平面解析几何初步 整理
平面解析几何知识点归纳
平面解析几何知识点归纳平面解析几何是研究平面上点、直线、圆及其相关性质和相互关系的数学分支。
在平面解析几何中，我们通过坐标系的建立和运用向量的概念，可以方便地描述和研究平面上的各种几何图形和问题。
本文将对平面解析几何中的一些重要知识点进行归纳，以帮助读者更好地理解和掌握这些知识。
1. 坐标系的建立平面解析几何中，坐标系是最基本的工具之一。
一般来说，我们可以建立直角坐标系、极坐标系或其他特定的坐标系来描述平面上的点。
以直角坐标系为例，我们用x轴和y轴分别表示水平和垂直方向，将一个点P的位置用有序数对(x, y)表示，其中x称为点P的横坐标，y称为点P的纵坐标。
2. 点的坐标计算对于已知坐标系的平面上的点P(x, y)，我们可以通过给定的信息计算出点的坐标。
例如，已知点A和点B的坐标，我们可以通过运用向量的加法和数乘运算，求得点P的坐标。
设向量OA的坐标为A(x1,y1)，向量OB的坐标为B(x2, y2)，则向量OP的坐标为P(x, y)，其中P 的坐标满足向量OP = 向量OA + 向量OB。
3. 向量的定义和运算在平面解析几何中，向量是重要的概念之一。
向量可以表示有大小和方向的量，并且可以与点一一对应。
向量的表示方法有很多种，常见的有坐标表示和位置向量表示。
在坐标表示中，向量通常用有序数对(x, y)表示。
在位置向量表示中，我们用一个固定点O与向量表示的点P的坐标差，来表示向量OP。
向量的运算包括加法、减法和数乘。
设向量u = (x1, y1)，向量v = (x2, y2)，实数k，向量u与v的加法定义为：u + v = (x1 + x2, y1 + y2)；向量u与v的减法定义为：u - v = (x1 - x2, y1 - y2)；向量u的数乘定义为：k * u = (kx1, ky1)。
4. 直线的方程直线是平面几何中的基本要素之一。
在平面解析几何中，我们可以通过直线上的点和直线的斜率来确定直线的方程。
平面解析几何知识点总结
平面解析几何知识点总结直线方程1．直线的倾斜角(1)定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线l ，把x 轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l 重合所成的角，叫作直线l 的倾斜角．当直线l 和x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. (2)倾斜角的范围为[0°，180°)． 2．直线的斜率(1)定义：当直线l 的倾斜角α≠π2时，其倾斜角α的正切值tan α叫做这条直线的斜率，斜率通常用小写字母k 表示，即k ＝tan α.(2)过两点的直线的斜率公式：经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2) (x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝y 2－y 1x 2－x 1. (3) 直线的倾斜角α和斜率k 之间的对应关系每条直线都有倾斜角，但不是每条直线都有斜率，倾斜角是90°的直线斜率不存在．它们之间的关系如下：3．直线方程的五种形式4．说明：k 1＝k 2，且b 1≠b 2，则两直线平行；若斜率都不存在，还要判定是否重合． 5．利用一般式方程系数判断平行与垂直设直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0， l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0，且B 1C 2－B 2C 1≠0. l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0. 6．三种距离公式 (1)两点间距离公式点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)间的距离：|AB |＝ (x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.(2)点到直线的距离公式点P (x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离：d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.说明：求解点到直线的距离时，直线方程要化为一般式． (3)两平行线间距离公式两平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0 (C 1≠C 2)间的距离为d ＝|C 2－C 1|A 2＋B 2. 说明：求解两平行线间距离公式时，两直线x ，y 前系数要化为相同．圆的方程1．圆的定义在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆．确定一个圆最基本的要素是圆心和半径．2. 圆的标准方程(1) 以(a ，b )为圆心，r (r >0)为半径的圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2． (2) 特殊的，以(0，0)为圆心，r (r >0)为半径的圆的标准方程为x 2＋y 2＝r 2． 3. 圆的一般方程 方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0可变形为⎝⎛⎭⎫x ＋D 22＋⎝⎛⎭⎫y ＋E 22＝D 2＋E 2－4F4. (1) 当D 2＋E 2－4F >0时，方程表示以⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2为圆心，D 2＋E 2－4F 2为半径的圆；(2) 当D 2＋E 2－4F ＝0时，该方程表示一个点⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2；(3) 当D2＋E2－4F＜0时，该方程不表示任何图形．4. 直线与圆的位置关系的判断方法设直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)，圆为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.5.(1) 圆与圆的位置关系有五种，分别为外离、外切、相交、内切、内含．(2) 判断两圆位置关系的方法设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21(r1>0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r2>0)．圆心距O1O2＝d，则(1)几何法：设圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则(l2)2＝r2－d2.(2)代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：设直线与圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝（1＋k2）[（x1＋x2）2－4x1x2].注意：常用几何法研究圆的弦的有关问题．椭圆1．椭圆的概念把平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合叫作椭圆．这两个定点F1，F2叫作椭圆的焦点，两个焦点F1，F2间的距离叫作椭圆的焦距．椭圆定义用集合语言表示如下：P ＝{M ||MF 1|＋|MF 2|＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a >0，c >0，且a ，c 为常数．在椭圆定义中，特别强调到两定点的距离之和要大于|F 1F 2|．当到两定点的距离之和等于|F 1F 2|时，动点的轨迹是线段F 1F 2；当到两定点的距离之和小于|F 1F 2|时，动点的轨迹不存在． 2．椭圆的标准方程和几何性质－a ≤x ≤a －b ≤x ≤b 说明：当焦点的位置不能确定时，椭圆方程可设成Ax 2＋By 2＝1的形式，其中A ，B 是不相等的正常数，或设成x 2m 2＋y 2n2＝1(m 2≠n 2)的形式．3．椭圆中的弦长公式(1)若直线y ＝kx ＋b 与椭圆相交于两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋1k2|y 1－y 2|. (2)焦点弦(过焦点的弦)：最短的焦点弦为通径长2b 2a，最长为2a .双曲线1．双曲线的概念把平面内到两定点F 1，F 2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F 1F 2|)的点的集合叫作双曲线．定点F 1，F 2叫作双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫作双曲线的焦距．用集合语言表示为：P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.说明：定义中，到两定点的距离之差的绝对值小于两定点间距离非常重要．令平面内一点到两定点F1，F2的距离的差的绝对值为2a(a为常数)，则只有当2a<|F1F2|且2a≠0时，点的轨迹才是双曲线；若2a＝|F1F2|，则点的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线；若2a>|F1F2|，则点的轨迹不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a焦点在x轴上，若y2的系数为正，则焦点在y轴上．3．双曲线与椭圆的区别(1) 定义表达式不同：在椭圆中|PF1|＋|PF2|＝2a，而在双曲线中||PF1|－|PF2||＝2a；(2) 离心率范围不同：椭圆的离心率e∈(0，1)，而双曲线的离心率e∈(1，＋∞)；(3) a，b，c的关系不同：在椭圆中a2＝b2＋c2，a＞c；而在双曲线中c2＝a2＋b2，c＞a．抛物线1．抛物线的概念把平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不过F )的距离相等的点的集合叫作抛物线．这个定点F 叫作抛物线的焦点，这条定直线l 叫作抛物线的准线． 用集合语言描述：P ＝{M ||MF |d＝1}，即P ＝{M ||MF |＝d }．注意：抛物线的定义中不可忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与定直线垂直的直线． 2．抛物线的标准方程与几何性质。
平面解析几何初步典型例题整理后
平面解析几何初步§7.1直线和圆的方程经典例题导讲［例1］直线l 经过P （2,3）,且在x,y 轴上的截距相等,试求该直线方程. 解：在原解的基础上,再补充这样的过程:当直线过(0,0)时,此时斜率为:230203=--=k , ∴直线方程为y=23x 综上可得:所求直线方程为x+y-5=0或y=23x . ［例2］已知动点P 到y 轴的距离的3倍等于它到点A(1,3)的距离的平方,求动点P 的轨迹方程.解： 接前面的过程,∵方程①化为(x-52 )2+(y-3)2 = 214 ,方程②化为(x+12 )2+(y-3)2= - 34 ,由于两个平方数之和不可能为负数,故所求动点P 的轨迹方程为: (x-52 )2+(y-3)2= 214 (x ≥0)［例3］m 是什么数时，关于x,y 的方程（2m 2+m-1）x 2+（m 2-m+2）y 2+m+2=0的图象表示一个圆？解：欲使方程Ax 2+Cy 2+F=0表示一个圆，只要A=C ≠0，得2m 2+m-1=m 2-m+2，即m 2+2m-3=0，解得m 1=1，m 2=-3，(1) 当m=1时，方程为2x 2+2y 2=-3不合题意，舍去.(2) 当m=-3时，方程为14x 2+14y 2=1,即x 2+y 2=114,原方程的图形表示圆.［例4］自点A(-3，3)发出的光线L 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在直线与圆x 2+y 2-4x-4y+7＝0相切，求光线L 所在的直线方程.解：设反射光线为L ′,由于L 和L ′关于x 轴对称，L 过点A(-3，3)，点A 关于x 轴的对称点A ′(-3，-3)， 于是L ′过A(-3，-3).设L ′的斜率为k ，则L ′的方程为y-(-3)＝k ［x-(-3)］，即kx-y+3k-3＝0，已知圆方程即(x-2)2+(y-2)2＝1，圆心O 的坐标为(2，2)，半径r ＝1 因L ′和已知圆相切，则O 到L ′的距离等于半径r ＝1即11k 5k 51k 3k 32k 222=+-=+-+-整理得12k 2-25k+12＝0解得k ＝34或k ＝43 L ′的方程为y+3＝34(x+3);或y+3＝43(x+3)。
平面解析几何知识点总结
第一部分直线一、直线的斜率和倾斜角1.倾斜角α（1）定义：直线l 向上的方向与x 轴正方向所称的角叫直线的倾斜角（2）范围：1800<≤α2.斜率直线倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，记作αtan =k （1）倾斜角为 90的直线没有斜率（2）每一条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每一条直线都存在斜率（直线垂直x 轴时，其斜率不存在），这就决定了我们在研究直线的有关问题时应考虑到斜率的存在与不存在两种情况，否则会产生漏解。
（3）经过),(),,(2211y x B y x A 两点的直线的斜率为k ，则当21x x ≠时，1212tan x x y y k --==α；当21x x =时， 90=α，斜率不存在（4）切线斜率的求法：设平面曲线的方程为0),(=y x F ，则该曲线在),(00y x 点的斜率为)(')('00y F x F k -=，其中)('0x F 表示),(y x F 对x 求导得到的函数在0x x =下的值，)('0y F 表示),(y x F 对y 求导得到的函数在0y y =下的值。
若平面曲线方程为)(x f y =，则该曲线在),(00y x 点的斜率为)('0x f k =，其中)('0x f 表示)(x f 对x 求导得到的函数在0x x =下的值。
若平面曲线的参数方程为)(),(t y y t x x ==，则该曲线在0t t =时的点的斜率为)(')('00t x t y k =，其中)('0t y 表示)(t y 对t 求导得到的函数在0t t =下的值,其中)('0t x 表示)(t x 对t 求导得到的函数在0t t =下的值。
3.定比分点公式:定比分点公式是解决共线三点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，P(x ，y )之间数量关系的一个公式，其中λ的值是起点到分点与分点到终点的有向线段的数量之比.这里起点、分点、终点的位置是可以任意选择的，一旦选定后λ的值也就随之确定了.若以A 为起点，B 为终点，P 为分点，则定比分点公式是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=λλλλ112121y y y x x x .当P 点为AB 的中点时，λ=1，此时中点坐标公式是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=222121y y y x x x.线性规划问题平面区域的非线性规划第二部分解析几何中的范围问题（研究性学习之二）在直线与圆锥曲线相交问题中，关于直线的斜率或纵截距的取值范围，关于圆锥曲线的离心率、长轴长（或实轴长）、短轴长（或虚轴长）等有关参量的取值范围，是解析几何高考命题以及备考复习的重点问题。
平面解析几何初步
平面解析几何初步引言平面解析几何是数学中的一个重要分支，它研究了平面上点、直线、曲线的性质和相互关系。
本文将从平面上的点、直线以及曲线这三个方面，初步介绍平面解析几何的基本概念和方法。
一、平面上的点在平面解析几何中，点是最基本的概念之一。
点可以用坐标表示，常用的表示方法有直角坐标和极坐标两种。
1. 直角坐标系直角坐标系是平面上最常用的坐标系之一。
在直角坐标系中，平面被分成四个象限，每个象限有一个唯一的坐标表示。
点的坐标表示为(x, y)，其中x表示横坐标，y表示纵坐标。
2. 极坐标系极坐标系是另一种常用的坐标系。
在极坐标系中，点的位置由极径和极角来确定。
极径表示点到原点的距离，极角表示点与正半轴的夹角。
二、平面上的直线直线是平面解析几何中的另一个重要概念。
直线可以用多种方式表示和描述，例如点斜式、一般式和截距式等。
1. 点斜式点斜式是一种常用的直线表示方法。
它通过给定直线上一点的坐标和直线的斜率来确定直线的方程。
点斜式的一般形式为y - y1 = k(x - x1)，其中(x1, y1)为直线上的一点，k为直线的斜率。
2. 一般式一般式是另一种常用的直线表示方法。
它通过直线的一般方程来描述直线的性质。
一般式的一般形式为Ax + By + C = 0，其中A、B、C为常数，且A和B不同时为0。
3. 截距式截距式是直线的另一种表示方法。
它通过直线与坐标轴的交点来确定直线的方程。
截距式的一般形式为x/a + y/b = 1，其中a和b分别表示直线与x轴和y轴的截距。
三、平面上的曲线曲线是平面解析几何中的另一个重要概念。
曲线可以通过方程或参数方程来表示和描述。
1. 方程曲线的方程是最常用的表示方法之一。
通过给定曲线上点的坐标满足的方程来确定曲线的性质。
常见的曲线方程有圆的方程、椭圆的方程、双曲线的方程等。
2. 参数方程参数方程是曲线的另一种表示方法。
通过给定曲线上点的坐标与参数之间的关系来确定曲线的性质。
平面解析几何知识总结
1、直线的斜率：αtan ),(211212=≠--=k x x x x y y k ．（111(,)P x y 、222(,)P x y ）2、一般式：0=++C By Ax (其中A 、B 不同时为0)．一般式化为斜截式：BCx B A y --=，即，直线的斜率：BAk -=． 3、两条直线的平行和垂直：（1）若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+① 212121,//b b k k l l ≠=⇔； ② 12121l l k k ⊥⇔=-. （2）若0:1111=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l ，有① 1221122121//C A C A B A B A l l ≠=⇔且．② 0212121=+⇔⊥B B A A l l ．4、平面两点距离公式：(111(,)P x y 、222(,)P x y )，22122121)()(y y x x P P -+-=．x 轴上两点间距离：A B x x AB -=．线段21P P 的中点是),(00y x M ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=22210210y y y x x x ． 5．点到直线的距离公式：点),(00y x P 到直线0=++C By Ax l ：的距离：2200BA C By Ax d +++=．6．两平行直线间的距离：两条平行直线002211=++=++C By Ax l C By Ax l ：，：距离：2221BA C C d +-=．7．直线系方程：（1）平行直线系方程：① 直线y kx b =+中当斜率k 一定而b 变动时，表示平行直线系方程．． ② 与直线:0l Ax By C ++=平行的直线可表示为10Ax By C ++=．③ 过点00(,)P x y 与直线:0l Ax By C ++=平行的直线可表示为：00()()0A x x B y y -+-=． （2）垂直直线系方程：① 与直线:0l Ax By C ++=垂直的直线可表示为10Bx Ay C -+=．② 过点00(,)P x y 与直线:0l Ax By C ++=垂直的直线可表示为：00()()0B x x A y y ---=． （3）定点直线系方程：① 经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()y y k x x -=-(除直线0x x =),其中k 是待定的系数． ② 经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()()0A x x B y y -+-=,其中,A B 是待定的系数．8．曲线1:(,)0C f x y =与2:(,)0C g x y =的交点坐标⇔方程组{(,)0(,)0f x y g x y ==（1）圆的标准方程：222)()(r b y a x =-+-（0>r ）．（2）圆的一般方程：)04(02222>-+=++++F E D F Ey Dx y x ． 注)在圆的一般方程中，圆心坐标和半径分别是)2,2(E D --，F E D r 42122-+=． 1、圆的弦长的求法：（1）几何法：当直线和圆相交时，设弦长为l ，弦心距为d ，半径为r ，则：“半弦长2+弦心距2=半径2”——222)2(r d l =+；（2）代数法：设l 的斜率为k ，l 与圆交点分别为),(),(2211y x B y x A ，，则||11||1||22B A B A y y k x x k AB -+=-+= （其中|||,|2121y y x x --的求法是将直线和圆的方程联立消去y 或x ，利用韦达定理求解）2.直线与圆的位置关系：直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种(22BA C Bb Aa d +++=):圆心到直线距离为d ，由直线和圆联立方程组消去x （或y ）后，所得一元二次方程的判别式为∆．0<∆⇔⇔>相离r d ；0=∆⇔⇔=相切r d ；0>∆⇔⇔<相交r d3.圆的切线方程：（1）过圆222r y x =+上的点),(00y x P 的切线方程为:200r y y x x =+．（2）过圆222)()(r b y a x =-+-上的点),(00y x P 的切线方程为:200))(())((r b y b y a x a x =--+-- ． （3）当点),(00y x P 在圆外时，可设切方程为)(00x x k y y -=-，利用圆心到直线距离等于半径，即r d =，求出k ；或利用0=∆，求出k ．若求得k 只有一值，则还有一条斜率不存在的直线0x x =． 4.把两圆011122=++++F y E x D y x 与022222=++++F y E x D y x 方程相减即得相交弦所在直线方程:0)()()(212121=-+-+-F F y E E x D D ． 三、求曲线方程的步骤：（1）建立适当的坐标系，用有序实数对(,)x y 表示曲线上任意一点M 的坐标； （2）写出适合条件p 的点M 的集合{}()P M p M =； （3）用坐标表示条件()p M ，列出方程(,)0f x y =； （4）化方程(,)0f x y =为最简形式；（5）说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上.简言之：①建系、取点 ②列式 ③代换 ④化简 ⑤证明.四、椭圆1、椭圆的定义可用集合语言表示为：{}12122,2P M MF MF a a F F =+=>注意：当122a F F =时，表示线段12F F ；当122a F F <时，轨迹不存在. 2（e 可以刻画椭圆的扁平程度，e 越大，椭圆越扁，e 越小，椭圆越圆.）222a b c =+ 2.点P 是椭圆上任一点，F 是椭圆的一个焦点，则max PF a c =+，min PF a c =-. 3.点P 是椭圆上任一点，当点P 在短轴端点位置时，12F PF ∠取最大值.4.椭圆的第二定义：当平面内点M 到一个定点(,0)(0)F c c >的距离和它到一条定直线l ：2a x c=的距离的比是常数(01)ce e a=<< 时，这个点的轨迹是椭圆，定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数e 是椭圆的 离心率.5直线与椭圆位置关系（1）直线与椭圆的位置关系及判定方法（2）弦长公式：设直线y kx b =+交椭圆于111222(,),(,)P x y P x y则1212||PP x =-，或1212||PP y =-(0)k ≠. .椭圆方程22221(0)x y a b a b+=>> 常用三角换元为cos ,sin x a y b θθ==五、双曲线1.双曲线的定义可用集合语言表示为：{}12122,2P M MF MF a a F F =-=<.注意：当122a F F =时，表示分别以1F 、2F 为端点的两条射线；当122a F F <时，轨迹不存在. 2.双曲线的标准方程与几何性质：（注：222c a b =+； e 越大，双曲线的张口就越大.实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其离心率e =3.双曲线的第二定义：当平面内点M 到一个定点(,0)(0)F c c >的距离和它到一条定直线l ：2a x c=的距离的比是常数(1)ce e a=> 时，这个点的轨迹是双曲线，定点是双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数e 是 双曲线的离心率.4.直线与双曲线位置关系同椭圆. 特别地，直线与双曲线有一个公共点，除相切外还有当直线与渐进线平行时，也是一个公共点.5.共渐近线的双曲线可写成2222(0)x y a b λλ-=≠ ；共焦点的双曲线可写成2222221()x y b a a b λλλ-=-<<-+. 六、抛物线抛物线的标准方程与简单几何性质：注意：1. p 的几何意义：p 表示焦点到准线的距离. 2p 表示抛物线的通径（过焦点且垂直于轴的弦）.2. 若点00(,)M x y 是抛物线22(0)y px p =>上任意一点，则02p MF x =+. 3.若过焦点的直线交抛物线22(0)y px p =>于11(,)A x y 、22(,)B x y 两点，则弦长12AB x x p =++.。
平面解析几何初步
平面解析几何初步解析几何是几何学和代数学的交叉领域，它研究平面内的点、线、圆等形状及其相互关系，利用代数方法进行分析和计算。
在平面解析几何中，我们将重点讨论直线、圆和二次曲线及其性质。
本文将介绍平面解析几何的基本概念和常见问题，以及一些解题技巧。
一、直线的方程在平面解析几何中，直线是最基本的几何元素之一。
一条直线可以由其上的两个点确定，我们可以通过计算斜率和截距来表示直线的方程。
直线的方程有多种形式，常见的有点斜式和截距式。
1. 点斜式方程点斜式方程形如 y-y₁ = k(x-x₁)，其中 (x₁, y₁) 是直线上的一点，k 是直线的斜率。
通过给定一点和斜率，我们可以轻松写出直线的方程。
例如，已知直线上的点 A(2,3) 和斜率 k=2，我们可以得到直线的点斜式方程为 y-3=2(x-2)。
点斜式方程的优点在于直接给出了直线的一般形式，但不适用于垂直于 x 轴的直线。
对于垂直于 x 轴的直线，我们可以使用斜截式。
2. 截距式方程斜截式方程形如 y=mx+b，其中 m 是直线的斜率，b 是直线在 y 轴上的截距。
斜截式方程适用于所有类型的直线，包括垂直于 x 轴的直线。
例如，有一条直线经过点 B(3,4) 且斜率为 1/2，我们可以得到直线的斜截式方程为 y=(1/2)x+2。
二、圆的方程圆是解析几何中的另一个重要概念，它由平面上与固定点的距离等于常数的点构成。
在平面解析几何中，圆的方程一般形式为 (x-a)² + (y-b)² = r²，其中 (a,b) 是圆的圆心坐标，r 是圆的半径。
根据圆的方程，我们可以计算圆心和半径，以及圆上的点。
例如，对于方程 (x-2)² + (y+3)² = 9，我们可以得到圆的圆心坐标为 (2,-3)，半径为 3。
利用这些信息，我们可以描绘出圆的几何形状。
三、二次曲线的方程除了直线和圆，二次曲线也是平面解析几何中的重要对象。
高中数学平面解析几何初步全章总结新人教B版必修2
平面分析几何初步总结1.详析直线的倾斜角与斜率（ 1）定义：把直线y kx b 中的系数 k 叫做这条直线的斜率，垂直于x 轴的直线的斜率不存在．x 轴正向与直线向上的方向所成的角，叫做这条直线的倾斜角．经过两点 A( x1 , y1 ) 、 B( x2, y2 )x1 x2的直线的斜率k y2y 1 ．x2x1（ 2）斜率k与倾斜角的关系：k 0 时，0 ； k 0时，0 ,90 且随k的增大而增大；k 不存在时，90 ； k 0时，90 ,180且随k的增大而增大．2.比较直线的五种方程名称方程常数的几何意义合用条件点斜式y y0k( x x )( x0 , y0 ) 是直线上的一个定点，k 是斜直线不垂直于x 轴率斜截式y kx b k 是斜率， b 是直线在 y 轴上的截距直线不垂直于x 轴两点式y y1x x1( x1 , y1 ) ， ( x2 , y2 ) 是直线上的两个定点直线不垂直于x 轴和y 轴y2y1x2x1截距式x y1 a ，b分别是直线在 x 轴，y轴上的非直线不垂直于x 轴和a b y 轴，且可是原点零截距一般式Ax By C0（ A ，A， B，C为系数任何状况B 不一样时为0）特别直线x a （y轴：x0 ）垂直于 x 轴且过点(a,0)斜率不存在y b （x轴： y0 ）垂直于 y 轴且过点 (0, b)斜率 k 03.辨析两条直线订交、平行、重合、垂直的两种条件直线方程b1，l1： A1x B1 y C1 0，l1： y k1xl 2： y k2 x b2l2： A2 x B2 y C20 ，订交的等价条件k1 k2l1与 l2订交A1B2A2 B10l1与 l 2订交平行的等价条件k2且 b1 b2l1//l 2A1 B2A2 B10 且l1// l2k1B 1C 2 B 2 C 1 0重合的等价条件l 1 与 l 2 重合 k 1 k 2 且 b 1 b 2 l 1 与 l 2 重 合 A 1 B 2 A 2 B 1 0 且B 1C 2 B 2 C 1 0垂直的等价条件l 1 l 2k 1 k 2 1 l 1 l 2 A 1A 2 B 1 B 2 0说明： 两直线的交点坐标即为对应方程构成的方程组的解．方程组有一组解，则两直线有一个交点；方程组无解，则两直线平行．4. 依据直线地点关系妙设直线方程（ 1）与直线 Ax By C 0平行的直线方程可设为Ax Bym 0 （ m 为参数，且 m C ）；与直线 AxBy C 0 垂直的直线方程可设为 Bx Ay m 0 （ m 为参数）．（ 2）与直线 ykx m 平行的直线方程可设为y kx b (bm) ；与直线 y kxm 垂直的直线方程可设为 y1x b ．k（3） 过 直 线A 1 xB 1 y 1C0 与 A 2 x B 2 yC 2 0 的 交 点 的 直 线 方 程 可 设 为A 1 xB 1 y1CA 2 xB 2 y2C0 （ 为参数）．注意此方程中不包含直线A 2 xB 2 yC 2 0，在解题时要考证该直线能否切合题意．特别地，直线过定点问题，一般将直线方程整理为A 1 xB 1 yC 1A 2 xB 2 yC 20 的形式，将定点转变成直线A 1xB 1 yC 1 0与 A 2x B 2 y C 20 的交点．5. 记忆重要公式，重视坐标法思想（ 1）四个距离公式和中点坐标公式种类 已知条件公式中点坐标A x 1 , y 1 ，B x 2 , y 2x 0x 1 x 2， y 0 y 1 y 222 数轴上的点A x 1 ， B(x 2 )| AB | | x 2 x 1 |两点间的距离A x 1 , y 1 ，B x 2 , y 2|AB|(x 2 x 1 )2( y 2 y 1 )2点到直线的距离P x 0 , y 0 ， l ： Ax By C 0| Ax 0By 0 C |dA2B2两平行直线的距离l 1 ： Ax By C 10 ，| C 2 C 1 |dA2B2l 2 ：Ax By C 20 ，（ A ，B 不一样时为零）（ 2）坐标法思想：即依据图形特色，成立适合的直角坐标系，用坐标表示有关量，利用坐标间的代6.明确圆的两种方程，掌握待定系数法（ 1）圆的标准方程：( x a) 2( y b)2r 2，此中，圆心是 C (a, b) ，半径是r．圆的一般方程： x2y2Dx Ey F0 ( Dx Ey F0) ．此中圆心是 ( D,E) ，半径是122 D 2 E 24F ．2注意：二元二次方程表示圆的条件是x2和y2项的系数相等且不为零；没有xy 项．（ 2）圆的标准方程和一般方程中都含有三个参变量（a,b, r 或 D , E, F），求圆的方程时，由题意得到三个独立的条件，利用待定系数法求出三个参变量的值即可．7.点击圆的有关地点关系（ 1）点与圆的地点关系点与圆的地点关系有三种：点在圆上、点在圆内、点在圆外，可经过点到圆心的距离与半径的大小关系来判断．（ 2）直线与圆的地点关系直线圆的地点关系有三种：订交、相离、相切，其判断方法有两种：代数法（经过解直线方程与圆的方程构成的方程组，依据解得个数来判断）、几何法（由圆心到直线的距离 d 与半径r的大小关系来判断）．（3）圆与圆的地点关系圆与圆的地点关系有五种：外离、外切、订交、内切、内含，其判断方法有两种：代数法（依据两圆方程联立的方程组解的状况判断）、几何法（依据两圆的圆心距 d 与两圆半径r1， r2之间的关系判断）．8.切记圆的切线求法，细解弦长问题（ 1）圆的切线求法：①设切线斜率，获得切线方程，与圆联立化为一元二次方程，依照鉴别式为0求解；②设切线斜率，获得切线方程，利用圆心到切线的距离等于圆的半径求解．解题时，注意切线斜率不存在的状况．（2）当直线与圆订交时，圆的半径、弦心距、弦长的一半构成直角三角形．（3）求订交两圆的公共弦长时，可经过两圆方程相减求出两圆公共先所在的直线方程，从而求出此中一圆心到直线的距离及该圆的半径，利用勾股定理求出弦长的一半，从而求得弦长．9.清晰空间直角坐标系的成立法例，直击距离公式（ 1）建林的空间直角坐标系要按照右手法例．222（ 2）空间中P1( x1, y1, z1)，P2( x2, y2, z2)之间的距离| PP12|x2 x1y2 y1z2 z1．专题概括研究专题一巧设直线方程解题在本章中，常常要用直线方程解决问题，但好多时候直线方程并不是已知，而是要设出方程从而解决问题，这时，怎样选择方程形式将决定解题过程中的好坏简繁．典例 1直线l过点P(8,6)，且与两坐标轴围成等腰直角三角形，求直线l 的方程．研析由题意知，直线l 在两坐标轴上的截距的绝对值相等且不为0．方法一设直线 l 的方程为xy 1 或x y 1 (a0)．当直线 l 的方程为xya a a a1时，a a∵点 P(8,6) 在 l 上，∴86 1 ，解得 a14 ，a a∴直线 l 的方程为 x y140 ；当直线 l 的方程为xy 1 时，a a∵点 P(8,6) 在 l 上，∴861，解得 a 2 ，a a∴直线 l 的方程为 x y 2 0 ．综上所述，所求直线l 的方程为 x y20或 x y140 ．方法二设直线 l 的方程为 y kx b(k0, b0) ．令 x0 ，得 y b；令 y 0 ，得 x b．kb|，∵ b由题意，得 | b | |0 ，∴ k1．k当 k 1 时，直线 l 的方程为 y x b ，∵点 P(8,6) 在 l 上，∴ 68 b ，b2，∴直线 l 的方程为 y x 2 ，即 x y20 ；当 k 1 时，直线 l 的方程为 y x b，∵点 P(8,6) 在 l 上，∴ 68 b ， b14 ，∴直线 l 的方程为 x y140．综上所述，所求直线l 的方程为x y20或 x y140 ．方法研究凡波及直线与坐标轴所围成三角形的面积或周长等与截距有关的问题，用截距式较简单，但要注意截距式应用的前提是截距存在且不为零．典例 2已知直线 l 过点 P(1,2) ，且点 A(4,1) ， B(2,5) 到直线 l 的距离相等，求直线l 的方程．研析设直线 l 的方程为m( y2) x 1，即 x my2 m 1 0．由点到直线的距离公式可得| 4 m2m 1|| 2 5m2m 1|，解得 m0 或 m3．m21m212故直线 l 的方程为 x10 或 2x3y80 ．方法研究设直线方程为 x x0m( y y0 ) ，防止了遗漏斜率不存在的状况（斜率不存在即m0 ）．典例 3已知圆 C : x2y26x8y210 ，求过点(1,1)的圆 C 的切线方程．研析设所求切线的方程为m( y1)x 1 ，即 x my m 1 0 ．圆的圆心坐标为 (3, 4) ，半径r1( 6)2( 8)24212．2由题意可知| 3 m4 m 1 |2 ，解得 m 0 或 m20，故所求直线方程为 z 1 或1m22121x20 y410 ．方法研究过圆上一点 ( x0 , y0 ) 求圆的切线方程，都可能存在切线斜率不存在的情况．为了防止议论斜率和判断点与圆的地点关系，可直接设切线方程为m( y y0 ) x x0．专题二商讨两类圆方程的求解方法1.求过直线与圆的交点的圆的方程解此类问题的方法是：联立直线与圆的方程，求出交点坐标，依据点在圆上及其余条件求圆的方程．典例 1求经过直线 x y0 与圆x2y22x 4y 80 的交点，且经过点P( 1,2) 的圆的方程．研析x y0,x1,x 4,A(1, 1) 和点解方程组y22x 4 y 8 0.得或即直线与圆交于点x2y 1.y 4.B(4,4)．设所求圆的方程为 x2y2Dx Ey F 0 ，分别将A，B，P的坐标代入，得方程组11D E F0,D3,16164D4E F 0,解得E3, ∴所求圆的方程为x2y23x 3 y 8 0 ．14D2E F0.F8.2.求过两圆交点的圆的方程求过两圆交点的圆的方程，一般先求出两圆的交点坐标，在利用圆的几何性质确立所求圆的圆心坐标和半径；也可由题意设出所求圆的方程，再依据条件成立方程组求参即可．典例 2 求圆心在直线x y40 上，且经过两圆x2y24x60 和 x2y24y 60 的交点的圆的方程．研析方法一x2y2 4 x 6 0,x11,或x23,由22解得y 1.y2 3.x y 4 y60.1故两圆 x2y24x60 和 x2y2 4 y 60 的交点分别为A(1,1) ， B(3,3) ．线段 AB 的垂直均分线的方程为y 1( xy 1 ( x 1),x 3,1) ，由y4 0. 解得y1.x∴所求圆的圆心坐标为(3, 1) ，半径为(3 3)2(3 1)24 ，∴所求圆的方程为 ( x 3)2 ( y1)2 16 ．方法二同方法一求得 A( 1, 1) ， B(3,3) ，设所求圆的方程为 ( xa)2 ( y b)2 r 2 (r 0) ，由a b 4 0,a 3,( 1 a)2(1 b)2r 2 ,解得 b 1, (3 a) 2 (3 b)2r 2 .r 216.∴所求圆的方程为 ( x 3)2( y1)2 16 ．接下来介绍利用过两圆交点的曲线方程来解决上述问题的方法．这里谈的过两圆交点的曲线方程是指过两圆交点的圆的方程及它的特例—直线的方程．经过两点的圆有无数个，这些圆有一共同的性质：圆心都在已知两点连线的垂直均分线上，构成了一个圆的会合，记这个会合为M ．我们把拥有某一共同性质的全部的圆的会合成为圆系，它的方程叫做圆系方程．（ 1）设圆 C 过圆 C 1 ：x 2y 2 D 1x E 1 y F 1 0 与圆 C 2 ：x 2 y 2 D 2xE 2 yF 2 0的交点 P ，Q ，则与圆 C 齐心的圆系方程为 x 2y 2 D 1x E 1 y F 1x 2 y 2 D 2 x E 2 yF 2①，此中为参数且1．该圆系方程不包含圆C 2 ．方程①的特例：当1 时，方程①变成 ( D1D )x (EE ) yF F② ,21212若圆 C 与圆 C 2 相切，这时点P ， Q 重合为一点，则方程②表示两圆公切线的方程（切点为P ）．1（ 2）若直线 l ： Ax By C 0与圆 C ： x 2y 2 Dx Ey F 0 订交于不一样的两点 P ，Q ，则 过 P ， Q 两点的圆系方程为x 2y 2 Dx Ey F( Ax By C) 0 （ 为参数）．典例 3求圆心在直线x y0上，且过两圆x 2y 2 2x10y 24 0 ，x 2 y 22x 2 y 8 0交点的圆的方程．研析设所求圆的方程为x 2 y 2 2x10y 24x 2 y 2 2 x 2 y 80 (1) ，即 x2y 22(1) 2 5y8(3 )0，可知圆心坐标为(1, 5) ．11111由于圆心在直线 xy 0 上，因此15 0 ，解得2 ．11将2 代入所设方程并化简，可得所求圆的方程为x 2 y 2 6x 6 y 8 0 ．。
必修二数学知识点整理
必修二数学知识点整理一、立体几何初步。
（一）空间几何体。
1. 棱柱。
- 定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的多面体。
- 性质：侧棱都平行且相等；两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形。
- 分类：按底面多边形的边数分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等；按侧棱与底面是否垂直分为直棱柱和斜棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱。
2. 棱锥。
- 定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形的多面体。
- 性质：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么截面和底面相似，并且它们面积的比等于截得的棱锥的高与已知棱锥的高的平方比。
- 分类：按底面多边形的边数分为三棱锥（四面体）、四棱锥等；底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫正棱锥。
正棱锥的性质包括各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形等。
3. 棱台。
- 定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分。
- 性质：棱台的各侧棱延长后交于一点；棱台的上下底面是相似多边形；棱台的侧面积等于各个梯形面积之和。
4. 圆柱。
- 定义：以矩形的一边所在直线为轴旋转，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体。
- 性质：圆柱的轴截面是全等的矩形；平行于底面的截面是与底面全等的圆；圆柱的侧面展开图是矩形，其长为底面圆的周长，宽为圆柱的高。
5. 圆锥。
- 定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为轴旋转，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体。
- 性质：圆锥的轴截面是等腰三角形；平行于底面的截面是圆；圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的弧长等于底面圆的周长，半径等于圆锥的母线长。
6. 圆台。
- 定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分。
- 性质：圆台的轴截面是等腰梯形；平行于底面的截面是圆；圆台的侧面展开图是扇环。
7. 球。
- 定义：以半圆的直径所在直线为轴，半圆面旋转一周形成的旋转体。
第2章 平面解析几何初步
第2章 平面解析几何初步2.1 直线与方程如图2—1—2（1），已知两点1122(,),(,)P x y Q x y ，如果12x x ≠，那么直线PQ 的斜率（slope)为211221()y y k x x x x -=≠-.例 1 如图2—1—3，直线123,,l l l 都经过点(3,2),P 又123,,l l l 分别经过点123(2,1),(4,2),(3,2)Q Q Q ----，试计算直线123,,l l l 的斜率.例2 经过点（3，2）画直线，使直线的斜率分别为： （1）34；（2）45-.在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，把x 轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角（inclination)，并规定： 与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为0︒由定义可知，直线的倾斜角α的取值范围是0180α︒≤<︒.当直线的斜率为正时，直线的倾斜角为锐角（图2—1—5（1）），此时，tan .y BNk x ANα∆===∆当直线的斜率为负时，直线的倾斜角为钝角（图2—1—5（2）），此时，tan tan(180).y BNk x ANθα∆===-=-︒-∆-练习1.分别求经过下列两点的直线的斜率： （1）（2，3），（4，5）；（2）（－2，3），（2，1）；（3）（―3，―1），（2，―1）；（3）（―1，3），2.根据下列条件，分析画出经过点P ，且斜率为k 的直线： （1）(1,2),3P k =； （2）3(2,4),4P k =-； （3）(1,3),0P k -=；（3）(2,0),P -斜率不存在.3.设过点A 的直线的斜率为k ，试分别根据上列条件写出直线上另一点B 的坐标（答案不惟一）：（1）4,(1,2);k A =（2）2,(2,3);k A =--- （3）3,(2,4);2k A =--（4）4,(3,2).3k A =- 4.分别判断下列三点是否在同一直线上： （1）（0，2）（2，5），（3，7）； （2）（―1，4），（2，1），（―2，5）.若直线l 经过点(1,3)A -，斜率为2-，点P 在直线l 上运动，那么点P 的坐标(,)x y 满足什么条件（图2—1—6）？一般地，设直线l 经过点111(,)P x y ，斜率为k ，直线l 上任意一点P 的坐标是(,)x y . 当点(,)P x y （不同于点1P ）在直线l 上运动时，1PP的斜率恒等于k ，即 11y y k x x -=-， 故11()y y k x x -=-.可以验证：直线l 上的每个点（包括点1P ）的坐标都是这个方程的解；反过来，以这个方程的解为坐标的点都在直线l 上.这个方程就是过点1P ，斜率为k 的直线l 的方程.方程11()y y k x x -=-叫做直线的点斜式方程.当直线l 与x 轴垂直时，斜率不存在，其方程不能用点斜式表示.但因为l 上每一点的横坐标都等于1x ，所以它的方程是1x x =例1 已知一直线经过点(2,3)P -，斜率为2，求这条直线的方程.例2 已知直线l 的斜率为k ，与y 轴的交点是(0,)P b ，求直线l 的方程. 练习1.根据下列条件，分别写出直线的方程： （1）经过点(4,2)-，斜率为3；（2）经过点(3,1)，斜率为12； （3）斜率为2-，在y 轴上的截距为2-；（4，与x 轴交点的横坐标为7-. 2.直线(1)(0)y k x k =+>的图象可能是（ ）.3.若一直线经过点(1,2)P ，且斜率与直线23y x =-+的斜率相等，则该直线的方程是 .4.任一条直线都可以用点斜式方程表示吗？斜截式方程可以改写成点斜式方程吗？ 思考（1）方程121121y y y y x x x x --=--的左、右两边各具有怎样的几何意义？它表示什么图表？ （2）方程121121y y y y x x x x --=--和方程112121y y x x y y x x --=--表示同一图形吗？ 例1 已知直线l 经过两点(,0),(0,)A a B b ，其中0ab ≠，求直线l 的方程（图2—1—8）.例2 已知三角形的顶点是(5,0),(3,3),(0,2)A B C --（图2—1—9），试求这个三角形三边所在直线的方程.1.分别写出经过下列两点的直线的方程： （1）（1，3），（－1，2）；（2）（0，3），（－2，0）.2.已知两点(3,2),(8,12)A B . （1）求出直线AB 的方程；（2）若点(2,)C a -在直线AB 上，求实数a 的值.3.求过点(3,4)M -，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程.4.回答下列问题：（1）任一条直线都有x 轴上的截距和y 轴上的截距吗？（2）如果两条直线有相同的斜率，但在x 轴上的截距不同，那么它们在y 轴上的截距可能相同吗？（3）如果两条直线在y 轴上的截距相同，但是斜率不同，那么它们在x 轴上的截距可能相同吗？（4）任一条直线都可以用截距式方程表示吗？ 思考平面内任意一条直线是否都可以用形如0Ax By C ++=（,A B 不全为0）的方程来表示？例1 求直线:35150l x y +-=的斜率以及它在x 轴、y 轴上的截距，并作图.例2 设直线l 的方程为260x my m +-+=，根据下列条件分别确定m 的值： （1）直线l 在x 轴上的截距是3-； （2）直线l 的斜率是1.1.如果直线326x y +=的斜率为k ，在y 轴上的截距为b ，那么有（ ）.A.3,32k b =-=B.2,33k b =-=- C.3,32k b =-=-D.2,23k b =-= 2.直线52100x y --=在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b ，则（ ）. A.2,5a b ==B.2,5a b ==-C.2,5a b =-=D.2,5a b =-=-3.设直线l 的方程为0Ax By C ++=（,A B 不同时为0），根据下列条件，求出,,A B C 应满足的条件：（1）直线l 过原点；（2）直线l 垂直于x 轴； （3）直线l 垂直于y 轴；（3）直线l 与两条坐标轴都相交.4.写出下列图中各条直线的方程，并化为一般式：习题2.1（1）1.根据下列条件，分别写出直线的方程：（1）过点(3,2)-，斜率为3； （2）过点(3,0)-，且与x 轴垂直； （3）斜率为4-，且在y 轴上的截距为7；（4）经过点(1,8),(4,2)--.2.写出过点(3,1)P ，且分别满足下列条件的直线l 的方程； （1）直线l 垂直于x 轴； （2）直线l 垂直于y 轴； （3）直线l 过原点.3.分别求下列直线与两坐标轴围成的三角形的面积： （1）2360x y --=；（2）5320x y ++=.4.一根弹簧挂4kg 的物体时，长20cm.在弹性限度内，所挂物体的质量每增加1kg ，弹簧伸长1.5cm.试写出弹簧的长度l （cm ）和所挂物体质量m （kg ）之间的关系.5.一根铁棒在40℃时长12.506m ，在80℃时长12.512m.已知长度l （m ）和温度t （℃）之间的关系可以用直线方程来表示，试求出这个方程，并根据这个方程求出这根铁棒在100℃时的长度.6.已知菱形的两条对角线长分别为8和6，以菱形的中心为坐标原点，较长对角线所在的直线为x 轴，建立直角坐标系，求出菱形各边所在直线的方程.7.直线l 经过点(3,1)-，且与两条坐标轴围成一个等腰直角三角形，求直线l 的方程. 8.设直线l 的方程为2(3)260(3)x k y k k +--+=≠，根据下列条件分别确定k 的值； （1）直线l 的斜率为－1；（2）直线l 在x 轴、y 轴上截距之和等于0.9.设直线l 的方程为3(2)y k x -=+，当k 取任意实数时，这样的直线具有什么共同的特点？10.已知两条直线1110a x b y ++=和2210a x b y ++=都过点(1,2)A ，求过两点111222(,),(,)P a b P a b 的直线的方程.11.“坡度”常用来刻画道路的倾斜程度，这个词与直线的斜率有何关系？坡度为4%的道路很陡吗？调查一些山路或桥面的坡度，并与同学交流.例1 求证：顺次连结7(2,3),5,,(2,3),(4,4)2A B C D ⎛⎫--- ⎪⎝⎭四点所得的四边形是梯形（图2—1—12）.例2 求过点(2,3)A -，且与直线250x y +-=平行的直线的方程. 思考如果两条直线12,l l 中的一条斜率不存在，那么这两条直线什么时候互相垂直？逆命题成立吗？例3 （1）已知四点(5,3),(10,6),(3,4),(6,11)A B C D --，求证：AB CD ⊥； （2）已知直线1l 的斜率134k =，直线2l 经过点，且12l l ⊥，求实数a 的值.例4 如图2—1—14，已知三角形的顶点为(2,4),(1,2),(2,3)A B C --，求BC 边长的高AD 所在直线的方程.例5 在路边安装路灯，路宽23m ，灯杆长2.5m ，且与灯柱成120°角.路灯采用锥形灯罩轴线与灯杆垂直.当灯柱高h 为多少米时，灯罩轴线正好通过道路路面的中线？（精确到0.01m ） 习题1.分别判断下列直线AB 与CD 是否平行： （1）(3,1),(1,1)A B --；(3,5),(5,1)C D -；（2）(2,4),(4)A B --； (0,1),(4,1).C D 2.已知17(4,2),(1,1),(5,5),(,)32A B C D ----，求证：四边形ABCD 是梯形. 3.以(1,1),(2,1),(1,4)A B C --为顶点的三角形是（ ）. A.锐有三角形B.直角三角形C.钝角三角形4.求过点(2,3)A ，且分别适合下列条件的直线的方程：（1）平行于直线2530x y +-=； （2）垂直于直线20x y --=.例1 分别判断下列直线1l 与2l 是否相交，若相交，求出它们的交点： （1）1:27,l x y -=2:3270;l x y +-= （2）1:2640,l x y -+= 2:41280;l x y -+=（3）1:4240,l x y ++= 2:2 3.l y x =-+例2 直线l 经过原点，且经过另两条直线2380,10x y x y ++=--=的交点，求直线l 的方程.例3 某商品的市场需求量1y （万件）、市场供应量2y （万件）与市场价格x （元/件）分别近似地满足下列关系：1270,220y x y x =-+=-.当12y y =时的市场价格称为市场平衡价格，此时的需求量称为平衡需求量. （1）求平衡价格和平衡需求量；（2）若要使平衡需求量增加4万件，政府对每件商品应给予多少元补贴？思考已知直线1:10l x y ++=和2:240l x y -+=，那么方程1(24)0x y x y λ+++-+=（λ为任意实数）表示的直线有什么特点？ 习题1.与直线230x y --=相交的直线的方程是（ ）. A.4260x y --= B.2y x = C.25y x =+D.23y x =-+2.若三角直线2380,10x y x y ++=--=和102x ky k +++=相交于一点，则k 的值等于（ ）A .－2B.12-C.2D.123.已知直线l 经过两条直线2330x y --=和20x y ++=的交点，且与直线310x y +-=平行，求直线l 的方程.4.在例3中，求当每件商品征税3元时新的平衡价格. 习题2.1（2）1.分别求满足下列条件的直线的方程：（1）经过点(3,2)A ，且与直线420x y +-=平行； （2）经过点(3,0)B ，且与直线250x y +-=垂直；（3）经过点(2,3)C -，且平行于过两点(1,2)M 和(1,5)M --的直线. 2.三角形三个项点是(4,0),(6,7),(0,3)A B C ，求AB 边上高所在直线的方程. 3.根据下列条件，求直线的方程：（1）斜率为－2，且过两条直线340x y -+=和40x y +-=的交点；（2）过两条直线230x y -+=和290x y +-=的交点和原点；（3）过两条直线22100x y -+=和3420x y +-=的交点，且垂直于直线3240x y -+=；（4）过两条直线280x y +-=和210x y -+=的交点，且平行于直线4370x y --=.4.三条直线280ax y ++=，4310x y +=和210x y -=相交于一点，求a 的值.5.已知(1,3),(3,2),(6,1),(2,4)A B C D ---，求证：四边形ABCD 为平行四边形.6.已知两条直线210ax ay ++=和(1)(1)10a x a y --+-=互相垂直，求垂足的坐标.7.已知两条直线12:(3)453,:2(5)8l m x y m l x m y ++=-++=，当m 为何值时，1l 与2l ：（1）相交？（2）平行？（3）垂直？ 8.已知三条直线10,280x y x y ++=-+=和350ax y +-=共有三个不同的交点，求实数a 满足的条件.9.试证明：如果两条直线斜率的乘积等于－1，那么它们互相垂直.10.（1）已知直线:0l Ax By C ++=，且直线1//l l ，求证：直线1l 的方程总可以写出110()Ax By C C C ++=≠；（2）已知直线:0l Ax By C ++=，且直线2l l ⊥，求证：直线2l 的方程总可以写成20Bx Ay C -+=.11.直线1l 和2l 的方程分别是1110A x B y C ++=和2220A x B y C ++=，其中11,A B 不全为220,,A B 也不全为0.试探求：（1）当12//l l 时，直线方程中的系数应满足什么关系？（2）当12l l ⊥时，直线方程中的系数应满足什么关系？例1 （1）求(1,3),(2,5)A B -两点间的距离；（2）已知(0,10),(,5)A B a -两点间的距离是17，求实数a 的值.例2 已知ABC ∆的顶点坐标为(1,5),(2,1),(4,7)A B C ---，求BC 边上的中线AM 的长和AM 所在直线的方程.例3 已知ABC ∆是直角三角形，斜边BC 的中点为M ，建立适当的直角坐标系，证明：12AM BC =.习题1.求线段AB 的长及其中点的坐标：（1）(8,10),(4,4)A B -； （2）((A B .2.已知ABC ∆的顶点坐标为(3,2),(1,0),(2A B C ，求AB 边上的中心CM 的长.3.已知两点(1,4),(3,2)P A -，求点A 关于点P 的对称点B 的坐标.思考你还能通过其他途径求点P 到直线l 的距离吗？例1 求点(1,2)P -到下列直线的距离：（1）2100x y +-=；（2）32x =.例2 求两条平行直线340x y +-=与2690x y +-=之间的距离.例3 建立适当的直角坐标系，证明：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高.习题1.求下列点P 到直线l 的距离：（1）(3,2),:34250P l x y -+-=；（2）(2,1),:350P l y -+=.2.求下列两条平行直线之间的距离：（1）51220512150x y x y --=-+=与；（2）364502x y y x -+==与. 3.直线l 经过原点，且点(5,0)M 到直线l 的距离等于3，求直线l 的方程.习题2.1（3）1.求,A B 两点之间的距离：（1）(2,0),(2,3);A B ---（2）(0,3),(3,3)A B ---；（3）(3,5),(3,3)A B -.2.已知点(1,2)P -，分别求点P 关于原点、x 轴和y 轴的对称点的坐标.3.设点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，线段AB 的中点M 的坐标是(2,1)-，求线段AB 的长度.4.已知,A B 两点都在直线1y x =-上，且,A B ,A B 之间的距离.5.已知两点(2,3),(1,4)A B -，点(,)P x y 到点,A B 的距离相等，求实数,x y 满足的条件.6.已知点(,)P x y 在直线40x y +-=上，O 是原点，求OP 的最小值.7.求点P 到直线l 的距离：（1）(2,1),:230P l x +=；（2）(3,4),:34300P l x y --+=.8.直线l 到两条平行直线220x y -+=和240x y -+=的距离相等，求直线l 的方程.9.直线l 在y 轴上截距为10，且原点到直线l 的距离是8，求直线l 的方程.10.点P 在直线350x y +-=上，且点P 到直线10x y --=求点P 的坐标.11.已知(7,8),(10,4),(2,4)A B C -，求ABC ∆的面积. 12.已知直线l 经过点(2,3)-，且原点到直线l 的距离是2，求直线l 的方程.13.在ABC ∆中，点,E F 分别为,AB AC 的中点，建立适当的直角坐标系，证明：//EF BC ，且12EF BC =. 14.过点(3,0)P 作直线l ，使它被两条相交直线220x y --=和30x y ++=所截得的线段恰好被P 点平分，求直线l 的方程.15.已知光线通过点(2,3)A -，经x 轴反射，其反射光线通过点(5,7)B ，求入射光线和反射光线所在直线的方程.16.已知光线通过点(2,3)A ，经直线10x y ++=反射，其反射光线通过点(1,1)B ，求入射光线和反射光线所在直线的方程.17.在直线20x y +=上求一点P ，使它到原点的距离与到直线230x y +-=的距离相等.18.已知直线:33l y x =+，求：（1）直线l 关于点(3,2)M 对称的直线的方程；（2）直线20x y --=关于l 对称的直线的方程.19.证明平行四边形四边的平方和等于两条对角线的平方和.20.求证：两点(,)A a b ，(,)B b a 关于直线y x =对称.21.已知(1,3)M -，(6,2)N ，点P 在x 轴上，且使PM PN +取最上值，求点P 的坐标.22.某人上午8时从山下大本营出发登山，下午4时到达山顶.次日上午8时从山顶沿原路返回，下午4时回到山下大本营.如果该人以同样的速度匀速上山、下山，那么两天中他可能在同一时刻经过途中同一地点吗？如果他在上山、下山过程中不是匀速行进，他还可能在同一时刻经过途中同一地点吗？2.2 圆与方程例1 求圆心(2,3)C -，且经过坐标原点的圆的方程.例2 已知隧道的截面是半径为4m 的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.7m ，高为3m 的货车能不能驶入这个隧道？思考假设货车的最大宽度为a m ，那么货车要驶入该隧道，限高为多少？例3 已知ABC ∆顶点的坐标为(4,3),(5,2),(1,0)A B C ，求ABC ∆外接圆的方程. 思考 本题还有其他解法吗例4 某圆拱梁的示意图如图2—2—4所示.该圆拱的跨度AB 是36m ，拱高OP 是6m ，在建造时，每隔3m 需要一个支柱支撑，求支柱22A P 的长（精确到0.01m ）.习题1.写出下列各圆的方程：（1）圆心在原点，半径为6；（2）经过点(6,3)P ，圆心为(2,2)C -.2.求以点(1,5)C --为圆心，并且和y 轴相切的圆的方程.3.已知点(4,5),(5,1)A B ---，求以线段AB 为直径的圆的方程.4.下列方程各表示什么图形？若表示圆，则求其圆心和半径：（1）2240x y x +-=；（2）224250x y x y +--+=.5.求经过点(4,1),(6,3),(3,0)A B C -的圆的方程.6.如果方程22220(40)x y Dx Ey F D E F ++++=+->所表示的曲线关于直线y x =对称，那么必有（ ）.A.D E =B.D F =C.E F =D.D E F ==习题2.2（1）1.求满足下列条件的圆的方程：（1）过点(2,2)P -，圆心是(3,0);C（2）与两坐标轴都相切，且圆心在直线2350x y -+=上；（3）经过点(3,5)A 和(3,7)B -，且圆心在x 轴上.2.已知圆内接正方形相对的两个顶点的坐标分别是(5,6),(3,4)A C -，求这个圆的方程.3.已知半径为5的圆过点(3,4)P -，且圆心在直线210x y -+=上，求这个圆的方程.4.求经过三点(1,5),(5,5),(6,2)A B C --的圆的方程.5.已知圆222420x y x by b ++++=与x 轴相切，求b 的值.6.求过两点(0,4),(4,6)A B ，且圆心在直线220x y --=上的圆的标准方程.7.已知点(1,1)P 在圆22()()4x a y a -++=的内部，求实数a 的取值范围.8.画出方程1x -=. 9.求圆222210x y x y ++-+=关于直线30x y -+=对称的圆的方程.10.已知点(,)M x y 与两个定点(0,0),(3,0)O A 的距离之比为12，那么点M 的坐标应满足什么关系？画出满足条件的点M 所形成的曲线.11.河道上有一座圆拱桥，在正常水位时，拱圈最高点距水面为9m ，拱圈内水面宽22m.一条船在水面以上部分高6.5m ，船顶部宽4m ，故通行无阻.近日水位暴涨了2.7m ，为此，必须加得船载，降低船身，才能通过桥洞.试问：船身应该降低多少？例1 求直线430x y +=和圆22100x y +=的公共点坐标，并判断它们的位置关系.例2 自点(1,4)A -作圆22(2)(3)1x y -+-=的切线l ，求切线l 的方程.例3 求直线0x +=被圆224x y +=截得的弦长.习题1.判断下列各组中直线l 与圆C 的位置关系：（1）:10l x y +-=，22:4C x y +=； （2）:4380,l x y --=22:(1)1;C x y ++= （3）:40l x y +-=， 22:20C x y x ++=.2.若直线1ax by +=与圆221x y +=相交，则点(,)P a b 与圆的位置关系是（ ）A.在圆上B.在圆外C.在圆内D.不能确定3.（1）求过圆224x y +=上一点的圆的切线方程；（2）求过原点且与圆22(1)(2)1x y -+-=相切的直线的方程.4.求直线230x y +-=被圆22(2)(1)4x y -++=截得的弦长.5.从圆22(1)(1)1x y -+-=外一点(2,3)P 向圆引切线，求切线长.例1 判断下列两圆的位置关系：（1）22(2)(2)1x y ++-=与22(2)(5)16x y -+-=；（2）22670x y x ++-=与226270x y y ++-=.例2 求过点(0,6)A 且与圆22:10100C x y x y +++=切于原点的圆的方程.习题1.判断下列两个圆的位置关系：（1）22(3)(2)1x y -++=与22(7)(1)36x y -+-=；（2）2222320x y x y +-+=与22330x y x y +--=.2.已知圆22x y m +=与圆2268110x y x y ++--=相交，求实数m 的取值范围.习题2.2（2）1.过点(3,4)P --作直线l ，当l 的斜率为何值时，（1）直线l 将圆22(1)(2)4x y -++=平分？（2）直线l 与圆22(1)(2)4x y -++=相切？（3）直线l 与圆22(1)(2)4x y -++=相交，且所截得的弦长为2？2.已知过点(1,1)A --的直线l 与圆222660x y x y +-++=相交，求直线l 斜率的取值范围.3.，且与直线23100x y +-=切于点(2,2)P 的圆的方程.4.已知以(4,3)C -为圆心的圆与圆221x y +=相切，求圆C 的方程.5.求圆心在y 轴上，且与直线1:43120l x y -+=，直线2:34120l x y --=都相切的圆的方程.6.已知一个圆经过直线:240l x y ++=与圆22:2410C x y x y ++-+=的两个交点，并且有最小面积，求此圆的方程.7.已知圆C 的方程是222x y r +=，求证：经过圆C 上一点00(,)M x y 的切线方程200x x y y r +=.8.已知圆222:C x y r +=，直线2:l ax by r +=.（1）当点(,)P a b 在圆C 上时，直线l 与圆C 具有怎样的位置关系？（2）当点(,)P a b 在圆C 外时，直线l 具有什么特点？2.3 空间直角坐标系例1 在空间直角坐标系中，作出点(5,4,6)P .例2 如图2—3—4，在长方体ABCD A B C D ''''-中，12,8, 5.AB AD AA '===以这个长方体的顶点A 为坐标原点，射线AB ，AD ，AA '分别为x 轴、y 轴和x 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，求长方体各个顶点的坐标.思考在空间直角坐标系中，x 轴上的点、xOy 平面内的点的坐标分别具有什么特点？例3 （1）在空间直角坐标系O xyz -中，画出不共线的3个点,,P Q R ，使得这3个点的坐标都满足3z =，并画出图形；（2）写出由这三个点确定的平面内的点的坐标应满足的条件.习题1.在空间直角坐标系中，画出下列各点：(0,0,3),(1,2,3),(2,0,4),(1,2,2).A B C D --2.在长方体ABCD A B C D ''''-中，6,4,7AB AD AA '===.以这个长方体的顶点B 为坐标原点，射线,,AB BC BB '分别为x 轴、y 轴和z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，求长方体各个顶点的坐标.3.写出空间直角坐标系yOz 平面内的点的坐标应满足的条件.例1 求空间两点12(3,2,5),(6,01)P P --间的距离12PP .例2 平面上到坐标原点的距离为1的点的轨迹是单位圆，其方程为221x y +=.在空间中，到坐标原点的距离为1的点的轨迹是什么？试写出它的方程.思考 连结平面上两点111222(,),(,)P x y P x y 的线段12PP 的中点M 的坐标为1212,22x x y y ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，那么，已知空间中两点11112222(,,),(,,)P x y z P x y z ，线段12PP 的中点M 的坐标是什么呢？练习1.运用两点间距离公式求图2—3—4中线段,OC B C ''的长度.2.一个长方体的8个顶点的坐标为（0，0，0），（0，1，0）（3，0，0），（3，1，0），（3，1，9），（3，0，9），（0，0，0），（0，1，9）.（1）在空间直角坐标系中画出这个长方体；（2）求这个长方体的体积.3.已知正四棱锥P ABCD -的底面边长为13，试建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标.4.已知(2,5,6),A -在y 轴上求一点P ，使7PA =.5.已知空间三点(1,0,1),(2,4,3),(5,8,5)A B C -，求证：,,A B C 在同一条直线上.6.（1）求点(4,3,7)P -关于xOy 平面的对称点的坐标；（2）求点(2,1,4)P 关于坐标原点的对称点的坐标；（3）求点(3,2,4)P -关于点(0,1,3)A -的对称点的坐标.7.在你的教室或房间里建立适当的空间直角坐标系，以此确定电灯、门锁或开关的位置，写出相应的坐标.复习题1.已知直线350ax y +-=经过点(2,1)A ，求实数a 的值.2.已知过两点(,3),(5,)A a B a --的直线的斜率为1，求a 的值及这两点间的距离.3.如果0,0AC BC <>，那么直线0Ax By C ++=不通过（ ）.A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4.已知直线10mx ny +-=经过第一、三、四象限，求实数,m n 满足的条件.5.已知直线l 过点(5,4)P --，且与两坐标轴围成的三角形的面积为5个平方单位，求直线l 的方程.6.直线过点(5,6)P ，它在x 轴上的截距是在y 轴上的截距的2倍，求此直线的方程.7.已知直线22x ay a +=+与直线1ax y a +=+平行，求实数a 的值.9.已知点A 与点(1,1)P -的距离为5，且到y 轴的距离等于4，求A 点的坐标.10.已知两条平行直线2360x y +-=和230x y a ++=之间的距离等于2，求实数a 的值.11.求圆224440x y x y +-++=被直线50x y --=所截得的弦的长度.12.求与点(32,10),(42,0),(0,)A B C 的距离都相等的点的坐标.13.求与圆22:(5)3C x y ++=相切，且在x 轴、y 轴上的截距相等的直线的方程.14.判断两圆222200x y x y ++--=与2225x y +=的位置关系.15.过点(1,2)P 作一直线l ，使直线l 与点(2,3)M 和点(4,5)N -的距离相等，求直线l 的方程.16.在空间直角坐标系中作出下列点，并求两点间的距离和连结两点的线段的中点坐标：（1）(2,4,1),(4,6,7);A B --- （2）(8,3,2),(4,5,2).C D --17.河北省赵县的赵州桥，是世界上历史最悠久的石拱桥，赵州桥的跨度约为37.4 m ，圆拱高约为7.2m ，试写出这个圆拱所在的圆的方程.18.已知平面内两点(4,1),(3,1)A B --，直线2y kx =+与线段AB 恒有公共点，求实数k 的取值范围.19.求证：无论k 取任何实数，直线(14)2(3)(214)0k x k y k +--+-=必经过一个定点，并求出定点的坐标.20.设集合22222{(,)|4},{(,)|(1)(1)(0)}M x y x y N x y x y r r =+≤=-+-≤>.当M N N = 时，求实数r 的取值范围.21.已知点(1,3),(5,2),M N -在x 轴上取一点P ，使得||PM PN -最大，求P 点的坐标.22.如图，在矩形ABCD 中，已知3,,AB AD E F =为AB 的两个三等分点，,AC DF 交于点G ，建立适当的直角坐标系，证明：EG DF ⊥.23.已知ABC ∆的一条内角平分线CD 的方程为210x y +-=，两个顶点为(1,2),(1,1)A B --，求第三个顶点C 的坐标.24.若直角y x b =+与曲线x =b 的取值范围.25.在直角坐标系中，已知射线:0(0),30(0)OA x y x OB y x -=≥+=≥，过点(1,0)P 作直线分别交射线,OA OB 于点,.A B（1）当AB 中点为P 时，求直线AB 的方程；（2）当AB 中点在直线12y x =上时，求直线AB 的方程. 26.已知点P 在xOy 平面内，点A 的坐标为（0，0，4），5PA =，那么，满足此条件的点P 组成什么曲线？27.已知圆222440x y x y +-+-=，是否存在斜率为1的直线l ，使以l 被圆C 截得的弦AB 为直径的圆过原点？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.28.把函数()y f x =在x a =和x b =之间的一段图象近似地看做直线，且设a c b <<，试用(),()f a f b 来估计()f c .。
高中数学中的平面解析几何知识点总结
高中数学中的平面解析几何知识点总结平面解析几何是高中数学中的一门重要的数学分支，它研究平面上的点、直线和圆等几何图形的性质和关系。
本文将对高中数学中常见的平面解析几何知识点进行总结和归纳，以便于同学们更好地掌握和应用这些知识。
一、坐标与坐标系在平面解析几何中，我们常常使用直角坐标系来描述平面上的点的位置。
在直角坐标系中，平面上的每个点都可以用一对有序实数（x，y）表示，其中x表示点在x轴上的投影，y表示点在y轴上的投影。
这就是点的坐标。
1.1 直角坐标系的建立建立直角坐标系的方法有很多，其中一种常见的方法为选取两条相互垂直的直线作为坐标轴，它们的交点作为原点。
这两条直线称为x 轴和y轴，它们的正方向分别规定为向右和向上，形成了一个右手坐标系。
1.2 坐标的性质与运算在直角坐标系中，点的坐标具有以下性质：（1）两个点的坐标相等，当且仅当这两个点重合；（2）两个点的横坐标（纵坐标）相等，当且仅当这两个点在同一条竖直线（水平线）上；（3）两个点的坐标互为相反数，当且仅当这两个点关于坐标原点对称。
在直角坐标系中，我们可以进行坐标的运算，包括加减、数乘、求中点等。
比如，对于两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，它们的中点C的坐标为[(x1 + x2) / 2, (y1 + y2) / 2]。
二、直线的方程在平面解析几何中，直线是最基本的几何图形之一。
我们可以通过直线上的一个点和直线的斜率来确定直线的方程。
在此基础上，本单位还会对三角函数解析式中的三角函数、三角方程进行探讨，希望对同学们理解和掌握这一知识点有所帮助。
2.1 一般式方程直线的一般式方程为Ax + By + C = 0，其中A、B、C为实数，且A和B不同时为0。
该方程中的A、B、C可以称为方程的系数。
2.2 斜率截距式方程直线的斜率截距式方程为y = kx + b，其中k为直线的斜率，b为直线与y轴的截距。
2.3 点斜式方程如果知道直线上的一点P(x0, y0)和直线的斜率k，我们可以利用点斜式方程来表示直线的方程，即y - y0 = k(x - x0)。
高中数学知识点：平面解析几何初步知识点总结
高中数学知识点：平面解析几何初步知识点总结高中数学知识点：平面解析几何初步知识点总结
平面解析几何初步：
①直线与方程是解析几何的基础，是高考重点考查的内容，单独考查多以选择题、填空题出现;间接考查则以直线与圆、椭圆、双曲线、抛物线等知识综合为主，多为中、高难度试题，往往作为把关题出现在高考题目中。
直接考查主要考查直线的倾斜角、
直线方程，两直线的位置关系，点到直线的距离，对称问题等，间接考查一定会出现
在高考试卷中，主要考查直线与圆锥曲线的综合问题。
②圆的问题主要涉及圆的方程、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系以及圆
的集合性质的讨论，难度中等或偏易，多以选择题、填空题的形式出现，其中热点为
圆的切线问题。
③空间直角坐标系是平面直角坐标系在空间的推广，在解决空间问题中具有重要
的作业，空间向量的坐标运算就是在空间直角坐标系下实现的。
空间直角坐标系也是
解答立体几何问题的重要工具，一般是与空间向量在坐标运算结合起来运用，也不排
除出现考查基础知识的选择题和填空题。
高一平面解析几何初步复习讲义
2011元旦假期数学作业高一平面解析几何初步复习讲义1．掌握两条直线平行和垂直的条件，掌握两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根． 2．掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程的概念．第1课时 直线的方程1．倾斜角:对于一条与x 轴相交的直线,把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角α叫做直线的倾斜角．当直线和x 轴平行或重合时，规定直线的倾斜角为0°．倾斜角的范围为________．斜率:当直线的倾斜角α≠90°时，该直线的斜率即k ＝tanα；当直线的倾斜角等于90°时，直线的斜率不存在．2．过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式 ．若x 1＝x 2，则直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°． 3例1. 已知直线(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m)y ＝4m －1．① 当m ＝ 时，直线的倾斜角为45°．②当m ＝ 时，直线在x 轴上的截距为1．③ 当m ＝ 时，直线在y 轴上的截距为－23．④当m ＝ 时，直线与x 轴平行．⑤当m ＝ 时，直线过原点．变式训练1.（1）直线3y – 3 x ＋2=0的倾斜角是 （ ） A ．30° B．60° C．120° D．150° （2）设直线的斜率k=2，P 1（3，5），P 2（x 2，7），P （－1，y 3)是直线上的三点，则x 2，y 3依次是 （ ）A ．－3，4B ．2，－3C ．4，－3D ．4，3（3）直线l 1与l 2关于x 轴对称，l 1的斜率是－7 ，则l 2的斜率是 （ ）A ．7B ．－77C ．77D ．－7 （4）直线l 经过两点（1，－2），（－3，4），则该直线的方程是 ． 例2. 已知三点A （1，-1），B （3，3），C （4，5）. 求证：A 、B 、C 三点在同一条直线上.变式训练2. 设a ，b ，c 是互不相等的三个实数，如果A （a ，a 3）、B （b ，b 3）、C （c ，c 3）在同一直线上，求证：a+b+c=0.例3. 已知实数x,y 满足y=x 2-2x+2 (-1≤x≤1).试求：23++x y 的最大值与最小值.典型例题变式训练3. 若实数x,y 满足等式(x-2)2+y 2=3，那么xy的最大值为 （ ） A.21B.33 C.23D.3例4. 已知定点P(6, 4)与直线l 1:y ＝4x ，过点P 的直线l 与l 1交于第一象限的Q 点，与x 轴正半轴交于点M ．求使△OQM 面积最小的直线l 的方程．变式训练4.直线l 过点M(2，1)，且分别交x 轴y 轴的正半轴于点A 、B ，O 为坐标原点． (1)当△AOB 的面积最小时，求直线l 的方程； (2)当MB MA 取最小值时，求直线l 的方程．1．直线方程是表述直线上任意一点M 的坐标x 与y 之间的关系式，由斜率公式可导出直线方程的五种形式．这五种形式各有特点又相互联系，解题时具体选取哪一种形式，要根据直线的特点而定．2．待定系数法是解析几何中常用的思想方法之一，用此方法求直线方程，要注意所设方程的适用范围．如：点斜式、斜截式中首先要存在斜率，截距式中横纵截距存在且不为0，两点式的横纵坐标不能相同等（变形后除处）．3．在解析几何中,设点而不求,往往是简化计算量的一个重要方法.4．在运用待定数法设出直线的斜率时，就是一种默认斜率存在，若有不存在的情况时，就会出现解题漏洞，此时就要补救：较好的方法是看图，数形结合来找差距.小结归纳第2课时直线与直线的位置关系（一）平面内两条直线的位置关系有三种________．1．当直线不平行坐标轴时，直线与直线的位置关系可根据下表判定2（二）点到直线的距离、直线与直线的距离1．P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0 的距离为______________．2．直线l1∥l2，且其方程分别为：l1：Ax＋By＋C1＝0 l2：Ax＋By＋C2＝0，则l1与l2的距离为．（三）两条直线的交角公式若直线l1的斜率为k1，l2的斜率为k2，则1．直线l1到l2的角θ满足．2．直线l1与l2所成的角(简称夹角)θ满足．（四）两条直线的交点：两条直线的交点的个数取决于这两条直线的方程组成的方程组的解的个数．（五）五种常用的直线系方程.① 过两直线l1和l2交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋ (A2x＋B2y＋C2)＝0(不含l2).② 与直线y＝kx＋b平行的直线系方程为y＝kx＋m (m≠b).③ 过定点(x0, y0)的直线系方程为y－y0＝k(x－x0)及x＝x0.④ 与Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程设为Ax＋By＋m＝0 (m≠C).⑤ 与Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程设为Bx－Ay＋C1＝0 (AB≠0).例1. 已知直线l1:ax+2y+6=0和直线l2:x+(a-1)y+a2-1=0,（1）试判断l1与l2是否平行；（2）l1⊥l2时，求a的值.变式训练1.若直线l 1：ax+4y-20=0，l 2：x+ay-b=0，当a 、b 满足什么条件时，直线l 1与l 2分别相交？平行？垂直？重合？例2. 直线y ＝2x 是△ABC 中∠C 的平分线所在的直线，若A 、B 坐标分别为A(－4，2)、B(3，1)，求点C 的坐标并判断△ABC 的形状．例3. 设点A(－3，5)和B(2，15)，在直线l ：3x －4y ＋4＝0上找一点p ，使PB PA 为最小，并求出这个最小值．变式训练3：已知过点A （1，1）且斜率为－m(m>0)的直线l 与x 、y 轴分别交于P 、Q 两点，过P 、Q 作直线2x ＋y ＝0的垂线，垂足分别为R 、S ，求四边形PRSQ 的面积的最小值．1．处理两直线位置关系的有关问题时，要注意其满足的条件．如两直线垂直时，有两直线斜率都存在和斜率为O 与斜率不存在的两种直线垂直．2．注意数形结合，依据条件画出图形，充分利用平面图形的性质和图形的直观性，有助于问题的解决．3．利用直线系方程可少走弯路，使一些问题得到简捷的解法．4．解决对称问题中，若是成中心点对称的，关键是运用中点公式，而对于轴对称问题，一般是转化为求对称点，其关键抓住两点：一是对称点的连线与对称轴垂直；二是两对称点的中点在对称轴上，如例4第3课时 圆的方程1． 圆心为C(a 、b)，半径为r 的圆的标准方程为_________________．2．圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(其中D2＋E2－4F>0)，圆心为，半径r＝．3．二元二次方程Ax2＋Bxy ＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的方程的充要条件是．4．圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的参数方程为_________．x2＋y2＝r2的参数方程为________________．5．过两圆的公共点的圆系方程：设⊙C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，⊙C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，则经过两圆公共点的圆系方程为．典型例题例1. 根据下列条件，求圆的方程．(1) 经过A(6，5)，B(0，1)两点，并且圆心在直线3x＋10y＋9＝0上．(2) 经过P(－2，4)，Q(3，－1)两点，并且在x轴上截得的弦长为6．变式训练1：求过点A（2，－3），B（－2，－5），且圆心在直线x－2y－3=0上的圆的方程．例2. 已知圆x2+y2+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0交于P，Q两点，且OP⊥OQ（O为坐标原点），求该圆的圆心坐标及半径.变式训练2：已知圆C：（x-1）2+(y-2)2=25及直线l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4 (m∈R).（1）证明：不论m取什么实数，直线l与圆C恒相交；（2）求直线l被圆C截得的弦长的最短长度及此时的直线方程.（例3. 知点P （x ，y ）是圆(x+2)2+y 2=1上任意一点.（1）求P 点到直线3x+4y+12=0的距离的最大值和最小值； （2）求x-2y 的最大值和最小值； （3）求12--x y 的最大值和最小值.变式训练3：已知实数x 、y 满足方程x 2+y 2-4x+1=0. （1）求y-x 的最大值和最小值；（2）求x 2+y 2的最大值和最小值.例4. 设圆满足：①截y 轴所得的弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1．在满足条件①②的所有圆中，求圆心到直线l ：x －2y=0的距离最小的圆的方程。
完整版必修二平面解析几何初步知识点及练习带答案
1．直线的倾斜角与斜率：x 轴订交的直线，若是把 x 轴绕着 （1 ）直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为 叫做 直线的倾斜角 .倾斜角[0,180 ) ,90 斜率不存在 .（2 ）直线的斜率：ky 2y 1( x 1 x 2 ), k tan ．（ P 1 ( x 1 , y 1 ) 、 P 2 ( x 2 , y 2 ) ） .x 2 x 12．直线方程的五种形式：（ 1）点斜式： y y 1 k( x x 1 ) ( 直线 l 过点 P 1 ( x 1 , y 1 ) ，且斜率为 k )．注：当直线斜率不存在时，不能够用点斜式表示，此时方程为xx 0 ．（ 2）斜截式： ykx b (b 为直线 l 在 y 轴上的截距 ).y y 1xx 1( y 1 y 2 ， x 1x 2 ).（ 3）两点式：y 1x 2 x 1y 2注：① 不能够表示与 x 轴和 y 轴垂直的直线；② 方程形式为： (x 2 x 1 )( yy 1 ) ( y 2y 1 )( x x 1 )0 时，方程能够表示随意直线．（ 4）截距式：xy 1 （ a, b 分别为 x 轴 y 轴上的截距，且 a 0,b 0 ）．a b注：不能够表示与 x 轴垂直的直线， 也不能够表示与 y 轴垂直的直线， 特别是不能够表示过原点的直线．（ 5）一般式： Ax ByC 0(其中 A 、 B 不一样样时为 0)．一般式化为斜截式：yA x C，即，直线的斜率：kA ．BBB注：（ 1）已知直线纵截距b ，常设其方程为 ykx b 或 x0．已知直线横截距x 0 ，常设其方程为 x my x 0 ( 直线斜率 k 存在时， m 为 k 的倒数 )或 y 0 ．已知直线过点 (x 0 , y 0 ) ，常设其方程为 y k (x x 0 ) y 0 或 x x 0 ．（2）分析几何中研究两条直线地址关系时，两条直线有可能重合；立体几何中两条直线一般不重合．3．直线在坐标轴上的截矩 可正，可负，也可为 0.（ 1）直线在两坐标轴上的截 距相等 直线的斜率为 或直线过原点．．．．． 1（ 2）直线两截距互为相反数 直线的斜率为 1 或直线过原点．．．．．．．．（ 3）直线两截距绝对值相等直线的斜率为1 或直线过原点． ．．．．．．． 4．两条直线的平行和垂直 ：（ 1）若 l 1 : y k 1 x b 1 ， l 2 : y k 2 x b 2① l 1 // l 2k 1 k 2 , b 1 b 2 ；② l 1 l 2k 1k 21.（ 2）若 l 1 : A 1 x B 1 y C 10 ， l 2 : A 2 x B 2 y C 20 ，有① l 1 // l 2A 1B 2A 2B 1且 A 1C 2 A 2 C 1 ．② l 1l 2A 1 A 2B 1B 2 0．5．平面两点距离公式：( P 1 ( x 1 , y 1 ) 、 P 2 (x 2 , y 2 ) ) ， P 1 P 2(x 1x 2 )2 ( y 1 y 2 ) 2 ． x 轴上两点间距离：AB x B x A．x0x1x 22线段P1P2的中点是 M ( x0 , y0 ) ，则．y1y 2y 026．点到直线的距离公式：点P( x0 , y0 ) 到直线 l： Ax By C 0 的距离：d Ax0By0CA2 B 2．7．两平行直线间的距离：两条平行直线 l1： Ax By C1 0， l2： Ax By C 20 距离：dC1 C2A2．B2 8．直线系方程：（ 1）平行直线系方程：①直线 y kx b 中当斜率k必可是b变动时，表示平行直线系方程．．②与直线 l : Ax By C0 平行的直线可表示为Ax By C10 ．③过点 P( x0 , y0 ) 与直线 l : Ax By C0平行的直线可表示为：A( x x0 ) B( y y0 ) 0 ．（ 2）垂直直线系方程：①与直线 l : Ax By C0 垂直的直线可表示为Bx Ay C10 ．②过点 P( x0 , y0 ) 与直线 l : Ax By C0垂直的直线可表示为：B( x x0 ) A( y y0 ) 0 ．（ 3）定点直线系方程：①经过定点 P0 ( x0 , y0 ) 的直线系方程为y y0k(x x0 ) (除直线 x x0),其中 k 是待定的系数．②经过定点 P0 ( x0 , y0 ) 的直线系方程为A(x x0 )B( y y0 )0,其中 A,B是待定的系数．（ 4）共点直线系方程：经过两直线l1：A1x B1 y C10， l 2： A2 x B2 y C 20 交点的直线系方程为A1x B1 y C1( A2 x B2 y C 2 )0 (除l 2)，其中λ是待定的系数．9．曲线C1: f ( x, y) 0与 C2 : g (x, y)0 的交点坐标方程组 f ( x, y)0的解．g ( x, y)0 10．圆的方程：a)2( y b) 2r 2（r（ 1）圆的标准方程：( x0 ）．（ 2）圆的一般方程：x2y 2Dx Ey F0(D 2 E 24F0) ．（ 3）圆的直径式方程：若 A( x1 , y1 )，B( x2 , y2 )，以线段 AB为直径的圆的方程是：( x x1 )( x x2 ) ( y y1 )( y y2 ) 0．注： (1) 在圆的一般方程中，圆心坐标和半径分别是( D ,E) ， r1 D 2 E 24F ．（ 2）一般方程的特点：222① x 2和 y 2的系数相同且不为零；②没有 xy 项；③D2 E 24F0（ 3）二元二次方程 Ax 2BxyCy 2Dx Ey F 0 表示圆的等价条件是：①AC0；②B 0；③D 2E 2 4AF0 ．11．圆的弦长的求法：l ，弦心距为 d ，半径为 r ，（1）几何法：当直线和圆订交时，设弦长为则：“半弦长 2 +弦心距 2=半径 2”—— ( l)2d 2 r 2 ；（2）代数法：设2的斜率为 ， 与圆交点分别为 ( , ) ( , ) l k l y 1 x 2 y 2 ，则A x 1 ，B|AB|1 k 2| x Ax B | 11| y A y B |k2（其中 | x 1x 2 |,| y 1 y 2 |的求法是将直线和圆的方程联立消去y 或 x ，利用韦达定理求解）12．点与圆的地址关系：点 P( x 0 , y 0 ) 与圆 ( x a)2( yb) 2 r 2 的地址关系有三种① P 在在圆外 dr( x 0a) 2 ( y 0 b) 2 r 2 ．② P 在在圆内 dr(x 0a) 2( y 0 b) 2 r 2 ．③P 在在圆上d r( x 0a) 2 ( y 0 b) 2r 2 ．【P 到圆心距离d( a x 0 )2 (b y 0 )2 】13．直线与圆的地址关系：0 与 圆 ( x a) 2( y b) 2r 2 的 位 置 关 系 有 三 种直 线 Ax By C( dAa Bb CA2B2):圆心到直线距离为 d ，由直线和圆联立方程组消去 x （或 y ）后，所得一元二次方程的鉴别式为．d r相离0； d r 相切0 ； d r 订交 0 ．14．两圆地址关系 : 设两圆圆心分别为 O 1 ,O 2 ，半径分别为 r 1 , r 2 ， O 1O 2 dd r 1 r 2 外离 4条公切线 ； d r 1 r 2 内含无公切线 ； dr 1 r 2外切3条公切线 ； dr 1 r 2内切1条公切线 ；r 1 r 2 d r 1 r 2订交 2条公切线 ．15．圆系方程： x 2 y 2 Dx Ey F 0( D 2 E 2 4F0)（ 1）过点 A( x 1, y 1 ) , B( x 2 , y 2 ) 的圆系方程：(x x 1)( x x 2 ) ( y y 1 )( y y 2 )[( x x 1 )( y 1 y 2 ) ( y y 1 )(x 1x 2 )] 0( x x 1)( xx 2 ) ( y y 1)( y y 2 ) (ax by c) 0 , 其中 axby c0 是直线 AB 的方程．0 与圆 C : x 2y 2（2 ）过直线 l ： AxBy CDxEy F 0的交点的圆系方程：x 2 y 2 Dx Ey F( Ax ByC ) 0, λ是待定的系数．（3 ）过圆 C 1 : x 2y 2D 1xE 1 yF 1 0 与圆 C 2 : x 2y 2 D 2 x E 2 y F 2 0 的交点的圆系方程： x 2y 2 D 1 x E 1 yF 1(x 2y 2D 2 xE 2 yF 2 ) 0 , λ是待定的系数．特别地，当1时， x2y2D1 x E1 y F1(x2y2 D 2 x E2 y F2) 0就是( D1 D 2 )x ( E1E2 ) y (F1F2 )0 表示两圆的公共弦所在的直线方程，即过两圆交点的直线．16．圆的切线方程：（ 1）过圆x2y 2r 2上的点 P(x0 , y0 ) 的切线方程为: x0 x y0 y r 2．（ 2）过圆 ( x a)2( y b) 2r 2上的点P( x0, y0)的切线方程为: ( x a)( x0a)( y b)( y0b)r 2．（ 3）过圆x2y 2Dx Ey F0 上的点 P( x0 , y0 ) 的切线方程为:x0 x y0 y D ( x0x)E( y0y)F0 ．22(4)若 P( x0 ,y0)是圆 x2y 2r 2外一点,由P( x0,y0)向圆引两条切线,切点分别为A,B则直线 AB的方程为xx0yy0r 2(5)若 P(x0,y0)是圆 ( x a) 2( y b)2r 2外一点,由P( x0,y0)向圆引两条切线,切点分别为 A,B 则直线 AB的方程为(x0a)( x a)( y0b)( y b)r 2（ 6）当点P( x0, y0)在圆外时，可设切方程为y y0k( x x0 ) ，利用圆心到直线距离等于半径，即 d r ，求出 k ；或利用0，求出 k ．若求得 k 只有一值，则还有一条斜率不存在的直线 x x0．17．把两圆x2y 2D1 x E1 y F10 与 x 2y2 D 2 x E2 y F20方程相减即得订交弦所在直线方程:(D1 D 2 ) x( E1E2 ) y( F1F2 )0．18．空间两点间的距离公式 :若 A ( x1, y1, z1)， B ( x2, y2, z2)，则 AB(x2x1 )2(y2y1)2 ( z2 z1 )2一、选择题1．已知点A(1,2), B(3,1)，则线段 AB 的垂直均分线的方程是（）A ．4 x 2 y 5B．4x 2 y 5C．x 2 y 5D．x 2y 52．若A(1, m) 三点共线则 m 的值为（）2,3), B(3, 2), C (Ａ．112Ｂ．Ｃ． 2Ｄ． 2 2x y23．直线 1 在 y 轴上的截距是（）b2a2A ．b B．b2C．b2D．b4．直线kx y 1 3k ，当k变动时，所有直线都经过定点（）A ．(0,0)B．(0,1)C．(3,1)D．(2,1)5．直线x cos y sin a0 与 x sin y cos b 0 的地址关系是（）A ．平行B．垂直C．斜交D．与a,b,的值相关6．两直线3x y 3 0 与 6x my 1 0 平行，则它们之间的距离为（）A ．4B．213 C ．513 D ．7101326207．已知点A(2,3), B( 3,2) ，若直线l过点 P(1,1)与线段 AB 订交，则直线l的斜率 k 的取值范围是（）33k 23D．k 2A ．k B． C ．k 2或k444二、填空题1．方程x y 1 所表示的图形的面积为_________。
大一解析几何笔记整理
大一解析几何笔记整理以下是大一解析几何笔记整理：1. 平面解析几何的基本概念定义：在平面直角坐标系中，用坐标表示点，用方程表示几何图形。
基本概念：点的坐标、距离公式、直线的方程、圆的标准方程。
2. 直线与方程直线的倾斜角和斜率：直线的倾斜角是直线与x轴正方向之间的夹角，斜率是定义为直线倾斜角的正切值。
直线方程的几种形式：点斜式、两点式、截距式、一般式。
直线方程的应用：求两直线的交点，判断两直线是否平行或垂直。
3. 圆与方程圆的标准方程：圆心为(h, k)，半径为r的圆的方程为(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2。
圆的一般方程：x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0。
圆与直线的位置关系：相交、相切、相离。
4. 圆锥曲线与方程圆锥曲线的定义：平面与圆锥的侧面相交形成的轨迹。
圆锥曲线的标准方程：椭圆的标准方程为(x/a)^2 + (y/b)^2 = 1，双曲线的标准方程为(x/a)^2 - (y/b)^2 = 1，抛物线的标准方程为y^2 = 2px或x^2 = 2py。
圆锥曲线的基本性质：焦点、准线、离心率等。
5. 参数方程与极坐标系参数方程的定义：用参数表示点的坐标和曲线的方程。
参数方程的应用：求曲线的交点，判断两曲线是否相交。
极坐标系的基本概念：极坐标系是平面上的一个坐标系，其中每个点P的坐标由一个极角θ和一个极径r确定。
极坐标与直角坐标的转换：x = rcosθ, y = rsinθ。
极坐标的应用：求点到原点的距离，求曲线的极坐标方程等。
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第08章平面解析几何初步
第八章 平面解析几何初步第一单元 直线的方程【考纲要求】1.本单元中的直线方程的考纲要求为C ，直线的倾斜角、斜率，两直线的位置关系，点到直线的距离的考纲要求为B ；2.理解直线的倾斜角与斜率的联系；3.掌握直线方程的各种形式并灵活运用；4.掌握两条直线平行或垂直判定方法；5.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标；6．掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离． 【知识回顾】1．倾斜角:一条直线l 向上的方向与____________所成的最小正角，叫做直线的倾斜角，范围为_________；2．斜率：当直线的倾斜角α不是090时，则称其正切值为该直线的斜率，即=k ______；当直线的倾斜角等于090时，直线的斜率_______.3．过两点))(,(),,(21222111x x y x P y x P ≠的直线的斜率公式: =k . 若,21x x =则直线21P P 的斜率不存在，此时直线的倾斜角为090.4．直线方程的五种形式:斜截式： 点斜式： 截距式： 两点式： 一般式： 5.平行、垂直的充要条件:已知直线1l ：11y k x b =+和直线2l ：22y k x b =+，则12//l l ⇔______________________ 12l l ⊥⇔_______________________. 6．点到直线的距离公式，平行直线间的距离公式：已知点),(00y x 到直线0Ax By C ++=的距离公式: .7.平行直线1l ：10Ax By C ++=和直线2l ：20Ax By C ++=，则12,l l 之间距离公式:__________=d .【方法回顾】例1．已知一条直线的倾斜角[]︒︒∈120,60α，求该直线斜率的变化范围例2．已知直线l 过点()2,1P ，且在两坐标轴上的截距互为相反数，求直线l 的方程． 直线l 的方程为x y 2=或1+=x y例3．求与直线l ：06125=+-y x 行，且到l 的距离为2的直线的方程． 直线方程为032125=+-y x 或020125=--y x ．52 . 直线的斜率与直线的方程【基础训练】1．直线032=--y x 的横、纵截距分别为 和 ． 2．直线x y 2=关于x 轴对称的直线方程为 ．3．将直线034=+-y x 绕着其与x 轴的交点逆时针旋转090所得直线方程为 ． 4．设,2παπ<<则直线m x y +=αcos 的倾斜角的取值范围是 ．5．已知方程05)3()2(=+-++y m x m 所表示的直线恒过定点，则定点坐标为_______． 6．已知),0,3(),3,2(B A -直线l 过)0,0(O 且与线段AB 相交，则直线l 的斜率的取值范围是 ． 【例题分析】例1． 求证：)8,2(),2,0(),5,1(C B A 三点共线．例2．已知△ABC 的三个顶点是)0,6(),3,0(),4,3(--C B A ，求它的三条边所在的直线方程．例3．一条直线经过点),2,3(P 并且分别满足下列条件，求直线方程．（1）倾斜角是直线034=+-y x 的倾斜角的2倍； （2）在两条坐标轴上的截距相等的直线方程；（3）与y x ,轴的正半轴交于B A ,两点，且△OAB 的面积最小（O 为坐标原点）．例4．已知直线l ：0355=+--a y ax（1）求证：不论a 为何值，直线l 总经过第一象限； （2）为使直线不经过第二象限，求a 的取值范围．【拓展提升】例5．已知直线01243:=-+y x l 与y x ,轴的正半轴分别交于B A ,两点，直线g 和OA AB ,分别交于D C ,，且平分△OAB 面积，求CD 的最小值．53 .两条直线的平行关系与垂直关系 【基础训练】1．已知过点),2(m A -和)4,(m B 的直线与直线012=-+y x 平行，则m 的值为_____． 2．已知)2,1(A )1,3(B ，则线段AB 的垂直平分线的方程是_______________．3．平行四边形ABCD 中，已知)3,2(A ，)3,5(B ，)6,6(C ，则点D 的坐标为________． 4．设c b a ,,分别是△ABC 中C B A ∠∠∠,,所对的边长，则直线A sin ·0=++c ay x 与B bx sin -·0sin =+C y 的位置关系是 ．5．已知)3,1(-A ，)1,3(B ，C 在坐标轴上，︒=∠90ACB ，则满足条件的点C 有____个． 6．若曲线x a y =与a x y +=有两个公共点，则的取值范围是_______________．【例题分析】例1．两条直线1:(3)453l m x y m ++=-，2:2(5)8l x m y ++=．当m 为何值时，两直线平行？垂直？相交？例2．已知一直线经过点P ),2,1(并且与点A )3,2(和B )5,0(-的距离相等，求直线的方程．例3．已知直线l 的方程为01243=-+y x ，按下列条件分别求直线l '的方程: （1）l '与l 平行且过点);3,1(-（2）l '与l 垂直且l '与坐标轴围成的三角形面积为4．例4． 已知三角形ABC 的顶点)1,2(B ,)3,6(-C ，其垂心为)2,3(-H ，求顶点A 的坐标．【拓展提升】例5．使三条直线0432,0,044=--=+=-+my x y mx y x 不能围成三角形的实数m 的值做多有几个？并求出m 的值．54.两直线的交点、点到直线的距离【基础训练】1．点P 在直线042=-+y x 上，O 为原点，则OP 的最小值为_________． 2．直线l 过原点，且点)1,2(到l 的距离为2，则l 的方程为 ___________． 3．直线43:-=x y l 关于点)1,2(-P 对称的直线方程为_______________．4．三条直线：013,012=-+=+-y x y x 和032=-+y ax 有且仅有两个不同的交点，则=a ___________．5．若直线m 被两平行线12:10:30l x y l x y -+=-+=与所截得的线段的长为22，则m 的倾斜角可以是①15 ②30 ③45 ④60 ⑤75其中正确答案的序号是 ______ .（写出所有正确答案的序号）6．两直线04=-+y ax 与02=--y x 相交于第一象限，则实数a 的取值范围是 ． 【例题分析】例1 ．已知△ABC 的顶点坐标为)0,1(),1,3(),3,1(-C B A ，求△ABC 的面积．例2．ABC ∆的顶点)8,2(A ，AB 边上的中线CD 所在的直线方程为02474=-+y x ，B ∠的平分线BE 所在的直线方程为042=+-y x ，求C B ,的坐标．例3．已知)2,0(∈a ，直线1l ：0422=+--a y ax 和2l ：022222=---+y a y a x 与坐标轴围成一个四边形，要使此四边形的面积最小，求a 的值．例4． 已知点)5,3(M ，在直线022:=+-y x l 和y 轴上各找一点P 和Q ，使MPQ ∆的周长最小．【拓展提升】例5．已知直线:30l x y -+=一光线从点(1,2)A 处射向x 轴上一点B 又从B 点反射到l 上一点C ，最后又从C 点反射回A 点．（1）试判断由此得到的ABC ∆是有限个还是无限个？（2）依你的判断，认为是无限个时求出所有这样ABC ∆的面积中的最小值；认为是有限个时求出这样的线段BC 的方程．第二单元 圆的方程【考纲要求】1.本单元中的圆的方程的考纲要求为C ，直线与圆，圆与圆的位置关系的考纲要求为B ；2.掌握圆的方程的两种形式，并能进行两种形式的互化；3.熟悉确定圆的要素，在给定的条件之下求圆的方程；4.掌握一般二元二次方程表示圆的条件；5.能根据给定的直线、圆的方程，判定直线与圆、圆与圆的位置关系； 6．能利用解析几何的手段解决有关直线与圆的问题． 【知识回顾】1．以),(b a C 为圆心，r 为半径的圆的标准方程为 ； 2．圆的一般式方程022=++++F Ey Dx y x 化为标准方程为 _____； 方程表示圆的条件为 ；3．圆C ：()()222r b y a x =-+-与直线l ：0=++C By Ax ，圆心C 到直线l 的距离为d = 。
平面解析几何知识点归纳
平面解析几何知识点归纳直线与方程 1.直线的倾斜角规定：当直线l 与x 轴平行或重合时，它的倾斜角为0 范围：直线的倾斜角α的取值范围为),0[π 2.斜率：)2(tan πα≠=a k ，R k ∈斜率公式：经过两点),(111y x P ，),(222y x P )(21x x ≠的直线的斜率公式为121221x x y y k P P --=倾斜角 斜率 方向向量 2πα≠⇒ t a nk α= ⇒ d =(cos ,sin )αα 或d =(1,)karctan ,0arctan ,0k k k k απ≥⎧=⎨+<⎩⇐ k =vu ⇐ (,)d u v =(0)u ≠3.直线方程的几种形式 名称方程方向向量法向量斜率 适用条件点方向式 00x x y y u v--= ()v u , ()u v ,- uv与坐标轴不垂直的直线点法向式 00()()0a x x b y y -+-=()a b ,-()a b ,所有直线斜截式 b kx y +=()k ,1 ()1,k - k 与x 轴不垂直的直线点斜式 )(00x x k y y -=-()k ,1 ()1,k - k截距式 1=+bya x 不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线一般式0=++C By Ax )0(22≠+B A所有直线例1．已知直线斜率2k =，则倾斜角α= ，一个方向向量是 ，一个法向量是 。
2．过(1,4)A 、(3,1)B 的直线的一个方向向量是 ，斜率是 ，倾斜角是 。
3．直线)0,0(>>=+b a ab by ax 的倾斜角是 ，且不经过第 象限。
两直线位置关系 两条直线的位置关系位置关系222111::b x k y l b x k y l +=+= 0:0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l平行 ⇔ 21k k =，且21b b ≠ A 1B 2-A 2B 1=0（验证）重合 ⇔ 21k k =，且21b b =D=Dx=Dy=0 相交 ⇔ 21k k ≠A 1B 2-A 2B 1≠0垂直⇔121-=⋅k k 02121=+B B A A设两直线的方程分别为：222111::b x k y l b x k y l +=+=或0:0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l ；当21k k ≠或1221B A B A ≠时它们相交，交点坐标为方程组⎩⎨⎧+=+=2211b x k y b x k y 或⎩⎨⎧=++=++0222111C y B x A C y B x A 直线间的夹角：①若θ为1l 到2l 的夹角，②若θ为1l 和2l 的夹角，则12121tan k k k k +-=θ（斜率都存在且121-≠k k ）；③当0121=+k k 或02121=+b b a a 时，o90=θ；例1.过点)2,2(-P 且与0143=++y x 平行的直线方程是 。
平面解析几何初步
平面几何初步课程要求1.直线及方程(1)在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素.(2)理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.(3)能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.(4)掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），了解斜截式及一次函数的关系.(5)能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.(6)掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.2.圆及方程(1)掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程及一般方程.(2)能根据给定直线、圆的方程判断直线及圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系.(3)能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.(4)初步了解用代数方法处理几何问题的思想.3.空间直角坐标系(1)了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置.(2)会推导空间两点间的距离公式.考情分析平面解析几何是高中数学的一个基本知识点，我们学习它是为了后面学习空间几何和圆锥曲线打基础。
但平面几何作为一个考点，还是会在选择题或填空题中出现一道，而且难度适中。
为了拿到这5分，并且为后面的解答题做准备，我们需要牢牢掌握这部分基础知识。
知识梳理1一、直线及方程1.直线的倾斜角和斜率：倾斜角：x轴正向及直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。
特别地，当直线及x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0度。
因此，倾斜角的取值范围是0°≤α<180直线的斜率：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。
直线的斜率常用k 表示。
斜率反映直线及轴的倾斜程度斜率的公式：给定两点()()y x p y x P ,,222111,，x x 21≠，则直线P P 21的斜率平行及垂直：两条直线l l 21,，他们的斜率分别为k k 2,12.直线的方程点斜式：直线l 过点()y x p 000,，且斜率为k,那么直线方程为: 斜截式：直线l 斜率为k ，且及y 轴交点为（0，b ）, 那么直线方程为: y=kx+b两点式：直线l 过点()，y x p 111,()y x p 222,，其中x x 21≠，y y 21≠，那么直线方程为xx x yy y x y 121121--=--直线的一般方程：0=++C By Ax ，（A ，B 不同是为0） 3.两点间的距离 4.点到直线的距离点()y x p 000,到直线l ：0=++C By Ax 的距离为：B2200+++=A y x CB A d5. 两条平行线间的距离已知两条平行线0:,0:C 2211=++=++By Ax By Ax l C l ，则l l 21与的距离为BA C C d 2221+-=二、圆及方程1.圆的定义（1）在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆. （2）确定一个圆的要素是圆心和半径. 2.圆的方程（1）圆的标准方程： 222()()x a y b r -+-=，其中圆心为A(a,b),半径为r ；（2）圆的一般方程：220x y Dx Ey F ++++=()2240D E F +->注：上述方程配方得：22224224D E D E F x y +-⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3.求圆的方程的一般步骤为：（1） 根据题意选择标准方程或者一般方程； （2） 根据条件列出关于,,a b r 或者,,D E F 的方程组； （3）解出,,a b r 或者,,D E F 代入标准方程或者一般方程.4.点00(,)M x y 及圆222()()x a y b r -+-=的关系： （1）若2200()()x a y b -+->2r 则点M 在圆外；（2）若22200()()x a y b r -+-=，则点M 在圆上； （3）若2200()()x a y b -+-<2r ，则点M 在圆内.5.直线l ：0Ax By C ++=及圆 222()()x a y b r -+-=的位置关系： （1）若圆心A 到直线l的距离d r =>，则直线及圆相离；（2）若圆心A 到直线l的距离d r =<，则直线及圆相交； （3）若圆心A 到直线l的距离d r ==，则直线及圆相切； 6.圆及圆的位置关系：设两圆的连心线长为l ，则判别圆及圆的位置关系的依据有以 下几点：（1）当21r r l +>时，圆1C 及圆2C 相离； （2）当21r r l +=时，圆1C 及圆2C 外切；（3）当<-||21r r 21r r l +<时，圆1C 及圆2C 相交；注：当圆()()2221111:C x a y b r -+-=及圆()()2222222:C x a y b r -+-=相交及A 、B 两点时，上述方程相减即得直线AB 方程. 题型分类1.求直线的方程：例. 如图所示，已知两条直线l 1：x －3y ＋12＝0，l 2：3x ＋y －4＝0，过定点P （－1，2作一条直线l ，分别及直线l 1、l 2 交于M 、N 两点，若点P 恰好是MN 的中点，求直线l 的方程。
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平面解析几何知识点归纳◆知识点归纳 直线与方程 1.直线的倾斜角规定：当直线l 与x 轴平行或重合时，它的倾斜角为0 范围：直线的倾斜角α的取值范围为),0[π 2.斜率：)2(tan πα≠=a k ，R k ∈斜率公式：经过两点),(111y x P ，),(222y x P )(21x x ≠的直线的斜率公式为121221x x y y k P P --=3.直线方程的几种形式能力提升斜率应用例1.已知函数)1(log )(2+=x x f 且0>>>c b a ，则cc f b b f a a f )(,)(,)(的大小关系例2.已知实数y x ,满足)11(222≤≤-+-=x x x y ，试求23++x y 的最大值和最小值两直线位置关系 两条直线的位置关系设两直线的方程分别为：222111:b x k y l +=或0:22221111=++C y B x A l ；当21k k ≠或1221B A B A ≠时它们相交，交点坐标为方程组⎩⎨⎧+=+=2211b x k y b x k y 或⎩⎨⎧=++=++00222111C y B x A C y B x A直线间的夹角：①若θ为1l 到2l 的角，12121tan k k k k +-=θ或21211221tan B B A A B A B A +-=θ；②若θ为1l 和2l 的夹角，则12121tan k k k k +-=θ或21211221tan B B A A B A B A +-=θ；③当0121=+k k 或02121=+B B A A o直线1l 到2l 的角θ与1l 和2l 的夹角α：)2(πθθα≤=或)2(πθθπα>-=；距离问题1.平面上两点间的距离公式),(),,(222111y x P y x P 则 )()(121221y y x x P P -+-=2.点到直线距离公式点),(00y x P 到直线0:=++C By Ax l 的距离为：2200BA CBy Ax d +++=3.两平行线间的距离公式已知两条平行线直线1l 和2l 的一般式方程为1l ：01=++C By Ax ，2l ：02=++C By Ax ，则1l 与2l 的距离为2221BA C C d +-=4.直线系方程:若两条直线1l ：0111=++C y B x A ，2l ：0222=++C y B x A 有交点，则过1l 与2l 交点的直线系方程为)(111C y B x A ++＋0)(222=++C y B x A λ或)(222C y B x A +++0)(111=++C y B x A λ (λ为常数)对称问题1.中点坐标公式：已知点),(),,(2211y x B y x A ，则B A ,中点),(y x H 的坐标公式为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=222121y y y x x x点),(00y x P 关于),(b a A 的对称点为)2,2(00y b x a Q --，直线关于点对称问题可以化为点关于点对称问题。
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第七章 平面解析几何初步§7.1直线和圆的方程 §7.1直线和圆的方程一、知识导学1．定比分点公式:定比分点公式是解决共线三点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，P(x ，y )之间数量关系的一个公式，其中λ的值是起点到分点与分点到终点的有向线段的数量之比.这里起点、分点、终点的位置是可以任意选择的，一旦选定后λ的值也就随之确定了.若以A 为起点，B 为终点，P 为分点，则定比分点公式是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=λλλλ112121y y y x x x .当P 点为AB 的中点时，λ=1，此时中点坐标公式是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=222121y y y x x x .5．两条直线的夹角。
当两直线的斜率1k ,2k 都存在且1k ·2k ≠ -1时，tan θ=21121k k k k +-，当直线的斜率不存在时，可结合图形判断.另外还应注意到：“到角”公式与“夹角”公式的区别. （5）直线系方程③ 过定点（x 1,y 1）的直线系方程是： A(x -x 1)+B(y -y 1)=0 (A,B 不全为0) ④ 过直线l 1、l 2交点的直线系方程：（A 1x +B 1y +C 1）+λ( A 2x +B 2y +C 2）=0 (λ∊R ） 注：该直线系不含l 2. （6）几个常用结论和方法①弦长的求解：弦心距d 、圆半径r 、弦长l ,则：222()2l d r +=（根据垂弦定理和勾股定理）②圆的切线方程的求法过圆上的点的圆的切线方程..圆x 2+y 2=r 2，圆上一点为(x 0，y 0)，则此点的切线方程为x 0x+y 0y=r 2(课本命题)．..圆(x-a)2+(y-b)2=r 2，圆上一点为(x 0，y 0)，则过此点的切线方程为(x 0-a)(x-a)+(y 0-b)(y-b)=r 2(课本命题的推广)．..以（x 0,y 0）为切点的圆x 2+y 2+Dx+Ey+F=0的切线方程：分别以x o x,y o y,00,22x x y y ++替换圆方程中的x 2,y 2,x,y. 过圆外一点M （x o ,y o ），作圆(x-a)2+(y-b)2=r 2的切线，可设切线方程为点斜式：y-y o =k(x-x o )，利用圆心到直线的距离等于半径或与圆的方程联立用判别式法求k 。
注意： 由圆外一点向圆引切线，应当有两条切线。
但，可能只算出一个 k 值，那么，另一条斜率不存在，即过（x 0,y 0）垂直于x 轴的直线x=x 0.③两圆相交时的公共弦方程、两圆外切时的内公切线、两圆内切时的外公切线：两圆方程作差，消去二次项所得的直线方程即为所求。
二、疑难知识导析 1．直线与圆的位置关系的判定方法.（1）方法一 直线：0=++C By Ax ；圆：022=++++F Ey Dx y x .⎩⎨⎧=++++=++0022F Ey Dx y x C By Ax −−→−消元一元二次方程ac b 42-=−−→−△判别式⎪⎩⎪⎨⎧⇔<⇔=⇔>相离△相切△相交△000（2）方法二 直线: 0=++C By Ax ；圆：222)()(r b y a x =-+-，圆心（a ，b ）到直线的距离为d=22||BA C Bb Aa +++−→−⎪⎩⎪⎨⎧⇔<⇔=⇔>相交相切相离r d r d r d 2．两圆的位置关系的判定方法.设两圆圆心分别为O 1、O 2，半径分别为r 1，r 2，|O 1O 2|为圆心距，则两圆位置关系如下：|O 1O 2|>r 1+r 2⇔两圆外离；|O 1O 2|=r 1+r 2⇔两圆外切；| r 1-r 2|<|O 1O 2|<r 1+r 2⇔两圆相交；| O 1O 2 |=|r 1-r 2|⇔两圆内切；0<| O 1O 2|<| r 1-r 2|⇔两圆内含.四、典型习题导练1．直线0323=-+y x 截圆422=+y x 得的劣弧所对的圆心角为 （ ）A.π6B.π4C.π3D.π22.已知直线x=a(a ＞0)和圆(x-1)2+y 2=4相切 ，那么a 的值是( )A.5B.4C.3D.2 3. 如果实数x 、y 满足等式(x-2)2+y 2＝３，则xy的最大值为： .4.设正方形ABCD （A 、B 、C 、D 顺时针排列）的外接圆方程为x 2+y 2-6x+a=0（a<9），C 、D 点所在直线l 的斜率为31. （1）求外接圆圆心M 点的坐标及正方形对角线AC 、BD 的斜率；（2）如果在x 轴上方的A 、B 两点在一条以原点为顶点，以x 轴为对称轴的抛物线上，求此抛物线的方程及直线l 的方程；（3）如果ABCD 的外接圆半径为25，在x 轴上方的A 、B 两点在一条以x 轴为对称轴的抛物线上，求此抛物线的方程及直线l 的方程.5.如图，已知圆C ：（x+4）2+y 2=4。
圆D 的圆心D 在y 轴上且与圆C 外切。
圆 D 与y 轴交于A 、B 两点，点P 为(-3，0).（1）若点D 坐标为（0，3），求∠APB 的正切值；（2）当点D 在y 轴上运动时，求∠APB 的正切值的最大值；（3）在x 轴上是否存在定点Q ，当圆D 在y 轴上运动时，∠AQB 是定值？如果存在，求出点Q 坐标；如果不存在，说明理由.（三）高频考点及考题类型1、直线以倾斜角、斜率、夹角、距离、平行与垂直、线性规划（老）等有关的问题，其中要重视“对称问题”及”线性规划问题”的解答。
2、与圆位置有关的问题，一是研究方程组；二是充分利用平面几何知识。
重在后者。
二、高考真题回放（一）直线1 、(2008四川文、理) 直线3y x =绕原点逆时针旋转090，再向右平移１个单位，所得到的直线为( A )（Ａ）1133y x =-+ （Ｂ）113y x =-+ （Ｃ）33y x =- （Ｄ）113y x =+ 【解】∵直线3y x =绕原点逆时针旋转090的直线为13y x =-，从而淘汰（Ｃ），（D ）又∵将13y x =-向右平移１个单位得()113y x =--，即1133y x =-+ 故选A ；【点评】此题重点考察互相垂直的直线关系，以及直线平移问题；【突破】熟悉互相垂直的直线斜率互为负倒数，过原点的直线无常数项；重视平移方法：“左加右减”；2、 (2008江苏) 如图，在平面直角坐标系xoy 中，设三角形ABC 的顶点分别为)0,(),0,(),,0(c C b B a A ，点(0,)P p 在线段AO 上的一点（异于端点），这里p c b a ,,,均为非零实数，设直线CP BP ,分别与边AB AC ,交于点F E ,，某同学已正确求得直线OE 的方程为01111=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y a p x c b ，请你完成直线OF 的方程： (11c b - )011=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+y a p x 。
【解】画草图，由对称性可猜想填11c b -．事实上，由截距式可得直线AB ：1x yb a+=，直线CP ：1x y c p += ，两式相减得11110x y b c p a ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，显然直线AB 与CP 的交点F 满足此方程，又原点O 也满足此方程，故为所求直线OF 的方程．【答案】11c b-【点评】本小题考查直线方程的求法． 【突破】注意观察出对称性。
（二）圆1、(2008上海文、理)如图，在平面直角坐标系中，Ω是一个与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴分别相切于点C 、D 的定圆所围成的区域（含边界），A 、B 、C 、D 是该圆的四等分点．若点()P x y ，、点()P x y '''，满足x x '≤且y y '≥，则称P 优于P '．如果Ω中的点Q 满足： 不存在Ω中的其它点优于Q ，那么所有这样的点Q 组成的集合是劣弧（ DA ．AB ︵ B ． BC ︵ C ．CD ︵ D ． DA ︵【解】由题意可知Q 点一定是圆上的一段弧且纵坐标较大横坐标较小， 故知是上半圆的左半弧。
【点评】此题是一个情景创设题，考查学生的应变能力。
【突破】Q 点的纵坐标较大，横坐标较小。
2、(2008天津文)已知圆C 的圆心与点(21)P -，关于直线1y x =+对称．直线34110x y +-=与圆C 相交于A B ，两点，且6AB =，则圆C 的方程为22(1)18x y ++=【解】利用圆的标准方程待定系数易得结果。
【点评】此题虽小但考查到了对称、直线与圆相交、圆的方程等知识。
【突破】利用对称求出圆心坐标，利用直角三角形解出半径。
（三） 直线与圆的位置关系1、 (2008海南、宁夏文)已知m ∈R ，直线l ：2(1)4mx m y m -+=和圆C ：2284160x y x y +-++=。
（1）求直线l 斜率的取值范围；（2）直线l 能否将圆C 分割成弧长的比值为12的两段圆弧？为什么？【解】（Ⅰ）直线l 的方程可化为22411m my x m m =-++， 直线l 的斜率21mk m =+， 因为21(1)2m m +≤，所以2112m k m =+≤，当且仅当1m =时等号成立． 所以，斜率k 的取值范围是1122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，．（Ⅱ）不能．由（Ⅰ）知l 的方程为(4)y k x =-，其中12k ≤．圆C 的圆心为(42)C -，，半径2r =． 圆心C 到直线l 的距离d =． 由12k ≤，得1d >，即2r d >．从而，若l 与圆C 相交，则圆C 截直线l 所得的弦所对的圆心角小于23π．所以l 不能将圆C 分割成弧长的比值为12的两段弧．【点评】此题考查了直线方程，函数求值域，直线与圆的位置关系。
难度不大但很好的综合了以上知识点。
【突破】注意把直线方程中的21mm +换成k 使表达简单，减小运算量。
三、典型模拟1.（辽宁省沈阳二中2008—2009学年上学期高三期中考试）直线)(0442)1(:R m m y x m l ∈=--++恒过定点C ，圆C 是以点C 为圆心，以4为半径的圆。
（1）求圆C 的方程；（2）设圆M 的方程为M y x 过圆,1)sin 7()cos 74(22=-+--θθ上任意一点P 分别作圆C 的两条切线PE 、PF ，切点为E 、F ，求⋅的最大值和最小值。
【解析】（1）16)4(22=+-y x ，（2）设,2a ECF =∠则16cos 322cos 162cos ||||2-==⋅=⋅αααCF CE CF CE在中PCE Rt ∆，.||4||cos PC PC r ==α 由圆的几何性质得,1||||1||+≤≤-MC PC MC,8||6≤≤∴PC 32cos 21≤≤∴α，由此可得9168-≤⋅≤- ⋅的最大值为－,916最小值为－8【点评】向量与解析几何结合是高考命题的重要趋势，本题难度不大。