信息论理论基础_3(1007).
信息论理论基础
N
M
j
) 1, p( xi | y j ) 1,
i 1 N
N
p( y
j 1
N
j
| xi ) 1, p( xi , y j ) 1
j 1 i 1
M j
M
(3)
p( x , y
i 1 i
) p( y j ), p( xi , y j ) p( xi )
H(x) 1
p 0
2013-10-26
1/2
1
22
3. 熵函数的性质
(1) 非负性 H(x) ≥0
H ( x ) - p( xi ) log p ( xi )
i 1 N
由于 0≤p(xi)≤1 所以 log p(xi) ≤0 因此有 H(x)≥0 (2) 对称性
H ( p1 , p2 ,... pn ) H ( pn , p1 , p2 ,... pn1 )
H (0.99, 0.1) H (0.5, 0.5)
H (0.25, 0.25, 0.25, 0.25)
H (0.99,0.01) H (0.5,0.5) H (0.25,0.25,0.25,0.25)
(1) 不确定程度与信源概率空间有关； (2) 若状态数相同，等概分布时不确定程度最大； (3) 等概分布时，状态数越多则不确定程度越大。
2.不确定性的度量——不确定程度
不确定程度可以直观理解为猜测某些随机事件的 难易程度。 【例】布袋中有100个小球，大小、重量、手感完 全相同，但颜色不同。从布袋中任取一球，猜测 其颜色。 A. 99个红球，1个白球； B. 50个红球，50个白球； C. 25个红球，25个白球，25个黑球，25个黄球。
信息论基础知识
信息论基础知识在当今这个信息爆炸的时代，信息论作为一门重要的学科，为我们理解、处理和传输信息提供了坚实的理论基础。
信息论并非是一个遥不可及的高深概念，而是与我们的日常生活和现代科技的发展息息相关。
接下来，让我们一同走进信息论的世界，揭开它神秘的面纱。
信息是什么？这似乎是一个简单却又难以精确回答的问题。
从最直观的角度来看，信息就是能够消除不确定性的东西。
比如，当我们不知道明天的天气如何，而天气预报告诉我们明天是晴天，这一消息就消除了我们对明天天气的不确定性，这就是信息。
那么信息论又是什么呢？信息论是一门研究信息的量化、存储、传输和处理的学科。
它由克劳德·香农在 20 世纪 40 年代创立，为现代通信、计算机科学、统计学等众多领域的发展奠定了基础。
在信息论中，有几个关键的概念是我们需要了解的。
首先是“熵”。
熵这个概念听起来可能有些抽象，但其实可以把它理解为信息的混乱程度或者不确定性。
比如说，一个完全随机的字符串，其中每个字符的出现都是完全不确定的，它的熵就很高；而一个有规律、可预测的字符串，其熵就相对较低。
信息的度量是信息论中的一个重要内容。
香农提出了用“比特”（bit）作为信息的基本度量单位。
一个比特可以表示两种可能的状态（0 或1）。
如果一个事件有8 种等可能的结果，那么要确定这个事件的结果，就需要 3 个比特的信息（因为 2³＝ 8）。
信息的传输是信息论关注的另一个重要方面。
在通信过程中，信号会受到各种噪声的干扰，导致信息的失真。
为了保证信息能够准确、可靠地传输，我们需要采用一些编码和纠错技术。
比如，在数字通信中，常常使用纠错码来检测和纠正传输过程中产生的错误。
信息压缩也是信息论的一个重要应用。
在数字化的时代，我们每天都会产生大量的数据，如图片、音频、视频等。
通过信息论的原理，可以对这些数据进行压缩，在不损失太多有用信息的前提下，减少数据的存储空间和传输带宽。
再来说说信息的存储。
《信息论基础》课件
2
信息论与数学中的概率论、统计学、组合数学等 学科密切相关，这些学科为信息论提供了重要的 数学工具和理论基础。
3
信息论与物理学中的量子力学、热力学等学科也 有密切的联系，这些学科为信息论提供了更深层 次的理论基础。
信息论未来发展趋势
信息论将继续深入研究量子信 息论和网络信息论等领域，探 索更高效、更安全的信息传输
和处理技术。
随着人工智能和大数据等技 术的快速发展，信息论将在 数据挖掘、机器学习等领域
发挥更大的作用。
信息论还将继续关注网络安全 、隐私保护等问题，为构建安 全可靠的信息社会提供重要的
理论支持。
2023
REPORTING
THANKS
感谢观看
海明码（Hamming Code）： 一种能够纠正一位错误的线性 纠错码。
里德-所罗门码（ReedSolomon Code）：一种广泛 应用于数据存储和通信领域的 强纠错码。
差错控制机制
前向纠错（FEC）
01
在发送端采用纠错编码，使得接收端能够自动纠正传输过程中
的错误。
自动重传请求（ARQ）
02
接收端检测到错误后请求发送端重传数据，直到接收正确为止
常见信道编码技术
线性分组码
将信息序列划分为若干组，对每组进行线性 编码，常见的有汉明码、格雷码等。
循环码
将信息序列进行循环移位后进行编码，常见的有 BCH码、RS码等。
卷积码
将信息序列进行卷积处理后进行编码，常见 的有Convolutional Code等。
2023
PART 04
信息传输与错误控制
。
混合纠错（HEC）
03
结合前向纠错和自动重传请求，以提高数据传输的可靠性和效
信息论及编码理论基础(第三章)讲诉
2018/11/16
9
§3.2 离散无记忆（简单）信 源的等长编码
（9）在无错编码的前提下，编码的最低代价 当R≥logK时，能够实现无错编码。 （DN≥KL） 当R<H(U1)时，无论怎样编码都是有错编码。这是因为 R<H(U1)≤logK。 （DN<KL） （如果H(U1)=logK，则以上两种情形已经概括了全部情形。 但如果H(U1)<logK，则还有一种情形） 当logK>R>H(U1)时，虽然无论怎样编码都是有错编码， 但可以适当地编码和译码使译码错误的概率pe任意小。这 就是所谓“渐进无错编码”。
EV1 qk loga
k 1
2018/11/16
qk
H (U1 )
13
§3.2 离散无记忆（简单）信 源的等长编码
取IL是(V1V2…VL)的如下函数： I L
1 L Vl L l 1
则 ① IL最终是(U1U2…UL)的函数； ② 1 L 1 L 1 EI L EVl H (U1 ) DI L D Vl 2 L l 1 L l 1 L
2018/11/16
12
§3.2 离散无记忆（简单）信 源的等长编码
设…U-2U-1U0U1U2…是离散无记忆（简单）信源的输出随机变 量序列。设U1的概率分布为
a1 a2 aK U1 ~ q q q K 1 2
取Vl是Ul的如下函数：当Ul=ak时， Vl=loga(1/qk)。则 ①随机变量序列…V-2V-1V0V1V2…相互独立，具有相同的概率 分布； K ② 1
2018/11/16 5
§3.2 离散无记忆（简单）信 源的等长编码
例：离散无记忆简单信源发出的随机变量序列为：…U-2U1U0U1U2…。其中U1的事件有3个：{晴, 云, 阴}。 (U1U2)有9个事件 {（晴晴），（晴云），（晴阴），（云晴），（云云）， （云阴），（阴晴），（阴云）， （阴阴）}。 用字母表{0, 1}对(U1U2)的事件进行2元编码如下： （晴晴）→0000，（晴云）→0001，（晴阴）→0011， （云晴）→0100，（云云）→0101，（云阴）→0111， （阴晴）→1100，（阴云）→1101，（阴阴）→1111。
第1章信息论基础
p(x1) 3 p(x1yj)p(x1y1)p(x1y2)p(x1y3)
p(xi)
p(xiyj)
j1 3
j
p(x2)j1 p(x2yj)p(x2y1)p(x2y2)p(x2y3)
p(
y1
)
2
p(xi y1) p(x1y1) p(x2 y1)
i1
p(yj)
p(xiyj)
p(
y2
)
2
p(xi y2 ) p(x1y2 ) p(x2 y2 )
|
y3)
p(x1
|
y3)
p(x2
|
y3)
1
23
p ( x iy j) p ( x 1 y 1 ) p ( x 1 y 2 ) p ( x 1 y 3 ) p ( x 2 y 1 ) p ( x 2 y 2 ) p ( x 2 y 3 ) 1
i 1 j 1
4. 无条件概率与联合概率的关系(i=1, 2 j=1, 2, 3)
等效无干 扰信道
等效信源 等效信宿
信
干
道
扰
源
信宿
信源译码器 信道译码器
这个模型包括以下五个部分： 1.信源 信源是产生消息的源。
2. 编码器 编码器是将消息变成适合 于信道传送的信号的设备。
信源编码器，提高传输效率
编码器
信道编码器，提高传输可靠性
3. 信道 信道是信息传输和存储的媒介。
4. 译码器 译码是编码的逆变换，分为 信道译码和信源译码。
xr-1
xr-2
xr-m
r时刻状态er=xr-1xr-2 …xr-m=si，其中，xi∈ { a1 , a2 , … , ak }, si∈{s1, s2,…, skm }。信源发出符号xr后，(r＋1)时刻状态er+1= xr xr-1 …xr-m+1=sj……
(完整word版)信息论基础理论及应用
信息论形成的背景与基础人们对于信息的认识和利用，可以追溯到古代的通讯实践可以说是传递信息的原始方式。
随着社会生产的发展，科学技术的进步，人们对传递信息的要求急剧增加。
到了20世纪20年代，如何提高传递信息的能力和可靠性已成为普遍重视的课题。
美国科学家N.奈奎斯特、德国K.屈普夫米勒、前苏联A.H.科尔莫戈罗夫和英国R.A.赛希尔等人，从不同角度研究信息，为建立信息论做出了很大贡献。
信息论是在人们长期的通信工程实践中，由通信技术和概率论、随机过程和数理统计相结合而逐步发展起来的一门学科。
信息论的奠基人是美国伟大的数学家、贝尔实验室杰出的科学家 C.E.香农(被称为是“信息论之父”)，他在1948年发表了著名的论文《通信的数学理论》，1949年发表《噪声中的通信》，为信息论奠定了理论基础。
20世纪70年代以后，随着数学计算机的广泛应用和社会信息化的迅速发展，信息论正逐渐突破香农狭义信息论的范围，发展为一门不仅研究语法信息，而且研究语义信息和语用信息的科学。
近半个世纪以来，以通信理论为核心的经典信息论，正以信息技术为物化手段，向高精尖方向迅猛发展，并以神奇般的力量把人类社会推入了信息时代。
信息是关于事物的运动状态和规律，而信息论的产生与发展过程，就是立足于这个基本性质。
随着信息理论的迅猛发展和信息概念的不断深化，信息论所涉及的内容早已超越了狭义的通信工程范畴，进入了信息科学领域。
信息论定义及概述信息论是运用概率论与数理统计的方法研究信息、信息熵、通信系统、数据传输、密码学、数据压缩等问题的应用数学学科。
核心问题是信息传输的有效性和可靠性以及两者间的关系。
它主要是研究通讯和控制系统中普遍存在着信息传递的共同规律以及研究最佳解决信息的获限、度量、变换、储存和传递等问题的基础理论。
基于这一理论产生了数据压缩技术、纠错技术等各种应用技术，这些技术提高了数据传输和存储的效率。
信息论将信息的传递作为一种统计现象来考虑，给出了估算通信信道容量的方法。
信息论基础
信息论基础
信息论是一门研究信息传输和处理的科学。
它的基础理论主要有以下几个方面：
1. 信息的定义：在信息论中，信息被定义为能够消除不确定性的东西。
当我们获得一条消息时，我们之前关于该消息的不确定性会被消除或减少。
信息的量可以通过其发生的概率来表示，概率越小，信息量越大。
2. 熵：熵是一个表示不确定性的量。
在信息论中，熵被用来衡量一个随机变量的不确定性，即随机变量的平均信息量。
熵越大，表示随机变量的不确定性越高。
3. 信息的传输和编码：信息在传输过程中需要进行编码和解码。
编码是将消息转换为一种合适的信号形式，使其能够通过传输渠道传输。
解码则是将接收到的信号转换回原始消息。
4. 信道容量：信道容量是指一个信道能够传输的最大信息量。
它与信道的带宽、噪声水平等因素相关。
信道容量的
计算可以通过香浓定理来进行。
5. 信息压缩：信息压缩是指将信息表示为更为紧凑的形式，以减少存储或传输空间的使用。
信息压缩的目标是在保持
信息内容的同时，尽可能减少其表示所需的比特数。
信息论还有其他一些重要的概念和理论，如互信息、信道
编码定理等，这些都是信息论的基础。
信息论的研究不仅
在信息科学领域具有重要应用，还在通信、计算机科学、
统计学等领域发挥着重要作用。
(完整word版)信息论基础理论及应用
信息论形成的背景与基础人们对于信息的认识和利用，可以追溯到古代的通讯实践可以说是传递信息的原始方式。
随着社会生产的发展，科学技术的进步，人们对传递信息的要求急剧增加。
到了20世纪20年代，如何提高传递信息的能力和可靠性已成为普遍重视的课题。
美国科学家N.奈奎斯特、德国K.屈普夫米勒、前苏联A.H.科尔莫戈罗夫和英国R.A.赛希尔等人，从不同角度研究信息，为建立信息论做出了很大贡献。
信息论是在人们长期的通信工程实践中，由通信技术和概率论、随机过程和数理统计相结合而逐步发展起来的一门学科。
信息论的奠基人是美国伟大的数学家、贝尔实验室杰出的科学家 C.E.香农(被称为是“信息论之父”)，他在1948年发表了著名的论文《通信的数学理论》，1949年发表《噪声中的通信》，为信息论奠定了理论基础。
20世纪70年代以后，随着数学计算机的广泛应用和社会信息化的迅速发展，信息论正逐渐突破香农狭义信息论的范围，发展为一门不仅研究语法信息，而且研究语义信息和语用信息的科学。
近半个世纪以来，以通信理论为核心的经典信息论，正以信息技术为物化手段，向高精尖方向迅猛发展，并以神奇般的力量把人类社会推入了信息时代。
信息是关于事物的运动状态和规律，而信息论的产生与发展过程，就是立足于这个基本性质。
随着信息理论的迅猛发展和信息概念的不断深化，信息论所涉及的内容早已超越了狭义的通信工程范畴，进入了信息科学领域。
信息论定义及概述信息论是运用概率论与数理统计的方法研究信息、信息熵、通信系统、数据传输、密码学、数据压缩等问题的应用数学学科。
核心问题是信息传输的有效性和可靠性以及两者间的关系。
它主要是研究通讯和控制系统中普遍存在着信息传递的共同规律以及研究最佳解决信息的获限、度量、变换、储存和传递等问题的基础理论。
基于这一理论产生了数据压缩技术、纠错技术等各种应用技术，这些技术提高了数据传输和存储的效率。
信息论将信息的传递作为一种统计现象来考虑，给出了估算通信信道容量的方法。
信息论基础ElementsofInformationTheory
信息论
3.1信道的数学模型及分类
4.单符号离散信道的一些概率关系
后验 先验 对于信道[ X, P, Y ]， 概率 概率 输入和输出符号的联合概率 P( x ai , y b j ) P(aib j ) P(ai ) P(b j | ai ) P(b j ) P(ai | b j )
电子信息工程学院
信息论
3.1信道的数学模型及分类
2.信道模型
记
P(b j | ai ) pij
则信道传递矩阵为
信道矩阵，可作为单符号离散信道的另一种数学模型 表达形式。
电子信息工程学院
信息论
3.1信道的数学模型及分类
3.几个重要的单符号离散信道
对称离散信道：信道矩阵中的行元素集合相同，列元素 集合也相同的信道，称为对称信道。
P( y | x )
P( y | x ) 1
y
电子信息工程学院
信息论
3.1信道的数学模型及分类
信道 X 其 中 称为信道的(前向) P( y | x ) 转移概率 用概率空间 描述为， X , P( y | x), Y
具体就是
a1 a X 2 ar P(b j | ai ) b1 b2 Y bs
根据联合概率可得输出符号的概率 P(b1 ) P(a1 ) P (b ) P ( a )P(b | a ) 矩阵形式： P(b2 ) P T P(a2 )
r j i 1 i j i
根据贝叶斯定律可得后验概率
P(ai | b j ) P(ai b j ) P (b j ) P (ai ) P (b j | ai )
信息理论基础总结
1、信息科学是以信息作为主要研究对象、以信息过程的运动规律作为主要研究内容、以信息科学方法论作为主要研究方法、以扩展人的信息功能(全部信息功能形成的有机整体就是智力功能)作为主要研究目标的一门科学2、材料科学、能源科学、信息科学是现代文明的三大支柱3、信息科学的基础是三大论：系统论、控制论、信息理论4、香农狭义信息论上，也就是三大块内容：信息的统计测度、信道容量和信息率失真函数，以及香农的三个重要定理：无失真信源编码定理、有噪信道编码定理和保真度准则下的信源编码定理5、本体论定义事物的信息是该事物运动的状态和状态改变的方式6、认识论的意义上说，信息是认识主体（生物或机器）所感知的事物运动的状态和状态改变的方式,包括运动状态及其变化方式的形式、含义和效用。
7、认识论层次的信息是同时考虑语法信息（外在形式）、语义信息（内在含义）和语用信息（效用价值）的全信息8、信息最重要的是按照性质分类：语法信息、语义信息、语用信息。
语法信息又分成连续信息和离散信息。
信息理论研究的语法信息9、消息是信息的载荷者，信号是消息的载体10、 11、： 概率越小 不确定性越大 确定性越小 信息量越大 概率越大 不确定性越小 确定性越大 信息量越小 概率 = 1 没有不确定性 完全确定 信息量为零 12、自信息量的定义： ()log ()i i I x p x =- 注意：)(i x I 是)(i x p 的函数，而不是i x 的函数，)(i x p 代表信源发出第i 个符号的不确定性也就是它的概率。
13、对数运算的性质：说明自信息量公式}零和负数没有对数不等式换底公式对数恒等式降阶运算 (10)1log (9)01log (8)1n l (7) 1ln 11 (6) log log log (5) (4) log log (3)log log log (2)log log log (1)a a log ==='⎭⎬⎫-≤≤-⎭⎬⎫==⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=-=+=⋅a xx x x x A B B B A B A B B A B A B A B A C C A B A A14、联合概率和条件概率计算的信息量分别称为联合自信息量和条件自信息量。
信息论基础
11
1.2 信息论的基本内容
信道编码问题也就是在一定的误差允许范围内， 如何得到最短的编码便是信道编码问题。具 体地讲，这也是两个问题：1）最短的编码 在理论上是否存在？2）最短的编码实际中 怎么去构造，或者能否构造出接近最短的编 码？ 目前为止，对于信源和信道编码，第1个问题 都得到了满意的解决，但第2个问题还没有 完全解决。
2012/2/19
15
1.3 信息论的发展简史
近十年来，信息论和信息技术取得了长足的进 展，已经形成了一门综合型的学科。它不仅 直接应用于通信、计算机和自动控制等领域， 而且还广泛渗透到生物学、医学、语言学、 社会学和经济学等领域。特别是通信技术与 微电子、光电子、计算机技术相结合，使现 代通信技术的发展充满了生机和活力。 人们追求的目标是实现宽带综合业务数字信息 网，使人类进入高度发达的信息科学时代。
2012/2/19
16
1.4 控制论、信息论和系统论
信息论的诞生并不是独立的。实际上是控制论和系统 论同时诞生的，三者统称为老三论。由于它们密 切相关，我们也简单地介绍一些控制论、系统论 以及它们之间的关系。 1. 控制论 1948, Wiener 出版了《Control Theroy（控制论）》 一书，诞生了控制论学科。 Wiener将动物（特别 是指人）和机器中的控制和通信问题进行比较研 究，创造一套语言、思想和方法，能够有效分析 一般的控制和通信问题。经过50多年的发展，控 制论已成为一门综合性科学，并被广泛应用到科 学技术。
2012/2/19
7
1.2 信息论的基本内容
信源：产生消息的源泉，即提供消息的人、设备或 事物。消息可以是文字、语言、图象等。而信源 大 致可以分为三类：1）自然信源，包括来自于物理、 化学、天体、地理、生物等方面的自然的信息，主 要通过各种传感器获得。2）社会信源，包括政治、 军事、管理、金融等，通过社会调查、并利用统计 方法加以整理。3）知识信源，古今中外记录下来的 知识和专家经验。 通信中信源：在通信中，信源就具体化为一个符号 集和产生各个符号（或字母）的概率分布：
信息论理论基础_3(1007)
第4章 抗干扰二元编码
韩宇辉
2014-5-9 1
第4章 抗干扰二元编码
4.1 抗干扰二元编码的基本概念 4.2 检错码 4.3 用于单向信道的简单纠错码 4.4 纠一位错误的汉明码 4.5 循环码 4.6 纠正独立错误的卷积码 4.7 纠正突发错误的编码 4.8 有限域的基本知识
2014-5-9 2
2014-5-9 14
4.2 检错码
2014-5-9
15
4.2.1 一致监督检错码
一致监督检错码也叫一致监督校验码或奇偶校验码。
1.原理：
信息元（k位）：x1，x2，… ，xk 监督元（1位）： xn = xk+1 偶校验：
xn xi (mod )
i 1
k
奇校验：
xn xi 1
2014-5-9 13
(2)FEC(Forward Error Correction)前向纠错 采用纠错码，接收端收到码字后，自动地纠正传 输中的错误。 优点：不需要反馈信道，既适用于点对点的方式， 也适用于点对多点的方式，实时性较好，控制电 路也比较简单。 缺点：译码设备较复杂，编码效率较低。 (3)HFC(Hybrid Error Correction)混合纠错 是前两种方式的结合。发端发送的码既能检错、 又有一定的纠错能力。收端译码时若发现错误个 数在码的纠错能力以内，则自动进行纠错；若错 误个数超过了码的纠错能力，但能检测出来，则 通过反馈信道告知发方重发。
(1)用途：检错码和纠错码 (2)干扰的性质： 纠正独立错误的编码和纠正突发错误的编码
独立错误也称为随机错误，是由随机噪声引起 的，其特点是各码元发生错误与否是互相独立的， 因而一般不会成片地出现错误。 突发错误是由突发噪声（脉冲噪声、深衰落、接 触不良引起噪声等）引起的，其特点是各码元是否 发生错误存在某种相关性。通常称突发错误持续时 间内的码元数目为突发长度。
信息理论基础
6）可传递：信息的传递是与物质和能量的传递同时进行的。语言、表情、动作、报刊、书籍、广播、电视、电话等是人类常用的信息传递方式。
7）可再生：信息经过处理后，可以其他形式再生。如自然信息经过人工处理后，可用语言或图形等方式再生成信息。输入计算机的各种数据文字等信息，可用显示、打印、绘图等方式再生成信息。
主体所感知或表述的事物存在的方式和运动状态。主体所感知的是外部世界向主体输入的信息，主体所表述的则是主体向外部世界输出的信息。
在本体论层次上，信息的存在不以主体的存在为前提，即使根本不存在主体，信息也仍然存在。在认识论层次上则不同，没有主体，就不能认识信息，也就没有认识论层次上的信息。
信息作为客观世界存在的第三要素，具有以下特征：
2．编码器
编码器是将信源发出的符号转化为适合信道传输的信号的设备，一般包括信源编码、信道编码和调制器等。编码器的模型如图1.2所示
图1.2编码器的模型
信源编码器：主要解决有效性问题，在一定的准则下对信源输出进行变换和处理，目的是提高信息传输的效率，即通过去除信源输出符号的冗余，使信源输出的每个符号携带更多的信息量，从而降低信息传递所需要的符号数量，即减低总体数据传输速率，提高传输效率。
信道编码器：由纠错编码器和调制器组成，目的在于充分利用信道的传输能力，并可靠的传输信息。
纠错编码器：对信源输出进行变换处理，通过增加冗余提高对信道干扰的抵抗力，从而信息传输的可靠性。由于信道中存在干扰，数据传递的过程中会出现错误，信道编码可以提供检测或者是纠正数据传输错误的能力，从而提高数据传输的可靠性。
第三章：信息论基础知识
§3-2 信息论与广义通信系统
❖ 一、信息论的基本概念
信息论源于通信工程，其发展背景源于通讯系统中的：
(1)信息传输的效率； (2)信息传输的准确性； (3)噪声干扰； (4)信道频率特性等。
实际上信息论范畴更广，而通信理论只是信息论中与通 信有关的一部分。通常，对于信息论有三种理解：
❖ 狭义信息论，主要研究信息的测度、信道容量以及信源和信道 编码理论等，这一部分即山农信息基本理论；
判断的。
用超声波发生器检测物体内部有无裂纹，超声波穿透试件后，携 带着有无裂纹的信息，经过对接收的信号进行处理之后，用图像或数 据显示出来。试件内部状态构成一个信息源，在未检测之前是不清楚 的，这是一个典型的是、非信源，其信源模型为：
X,PPxx11
x2
Px2
N
Pxi 1
i 1
第三章：信息论基础知识
IxiloP g1xiloP gxi
——事件xi发生时，该事件所含有的信息量。
第三章：信息论基础知识
§3-3 信息的定量描述
IxiloP g1xiloP gxi
因为I(xi)描述的是事件xi发生时的信息量，故又称为自信息。I(xi) 代表两种含义：
(1)当事件xi发生以前，表示事件xi发生的不确定性； (2)当事件xi发生以后，表示事件xi所含有(或所提供)的信息量。 自信息采用的测度单位取决于所取对数之底: 如果以2为底，则所得信息量单位为比特(bit， binary unit)； 以e为底，则为奈特(nat，nature unit的缩写)； 以10为底，则为哈特(Hart， hartley的缩写)等。 一般都采用以2为底的对数，因为当P(xi)＝1／2时，I(xi)＝1比特， 所以，1 bit信息量就是两个互不相容的等可能事件之一发生时，所提 供的信息。
信息论的基本理论和应用
信息论的基本理论和应用信息论是研究信息传输和处理的数学分支，其基于对信息量和信息传输速率的量化分析，为通信、信息处理、控制系统等领域提供了一套理论框架。
信息论的重要性在于，它极大地促进了人类对信息科学发展的深入认识，丰富了我们对信息的理解和实际应用。
信息论的基本概念信息的基本单位是比特，是“Binary Digit”的缩写，表示用二进制数码表示的信息单元。
比特是最小的信息单元，一位二进制数可以表示两种状态（0或1），因此是最基本的信号元素。
信息量是指用比特表示的信息大小，是反映信息不确定性的度量。
信息量与概率有关，当事件发生的概率越小，所包含的信息量就越大。
以翻译为例，听到一个人说英文可以得出的信息较少，收到一封电报就不同了，文字比较准确地传递了信息，包含的信息量相对较大。
信息熵是对信息量的量化，它揭示了一个信源（发出消息的源头）内部自身的不确定性。
信息熵越大，信源的不确定性也越大，所包含的信息量也越大。
例如，在一个公平掷硬币的概率试验中，结果的不确定性很高，因此信息熵也很大，为1。
信息熵还与信息编码有关。
信息编码是将原信息用少量的比特来表示的一种方法，可以提高信息传输的效率和可靠性。
为了使编码的效率尽可能高，我们需要有一个标准，即编码的平均码长应该尽量短。
而通过定义信息熵可以得出信息编码的最低平均码长，这也称为信息编码理论。
信息论的应用信息论为通信领域提供了重要的理论基础，包括信道编码、信号传输、信道容量等研究。
信道编码是为了提高通信中的抗干扰能力，如当一段信号遭到干扰时，通过纠错码的检测和恢复，可以确保消息的完整性。
信号传输是使得消息信号在信道上传输得到的研究，其中工程学和物理学的知识密切相关。
传输通信中的信道包括光纤、卫星等，也包括更基本的有线和无线通信。
信道容量指的是特定信道上传输数据的最大速率，这是一个通信系统的重要性能指标。
例如，带宽表示信道传输的数据速率，其值受到信噪比、码率等因素的影响。
信息论基础
信息论研究的内容
信息论研究的内容一般有以下三种理解： 1、狭义信息论：也称经典信息论。它主要研究信息 的测度、信道容量以及信源和信道编码理论等问题。 这部分内容是信息论的基础理论，又称香农基本理论。 2、一般信息论：主要也是研究信息传输和处理问题。 除了香农理论以外，还包括噪声理论、信号滤波和预 测、统计检测与估计理论、调制理论、信息处理理论 以及保密理论等。 后一部分内容是以美国科学家维纳(N.Wiener)为代表， 其中最有贡献的是维纳和苏联科学家柯尔莫哥洛夫 (A.KOnMOropoB)。
信息论研究的对象、目的和内容
信源
编码器
消息
信号
信道
译码器
信号+干扰
消息
信宿
噪声源
通信系统模型图
信息论研究的对象、目的和内容
信息论研究的对象:正是这种统一的通信系统模型,人们通过系统 中消息的传输和处理来研究信息传输和处理的共同规律. 这个模型主要分成下列五个部分: 1、信息源（简称信源）
顾名思义，信源是产生消息和消息序列的源。它可以是人， 生物，机器或其他事物。它是事物各种运动状态或存在状态的集 合。 如前所述，“母亲的身体状况”，“各种气象状态”等客观存在 是信源。人的大脑思维活动也是一种信源。信源的输出是消息， 消息是具体的，但它不是信息本身。消息携带着信息，消息是信 息的表达者。
信息论基础
刘昌红
第一章 绪论
1、信息的概念 2、信息论研究的对象、目的和内容 3、信息论发展简史与信息科学
信息的概念
1、信息论的定义：信息论是人们在长期通信工程的实践中， 由通信技术与概率论、随机过程和数理统计相结合而逐步发 展起来的一门科学。 2、信息论的奠基人：是美国科学家香农 (C.E.Shannon)，他 在1948年发表了著名的论文《通信的数学理论》，为信息论 奠定了理论基础。 3、香农信息的定义：信息是事物运动状态或存在方式的不 确定性的描述,这就是香农信息的定义。 4、信息、情报、知识、消息及信号间的区别与联系。
信息论基础ppt课件
（a） H ( X , Y ) , H ( X ) , H ( Y ) , H ( X |Y ) , H ( Y |X ) , I ( X ; Y ) ;
（b）如果q(x,y)p(x)p(y)为两个边际分布的乘积分布，计 算 D( p Pq) 和 D(q P p)。
解：
(a )
H (X ,Y ) 1 lo g 1 1 lo g 1 1 lo g 1 5 lo g 5 44441 21 21 21 2
1 p(X)
可见熵是自信息的概率加权平均值
引理 1.2.1 H(X) 0，且等号成立的充要条件是 X 有退化分布。
例题 1.2.1 设
1
X
0
依概率 p 依概率 1 p
则 H ( X ) p l o g p ( 1 p ) l o g ( 1 p ) h ( p ) 。
I (x) log 1 。 p(x)
1.2 熵、联合熵、条件熵
X 定义 1.2.1 离散随机变量 的熵定义为
H(X)p(x)logp(x) x
e 我们也用 H ( p ) 表示这个熵，有时也称它为概率分布 p 的熵，其中对
数函数以2为底时，熵的单位为比特（bit），若对数以 为底时，则熵的
图1.1 通信系统模型
第一章 随机变量的信息度量
1.1 自信息 1.2 熵、联合熵、条件熵 1.3 相对熵和互信息
1.1 自信息
定理1.1.1
定义 1.1.1
若自信息I ( x ) 满足一下5个条件：
( i ) 非复性：I(x) 0;
( i i ) 如 p(x) 0, 则 I(x) ;
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若发现e个错误，则要求 dmin≥e+1; 若纠正t个错误，则要求 dmin≥2t+1; 若纠正t个错误，同时发现e个错误， 则要求 dmin≥t+e+1 （ t<e ）
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4.1.4 抗干扰编码的基本原理
1.原理： dmin与纠检错能力的关系 2.实现方法：信息元+监督元 3.代数编码：信息元与监督元是按一定的代数关系 互相制约的。 (1)分组码（块码）
1 2 . . . k 逻辑网络 1 2 . . . n
k—信息位长度 n—码长 r=n-k—监督位长度
特点：无记忆性 (n,k)分组码的码率（编码效率）： η=R/C=H(A)/Hmax(A)=k/n 2018/10/5
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分组码按其结构可以分为系统码和非系统码。如 果在一个分组码码字中，信息元安排在前k位，而 监督元安排在后n-k=r位，则称其为系统码，否则 就称为非系统码。 (2)卷积码（连环码）
(1)用途：检错码和纠错码 (2)干扰的性质： 纠正独立错误的编码和纠正突发错误的编码
独立错误也称为随机错误，是由随机噪声引起 的，其特点是各码元发生错误与否是互相独立的， 因而一般不会成片地出现错误。 突发错误是由突发噪声（脉冲噪声、深衰落、接 触不良引起噪声等）引起的，其特点是各码元是否 发生错误存在某种相关性。通常称突发错误持续时 间内的码元数目为突发长度。
信息论基础
第4章 抗干扰二元编码
韩宇辉
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第4章 抗干扰二元编码
4.1 抗干扰二元编码的基本概念 4.2 检错码 4.3 用于单向信道的简单纠错码 4.4 纠一位错误的汉明码 4.5 循环码 4.6 纠正独立错误的卷积码 4.7 纠正突发错误的编码 4.8 有限域的基本知识
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2.最小码ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ译码准则
若 d(x*j,yj) ≤d(xi,yj) (对一切的i)，则F(yj)=x*j (j=1,2,…m， x*j ∈X )
3.最小码距与纠检错能力的关系
【例】 X：{0000000,1111111}， dmin=7 检错能力： 最多可以发现6位错误 发送码字： 0000000 接收码字： 1111111 0000000 1000000 1100000 1110000 1111000 1111100 1111110 传输错误 × √ 判断结果： 传输正确 纠错能力： 最多可以纠正3位错误 发送码字： 0000000 接收码字： 1111111 0000000 1000000 1100000 1110000 1111000 1111100 1111110 0000000 × √ 译码结果： 1111111
1 2 k0
. . .
时序网络
1 2 . . . n0
m=m’+1—编码器的约束长度 或编码约束长度 n=n0×m—卷积码的约束长度
特点：有记忆性，输出不仅与当时的输入有关，还 与前m’个单位时间的输入有关。 (n0,k0,m)卷积码的码率（编码效率）：η=k0/n0
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4.抗干扰编码的分类
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纠错同时检错的能力 纠正1位错误： 最多可以同时发现5位错误 发送码字： 0000000 接收码字： 1111111 0000000 1000000 1100000 1110000 1111000 1111100 1111110 传输错误 × √ 判断结果： 传输正确 译码结果： 1111111 0000000 × √ 不进行译码 纠正2位错误：最多可以同时发现4位错误 发送码字： 0000000 接收码字： 0000000 1111111 1111110 1111100 1111000 1110000 1100000 1000000 判断结果： 传输正确 传输错误 × √ 译码结果： 1111111 0000000 × √ √ √ 不进行译码
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4.1.2 几个定义
① 码距（汉明距离） W =x 1 x 2 … x n xi ∈{0,1} W’=x1’x2’…xn’ xi ’ ∈{0,1}
d (W, W ') xi xi '
i 1 n
0d n
② 最小码距（最小汉明距离） 一个码组（码字）集合中，两码字间的最小距离 dmin称为该码字集合的最小距离，简称最小码距。 ③ 码重（汉明重量） 码组中所含码元“1”的数量，称为该码组的重量， 简称码重。
4.1 抗干扰二元编码的基本概念
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4.1.1 抗干扰编码的基本思想
奇校验 00 1 01 0 10 0 11 1
信息元
抗干扰编码的基本思想： 利用剩余的增加来换取可靠性的提高
监督元
许用码字：系统实际使用的码字。 001,010,100,111 禁用码字：系统中不使用的码字。 000,011,101,110
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4.1.3 最小码距与纠检错能力的关系
1.译码准则
X p(yj/ xi ) Y
X:{x1, x2, … , xn} Y:{y1, y2, … , ym} P(Y/X):{p(yj/xi); i=1,2,…n; j=1,2,…m 这时定义一个收到yj后判定为xi的单值函数， 即： F(yj)=xi (i=1,2,…n; j=1,2,…m)； 这个函数称为译码函数。它构成一个译码函数组， 这些函数的值组成了译码准则。 对于有n个输入，m个输出的信道来说，可以有nm 个不同的译码准则。 2018/10/5
(3)对信息的处理方式：分组码和卷积码 (4)约束关系：线性码和非线性码 (5)信息元的位置：系统码和非系统码
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5.差错控制系统的分类
(1)ARQ(Automatic Repeat reQuest)自动反馈重传 采用检错码，接收端收到码字后判断在传输中有 无错误产生，并通过反馈信道把检测结果告诉发 送端。发端把收端认为有错的消息再次传送，直 到收端认为正确为止。 优点：译码设备简单，由于同一种码的检错能力比 纠错能力要高得多，因而整个系统能获得极低的 误码率。 缺点：应用ARQ方式必须有一条从收端至发端的反 馈信道，只适用于点对点的方式，并要求收、发 两端必须互相配合，其控制电路比较复杂，实时 性也较差。