大学物理第十一章静电场中的导体
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空腔高斯面内
1 E dS
S
+q
i
高斯 面
E 0
0
q
qi 0
-q +q
S
结论: 空腔内有电荷+q时，空腔内表面有感 应电荷-q，外表面有感应电荷+q．
3. 导体空腔外部有其他带电体时 空腔内电场不受空腔外 电荷影响 空腔外电场要受腔内电 荷的影响 怎样才能使空腔内和空腔 外的电场互不影响？
E 0
+q -q ++q
4、静电屏蔽 空腔接地：内外电场互不影响。
q
q
q
例1 证明用导线连接两导体球后,两导体球 表面电荷密度 1 2 之间的关系.
Q1
R1
l R1 , R2 导线
即
Q1
R2
Q2
则 U R1 U R2
一、电介质的极化 (无极分子)
甲烷分子
CH 4
H + + HC H + H
+
正负电荷 中心重合
f
pe
l
E外
f
加上外电场后 pe 0
+ 极化电荷
+ + + + + +
E外
极化电荷
有极分子
水分子
H 2O
O
pe
+ H
负电荷 中心 正电荷中心
f
pe
L pe E外
电风实验介绍
+++ ++
+ +
尖端放电现象介绍 带电导体尖端附近的 电场特别大，可使尖端 附近的空气发生电离而 成为导体产生放电现 象．
σE
避雷针的工作原理
+ + + + + 带电云
－
+ +
－－ － － －
避雷针必须可靠接地
例1 相距很近的平行导体板 a , b 分别带电 Qa , Qb 求四个表面上面电荷密度 的相互关系。
r 1
讨论2： 两种面电荷密度的关系
0
0
E0
由无限大平板场强公式
++ + + + + + + +
++ ++ + + + + +
E
E
E 0
0 E0 0
E
E0
r
E E0 E
1 1 0 r
6 2
' P 5.89 10 6 C m 2
D 0 r E 0 E0 0 8.85 10 C m
6 -2
11-3
电容器和电容
一.孤立导体的电容 导体或导体系容纳电荷性能的物理量 孤立导体的电容为孤立导体所带电荷Q 与其电势U的比值 .
S
3.电介质中的电场
E E0 E
E0
电介质中的电场 决定着电介质被极化的程度
E
p 0 e E
E
E
P n Pn
P 决定极化电荷面密度 和附加电场 E
p E E 四个物理量之间相互联系相互制约
讨论1： 加入电介质后对电场的影响(重点)
1 2 3 4 Eb内 0 2 0 2 0 2 0 2 0
(4)
由(1)、(2)、(3)、(4)解得：
a
b
Qa Qb 1 4 2S Qa Qb 2 3 2S
即：相背面
相对面
1 2 3 4
S S
Qa Qb
4 0 R1
4 0 R2
Q2
1 4R1 2 2 4R2 2 4 0 R1 4 0 R2
1 R2 2 R1
例2. 已知R1,R2 ,R3 ,q ,Q 求(1)各表面电荷分布，区间 场强分布,球心的电势 (2) 如用导线连接A、B，再作球 心的电势计算。
解: 电荷分布 q
q Q q
Q q
各区间场强分布
0 q
r R1 R2 r R3
B
q q
A R1
O
R2
R3
E
4 0 r 2 R1 r R2
Qq 4 0 r 2
r R3
E
0 q
4 0 r
2
r R1
R2 r R3
Q q
R1 r R2
B
q
q
A R1 O
三.电位移矢量和电介质中的高斯定理
1 1 E dS q内
s
0
0
( q0 q' )
s内
自由电荷
极化电荷 P ds q 代入上式整理
S s
( 0 E P ) dS q0
s
D 0 E P
P n Pn
等于表
(1)电介质表面极化电荷面密度 面处极化强度 P的法向分量
S
' - - - - -
+++++++++++
r
P
' + + + + +
l
P dS qi
S S
-----------
(2)电介质中沿任意闭合曲面的极化强度通量等于曲 面所包围的体积内极化电荷 q 的负值 i
+++++++++++
1
E E0 3.33 10 kV m r
2
U
εr
d
P ( r 1 ) 0 E 5.89 10 6 cm -2
-----------
+++++++++++
U
εr
r 3
d 1mm U 1000V
d
---------- 0 0 E0 8.85 10 C m
r
相对电容率
真空ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ容率 绝对电容率
D
0E
真空中 介质中
0 r E
例1 .一个半径为R的导体球，带电 Q，放入介质中， 介质相对介电常数为 r ，试求：球外任一点P的电场 强度及电势。 解: 过P点作高斯面得
Q
r
R
r
P
D dS Q
S
D 4r 2 Q
A
B +
3. 导体内没有净电荷，未被抵消的净电荷只 能分布在导体表面上
实心导体 q E dS 0 S 内部 E 0 q 0 导体内部无净电荷 高斯 面
+
+ + + + +
+
S +
+ +
实心带电导体
三. 导体表面附近场强与电荷面密度的关系
作扁圆柱形高斯面
（1）设两极板分别带电Q
（2）求两极板间的电场强度(电介质种类) E
（3）求两极板间的电势差U （4）由C=Q/U求C
例 2. 平行无限长直导线, 已知:a、d、d>> a 求: 单位长度导线间的电容量C 解: 设两金属线的电荷线密度 为 场强分布 E E E
实验结论从理论上推导
1.导体内各点电势相等,导体为等势体
E 0 U AB ABE dl 0
2. 导体表面各点电势相等.
U A UB
E dl U AB E dl 0
AB
en
+ + +
E
+
dl
+
eτ
U A UB
Q C U
单位：法拉（F）、微法拉（F）、皮法拉（pF）
1F 106 F 1012 pF
例1. 球形孤立导体的电容 金属球电势： U
Q 4 0 R
Q
电容
Q C 4 0 R U
R
取决于本身形状，大小,介质与其是否带电无关。 地球 RE 6.4 10 m, CE 7 10
R2
Qq 4 0 r 2
r R3
R3
R3 R2 R1 U o E dr Edr Edr Edr
Edr
R3
1 1 1 qQ ( ) 4 0 R1 R2 4 0 R3 q
0
0
R1
R2
用导线连接A、B，再作计算 连接A、B，
Q D 4r 2
Q 0 r E 4r 2
Q 4 0 r r
2
U E dr R
R
dr
U
Q 4 0 r R
例2 把一块相对电容率r =3的电介质，放在相距 d=1 mm的两平行带电平板之间. 放入之前，两板的 电势差是1000 V . 试求两板间电介质内的电场强度E , 电极化强度P ,板和电介质的电荷面密度，电介质内 的电位移D. 解 E U 10 3 kV m 1 0 d
第十一章
静电场中的导体 和电介质
11-1 静电场中的导体
重点： 静电场与金属导体相互作用机理 以及相互影响后电场的计算。
一、静电感应 导体静电平衡条件
静电感应：金属导体与静电场的相互作用从
而使金属导体内电荷重新有序排列。
1.静电感应现象
+ +
++ + + +
+
+
+
感应电荷
2.静电平衡
E0
E0
导体内部的场强
＇ E
+ + + + + + + +
E0
E E0 E 0
静电平衡举例: 在匀强电场中放入金属球，电 在匀强电场中电力线为平行直线 力线发生弯曲电场变为一非均匀场
++ + + + ++
E
二、导体处于静电平衡时的性质
1.导体内部任何一点处的电场强度为零； 2.导体表面处电场强度的方向，都与导体表面垂直. 3.导体是等势体，导体表面是等势面。 4.导体内部处处没有未被抵消的净电荷，净电荷只 分布在导体的外表面上。
D dS q0
s s内
s
辅助性物理量：电位移矢量 D
D 0 E P 0 E 0 e E
r 1 e
D 0 E( 1 e ) 0 r E
D 0 r E E
0 0 r
q
( q )
Q q
中和
球壳外表面带电 Q q
B
q q
A R1 O
R2
E0
Qq E 4 0 r 2
R3
r R3
R3
r R3
Qq U o Edr Edr 4 0 R3 0 R3
11-2
静电场中的电介质
电介质（绝缘体）
基本无自由电子，正负电荷只能在分子范围内相 对运动 电介质放入静电场中，静电场与电介质存在有相 互作用…… 无极分子：（氢、甲烷、石蜡等） 电介质 有极分子：（水、有机玻璃等）
等大同号，
等大异号。
四、空腔导体（导体壳）和静电屏蔽 1、空腔内无带电体的情况
E dS
S
V
e dV 0
内部 E 0 e 0
内 0 ,
净电荷只能分布于外表面
+ + + + +
+ + +
+
S
+
静电平衡时腔体内表面不带电,
+
+ +
+ + +
2. 空腔内有电荷时
加上外场产生力偶矩
E外
f
+
+ H
+ 极化电荷
+ + + + + +
E外
极化电荷
二、极化强度矢量和极化电荷的关系(了解) 1、极化强度矢量 pi 单位体积内分子电偶极矩的矢量和 P V 反映电介质内分子电偶极矩排列的有序或无序程 度。(表征电介质极化程度的物理量) 2. 两点结论
a
b
1 2 3 4 S S
Qa Qb
解：设平板面积为 S ，每一 层带电表面上场强方向垂直 于带电平面且指向两侧
1 S 2 S Qa
(1) (2)
3 S 4S Qb
由静电平衡条件： 1 2 3 4 Ea内 0 (3) 2 0 2 0 2 0 2 0
SE dS Es s 0
+ +
S
σ E ε0
σ E ; σ , E
E0
+
+
+ +
+
结论： 孤立导体面电荷密度 与表面曲率有关
表面平坦处曲率 小， 较小，表 面凸出尖锐处曲 率大， 也较大 ，表面凹进去处 曲率为负，则 更小。
6 4
F
二、电容器电容 导体组合,使之不受周围导体的影响 电容器的电容为电容器一块极板所带电荷Q 与两极板电势差 U A U B 的比值 .
Q Q C U A U B U AB
Q
Q
U
B
A
E dl
UB
UA
三、电容器电容的计算 步骤
Q Q C U A U B U AB
E0
E
E
E0 E 1
P E E0 E0 E0 e E 0 0
E E0 E
++ + + + + + + +
++ ++ + + + + +
r 1
E介质 E真空 r
E
E0
r
结论：介质中的电场强度削弱 为真空中电场强度的 1 r
1 E dS
S
+q
i
高斯 面
E 0
0
q
qi 0
-q +q
S
结论: 空腔内有电荷+q时，空腔内表面有感 应电荷-q，外表面有感应电荷+q．
3. 导体空腔外部有其他带电体时 空腔内电场不受空腔外 电荷影响 空腔外电场要受腔内电 荷的影响 怎样才能使空腔内和空腔 外的电场互不影响？
E 0
+q -q ++q
4、静电屏蔽 空腔接地：内外电场互不影响。
q
q
q
例1 证明用导线连接两导体球后,两导体球 表面电荷密度 1 2 之间的关系.
Q1
R1
l R1 , R2 导线
即
Q1
R2
Q2
则 U R1 U R2
一、电介质的极化 (无极分子)
甲烷分子
CH 4
H + + HC H + H
+
正负电荷 中心重合
f
pe
l
E外
f
加上外电场后 pe 0
+ 极化电荷
+ + + + + +
E外
极化电荷
有极分子
水分子
H 2O
O
pe
+ H
负电荷 中心 正电荷中心
f
pe
L pe E外
电风实验介绍
+++ ++
+ +
尖端放电现象介绍 带电导体尖端附近的 电场特别大，可使尖端 附近的空气发生电离而 成为导体产生放电现 象．
σE
避雷针的工作原理
+ + + + + 带电云
－
+ +
－－ － － －
避雷针必须可靠接地
例1 相距很近的平行导体板 a , b 分别带电 Qa , Qb 求四个表面上面电荷密度 的相互关系。
r 1
讨论2： 两种面电荷密度的关系
0
0
E0
由无限大平板场强公式
++ + + + + + + +
++ ++ + + + + +
E
E
E 0
0 E0 0
E
E0
r
E E0 E
1 1 0 r
6 2
' P 5.89 10 6 C m 2
D 0 r E 0 E0 0 8.85 10 C m
6 -2
11-3
电容器和电容
一.孤立导体的电容 导体或导体系容纳电荷性能的物理量 孤立导体的电容为孤立导体所带电荷Q 与其电势U的比值 .
S
3.电介质中的电场
E E0 E
E0
电介质中的电场 决定着电介质被极化的程度
E
p 0 e E
E
E
P n Pn
P 决定极化电荷面密度 和附加电场 E
p E E 四个物理量之间相互联系相互制约
讨论1： 加入电介质后对电场的影响(重点)
1 2 3 4 Eb内 0 2 0 2 0 2 0 2 0
(4)
由(1)、(2)、(3)、(4)解得：
a
b
Qa Qb 1 4 2S Qa Qb 2 3 2S
即：相背面
相对面
1 2 3 4
S S
Qa Qb
4 0 R1
4 0 R2
Q2
1 4R1 2 2 4R2 2 4 0 R1 4 0 R2
1 R2 2 R1
例2. 已知R1,R2 ,R3 ,q ,Q 求(1)各表面电荷分布，区间 场强分布,球心的电势 (2) 如用导线连接A、B，再作球 心的电势计算。
解: 电荷分布 q
q Q q
Q q
各区间场强分布
0 q
r R1 R2 r R3
B
q q
A R1
O
R2
R3
E
4 0 r 2 R1 r R2
Qq 4 0 r 2
r R3
E
0 q
4 0 r
2
r R1
R2 r R3
Q q
R1 r R2
B
q
q
A R1 O
三.电位移矢量和电介质中的高斯定理
1 1 E dS q内
s
0
0
( q0 q' )
s内
自由电荷
极化电荷 P ds q 代入上式整理
S s
( 0 E P ) dS q0
s
D 0 E P
P n Pn
等于表
(1)电介质表面极化电荷面密度 面处极化强度 P的法向分量
S
' - - - - -
+++++++++++
r
P
' + + + + +
l
P dS qi
S S
-----------
(2)电介质中沿任意闭合曲面的极化强度通量等于曲 面所包围的体积内极化电荷 q 的负值 i
+++++++++++
1
E E0 3.33 10 kV m r
2
U
εr
d
P ( r 1 ) 0 E 5.89 10 6 cm -2
-----------
+++++++++++
U
εr
r 3
d 1mm U 1000V
d
---------- 0 0 E0 8.85 10 C m
r
相对电容率
真空ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ容率 绝对电容率
D
0E
真空中 介质中
0 r E
例1 .一个半径为R的导体球，带电 Q，放入介质中， 介质相对介电常数为 r ，试求：球外任一点P的电场 强度及电势。 解: 过P点作高斯面得
Q
r
R
r
P
D dS Q
S
D 4r 2 Q
A
B +
3. 导体内没有净电荷，未被抵消的净电荷只 能分布在导体表面上
实心导体 q E dS 0 S 内部 E 0 q 0 导体内部无净电荷 高斯 面
+
+ + + + +
+
S +
+ +
实心带电导体
三. 导体表面附近场强与电荷面密度的关系
作扁圆柱形高斯面
（1）设两极板分别带电Q
（2）求两极板间的电场强度(电介质种类) E
（3）求两极板间的电势差U （4）由C=Q/U求C
例 2. 平行无限长直导线, 已知:a、d、d>> a 求: 单位长度导线间的电容量C 解: 设两金属线的电荷线密度 为 场强分布 E E E
实验结论从理论上推导
1.导体内各点电势相等,导体为等势体
E 0 U AB ABE dl 0
2. 导体表面各点电势相等.
U A UB
E dl U AB E dl 0
AB
en
+ + +
E
+
dl
+
eτ
U A UB
Q C U
单位：法拉（F）、微法拉（F）、皮法拉（pF）
1F 106 F 1012 pF
例1. 球形孤立导体的电容 金属球电势： U
Q 4 0 R
Q
电容
Q C 4 0 R U
R
取决于本身形状，大小,介质与其是否带电无关。 地球 RE 6.4 10 m, CE 7 10
R2
Qq 4 0 r 2
r R3
R3
R3 R2 R1 U o E dr Edr Edr Edr
Edr
R3
1 1 1 qQ ( ) 4 0 R1 R2 4 0 R3 q
0
0
R1
R2
用导线连接A、B，再作计算 连接A、B，
Q D 4r 2
Q 0 r E 4r 2
Q 4 0 r r
2
U E dr R
R
dr
U
Q 4 0 r R
例2 把一块相对电容率r =3的电介质，放在相距 d=1 mm的两平行带电平板之间. 放入之前，两板的 电势差是1000 V . 试求两板间电介质内的电场强度E , 电极化强度P ,板和电介质的电荷面密度，电介质内 的电位移D. 解 E U 10 3 kV m 1 0 d
第十一章
静电场中的导体 和电介质
11-1 静电场中的导体
重点： 静电场与金属导体相互作用机理 以及相互影响后电场的计算。
一、静电感应 导体静电平衡条件
静电感应：金属导体与静电场的相互作用从
而使金属导体内电荷重新有序排列。
1.静电感应现象
+ +
++ + + +
+
+
+
感应电荷
2.静电平衡
E0
E0
导体内部的场强
＇ E
+ + + + + + + +
E0
E E0 E 0
静电平衡举例: 在匀强电场中放入金属球，电 在匀强电场中电力线为平行直线 力线发生弯曲电场变为一非均匀场
++ + + + ++
E
二、导体处于静电平衡时的性质
1.导体内部任何一点处的电场强度为零； 2.导体表面处电场强度的方向，都与导体表面垂直. 3.导体是等势体，导体表面是等势面。 4.导体内部处处没有未被抵消的净电荷，净电荷只 分布在导体的外表面上。
D dS q0
s s内
s
辅助性物理量：电位移矢量 D
D 0 E P 0 E 0 e E
r 1 e
D 0 E( 1 e ) 0 r E
D 0 r E E
0 0 r
q
( q )
Q q
中和
球壳外表面带电 Q q
B
q q
A R1 O
R2
E0
Qq E 4 0 r 2
R3
r R3
R3
r R3
Qq U o Edr Edr 4 0 R3 0 R3
11-2
静电场中的电介质
电介质（绝缘体）
基本无自由电子，正负电荷只能在分子范围内相 对运动 电介质放入静电场中，静电场与电介质存在有相 互作用…… 无极分子：（氢、甲烷、石蜡等） 电介质 有极分子：（水、有机玻璃等）
等大同号，
等大异号。
四、空腔导体（导体壳）和静电屏蔽 1、空腔内无带电体的情况
E dS
S
V
e dV 0
内部 E 0 e 0
内 0 ,
净电荷只能分布于外表面
+ + + + +
+ + +
+
S
+
静电平衡时腔体内表面不带电,
+
+ +
+ + +
2. 空腔内有电荷时
加上外场产生力偶矩
E外
f
+
+ H
+ 极化电荷
+ + + + + +
E外
极化电荷
二、极化强度矢量和极化电荷的关系(了解) 1、极化强度矢量 pi 单位体积内分子电偶极矩的矢量和 P V 反映电介质内分子电偶极矩排列的有序或无序程 度。(表征电介质极化程度的物理量) 2. 两点结论
a
b
1 2 3 4 S S
Qa Qb
解：设平板面积为 S ，每一 层带电表面上场强方向垂直 于带电平面且指向两侧
1 S 2 S Qa
(1) (2)
3 S 4S Qb
由静电平衡条件： 1 2 3 4 Ea内 0 (3) 2 0 2 0 2 0 2 0
SE dS Es s 0
+ +
S
σ E ε0
σ E ; σ , E
E0
+
+
+ +
+
结论： 孤立导体面电荷密度 与表面曲率有关
表面平坦处曲率 小， 较小，表 面凸出尖锐处曲 率大， 也较大 ，表面凹进去处 曲率为负，则 更小。
6 4
F
二、电容器电容 导体组合,使之不受周围导体的影响 电容器的电容为电容器一块极板所带电荷Q 与两极板电势差 U A U B 的比值 .
Q Q C U A U B U AB
Q
Q
U
B
A
E dl
UB
UA
三、电容器电容的计算 步骤
Q Q C U A U B U AB
E0
E
E
E0 E 1
P E E0 E0 E0 e E 0 0
E E0 E
++ + + + + + + +
++ ++ + + + + +
r 1
E介质 E真空 r
E
E0
r
结论：介质中的电场强度削弱 为真空中电场强度的 1 r