第13章介质中的静电场
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D
0 o o r o o
o
1 1 r
例2、一平行板电容器，中间有两层厚度分别为d1和 d2的电介质，它们的相对介电常数为r1和r2，极板 面积为S。求电容。 解： D o
o o E2 E1 o r 2 o r1
S
0
定义电位移矢量：
S
0 S 0 E P dS q
D oE P
D dS q
S
——介质中的高斯定理
讨论：
D dS q
S
（1）介质中的高斯定理表明：电位移矢量对任意封闭曲 面的通量与该封闭曲面内自由电荷有关。
•束缚电荷±
0 E0 0
E E0 E E0 e E 相对介电常数>1 E0 E0 E (1 e ) r 0 0 介电常数 0 r permittivity e r 1 0 0 1 e r
E e E 0
+ - + -+
E
E0
E E0 E
q0源电荷 q’极化电荷
※以平行板电容器为例讨论空间总的静电场
P
E0
E'
e
(a)平行板电容 器自由电荷面 密度为0。
(b)(c)介质均匀 极化，表面出现 束缚电荷± 。
Pn e 0 E
E E0 E
l
E dl 0
§13-4 电位移矢量
一、闭合曲面内的极化电荷
在已极化的介质内任意作一闭合面S（如图所示） S 将把位于 S 附近的电介质分子分为两部分: 一部分在 S 内，一部分在 S 外。 电偶极矩穿过S 的分子对S内的极化电荷有贡献
S
q0
q'
q0
P en
设界面没有自由电荷
一、场强与界面垂直
D dS D1S D2 S 0
1
D1 E1
D2
2
D1 D2
来自百度文库D
E E
1 1 2
E2
2
E
D线连续 E线连续
二、场强与界面斜交
1
1
D2
2
2
D1 cos1 D2 cos 2（1）
e 0 E
※充满介质时电容器的电容
•电容器无介质 时，自由电荷Q0
E0 U 0
E E0
•电容器充满介质时， 电场强度变小
Q0 Q0 C r rC0 U U 0
介质中的场强 E 比真空中相应电荷分布的场强 E0 小， 而充满介质电容器的电容 C 比真空电容器的电容 C0 大。
± ± ± ± ±
在外电场的作 用下，介质表面产生 电荷的现象称为电介 质的极化。 由于极化，在介质 表面产生的电荷称为极 化电荷或称束缚电荷。
±
±
±
± + + +
±
±
±
± + + +
±
±
-
-
+ p + +
-
+ E + +
无极分子在外场的作用下正、负电荷中心发生偏移而产 生的极化现象称为位移极化，或称感应极化。
P en P cos
en
介质外法线方向
不同介质交界面处的极化电荷分布。
P
1
ˆ n
en1
P en
, P1 en1 P2 en 2 ( P1 P2 ) en1
P1 en 2
第13章 电介质
§13.1 电介质的极化
§13.2 极化强度和极化电荷 §13.3电介质中的静电场 §13.4 电位移矢量 §13.5 静电场的能量
§13-1 电介质的极化
电介质：Dielectric
电阻率很大，导 电能力很差的物质。 即绝缘体。
电介质的特点：
分子中的正负电荷 束缚的很紧，介质内部 几乎没有自由电荷。
d1
d2
r1 r2
o d1 d 2 U E1d1 E2 d1 o r1 r 2
oS
U
C
oS r1
d1
r2
d2
1 1 1 C C1 C2
例3、球形电容器由半径为R1的球体和内半径为R3的 导体球壳构成，其间有两层均匀电介质，分界面的 半径为R2，相对介电常数分别为r1和r2 。求：电容。 解：
一、电介质的微观机制和极化过程
两大类电介质分子结构：
(1)、有极分子： 分子的正、负电荷中心在无外场时 不重合，分子存在固有电偶极矩。
O--q
H+
+ H2O
H+
=
+q
(2)、无极分子：分子的正、负电荷中心在无外场时 重合。不存在固有分子电偶极矩。 H+
H+ C-H+ H+
=
±
H4C
1、无极分子的位移极化
2 SD dS 4 r D q q D 2 4r D E
R2
R1 R3
r2
r1
o r
2
E1
q 4o r1r
E2
q 4o r 2 r
2
U
R2
qdr 4o r1r
2
R1
R3
qdr 4o r 2 r
2
R2
q r 2 R3 R2 R1 r1 R1 R3 R2 4r1 r 2 r 3 R1 R2 R3
x0 处 E 0
d
以 x = 0 处的面为对称面 过场点作正柱形高斯面S 底面积设S0
0
r
S S0
0x
x
根据介质中的高斯定理有
d x 2
2DS 0 0 2 x S0
D 0 x
d
0
S
r
d x 2
2 DS 0 0 S0 d
D
0x
x
x
0
2
d
d x 2
D 0 x
D1
D1n D2n 1E1n 2 E2n
E2
2
1
1
2
E1 sin 1 E2 sin 2（2）
E1
E1t E2 t
D1t
1
D2 t
2
E1 E2 tg 2 tg tg （2）（1） tg1 2 1 1 2 D1 D2
2tg1 1tg 2
2 P2
, P1 en1 P2 en 2 ( P1 P2 ) en1
§13-3 介质中的静电场
一、介质中的场强
有介质存在时，空间静电场的性 质与自由电荷（q0）以及电介质 的分布有关。
-
电介质的宏观电学性质可以 由极化电荷（q'）代替。 空间总的静电场为：
P e 0 E
0 x D E 0r 0r
0 x P r 1 r
D 0 d E 0 2 0
d x 2
D
0
2
d
均匀场
P 0 r 1 E 0
例 一均匀介质球发生均匀极化，已知 P, R
求极化电荷在中心产生的电场。 解：
2、有极分子的转向极化
匀强电场中有极分子的转向极化
非匀强电场中有极分子的转向极化
综上所述
无极分子在外场的作用下 正负电荷中心发生偏移而产 生位移极化。
有极分子在外场中发 生偏转而产生转向极化。
共同效果： 边缘出现极化电荷分布
§13-2 极化强度和极化电荷
一、极化强度： 为了定量描述介质极化程度，引入电极化强度：
S
0 S 0 E P dS q
自由电荷
1 E dS q q' S 0 S内 S内
q' P dS
S内 S
1 1 E dS q P dS
但是：电位移矢量本身与对空间所有的电荷分布有关， 包括自由电荷和束缚电荷。 （2）电位移矢量是描述介质中电场性质的辅助量，没有 具体的物理意义。电场强度是描述电场的基本物理量。
(3) D 线起始于正自由电荷，终止于负自由电荷
在没有自由电荷处不中断。
（4）介质中的高斯定理包含了真空中的高斯定理。
P cos
dq dE 2 40 R
+ P + dE +
z
(2RSin )( Rd ) dEz dE cos cos 2 40 R P Ez 3 0
介质边界两侧的静电场
各向同性均匀介质内部 D, E , P 方向相同， D 或 E 之间的关系。 下面讨论极靠近边界两侧
2. 根据介质中的高斯定理得到电位移矢量的空间分布。 3. 根据电场强度与电位移矢量的关系计算场强空间分布。
E
D
例1、自由电荷面密度为o的平行板电容器，其极 化电荷面密度为多少？ 解： 由介质中的高斯定理
D o
+o -´
D +´ - o
o E o r o r o Eo E Eo E o
D 0 E P 0 E e 0 E 1 e 0 E 0 r E E
P e 0 E
三、介质中的高斯定理应用
主要是指自由电荷分布和电介质在空间分布具有 高度对称性的问题
计算电介质中场强的主要步骤： 1. 根据自由电荷分布和电介质空间分布对称性分析 电位移矢量空间分布特征；
P0
D 0E P 0E
S
0 E dS D dS q
S
1 E dS q
S
0
（5）电位移矢量与电场强度的关系 对于均匀的各向同性电介质， 当电场不太强时：
注意 D 0 E P是普遍成立定义式。 但是 D E 只适用于各向同性的均匀介质。
P
pi
V
V
（C· -2 ） m
pi
每个分子的 电偶极矩
二、极化电荷
设在均匀电介质表面取一 斜圆柱体。体积为dV。
en
P
+ ds
pi ql dsl
dV ds l cos
-
l
pi ds l ˆ P l dV ds l cos cos
r
U
U 0
Q0 C0 U 0
r
C r C0
——又称电容率。
三、介质中静电场的规律 真空中的高斯定理：
1 E dS qi
S
介质中的高斯定理：
0
1 SE dS 0 q q' S内 S内
4 o r1 r 2 R1R2 R3 q C U r 2 R3 R2 R1 r1R1 R3 R2
例 一无限大各向同性均匀介质平板厚度为d，相对介电 常数为r，内部均匀分布体电荷密度为0的自由电荷。
求：介质板内、外的 解： 面对称 取坐标系如图
D E P D E P 平板
在 S 所围的体积内的极化电荷
q' P dS
S内 S
P通量
S
q0
q'
q0
任何闭合曲面上
P 的通量等于该闭合曲面
包围的极化电荷总量的负值。
dq P dS
二、电位移矢量
1 1 E dS q P dS
S
0
(d)内部的场由自由 电荷和束缚电荷共 同产生
二、介质中的电极化率
实验证明：对于各向同性的介质，当电场不太强时，介 质内任意点的电极化强度与该点的总电场度成正比。
P e 0 E
—— e 称为介质的电极化率
当介质为各向同性的均匀介质时，极化率为一纯（常）数。
•自由电荷± 0
从
If 2 1 1 2 小进入大， , E 偏离法向 D
D
E
D1t
D2t D1t D2 D1 通过介质界面 D 线连续不中断， E 线要中断。
1
D2t
2
[例题13-3]如图示系统，求（1）电荷分布；（2）电场分布， （3）电容器电容。 Q er 解： 定性分析 （1）由对称性，电荷上下各为均匀分布； （2）由静电平衡条件：电场强度沿径向 （不然，电荷会继续移动）；
0 o o r o o
o
1 1 r
例2、一平行板电容器，中间有两层厚度分别为d1和 d2的电介质，它们的相对介电常数为r1和r2，极板 面积为S。求电容。 解： D o
o o E2 E1 o r 2 o r1
S
0
定义电位移矢量：
S
0 S 0 E P dS q
D oE P
D dS q
S
——介质中的高斯定理
讨论：
D dS q
S
（1）介质中的高斯定理表明：电位移矢量对任意封闭曲 面的通量与该封闭曲面内自由电荷有关。
•束缚电荷±
0 E0 0
E E0 E E0 e E 相对介电常数>1 E0 E0 E (1 e ) r 0 0 介电常数 0 r permittivity e r 1 0 0 1 e r
E e E 0
+ - + -+
E
E0
E E0 E
q0源电荷 q’极化电荷
※以平行板电容器为例讨论空间总的静电场
P
E0
E'
e
(a)平行板电容 器自由电荷面 密度为0。
(b)(c)介质均匀 极化，表面出现 束缚电荷± 。
Pn e 0 E
E E0 E
l
E dl 0
§13-4 电位移矢量
一、闭合曲面内的极化电荷
在已极化的介质内任意作一闭合面S（如图所示） S 将把位于 S 附近的电介质分子分为两部分: 一部分在 S 内，一部分在 S 外。 电偶极矩穿过S 的分子对S内的极化电荷有贡献
S
q0
q'
q0
P en
设界面没有自由电荷
一、场强与界面垂直
D dS D1S D2 S 0
1
D1 E1
D2
2
D1 D2
来自百度文库D
E E
1 1 2
E2
2
E
D线连续 E线连续
二、场强与界面斜交
1
1
D2
2
2
D1 cos1 D2 cos 2（1）
e 0 E
※充满介质时电容器的电容
•电容器无介质 时，自由电荷Q0
E0 U 0
E E0
•电容器充满介质时， 电场强度变小
Q0 Q0 C r rC0 U U 0
介质中的场强 E 比真空中相应电荷分布的场强 E0 小， 而充满介质电容器的电容 C 比真空电容器的电容 C0 大。
± ± ± ± ±
在外电场的作 用下，介质表面产生 电荷的现象称为电介 质的极化。 由于极化，在介质 表面产生的电荷称为极 化电荷或称束缚电荷。
±
±
±
± + + +
±
±
±
± + + +
±
±
-
-
+ p + +
-
+ E + +
无极分子在外场的作用下正、负电荷中心发生偏移而产 生的极化现象称为位移极化，或称感应极化。
P en P cos
en
介质外法线方向
不同介质交界面处的极化电荷分布。
P
1
ˆ n
en1
P en
, P1 en1 P2 en 2 ( P1 P2 ) en1
P1 en 2
第13章 电介质
§13.1 电介质的极化
§13.2 极化强度和极化电荷 §13.3电介质中的静电场 §13.4 电位移矢量 §13.5 静电场的能量
§13-1 电介质的极化
电介质：Dielectric
电阻率很大，导 电能力很差的物质。 即绝缘体。
电介质的特点：
分子中的正负电荷 束缚的很紧，介质内部 几乎没有自由电荷。
d1
d2
r1 r2
o d1 d 2 U E1d1 E2 d1 o r1 r 2
oS
U
C
oS r1
d1
r2
d2
1 1 1 C C1 C2
例3、球形电容器由半径为R1的球体和内半径为R3的 导体球壳构成，其间有两层均匀电介质，分界面的 半径为R2，相对介电常数分别为r1和r2 。求：电容。 解：
一、电介质的微观机制和极化过程
两大类电介质分子结构：
(1)、有极分子： 分子的正、负电荷中心在无外场时 不重合，分子存在固有电偶极矩。
O--q
H+
+ H2O
H+
=
+q
(2)、无极分子：分子的正、负电荷中心在无外场时 重合。不存在固有分子电偶极矩。 H+
H+ C-H+ H+
=
±
H4C
1、无极分子的位移极化
2 SD dS 4 r D q q D 2 4r D E
R2
R1 R3
r2
r1
o r
2
E1
q 4o r1r
E2
q 4o r 2 r
2
U
R2
qdr 4o r1r
2
R1
R3
qdr 4o r 2 r
2
R2
q r 2 R3 R2 R1 r1 R1 R3 R2 4r1 r 2 r 3 R1 R2 R3
x0 处 E 0
d
以 x = 0 处的面为对称面 过场点作正柱形高斯面S 底面积设S0
0
r
S S0
0x
x
根据介质中的高斯定理有
d x 2
2DS 0 0 2 x S0
D 0 x
d
0
S
r
d x 2
2 DS 0 0 S0 d
D
0x
x
x
0
2
d
d x 2
D 0 x
D1
D1n D2n 1E1n 2 E2n
E2
2
1
1
2
E1 sin 1 E2 sin 2（2）
E1
E1t E2 t
D1t
1
D2 t
2
E1 E2 tg 2 tg tg （2）（1） tg1 2 1 1 2 D1 D2
2tg1 1tg 2
2 P2
, P1 en1 P2 en 2 ( P1 P2 ) en1
§13-3 介质中的静电场
一、介质中的场强
有介质存在时，空间静电场的性 质与自由电荷（q0）以及电介质 的分布有关。
-
电介质的宏观电学性质可以 由极化电荷（q'）代替。 空间总的静电场为：
P e 0 E
0 x D E 0r 0r
0 x P r 1 r
D 0 d E 0 2 0
d x 2
D
0
2
d
均匀场
P 0 r 1 E 0
例 一均匀介质球发生均匀极化，已知 P, R
求极化电荷在中心产生的电场。 解：
2、有极分子的转向极化
匀强电场中有极分子的转向极化
非匀强电场中有极分子的转向极化
综上所述
无极分子在外场的作用下 正负电荷中心发生偏移而产 生位移极化。
有极分子在外场中发 生偏转而产生转向极化。
共同效果： 边缘出现极化电荷分布
§13-2 极化强度和极化电荷
一、极化强度： 为了定量描述介质极化程度，引入电极化强度：
S
0 S 0 E P dS q
自由电荷
1 E dS q q' S 0 S内 S内
q' P dS
S内 S
1 1 E dS q P dS
但是：电位移矢量本身与对空间所有的电荷分布有关， 包括自由电荷和束缚电荷。 （2）电位移矢量是描述介质中电场性质的辅助量，没有 具体的物理意义。电场强度是描述电场的基本物理量。
(3) D 线起始于正自由电荷，终止于负自由电荷
在没有自由电荷处不中断。
（4）介质中的高斯定理包含了真空中的高斯定理。
P cos
dq dE 2 40 R
+ P + dE +
z
(2RSin )( Rd ) dEz dE cos cos 2 40 R P Ez 3 0
介质边界两侧的静电场
各向同性均匀介质内部 D, E , P 方向相同， D 或 E 之间的关系。 下面讨论极靠近边界两侧
2. 根据介质中的高斯定理得到电位移矢量的空间分布。 3. 根据电场强度与电位移矢量的关系计算场强空间分布。
E
D
例1、自由电荷面密度为o的平行板电容器，其极 化电荷面密度为多少？ 解： 由介质中的高斯定理
D o
+o -´
D +´ - o
o E o r o r o Eo E Eo E o
D 0 E P 0 E e 0 E 1 e 0 E 0 r E E
P e 0 E
三、介质中的高斯定理应用
主要是指自由电荷分布和电介质在空间分布具有 高度对称性的问题
计算电介质中场强的主要步骤： 1. 根据自由电荷分布和电介质空间分布对称性分析 电位移矢量空间分布特征；
P0
D 0E P 0E
S
0 E dS D dS q
S
1 E dS q
S
0
（5）电位移矢量与电场强度的关系 对于均匀的各向同性电介质， 当电场不太强时：
注意 D 0 E P是普遍成立定义式。 但是 D E 只适用于各向同性的均匀介质。
P
pi
V
V
（C· -2 ） m
pi
每个分子的 电偶极矩
二、极化电荷
设在均匀电介质表面取一 斜圆柱体。体积为dV。
en
P
+ ds
pi ql dsl
dV ds l cos
-
l
pi ds l ˆ P l dV ds l cos cos
r
U
U 0
Q0 C0 U 0
r
C r C0
——又称电容率。
三、介质中静电场的规律 真空中的高斯定理：
1 E dS qi
S
介质中的高斯定理：
0
1 SE dS 0 q q' S内 S内
4 o r1 r 2 R1R2 R3 q C U r 2 R3 R2 R1 r1R1 R3 R2
例 一无限大各向同性均匀介质平板厚度为d，相对介电 常数为r，内部均匀分布体电荷密度为0的自由电荷。
求：介质板内、外的 解： 面对称 取坐标系如图
D E P D E P 平板
在 S 所围的体积内的极化电荷
q' P dS
S内 S
P通量
S
q0
q'
q0
任何闭合曲面上
P 的通量等于该闭合曲面
包围的极化电荷总量的负值。
dq P dS
二、电位移矢量
1 1 E dS q P dS
S
0
(d)内部的场由自由 电荷和束缚电荷共 同产生
二、介质中的电极化率
实验证明：对于各向同性的介质，当电场不太强时，介 质内任意点的电极化强度与该点的总电场度成正比。
P e 0 E
—— e 称为介质的电极化率
当介质为各向同性的均匀介质时，极化率为一纯（常）数。
•自由电荷± 0
从
If 2 1 1 2 小进入大， , E 偏离法向 D
D
E
D1t
D2t D1t D2 D1 通过介质界面 D 线连续不中断， E 线要中断。
1
D2t
2
[例题13-3]如图示系统，求（1）电荷分布；（2）电场分布， （3）电容器电容。 Q er 解： 定性分析 （1）由对称性，电荷上下各为均匀分布； （2）由静电平衡条件：电场强度沿径向 （不然，电荷会继续移动）；