人教版数学七年级下册-《二元一次方程组》教学详案

《二元一次方程组》教学详案

理解二元一次方程、二元一次方程组和它们的解的含义,并会检验一对数是不是某个二元一次方程组的解.

学会用类比的方法迁移知识;体验二元一次方程组在处理实际问题中的优越性.

通过学习,感受数学与生活的联系,感受学习数学的乐趣.

【重点】二元一次方程、二元一次方程组及其解的含义.

【难点】二元一次方程组解的含义.

【教师准备】教学导入过程的情境图片.

【学生准备】复习一元一次方程的相关知识.

导入一:

“今有鸡兔同笼,上有三十五头,下有九十四足.问鸡、兔各几何?”这是我国古代数学著作《孙子算经》中记载的数学名题.

你能用哪些方法解决这个问题呢?如果设两个未知数,能解决这个问题吗?

通过古代数学经典习题,可以提升学生对中华传统文化成就的自豪感.学生会用多种方法解决问题,提出设两个未知数解决问题,对于学生来说还是新的方法,这就为引入二元一次方程的学习做好了过渡的衔接.

导入二:

每块饼干的质量是x克,每颗糖果的质量是y克,小明拿了一个等臂天平,在左边秤盘里放两块饼干,右边秤盘里放三颗糖果,结果天平两臂平衡,当在左边秤盘里又放了三块饼干,右边秤盘里又放了四颗糖果时,天平并没有平衡,只好在右边秤盘里又加了1克的砝码才使得天平平衡.

上面的例子中,可以得到两个方程是2x=3y和5x=7y+1,怎样看待这两个方程呢?它们的解有什么实际意义?

学生对方程的理解暂时还是“一元一次”的程度,提出与“一元一次”性质不同的方程,能够唤起学生的好奇心,激起学生解决问题的欲望.

导入三:

篮球联赛中,每场比赛都要分出胜负,每队胜1场得2分,负1场得1分.某队在10场比赛中得到16分,那么这个队胜、负场数分别是多少?

在上面的问题中,要求的是两个未知数.如果用一元一次方程来解决,列方程时,要用一个未知数表示另一个未知数.能不能根据题意直接设两个未知数,使列方程变得容易呢?我们从这个想法出发,开始本章的学习.

借助于教材情境直接提出用含有两个未知数的方程解决问题,为直接引入二元一次方程的概念做了铺垫.也让学生感受到要提高解决生活中的数学问题的能力,必须持续地进行学习.

一、二元一次方程

思路一

(针对导入三)前面提到的两个未知数的方程是什么方程呢?与我们学过的一元一次方程有什么不同呢?

问题

(1)情境中包含哪两个等量关系?

(2)如果设胜的场数是x,负的场数是y,你能用方程把这些条件表示出来吗?

(3)你能把上述等量关系整理在下面的表格中吗?

胜负合计

场数

积分

方程:

(4)新列出的方程有什么特点?与一元一次方程有什么不同?

(5)你能总结什么是二元一次方程吗?

〔解析〕情境中包含这样两个等量关系:胜的场数+负的场数=总场数,胜场积分+负场积分=总积分.列表如下:

胜负合计

场数x y10

积分2x y16

方程:2x+y=16

x+y=10

认识新列出的两个方程的特点,可以从未知数的数量和未知数的次数两个方面进行分析.方程x+y=10与2x+y=16都含有两个未知数x和y,并且含有未知数的项的次数都是1.这两个方程中都含有两个未知数,而一元一次方程中只含有一个未知数.

学生讨论交流后共同总结以上五个问题的答案.

定义:上面两个方程中,每个方程都含有两个未知数(x和y),并且含有未知数的项的次数都是1,像这样的方程叫做二元一次方程.

(补充)下列方程中,是二元一次方程的是()

A.7x+3y=2

B.xy=9

C.x+2y2=11

D.=2

〔解析〕本题考查二元一次方程的定义,B选项的次数为2,C选项的最高次数为2,D 选项不是整式方程,故都不是二元一次方程.故选A.

从以下三个方面整体理解二元一次方程的定义:(1)有两个未知数;(2)含有未知数的项的次数为1;(3)是整式方程.

1.二元一次方程还可以定义为:在方程中有两个未知数,未知数与未知数之间没有乘法、除法运算,并且未知数的次数都是1,像这样的方程叫做二元一次方程.

2.理解二元一次方程的概念要特别注意对次数的要求是“含有未知数的项的次数为1”,不能理解为“每个未知数的次数都是1”,如xy+2=0就不是一个二元一次方程.

思路二

学生用各自的方法计算,然后讨论交流.

算法展示:

(1)算数方法:把兔子和鸡的脚数看成“相等”,则多出94- 35×2=24只脚,每只兔子比鸡多出两只脚,由此可先求出兔子有24÷2=12(只),随后可算出鸡有35- 12=23(只).

类似地也可以先求鸡的数量:35×4- 94=46(只),46÷2=23(只).

(2)列一元一次方程:

设有x只鸡,则有(35- x)只兔子.

根据题意,得2x+4(35- x)=94.

解方程可求出x=23.35- 23=12(只).

所以有23只鸡,12只兔子.

如果我们设有x只鸡,有y只兔子,依题意得这样两个方程:

x+y=35,2x+4y=94.

同学们比较这两个方程与前面学过的一元一次方程,有什么不同呢?

(老师提示学生从未知数数量和未知数的次数进行比较.)

结合学生的回答,教师板书定义:

含有两个未知数,并且含有未知数的项的次数都是1的方程,叫做二元一次方程.

二、二元一次方程组

上面的问题中包含两个必须同时满足的条件,也就是未知数x,y必须同时满足方程: x+y=10,①

2x+y=16.②

把这两个方程合在一起,写成就组成了一个方程组.这个方程组中有两个未知数,含有每个未知数的项的次数都是1,并且一共有两个方程,像这样的方程组叫做二元一次方程组.