高一新生入学实验班选拔考试数学试卷含答案

XX 中学高一新生入学实验班选拔数学试卷

时间90分钟 总分100分

一、选择题（5′×6=30′） 【1】若20072008m m m -+-=，则22007m -的值为（ ）

A ．2007

B ．2008

C ．20082

D ．-20082

【2】在平面直角坐标系中有两点A （-2，2），B （3，2），C 是坐标轴上

的一点，若△ABC 是直角三角形，则满足条件的点共有（ ）

A ．1个

B ．2个

C ．4个

D ．6个

【3】若实数n 满足（n-2011）2+（2012-n ）2=1，则（2012-n ）（n-2011）

等于（ ）

A ．-1

B ．0

C ．

12 D ．1 【4】二次函数y=-x 2+6x-7，当x 取值为t≤x≤t+2时，y 最大值=-（t-3）2+2，

则t 的取值范围是（ ）

A ．t=0

B ．0≤t≤3

C ．t≥3

D ．以上都不对

【5】观察图（1），容易发现图（1）中的∠1=∠2+∠3．把图（1）推广到图（2），其中有8个角：∠1，∠2，…，∠8．可以验证∠1=∠2+∠5+∠8成立．除此之外，恰好还有一组正整数x ，y ，z ，满足2≤x≤y≤z≤8，使得∠1=∠x+∠y+∠z ，那么这组正整数（x ，y ，z ）=（ ）

A ．（3，4，7）

B ．（3，5，7）

C ．（3，3，7）

D ．（4，6，7）

【6】二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如下图，则以下

结论正确的有（ ）

①abc ＞0；②b ＜a+c ；③4a+2b+c ＞0；④2c

＜3b ；⑤a+b ＞m （am+b ）（m≠1，m 为实数）

A ．2个

B ．3个

C ．4个

D ．5个

二、填空题（5′×4=20′）

【7】若关于x 的分式方程1133a x x -=++在实数范围内无解，则实数a= 。

【8】已知关于x 的不等式mx-2≤O 的负整数解只有-1，-2，则m 的取值

范围是 。

【9】如图，已知圆O 的面积为3π，AB 为直径，弧AC 的度数为80°，

弧BD 的度数为20°，点P 为直径AB 上任一点，则PC+PD 的最小值为 。

【10】如图，M 、N 分别为△ABC 两边AC 、BC 的中点，AN 与BM 交于点O ，

则=BON ABC △的面积△的面积

。

三、解答题（12′×3=36′）

【11】如图，已知ABCD 是圆O 的内接四边形，AB=BD ，BM ⊥AC 于M ，求证：AM=DC+CM 。

【12】推理能力都很强的甲、乙、丙站成一列，丙可以看见甲、乙，乙可以看见甲，但看不见丙，甲看不见乙、丙。现有5顶帽子，3顶白色，2顶黑色．老师分别给每人戴上一顶帽子（在各自不知道的情况下，且不知道剩余帽子的颜色）。老师先问丙是否知道头上的帽子颜色，丙回答说不知道；老师再问乙是否知道头上的帽子颜色，乙也回答说不知道；老师最后问甲是否知道头上的帽子颜色，甲回答说知道。请你说出甲戴了什么颜色的帽子，并写出推理过程．

【13】预计用1500元购买甲商品x个，乙商品y个，不料甲商品每个涨价1.5元，乙商品每个涨价1元，尽管购买甲商品的个数比预定数减少10个，总金额仍多用29元．又若甲商品每个只涨价1元，并且购买甲商品的数量只比预定数少5个，那么甲、乙两商品支付的总金额是1563.5元．（1）求x、y的关系式；

（2）若预计购买甲商品的个数的2倍与预计购买乙商品的个数的和大于205，但小于210，求x、y的值。

四、解答题（14′×1=14′）

【14】如图1，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG 摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC=∠AGF=90°，它们的斜边长为2，若△ABC固定不动，△AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E （点D不与点B重合，点E不与点C重合），设BE=m，CD=n．

（1）求证：△ABE∽△DCA；

（2）求m与n的函数关系式，直接写出自变量n的取值范围；

（3）以△ABC的斜边BC所在的直线为x轴，BC边上的高所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系（如图2）．在边BC上找一点D，使BD=CE，求出D点的坐标，并通过计算验证BD2+CE2=DE2；

（4）在旋转过程中，（3）中的等量关系BD2+CE2=DE2是否始终成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

答案

1、B

2、D

3、B

4、C

5、C

6、A

7、1 8、-1≤m ＜- 2

3 9、3 10、16

11、证明：在MA 上截取ME=MC ，连接BE ，则△BEC 为等腰三角形，

……4′

∵AB=BD ，∴∠BAD =∠BDA=∠BCA=∠BEC ，∴∠BEA =∠BCD （等角补角相等） ……8′ 又∵∠BAC =∠BDC ， AB=BD ，∴△ABE ≌△DBC ，∴AE=CD ，∴AM=DC+CM 。

……12′

12、解：甲戴的是白色帽子。……2′

如果甲戴的是黑帽子，则当乙戴黑帽子时，丙就知道自己戴的是白帽子，当乙戴白帽子时，丙不知道自己帽子的颜色，但乙可以由丙的否定回答判断出自己戴的是白帽子，所以，当两人都不知道自己帽子的颜色时，甲戴的一定是白帽子。 ………12′

13、解：（1）设预计购买甲、乙商品的单价分别为a 元和b 元，由题意可得

1500( 1.5)(10)(1)1529(1)(5)(1)1563.5ax by a x b y a x b y +=⎧⎪+-++=⎨⎪+-++=⎩

……6′

并化简，得x+2y=186． ……8′

（2）依题意，205＜2x+y ＜210且x+2y=186，解得54＜y ＜55.5，

……10′

由y 是整数，得y=55，从而得x=76．

所以预计购买甲商品76个，乙商品55个． ……12′