行四边形ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点落在点E处，且点B、A、E在同一条直线上，CE交AD于点F，连接ED．下列结论中错误的是（）A．AF=B．四边形ACDE是矩形C．图中与△ABC全等的三角形有4个D．图中有4个等腰三角形【考点】翻折变换（折叠问题）；平行四边形的性质．【分析】由四边形ABCD是平行四边形，得到AB=CD，AB∥CD，AD=BC，由折叠的性质得到AB=AE，BC=CE，等量代换得到AE=CD，AD=CE，推出四边形ACDE是平行四边形，于是得到AF=BC，四边形ACDE是矩形，故A，B 正确；根据平行四边形和矩形的性质得到△ACD≌△ACE≌△CDE≌△ADE≌△ABC，于是得到图中与△ABC全等的三角形有4个，故C正确；推出△BCE是等腰三角形，△AEF，△ACF，△CDF，△DEF是等腰三角形，于是得到图中有5个等腰三角形，故D错误．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，AD=BC，由折叠的性质得到AB=AE，BC=CE，∴AE=CD，AD=CE，∵点B、A、E在同一条直线上，∴AE∥CD，∴四边形ACDE是平行四边形，∴AF=BC，四边形ACDE是矩形，故A，B正确；∵四边形ABCD是平行四边形，四边形ACDE是矩形，∴△ACD≌△ACE≌△CDE≌△ADE≌△ABC，∴图中与△ABC全等的三角形有4个，故C正确；∵BC=CE，∴△BCE是等腰三角形，∵四边形ACDE是矩形，∴AF=EF=CF=DF，∴△AEF，△ACF，△CDF，△DEF是等腰三角形，∴图中有5个等腰三角形，故D错误；故选D．【点评】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质以及等腰三角形的判定和性质，解题的关键是熟记等腰三角形和矩形的判定方法．17．如图，有一张直角三角形纸片ABC，边AB=6，AC=10，∠ABC=90°，将该直角三角形纸片沿DE折叠，使点C与点B重合，则四边形ABDE的周长为（）A．16 B．17 C．18 D．19【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】根据勾股定理得到BC=8，由折叠的性质得到BD=CD=BC=4，DE⊥BC，根据三角形的中位线的性质得到DE=AB=3，AE=AC=5，于是得到结论．【解答】解：∵AB=6，AC=10，∠ABC=90°，∴BC=8，∵将该直角三角形纸片沿DE折叠，使点C与点B重合，∴BD=CD=BC=4，DE⊥BC，∵∠ABC=90°，∴DE∥AB，∴DE=AB=3，AE=AC=5，∴四边形ABDE的周长=AB+AE+DE+BD=6+5+3+4=18，故选C．【点评】此题考查了折叠的性质，勾股定理，三角形的中位线的性质，注意掌握折叠前后图形的对应关系．18．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∠DBC=45°，点E在BC上，点F在AB上，将梯形ABCD沿直线EF翻折，使得点B与点D重合．如果，那么的值是（）A．B．C．D．【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】根据对称的性质得到△BFE≌△DFE，得到DE=BE．根据已知条件得到∠DEB=90°，设AD=1，BC=4，过A作AG⊥BC于G，根据矩形的性质得到GE=AD=1，根据全等三角形的性质得到BG=EC=1.5，根据勾股定理得到AB=CD==5，通过△BDC∽△DEF，得到，求出BF=，于是得到结论．【解答】解：∵EF是点B、D的对称轴，∴△BFE≌△DFE，∴DE=BE．∵在△BDE中，DE=BE，∠DBE=45°，∴∠BDE=∠DBE=45°．∴∠DEB=90°，∴DE⊥BC．在等腰梯形ABCD中，∵，∴设AD=1，BC=4，过A作AG⊥BC于G，∴四边形AGED是矩形．∴GE=AD=1，∵Rt△ABG≌Rt△DCE，∴BG=EC=1.5，∴AG=DE=BE=2.5∴AB=CD==5，∵∠ABC=∠C=∠FDE，∵∠CDE+∠C=90°，∴∠FDE+∠CDE=90°∴∠FDB+∠BDC+∠FDB=∠FDB+∠DFE=90°，∴∠BDC=∠DFE，∵∠DEF=∠DBC=45°，∴△BDC∽△DEF，∴，∴DF=，∴BF=，∴AF=AB﹣BF=，∴=．故选B．【点评】此题考查等腰梯形的性质，翻折的性质，三角形全等的判定与性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，注意结合图形，作出常用辅助线解决问题．19．如图，在边长为12的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交BC于点G．则BG的长为（）A．5 B．4 C．3 D．2【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】利用翻折变换对应边关系得出AB=AF，∠B=∠AFG=90°，利用HL定理得出△ABG≌△AFG即可；利用勾股定理得出GE2=CG2+CE2，进而求出BG 即可；【解答】解：在正方形ABCD中，AD=AB=BC=CD，∠D=∠B=∠BCD=90°，∵将△ADE沿AE对折至△AFE，∴AD=AF，DE=EF，∠D=∠AFE=90°，∴AB=AF，∠B=∠AFG=90°，又∵AG=AG，在Rt△ABG和Rt△AFG中，，∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），∴BG=GF，∵E是边CD的中点，∴DE=CE=6，设BG=x，则CG=12﹣x，GE=x+6，∵GE2=CG2+CE2∴（x+6）2=（12﹣x）2+62，解得x=4∴BG=4．故选B．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理的综合应用以及翻折变换的性质，根据翻折变换的性质得出对应线段相等是解题关键．20．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，0），B（﹣2，3），C（﹣3，1）．将△ABC沿y轴翻折得到△A′B′C′，则点B′的坐标为（）A．（2，1）B．（2，3）C．（4，1）D．（0，2）【考点】翻折变换（折叠问题）；坐标与图形性质．【分析】根据关于y轴对称的点的特点找到B'，结合直角坐标系可得出点B′的坐标．【解答】解：∵将△ABC沿y轴翻折得到△A′B′C′，∴点B与点B′关于y轴对称，∴B′（2，3），故选B．【点评】本题考查了翻折变换﹣折叠问题，坐标与图形的关系，熟记关于y轴对称的点的特点是解答本题的关键．21．如图，△ABC周长为36cm，把其边AC对折，使点C、A重合，折痕交BC 边于点D，交AC边于点E，连结AD，若AE=6cm，则△ABD的周长是（）A．24cm B．26cm C．28cm D．30cm【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】根据翻折变换的性质可得AE=EC，AD=CD，然后求出△ABD的周长=AB+BC，代入数据计算即可得解．【解答】解：∵△ABC的边AC对折顶点C和点A重合，∴AE=EC，AD=CD，∴△ABD的周长=AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC，∵AE=6cm，∴AC=AE+EC=6+6=12，∵△ABC的周长为36cm，∴AB+BC=36﹣12=24cm，∴△ABD的周长是24cm．故选A．【点评】本题考查了翻折变换的性质，熟记翻折前后的两个图形能够完全重合得到相等的边是解题的关键．22．如图，矩形ABCD中，AB=8，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，AE交CD于点F，若AF=，则AD的长为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】根据平行线的性质和翻转变换的性质得到FD=FE，FA=FC，根据勾股定理计算即可．【解答】解：∵DC∥AB，∴∠FCA=∠CAB，又∠FAC=∠CAB，∴∠FAC=∠FCA，∴FA=FC=，∴FD=FE，∵DC=AB=8，AF=，∴FD=FE=8﹣=，∴AD=BC=EC==6，故选：D．【点评】本题考查的是翻转变换的性质，翻转变换是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．23．如图的实线部分是由Rt△ABC经过两次折叠得到的，首先将Rt△ABC沿BD折叠，使点C落在斜边上的点C′处，再沿DE折叠使点A落在DC′延长线上的点A′处，若图中，∠A=30°，BC=5cm，则折痕DE的长为（）A．B．2C．2D．【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠ABC=60°，翻折前后两个图形能够互相重合可得∠BDC=∠BDC′，∠CBD=∠ABD=30°，∠ADE=∠A′DE，然后求出∠BDE=90°，再解直角三角形求出BD，然后求出DE即可．【解答】解：∵△ABC是直角三角形，∠A=30°，∴∠ABC=90°﹣30°=60°，∵将Rt△ABC沿BD折叠，使点C落在斜边上的点C′处，∴∠BDC=∠BDC′，∠CBD=∠ABD=∠ABC=30°，∵沿DE折叠点A落在DC′的延长线上的点A′处，∴∠ADE=∠A′DE，∴∠BDE=∠ABD+∠A′DE=×180°=90°，在Rt△BCD中，BD=BC÷cos30°=5÷=cm，在Rt△BDE中，DE=BD•tan30°=×=cm．故选：D．【点评】本题考查了翻折变换的性质，解直角三角形，熟记性质并分别求出有一个角是30°角的直角三角形是解题的关键．24．如图一直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于（）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】首先根据题意得到：△AED≌△ACD；进而得到AE=AC=6，DE=CD；根据勾股定理求出AB=10；再次利用勾股定理列出关于线段CD的方程，问题即可解决．【解答】解：由勾股定理得：==10，由题意得：△AED≌△ACD，∴AE=AC=6，DE=CD（设为x）；∠AED=∠C=90°，∴BE=10﹣6=4，BD=8﹣x；由勾股定理得：（8﹣x）2=42+x2，解得：x=3（cm），故选B．【点评】该命题主要考查了翻折变换及其应用问题；解题的关键是借助翻折变换的性质，灵活运用勾股定理、全等三角形的性质等几何知识来分析、判断、推理或解答．25．如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，则重叠部分△AFC的面积为（）A．6 B．8 C．10 D．12【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】因为BC为AF边上的高，要求△AFC的面积，求得AF即可，求证△AFD′≌△CFB，得BF=D′F，设D′F=x，则在Rt△AFD′中，根据勾股定理求x，于是得到AF=AB﹣BF，即可得到结果．【解答】解：易证△AFD′≌△CFB，∴D′F=BF，设D′F=x，则AF=8﹣x，在Rt△AFD′中，（8﹣x）2=x2+42，解之得：x=3，∴AF=AB﹣FB=8﹣3=5，∴S△AFC=•AF•BC=10．故选C．【点评】本题考查了翻折变换﹣折叠问题，勾股定理的正确运用，本题中设D′F=x，根据直角三角形AFD′中运用勾股定理求x是解题的关键．26．如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=9，将此矩形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（）A．6 B．8 C．10 D．12【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】根据折叠的条件可得：BE=DE，在直角△ABE中，利用勾股定理就可以求解．【解答】解：将此长方形折叠，使点B与点D重合，∴BE=ED．∵AD=AE+DE=AE+BE=9．∴BE=9﹣AE，根据勾股定理可知AB2+AE2=BE2．解得AE=4．∴△ABE的面积为3×4÷2=6．故选：A．【点评】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．27．如图所示，有一块直角三角形纸片，∠C=90°，AC=2，BC=，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则CE的长为（）A．B．C．1 D．【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】由有一块直角三角形纸片，∠C=90°，AC=2，BC=，利用勾股定理即可求得AB的长，然后由折叠的性质，求得AE的长，继而求得答案．【解答】解：∵∠C=90°，AC=2，BC=，∴AB==，由折叠的性质可得：AE=AB=，∴CE=AE﹣AC=．故选A．【点评】此题考查了折叠的性质以及勾股定理．注意掌握折叠前后图形的对应关系是解此题的关键．28．如图所示，折叠平行四边形的一边AD，使点A落在DC边上的点E处，已知AB=6，BC=4，则EC的长为（）A．1 B．2 C．3 D．1.5【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】利用平行四边形的对边相等得到AD=BC=4，DC=AB=6，再由折叠的性质得到DE=AD，由DC﹣DE求出EC的长即可．【解答】解：由折叠及平行四边形的性质得：AE=AD=BC=4，DC=AB=6，则EC=DC﹣DE=6﹣4=2，故选B．【点评】此题考查了翻折变换（折叠问题），以及平行四边形的性质，熟练掌握折叠的性质是解本题的关键．29．如图，正方形ABCD中，AB=12，点E在边BC上，BE=EC，将△DCE沿DE对折至△DFE，延长EF交边AB于点G，连接DG、BF，给出以下结论：。
知识卡片-翻折变换(折叠问题)
翻折变换（折叠问题）能量储备● 翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．● 折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．● 在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．通关宝典★ 基础方法点方法点1.利用轴对称性质，解决折纸问题例1：将长方形纸片ABCD(如图①所示)按如下步骤操作：(1)以过点A 的直线为折痕折叠纸片，使点B 恰好落在AD 边上，折痕与BC 边交于点E(如图②所示)；(2)以过点E 的直线为折痕折叠纸片，使点A 落在EC 边上，折痕EF 交AD 边于点F(如图③所示)；(3)将纸片展平，那么∠AFE 的度数为( )A .60°B ．67.5°C ．72°D ．75°分析：根据轴对称的性质，可知第一次折叠后∠EAD ＝45°，∠AEC ＝135°；第二次折叠后，∠AEF ＝67.5°，∠FAE ＝45°，所以∠AFE ＝67.5°.解：B方法点2.折叠与剪纸的综合应用例1：请分析如图所示的图形，该怎样剪？设法使所剪的次数尽可能少．解：图(1)可以先折叠1次，剪出它的一半即可得到整个图形；图(2)可以折叠2次，剪出它的14即可得到整个图形． 方法点3.解决矩形折叠问题的方法(1)利用折叠的性质：折叠前后的图形能够完全重合，折叠前后的图形对应边相等，对应角相等．(2)此类问题往往通过图形间的折叠找出折叠部分与原图形之间线段或角的联系，从而得到折叠部分与原图形或其他图形之间的关系．(3)尽量将数量关系利用勾股定理列方程．例1：如图所示，将矩形ABCD 沿对角线BD 折叠，点C 的对应点为点C′，BC′与AD 交于点E.若AD ＝8 cm ，AB ＝4 cm ，求△BDE 的面积．解：设DE ＝x cm ，则AE ＝(8－x)cm .由折叠的性质知△BCD 与△BC′D 全等，则∠1＝∠2.在矩形ABCD 中，∵ AD ∥BC ，∴ ∠1＝∠3，∴ ∠2＝∠3，∴ BE ＝DE ＝x.在Rt △ABE 中，由勾股定理，得BE 2＝AB 2＋AE 2，即x 2＝42＋(8－x)2，解得x ＝5.∴ △BDE 的面积为12DE·AB ＝12×5×4＝10(cm 2)． ★★ 易混易误点1.误认为折叠几次就有几条对称轴把一个图形沿一条直线折叠后，如果直线两旁的部分能够相互重合，这条直线才是这个轴对称图形的对称轴，并非是把这个图形折叠的次数当成对称轴的条数．例1：将一张正方形的纸沿对角线对折一次后得到等腰三角形，沿等腰三角形底边上的高对折一次，又得到等腰三角形，再沿着底边上的高对折一次，共对折了三次后，在中间剪去一个小圆，则展开后得到的图形至少有几条对称轴？解：4条．蓄势待发考前攻略折纸由于取材方便，又能有效地考查实践操作、归纳探索、逻辑推理、空间想象等各种能力，因而备受中考命题者的青睐，题型主要以选择题为主.完胜关卡。
图形的对称含图形的折叠课件
知识点梳理3:翻折对称(折叠)的性质及其应用
翻折变换（折叠问题）实 质上就是轴对称变换。 折痕是对称轴，对应点的 连线被折痕垂直平分。 折叠前后的两部分图形全 等，对应角，对应线段，面 积都相等。
考点3:翻折对称(折叠)的性质及其应用 1.把一张正方形纸片如图①、图②对折两次后， 再如图③挖去一个三角形小孔,则展开后图形是( c )
中心对称与中心对称图形
中心对称图形 中心对称
图形
把一个图形绕着某一点旋 转 180°，如果旋转后的 图形能够与原来的图形重 定义 合，那么这个图形叫做中 心对称图形
把一个图形绕着某一点 旋转 180°，如果它能 够与另一个图形重合那 么就说这两个图形关于 这个点对称或中心称， 这个点叫做对称中心
对应线段相等 AB DC, AD ⑥ BC
1 且 AG＝OG＝ (cm)．在 Rt△AEG 中，∵∠EAG 2 3 ＝60° ， ∴∠AEG＝30° ， EG＝ (cm)， ∴EF＝ 3(cm)． 2 答案： 3
二 例
图形的折叠(难点)
(2016徐州27题)如图，将边长为6的
正方形纸片ABCD对折，使AB与DC重合， 折痕为EF.展平后，再将点B折到边CD上，使边AB经过点E，
【点拨】∵P，Q 关于射线 OA 对称， ∴MQ＝MP＝2.5 cm. ∵P，R 关于射线 OB 对称， ∴NR＝NP＝3 cm. ∵MN＝4 cm， ∴QR＝MN＋NR－MQ＝4＋3－2.5＝4.5(cm)． 故选 A. 【答案】 A
考点三
轴对称和中心对称作图
例 3(2014· 齐齐哈尔)如图，四边形 ABCD 中，
A
B
C
D
常见的翻折图形
图① 图②
七年级下翻折问题知识点
七年级下翻折问题知识点翻折是数学中非常重要的一个知识点，它在解决几何问题和计算面积等方面都扮演着重要的角色。
本文将介绍七年级下翻折问题的知识点，希望能够帮助到需要的同学。
一、翻折的基本原理翻折是指将平面上的一个图形沿着一条线折成两半，使得两半各自重合在一起。
这个过程中，折痕就是分割线。
这种折叠方法叫做对称翻折。
二、翻折的种类在学习翻折的过程中，我们会遇到三种不同类型的翻折。
它们分别是：1.对称翻折：一张纸在垂直或水平方向上对折，使得两侧完全对称。
2.折叠翻折：将纸张顺着不同方向进行多次对折，得到更加复杂的几何形状。
3.碎片折叠：将纸张撕成碎片，再按照设计图案的方式进行折叠，得到各种有趣的三维造型。
三、翻折的几何性质翻折具有一些基本的几何性质，这些性质对于理解折叠的原理和计算面积等问题极其重要。
以下是几种常见的几何性质：1. 已知一个三角形，将它平移一定长度，再将平移后的三角形翻折，这个过程中形成的是一种“直线对称”的对称关系。
2. 对于平面中的任意一点，将它沿着两条垂线分别翻折，可以得到这个点的“中心对称”图形。
3. 若图形具有多条对称线，则它们都可以作为折叠的轴线，容易得到形状对称的结果。
四、翻折的应用翻折在数学中的应用十分广泛，我们可以用它来解决各种不同类型的几何问题。
以下是翻折具体的几个应用场景：1. 翻折求多边形面积：可以将多边形进行对称折叠，计算得到总面积后再除以对称的数量得到一份面积，再乘以总共的对称数量。
2. 翻折求曲线面积：可以将曲线图形分割成一个个长方形，计算每个长方形的面积后相加即可。
3. 翻折求几何中心：可以将一张纸在确定两条轴线后对称折叠，得到几何中心。
总结在数学学习中，翻折既是一个必要的基本技能，也是解决问题的一个有效工具。
我们需要认真掌握翻折的基本原理和种类，理解折叠后的几何性质，并能够熟练运用其在各种实际问题中。
图形的翻折--知识讲解
图形的翻折--知识讲解【学习目标】1．理解轴对称图形以及两个图形成轴对称的概念，弄清它们之间的区别与联系，能识别轴对称图形．2．理解图形成轴对称的性质，会画一些简单的关于某直线对称的图形．【要点梳理】要点一、轴对称图形轴对称图形的定义一个图形沿着某一条直线翻折过来，直线两旁的部分能互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．要点诠释：轴对称图形是指一个图形，图形被对称轴分成的两部分能够互相重合．一个轴对称图形的对称轴不一定只有一条，也可能有两条或多条，因图形而定．要点二、轴对称1．轴对称定义把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做对称轴．两个图形中的对应点，叫做关于这条直线的对称点．要点诠释：1．轴对称指的是两个图形的位置关系，两个图形沿着某条直线对折后能够完全重合．2．成轴对称的两个图形对应线段的长度和对应角的大小相等，他们的形状相同，大小不变．2．轴对称与轴对称图形的区别与联系轴对称与轴对称图形的区别主要是：轴对称是指两个图形，而轴对称图形是一个图形；轴对称图形和轴对称的关系非常密切，若把成轴对称的两个图形看作一个整体，则这个整体就是轴对称图形；反过来，若把轴对称图形的对称轴两旁的部分看作两个图形，则这两个图形关于这条直线（原对称轴）对称．要点三、轴对称与轴对称图形的性质轴对称的性质：若两个图形关于某直线对称，那么对称轴垂直平分任何一对对应点所连线段；轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴也垂直平分任何一对对应点所连线段．要点四、对称轴的作法在成轴对称的两个图形中，分别联结两对对应点，取中点，联结两个中点所得的直线就是对称轴．要点诠释：在轴对称图形和成轴对称的两个图形中，对应线段、对应角相等．成轴对称的两个图形，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点一定在对称轴上．如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称．【典型例题】类型一、判断轴对称图形1、在下图的几何图形中，一定是轴对称图形的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】D；【解析】每个图形都能找到对称轴，使对称轴两边的图形重合【总结升华】我们将图中的图形分别沿着某条直线对折，看看图形的两边能否重合，若重合则是轴对称图形，否则就不是．举一反三：【变式】下列图形中，对称轴最少的对称图形的是 ( )【答案】A；提示：A一条对称轴，B四条对称轴，C五条对称轴，D三条对称轴．2、将一个正方形纸片依次按图a，b的方式对折，然后沿图c中的虚线裁剪，成图d样式，将纸展开铺平，所得到的图形是图中的（）【思路点拨】根据轴对称的性质将最后一个图形一步一步的还原，做出他关于某条对称轴的对称图形，即可得到最后的答案.【答案】D；【解析】【总结升华】只需要根据对称轴补全图形就能找到答案，或者就真正的实际动手操作一下，这里推荐利用我们所学过的轴对称的知识解决问题．举一反三：【变式】将一等腰直角三角形纸片对折后再对折，得到如图所示的图形，然后将阴影部分剪掉，把剩余部分展开后的平面图形是（ ）【答案】A ；类型二、作轴对称图形3、如图，在10×10的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点△ABC （即三角形的顶点都在格点上）．（1）在图中作出△ABC 关于直线l 对称的△A 1B 1C 1；（要求：A 与A 1，B 与B 1，C 与C 1相对应）（2）在（1）问的结果下，连接BB 1，CC 1，求四边形BB 1C 1C 的面积．【思路点拨】（1）关于轴对称的两个图形，各对应点的连线被对称轴垂直平分．做BM ⊥直线l 于点M ，并延长到B 1，使B 1M=BM ，同法得到A ，C 的对应点A 1，C 1，连接相邻两点即可得到所求的图形；（2）由图得四边形BB 1 C 1C 是等腰梯形，BB 1=4，CC 1=2，高是4，根据梯形的面积公式进行计算即可．【答案与解析】 解（1）如图，△A 1B 1C 1 是△ABC 关于直线l 的对称图形．（2）由图得四边形BB 1C 1C 是等腰梯形，BB 1=4，CC 1=2，高是4．()11111BB CC 42S =+⨯四形B B C C 边=12(4+2)×4=12．【总结升华】此题主要考查了作轴对称变换，在画一个图形的轴对称图形时，先确定一些特殊点的对称点，找到这些特殊点的对称点之后，联结即可．【变式】以直线l 为对称轴画出图的另一半．【答案】做圆弧的对称图形时以原来圆弧的圆点为圆点，原半径为半径作出圆弧的对称图形．对于矩形的对称图形和外框图形的对称图形首先作出各顶点关于l的对称点，连接对称点即为原图形的对称图形．类型三、作对称轴4、下图中的两个图形是轴对称图形，如何画出它们的对称轴呢？【答案与解析】(1)联结AA'、BB'(2)取AA'的中点E ，BB'的中点F，（3）联结EF，则直线EF为所求的对称轴．。
自学初中数学资料 折叠问题 图形的翻折、轴对称(资料附答案)
自学资料一、图形的翻折、轴对称【知识探索】1．如果把一个图形沿某一条直线翻折，能与另一个图形重合，那么叫做这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做对称轴，两个图形中的对应点叫做关于这条直线的对称点．【说明】（1）两个图形关于一条直线成轴对称，这两个图形对应线段的长度和对应角的大小相等，它们的形状相同，大小不变；（2）在成轴对称的两个图形中，分别联结两对对应点，取中点，联结两个中点所得的直线就是对称轴．2．把一个图形沿某一条直线翻折过来，直线两旁的部分能够相互重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．【错题精练】第1页共26页自学七招之日计划护体神功：每日计划安排好，自学规划效率高非学科培训第2页 共26页 自学七招之提前完卷飞刀：考场控时莫紧张，跳跃答卷心不慌 非学科培训例1．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，P 是AB 边上的动点（不与点B 重合），将△BCP 沿CP 所在的直线翻折，得到△B′CP ，连接B′A ，则下列判断：①当AP=BP 时，AB′∥CP ；②当AP=BP 时，∠B′PC=2∠B′AC③当CP ⊥AB 时，AP=175；④B′A 长度的最小值是1．其中正确的判断是______ （填入正确结论的序号）【解答】解：①∵在△ABC 中，∠ACB=90°，AP=BP ，∴AP=BP=CP ，∠BPC=12（180°-∠APB′），由折叠的性质可得：CP=B′P ，∠CPB′=∠BPC=12（180°-∠APB′），∴AP=B′P ，∴∠AB′P=∠B′AP=12（180°-∠APB′），∴∠AB′P=∠CPB′，∴AB′∥CP ；故①正确；②∵AP=BP ，∴PA=PB′=PC=PB ，∴点A ，B′，C ，B 在以P 为圆心，PA 长为半径的圆上，∵由折叠的性质可得：BC=B′C ， ∴BC ̂=B′C ̂，∴∠B′PC=2∠B′AC ；故②正确；③当CP ⊥AB 时，∠APC=∠ACB ，∵∠PAC=∠CAB ，∴△ACP ∽△ABC ，∴APAC =ACAB ，∵在Rt △ABC 中，由勾股定理可知：AC=√AB 2−BC 2=√52−32=4，∴AP=AC 2AB =165；故③错误；④由轴对称的性质可知：BC=CB′=3，∵CB′长度固定不变，∵AB'≥AC-CB'∴AB′的长度有最小值．AB′有最小值=AC-B′C=4-3=1．故④正确．故答案为：①②④．【答案】①②④例2．如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH．现给出以下四个命题（1）∠APB=∠BPH；（2）当点P在边AD上移动时，△PDH的周长不发生变化；（3）∠PBH=45°；（4）BP=BH．其中正确的命题是______．【解答】（1）证明：如图1，∵PE=BE，∴∠EBP=∠EPB．又∵∠EPH=∠EBC=90°，∴∠EPH-∠EPB=∠EBC-∠EBP．即∠PBC=∠BPH．又∵AD∥BC，∴∠APB=∠PBC．∴∠APB=∠BPH．故（1）正确；（2））△PHD的周长不变为定值8．第3页共26页自学七招之举一反三剑：总结归纳典型题，多种解法开脑洞非学科培训第4页 共26页 自学七招之提前完卷飞刀：考场控时莫紧张，跳跃答卷心不慌 非学科培训证明：如图2，过B 作BQ ⊥PH ，垂足为Q ．由（1）知∠APB=∠BPH ，在△ABP 和△QBP 中，{∠APB =∠BPH∠A =∠BQP BP =BP∴△ABP ≌△QBP （AAS ）．∴AP=QP ，AB=BQ ．又∵AB=BC ，∴BC=BQ ．又∵∠C=∠BQH=90°，BH=BH ，∴△BCH ≌△BQH ．∴CH=QH ．∴△PHD 的周长为：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8．故（2）正确；（3）解：∵△ABP ≌△QBP （AAS ）、△BCH ≌△BQH ．∴∠QBH=∠HBC ，∠ABP=∠PBQ ，∴∠PBH=∠PBQ+∠QBH=12∠ABC=45°．故（3）正确；（4）解：∵∠PBH=45°固定不变，∴当点P 在AD 上移动时，∠BPH 的度数不断发生变化，∴∠BPH 的度数与∠BHP 不一定相等，故BP 与BH 不一定相等．故答案为：（1）（2）（3）．【答案】（1）（2）（3）例3．如图，把某矩形纸片ABCD 沿EF ，GH 折叠（点E ，H 在AD 边上，点F ，G 在BC 边上），使点B 和点C 落在AD 边上同一点P 处，A 点的对称点为A′点，D 点的对称点为D′点，若∠FPG ＝90°，△A′EP 的面积为4，△D′PH 的面积为1，则矩形ABCD 的面积等于【答案】例4．如图，在菱形紙片ABCD中，AB=2．将纸片折叠，使点B落在AD边上的点B′处（不与A，D重合），点C落在C′处，线段B′C′与直线CD交于点G，折痕为EF，则下列说法①若∠A=90，B′为AD中点时，AE=34②若∠A=60°，B′为AD中点时，点E恰好是AB的中点③若∠A=60°，C′F⊥CD时，CFFD =√3−12其中正确的是（）第5页共26页自学七招之举一反三剑：总结归纳典型题，多种解法开脑洞非学科培训第6页 共26页 自学七招之提前完卷飞刀：考场控时莫紧张，跳跃答卷心不慌 非学科培训A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③【解答】解：①∵∠A=90°，四边形ABCD 是菱形，∴四边形ABCD 是正方形，∴AB=AD ，∵B′为AD 中点时，∴AB'=1，设AE=x ，则B'E=BE=2-x ，在Rt △AB'E 中，由勾股定理得：12+x 2=（2-x ）2，解得：x=34，①正确； ②连接BD 、BE'，如图：∵∠A=60°，AB=AD ，∴△ABD 是等边三角形，∴∠ABD=60°，∵B′为AD 中点，∴∠AB'B=90°，∠ABB'=30°∵BE=B'E ，∴∠BB'E=∠ABB'=30°，∴∠AB'E=60°，∴△AB'E 是等边三角形，∴AE=B'E=BE ，∴点E 是AB 的中点，②正确；③设CF=x ，由折叠的性质得：C'F=CF=x ，∠C'=∠C=∠A=60°，∵C′F ⊥CD ，∴∠C'GF=30°，∴C'G=2C'F=2x ，GF=√3C'F=√3x ，∴DG=CD-GF-CF=2-√3x-x ，∵∠D=180°-∠A=120°，∠DGB'=∠C'GF=30°，∴∠DB'G=30°，∴DB'=DG ，设BD 交B'C'于H ，则B'H=GH=12B'G=12（2-2x ）=1-x ，∴DG=2（1−x ）√3，∴2（1−x ）√3=2-√3x-x ， 解得：x=4-2√3，∴CF=4-2√3，FD=2-（4-2√3）=2√3-2，∴CF FD =√3−12，③正确； 故选：D ．【答案】D例5．如图，以半圆的一条弦BC为对称轴将弧BC折叠后与直径AB交于点D，若AD＝4，BD=8，则CB的长为__________【解答】第7页共26页自学七招之举一反三剑：总结归纳典型题，多种解法开脑洞非学科培训【答案】例6．如图，矩形ABCD中，BC=3，且BC＞AB，E为AB边上任意一点（不与A，B重合），设BE=t，将△BCE沿CE对折，得到△FCE，延长EF交CD的延长线于点G，则tan∠CGE= （用含t的代数式表示）．【解答】解：如图连接BF交EC于O，作EM⊥CD于M，∵∠EMC=∠EBC=∠BCM=90°，∴四边形EBCM是矩形，∴CM=EB=t，EM=BC=3，在RT△EBC中，∵EB=t，BC=3，∴EC=√t2+32=√t2+9，∵EB=EF，CB=CF，∴EC垂直平分BF，∵12•EC•BO=12•EB•BC，∴BO=3t√t2+9，BF=2BO=6t√t2+9∵∠AEF+∠BEF=180°，∠BEF+∠BCF=180°，∴∠AEF=∠BCF，∵AB∥CD，∴∠BEC=∠ECG=∠CEF，∠AEF=∠G=∠BCF ∴GE=GC，∴∠GCE=∠GEC=∠CFB=∠CBF，∴△CBF∽△GCE，∴GCBC =ECBF，第8页共26页自学七招之提前完卷飞刀：考场控时莫紧张，跳跃答卷心不慌非学科培训∴GC=t 2+92t，GM=GC-CM=9−t22t，∴tan∠CGE=EMGM =6t9−t2．故答案为6t9−t2．【答案】6t9−t2例7．阅读下面材料：在学习小组活动中，小明探究了下面问题：菱形纸片ABCD的边长为2，折叠菱形纸片，将B、D两点重合在对角线BD上的同一点处，折痕分别为EF、GH．当重合点在对角线BD上移动时，六边形AEFCHG的周长的变化情况是怎样的？小明发现：若∠ABC=60°，①如图1，当重合点在菱形的对称中心O处时，六边形AEFCHG的周长为______；②如图2，当重合点在对角线BD上移动时，六边形AEFCHG的周长______（填“改变”或“不变”）．请帮助小明解决下面问题：如果菱形纸片ABCD边长仍为2，改变∠ABC的大小，折痕EF的长为m．（1）如图3，若∠ABC=120°，则六边形AEFCHG的周长为______；（2）如图4，若∠ABC的大小为2α，则六边形AEFCHG的周长可表示为______．【解答】解：①如图1，当重合点在菱形的对称中心O处时，由题意可知△BEF和△DGH是等边三角形，∴EF+AE+AG+GH+CH+CF=BE+AE+AG+GD+DH+CH=2+2+2=6．∴六边形AEFCHG的周长为6；②如图2，当重合点在对角线BD上移动时，由题意可知△BEF和△DGH是等边三角形，∴EF+AE+AG+GH+CH+CF=BE+AE+AG+GD+DH+CH=2+2+2=6．∴六边形AEFCHG的周长为6．故六边形AEFCHG的周长不变．（1）如图3，若∠ABC=120°，由题意可知EF+GH=AC，则六边形AEFCHG的周长为2×2+2×sin60°×2=4+2√3；（2）如图4，若∠ABC的大小为2α，由题意可知EF+GH=AC，则六边形AEFCHG的周长可表示为2×2+2×sinα×2=4+4sinα．故答案为：①6；②不变．（1）4+2√3；（2）4+4sinα．第9页共26页自学七招之举一反三剑：总结归纳典型题，多种解法开脑洞非学科培训【答案】6不变4+2√34+4sinα例8．已知边长为3的正方形ABCD中，点E在射线BC上，且BE=2CE，连接AE交射线DC于点F，若△ABE沿直线AE翻折，点B落在点B1处．（1）如图1，若点E在线段BC上，求CF的长；（2）求sin∠DAB1的值；（3）如果题设中“BE=2CE”改为“BECE=x”，其它条件都不变，试写出△ABE翻折后与正方形ABCD公共部分的面积y与x的关系式及自变量x的取值范围（只要写出结论，不需写出解题过程）．【解答】（1）解：∵AB∥DF，∴ABCF =BECE，∵BE=2CE，AB=3，∴3CF =2CECE，∴CF=32；（2）解：①若点E在线段BC上，如图1，设直线AB1与DC相交于点M．由题意翻折得：∠1=∠2．∵AB∥DF，∴∠1=∠F，∴∠2=∠F，∴AM=MF．设DM=x，则CM=3−x．又∵CF=1.5，∴AM=MF=92−x，在Rt△ADM中，AD2+DM2=AM2，∴32+x2=(92−x)2，∴x=54，∴DM=54，AM=134，第10页共26页自学七招之提前完卷飞刀：考场控时莫紧张，跳跃答卷心不慌非学科培训∴sin∠DAB1=DMAM =513；②若点E在边BC的延长线上，如图2，设直线AB1与CD延长线相交于点N．同理可得：AN=NF．∵BE=2CE，∴BC=CE=AD．∵AD∥BE，∴ADCE =DFFC，∴DF=FC=32，设DN=x，则AN=NF=x+32．在Rt△ADN中，AD2+DN2=AN2，∴32+x2=(x+32)2，∴x=94．∴DN=94，AN=154sin∠DAB1=DNAN=35；（3）解：若点E在线段BC上，y=9x2x+2，定义域为x>0；若点E在边BC的延长线上，y=9x−92x，定义域为x>1．【答案】（1）32；（2）①513，②35；（3）略．【举一反三】1．如图，已知△ABC中，AB=8，BC=7，AC=6，E是AB的中点，F是AC边上一个，综上所述，EF的长为72或143．72或1432．如图，在菱形纸片ABCD中，AB=4，∠A=60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD边的中点E处，折痕为FG，点F、G分别在边AB、AD上，则GE=______，EF=______．【解答】解：如图过点E作EH⊥AD于H，EN⊥AB于N，过点A作AM⊥CD于M∵ABCD是菱形，∴AB∥CD，AD=AB=CD=AB=4∴∠ADM=∠BAD=∠HDE=60°∵E是CD中点∴DE=2在Rt△DHE，中，DE=2，HE⊥DH，∠HDE=60°∴DH=1，HE=√3∵折叠∴AG=GE，AF=EF在Rt△HGE中，GE2=GH2+HE 2∴GE2=（4-GE+1）2+3∴GE=2.8在Rt△AMD中，AD=4，AM⊥DM，∠ADM=60°∴MD=2，AM=2√3∵AB∥CD，AM∥EN∴AMEN是平行四边形且AM⊥CD∴AMEN是矩形∴AN=ME=2+2=4，（即N与B重合）AM=EN=2√3在Rt△FBE中，EF2=EN2+FB 2EF2=（4-EF）2+12EF=3.5【答案】2.83.53．折叠矩形纸片ABCD时，发现可以进行如下操作：①把△ADE翻折，点A落在DC边上的点F处，折痕为DE，点E在AB边上；②把纸片展开并铺平；③把△CDG翻折，点C落在线段AE上的点H处，折痕为DG，点G在BC边上，若AB=AD+2，EH=1，则AD=______．【解答】解：设AD=x，则AB=x+2，∵把△ADE翻折，点A落在DC边上的点F处，∴DF=AD，EA=EF，∠DFE=∠A=90°，∴四边形AEFD为正方形，∴AE=AD=x，∵把△CDG翻折，点C落在线段AE上的点H处，折痕为DG，点G在BC边上，∴DH=DC=x+2，∵HE=1，∴AH=AE-HE=x-1，在Rt△ADH中，∵AD2+AH2=DH2，∴x2+（x-1）2=（x+2）2，整理得x2-6x-3=0，解得x1=3+2√3，x2=3-2√3（舍去），即AD的长为3+2√3．故答案为3+2√3．【答案】3+2√34．小明尝试着将矩形纸片 ABCD （如图①， AD＞CD ）沿过 A 点的直线折叠，使得 B 点落在 AD 边上的点 F 处，折痕为 AE （如图②）；再沿过 D 点的直线折叠，使得 C 点落在 DA 边上的点 N 处， E 点落在 AE 边上的点 M 处，折痕为 DG （如图③）．如果第二次折叠后， M 点正好在 ∠ NDG 的平分线上，那么矩形 ABCD 长与宽的比值为．【答案】√2：1 ．5．如图，AC是矩形ABCD的对角线，⊙O是△ABC的内切圆，现将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，使点D与点O重合，折痕为FG，点F，G分别在AD，BC上，连接OG，DG，若OG⊥DG，且⊙O 的半径长为1，则下列结论不成立的是（）A. CG=1B. 矩形ABCD的面积为6+4√3C. ∠ACB=30°D. AF=2√3【解答】解：如图，设⊙O 与BC 的切点为M ，连接MO 并延长MO 交AD 于点N ，∵将矩形ABCD 按如图所示的方式折叠，使点D 与点O 重合，折痕为FG ，∴OG=DG ，∵OG ⊥DG ，∴∠MGO+∠DGC=90°，∵∠MOG+∠MGO=90°，∴∠MOG=∠DGC ，在△OMG 和△GCD 中，{∠OMG =∠DCG =90°∠MOG =∠DGC OG =DG，∴△OMG ≌△GCD ，∴OM=GC=1，CD=GM=BC-BM-GC=BC-2．故A 正确，∵AB=CD ，∴BC-AB=2．设AB=a ，BC=b ，AC=c ，⊙O 的半径为r ，⊙O 是Rt △ABC 的内切圆可得r=12（a+b-c ），∴c=a+b-2．在Rt △ABC 中，由勾股定理可得a 2+b 2=（a+b-2）2，整理得2ab-4a-4b+4=0，又∵BC-AB=2即b=2+a ，代入可得2a （2+a ）-4a-4（2+a ）+4=0，解得a 1=1+√3，a 2=1-√3（舍去），∴a=1+√3，b=3+√3，∴S 矩形ABCD =AB•BC=6+4√3，故B 正确，∴tan ∠ACB=AB BC =√33，∴∠ACB=30°，故C 正确，再设DF=x ，在Rt △ONF 中，FN=3+√3-1-x ，OF=x ，ON=1+√3-1=√3，由勾股定理可得（2+√3-x ）2+（√3）2=x 2，解得x=4-√3，∴AF=AD-DF=2√3-1，故D 错误，故选：D ．【答案】D6．如图，在⊙O 中，将AB̂沿弦AB 翻折交半径AO 的延长线于点D ，延长BD 交⊙O 于点C ，AC 切ADB ̂所在的圆于点A ，则tan ∠C 的值是（ ）A. √3B. 43C. 2+√3D. 1+√2【解答】解：作点D关于AB的对称点H，连接AH，BH，CH．根据对称性可知，ADB̂所在圆的圆心在直线AH上，∵AC切ADB̂所在的圆于点A，∴AC⊥AH，∴∠CAH=90°，∴CH是⊙O的直径，∴∠CBH=90°，∴∠ABD=∠ABH=45°，∴∠AHC=∠ABC=45°，∴∠ACH=∠AHC=45°，∴AC=AH，∵OC=OH，∴AD垂直平分线段CH，∴DC=DH，∴∠DCH=∠DHC，∵BD=BH，∴∠BDH=∠BHD=45°，∵∠BDH=∠DCH+∠DHC，∴∠DCH=22.5°，∴∠ACD=∠CHB=67.5°，设BD=BH=a，则CD=DH=√2a，∴tan∠ACB=tan∠CHB=BCBH =a+√2aa=1+√2，故选：D．【答案】D7．半径为2的圆弧形纸片按如图方式折叠，使对折后半圆弧的中点M与圆心O重合，则图中阴影部分的面积是______．【解答】解：如图，连接OM交AB于点C，连接OA、OB，由题意知，OM⊥AB，且OC=MC=1，在Rt△AOC中，∵OA=2，OC=1，∴cos∠AOC=OCOA =12，AC=√OA2−OC2=√3∴∠AOC=60°，AB=2AC=2√3，∴∠AOB=2∠AOC=120°，则S弓形ABM=S扇形OAB-S△AOB=120π×22360-12×2√3×1=4π3-√3，S阴影=S半圆-2S弓形ABM=1 2π×22-2（4π3-√3）=2√3−23π．故答案为：2√3−23π．【答案】2√3−23π8．如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的C1处，点D落在点D1处，C1D1交线段AE于点G．（1）求证：△BC1F∽△AGC1；（2）若C1是AB的中点，AB=6，BC=9，求AG的长．1．如图，在四边形纸片ABCD中，AB=BC，AD=CD，∠A=∠C=90°，∠B=150°，将纸片先沿直线BD 对折，再将对折后的图形沿从一个顶点出发的直线裁剪，剪开后的图形打开铺平，若铺平后的图形中有一个是面积为2的平行四边形，则BC= ．【解答】解：如图1所示：作AE∥BC，延长AE交CD于点N，过点B作BT⊥EC于点T，当四边形ABCE为平行四边形，∵AB=BC，∴四边形ABCE是菱形，∵∠A=∠C=90°，∠B=150°，BC∥AN，∴∠ADC=30°，∠BAN=∠BCE=30°，则∠NAD=60°，∴∠AND=90°，∵四边形ABCE面积为2，∴设BT=x，则BC=EC=2x，故2x×x=2，解得：x=1（负数舍去），故BC=2；如图2，当四边形BEDF是平行四边形，∵BE=BF，∴平行四边形BEDF是菱形，∵∠A=∠C=90°，∠B=150°，∴∠ADB=∠BDC=15°，∵BE=DE，∴∠AEB=30°，∴设AB=y，则BE=2y，∵四边形BEDF面积为2，∴AB×DE=2y2=2，解得：y=1，故BC=1，综上所述：BC=2或1．故答案为：2或1．【答案】2或1̂沿BD翻折，点C的对称点C′恰好落在AB 2．如图，已知半圆的内接四边形ABCD，AB是直径，DCB上．若AC′=4，C′B=5，则BD的长是（）A. 4√3B. 3√7C. 7D. 8【解答】解：作DE⊥AB于E，连接DC′，由折叠的性质可知，CD=C′D，∠CBD=∠C′BD，∴DA=DC，∴AD=C′D，又DE⊥AB，∴AE=EC′=2，∴EB=7，由射影定理得，DE2=AE•EB=14，在Rt△DEB中，BD2=DE2+BE2=63，∴BD=3√7，故选：B．【答案】B3．如图，正方形ABCD中，AB=3，点E在边CD上，且CD=3DE，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．下列结论：①点G是BC中点；②FG=FC；③与∠AGB相等的角有5个；④S△FGC=910．其中正确的是（）A. ①③B. ②③C. ①④D. ②④【解答】解：∵正方形ABCD中，AB=3，CD=3DE，∴DE=13×3=1，CE=3-1=2，∵△ADE沿AE对折至△AFE，∴AD=AF，EF=DE=1，∠AFE=∠D=90°，∴AB=AF=AD，在Rt△ABG和Rt△AFG中，{AG=AGAB=AF，∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），∴BG=FG，设BG=FG=x，则EG=EF+FG=1+x，CG=3-x，在Rt△CEG中，EG2=CG2+CE2，即（1+x）2=（3-x）2+22，解得，x=32，∴CG=3-32=3 2，∴BG=CG=32，即点G是BC中点，故①正确；∵tan∠AGB=ABBG =332=2，∴∠AGB≠60°，∴∠CGF≠180°-60°×2≠60°，又∵BG=CG=FG，∴△CGF不是等边三角形，∴FG≠FC，故②错误；由（1）知Rt △ABG ≌Rt △AFG ，∴∠AGB=∠AGF=12∠BGF ，根据三角形的外角性质，∠GCF+∠GFC=∠AGB+∠AGF ，∴∠GCF=∠GFC=∠AGB ，∵AD ∥BC ，∴∠AGB=∠GAD ，∴与∠AGB 相等的角有4个，故③错误；△CGE 的面积=12CG•CE=12×32×2=32， ∵EF ：FG=1：32=2：3，∴S △FGC =32+3×32=910，故④正确； 综上所述，正确的结论有①④．故选：C ．【答案】C4．如图，在矩形ABCD 中，AB=2，AD=5，点P 在线段BC 上运动，现将纸片折叠，使点A 与点P 重合，得折痕EF （点E 、F 为折痕与矩形边的交点），设BP=x ，当点E 落在线段AB 上，点F 落在线段AD 上时，x 的取值范围是______．【解答】解：如图；①当F 、D 重合时，BP 的值最小；根据折叠的性质知：AF=PF=5；在Rt △PFC 中，PF=5，FC=2，则PC=√21；∴BP 的最小值为5-√21；②当E 、B 重合时，BP 的值最大；由折叠的性质可得AB=BP=2，即BP的最大值为2．所以x的取值范围是5-√21≤x≤2．故答案为：5-√21≤x≤2．【答案】5-√21≤x≤25．如图，现有边长为5的正方形纸片ABCD，点P为AD边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在点P处，点C落在点G处，PG交DC于点H，折痕为EF连结BP，BH．当AP=2时，PH=______．【解答】解：设AE=x，则BE=5-x．由翻折的性质可知：BE=PE=x，∠APG=∠ABC=90°．∴∠APE+∠DPH=90°．∵∠AEP+∠APE=90°，∴∠AEP=∠DPH．又∵∠A=∠D=90°，∴△APE∽△DHP．在Rt△APE中，PE2=AE2+AP2，即（5-x）2=x2+22，解得x=2.1．则PE=5-2.1=2.9．∵△APE∽△DHP，∴EPPH =AEPD，即2.9PH=2.13，解得：PH=297．故答案为：297．【答案】2976．如图，矩形纸片ABCD中，AD=15cm，AB=10cm，点P、Q分别为AB、CD的中点，E、G分别为BC、PQ上的点，将这张纸片沿AE折叠，使点B与点G重合，则△AGE的外接圆的面积为______．【解答】解：由翻折的性质得，AG=AB，∠GAE=∠BAE，∵点P、Q分别为AB、CD的中点，∴AP=12AB，∴AP=12AG，∴∠AGP=30°，∴∠PAG=90°-∠AGP=90°-30°=60°，∴∠BAE=12∠PAG=12×60°=30°，在Rt△ABE中，AE=AB÷cos30°=10÷√32=20√33cm，∴△AGE的外接圆的面积=π（AE2）2=π（12×20√33）2=1003πcm2．故答案为：1003πcm2．【答案】1003πcm27．如图，矩形ABCD中，AD=10，AB=8，点E为边DC上一动点，连接AE，把△ADE沿AE折叠，使点D落在点D′处，当△DD′C是直角三角形时，DE的长为______．【解答】解：∵△ADE沿AE折叠，使点D落在点D′处，∴DE=D′E，AD=AD′=10，当∠DD′C=90°时，如图1，∵DE=D′E，∴∠1=∠2，∵∠1+∠4=90°，∠2+∠3=90°，∴∠3=∠4，∴ED′=EC，CD=4；∴DE=EC=12当∠DCD′=90°时，则点D′落在BC上，如图2，设DE=x，则ED′=x，CE=8-x，∵AD′=AD=10，∴在Rt△ABD′中，BD′=√102−82=6，∴CD′=4，在Rt△CED′中，（8-x）2+42=x2，解得x=5，即DE的长为5，综上所述，当△DD′C是直角三角形时，DE的长为4或5．故答案为4或5．【答案】4或5。
图形的对称、平移、 旋转、折叠—初中数学课件ppt
5. (2014广东)如图1-27-4，△ABC绕点A顺时针旋转 45°得到△AB′C′，若∠BAC=90°，AB=AC= ，则图 中阴影部分的面积等于________________.
6. （2018株洲）如图1-27-5，O为坐标原点，△OAB是
等腰直角三角形，∠OAB=90°，点B的坐标（0， ），
5. 旋转: (1)定义：把一个图形绕某一点O转动一个角度的图形变 换叫做旋转，其中点O叫做___旋__转__中__心_______，转动的 角叫做旋转角. (2)性质:对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转 中心所连线段的夹角等于旋转角.
6. 平移:
(1)定义：把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一 个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同， 图形的这种移动叫做平移变换，简称平移.
17. （2017柳州）如图1-27-12，把这个“十字星”形图 绕其中心点O旋转，当至少旋转__9_0______度后，所得图 形与原图形重合．
18. （2018 毕节）如图1-27-13，在矩形ABCD中，AD=3，
M是CD上的一点，将△ADM沿直线AM对折得到△ANM，若
AN平分∠MAB，则折痕AM的长为( B )
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13. 下列四张扑克牌图案，属于中心对称的是( A )
14. (2017枣庄)如图1-27-9，把正方形纸片ABCD沿对
边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN，再过点B折
叠纸片，使点A落在MN上的点F处，折痕为BE. 若AB的
长为2，则FM的长为( B )
A. 2
B.
C.
D. 1
15.（2017东营）如图1-27-10，把△ABC沿着BC的方向平
(2)性质:①平移不改变图形的大小和形状，但图形上的 每个点都沿同一方向进行了移动. ②连接各组对应点的 线段平到更多课件
(完整版)几何图形折叠问题
几何图形折叠问题【疑难点拨】1.折叠(翻折)问题常常出现在三角形、四边形、圆等平面几何问题中，其实质是轴对称性质的应用．解题的关键利用轴对称的性质找到折叠前后不变量与变量，运用三角形的全等、相似及方程等知识建立有关线段、角之间的联系．2.折叠(翻折)意味着轴对称，会生成相等的线段和角，这样便于将条件集中．如果题目中有直角，则通常将条件集中于较小的直角三角形，利用勾股定理求解．3.矩形中的一次折叠通常利用折叠性质和平行线性质求角的度数，或者利用折叠性质以及勾股定理求线段长度．矩形中的两次或多次折叠通常出现“一线三直角”的模型(如图)，从而构造相似三角形，利用相似三角形求边或者角的度数．4.凡是在几何图形中出现“折叠”这个字眼时，第一反应即存在一组全等图形，其次找出与要求几何量相关的条件量．1.常见的轴对称图形：等腰三角形、矩形、菱形、正方形、圆.2.折叠的性质：折叠的实质是轴对称，折叠前后的两图形全等，对应边和对应角相等．【基础篇】一、选择题：1..（2018•四川凉州•3分）如图将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使C落在C′处，BC′交AD于点E，则下到结论不一定成立的是（）AD=BC′B．∠EBD=∠EDB C．△ABE∽△CBD D．sin∠ABE=A．2. （2017山东烟台）如图1，将一圆形纸片向右、向上两次对折后得到如图2所示的扇形AOB．已知OA=6，取OA的中点C，过点C作CD⊥OA交于点D，点F是上一点．若将扇形BOD沿OD翻折，点B恰好与点F重合，用剪刀沿着线段BD，DF，FA依次剪下，则剪下的纸片（形状同阴影图形）面积之和为（）．A．36π-108 B．108-32π C．2πD．π3. （2017浙江衢州）如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=6，将△ABC沿AC折叠，使点B落在点E处，CE交AD 于点F，则DF的长等于（）A．B．C．D．4.（2018·山东青岛·3分）如图，三角形纸片ABC，AB=AC，∠BAC=90°，点E为AB中点．沿过点E的直线折叠，使点B与点A重合，折痕现交于点F．已知EF=，则BC的长是（）A．B．32C．3 D．335.（2017乌鲁木齐）如图，在矩形ABCD中，点F在AD上，点E在BC上，把这个矩形沿EF折叠后，使点D恰好落在BC边上的G点处，若矩形面积为4且∠AFG=60°，GE=2BG，则折痕EF的长为（）A．1 B．C．2 D．二、填空题：6.（2018·辽宁省盘锦市）如图，已知Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=60°，AC=2+4，点M、N分别在线段AC.AB 上，将△ANM沿直线MN折叠，使点A的对应点D恰好落在线段BC上，当△DCM为直角三角形时，折痕MN的长为．7.（2018·山东威海·8分）如图，将矩形ABCD（纸片）折叠，使点B与AD边上的点K重合，EG为折痕；点C 与AD边上的点K重合，FH为折痕．已知∠1=67.5°，∠2=75°，EF=+1，则BC的长．8.（2018·湖南省常德·3分）如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点B落在AD边上的点G处，点C落在点H处，已知∠DGH=30°，连接BG，则∠AGB= ．三、解答与计算题：9.（2018·广东·7分）如图，矩形ABCD中，AB＞AD，把矩形沿对角线AC所在直线折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE．（1）求证：△ADE≌△CED；（2）求证：△DEF是等腰三角形．10.（2018•山东枣庄•10分）如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG．（1）求证：四边形EFDG是菱形；（2）探究线段EG、GF、AF之间的数量关系，并说明理由；（3）若AG=6，EG=2，求BE的长．【能力篇】一、选择题：11.（2018·辽宁省阜新市）如图，将等腰直角三角形ABC（∠B=90°）沿EF折叠，使点A落在BC边的中点A1处，BC=8，那么线段AE的长度为( )．A．4 B．5 C．6 D．712.（2018·四川省攀枝花·3分）如图，在矩形ABCD中，E是AB边的中点，沿EC对折矩形ABCD，使B点落在点P处，折痕为EC，连结AP并延长AP交CD于F点，连结CP并延长CP交AD于Q点．给出以下结论：①四边形AECF为平行四边形；②∠PBA=∠APQ；③△FPC为等腰三角形；④△APB≌△EPC．其中正确结论的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．413.（2018·湖北省武汉·3分）如图，在⊙O中，点C在优弧上，将弧沿BC折叠后刚好经过AB的中点D．若⊙O的半径为，AB=4，则BC的长是（）A． B．C．D．二、填空题：14. (2018·辽宁省葫芦岛市) 如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，将△BCE沿BE折叠后得到△BEF、且点F在矩形ABCD的内部，将BF延长交AD于点G．若=，则= ．15.（2018·四川宜宾·3分）如图，在矩形ABCD中，AB=3，CB=2，点E为线段AB上的动点，将△CBE沿CE 折叠，使点B落在矩形内点F处，下列结论正确的是（写出所有正确结论的序号）①当E为线段AB中点时，AF∥CE；②当E为线段AB中点时，AF=95；③当A、F、C三点共线时，AE=；④当A、F、C三点共线时，△CEF≌△AEF．三、解答与计算题：16.（2018·湖北省宜昌·11分）在矩形ABCD中，AB=12，P是边AB上一点，把△PBC沿直线PC折叠，顶点B 的对应点是点G，过点B作BE⊥CG，垂足为E且在AD上，BE交PC于点F．（1）如图1，若点E是AD的中点，求证：△AEB≌△DEC；（2）如图2，①求证：BP=BF；②当AD=25，且AE＜DE时，求cos∠PCB的值；③当BP=9时，求BE•EF的值．17.（2018·广东·7分）如图，矩形ABCD中，AB＞AD，把矩形沿对角线AC所在直线折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE．（1）求证：△ADE≌△CED；（2）求证：△DEF是等腰三角形．18.（2018•江苏盐城•10分）如图，在以线段为直径的上取一点，连接、.将沿翻折后得到.（1）试说明点在上；（2）在线段的延长线上取一点，使.求证：为的切线；（3）在（2）的条件下，分别延长线段、相交于点，若，，求线段的长.【探究篇】19.（2018年江苏省泰州市•12分）对给定的一张矩形纸片ABCD进行如下操作：先沿CE折叠，使点B落在CD边上（如图①），再沿CH折叠，这时发现点E恰好与点D重合（如图②）（1）根据以上操作和发现，求的值；（2）将该矩形纸片展开．①如图③，折叠该矩形纸片，使点C与点H重合，折痕与AB相交于点P，再将该矩形纸片展开．求证：∠HPC=90°；②不借助工具，利用图④探索一种新的折叠方法，找出与图③中位置相同的P点，要求只有一条折痕，且点P在折痕上，请简要说明折叠方法．（不需说明理由）20.（2018年江苏省宿迁）如图，在边长为1的正方形ABCD中，动点E、F分别在边AB、CD上，将正方形ABCD 沿直线EF折叠，使点B的对应点M始终落在边AD上（点M不与点A、D重合），点C落在点N处，MN与CD交于点P，设BE=x，（1）当AM= 时，求x的值；（2）随着点M在边AD上位置的变化，△PDM的周长是否发生变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出该定值；（3）设四边形BEFC的面积为S，求S与x之间的函数表达式，并求出S的最小值.几何图形折叠问题【疑难点拨】1.折叠(翻折)问题常常出现在三角形、四边形、圆等平面几何问题中，其实质是轴对称性质的应用．解题的关键利用轴对称的性质找到折叠前后不变量与变量，运用三角形的全等、相似及方程等知识建立有关线段、角之间的联系．2.折叠(翻折)意味着轴对称，会生成相等的线段和角，这样便于将条件集中．如果题目中有直角，则通常将条件集中于较小的直角三角形，利用勾股定理求解．3.矩形中的一次折叠通常利用折叠性质和平行线性质求角的度数，或者利用折叠性质以及勾股定理求线段长度．矩形中的两次或多次折叠通常出现“一线三直角”的模型(如图)，从而构造相似三角形，利用相似三角形求边或者角的度数．4.凡是在几何图形中出现“折叠”这个字眼时，第一反应即存在一组全等图形，其次找出与要求几何量相关的条件量．1.常见的轴对称图形：等腰三角形、矩形、菱形、正方形、圆.2.折叠的性质：折叠的实质是轴对称，折叠前后的两图形全等，对应边和对应角相等．【基础篇】一、选择题：1..（2018•四川凉州•3分）如图将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使C落在C′处，BC′交AD于点E，则下到结论不一定成立的是（）A．AD=BC′B．∠EBD=∠EDB C．△ABE∽△CBD D．sin∠ABE=【分析】主要根据折叠前后角和边相等找到相等的边之间的关系，即可选出正确答案．【解答】解：A、BC=BC′，AD=BC，∴AD=BC′，所以正确．B、∠CBD=∠EDB，∠CBD=∠EBD，∴∠EBD=∠EDB正确．D、∵sin∠ABE=，∴∠EBD=∠EDB∴BE=DE∴sin∠ABE=．故选：C．【点评】本题主要用排除法，证明A，B，D都正确，所以不正确的就是C，排除法也是数学中一种常用的解题方法．2. （2017山东烟台）如图1，将一圆形纸片向右、向上两次对折后得到如图2所示的扇形AOB．已知OA=6，取OA的中点C，过点C作CD⊥OA交于点D，点F是上一点．若将扇形BOD沿OD翻折，点B恰好与点F重合，用剪刀沿着线段BD，DF，FA依次剪下，则剪下的纸片（形状同阴影图形）面积之和为（）．A．36π-108 B．108-32π C．2πD．π【考点】MO：扇形面积的计算；P9：剪纸问题．【分析】先求出∠ODC=∠BOD=30°，作DE⊥OB可得DE=OD=3，先根据S弓形BD=S扇形BOD﹣S△BOD求得弓形的面积，再利用折叠的性质求得所有阴影部分面积．【解答】解：如图，∵CD⊥OA，∴∠DCO=∠AOB=90°，∵OA=OD=OB=6，OC=OA=OD，∴∠ODC=∠BOD=30°，作DE⊥OB于点E，则DE=OD=3，∴S弓形BD=S扇形BOD﹣S△BOD=﹣×6×3=3π﹣9，则剪下的纸片面积之和为12×（3π﹣9）=36π﹣108，故答案为：36π﹣108．故选A3. （2017浙江衢州）如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=6，将△ABC沿AC折叠，使点B落在点E处，CE交AD 于点F，则DF的长等于（）A．B．C．D．【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；LB：矩形的性质．【分析】根据折叠的性质得到AE=AB，∠E=∠B=90°，易证Rt△AEF≌Rt△CDF，即可得到结论EF=DF；易得FC=FA，设FA=x，则FC=x，FD=6﹣x，在Rt△CDF中利用勾股定理得到关于x的方程x2=42+（6﹣x）2，解方程求出x．【解答】解：∵矩形ABCD沿对角线AC对折，使△ABC落在△ACE的位置，∴AE=AB，∠E=∠B=90°，又∵四边形ABCD为矩形，∴AB=CD，∴AE=DC，而∠AFE=∠DFC，∵在△AEF与△CDF中，，∴△AEF≌△CDF（AAS），∴EF=DF；∵四边形ABCD为矩形，∴AD=BC=6，CD=AB=4，∵Rt△AEF≌Rt△CDF，∴FC=FA，设FA=x，则FC=x，FD=6﹣x，在Rt△CDF中，CF2=CD2+DF2，即x2=42+（6﹣x）2，解得x=，则FD=6﹣x=．故选：B．4.（2018·山东青岛·3分）如图，三角形纸片ABC，AB=AC，∠BAC=90°，点E为AB中点．沿过点E的直线折叠，使点B与点A重合，折痕现交于点F．已知EF=，则BC的长是（）A．B．32C．3 D．33【分析】由折叠的性质可知∠B=∠EAF=45°，所以可求出∠AFB=90°，再直角三角形的性质可知EF=AB，所以AB=AC的长可求，再利用勾股定理即可求出BC的长．【解答】解：∵沿过点E的直线折叠，使点B与点A重合，∴∠B=∠EAF=45°，∴∠AFB=90°，∵点E为AB中点，∴EF=12AB，EF=32，∴AB=AC=3，∵∠BAC=90°，∴BC=2，故选：B．【点评】本题考查了折叠的性质、等腰直角三角形的判断和性质以及勾股定理的运用，求出∠AFB=90°是解题的关键．5.（2017乌鲁木齐）如图，在矩形ABCD中，点F在AD上，点E在BC上，把这个矩形沿EF折叠后，使点D恰好落在BC边上的G点处，若矩形面积为4且∠AFG=60°，GE=2BG，则折痕EF的长为（）A．1 B．C．2 D．【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；LB：矩形的性质．【分析】由折叠的性质可知，DF=GF、HE=CE、GH=DC、∠DFE=∠GFE，结合∠AFG=60°即可得出∠GFE=60°，进而可得出△GEF为等边三角形，在Rt△GHE中，通过解含30度角的直角三角形及勾股定理即可得出GE=2EC、DC= EC，再由GE=2BG结合矩形面积为4，即可求出EC的长度，根据EF=GE=2EC即可求出结论．【解答】解：由折叠的性质可知，DF=GF，HE=CE，GH=DC，∠DFE=∠GFE．∵∠GFE+∠DFE=180°﹣∠AFG=120°，∴∠GFE=60°．∵AF∥GE，∠AFG=60°，∴∠FGE=∠AFG=60°，∴△GEF为等边三角形，∴EF=GE．∵∠FGE=60°，∠FGE+∠HGE=90°，∴∠HGE=30°．在Rt△GHE中，∠HGE=30°，∴GE=2HE=CE，∴GH==HE=CE．∵GE=2BG，∴BC=BG+GE+EC=4EC．∵矩形ABCD的面积为4，∴4EC•EC=4，∴EC=1，EF=GE=2．故选C．二、填空题：6.（2018·辽宁省盘锦市）如图，已知Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=60°，AC=2+4，点M、N分别在线段AC.AB 上，将△ANM沿直线MN折叠，使点A的对应点D恰好落在线段BC上，当△DCM为直角三角形时，折痕MN的长为．【解答】解：分两种情况：①如图，当∠CDM=90°时，△CDM是直角三角形，∵在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=60°，AC=2+4，∴∠C=30°，AB=AC=，由折叠可得：∠MDN=∠A=60°，∴∠BDN=30°，∴BN=DN=AN，∴BN=AB=，∴AN=2BN=．∵∠DNB=60°，∴∠ANM=∠DNM=60°，∴∠AMN=60°，∴AN=MN=；②如图，当∠CMD=90°时，△CDM是直角三角形，由题可得：∠CDM=60°，∠A=∠MDN=60°，∴∠BDN=60°，∠BND=30°，∴BD=DN=AN，BN=BD\1AB=，∴AN=2，BN=，过N作NH⊥AM于H，则∠ANH=30°，∴AH=AN=1，HN=，由折叠可得：∠AMN=∠DMN=45°，∴△MNH是等腰直角三角形，∴HM=HN=，∴MN=．故答案为：或．7.（2018·山东威海·8分）如图，将矩形ABCD（纸片）折叠，使点B与AD边上的点K重合，EG为折痕；点C 与AD边上的点K重合，FH为折痕．已知∠1=67.5°，∠2=75°，EF=+1，求BC的长．【分析】由题意知∠3=180°﹣2∠1=45°、∠4=180°﹣2∠2=30°、BE=KE、KF=FC，作KM⊥BC，设KM=x，知EM=x、MF=x，根据EF的长求得x=1，再进一步求解可得．【解答】解：由题意，得：∠3=180°﹣2∠1=45°，∠4=180°﹣2∠2=30°，BE=KE、KF=FC，如图，过点K作KM⊥BC于点M，设KM=x，则EM=x、MF=x，∴x+x=+1，解得：x=1，∴EK=、KF=2，∴BC=BE+EF+FC=EK+EF+KF=3++，∴BC的长为3++．【点评】本题主要考查翻折变换，解题的关键是掌握翻折变换的性质：折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．8.（2018·湖南省常德·3分）如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点B落在AD边上的点G处，点C落在点H处，已知∠DGH=30°，连接BG，则∠AGB= 75°．【分析】由折叠的性质可知：GE=BE，∠EGH=∠ABC=90°，从而可证明∠EBG=∠EGB．，然后再根据∠EGH﹣∠EGB=∠EBC﹣∠EBG，即：∠GBC=∠BGH，由平行线的性质可知∠AGB=∠GBC，从而易证∠AGB=∠BGH，据此可得答案．【解答】解：由折叠的性质可知：GE=BE，∠EGH=∠ABC=90°，∴∠EBG=∠EGB．∴∠EGH﹣∠EGB=∠EBC﹣∠EBG，即：∠GBC=∠BGH．又∵AD∥BC，∴∠AGB=∠GBC．∴∠AGB=∠BGH．∵∠DGH=30°，∴∠AGH=150°，∴∠AGB=∠AGH=75°，故答案为：75°．【点评】本题主要考查翻折变换，解题的关键是熟练掌握翻折变换的性质：折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．三、解答与计算题：9.（2018·广东·7分）如图，矩形ABCD中，AB＞AD，把矩形沿对角线AC所在直线折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE．（1）求证：△ADE≌△CED；（2）求证：△DEF是等腰三角形．【分析】（1）根据矩形的性质可得出AD=BC、AB=CD，结合折叠的性质可得出AD=CE、AE=CD，进而即可证出△ADE ≌△CED（SSS）；（2）根据全等三角形的性质可得出∠DEF=∠EDF，利用等边对等角可得出EF=DF，由此即可证出△DEF是等腰三角形．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，AB=CD．由折叠的性质可得：BC=CE，AB=AE，∴AD=CE，AE=CD．在△ADE和△CED中，，∴△ADE≌△CED（SSS）．（2）由（1）得△ADE≌△CED，∴∠DEA=∠EDC，即∠DEF=∠EDF，∴EF=DF，∴△DEF是等腰三角形．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、翻折变换以及矩形的性质，解题的关键是：（1）根据矩形的性质结合折叠的性质找出AD=CE、AE=CD；（2）利用全等三角形的性质找出∠DEF=∠EDF．10.（2018•山东枣庄•10分）如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG．（1）求证：四边形EFDG是菱形；（2）探究线段EG、GF、AF之间的数量关系，并说明理由；（3）若AG=6，EG=2，求BE的长．【分析】（1）先依据翻折的性质和平行线的性质证明∠DGF=∠DFG，从而得到GD=DF，接下来依据翻折的性质可证明DG=GE=DF=EF；（2）连接DE，交AF于点O．由菱形的性质可知GF⊥DE，OG=OF=GF，接下来，证明△DOF∽△ADF，由相似三角形的性质可证明DF2=FO•AF，于是可得到GE、AF、FG的数量关系；（3）过点G作GH⊥DC，垂足为H．利用（2）的结论可求得FG=4，然后再△ADF中依据勾股定理可求得AD的长，然后再证明△FGH∽△FAD，利用相似三角形的性质可求得GH的长，最后依据BE=AD﹣GH求解即可．【解答】解：（1）证明：∵GE∥DF，∴∠EGF=∠DFG．∵由翻折的性质可知：GD=GE，DF=EF，∠DGF=∠EGF，∴∠DGF=∠DFG．∴GD=DF．∴DG=GE=DF=EF．∴四边形EFDG为菱形．（2）EG2=GF•AF．理由：如图1所示：连接DE，交AF于点O．∵四边形EFDG为菱形，∴GF⊥DE，OG=OF=GF．∵∠DOF=∠ADF=90°，∠OFD=∠DFA，∴△DOF∽△ADF．∴，即DF2=FO•AF．∵FO=GF，DF=EG，∴EG2=GF•AF．（3）如图2所示：过点G作GH⊥DC，垂足为H．∵EG2=GF•AF，AG=6，EG=2，∴20=FG（FG+6），整理得：FG2+6FG﹣40=0．解得：FG=4，FG=﹣10（舍去）．∵DF=GE=2，AF=10，∴AD==4．∵GH⊥DC，AD⊥DC，∴GH∥AD．∴△FGH∽△FAD．∴，即=．∴GH=．∴BE=AD﹣GH=4﹣=．【点评】本题主要考查的是四边形与三角形的综合应用，解答本题主要应用了矩形的性质、菱形的判定和性质、相似三角形的性质和判定、勾股定理的应用，利用相似三角形的性质得到DF2=FO•AF是解题答问题（2）的关键，依据相似三角形的性质求得GH的长是解答问题（3）的关键．【能力篇】一、选择题：11.（2018·辽宁省阜新市）如图，将等腰直角三角形ABC（∠B=90°）沿EF折叠，使点A落在BC边的中点A1处，BC=8，那么线段AE的长度为( )．A．4 B．5 C．6 D．7【解答】解：由折叠的性质可得AE=A1E．∵△ABC为等腰直角三角形，BC=8，∴AB=8．∵A1为BC的中点，∴A1B=4，设AE=A1E=x，则BE=8﹣x．在Rt△A1BE中，由勾股定理可得42+（8﹣x）2=x2，解得x=5．故答案为：5．故选B12.（2018·四川省攀枝花·3分）如图，在矩形ABCD中，E是AB边的中点，沿EC对折矩形ABCD，使B点落在点P处，折痕为EC，连结AP并延长AP交CD于F点，连结CP并延长CP交AD于Q点．给出以下结论：①四边形AECF为平行四边形；②∠PBA=∠APQ；③△FPC为等腰三角形；④△APB≌△EPC．其中正确结论的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4解：①如图，EC，BP交于点G；∵点P是点B关于直线EC的对称点，∴EC垂直平分BP，∴EP=EB，∴∠EBP=∠EPB．∵点E为AB中点，∴AE=EB，∴AE=EP，∴∠PAB=∠PBA．∵∠PAB+∠PBA+∠APB=180°，即∠PAB+∠PBA+∠APE+∠BPE=2（∠PAB+∠PBA）=180°，∴∠PAB+∠PBA=90°，∴AP⊥BP，∴AF∥EC；∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形，故①正确；②∵∠APB=90°，∴∠APQ+∠BPC=90°，由折叠得：BC=PC，∴∠BPC=∠PBC．∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠ABP+∠PBC=90°，∴∠ABP=∠APQ，故②正确；③∵AF∥EC，∴∠FPC=∠PCE=∠BCE．∵∠PFC是钝角，当△BPC是等边三角形，即∠BCE=30°时，才有∠FPC=∠FCP，如右图，△PCF不一定是等腰三角形，故③不正确；④∵AF=EC，AD=BC=PC，∠ADF=∠EPC=90°，∴Rt△EPC≌△FDA（HL）．∵∠ADF=∠APB=90°，∠FAD=∠ABP，当BP=AD或△BPC是等边三角形时，△APB≌△FDA，∴△APB≌△EPC，故④不正确；其中正确结论有①②，2个．故选B．13. （2018·湖北省武汉·3分）如图，在⊙O 中，点C 在优弧上，将弧沿BC 折叠后刚好经过AB 的中点D ．若⊙O 的半径为，AB=4，则BC 的长是（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】连接OD 、AC 、DC 、OB 、OC ，作CE ⊥AB 于E ，OF ⊥CE 于F ，如图，利用垂径定理得到OD ⊥AB ，则AD=BD=AB=2，于是根据勾股定理可计算出OD=1，再利用折叠的性质可判断弧AC 和弧CD 所在的圆为等圆，则根据圆周角定理得到=，所以AC=DC ，利用等腰三角形的性质得AE=DE=1，接着证明四边形ODEF 为正方形得到OF=EF=1，然后计算出CF 后得到CE=BE=3，于是得到BC=3 2．【解答】解：连接OD 、AC 、DC 、OB 、OC ，作CE ⊥AB 于E ，OF ⊥CE 于F ，如图， ∵D 为AB 的中点， ∴OD ⊥AB ， ∴AD=BD=AB=2，在Rt △OBD 中，OD=22(5)2 =1， ∵将弧沿BC 折叠后刚好经过AB 的中点D ．∴弧AC 和弧CD 所在的圆为等圆， ∴=，∴AC=DC ， ∴AE=DE=1，易得四边形ODEF 为正方形， ∴OF=EF=1，在Rt △OCF 中，CF=22(5)1 ， ∴CE=CF+EF=2+1=3， 而BE=BD+DE=2+1=3， ∴BC=3．故选：B ．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理和垂径定理． 二、填空题：14. (2018·辽宁省葫芦岛市) 如图，在矩形ABCD 中，点E 是CD 的中点，将△BCE 沿BE 折叠后得到△BEF 、且点F 在矩形ABCD 的内部，将BF 延长交AD 于点G ．若=，则= ．【解答】解：连接GE ．∵点E 是CD 的中点，∴EC=DE ．∵将△BCE 沿BE 折叠后得到△BEF 、且点F 在矩形ABCD 的内部，∴EF=DE ，∠BFE=90°．在Rt △EDG 和Rt △EFG 中，∴Rt △EDG ≌Rt △EFG （HL ），∴FG=DG ．∵=，∴设DG=FG=a，则AG=7a，故AD=BC=8a，则BG=BF+FG=9a，∴AB==4a，故==．故答案为：．15.（2018·四川宜宾·3分）如图，在矩形ABCD中，AB=3，CB=2，点E为线段AB上的动点，将△CBE沿CE 折叠，使点B落在矩形内点F处，下列结论正确的是①②③（写出所有正确结论的序号）①当E为线段AB中点时，AF∥CE；②当E为线段AB中点时，AF=95；③当A、F、C三点共线时，AE=；④当A、F、C三点共线时，△CEF≌△AEF．【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；KB：全等三角形的判定；LB：矩形的性质．【分析】分两种情形分别求解即可解决问题；【解答】解：如图1中，当AE=EB时，∵AE=EB=EF，∴∠EAF=∠EFA，∵∠CEF=∠CEB，∠BEF=∠EAF+∠EFA，∴∠BEC=∠EAF，∴AF∥EC，故①正确，作EM⊥AF，则AM=FM，在Rt△ECB中，EC==，，∵∠AME=∠B=90°，∠EAM=∠CEB，∴△CEB∽△EAM，∴=，∴=，∴AM=，∴AF=2AM=95，故②正确，如图2中，当A、F、C共线时，设AE=x．则EB=EF=3﹣x，AF=13﹣2，在Rt△AEF中，∵AE2=AF2+EF2，∴x2=（﹣2）2+（3﹣x）2，∴x=，，∴AE=，故③正确，如果，△CEF≌△AEF，则∠EAF=∠ECF=∠ECB=30°，显然不符合题意，故④错误，故答案为①②③．【点评】本题考查翻折变换、全等三角形的性质、勾股定理、矩形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考填空题中的压轴题．三、解答与计算题：16.（2018·湖北省宜昌·11分）在矩形ABCD中，AB=12，P是边AB上一点，把△PBC沿直线PC折叠，顶点B 的对应点是点G，过点B作BE⊥CG，垂足为E且在AD上，BE交PC于点F．（1）如图1，若点E是AD的中点，求证：△AEB≌△DEC；（2）如图2，①求证：BP=BF；②当AD=25，且AE＜DE时，求cos∠PCB的值；③当BP=9时，求BE•EF的值．【分析】（1）先判断出∠A=∠D=90°，AB=DC再判断出AE=DE，即可得出结论；（2）①利用折叠的性质，得出∠PGC=∠PBC=90°，∠BPC=∠GPC，进而判断出∠GPF=∠PFB即可得出结论；②判断出△ABE∽△DEC，得出比例式建立方程求解即可得出AE=9，DE=16，再判断出△ECF∽△GCP，进而求出PC，即可得出结论；③判断出△GEF∽△EAB，即可得出结论．【解答】解：（1）在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，AB=DC，∵E是AD中点，∴AE=DE，在△ABE和△DCE中，，∴△ABE≌△DCE（SAS）；（2）①在矩形ABCD，∠ABC=90°，∵△BPC沿PC折叠得到△GPC，∴∠PGC=∠PBC=90°，∠BPC=∠GPC，∵BE⊥CG，∴BE∥PG，∴∠GPF=∠PFB，∴∠BPF=∠BFP，∴BP=BF；②当AD=25时，∵∠BEC=90°，∴∠AEB+∠CED=90°，∵∠AEB+∠ABE=90°，∴∠CED=∠ABE，∵∠A=∠D=90°，∴△ABE∽△DEC，∴，设AE=x，∴DE=25﹣x，∴，∴x=9或x=16，∵AE＜DE，∴AE=9，DE=16，∴CE=20，BE=15，由折叠得，BP=PG，∴BP=BF=PG，∵BE∥PG，∴△ECF∽△GCP，∴，设BP=BF=PG=y，∴，∴y=，∴BP=，在Rt△PBC中，PC=，cos∠PCB==；③如图，连接FG，∵∠GEF=∠BAE=90°，∵BF∥PG，BF=PG，∴▱BPGF是菱形，∴BP∥GF，∴∠GFE=∠ABE，∴△GEF∽△EAB，∴，∴BE•EF=AB•GF=12×9=108．【点评】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，折叠的性质，利用方程的思想解决问题是解本题的关键．17.（2018·广东·7分）如图，矩形ABCD中，AB＞AD，把矩形沿对角线AC所在直线折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE．（1）求证：△ADE≌△CED；（2）求证：△DEF是等腰三角形．【分析】（1）根据矩形的性质可得出AD=BC、AB=CD，结合折叠的性质可得出AD=CE、AE=CD，进而即可证出△ADE ≌△CED（SSS）；（2）根据全等三角形的性质可得出∠DEF=∠EDF，利用等边对等角可得出EF=DF，由此即可证出△DEF是等腰三角形．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，AB=CD．由折叠的性质可得：BC=CE，AB=AE，∴AD=CE，AE=CD．在△ADE和△CED中，，∴△ADE≌△CED（SSS）．（2）由（1）得△ADE≌△CED，∴∠DEA=∠EDC，即∠DEF=∠EDF，∴EF=DF，∴△DEF是等腰三角形．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、翻折变换以及矩形的性质，解题的关键是：（1）根据矩形的性质结合折叠的性质找出AD=CE、AE=CD；（2）利用全等三角形的性质找出∠DEF=∠EDF．18.（2018•江苏盐城•10分）如图，在以线段为直径的上取一点，连接、.将沿翻折后得到.（1）试说明点在上；（2）在线段的延长线上取一点，使.求证：为的切线；（3）在（2）的条件下，分别延长线段、相交于点，若，，求线段的长. 【答案】（1）解：连接OC，OD，由翻折可得OD=OC，∵OC是⊙O的半径，∴点D在⊙O上。
115翻折与轴对称图形
正方形
是
4
等腰梯形
是
1
图形
正三角形 正方形
轴对称图形
是 是
对称轴 （几条）
3 4
正五边形是5正六边形是6
正n边形
是
n
任何正多边形都是轴对称图形
正n边形的对称轴有n条
图形 圆 扇形
轴对称图 对称轴 形 （几条）
是
无数条 直径所
在的直
线
是
1
圆心角的
角平分线
所在的直
线
练习前回顾 小结
什么运动？ 什么图形？
特殊图形中，哪个不是轴对称图形？
正n边形
A
H
B
I
F
M L
E
K
C
J
D
巴 黎 埃 菲 尔 铁 塔
印 度 泰 姬 陵
北 京 故 宫
斜 拉 锁 桥
哪 些 是 轴 对 称 图 形 ？
图形
轴对称图形 对称轴 （几条）
线段 是
1
线段的垂直平分线
角
是
等腰三角形 是
1
角平分线所在直线
1
等边三角形
是
3
图形
轴对称图形 对称轴 （几条）
平行四边形
否
菱形
是
2
长方形
（矩形）
是
2
翻折问题讲义
讲义内容一、轴对称图形● 轴对称图形：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么称这个图形是轴对称图形，这条直线就是对称轴。
● 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线1.如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
2.类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
3.线段的垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等。
4.对称轴是到线段两端距离相等的点的集合。
二、折叠问题1、折叠问题（翻折变换）实质上就是轴对称变换．2、折叠是一种对称变换，它属于轴对称．对称轴是对应点的连线的垂直平分线，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．3、对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，在画图时，画出折叠前后的图形，这样便于找到图形之间的数量关系和位置关系．4、在矩形（纸片）折叠问题中，重合部分一般会是一个以折痕为底边的等腰三角形5、利用折叠所得到的直角和相等的边或角，设要求的线段长为x，然后根据轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求解．三、解题技巧1、动中觅静：这里的“静”就是问题中的不变量、不变关系，动中觅静就是在运动变化中探索问题中的不变性．2．动静互化：“静”只是“动”的瞬间，是运动的一种特殊形式，动静互化就是抓住“静”的瞬间，使一般情形转化为特殊问题，从而找到“动”与“静”的关系．3．以动制动：以动制动就是建立图形中两个变量的函数关系，通过研究运动函数，用联系发展的观点来研究变动元素的关系．例1 矩形(1)如图所示，一张矩形纸片沿BC折叠，顶点A落在点A′处，再过点A′折叠使折痕DE∥BC，若AB=4，AC=3，则△ADE的面积是．(2)．如图，沿矩形ABCD的对角线BD折叠，点C落在点E的位置，已知BC=8cm，AB=6cm，求折叠后重合部分的面积．例2正方形如图，将一个边长为1的正方形纸片ABCD折叠，使点B落在边AD上不与A、D重合．MN为折痕，折叠后B’C’与DN交于P．(1)连接BB’，那么BB’与MN的长度相等吗？为什么？(2)设BM=y，AB’=x，求y与x的函数关系式；(3)猜想当B点落在什么位置上时，折叠起来的梯形MNC’B’面积最小？并验证你的猜想．例3 三角形在△ABC中，已知AB=2a，∠A=30°，CD是AB边的中线，若将△ABC沿CD对折起来，折叠后两个小△ACD与△BCD重叠部分的面积恰好等于折叠前△ABC的面积的．（1）当中线CD等于a时，重叠部分的面积等于；（2）有如下结论（不在“CD等于a”的限制条件下）：①AC边的长可以等于a；②折叠前的△ABC的面积可以等于；③折叠后，以A、B为端点的线段AB与中线CD平行且相等．其中，结论正确（把你认为正确结论的代号都填上，若认为都不正确填“无”）．例4在△ABC中，已知∠A=80°，∠C=30°，现把△CDE沿DE进行不同的折叠得△C′DE，对折叠后产生的夹角进行探究：（1）如图（1）把△CDE沿DE折叠在四边形ADEB内，则求∠1+∠2的和；（2）如图（2）把△CDE沿DE折叠覆盖∠A，则求∠1+∠2的和；（3）如图（3）把△CDE沿DE斜向上折叠，探求∠1、∠2、∠C的关系．例5 圆如图，正方形ABCD的边长为2，⊙O的直径为AD，将正方形的BC边沿EC折叠，点B落在圆上的F点，求BE的长中考链接（2010年河南中考）（1）操作发现，如图，矩形中，是的中点，将沿折叠后得到，且点在矩形内部．小明将延长交于点，认为，你同意吗？说明理由．（2）问题解决保持（1）中的条件不变，若，求的值．（3）类比探究保持（1）中的条件不变，若，求的值．中考链接（2009年河南中考）动手操作：在矩形纸片ABCD中，AB=3,AD=5.如图所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A′处，折痕为PQ，当点A′在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动.若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动，则点A′在BC边上可移动的最大距离为 .[（2012河南省）如图，在中，点D是BC边上一动点（不与点B、C重合），过点D作DE⊥BC交AB边于点E，将沿直线DE翻折，点B落在射线BC上的点F处，当△AEF为直角三角形时，BD的长为。
(完整版)几何图形折叠问题
HistudyjiftS7^i viPTUk帮助预子個建持续迸步的孚刃力几何图形折叠问题【疑难点拨】1. 折叠（翻折）问题常常出现在三角形、四边形、圆等平面几何问题中，其实质是轴对称性质的应用•解题 的关键利用轴对称的性质找到折叠前后不变量与变量， 运用三角形的全等、相似及方程等知识建立有关线段、角之间的联系.2. 折叠（翻折）意味着轴对称，会生成相等的线段和角，这样便于将条件集中•如果题目中有直角，则通常 将条件集中于较小的直角三角形，利用勾股定理求解.3. 矩形中的一次折叠通常利用折叠性质和平行线性质求角的度数，或者利用折叠性质以及勾股定理求线段 长度•矩形中的两次或多次折叠通常出现“一线三直角”的模型 （如图），从而构造相似三角形，利用相似三角形求边或者角的度数.4. 凡是在几何图形中出现“折叠”这个字眼时，第一反应即存在一组全等图形，其次找出与要求几何量相 关的条件量.1.常见的轴对称图形：等腰三角形、矩形、菱形、正方形、圆 .2.折叠的性质：折叠的实质是轴对称，折叠前后的两图形全等，对应边和对应角相等. 【基础篇】 一、选择题：1. . （2018?四川凉州？ 3分）如图将矩形 ABCD&对角线BD 折叠，使C 落在C'处，BC'交AD 于点E ,则下到结 论不一定成立的是（）AD=BCB .Z EBD=/ EDB C.A ABE^A CBD D sin / ABE*A.IHistudyjlftS7^l viPTUk帮助预子個建持续iS步的孚刃力2. （2017山东烟台）如图1，将一圆形纸片向右、向上两次对折后得到如图2所示的扇形AOB已知OA=6取OA的中点C,过点C作CD L OA交理于点D,点F是上一点.若将扇形BOD沿OD翻折，点B恰好与点F重合，用剪刀沿着线段BD, DF, FA依次剪下，则剪下的纸片（形状同阴影图形）面积之和为（___________ .A. 36 n -108 B . 108-32 n C. 2 n D.nABC AB=AC / BAC=90，点E为AB中点.沿过点E的直线折5. （2017乌鲁木齐）如图，在矩形ABCD中，点F在AD上,点E在BC上，把这个矩形沿EF折叠后，使点D恰好落在BC边上的G点处，若矩形面积为4胚且/ AFG=60 , GE=2BG则折痕EF的长为（）A. 1B.说C. 2D.加如图，矩形纸片ABCD中, AB=4, BC=6将厶ABC沿AC折叠，使点B落在点E处，CE交AD 叠，使点B与点A重合，折痕现交于点F.已知E一，则BC的长是（3. （2017浙江衢州）于点F,则DF的长等于（）4. （2018 •山东青岛• 3分）如图，三角形纸片B. 3.2C. 3HiSMldy」畅字刃VIPT住叱帮朗预子陶建持续进步的孚刃门二、填空题:6. （2018 •辽宁省盘锦市）如图，已知Rt△ ABC中，/ B=90°, / A=60°, AC=2三+4,点M N分别在线段AC.ABD恰好落在线段BC上，当△ DCM为直角三角形时，折痕MN勺长为.ABCD（纸片）折叠，使点B与AD边上的点K重合，EG为折痕；点C2=75°, EF= + 1,则BC的长-3分）如图，将矩形ABCD沿 EF折叠，使点B落在AD边上的点G处，点C落在点H处,BG 则/ AGB=三、解答与计算题：9. （2018 •广东• 7分）如图，矩形ABCD中, AB> AD,把矩形沿对角线AC所在直线折叠，使点B落在点E处,上，将厶ANM沿直线Mr折叠，使点A的对应点8. （2018 •湖南省常德7. （2018 •山东威海• 8分）如图，将矩形已知/ DGH=30，连接(1)求证：△ ADE^A CEDAE交CD于点F,连接DEHistudyjlftS7^]l viPTUk|帮助预子陶建持续进步的孚刃力|10—（ 2018?山东枣庄？ 10分）如图，将矩形— D 交AF 于点G,连接DG（1） 求证：四边形EFDG 是菱形；（2） 探究线段EG GF AF 之间的数量关系，并说明理由； （3） 若 AG=6 EG=2E ，求 BE 的长.【能力篇】一、选择题： 11.（ 2018 •辽宁省阜新市）如图，将等腰直角三角形ABC （/ B=90°）沿EF 折叠，使点A 落在BC 边的中点A处，BC=8,那么线段AE 的长度为（）12.（ 2018 •四川省攀枝花・3分）如图，在矩形 ABCD 中, E 是AB 边的中点，沿 EC 对折矩形ABCD 使B 点落 在点P 处，折痕为EC 连结AP 并延长AP 交CD 于 F 点，连结CP 并延长CP 交AD 于Q 点.给出以下结论： ① 四边形AECF 为平行四边形； ② / PBA=Z APQ③ 厶FPC 为等腰三角形； ④ 厶 APB^A EPC 其中正确结论的个数为（）A . 1 B. 2 C. 3D. 4C. 6D. 7D GECEB .A .亠13. （2018 •湖北省武汉• 3分）如图，在O O 中，点C 在优弧-I.上，将弧「■沿BC 折叠后刚好经过 AB 的中点 D.若O O 的半径为 匚AB=4,则BC 的长是（、填空ABCD 中，点E 是CD 的中点，将△ BCE 沿BE 折叠后得到△ BEF14. （2018 •辽宁省葫芦岛市 ） 如图，在矩形15. （ 2018 •四川宜宾• 3分）如图，在矩形 ABCD 中, AB=3 CB=2,点E 为线段AB 上的动点，将△ CBE 沿 CE ①当E 为线段AB 中点时，AF// CE; ②当E 为线段AB 中点时，AF=9 ;5④当 A F 、C 三点共线时，△ CEF ^A AEF.DG 1且点F 在矩形ABCD 勺内部，将 BF 延长交AD 于点G.若 =' ，则折叠，使点B 落在矩形内点F 处，下列结论正确的是 （写出所有正确结论的序③当A F 、C 三点共线时,AE='HiSMiaa快乐字刃I VIPT 性叱帮朗滋子陶建持续进步的孚刃门GvPEDU !BCEDCA'B三、解答与计算题:16. (2018 •湖北省宜昌• 11分)在矩形 ABCD 中, AB=12 P 是边AB 上一点，把△ PBC 沿直线PC 折叠，顶点B 的对应点是点 G,过点B 作BEL CG 垂足为E 且在AD 上, BE 交PC 于点F . (1)如图1,若点E 是AD 的中点，求证：△ AEB^A DEC (2)如图2,①求证：BP=BF③当BP=9时，求 BE?EF 的值.②当 AD=25 且 AE v DE 时，求 cos / PCB 的值; 17. (2018 •广东• 7分)如图，矩形ABCC 中，AB> AD,把矩形沿对角线 AC 所在直线折叠，使点B 落在点E 处, AE 交CD 于点F ,连接DE (1)求证：△ ADE^A CED (2)求证：△ DEF 是等腰三角形.HiSMc!®快S 字刃丄VIP 亍性比 帮朗预子陶建持续进步的孚刃门■ BC *HiStUCU快乐字刃VIPT性比帮助预子问建持续迸步的字刃力18. （2018?江苏盐城？10分）如图，在以线段二5■为直径的上取一点，连接、就•将_二弓匚沿.止翻折后得到□.（1 ）试说明点在上；（2）在线段.：「的延长线上取一点，使上厂—」一丄.求证：三壬为①门的切线；（3）在（2）的条件下，分别延长线段、匚吕相交于点，若m厂=J，二匸=-,求线段的长•【探究篇】19. （2018年江苏省泰州市？12分）对给定的一张矩形纸片ABCD进行如下操作：先沿CE折叠，使点B落在CD 边上（如图①），再沿CH折叠，这时发现点E恰好与点D重合（如图②）（2）将该矩形纸片展开.①如图③，折叠该矩形纸片，使点C与点H重合，折痕与AB相交于点P,再将该矩形纸片展开.求证：/ HPC=90 ;②不借助工具，利用图④探索一种新的折叠方法，找出与图③中位置相同的P点，要求只有一条折痕，且点P 在折痕上，请简要说明折叠方法•（不需说明理由）（1）根据以上操作和发现，求的值;设四边形BEFC 的面积为S ,求S 与x 之间的函数表达式，并求出 S 的最小值.(2) 随着点M 在边AD 上位置的变化，△ PDM 的周长是否发生变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出该定值;(3) 沿直线EF 折叠，使点B 的对应点M 始终落在边AD 上（点M 不与点A D 重合），点C 落在点N 处，MN W CD 交3 .....HistudyjlftS7^l VIPTlik帮助预子陶建持续iS步的孚刃力几何图形折叠问题【疑难点拨】1. 折叠（翻折）问题常常出现在三角形、四边形、圆等平面几何问题中，其实质是轴对称性质的应用•解题的关键利用轴对称的性质找到折叠前后不变量与变量，运用三角形的全等、相似及方程等知识建立有关线段、角之间的联系.2. 折叠（翻折）意味着轴对称，会生成相等的线段和角，这样便于将条件集中•如果题目中有直角，则通常将条件集中于较小的直角三角形，利用勾股定理求解.3. 矩形中的一次折叠通常利用折叠性质和平行线性质求角的度数，或者利用折叠性质以及勾股定理求线段长度•矩形中的两次或多次折叠通常出现“一线三直角”的模型（如图），从而构造相似三角形，利用相似三角形求边或者角的度数.4. 凡是在几何图形中出现“折叠”这个字眼时，第一反应即存在一组全等图形，其次找出与要求几何量相关的条件量.1.常见的轴对称图形：等腰三角形、矩形、菱形、正方形、圆.2.折叠的性质：折叠的实质是轴对称，折叠前后的两图形全等，对应边和对应角相等.【基础篇】一、选择题：1. . （2018?四川凉州？3分）如图将矩形ABCD&对角线BD折叠，使C落在C'处，BC'交AD于点E,则下到结论不一定成立的是（）A. AD=BCB.Z EBD=/ EDBC.A ABE^A CBD D sin / ABE*ED【分析】主要根据折叠前后角和边相等找到相等的边之间的关系，即可选出正确答案.【解答】解：A、BC=BC, AD=BC二AD=BC，所以正确.B、 / CBD2 EDB / CBD=/ EBD EBD2 EDB正确.AED、T sin / ABE』,BE•••Z EBD=/ EDB••• BE=DEHistudyjlftS7^l VIPTlik帮助预子陶建持续iS步的孚刃力• sin / ABE^.ED故选：C.HistudyjlftS7^ll viPTUk|帮助预子詞11持续进步的字刃力|【点评】本题主要用排除法，证明 A , B , D 都正确，所以不正确的就是—C,排除法也是数学中一种常用的解题方 法. 2.（2017山东烟台）如图1，将一圆形纸片向右、向上两次对折后得到如图2所示的扇形AOB 已知OA=6取OA 的中点C,过点C 作CDL OA 交丽于点D,点F 是廳上一点.若将扇形BOD 沿 OD 翻折，点B 恰好与点F 重合， 用剪刀沿着线段 BD, DF , FA 依次剪下，则剪下的纸片（形状同阴影图形）面积之和为（ __________ . A . 36 n -108 B . 108-32 n C . 2 n D.n【考点】MO 扇形面积的计算；P9:剪纸问题.1【分析】先求出/ ODC M BOD=30，作DEL OB 可得DE= OD=3先根据S 弓形BD =S 扇形BOD - & BOD 求得弓形的面积,2再利用折叠的性质求得所有阴影部分面积.【解答】解：如图，••• CD L OA•••/ DCO M AOB=90 ,•••/ ODC M BOD=30 ,则剪下的纸片面积之和为 12X （ 3 n- 9） =36 n- 108, 故答案为： 36 n- 108 .故选 A 3.（2017浙江衢州）如图，矩形纸片 ABCD 中, AB=4, BC=6将厶ABC 沿 AC 折叠，使点B 落在点E 处，CE 交AD于点F ,则DF 的长等于（）…S 弓形B[=S 扇形X 6X 3=3n- 9,•/ OA =OD =OB =6OC |OA作DE L OB 于点E ,则 DE= OD=3c Mg 心BOD _d BOD=His【udy 』?i 乐字刃］vi 卩卞性比帮朗预子陶建持续迸步的孚刃门【考点】PB 翻折变换（折叠问题）；LB :矩形的性质.【分析】根据折叠的性质得到 AE=AB / E=Z B=90°,易证Rt △ AEF ^ Rt △ CDF ,即可得到结论 设FA=x ,则FC=x , FD=6- x ,在Rt △ CDF 中利用勾股定理得到关于 x 的方程x 2=42+（ 6-x ）【解答】解：•••矩形 ABCD 沿对角线AC 对折，使△ ABC 落在厶ACE 的位置, ••• AE=AB / E=Z B=90°,又•••四边形ABCD 为矩形， • AB=CD • AE=DC 而/ AFE=Z DFC•••在△ AEF 与厶CDF 中，ZAFE-ZCFD•••△ AEF ^A CDF ( AAS ,• EF=DF ；•••四边形ABCD 为矩形， • AD=BC=6 CD=AB=4 •/ Rt △ AEF ^ Rt △ CDF • FC=FA设 FA=x ,贝U FC=x , FD=6- x , 13 在 Rt △ CDF 中，CF=C D+DF ,即 x 2=42+ (6 - x ) 2,解得 x= , 则 FD=6- x=. 故选：B.HiStUdyjl?iS7^l VIPTUk帮朗预子陶建持续进步的孚刃门D.5, 7EF=DF ；易得FC=FA,解方程求出x .B- AC4. （2018 •山东青岛• 3分）如图，三角形纸片ABC AB=AC / BAC=90，点E为AB中点.沿过点E的直线折叠，使点B与点A重合，折痕现交于点F.已知EF=，贝U BC的长是（）2A. .B. 3、2C. 3D. 3 3【分析】由折叠的性质可知/ B=Z EAF=45，所以可求出/ AFB=90，再直角三角形的性质可知EF丄AB,所以AB=AC!的长可求，再利用勾股定理即可求出BC的长.【解答】解：•••沿过点E的直线折叠，使点B与点A重合，•••/ B=Z EAF=45 ,•••/ AFB=90° ,•••点E为AB中点，1 3•EF= —AB, EF= ,2 2•AB=AC=3•••/ BAC=90 ,•BC=3.2 ,故选：B.【点评】本题考查了折叠的性质、等腰直角三角形的判断和性质以及勾股定理的运用，求出/ AFB=9C°是解题的关键.5. （2017乌鲁木齐）如图，在矩形ABCD中，点F在AD上,点E在BC上，把这个矩形沿EF折叠后，使点D恰好落在BC边上的G点处，若矩形面积为4胚且/ AFG=60 , GE=2BG则折痕EF的长为（）HiStUdyjl?iS7^l VIPTUk帮朗预子陶建持续is步的孚刃门【考点】PB:翻折变换（折叠问题）；LB:矩形的性质.【分析】由折叠的性质可知，DF=GF HE=CE GH=DC/ DFE=/ GFE结合/ AFG=60即可得出/ GFE=60，进而可得出△ GEF为等边三角形，在Rt△ GHE中,通过解含30度角的直角三角形及勾股定理即可得出GE=2EC DC= EC,再由GE=2BG吉合矩形面积为4 ，即可求出EC的长度，根据EF=GE=2EC卩可求出结论.【解答】解：由折叠的性质可知，DF=GF HE=CE GH=DC Z DFE=Z GFE•••/ GFE+Z DFE=180 -Z AFG=120 ,•••/ GFE=60 .•/ AF// GE Z AFG=60 ,•Z FGE=/ AFG=60 ,•△ GEF为等边三角形，•EF=GE•••/ FGE=60，/ FGE+Z HGE=90 ,•Z HGE=30 .在Rt△ GHE中, Z HGE=30 ,•GE=2HE=C,•GH= =*$HE= CE•/ GE=2BG•BC=BG+GE+EC=4EC•••矩形ABCD勺面积为 4 ,•4EC?^EC=4 ,•EC=1, EF=GE=2故选C.二、填空题：6. （2018 •辽宁省盘锦市）如图，已知Rt△ ABC中，Z B=90°, Z A=60°, AC=2 :;+4,点M N分别在线段AC.AB上，将△ ANM沿直线MN折叠，使点A的对应点D恰好落在线段BC上，当△ DCM为直角三角形时，折痕MN勺长为 .帮朗滋子陶建持续迸步的孚刃门①如图，当/ CDM=90时，△ CDM是直角三角形,•••在Rt△ ABC中，/ B=90°, / A=60° AC=^+4, /-Z C=30°, AB^ AC五+-,由折叠可得:Z MDN Z A=60°1_ 1_Z BDN=30，•/ BN空DN爰AN •/丄術+卸BN= AB= ：,■2硬+4•• AN=2BN="Z DNB=60 , /Z ANM Z DNM=60，/•/ AMN=60 , •師+4•• AN=MN=";【解答】解：分两种情况：②如图，当/ CMD=90时，△ CDM是直角三角形,帮助预子问il持续迸步的孚刃力I □ ~I] ■由题可得：/ CDM=60 , / A=Z MDN=60 , /-Z BDN=60 , / BND=30 BD空DN= AN, BN庐BD\1AB巫+2 ,1_/• AN=2, BN^3,过N 作NH L AM于H,贝UZ ANH=30 , /• AH空AN=1, HN昉,由折叠可得：Z AMN Z DMN=45 ,/•△ MNH是等腰直角三角形，/• HM=HN= :,/ MN= ■.故答案为：'或；7. （2018 •山东威海• 8分）如图，将矩形ABCD（纸片）折叠，使点B与AD边上的点K重合，EG为折痕；点C与AD边上的点K重合，FH为折痕.已知Z 仁67.5 ° ,Z 2=75°, EF= + 1,求BC的长.【分析】由题意知Z 3=180 ° - 2 Z 1=45°、Z 4=180°- 2Z 2=30 °、BE=KE KF=FC 作KM L BC,设KM=x 知EM=x MF= x,根据EF的长求得x=1，再进一步求解可得.【解答】解：由题意，得：Z 3=180 °- 2 Z 1=45°,Z 4=180°- 2Z 2=30 °, BE=KE KF=FC设KM=x 贝U EM=x MF^J x,x+ V3x^3+1,解得：x=1,••• EK=J办KF=2,.BC=BE+EF+FC=EK+EF+KF=3++J：,• BC的长为【点评】本题主要考查翻折变换，解题的关键是掌握翻折变换的性质：折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等.8. （2018 •湖南省常德・3分）如图，将矩形ABC［沿EF折叠，使点B落在AD边上的点G处，点C落在点H处, 已知Z DGH=30，连接BG 则Z AGB= 75如图，过点K作KM L BC于点M帮朗预子陶建持续进步的孚刃门/ EBC-Z EBG即：/ GBC M BGH由平行线的性质可知/ AGB=Z GBC从而易证/ AGB2 BGH据此可得答案.【解答】解：由折叠的性质可知：GE=BE / EGH M ABC=90 ,•••/ EBG=Z EGB•••/ EGH-Z EGB玄EBC-Z EBG 即：/ GBC=/ BGH又••• AD// BC•Z AGB=Z GBC•Z AGB=Z BGHvZ DGH=30 ,•Z AGH=150 ,•Z AGB二Z AGH=75 ,2故答案为：75°.【点评】本题主要考查翻折变换，解题的关键是熟练掌握翻折变换的性质：折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等.三、解答与计算题：9. (2018 •广东• 7分)如图，矩形ABCD中, AB> AD,把矩形沿对角线AC所在直线折叠，使点B落在点E处,AE交CD于点F,连接DE(1)求证：△ ADE^A CED(2)求证：△ DEF是等腰三角形.【分析】(1)根据矩形的性质可得出AD=BC AB=CD结合折叠的性质可得出AD=CE AE=CD进而即可证出△ ADE◎ △ CED( SSS ;(2)根据全等三角形的性质可得出Z DEF=Z EDF利用等边对等角可得出EF=DF由此即可证出△ DEF是等腰三角形.HiSMlda快乐字刃I VI PT住叱帮朗预子陶建持续进步的孚刃门【解答】证明：(1)：四边形ABCD是矩形，••• AD=BC AB=CD由折叠的性质可得：BC=CE AB=AE•AD=CE AE=CDC AD=CE在厶人。
几何图形三大变换之翻折
几何图形三大变换之翻折受疫情影响，到现在孩子们还没进行系统的学习，若中考不延期的话，离中考还有不到100天，为了帮助初三的孩子们，民哥特做一些专题复习，当然专题内容不会特别难，都是指向当前考试.今天我讲的主题是几何图形三大变化之翻折，那么我们首先来看一看初中阶段常见的几何翻折基础图形.上面几副图是我们初中阶段常见的翻折图形，那么翻折图形具有什么性质特点呢？我们来看一看：1.翻折前后两部分图形形状相同、大小不变，关于折痕成轴对称；2.对应线段相等，对应角相等，折痕垂直平分对应点的连线段；3.翻折得到轴对称图形、线段垂直平分线、线段相等、角的平分线．其实归根结底，翻折的本质就是轴对称.好了，接下来，我们看几道宜宾最近几年期末或中考试题.分析，由图形的翻折可以知道角APO=角B=90°，又因为角D=90°=角C，故有一线三等角证明相似，具体过程如下：通过上面我们可以看图形的翻折得到图形的对应角相等，故平时积累的基础知识是解题的关键，同样我们知道翻折的对应线段相等，故知道PO=BO，从而找到PO和CO的关系，故容易求，具体过程如下：我们接下来看一道2015年宜宾中考试题，这个题当时得分率并不高，那么若我们掌握了基本性质后会发现非常简单，我们先呈现原题：我们看这里题中给出了C点，而它的对应点是点O，故可连结OC，得到AB垂直平分OC，也能得到OC的函数解析式，故可以轻易搞定，具体过程如下：当然这道题解法很多，比如抓住翻折图形的对应线段对应角相等，可由勾股定理得道AC，即得到OA，再由角度关系求出OB，自然可求AB的函数解析式，过程如下：而由翻折知道角相等，自然有角ACB是直角，有直角就可以构造一线三直角，故有解法三.，具体过程如下：我们接下来，继续思考一道宜宾市最近的中考题，即2018年宜宾中考16题，依然考察的翻折，我们先看原题：我们看第一个问题，当E为AB中点时，AF平行CE，其实只要抓住翻折图形对应线段相等，利用等腰三角形导角即可证明，具体过程如下：我们再看第二个，同等条件下求AF的长，其实题中告诉了AB、BC的长，自可求出CE的长，可求出角1的余弦，从而求出角4的余弦，故可求，具体过程如下：我们继续看第三问，说A、F、C三点共线，由翻折很容易得到CF，由勾股定理又很容易得到AC，故容易求出AF和角BAC的余弦故可求出，具体过程如下：由题意很容易知道AE不等于CE，故第四是错误的.我们上面分析的三个题，在宜宾的期末考试或中考来说都是拉分的，但我们可以看，只要我们真正的掌握了基础知识，中考高分并不难.最后我们总结一下翻折图形解题的策略：。
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图形的翻折和对称
概念总汇
1、旋转对称图形与中心对称图形
（1）把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角
（2）如果把一个图形绕着一个定点旋转180°后，与初始图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心
2、中心对称
（1）把一个图形绕着一个定点旋转180°后，和另一个图形重合，那么这两个图形叫做关于这点对称，也叫做中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点
（2）寻找对称中心，只需分别连结两队对应点，所得两条直线的交点就是对称中心
3、翻折与轴对称图形
（1）轴对称图形的概念
把一个图形沿着某一条直线翻折过去，如果直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴
（2）轴对称图形的特征
对称轴左右两旁的部分能完全重合
说明：
掌握轴对称图形的特征，会用轴对称图形的知识画轴对称图形，并且能自己创造涉及轴对称图形，体会数学之美和数学价值
4、轴对称
（1）如果把一个图形沿某一条直线翻折，能与另一个图形重合，那么叫做这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做对称轴。
两个图形的对应点叫做关于这条直线的对称点
（2）两个图形关于某条直线成轴对称，这两个图形对应线段的长度和对应角的大小相等，它们的形状相同，大小不变
说明：
（1）在学习了对称轴与轴对称图形知识的基础上，研究画轴对称图形，可以更好地加深对轴对称的理解。
画轴对称图形的关键是找到对称轴，然后由图形上的关键点，作对称轴的垂线，并延长，使对称轴的两边线段相等，即得关键点的对应点，将所有对应点，顺次连接，即得轴对称图形
（2）通过运用轴对称知识解决生活中的数学问题，体会数学的价值
例题讲解
例1如图，每一对三角形ABC和A’B’C’的形状、大小完全相同。
（1）哪些图形是旋转对称图形？
（2）在旋转对称图形中，哪些图形是中心对称图形？并指出这些图形的对称中心
难度等级：A
解：（1）图形甲、乙、丙都是旋转对称图形。
图形丁不是旋转对称图形。
（2）在图形甲、乙、丙这些旋转对称图形中，图形甲和乙是中心对称图形。
【知识体验】要学会区分旋转对称图形和中心对称图形这两种既有联系又有差异的不同类型图：如果旋转对称图形的旋转角等于1800，那么它就是中心对称图形，所以是中心对称图形一定是旋转对称图形；反之则不是。
【解题技巧】图形甲中，CC’的中点是对称中心；图形乙中，点C（C’）是对称中心。
【搭配练习】
下列各组图形中,由左边变成右边的图形,分别进行了平移、旋转、轴对称、中心对称等变换,其中进行了中心对称变换的是 ( )组,进行轴对称变换的是 ( )
A. B C D.
例2（1）如图所示，已知三角形ABC和三角形A’B’C’关于某点成中心对称，试确定对称中心O的位置。
（2）如图所示，画出四边形ABCD关于点O的中心对称图形。
难度等级：B
解：（1）通过观察，可知点A与点A’、点B与点B’是对称点，联结AA’、BB’，设交点是O，则点O即为所求的对称中心（图（1））。
（2）画法如下：
（I）联结AO并延长到A’，使OA’=OA，得到点A的对称点A’；
（II）同样，分别画出B、C、D的对称点B’、C’、D’；
（III）顺次联结A’B’、B’C’、C’D’和D’A’。
四边形A’B’C’D’就是四边形ABCD关于点O的中心对称图形（图（2））【知识体验】画图的关键是找出已知图形中特殊点（这里是四边形的顶点）的对称点。
画法的依据仍是中心对称图形的特征
【解题技巧】（1）是已知中心对称图形，要找出它的对称中心，其解法除了分别联结AA’、BB’外，还可以分别联结BB’、CC’或联结AA’、CC’，它们的交点都是对称中心。
这里，找对应点是关键。
如果对应点比较明显，可用直接观察的方法来找对应点（如在方格纸上）；如果对应点不明显，可以借助尺规或三角尺，用测量的方法找出对应点。
（2）和（1）不同，它是在成中心对称的两个图形中已知其中一个及对称中心，要求画出另一个图形。
画图时一般需要用尺规或三角尺等工具。
如果在方格纸上画图，那么可以利用小方格来判断线段的长。
【搭配练习】
如图所示，画出两个半圆关于点B成中心对称的图形.
B
例3如图所示，正方形ABC，图形的中心是点O（对角线的交点），
P是BC边上一点。
（1）试将正方形分割成形状相同、大小相等的两块；
（2）试将正方形分割成形状相同、大小相等的四块。
难度等级：C
解：（1）如图1所示，连结PO的直线交AD边于点P’，则P’与P为对称点，所以四边形ABPP’与四边形CDP’P的形状相同、大小相等的两块（读者可将四边形ABPP’绕着点P旋转1800，看是否与四边形CDP’P重合）；
（2）如图2所示，在AB上取一点Q，使BQ=CP，连结QO直线交DC于点Q’，则四边形CPOQ’、BQOP、AP’OQ、DQ’OP’是形状相同、大小相等的四块。
图1图2
【知识体验】正方形是旋转对称图形也是中心对称图形，其对称中心就是正方形对角线的交点，【解题技巧】利用对称中心就能找到点P的对称点。
【搭配练习】
如图，△DEF是由△ABC旋转得到的，请作出它的旋转中心
例4补画下面的图形，使它成为一个轴对称图形。
难度等级：B
解：如图
【知识体验】轴对称图形的特征：对称轴左右两旁的部分能完全重合
【解题技巧】本例题是一道开放性习题，答案不唯一，用于培养学生的发散思维，学生可以根据轴对称图形的定义，任意选择补画图形的方案，上图中分别用不同的方案给你示范补全了两个轴对称图形，你还可以设计一些其他的方案来补画此图。
当然必须满足题目要求画成一个轴对称图形。
【搭配练习】
按要求画一个图形：所画图形中同时要有正方形和圆，并且这个图形既是轴对称图形又是中心对称图形．
例5下列图形中是轴对成图形的个数有（）
①等腰三角形；②矩形；③平行四边形；④等边三角形；⑤角；⑥线段；⑦圆；⑧菱形；⑨等腰梯形；⑩直角三角形
A、9个
B、8个
C、7个
D、6个
难度等级：A
解：B
【知识体验】按轴对称图形的定义，逐个鉴定，其中等腰三角形、矩形、等边三角形、角、线段、圆、菱形、等腰梯形8个图形都是轴对称图形。
【搭配练习】
下列各图中，即不是轴对称图形，又不是中心对称图形的是（）
课后作业
A类作业：
一、填空题
1、角是轴对称图形，对称轴是
2、线段是中心对称图形，对称中心是
3、图形运动的基本形式是、旋转和翻折；经过这些运动后，它的形状大小都不会改变，只是有了改变。
二、选择题
1、下列图形中，不是中心对称图形的是（）
2、下列轴对称图形中，对称轴条数最少的是（）
3、下列四幅图中可以由图甲平移得到的（）
4、下列说法错误的是（）
A、存在旋转600后与自身重合的旋转对称图形；
B、存在旋转300后与自身重合的旋转对称图形；
C、存在旋转900后与自身重合的旋转对称图形；
D、存在旋转1000后与自身重合的旋转对称图形。
B类作业：
一、填空题
1、如果长方形的长和宽不相等，那么它有条对称轴；圆有条对称轴。
2、旋转对称图形是旋转对称图形。
（填“一定”或“不一定”或“一定不”）
3、考察甲、乙、丙各图中的阴影部分的分布规律，按此规律在图丁中画出其中的阴影部分。
二、选择题
1、如图，小强拿一张正方形的纸，沿图甲中虚线对折一次得图乙，再对折一次得图丙，然后用剪刀沿图丙中的虚线剪去一个角，再打开后的形状是（）
三、画图题：
1、如图（1），画出三角形ABC关于直线l的对称A1B1C1。
（1）（2）（3）
2、如图（2），画出三角形ABC关于点O中心对称的三角形A2B2C2。
3、如图（3），已知等腰直角三角形ABC，先以顶点B为旋转中心，朝逆时针方向旋转900，得三角形A1BC1；再以直线BC1为对称轴，作出三角形A1BC1的对称三角形A2BC1。
C类作业：
1、如图（1）是不是旋转对称图形？如果是，指出最小旋转角的大小。
（1）（2）
2、如图（2），A、B、C三点在一条直线上，分别以AB、BC为边在同侧作两个等边三角形，联结AE和CD，试问怎样旋转三角形ABE，才能使它与三角形BDC重合？通过这样的图形运动，你能判断三角形ABE与三角形DBC中哪些线段和角是相等的？
3、如图（3），已知四边形ABCD和两条互相平行的对称轴m、n，如果分别画出四边形ABCD 关于直线m、n对称的四边形A1B1C1D1和四边形A2B2C2D2，观察这两个图形，你发现了什么？
（3）（4）
4、如图（4），三角形ABC为等边三角形，三角形AEF为等腰三角形（AE=AF），四边形ACDE 和四边形ABGF都是长方形。
问：四边形ABGF能通过一次旋转到达四边形ACDE的位置吗；如果不能，是否能通过两次旋转得到上述目的，并指出每次旋转的旋转中心和旋转的角度。