找零钱模型

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小型超市的零钱准备方案

摘要

论文是分析小型超市售货员与顾客找零钱的问题，要求的是小型超市在一段时间内需要准备的各种零钱的数量，以供在这个阶段可以满足对消费者进行购物找钱的工作。为了解决此问题，我们建立了计算机模拟的模型进行求解，也就是利用Matlab软件进行求解。

在模型中，为了更加合理些，我们利用投掷骰子的模型来进行模拟，得出售货员与顾客之间找零钱的关系式，于是就可以相应的求出各种零钱的数量。

关键词：计算机模拟，Matlab软件，投掷骰子模型

一问题的重述

1．1 问题的背景：

在我国超市形成在20世纪90年代初期，现在已经成为我国零售业的一种重要形态，为国民经济的发展发挥了重要的作用。随着超市高速的发展，其经营管理也变得愈加复杂。

超市形态具有种种优点，但在目前状况下，它仍存在零售业企业所共有的落后的一面，如：不能有效地管理每种商品，收款结算速度慢，容易出现营业差错，不宜进行商品调价，盘点效率低等，而且在超市日常管理中，商品的进、销、存等决策以经验为主，缺乏实时分析功能，管理人员对及时传递资料的要求始终得不到满足。随着超市形态的高速发展，其经营管理也变得愈加复杂，日常所需要处理的数据量也逐渐增大，商业运转的中间环节也越来越多，原始的人工管理已无法应对这复杂的市场。

1．2 问题的简述：

假如你是一家小型超市的经营者，你的小店只有一个售货员，一个收银柜台。超市里陈列着各种价格不同的商品，每种商品的价格都是0.5元的整数倍，价格从0.5元到1000元不等。每天都有各种不同需求的顾客来小店买东西，为了便于找零，小店每天需要准备一定数量的各种零钱，从5角、1元到50元等等。请你建立数学模型来确定超市在一段时期内所需准备的各种零钱的足够数量。

二基本假设

1.假设小型超市没有刷卡机。

2.假设在这一个月内小型超市商品不打折。

3.假设顾客源是无限的，顾客单个到来，相互独立，一定时间的到达数服从

普阿松分布。

4.假设单队且对队长没有限制，先到先服务。

5.假设各顾客的服务时间是相互独立的，并到达时间与服务时间是相互独立

的。

6.假设售货员是以最大币值一致找给顾客零钱的，也就说找给顾客零钱的方

案是唯一的。

三符号说明

J 要模拟的找零次数 E 有效找零的比率 A 0 售货员与顾客进行找零钱的事

件

k 3 顾客付给售货员零钱的总数 A 2 顾客付给售货员零钱的事件

k 某段时间内顾客到达的概率

A 1 售货员要找给顾客零钱的事件

k 1 顾客刚好可以付齐商品价格的总数 E 1 50人平均每人找零的概率

A 0

售货员与顾客进行找零钱的事件

P

在某段时间有一个顾客接受完服务离去的概率

四 模型的建立与求解

4.1 模拟计算

模型需要模拟出以下两个情况：

①、售货员与顾客之间进行零钱兑换与否

模拟试验有两种结果，每一种结果出现的概率都是

2

1

。因此，可用投掷一枚硬币的方式予以确定，当硬币出现正面时为售货员与顾客之间进行零钱兑换，反之为售货员与顾客之间没有零钱兑换。

②、模拟试验有三种结果：

假设售货员要找给顾客零钱的可能性为32(即6

4

)，顾客付给售货员零钱的可

能性为61，顾客刚好可以付齐所买商品价格的可能性为6

1

。

这时可以用投掷骰子的方法来确定：如果出现的1、2、3、4四个点，则认为售货员要找顾客零钱；如果出现的5点，则认为顾客付给售货员零钱；如果出现的时6点，则认为顾客刚好可以付齐所买商品的价格。

计算机模拟的流程为以下图框：

根据模拟的流程图，可以用骰子做实验，实验的结果分三种：骰子点数为1、2、3、4的为第一种情况，骰子点数为5的为第二种情况，骰子点数为6的为第三种情况。

从图中可以得出321,,k k k 三者之间的关系，并且可以求出：

44

2

1k k E +=

44

14414403

211k k k E ⨯+⨯-⨯=

初始化：

0,0,0,0321====k k k j

1+=j j

硬币正面

骰子点数

1

11+=k k 221+=k k

133+=k k

111+=k k

?

20

1441440,44)(2

21132k k k E k k E ⨯+⨯-⨯=

÷+=

停止

1，2，3，4

5

6

投掷骰子模拟结果如下表： 试验 序号

投硬币 结 果 指示 正确

指 示 不正确

掷骰子 结 果

找零钱的方案 0 -1 1

1 正 ∨ 4 ∨

2 正 ∨ 4 ∨

3 反 ∨ ∨

4 正 ∨ 1 ∨

5 正 ∨ 2 ∨

6 反 ∨ ∨

7 正 ∨ 3 ∨

8 正 ∨ 6 ∨

9 反 ∨ ∨ 10 反 ∨ ∨ 11 正 ∨ 2 ∨ 12 反 ∨ ∨ 13 正 ∨ 3 ∨ 14 反 ∨ ∨ 15 正 ∨ 6 ∨ 16 正 ∨ 4 ∨ 17 正 ∨ 2 ∨ 18 正 ∨ 4 ∨ 19 反 ∨ ∨ 20

正

∨

6

∨

表（五）

从以上模拟结果可计算出：

16.044

7

==

E 023.044

314441441301=⨯+⨯-⨯

=E 4.2 理论计算

设：⎩⎨⎧=钱兑换。

售货员与顾客不进行零钱兑换。

售货员与顾客不进行零10j

则由全概率公式可以计算出结果，如下： ①、售货员与顾客不进行找零的概率

E = P(A 0) = P(j=0)P(A 0∣j=0) + P(j=1)P(A 0∣j=1)

= 083.06

121021=⨯+⨯ ②、售货员找给顾客零钱的概率