第05讲 函数图象及数字特征

普通高中课程标准实验教科书—数学 [人教版]

高三新数学第一轮复习教案（讲座5）—函数图象及数字特征

一．课标要求：

1．掌握基本初等函数的图象的画法及性质。如正比例函数、反比例函数、一元一次函数、一元二次函数、指数函数、对数函数、幂函数等；

2．掌握各种图象变换规则，如：平移变换、对称变换、翻折变换、伸缩变换等；

3．识图与作图：对于给定的函数图象，能从图象的左右、上下分布范围，变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性。甚至是处理涉及函数图象与性质一些综合性问题；

4．通过实例，了解幂函数的概念；结合函数2

1132,,,,x y x y x y x y x y =====-的图像，了解它们的变化情况。 二．命题走向

函数不仅是高中数学的核心内容，还是学习高等数学的基础，所以在高考中，函数知识占有极其重要的地位。其试题不但形式多样，而且突出考查学生联系与转化、分类与讨论、数与形结合等重要的数学思想、能力。知识覆盖面广、综合性强、思维力度大、能力要求高，是高考考数学思想、数学方法、考能力、考素质的主阵地。

从历年高考形势来看：

（1）与函数图象有关的试题，要从图中（或列表中）读取各种信息，注意利用平移变换、伸缩变换、对称变换，注意函数的对称性、函数值的变化趋势，培养运用数形结合思想来解题的能力，会利用函数图象，进一步研究函数的性质，解决方程、不等式中的问题；

（2）函数综合问题多以知识交汇题为主，甚至以抽象函数为原型来考察；

（3）与幂函数有关的问题主要以2

1132,,,,x y x y x y x y x y =====-为主，利用它们的图象及性质解决实际问题；

预测07年高考函数图象：（1）题型为1到2个填空选择题；（2）题目多从由解析式得函数图象、数形结合解决问题等方面出题；

函数综合问题：（1）题型为1个大题；（2）题目多以知识交汇题目为主，重在考察函数的工具作用；

幂函数：单独出题的可能性很小，但一些具体问题甚至是一些大题的小过程要应用其性质来解决； 三．要点精讲

1．函数图象

（1）作图方法：以解析式表示的函数作图象的方法有两种，即列表描点法和图象变换法，掌握这两种方法是本讲座的重点。

作函数图象的步骤：①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；③讨论函数的性质即单调性、奇偶性、周期性、最值（甚至变化趋势）；④描点连线，画出函数的图象。

运用描点法作图象应避免描点前的盲目性，也应避免盲目地连点成线要把表列在关键处，要把线连在恰当处这就要求对所要画图象的存在范围、大致特征、变化趋势等作一个大概的研究。而这个研究要借助于函数性质、方程、不等式等理论和手段，是一个难点用图象变换法作函数图象要确定以哪一种函数的图象为基础进行变换，以及确定怎样的变换，这也是个难点。

（2）三种图象变换：平移变换、对称变换和伸缩变换等等；

①平移变换：

Ⅰ、水平平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向左(0)a >或向右(0)a <平移||a 个单位即可得到；

1）y =f (x )h 左移→y =f (x +h)；2）y =f (x ) h 右移→y =f (x -h)；

Ⅱ、竖直平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向上(0)a >或向下(0)a <平移||a 个单位即可得到；

1）y =f (x ) h 上移→y =f (x )+h ；2）y =f (x ) h

下移→y =f (x )-h 。 ②对称变换：

Ⅰ、函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于y 轴对称即可得到；

y =f (x ) 轴

y →y =f (-x )

Ⅱ、函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于x 轴对称即可得到；

y =f (x ) 轴x →y = -f (x )

Ⅲ、函数()y f x =--的图像可以将函数()y f x =的图像关于原点对称即可得到；

y =f (x ) 原点

→y = -f (-x )

Ⅳ、函数)(y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像关于直线y x =对称得到。

y =f (x ) x y =→直线x =f (y )

Ⅴ、函数)2(x a f y -=的图像可以将函数()y f x =的图像关于直线a x =对称即可得到；

y =f (x ) a

x =→直线y =f (2a -x )。

③翻折变换：

Ⅰ、函数|()|y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像的x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴上方，去掉原x 轴下方部分，并保留()y f x =的x 轴上方部分即可得到；

Ⅱ、函数(||)y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像右边沿y 轴翻折到y 轴左边替代原y 轴左边部分并保留()y f x =在y 轴右边部分即可得到

④伸缩变换：

Ⅰ、函数()y af x =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长(1)a >或压缩（01a <<）为原来的a 倍得到；

y =f (x )a y ⨯→y =af (x )

Ⅱ、函数()y f ax =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点纵坐标不变横坐标伸长(1)a >或压缩（01a <<）为原来的

1a 倍得到。 f (x )y =f (x )a x ⨯→y =f (ax )

（3）识图：分布范围、变化趋势、对称性、周期性等等方面。

2．幂函数

y x =≠αα(,)01在第一象限的图象，可分为如图中的三类：