最新初中数学锐角三角函数的易错题汇编及答案

长，同理可得 HT、CT 的长，再通过证四边形 ABNM 为矩形得 MN＝AB＝2 3 ，BN＝AM＝
3，最后证四边形 GHTN 为平行四边形可得 GH＝TN 即可解决问题．
【详解】
解：如图作 GM⊥AD 于 M 交 BC 于 N，作 HT⊥BC 于 T．
∵△ABE 沿着 AE 翻折后得到△AGE，
【点睛】 本题考查翻折变换，解直角三角形，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常 用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
6．如图，已知 AB 是⊙O 的直径，点 C 在⊙O 上，过点 C 的切线与 AB 的延长线交于点 P， 连接 AC，若∠A=30°，PC=3，则⊙O 的半径为（ ）
AD 与 AB，PB 与 PC 的数量关系即可．
【详解】
解：∵在矩形 ABCD 中，点 E 是 CD 的中点，
∴DE＝CE， 又∵AD＝BC，∠D＝∠C， ∴△ADE≌△BCE（SAS）， ∴AE＝BE，∠DEA＝∠CEB， ∵EA 平分∠BED， ∴∠AED＝∠AEB， ∴∠AED＝∠AEB＝∠CEB＝60°，故：①EB 平分∠AEC，正确； ∴△ABE 是等边三角形， ∴∠DAE＝∠EBC＝30°，AE＝AB， ∵PE⊥AE， ∴∠DEA＋∠CEP＝90°， 则∠CEP＝30°， 故∠PEB＝∠EBP＝30°， 则 EP＝BP， 又∵AE＝AB，AP＝AP， ∴△AEP≌△ABP（SSS）， ∴∠EAP＝∠PAB＝30°， ∴AP⊥BE，故②正确； ∵∠DAE＝30°，
则△BEO∽△OFA，
∴ BE OE ， OF AF
设点 B 为（a， 1 ），A 为（b， 2 ），
a
b
则 OE=-a，EB= 1 ，OF=b，AF= 2 ，
a
b
可代入比例式求得 a2b2
2 ，即 a2
2 b2
，
根据勾股定理可得：OB=
OE2 EB2
a2
1 a2
，OA=
OF 2 AF 2
OF AF
a
（b， 2 ），得到 OE=-a，EB= 1 ，OF=b，AF= 2 ，进而得到 a2b2 2 ，此为解决问题的关
b
a
b
键性结论；运用三角函数的定义证明知 tan∠OAB= 2 为定值，即可解决问题． 2
【详解】
解：分别过 B 和 A 作 BE⊥x 轴于点 E，AF⊥x 轴于点 F，
【答案】D 【解析】 【分析】
B． 3 3
C． 2 3
D． 2 3
设 AC＝m，解直角三角形求出 AB，BC，BD 即可解决问题． 【详解】
设 AC＝m， 在 Rt△ABC 中，∵∠C＝90°，∠ABC＝30°，
∴AB＝2AC＝2m，BC＝ 3 AC＝ 3 m，
∴BD＝AB＝2m，DC＝2m+ 3 m，
∴tan∠DAE＝ DE ＝tan30°＝ 3 ，
AD
3
∴AD＝ 3 DE，即 AD 3 CD ， 2
∵AB＝CD，
∴③ AD 3 AB 正确； 2
∵∠CEP＝30°，
∴CP＝ 1 EP， 2
∵EP＝BP，
∴CP＝ 1 BP， 2
∴④PB＝2PC 正确． 综上所述：正确的共有 4 个． 故选：A． 【点睛】 此题主要考查了四边形综合，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，含 30 度角的直角三角形性质以及三角函数等知识，证明△ABE 是等边三角形是解题关键．
∴设 DG x ，则 CG 2.4 x ．
在 RtCDG 中，
∵ DG2 CG2 DC2 ，即 x2 (2.4x)2 522 ，解得 x 20 ，
∴ DG 20 米， CG 48 米，
∴ EG 20 0.8 20.8 米， BG 52 48 100 米．
∵ EM AB ， AB BG ， EG BG ，
【详解】
由题意知， C1A1 1 ， C1A1B1 60 ，
则 C1B1A1 30 ， A1B1 A2B2 2 ， C1B1 C2B2 C3B3 3 ， 结合图形可知，三角形在 x 轴上的位置每三次为一个循环，
2019 3 673 ，
OC2019 673(1 2 3) 2019 673 3 ，
A．（2018+672 3 ，0）
B．（2019+673 3 ，0）
C．（ 4035 +672 3 ， 3 ）
2
2
D．（2020+674 3 ，0）
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意可知三角形在 x 轴上的位置每三次为一个循环，又因为 2019 3 673 ，那么
C2019 相当于第一个循环体的 673个C3 即可算出.
DC BC ．在点 D 处放置测角仪，测角仪支架 DE 高度为 0.8 米，在 E 点处测得建筑物顶 端 A 点的仰角 AEF 为 27 （点 A，B，C，D，E 在同一平面内）．斜坡 CD 的坡度（或坡 比） i 1: 2.4，那么建筑物 AB 的高度约为（ ） （参考数据 sin 27 0.45， cos 27 0.89 ， tan 27 0.51）
b2
4 b2
，
∴tan∠OAB= OB OA
a2
1 a2
b2
4 b2
2 b2
b2 2
=
b2
4 b2
1 2
(
4 b2
b2)
=
2
b2
4 b2
2
∴∠OAB 大小是一个定值，因此∠OAB 的大小保持不变.
故选 D
【点睛】 该题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定等知识点及其应用问 题；解题的方法是作辅助线，将分散的条件集中；解题的关键是灵活运用相似三角形的判 定等知识点来分析、判断、推理或解答．
A．65.8 米
B．71.8 米
C．73.8 米
D．119.8 米
【答案】B
【解析】
【分析】
过点 E 作 EM AB 与点 M，根据斜坡 CD 的坡度（或坡比） i 1: 2.4可设 CD x ，则
CG 2.4 x ，利用勾股定理求出 x 的值，进而可得出 CG 与 DG 的长，故可得出 EG 的
同理可得 HT＝ 3 ，CT＝3，
∵∠AMG＝∠B＝∠BAD＝90°， ∴四边形 ABNM 为矩形，
∴MN＝AB＝2 3 ，BN＝AM＝3，
∴GN＝MN﹣GM＝ 3 ，
∴GN＝HT， 又∵GN∥HT， ∴四边形 GHTN 是平行四边形， ∴GH＝TN＝BC﹣BN﹣CT＝10﹣3﹣3＝4， 故选：B．
C2019(2019 673 3,0) ， 故选 B .
【点睛】 考查解直角三角形，平面直角坐标系中点的特征，结合找规律.理解题目中每三次是一个循 环是解题关键.
2．如图，在△ABC 中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，点 D 是 CB 延长线上的一点，且 AB＝BD，则 tanD 的值为（ ）
A． 2 3
A． 3
【答案】A 【解析】 连接 OC，
B．2 3
C． 3 2
D． 2 3 3
∵OA=OC，∠A=30°， ∴∠OCA=∠A=30°， ∴∠COB=∠A+∠ACO=60°， ∵PC 是⊙O 切线， ∴∠PCO=90°，∠P=30°， ∵PC=3，
∴OC=PC•tan30°= 3 ，
故选 A
7．如图，AB 是垂直于水平面的建筑物．为测量 AB 的高度，小红从建筑物底端 B 点出 发，沿水平方向行走了 52 米到达点 C，然后沿斜坡 CD 前进，到达坡顶 D 点处，
5．如图，在矩形 ABCD 中，AB＝2 3 ，BC＝10，E、F 分别在边 BC，AD 上，BE＝DF．将
△ABE，△CDF 分别沿着 AE，CF 翻折后得到△AGE，△CHF．若 AG、CH 分别平分∠EAD、∠ FCB，则 GH 长为（ ）
A．3 【答案】B
B．4
C．5
D．7
【解析】BC 于 N，作 HT⊥BC 于 T．通过解直角三角形求出 AM、GM 的
∴∠GAM＝∠BAE，AB＝AG＝2 3 ，
∵AG 分别平分∠EAD，
∴∠BAE＝∠EAG， ∵∠BAD＝90°，
∴∠GAM＝∠BAE＝∠EAG＝30°， ∵GM⊥AD，
∴∠AMG＝90°，
∴在 Rt△AGM 中，sin∠GAM＝ GM ，cos∠GAM＝ AM ，
AG
AG
∴GM＝AG•sin30°＝ 3 ，AM＝AG•cos30°＝3，
④ PB 2PC ．其中结论正确的个数是（ ）
A．4 个
B．3 个
C．2 个
D．1 个
【答案】A
【解析】
【分析】
根据矩形的性质结合全等三角形的判定与性质得出△ADE≌△BCE（SAS），进而求出△ABE
是等边三角形，再求出△AEP≌△ABP（SSS），进而得出∠EAP＝∠PAB＝30°，再分别得出
最新初中数学锐角三角函数的易错题汇编及答案
一、选择题
1．如图，已知△A1B1C1 的顶点 C1 与平面直角坐标系的原点 O 重合，顶点 A1、B1 分别位于 x 轴与 y 轴上，且 C1A1＝1，∠C1A1B1＝60°，将△A1B1C1 沿着 x 轴做翻转运动，依次可得到 △A2B2C2，△A3B3C3 等等，则 C2019 的坐标为（ ）
9．如图，在 ABC 中， AB AC ， MN 是边 BC 上一条运动的线段（点 M 不与点 B 重 合，点 N 不与点 C 重合），且 MN 1 BC ， MD BC 交 AB 于点 D ， NE BC 交
2 AC 于点 E ，在 MN 从左至右的运动过程中，设 BM x ， BMD 的面积减去 CNE 的 面积为 y ，则下列图象中，能表示 y 与 x 的函数关系的图象大致是（ ）
4．如图，在 x 轴的上方，直角∠BOA 绕原点 O 按顺时针方向旋转.若∠BOA 的两边分别与
函数 y 1 、 y 2 的图象交于 B、A 两点，则∠OAB 大小的变化趋势为（ ）
x
x
A．逐渐变小 【答案】D 【解析】
B．逐渐变大
C．时大时小
D．保持不变
【分析】
如图，作辅助线；首先证明△BEO∽△OFA，，得到 BE OE ；设 B 为（a， 1 ），A 为
8．如图，一张直角三角形纸片 BEC 的斜边放在矩形 ABCD 的 BC 边上，恰好完全重合， 边 BE ， CE 分别交 AD 于点 F ， G ，已知 BC 8 ， AF : FG : GD 4 : 3:1，则 CD 的
长为（）
A．1
B． 2
C． 3
D．2
【答案】C
【解析】
【分析】
由 ABCD 是矩形，得到 AD=BC=8，且矩形的四个角是直角，根据
∴tan∠ADC＝ AC ＝
m
＝2﹣
CD 2m 3m
3．
故选：D．
【点睛】
本题考查解直角三角形，直角三角形 30 度角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知 识，属于中考常考题型．
3．如图，在矩形 ABCD中 E 是 CD 的中点， EA 平分 BED, PE AE 交 BC 于点 P ，
连接 PA ，以下四个结论：① EB 平分 AEC ；② PA BE ；③ AD 3 AB ； 2
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8
∵∠ECB=60°，
∴∠DCE= 90 60 30，
又∵ tan 30 3 GD 1 ， 3 CD CD
∴ CD 3 ,
故答案为 C. 【点睛】 本题主要考查矩形、特殊直角三角形、余角的性质，运用线段的比例长算出其中各段的长 度是解本题的关键，特殊角的三角函数也是重要知识点，应掌握.
AF : FG : GD 4 : 3:1，可以求出 DG 的长度，再根据余角的性质算出∠DCE 的大小，根
据三角函数即可算出 DC 的长度.
【详解】
解：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴AD=BC=8，∠DCB= 90 ，
又∵ AF : FG : GD 4: 3:1
∴ GD 1 AD 1 AD 1,
长．由矩形的判定定理得出四边形 EGBM 是矩形，故可得出 EM BG ， BM EG ，再
由锐角三角函数的定义求出 AM 的长，进而可得出结论．
【详解】
解：过点 E 作 EM AB 与点 M，延长 ED 交 BC 于 G，
∵斜坡 CD 的坡度（或坡比） i 1: 2.4， BC CD 52 米，
∴四边形 EGBM 是矩形，
∴ EM BG 100 米， BM EG 20.8 米． 在 RtAEM 中， ∵ AEM 27 ， ∴ AM EM • tan 27 100 0.51 51米， ∴ AB AM BM 51 20.8 71.8米．
故选 B．
【点睛】 本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三 角形是解答此题的关键．