第05讲 函数图象及数字特征
函数图象及数字特征
函数图象及数字特征一．要点精讲1. 基本初等函数的图像与性质⑴其它常用函数：①一次函数:y=ax+b(a ≠0)②正比例函数：)0(≠=k kx y 是奇函数；③反比例函数：)0(≠=k x k y 平移⇒b x ka y -+=(中心为(b,a))；④特别的xy 1=， ⑤函数)0(>+=a xax y ；是奇函数,上为增函数，，在区间时)0(),0(,0∞+-∞<a ；递减，在时)0,[],0(,0a a a -> 递增，在),a [],a (+∞--∞⑵指数函数：)1,0(≠>=a a a y x ； ⑶对数函数:)1,0(log ≠>=a a x y a ；⑷幂函数：αx y = （)R ∈α ；2．作图方法：描点法和利用基本函数图象变换作图；作函数图象的步骤：①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；③讨论函数的性质即单调性、奇偶性、周期性、最值（甚至变化趋势）；④描点连线，画出函数的图象。
3．识图：分布范围、变化趋势、对称性、周期性等等方面． 4．图象变换法；① 平移变换：ⅰ)()(a x f y x f y ±=→=，)0(>a ———左“+”右“-”； ⅱ)0(,)()(>±=→=k k x f y x f y ———上“+”下“-”； ② 伸缩变换：ⅰ)()(x f y x f y ω=→=， （)0>ω———纵坐标不变，横坐标伸长为原来的ω1倍；ⅱ)()(x Af y x f y =→=， （)0>A ———横坐标不变，纵坐标伸长为原来的A 倍；③ 对称变换：ⅰ)(x f y =−−→−)0,0()(x f y --=；ⅱ)(x f y =−→−=0y )(x f y -=； ⅲ)(x f y =−→−=0x )(x f y -=； ⅳ)(x f y =−−→−=xy )(1x f y -=；Ⅴ)(x f y =(,)a b −−−−−→2(2)y b f a x =--④ 翻转变换：ⅰ|)(|)(x f y x f y =→=———右不动，右向左翻（)(x f 在y 左侧图象去掉）； ⅱ|)(|)(x f y x f y =→=———上不动，下向上翻（|)(x f |在x 下面无图象）；5、函数图象（曲线）的对称性 满足条件()()f x a f b x +=-的函数的图象关于直线2a bx +=对称。
第05讲 极值点偏移：平方型(解析版)
第05讲 极值点偏移:平方型参考答案与试题解析一．解答题（共9小题）1．（2021•广州一模）已知函数2()()f x xlnx ax x a R =-+∈． （1）证明：曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线l 恒过定点；（2）若()f x 有两个零点1x ，2x ，且212x x >4e． 【解答】证明：（1）2()12122f x xlnx ax x lnx ax lnx ax '=-+=+-+=-+， f '（1）22a =-，又f （1）1a =-，∴曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程为(1)(22)(1)y a a x --=--，即12(1)()2y a x =--，当12x =时，0y =，故直线l 过定点1(2，0)；（2）1x ，2x 是()f x 的两个零点，且212x x >， ∴211112222000x lnx ax x x lnx ax x ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，可得112211lnx ax lnx ax +=⎧⎨+=⎩， ∴12122112122111()2lnx lnx ln x x lnx lnx x x x x x x +++-===+-， 令21(2)x t t x =>，21211221()(1)21x x x ln x t lntlnx x x x t ++∴+==--， 构造函数(1)()1t lnt g t t +=-，212()(1)t lntt g t t --'=-， 令1()2h t t lnt t=--，则22(1)()0t h t t -'=>，则()h t 在(2,)+∞上单调递增，而h （2）1322222022ln ln =--=->，()0g t ∴'>，则()g t 在(2,)+∞上单调递增， ()g t g ∴>（2）32ln =，可得12()232ln x x ln +>，则1228()ln x x lne >， 即1228x x e >4e>． 2．（2021•浙江开学）已知a R ∈，()ax f x x e -=⋅（其中e 为自然对数的底数）． （Ⅰ）求函数()y f x =的单调区间；（Ⅱ）若0a >，函数()y f x a =-有两个零点x ，2x ，求证：22122x x e +>． 【解答】解：()()(1)ax ax ax I f x e ax e e ax ---'=-⋅=-， a R ∈，0a ∴<时，1()(1)0ax f x e ax x a-'=->⇒>， 1()(1)0ax f x e ax x a-'=-<⇒<， 0a ∴<时，增区间为：1[,)a +∞，减区间为：1(,)a -∞；0a =时，()(1)10ax f x e ax -'=-=>， 0a ∴=时，增区间为：(,)-∞+∞； 0a >时，1()(1)0ax f x e ax x a-'=->⇒<， 1()(1)0ax f x e ax x a-'=-<⇒>， 0a ∴>时，增区间为：1(,]a -∞，减区间为：1(,)a +∞；综上：0a <时，增区间为：1[,)a+∞，减区间为：1(,)a -∞；0a =时，增区间为：(,)-∞+∞；0a >时，增区间为：1(,]a -∞，减区间为：1(,)a+∞；（Ⅱ）证法一：由（1）知，0a >时，增区间为：1(,]a -∞，减区间为：1(,)a+∞；且1x a >时，()0f x >，()11f x f a ae ⎛⎫== ⎪⎝⎭极大值，函数()y f x =的大致图像如下图所示：因为0a >时，函数()y f x a =-有两个零点1x ，2x ，所以1a ae <，即21a e<，不妨设12x x <，则1210x x a<<<， 先证：122x x a +>，即证：122x x a>-， 因为11x a <，所以221x a a -<，又()y f x =在1(,)a -∞单调递增，所以即证：122()()f x f x a>-又12()()f x f x =，所以即证：222()()f x f x a >-，21x a >，令函数2()()()F x f x f x a =--，1(,)x a∈+∞，则222()(1)[1()](1)[]ax ax ax ax F x e ax e a x ax e e a--+--+'=-+--=--，因为1x a>，所以2ax ax -<-，10ax -<，故2()(1)[]0ax ax F x ax e e --+'=-->， 函数2()()()F x f x f x a =--在1(,)a +∞单调递增，所以1()()0F x F a>=，因为21x a >，所以，222()()f x f x a>-，即122x x a +>， 所以22212122()222x x x x e a++>>>．（Ⅱ）证法二：因为0a >时，函数()y f x a =-有两个零点1x ，2x ， 则两个零点必为正实数，()0(0)lnx ax lna f x a e e x --=⇒=>， 问题等价于lnx ax lna -=有两个正实数解； 令()(0)g x lnx ax lna x =--> 则1()(0)g x a x x '=->，()g x 在1(0,)a 单调递增，在1(,)a +∞单调递减，且1210x x a<<<，令2()()()G x g x g x a =--，1(,)x a∈+∞，则1122()22021(2)G x a a a a x x ax x a a'=-+-=->-=--，所以()G x 在1(,)a +∞单调递增，1()()0G x G a>=，又21x a >，故222()()g x g x a>-，21(,)x a ∈+∞， 又12()()g x g x =，所以122()()g x g x a>-，又1210x x a<<<，所以1x ，221(0,)x a a -∈，又()g x 在1(0,)a 单调递增，所以122x x a+>，所以22212122()222x x x x e a++>>>．3．（2021秋•泉州月考）已知函数1()lnx f x ax+=． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若2112()()(x x ex ex e =是自然对数的底数），且10x >，20x >，12x x ≠，证明：22122x x +>． 【解答】解：（1）函数1()(0)lnx f x x ax +=>，则2()lnx f x ax'=-， 令()0f x '=，解得1x =，若0a >，当01x <<时，()0f x '>，则()f x 单调递增； 当1x >时，()0f x '<，则()f x 单调递减，所以()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减； 若0a <，当01x <<时，()0f x '<，则()f x 单调递减； 当1x >时，()0f x '>，则()f x 单调递增，所以()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增．综上所述，当0a >时，()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减； 当0a <时，()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增．（2）证明：因为2112()()x x ex ex =，两边取对数，可得2112()()x ln ex x ln ex =， 即2112(1)(1)x lnx x lnx +=+，所以121211lnx lnx x x ++=， 此时当1a =时，存在且10x >，20x >，12x x ≠，满足12()()f x f x =； 由（1）可知，当1a =时，()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减， 不妨设12x x <，所以1(0,1)x ∈，2(1,)x ∈+∞，①若2[2x ∈，)+∞，则22212242x x x +>>成立； ②若2(1,2)x ∈，则22(0,1)x -∈， 记1(2)1()()(2)22lnx ln x g x f x f x x x x x-=--=+----，01x <<， 则222222(2)(2)[(1)1]()0(2)lnx ln x lnx ln x ln x g x x x x x x ----+'=-->--=->-，所以()g x 在(0,1)上单调递增，则()g x g <（1）0=，即()(2)f x f x <-， 所以212(2)()()f x f x f x ->=，因为1(0,1)x ∈，所以121x ->， 又21x >，()f x 在(1,)+∞上单调递减， 所以122x x -<，即122x x +>，又221111212x x x +⋅=，22222122x x x +=，以上两式左右分别相加，可得221212112()x x x x ++++， 即2212122()22x x x x ++->， 综合①②可得，22122x x +>． 4．（2021•开封三模）已知函数2()lnxf x mx =． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若2m =，对于任意120x x >>，证明：22222112212122(()())()x f x x f x x x x x x ⋅-⋅⋅+>-．【解答】解：（1）2()lnx f x mx =的定义域为(0,)+∞，312()lnxf x mx-'=， 当0m >时，()00f x x '>⇒<<，此时()f x在上单调递增， ()0f x x'<⇒>()f x 在)+∞上单调递减，当0m <时，()0f x x'>⇒>()f x在)+∞上单调递增， ()00f x x '<⇒<<，此时()f x 在上单调递减；综上可知：当0m >时，()f x的增区间是，减区间是)+∞；当0m <时，()f x的增区间是)+∞，减区间是．（2）证明：由2m =，2()2lnx f x x =，22222211221212121(()())()()()2x f x x f x x x lnx lnx x x ⋅-⋅⋅+=-⋅+， 由于120x x >>，所以21220x x x ->．设121x t x =>， 故：2222221221122121221222122()(()())()x x x x f x x f x x x x x x lnx lnx x x -⋅-⋅⋅+>-⇔->+ 1122221222(1)2(1)2(1)(1)0(1)111()x x x t t ln lnt t lnt t x x t t x ---⇔>⇔>>⇔->>+++，令22(1)()1t t lnt t ϕ-=-+，则2222(1)(21)()(1)t t t t t t ϕ-+-'=+， 由于1t >，故2222(1)(21)()0(1)t t t t t t ϕ-+-'=>+，则22(1)()1t t lnt tϕ-=-+在(1,)+∞上单调递增， 故()t ϕϕ>（1）0=，即：所证不等式22222112212122(()())()x f x x f x x x x x x ⋅-⋅⋅+>-成立．5．（2021•浙江模拟）函数2()1f x lnx ax =-+． （1）若1a =，求函数(21)y f x =-在1x =处的切线； （2）若函数()y f x =有两个零点1x ，2x ，且12x x <， （ⅰ）求实数a 的取值范围；（ⅱ）证明：222121a a x x a -++-<．【解答】解：（1）设2()(21)(21)(21)1g x f x ln x x =-=---+，∴2()4(21)21g x x x '=---，g '∴（1）2=-，且g （1）0=， ∴切线方程：2(1)y x =--．（2）()i 函数2()1f x lnx ax =-+，∴1()2f x ax x'=-， 若0a ，则()f x '单调，至多一个零点；若0a >，则212()ax f xx -'=，()f x ∴在上是增函数，)+∞上是减函数，∴11(2)022f ln a =-+>，∴．()ii 证明：函数()y f x =有两个零点1x ，2x ，且12x x <，由极值点可得12x x +∴2222122221x x x x x x -<+<+-，只需证222211x x a a +<+，即证21x a <，即证21()()f x f a>， 即证10()f a >，即证111ln a a<-成立．6．（2021春•渝中区校级期中）已知函数()(1)x f x e a x =--． （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）设1a >，1()()(0)g x f x x x=+>，函数()g x 的唯一极小值点为0x ，点1(A x ，1())g x 和2(B x ，2())g x 是曲线()y g x =上不同两点，且12()()g x g x =，求证：2120x x x ⋅<．【解答】（1）()f x 的定义域为R ，()x f x e a '=-， 当0a 时，()0f x '>，所以()f x 在R 上单调递增； 当0a >时，由()0f x '=，得x lna =，当(,)x lna ∈-∞时，()0f x '<；当(,)x lna ∈+∞时，()0f x '>． 所以()f x 在(,)lna -∞上单调递减，在(,)lna +∞上单调递增． 综上所述，当0a 时，()f x 在R 上单调递增；当0a >时，()f x 在(,)lna -∞上单调递减，在(,)lna +∞上单调递增． （2）由题意0()0g x '=得0201x a e x =-，不妨设12x x <， 由12()()g x g x =，得12121211x x e ax a e ax a x x -++=-++， 即1212121x x e e a x x x x -=+-，且0201x a e x =-，所以12021212011x x x e e e x x x x x --=--， 要证2120x x x <0x ， 显然21()x h x e x=-在(0,)+∞上是增函数，故只需证0()h h x <，即证0212011x e x x x -<-，即证1212121211x x e e x x x x x x --<--，即证1212x x e e x x -<-，122x x +<，故只需证1212212x xx x e e e x x +-<-，即证21122221x x x x x x e e ---<-，令212(1)x x et t -=>，则212x x lnt -=，所以即证12lnt t t<-．令1()2(1)t lnt t t tϕ=-+>，则22(1)()0t t t ϕ-'=-<，所以()t ϕ在(1,)+∞上为减函数，从而()t ϕϕ<（1）0=，即有12lnt t t<-，从而2120x x x <成立．7．（2021•成都模拟）已知函数2()cos f x x ax =-，其中a R ∈，[2x π∈-，]2π． （Ⅰ）当12a =-时，求函数()f x 的值域；（Ⅱ）若函数()f x 在[2π-，]2π上恰有两个极小值点1x ，2x ，求a 的取值范围；并判断是否存在实数a ，使得221211()1()9f x x x x -=+-成立？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）当12a =-时，21()cos 2f x x x =+，则()sin f x x x '=-+，设()()g x f x ='，则()cos 10g x x '=-+在[,]22ππ-上恒成立，()g x ∴在[,]22ππ-上单调递增，又(0)0g =，∴当[,0)2x π∈-时，()0f x '<，当(0,]2x π∈时，()0f x '>， ()f x ∴在[,0)2x π∈-上单调递减，在(0,]2x π∈上单调递增，2(0)1,()()228f f f πππ=-==， ∴函数()f x 的值域为2[1,]8π；（Ⅱ）22()cos()()cos ()f x x a x x ax f x -=---=-=，()f x ∴在[,]22ππ-上为偶函数， ∴函数()f x 在[,]22ππ-上恰有两个极小值点等价于函数()f x 在(0,)2π上恰有一个极小值点， 设()()sin 2h x f x x ax ='=--，则()cos 2h x x a '=--，①当0a 时，()0h x '，则()h x 在(0,)2π上单调递减，()(0)0h x h ∴=，则()0f x '，()f x ∴在(0,)2π上单调递减，无极小值；②当12a -时，()0h x '，则()h x 在(0,)2π上单调递增，()(0)0h x h ∴=，则()0f x '，()f x ∴在(0,)2π上单调递增，无极小值；③当102a -<<时，存在0(0,)2x π∈，使得0()0h x '=，且当0(0,)x x ∈时，()0h x '<，当0(,)2x x π∈时，()0h x '>，()h x ∴在0(0,)x x ∈上单调递减，在0(,)2x x π∈上单调递增，(0)0h =，0()0h x ∴<，又()12h a π=--，()i 当10a π--，即10a π-<时，()02h π，()0f x ∴'，此时()f x 在(0,)2π上单调递减，无极小值；()ii 当10a π-->，即112a π-<<-时，()02h π>，则存在0(,)2t x π∈，使得()sin 20(*)h t t at =--=，且当(0,)x t ∈时，()0h x '<，当(,)2x t π∈时，()0h x '>，()f x ∴在(0,)t 上单调递减，在(,)2t π上单调递增，∴函数()f x 在(0,)2π上恰有一个极小值点2x t =，此时0x =是函数()f x 的极大值点，∴当函数()f x 在[,]22ππ-上恰有两个极小值点时a 的取值范围为11(,)2π--； 120x x +=，若221211()1()9f x x x x -=+-，则222224cos2419x ax x -=+，由(*)知，22sin 2x ax =-，∴2222222418419a x ax x --=+， 整理可得22(31)(61)0x a a ++=， 又2110,(,)2x a π≠∈--，∴13a =-，∴存在13a =-，使得221211()1()9f x x x x -=+-成立．8．（2021•潮州二模）已知函数()f x lnx =，2()(0)g x x ax a =->．（1）讨论函数()()()h x f x g x =+的极值点； （2）若1x ，212()x x x <是方程3()1()0g x f x x x-+=的两个不同的正实根，证明：22124x x a +>． 【解答】解：（1）2()()()(0)(0)h x f x g x lnx x ax x a =+=+->>，2121()2x ax h x x a x x-+'=+-=， 令2210x ax -+=，△28a =-，当022a <时，△0，()0h x '，无极值点，当a >时，令2210x ax -+=，解得：x =当x ∈，，)+∞时，()0h x '>，()h x 递增，x ∈时，()0h x '<，()h x 递减，故()h x综上：022a <时，()h x 无极值点，a >时，()h x（2）由233()11()0g x x ax f x lnx x x x x --+=-+=，即20alnx x +=，令2()(0,0)ak x lnx x a x=+>>， 233122()a x ak x x x x -'=-=，令()0k x '=，得x =，当0x <()0k x '<，当x >()0k x '>，()k x ∴在递减，在)+∞上递增，又()k x 有2个零点，0k ∴<，即02a a <，解得：102a e<<，且12122200a lnx x a lnx x ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得：212212a a lnx lnx x x -=-， 设21(1)x t t x =>，22211a a lnt x t x ∴=-， ∴2121(1)a x lnt t=-，要证明22124x x a +>， 即证明221(1)4t x a +>，221(1)(1)4a t a lnt t +->， 22211(1)(1)2t lnt t ∴+->， 即证明222120(1)lnt t t t -+<>， 令1()2(1)q x lnx x x x=-+>， 22(1)()0x q x x -'=-<， ()q x ∴在(1,)+∞上单调递减， ()q x q ∴<（1）0=， 120lnx x x∴-+<即22124x x a +>． 9．（2021•攀枝花模拟）已知函数()(,)bf x lnx a a R b R x =+-∈∈有最小值M ，且0M ．（Ⅰ）求11a e b --+的最大值； （Ⅱ）当11a e b --+取得最大值时，设F （b ）1()a m m R b -=-∈，()F x 有两个零点为1x ，212()x x x <，证明：2312x x e ⋅>．【解答】解：（Ⅰ）有题意221()(0)b x b f x x x x x -'=-=>， 当0b 时，()0f x '，()f x 在(0,)+∞上单增，此时显然不成立， 当0b >时，令()0f x '=，得x b =， 此时()f x 在(0,)b 上单减，在(,)b +∞上单增，M f ∴=（b ）10lnb a =+-，即1lnb a -，所以1a b e -，10a e b --． 所以11a e b --+的最大值为1． （Ⅱ）证明：当11a e b --+取得最大值时，1a lnb -=，1()a lnb F b m m b b-=-=-，()F x 的两个零点为1x ，2x ，则12120;0lnx lnx m m x x -=-=，即11lnx mx =，22lnx mx =， 不等式2312x x e ⋅>恒成立等价于12121222(2)3lnx lnx mx mx m x x +=+=+>， 两式相减得11212212()x lnx x ln m x x m x x x =-⇒=-， 带入上式得11211221211221223(1)3()(2)322x x lnx x x x x x x ln x x x x x x x --+⋅>⇔<=-++， 令12(01)x t t x =<<，则3(1)(),(01)2t g t lnt t t -=-<<+，2(1)(4)()0(2)t t g t t t --'=>+， 所以函数()g t 在(0,1)上单调递增，()g t g ∴<（1）0=，得证．。
数学公式知识：函数图像的性质与特点
数学公式知识：函数图像的性质与特点函数图像是数学中比较重要的一个概念，它具有多种性质和特点。
在本文中，我们将重点论述函数图像的性质与特点。
一、函数图像的定义和基本形态函数是一个规定了自变量与因变量之间关系的集合。
当自变量取遍不同的值时，函数的值也会随之变化。
函数的图像就是由函数的自变量和因变量构成的点的集合，每个点的坐标是(x,y)，其中x表示自变量的值，y表示函数的值。
函数图像的基本形态包括以下几种：1.直线函数图像：直线函数的图像是一条直线，表现出自变量和因变量之间的线性关系。
2.二次函数图像：二次函数的图像是一个开口向上或开口向下的抛物线，表现出自变量和因变量之间的二次关系。
3.反比例函数图像：反比例函数的图像是一个双曲线，表现出自变量和因变量之间的反比例关系。
4.正弦函数图像：正弦函数的图像是一条波浪线，表现出自变量和因变量之间的正弦函数关系。
二、函数图像的性质函数图像具有多种性质，这些性质不仅能够帮助我们更好地理解函数图像，还能够帮助我们解决一些函数相关的问题。
以下是函数图像的一些常见性质：1.奇偶性：如果一个函数图像在x轴上的任意一点(x,f(x))处满足f(-x)=f(x)，那么该函数就是偶函数；如果函数图像在x轴上的任意一点(x,f(x))处满足f(-x)=-f(x)，那么该函数就是奇函数。
2.周期性：如果函数图像在x=a处存在一个正数T，使得f(a+x)=f(a+x+T)，那么该函数就是具有周期性的。
3.对称性：函数图像可以具有多种对称性，其中最常见的有x轴对称和y轴对称。
4.单调性：如果函数图像随着自变量的增加而单调递增或递减，那么该函数就是具有单调性的。
5.渐近线：函数图像可能会逐渐接近某个数值或者一条直线，我们称其为渐近线。
6.极值点：函数图像可能会在某些点处取得最大值或最小值，我们称其为极值点。
三、函数图像的特点除了上述常见的函数图像性质外，函数图像还有很多独特的特点。
第05讲函数图象及数字特征doc高中数学
第05讲函数图象及数字特征doc 高中数学 高三新数学第一轮复习教案〔讲座5〕—函数图象及数字特点一．课标要求：1．把握差不多初等函数的图象的画法及性质。
如正比例函数、反比例函数、一元一次函数、一元二次函数、指数函数、对数函数、幂函数等；2．把握各种图象变换规那么，如：平移变换、对称变换、翻折变换、伸缩变换等；3．识图与作图：关于给定的函数图象，能从图象的左右、上下分布范畴，变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性。
甚至是处理涉及函数图象与性质一些综合性咨询题；4．通过实例，了解幂函数的概念；结合函数21132,,,,x y x y x y x y x y =====-的图像，了解它们的变化情形。
二．命题走向函数不仅是高中数学的核心内容，依旧学习高等数学的基础，因此在高考中，函数知识占有极其重要的地位。
其试题不但形式多样，而且突出考查学生联系与转化、分类与讨论、数与形结合等重要的数学思想、能力。
知识覆盖面广、综合性强、思维力度大、能力要求高，是高考考数学思想、数学方法、考能力、考素养的主阵地。
从历年高考形势来看：〔1〕与函数图象有关的试题，要从图中〔或列表中〕读取各种信息，注意利用平移变换、伸缩变换、对称变换，注意函数的对称性、函数值的变化趋势，培养运用数形结合思想来解题的能力，会利用函数图象，进一步研究函数的性质，解决方程、不等式中的咨询题；〔2〕函数综合咨询题多以知识交汇题为主，甚至以抽象函数为原型来考察； 〔3〕与幂函数有关的咨询题要紧以21132,,,,x y x y x y x y x y =====-为主，利用它们的图象及性质解决实际咨询题；推测07年高考函数图象：〔1〕题型为1到2个填空选择题；〔2〕题目多从由解析式得函数图象、数形结合解决咨询题等方面出题；函数综合咨询题：〔1〕题型为1个大题；〔2〕题目多以知识交汇题目为主，重在考察函数的工具作用；幂函数：单独出题的可能性专门小，但一些具体咨询题甚至是一些大题的小过程要应用其性质来解决； 三．要点精讲1．函数图象〔1〕作图方法：以解析式表示的函数作图象的方法有两种，即列表描点法和图象变换法，把握这两种方法是本讲座的重点。
函数的图像与性质课件
函数的图像与性质课件函数是数学中一个非常重要且广泛应用的概念。
它将输入值映射到输出值，可以用图像来直观地表示函数的性质。
本课件将介绍函数的图像与性质，帮助读者更好地理解和应用函数。
一、函数的定义与图像表示函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的每个元素都对应到另一个集合中的唯一元素上。
数学上常用的表示函数的方式有函数符号法、图像法和映射关系法。
其中，图像法是最直观且常用的一种方式。
图像法通过将函数的输入值和输出值表示在坐标系中，从而形成一个函数的图像。
在直角坐标系中，横轴表示输入值，纵轴表示输出值，将函数的所有点连接起来，就得到了函数的图像。
函数图像可以帮助我们观察函数的性质，如增减性、奇偶性等。
二、常见函数的图像与性质1. 线性函数线性函数是函数中最简单且最重要的一类函数。
它的图像呈现为一条直线，表达式为y=ax+b，其中a和b是常数。
线性函数的特点是斜率恒定，图像可以通过斜率和截距来确定。
2. 幂函数幂函数是一类以自变量为底数的函数，常见的有平方函数、立方函数等。
幂函数的图像呈现为一条曲线，其形状受幂指数的正负和大小的影响。
根据幂指数的奇偶性，可以确定幂函数的对称性。
3. 指数函数指数函数是以指数为变量的函数，常见的有以e为底的自然指数函数。
指数函数的特点是增长速度快，图像在原点处必过(0,1)，具有递增性质。
4. 对数函数对数函数是指以某个正常数为底数的函数，常见的有自然对数函数。
对数函数的图像在正半轴递增，并且在(1,0)处必过，具有递增性质。
5. 三角函数三角函数是以角度或弧度为自变量的函数，常见的有正弦函数、余弦函数等。
三角函数的图像周期性重复出现，并且具有交替性。
三、函数图像的应用函数图像不仅能够直观地展示函数的性质，还有很多实际应用。
以下是一些常见的应用领域：1. 物理学中的运动轨迹函数图像可以用于描述物体在不同时间的位置变化情况，常见的有抛物线轨迹、圆周运动等。
2. 经济学中的供需关系函数图像可以用于表示市场的供给和需求关系，帮助分析市场的平衡点和价格变化。
函数的图像特征
函数图像的参 数影响
参数对函数图像形状的影响
斜率：斜率越大， 函数图像越陡峭
截距：截距越大， 函数图像越远离 原点
正负号：正负号 决定函数图像的 上升或下降趋势
幂指数：幂指数 越大，函数图像
越接近原点
常数项：常数项 影响函数图像的
起始位置
导数：导数决定 函数图像的凹凸
性
参数对函数图像位置的影响
翻转变换
翻转变换的定义：将 函数图像沿x轴或y轴 进行翻转
翻转变换的类型：包 括x轴翻转、y轴翻转 和原点翻转
翻转变换的应用：在 解决实际问题中，如 物理、工程等领域， 经常需要对函数图像 进行翻转变换
翻转变换的性质：翻 转变换不改变函数的 单调性、奇偶性、周 期性等性质
函数图像的对称性
轴对称：函数图像关于x轴、y轴或原点对称 旋转对称：函数图像关于某一点旋转一定角度后与原图像重合 反射对称：函数图像关于某一点或直线反射后与原图像重合 平移对称：函数图像关于某一点或直线平移一定距离后与原图像重合
圆函数：y=f(x)=x^2
开口方向：向上
形状：对称的抛物线
渐近线：y=x和y=-x
顶点：(0,0)
极值：(0,0)是最大值和最小值
函数图像的坐 标轴关系
截距
截距的定义：函数图像与x轴或y轴的交点 截距的作用：确定函数图像的位置和形状 截距的计算：通过函数解析式求解 截距的应用：解决实际问题，如物理、工程等领域
双曲线函数：y=a/x^2，其中a>0
形状：开口向上或向下，取决于a的 正负
顶点：(0,a)或(0,-a)，取决于a的正 负
渐近线：y=x和y=-x，与x轴相交于 (0,a)和(0,-a)
焦点：(0,±a/2)，取决于a的正负
函数图像ppt课件
03
描点法
根据函数表达式，在坐标 系中逐个描出对应的点(x, y)，然后用平滑的曲线将 这些点连接起来。
计算法
利用数学软件或计算器， 输入函数表达式，自动生 成函数图像。
表格法
根据函数表达式和已知数 据，制作表格，然后在坐 标系中根据表格数据绘制 出函数图像。
函数图像的观察与分析
观察图像形状
通过观察函数的图像，可以初 步判断函数的类型（如一次函 数、二次函数、三角函数等）
REPORT
CATALOG
DATE
ANALYSIS
SUMMAR Y
06
复合函数的图像
复合函数的定义与性质
总结词
理解复合函数的定义与性质是绘制和分 析其图像的基础。
VS
详细描述
复合函数是由两个或多个函数的组合而成 的函数。它具有一些特殊的性质，如复合 函数的导数、极限等。了解这些性质有助 于更好地绘制和分析复合函数的图像。
REPORT
CATALOG
DATE
ANALYSIS
SUMMAR Y
03
二次函数的图像
二次函数的定义与性质
总结词
二次函数的定义、性质和 表达式
二次函数的定义
二次函数是指形式为 y=ax^2+bx+c（其中a、 b、c为常数，且a≠0）的 函数。
二次函数的性质
二次函数具有开口方向、 顶点、对称轴等性质，这 些性质决定了函数图像的 形状和位置。
复合函数图像的绘制
总结词
掌握绘制复合函数图像的方法是理解其性质 和应用的必要手段。
详细描述
绘制复合函数图像需要使用数学软件或绘图 工具，如Matlab、GeoGebra等。在绘制 过程中，需要注意函数的定义域、值域以及 函数的单调性、奇偶性等性质。
函数的基本性质ppt课件
1
即函数f（x）＝x＋ 为奇函数．
函数的基本性质
例1 判断下列函数的奇偶性：
（3）f（x）＝0；
（2）f（x）＝ ；
解：（1）函数f（x）的定义域为R．
∀x∈R，都有－x∈R，且f（－x）＝0＝-f(x)＝f（x），
函数f（x）既是奇函数，又是偶函数．
1
（2）函数f（x）＝x＋ 的定义域I为[0，＋∞）．
(1)若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则f(x)在区间
[a，b]上的最小(大)值是f(a)，最大(小)值是f(b)．
(2)若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，在区间[b，c]
上是减(增)函数，则f(x)在区间[a，c]上的最大(小)值是f(b)，
最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个．
当 > 0时,(1 ) − (2 )<0，即(1 ) < (2 )
所以函数() = + 在R上单调递增，即函数() = + 是增函数。
当 < 0时,(1 ) − (2 )>0，即(1 ) > (2 )
所以函数() = + 在R上单调递减，即函数() = + 是减函数。
1
（2）f（x）＝x＋
；
解：（1）函数f（x）＝x4的定义域为R．
∀x∈R，都有－x∈R，且f（－x）＝（－x）4＝x4＝f（x），
函数f（x）＝x4为偶函数．
1
（2）函数f（x）＝x＋ 的定义域I为（－∞，0）∪（0，＋∞）．
1
1
∀x∈I，都有－x∈I，且f（－x）＝－x＋ ＝－（x＋ ）＝－f（x），
函数及其图象函数的图像函数的图象
直角坐标系中的函数图像可以转化为极坐标系中的表示，反之亦然 。
极坐标方程
用极坐标形式表示的函数方程，包括极径和极角的函数。
04
复杂函数的图像与性质
对数函数的图像与性质
值域
全体实数
奇偶性
非奇非偶函数
定义域
实数集，除0和负数外
单调性
在区间(0, +∞)上单调递增
图像
在第一象限和第三象限内单调 递增，与y轴交于点(0,0)，与x 轴无限接近但不相交
单调性的判断
判断函数单调性的方法包括观察图 像、利用导数等。导数大于0意味着 函数递增，导数小于0意味着函数递 减。
函数的奇偶性
奇函数
如果函数满足f(-x)=-f(x)，则称该函数为奇函数。奇函数在原点对称，即 f(0)=0。
偶函数
如果函数满足f(-x)=f(x)，则称该函数为偶函数。偶函数在y轴对称，即f(0)=0。
一般形式为r = f(θ)，其中f是描述r和θ之间 关系的函数
极坐标函数的性质
可以通过函数的单调性、奇偶性、周期性等 性质进行分析
05
函数的应用与实例
函数在数学建模中的应用
01
02
03
描述变量间的关系
函数可以描述两个或多个 变量之间的关系，将实际 问题转化为数学模型。
预测模型
通过已知自变量与因变量 的函数关系，可以预测未 来的结果。
解决优化问题
例如在资源分配、最大利 润等问题中，函数可以帮 助我们找到最优解。
函数在实际问题中的应用实例
经济模型
函数可以用来描述经济增 长、物价变动等经济现象 。
物理学
在描述运动、能量转换等 物理现象时，函数是必不 可少的工具。
函数的图象与数字特征.参考教案.教师版 普通高中数学复习讲义Word版
（1）作图方法：以解析式表示的函数作图象的方法有两种，即列表描点法和图象变换法，掌握这两种方法是本讲座的重点。
作函数图象的步骤：①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；③讨论函数的性质即单调性、奇偶性、周期性、最值（甚至变化趋势）；④描点连线，画出函数的图象。
运用描点法作图象应避免描点前的盲目性，也应避免盲目地连点成线要把表列在关键处，要把线连在恰当处这就要求对所要画图象的存在范围、大致特征、变化趋势等作一个大概的研究。
而这个研究要借助于函数性质、方程、不等式等理论和手段，是一个难点用图象变换法作函数图象要确定以哪一种函数的图象为基础进行变换，以及确定怎样的变换，这也是个难点。
（2）三种图象变换：平移变换、对称变换和伸缩变换等等；①平移变换：Ⅰ、水平平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向左(0)a >或向右(0)a <平移||a 个单位即可得到；1）y =f (x )h左移→y =f (x +h)；2）y =f (x ) h右移→y =f (x -h)；Ⅱ、竖直平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向上(0)a >或向下(0)a <平移||a 个单位即可得到；1）y =f (x ) h 上移→y =f (x )+h ；2）y =f (x ) h下移→y =f (x )-h 。
②对称变换：Ⅰ、函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于y 轴对称即可得到；y =f (x ) 轴y →y =f (-x )Ⅱ、函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于x 轴对称即可得到；y =f (x ) 轴x →y = -f (x )知识内容函数的图像与性质Ⅲ、函数()y f x =--的图像可以将函数()y f x =的图像关于原点对称即可得到；y =f (x ) 原点→y = -f (-x )Ⅳ、函数)(y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像关于直线y x =对称得到。
高中数学-函数图像详解
高中数学-函数图像详解基本初等函数的图像1. 一次函数性质：一次函数图像是直线，当k>0时，函数单调递增；当k<0时，函数单调递减2. 二次函数性质：二次函数图像是抛物线，a决定函数图像的开口方向，判别式b^2-4ac 决定了函数图像与x轴的交点，对称轴两边函数的单调性不同。
3. 反比例函数性质：反比例函数图像是双曲线，当k>0时，图像经过一、三象限；当k<0时，图像经过二、四象限。
要注意表述函数单调性时，不能说在定义域上单调，而应该说在（-∞，0），（0，∞）上单调。
4.指数函数当0<a<b<1<c<d时，指数函数的图像如下图< span>不同底的指数函数图像在同一个坐标系中时，一般可以做直线x=1，与各函数的交点，根据交点纵坐标的大小，即可比较底数的大小。
5.对数函数当底数不同时，对数函数的图像是这样变换的6. 幂函数y=x^a性质：先看第一象限，即x>0时，当a>1时，函数越增越快；当0<a<1时，函数越增越慢；当a<0时，函数单调递减；然后当x<0时，根据函数的定义域与奇偶性判断函数图像即可。
< span>7. 对勾函数对于函数y=x+k/x，当k>0时，才是对勾函数，可以利用均值定理找到函数的最值。
函数图形的变换注意：对于函数图像的变换，有的时候，看到解析式，可能会有两种以上的变换，尤其是针对x轴上的，那么此时，一定要根据上面的规则，判断好顺序，否则顺序错了，可能就没办法经过变换得到了！例如：画出函数y=ln|2-x|的图像通过研究这个函数解析式，我们知道此函数是由基本初等函数y=lnx通过变换而来，那么这个函数经过了几步变换呢？变换的顺序又是如何？下面我们一起来看一看。
通过解析式x上附加的东西，我们会发现，会有对称变换，x前面加了负号，还有翻折变换，x上面还有绝对值，还有平移变换，前面加了一个2，既然有3种变换，那么顺序如何呢？牢记住一点：针对x轴上的变换，那就一定要看x这个符号有啥变化。
(完整版)高中各种函数图像画法与函数性质
a>1时，在定义域内单调递增；0<a<1时，在定义域内单 调递减。
06
值域为(0, +∞)。
对数函数图像及性质
对数函数定义：形如y=log_a(x)(a>0且a≠1)的函数称 为对数函数。
对数函数性质
对数函数图像：当a>1时，图像在x轴上方，且随着x的 增大，y值无限增大；当0<a<1时，图像在x轴上方， 且随着x的增大，y值无限减小。
正弦函数、余弦函数图像及性质
图像特点
正弦函数$y = sin x$和余弦函数$y = cos x$的图像都是周期性的波浪形曲线，振幅为1，周期为$2pi$。正弦函 数图像关于原点对称，余弦函数图像关于$y$轴对称。
性质
正弦函数和余弦函数都是周期函数，具有周期性、奇偶性和有界性等性质。其中，正弦函数是奇函数，余弦函数 是偶函数。
变量x与y之间通过变量u形成的一种函数关系，这种函数称为复合函数。
运算规则
复合函数的运算遵循“由内到外”的原则，即先求出内层函数的值，再代入外层函数中 计算。
复合函数图像变换规律
平移变换
若f(x)的图像向左（右）平移a个单位得到g(x)的图像，则g(x)=f(x+a)（a>0向左，a<0向 右）。
奇偶性
设函数y = f（x）的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有x∈D，且f(-x)=f(x)，则这个函数叫做奇函数；如果对D内的任意一个x，都有x∈D，且f(-x)=f(x) ，则这个函数叫做偶函数。
函数周期性
周期函数的定义
对于函数y = f（x），如果存在一个不为零的常数T，使得当 x取定义域内的每一个值时，f（x + T） = f（x）都成立，那 么就把函数y = f（x）叫做周期函数，不为零的常数T叫做这 个函数的周期。
高三数学一轮复习必备精品5：函数的图像及数字特征【高三数学一轮复习必备精品共42讲全部免费欢迎下载
高三数学一轮复习必备精品5：函数的图像及数字特征【高三数学一轮复习必备精品共42讲全部免费欢迎下载-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN第5讲 函数图象及数字特征备注：【高三数学一轮复习必备精品共42讲 全部免费 欢迎下载】一．【课标要求】1．掌握基本初等函数的图象的画法及性质。
如正比例函数、反比例函数、一元一次函数、一元二次函数、指数函数、对数函数、幂函数等；2．掌握各种图象变换规则，如：平移变换、对称变换、翻折变换、伸缩变换等；3．识图与作图：对于给定的函数图象，能从图象的左右、上下分布范围，变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性。
甚至是处理涉及函数图象与性质一些综合性问题；4．通过实例，了解幂函数的概念；结合函数21132,,,,x y x y x y x y x y =====-的图像，了解它们的变化情况。
二．【命题走向】函数不仅是高中数学的核心内容，还是学习高等数学的基础，所以在高考中，函数知识占有极其重要的地位。
其试题不但形式多样，而且突出考查学生联系与转化、分类与讨论、数与形结合等重要的数学思想、能力。
知识覆盖面广、综合性强、思维力度大、能力要求高，是高考考数学思想、数学方法、考能力、考素质的主阵地从历年高考形势来看：（1）与函数图象有关的试题，要从图中（或列表中）读取各种信息，注意利用平移变换、伸缩变换、对称变换，注意函数的对称性、函数值的变化趋势，培养运用数形结合思想来解题的能力，会利用函数图象，进一步研究函数的性质，解决方程、不等式中的问题；（2）函数综合问题多以知识交汇题为主，甚至以抽象函数为原型来考察；（3）与幂函数有关的问题主要以21132,,,,x y x y x y x y x y =====-为主，利用它们的图象及性质解决实际问题；预测2010年高考函数图象：（1）题型为1到2个填空选择题；（2）题目多从由解析式得函数图象、数形结合解决问题等方面出题；函数综合问题：（1）题型为1个大题；（2）题目多以知识交汇题目为主，重在考察函数的工具作用；幂函数：单独出题的可能性很小，但一些具体问题甚至是一些大题的小过程要应用其性质来解决； 三．【要点精讲】 1．函数图象（1）作图方法：以解析式表示的函数作图象的方法有两种，即列表描点法和图象变换法，掌握这两种方法是本讲座的重点。
函数及其图像(课堂PPT)
集合：A，B，C…表示；元素：a，b，c…表示
函数与极限
4
2.实数与数轴
实数R有理数Q分 整数 数(Z12负非, 整 负86 ,数 整)（ 数（1,自2然,数集nN,：0）,1，2， )
f
(
x
3)
1 2
0 x31 1 x32
1 2
3 x 2 2 x 1
故定义域是[-3, -1].
函数与极限
28
例3 脉冲发生器产生一个单三角脉冲,其波形如图
所示,写出电压U与时间t(t 0)的函数关系式.
解 当 t [0, ]时, 2
U
E
t
2E t;
2 当 t ( , ]时,
2. 函数中根式,要求负数不能开偶次方
3. 函数中有对数式,要求真数必须大于零
4. 函数中有对数式和反三角函数式,要求符合它们定义域
5. 若函数式是上述各式的混合式,则应取各部分定义域
的交集
函数与极限
20
例1 求下列函数的定义域
(1()1(y)1y)y44411x1x22x2 xxx222; ;
((22()2)y)yylglgxlxg11;x; 1 ; x x22x 2
2
U
( , E)
2
E
o
(,0) t
2
单三角脉冲信号的电压
U 0
(t )
E
0
2
即U 2E (t )
函数与极限
29
当 t (,) 时, U 0.
U
( , E)
2
高三数学第一轮复习单元讲座第05讲 函数图象及数字特征
高三新数学第一轮复习第五讲 函数图象及数字特征一．知识整合1．函数图象 （1）作图方法：以解析式表示的函数作图象的方法有两种，即列表描点法和图象变换法，掌握这两种方法是本讲座的重点。
作函数图象的步骤：①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；③讨论函数的性质即单调性、奇偶性、周期性、最值（甚至变化趋势）；④描点连线，画出函数的图象。
运用描点法作图象应避免描点前的盲目性，也应避免盲目地连点成线要把表列在关键处，要把线连在恰当处这就要求对所要画图象的存在范围、大致特征、变化趋势等作一个大概的研究。
而这个研究要借助于函数性质、方程、不等式等理论和手段，是一个难点用图象变换法作函数图象要确定以哪一种函数的图象为基础进行变换，以及确定怎样的变换，这也是个难点。
（2）三种图象变换：平移变换、对称变换和伸缩变换等等；①平移变换：Ⅰ、水平平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向左(0)a >或向右(0)a <平移||a 个单位即可得到；1）y =f (x )h 左移→y =f (x +h)；2）y =f (x ) h右移→y =f (x -h)；Ⅱ、竖直平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向上(0)a >或向下(0)a <平移||a 个单位即可得到；1）y =f (x ) h 上移→y =f (x )+h ；2）y =f (x ) h下移→y =f (x )-h 。
②对称变换：Ⅰ、函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于y 轴对称即可得到；y =f (x ) 轴y →y =f (-x )Ⅱ、函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于x 轴对称即可得到；y =f (x ) 轴x →y = -f (x )Ⅲ、函数()y f x =--的图像可以将函数()y f x =的图像关于原点对称即可得到；y =f (x ) 原点→y = -f (-x )Ⅳ、函数)(y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像关于直线y x =对称得到。
函数及其图象函数的图像函数的图象
在数据处理和分析中，通过绘制图像将数据呈现出来，帮助我 们更好地理解和分析数据。
04
函数的图象及其应用
图象的几何意义
点的坐标
函数图象上的每一个点都代表 一个坐标点，横坐标为自变量
，纵坐标为因变量。
曲线的形状
函数图象的形状可以反映函数 的性质，例如单调性、极值等
。
曲线的交点
函数图象的交点代表了两个函 数在某一点的值相等。
图象的物理意义
01
02
03
波动现象
函数图象可以描述波动现 象，例如振动、波动传播 等。
运动轨迹
函数图象可以描述物体的 运动轨迹，例如平动、转 动等。
图像处理
函数图象可以用于图像处 理中的滤波、变换等操作 。
图象在各领域的应用
数学领域
函数图象在数学领域中有着广泛的 应用，例如解方程、求最值、证明 定理等。
物理领域
函数图象可以描述物理现象和规律 ，例如力学、电磁学、光学等。
工程领域
函数图象可以用于工程设计、优化 和控制系统分析等。
社会科学领域
函数图象可以用于描述社会现象和 规律，例如人口统计、经济分析、 心理测试等。
THANKS
《函数及其图象函数的图像函数的 图象》
xx年xx月xx日
目 录
• 函数的概念 • 函数的图像 • 函数的图像表示 • 函数的图象及其应用
01
函数的概念
函数的定义
函数的定义
函数是数学上的一种概念，它表示一个变量和另一个变量之间的关系。这种关系 可以用一个公式或一个表格来表示。在一个函数中，被表示的变量被称为因变量 ，而决定因变量的变量被称为自变量。
函数的图像
图像的绘制
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普通高中课程标准实验教科书—数学 [人教版]高三新数学第一轮复习教案（讲座5）—函数图象及数字特征一．课标要求：1．掌握基本初等函数的图象的画法及性质。
如正比例函数、反比例函数、一元一次函数、一元二次函数、指数函数、对数函数、幂函数等；2．掌握各种图象变换规则，如：平移变换、对称变换、翻折变换、伸缩变换等；3．识图与作图：对于给定的函数图象，能从图象的左右、上下分布范围，变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性。
甚至是处理涉及函数图象与性质一些综合性问题；4．通过实例，了解幂函数的概念；结合函数21132,,,,x y x y x y x y x y =====-的图像，了解它们的变化情况。
二．命题走向函数不仅是高中数学的核心内容，还是学习高等数学的基础，所以在高考中，函数知识占有极其重要的地位。
其试题不但形式多样，而且突出考查学生联系与转化、分类与讨论、数与形结合等重要的数学思想、能力。
知识覆盖面广、综合性强、思维力度大、能力要求高，是高考考数学思想、数学方法、考能力、考素质的主阵地。
从历年高考形势来看：（1）与函数图象有关的试题，要从图中（或列表中）读取各种信息，注意利用平移变换、伸缩变换、对称变换，注意函数的对称性、函数值的变化趋势，培养运用数形结合思想来解题的能力，会利用函数图象，进一步研究函数的性质，解决方程、不等式中的问题；（2）函数综合问题多以知识交汇题为主，甚至以抽象函数为原型来考察；（3）与幂函数有关的问题主要以21132,,,,x y x y x y x y x y =====-为主，利用它们的图象及性质解决实际问题；预测07年高考函数图象：（1）题型为1到2个填空选择题；（2）题目多从由解析式得函数图象、数形结合解决问题等方面出题；函数综合问题：（1）题型为1个大题；（2）题目多以知识交汇题目为主，重在考察函数的工具作用；幂函数：单独出题的可能性很小，但一些具体问题甚至是一些大题的小过程要应用其性质来解决； 三．要点精讲1．函数图象（1）作图方法：以解析式表示的函数作图象的方法有两种，即列表描点法和图象变换法，掌握这两种方法是本讲座的重点。
作函数图象的步骤：①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；③讨论函数的性质即单调性、奇偶性、周期性、最值（甚至变化趋势）；④描点连线，画出函数的图象。
运用描点法作图象应避免描点前的盲目性，也应避免盲目地连点成线要把表列在关键处，要把线连在恰当处这就要求对所要画图象的存在范围、大致特征、变化趋势等作一个大概的研究。
而这个研究要借助于函数性质、方程、不等式等理论和手段，是一个难点用图象变换法作函数图象要确定以哪一种函数的图象为基础进行变换，以及确定怎样的变换，这也是个难点。
（2）三种图象变换：平移变换、对称变换和伸缩变换等等；①平移变换：Ⅰ、水平平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向左(0)a >或向右(0)a <平移||a 个单位即可得到；1）y =f (x )h 左移→y =f (x +h)；2）y =f (x ) h 右移→y =f (x -h)；Ⅱ、竖直平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向上(0)a >或向下(0)a <平移||a 个单位即可得到；1）y =f (x ) h 上移→y =f (x )+h ；2）y =f (x ) h下移→y =f (x )-h 。
②对称变换：Ⅰ、函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于y 轴对称即可得到；y =f (x ) 轴y →y =f (-x )Ⅱ、函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于x 轴对称即可得到；y =f (x ) 轴x →y = -f (x )Ⅲ、函数()y f x =--的图像可以将函数()y f x =的图像关于原点对称即可得到；y =f (x ) 原点→y = -f (-x )Ⅳ、函数)(y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像关于直线y x =对称得到。
y =f (x ) x y =→直线x =f (y )Ⅴ、函数)2(x a f y -=的图像可以将函数()y f x =的图像关于直线a x =对称即可得到；y =f (x ) ax =→直线y =f (2a -x )。
③翻折变换：Ⅰ、函数|()|y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像的x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴上方，去掉原x 轴下方部分，并保留()y f x =的x 轴上方部分即可得到；Ⅱ、函数(||)y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像右边沿y 轴翻折到y 轴左边替代原y 轴左边部分并保留()y f x =在y 轴右边部分即可得到④伸缩变换：Ⅰ、函数()y af x =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长(1)a >或压缩（01a <<）为原来的a 倍得到；y =f (x )a y ⨯→y =af (x )Ⅱ、函数()y f ax =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点纵坐标不变横坐标伸长(1)a >或压缩（01a <<）为原来的1a 倍得到。
f (x )y =f (x )a x ⨯→y =f (ax )（3）识图：分布范围、变化趋势、对称性、周期性等等方面。
2．幂函数y x =≠αα(,)01在第一象限的图象，可分为如图中的三类：图 在考查学生对幂函数性的掌握和运用函数的性质解决问题时，所涉及的幂函数y x =α中α限于在集合---⎧⎨⎩⎫⎬⎭21121312123，，，，，，，中取值。
幂函数有如下性质：⑴它的图象都过（1，1）点，都不过第四象限，且除原点外与坐标轴都不相交； ⑵定义域为R 或（，）（，）-∞+∞00 的幂函数都具有奇偶性，定义域为[]R ++∞或，0的幂函数都不具有奇偶性；⑶幂函数y x =≠αα()0都是无界函数；在第一象限中，当α<0时为减函数，当α>0时为增函数；⑷任意两个幂函数的图象至少有一个公共点（1，1），至多有三个公共点；四．典例解析题型1：作图例1．（06重庆 理）如图所示，单位圆中弧AB 的长为x ,f (x )表示弧AB 与弦AB 所围成的弓形面积的２倍，则函数y =f (x )的图象是（ ）A B C D解析：显然当2π=x 时，阴影部分的面积等于41圆的面积减去以圆的半径为腰的等腰直角三角形的面积，222)214(2)2(ππππ<-=-=f ，即点)22,2(-ππ在直线x y =的下方，故应在C 、D 中选择。
而当当2π=x 时，阴影部分的面积等于41圆的面积加上以圆的半径为腰的等腰直角三角形的面积，23223)22(2)23(πππππ>+=--=f ，即点)223,23(+ππ在直线x y =的上方，故应选择D 。
点评：该题属于实际应用的题目，结合函数值变化的趋势和一些特殊点函数值解决问题即可。
要明确函数图像与函数自变量、变量值的对应关系，特别是函数单调性与函数图象个关系；例2．（1996上海，文、理8）在下列图象中，二次函数y =ax 2+bx 与指数函数y =（a b ）x 的图象只可能是（ ）解析一：由指数函数图象可以看出0<ab <1。
抛物线方程是y =a （x +a b 2）2－224a b ，其顶点坐标为（－a b 2，－a b 42），又由0<a b <1，可得－21<－a b 2<0.观察选择支，可选A 。
解析二：求y =ax 2+bx 与x 轴的交点，令ax 2+bx =0，解得x =0或x =－a b ，而－1<－a b <0。
故选A 。
点评：本题主要考查二次函数、指数函数的图象及性质，源于课本，考查基本知识，难度不大。
本题虽小，但一定要细致观察图象，注意细微之处，获得解题灵感。
题型2：识图例3．（06江西 12）某地一年内的气温()Q t (单位：℃)与时间t (月份)之间的关系如图所示，已知该年的平均气温为10℃，令()C t 表示时间段[]0,t 的平均气温，()C t 与t 之间的函数关系用下图表示，则正确的应该是（ ）解析：平均气温10℃与函数图像有两个交点，观察图像可知两交点的两侧都低于平均气温， 而中间高于平均气温。
时间段内的平均气温，应该从开始持续到平均气温左交点向右一段距离才开始达到平均气温，持续上升一段时间，最后回落到平均气温。
答案A 。
点评：联系生活，体会变量间的相互关系，重视观察图像的变化趋势，结合导数的知识处理实际问题。
例4．（2002上海文，理16）一般地，家庭用电量（千瓦时）与气温（℃）有一定的关系，如图2—1所示，图（1）表示某年12个月中每月的平均气温.图（2）表示某家庭在这年12个月中每个月的用电量.根据这些信息，以下关于该家庭用电量与其气温间关系的叙述中，正确的是（ ）图A ．气温最高时，用电量最多B ．气温最低时，用电量最少C ．当气温大于某一值时，用电量随气温增高而增加D ．当气温小于某一值时，用电量随气温渐低而增加解析：经比较可发现，2月份用电量最多，而2月份气温明显不是最高。
因此A 项错误。
同理可判断出B 项错误。
由5、6、7三个月的气温和用电量可得出C 项正确。
点评：该题考查对图表表达的函数的识别和理解能力，要从题目解说入手，结合图像和实际解决问题。
题型3：函数的图象变换例5．（2002全国理，10）函数y =1－11-x 的图象是（ ）解析一：该题考查对f （x ）=x 1图象以及对坐标平移公式的理解，将函数y =x1的图形变形到y =11-x ，即向右平移一个单位，再变形到y =－11-x 即将前面图形沿x 轴翻转，再变形到y =－11-x +1，从而得到答案B 。
解析二：可利用特殊值法，取x =0，此时y =1，取x =2，此时y =0。
因此选B 。
点评：借助函数图像的变换规则解决实际问题。
例6．（05广东理 9）在同一平面直角坐标系中，函数)(x f y =和)(x g y =的图象关于直线x y =对称。
现将)(x g y =的图象沿x 轴向左平移2个单位，再沿y 轴向上平移1个单位，所得的图象是由两条线段组成的折线（如图2所示），则函数)(x f 的表达式为（ ）A ．⎪⎩⎪⎨⎧≤<+≤≤-+=20,2201,22)(x x x x x f B ．⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤--=20,2201,22)(x x x x x fC ．⎪⎩⎪⎨⎧≤<+≤≤-=42,1221,22)(x x x x x f D ．⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤-=42,3221,62)(x x x x x f 解析：原函数的图像仍然是由两条折线段组成，折线段的端点（－2，0）、（0，1）、（1，3）向下平移1个单位是端点（－2，－1）、（0，0）、（1，2），再向右平移2个单位端点为（0，－1）、（2，0）、（3，2），关于直线x y =对称后折线段端点为（－1，0）、（0，2）、（2，3）。