数列求和汇总例题与答案)

数列求和汇总答案

一、利用常用求和公式求和

利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2

)

1(2)(11-+=+=

2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)

1(11)1()1(111

q q q a a q

q a q na S n n

n

例1、已知3

log 1log 23-=

x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n

x x x x 32的前n 项和. 解：由2

1

2log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=

x x x

由等比数列求和公式得n

n x x x x S +⋅⋅⋅+++=32（利用常用公式）

＝x x x n

--1)1(＝

2

11)

211(21--n ＝1－n 21 练习：求22222222

123456...99100-+-+-+--+的和。 解：2

2

2

2

2

2

2

2

12345699100-+-+-+--+L

()()()()2222222221436510099=-+-+-++-L

()()()()()()()()2121434365651009910099=-++-++-++-+L 3711199=+++L ＋

由等差数列的求和公式得

()

50503199S 50502

＋＝

＝ 二、错位相减法求和

这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{a n }、{b n }分别是等差数列和等比数列.

例2求和：1

32)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………①

解：由题可知，{1

)12(--n x

n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1

-n x

}的通项之积

设n

n x n x x x x xS )12(7531432-+⋅⋅⋅++++=……………………….②（设制错位）

①－②得n

n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=--（错位相减）

再利用等比数列的求和公式得：n n n x n x x x S x )12(1121)1(1

----⋅

+=-- ∴2

1)

1()

1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+ 练习：求数列

⋅⋅⋅⋅⋅⋅,2

2,,26,24,2232n n

前n 项的和. 解：由题可知，{

n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 2

1

}的通项之积 设n n n

S 2

226242232+⋅⋅⋅+++=

…………………………………① 14322

226242221++⋅⋅⋅+++=n n n

S ………………………………②（设制错位） ①－②得14322

22222222222)21

1(+-+⋅⋅⋅++++=

-n n n n

S （错位相减） 1

12

221

2+--

-

=n n n ∴122

4-+-=n n n S

三、反序相加法求和

这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +.

例3求ο

ο

ο

ο

ο

89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 2

2

2

2

2++⋅⋅⋅+++的值

解：设ο

ο

ο

ο

ο

89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 2

2

2

2

2

++⋅⋅⋅+++=S ………….① 将①式右边反序得

οοοοο1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+++⋅⋅⋅++=S …………..②（反序）

又因为1cos sin ),90cos(sin 2

2

=+-=x x x x ο

①+②得（反序相加）

)89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222οοοοοο++⋅⋅⋅++++=S ＝89

∴S ＝、

求和：2

22

22222222222210

1109293832921101++++++++++Λ

四、分组法求和

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.

例4、求和:⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+++⎪⎪⎭⎫

⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛

+

n n y x y x y x 11122Λ()1,1,0≠≠≠y x x 解:原式=()n

x x x x ++++Λ32⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛++++n y y y 1112

Λ =

()

y

y y x

x x n n

1111111-

⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛-+-- =n

n n n y

y y x x x --+--++1

111 练习：求数列的前n 项和：231

,,71,41,

1112-+⋅⋅⋅+++-n a

a a n ，… 解：设)231

()71()41(

)11(12-++⋅⋅⋅++++++=-n a

a a S n n 将其每一项拆开再重新组合得

)23741()1

111(12-+⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++

=-n a

a a S n n （分组） 当a ＝1时，2

)13(n n n S n -+

=＝2)13(n

n +（分组求和）

当1≠a 时，2)13(111

1n n a

a S n n -+--

=＝2)13(11n n a a a n -+--- 练习：求数列•••+•••),21

(,,81

3,41

2,21

1n n 的前n 项和。